Anlisis de Sensibilidad

El anlisis de sensibilidad busca determinar los efectos que se producen en

la solucin ptima al realizar cambios en cualquiera de los parmetros del modelo

de programacin lineal planteado inicialmente. Entre los cambios que se

investigan estn: los cambios en los coeficientes de las variables en

la funcin objetivo tanto para variables bsicas como para las variables no bsicas,

cambios en los recursos disponibles de las restricciones, variacin de los

coeficientes de utilizacin en las restricciones e introduccin de una

nueva restriccin.

El objetivo principal del anlisis de sensibilidad es identificar el intervalo permisible

de variacin en los cuales las variables o parmetros pueden fluctuar sin que cambie

la solucin ptima. Sin embargo, as mismo se identifica aquellos parmetros

sensibles, es decir, los parmetros cuyos valores no pueden cambiar sin que cambie

la solucin ptima. Los investigadores de operaciones tienden a prestar

bastante atencin a aquellos parmetros con holguras reducidas en cuanto a los

cambios que pueden presentar, de forma que se vigile su comportamiento para

realizar los ajustes adecuados segn corresponda y evitar que estas fluctuaciones

pueden desembocar en una solucin no factible.

A modo general, cuando se realiza un anlisis de sensibilidad a una solucin ptima

se debe verificar cada parmetro de forma individual, dgase los coeficientes de

la funcin objetivo y los lmites de cada una de las restricciones. En ese sentido se

plantea el siguiente procedimiento:

1. Revisin del modelo: se realizan los cambios que se desean investigar en el

modelo.

2. Revisin de la tabla final Smplex: se aplica el criterio adecuado para

determinar los cambios que resultan en la tabla final Smplex.

3. Conversin a la forma apropiada de eliminacin Gauss: se convierta la tabla

en la forma apropiada para identificar y evaluar la solucin bsica actual, para

lo cual se aplica la metodologa de eliminacin Gauss si es necesario.

4. Prueba de factibilidad: se prueba la factibilidad de esta solucin mediante

la verificacin de que todas las variables bsicas de la columna del lado

derecho aun tengan valores no negativos.

5. Prueba de optimalidad: se verifica si esta solucin es ptima y factible,

mediante la comprobacin de que todos los coeficientes de las variables

no bsicas del regln Z permanecen no negativos.

6. Reoptimizacin: si esta solucin no pasa una de las pruebas indicadas en los

puntos 4 y 5 anteriores, se procede a buscar la nueva solucin optima a partir

de la tabla actual como tabla Smplex inicial, luego de aplicadas las

conversiones de lugar, ya sea con el mtodo Smplex o el Smplex Dual.

CAMBIOS DISCRETOS Y/O CONTINUOS

Fundamentalmente cuando se trabaja en Programacin Lineal es importante

realizar un anlisis de postoptimalidad para observar por medio de simulacin si los

cambios que le vamos a introducir al modelo original, en qu aspectos nos

benefician o nos afectan en las variables y/o parmetros. Es importante tener en

cuenta que los cambios que se realizan en el modelo original deben ser factibles y

deben responder a situaciones reales que la empresa puede llegar a vivir en un

momento determinado. Los cambios en los vectores b, c y en la matriz A pueden

suceder en forma discreta o contina; el cambio discreto indica que una o varias

componentes originales de los vectores o de la matriz son reemplazados por nuevas

cantidades; el cambio continuo en los vectores aj, b y c se da cuando se presentan

cambios as:

Donde b, c y ajson vectores respectivamente con las mismas dimensiones que los

vectores b, c, aj; son escalares que pueden tomar cualquier valor real. El anlisis de

sensibilidad que estudia los cambios continuos se denomina Programacin

Paramtrica.

Para observar las variaciones que ocurren o no, vamos a ilustrar las diversas

situaciones con el siguiente ejemplo:

MAX Z = 50 X1+ 120 X2

Sujeta a:

Cambio en un Cj cuando Xj es no bsica:

Va a cambiar un nmero en la fila de Zj - Cj, desde Z*j - Cj hasta Z*j hasta C'j; la

nueva solucin sigue siendo factible ya que no se han cambiado las restricciones,

ni los recursos.Cuando hay un cambio en un Cjdel primal, solamente cambia el lado

derecho de la j-sima restriccin del dual; puede ocurrir que la solucin ya no sea

factible (una de las variables bsicas ser menor que cero).La funcin objetivo va a

asegurar una solucin ptima, porque los recursos del primal no se han cambiado.

