[ 2009/2010 ] SIMULACIÓN POR ORDENADOR PARA LA PLANIFICACIÓN Y GESTIÓN

(Ejercicio de evaluación. Febrero 2010)

- SOLUCIÓN -

Se trata de extender el ejercicio 4 de la Relación 1 de Ejercicios. Por tanto, considérese

una empresa A que trata de mantener su inventario a un determinado nivel. Cuando el

stock de productos almacenados desciende del nivel deseado, la empresa realiza pedidos al

distribuidor con el fin de mantener dicho nivel. Si el producto almacenado es superior al

nivel deseado, devuelve el exceso de producto al distribuidor. El tiempo medio necesario

para satisfacer unos pedidos o devolver el exceso del producto es el mismo, 3 semanas.

1) El nivel de existencias inicial es 100 unidades, las ventas 20 unidades semanales y el

nivel deseado de inventario es 100 unidades. Con estas condiciones el nivel de inventario a

lo largo del tiempo es menor que el deseado. Hallar el nivel deseado necesario para que el

inventario sea de 100 unidades en 30 semanas. Idem para ventas de 30 unidades. Idem

para un tiempo medio de 5 semanas. Hallar una expresión del nivel deseado en función de

las ventas y tiempo medio para alcanzar un inventario en equilibrio de 100 unidades. (1

punto)

Llamamos I(t) el nivel de inventario de la empresa en el tiempo t, que es la variable de

estado del problema. Los datos del modelo son los siguientes:

- Nivel de inventario inicial: I(0)=100.

- Nivel de inventario deseado: I=100.

- Tiempo de retardo: =3.

- Ventas: v=20.

La ecuación diferencial del sistema, ya vista en el ejercicio realizado en clase, es,

dI I Iv.

dt

Implementando el modelo en el ordenador, obtenemos el resultado siguiente,

El nivel de inventario en la semana 30 es 40 unidades. Para hallar el nivel deseado

necesario de tal forma que el inventario en la semana 30 sea 100, podemos utilizar la

opción “buscar objetivo” del Excel. Se elige como objetivo que la celda del inventario en la

semana 30 sea 100 variando la celda correspondiente al inventario deseado. El resultado es

un nivel deseado de inventario de I=160. Análogamente, I=190 si las ventas semanales

son v=30, e I=200 si el tiempo de retardo es =5.

El nivel deseado en el equilibrio eI se alcanza cuando la variación instantánea del

inventario es nula, o sea,

edI I Iv 0 I I v.

dt

Por tanto, eI 100 si I=100+ v, como se ha podido observar en los casos particulares

analizados.

2) Supóngase que existe una empresa B que vende otro producto. El proceso de decisión

para mantener el inventario a un determinado nivel es el mismo, sólo que ahora las

existencias iniciales son 30, el nivel deseado 60 y las ventas 10 unidades semanales. El

tiempo medio de retardo es 2 semanas. Simular el nivel de inventario de ambas empresas

en 30 semanas e indicar el nivel de inventario en el equilibrio alcanzado por ambas.

Escribir las ecuaciones diferenciales del sistema conjunto. (1 punto)

Notamos ahora al modelo anterior con el subíndice A, y utilizamos el subíndice B para

referirnos a la empresa B. Sea entonces IA(t) y IB(t) el nivel de inventario de la empresa A y

B, respectivamente. Los parámetros del sistema son ahora,

- Nivel de inventario inicial A: IA(0)=100.

- Nivel de inventario deseado A: AI =100.

- Tiempo de retardo A: A =3.

- Ventas A: vA=20.

- Nivel de inventario inicial B: IB(0)=30.

- Nivel de inventario deseado B: BI =60.

- Tiempo de retardo B: B =2.

- Ventas B: vB=10.

Las ecuaciones diferenciales del sistema conjunto son,

A A AA

A

B B BB

B

dI I Iv ,

dt

dI I Iv .

dt

Implementando el sistema en el ordenador y simulando el mismo en 30 semanas, se

obtienen los niveles de inventario en el equilibrio para ambas empresas, que son e e

A BI =I =40.

3) Dado el modelo del apartado 2, realizar un análisis de sensibilidad del inventario en 30

semanas sobre el inventario inicial, ventas y tiempo de retardo. Indicar qué parámetro es

más influyente en cada empresa e interpretar el valor calculado. (1 punto)

El análisis de sensibilidad de una variable V con respecto a un parámetro p (SV-p) lo

realizaremos a partir de la fórmula:

1 0 0V p

1 0 0

(V( p ) V( p )) V( p )S ,

( p p ) p

donde p0 representa el valor inicial del parámetro y p1 su valor perturbado. V(p) indica el

resultado de la variable dado el valor p del parámetro y SV-p es una aproximación del

cambio porcentual de la variable V por cada unidad porcentual del cambio en el parámetro

p. Con vistas a una comparación de resultados, tomaremos valores del parámetro un 10%

superiores y un 10% inferiores.

Implementamos la expresión anterior en el ordenador. Tomando como V el nivel de

inventario en la semana 30, IA(30) e IB(30) respectivamente, los resultados aparecen en la

tabla siguiente:

Parámetro SV-p (+10%) SV-p (-10%)

IA(0)

A

vA

IB(0)

B

vB

0,000019

-1,50

-1,50

1,37*10-9

-0,5

-0,5

0,000019

-1,50

-1,50

1,37*10-9

-0,5

-0,5

La influencia de los parámetros sobre el nivel de inventario en la semana 30 es la misma

tanto para variaciones positivas como negativas del mismo. Los más influyentes y con el

mismo grado de influencia son el tiempo de inventario y las ventas para las dos empresas y

en sentido negativo. Así, por ejemplo, por cada unidad porcentual de variación del tiempo

de retardo, el nivel de inventario de la empresa A disminuye en 1,5%. La sensibilidad del

nivel de inventario con respecto a estos parámetros es tres veces superior para la empresa A

que para la empresa B.

4) Tómense de nuevo las condiciones del apartado 1. Ahora las ventas no son constantes,

sino que dependen del precio del producto a través de la ecuación de demanda 2

A 1 Aq p , siendo qA la ventas del producto de la empresa A, pA el precio del producto y

1, 2 parámetros de la demanda. A su vez, el precio no permanece constante, sino que

aumenta o disminuye según sea la diferencia entre la demanda y el nivel de inventario

(oferta) positiva o negativa. El precio varía en a=0,1 unidades por cada unidad de

diferencia entre demanda y oferta. Escribir las nuevas ecuaciones diferenciales del sistema

(1 punto)

Las ventas no son constantes, sino que vienen indicadas por la expresión Av q . Por otro

lado, el precio en el tiempo t, pA(t), es una nueva variable de estado en el modelo. La

variación del precio viene indicada por la ecuación,

AA A

dpa q I .

dt

Incorporando estos nuevos elementos en el sistema, las ecuaciones diferenciales quedan de

la siguiente manera,

2

2

A A A1 A

A1 A A

dI I Ip ,

dt

dpa p I .

dt

5) Si el precio inicial es 150, 1=40 y 2=-0.1, simular el sistema anterior en 100 semanas.

Indicar el