Ejemplo:

Se cambia la funcin objetivo de:

MAX Z = 50 X1+ 120 X2

a:

MAX Z = 80 X1+ 120 X2

El cambio en la funcin objetivo en la variable X1 es 50 por 80. Este cambio tiene

un efecto sobre el valor de Z*j - Cj en el ptimo actual

Primal: X*1 = 0; X*2 = 20; S*1 = 0; S*2 = 40; Z*= 2400

Dual: Y*1 = 30; Y*2 = 0; S*1= 10; S*2 = 0; W* = 2400 , valores que se pueden

convertir en:

Si el valor actualizado de Z*j - Cj > 0 , la solucin ptima permanece igual a la del

problema inicial y en el problema dual solo cambia el valor de la variable de holgura

S*1. Si el nuevo valor de Z*j - Cj = 0, la solucin ptima permanece igual a la del

problema inicial cuando se presentan soluciones mltiples y en el problema dual

solo cambia el valor de la variable de holgura S*1 cuyo valor ser cero (0). Si el

valor actualizado de Z*j - Cj < 0 la solucin deja de ser ptima por lo cual se requiere

la utilizacin del simplex, tomando X1 como la variable que se convertir en variable

bsica.

La solucin ptima actual es:

Primal: X*1 = 16; X*2 = 12; S*1 = 0; S*2 = 0; Z*= 2720

Dual: Y*1 = 28; Y*2 = 8; S*1= 0; S*2 = 0; W* = 2720

Para que se mantenga la solucin actual ptima y factible basta con plantear y

resolver la ecuacin que recalcula el valor de Z1 -C1, sabiendo que en el tablero

ptimo el valor de C1 debe cumplir con la condicin que Z1 -C1 0, por lo cual - C1

60.

Cambio en un Cj cuando Xj es bsica:

Si Xj es bsica Z*j - Cj = 0 y Z*j - C'j 0, con lo cual se debe modificar la fila de Z -C

en el ltimo tablero y en algunos casos se debe variar toda la tabla, si la solucin

del primal dej de ser la ptima.En algunos casos cuando Z*j - C'j > 0, la solucin

es an ptima.

La nueva solucin en el ptimo debe ser ptima o mejorar, pero en algunos casos

puede no ser factible. Ejemplo:

Cambiando la funcin objetivo de:

MAX Z = 50 X1+ 120 X2

a:

MAX Z = 50 X1+40 X2

El nuevo valor de Z*j - Cj corresponde a una variable bsica, cuyo valor ser cero

(0).

La solucion Optima es:

Primal: X*1 = 16; X*2 = 12; S*1 = 0; S*2 = 0; Z*= 1280

Dual: Y*1 = 7; Y*2 = 12; S*1= 0; S*2 = 0; W* = 2720

Para que permanezca la solucin actual ptima y factible basta con plantear y

resolver la ecuacin que recalcula el valor de Z*j - Cj de cada una de las variables

no bsicas, sabiendo que en el tablero ptimo el valor de C1 debe cumplir con la

condicin que Z*j - Cj 0, por lo cual 4 C2 +.

Cambio en un bi (recurso):

Los nicos cambios posibles son en los lados derechos de las restricciones, porque

estos lados dan los valores de las variables de la base y stas se pueden volver

negativas; cuando no hay cambios en los Z*j - Cj, la solucin encontrada sigue

siendo ptima.En el caso en que un bi se vuelva negativo se debe emplear el dual

simplex para solucionar el primal. Adems es posible en el problema dual encontrar

e interpretar el precio sombra (marginal) y los costos reducidos. Ejemplo:

Cambiando la segunda restriccin de:

3 X1+X2 60

a:

3 X1+X2 50

La solucin ptima actual es:

Primal: X*1 = 0; X*2 = 20; S*1 = 0; S*2 = 30; Z*= 2400

Dual: Y*1 = 30; Y*2 = 0; S*1= 10; S*2 = 0; W* = 2400

Para que se mantenga la solucin actual factible basta con plantear y resolver las

ecuaciones para encontrar los valores de los nuevos bi, de tal manera que las

variables bsicas sean 0, por lo cual -70 b1 170 y 20 b2 +

Cambio en aij cuando Xj es no bsica:

En estos casos cambian los coeficientes de Xj en todas las filas del tablero; como

Xj no es bsica, si la fila Z -C > 0, la solucin sigue siendo ptima.

Es ms fcil investigar si la solucin anterior es todava ptima con el dual, ya que

el nico cambio es en la j-sima restriccin: , porque los valores ptimos de las

variables originales Y*1 = Z no cambian; la solucin anterior es factible y an ptima

si la nueva restriccin no se viola. Ejemplo:

Cambiando la segunda restriccin de:

3 X1+X2 60

a:

X1+X2 60

La solucin actual es:

Primal: X*1 = 0; X*2 = 20; S*1 = 0; S*2 = 40; Z*= 2400

Dual: Y*1 = 30; Y*2 = 0; S*1= 10; S*2 = 0; W* = 2400

Para que permanezca la solucin actual ptima basta con plantear y resolver la

ecuacin que recalcula el valor de Z1 - C1 con la condicin que Z1 - C1 0, por lo

cual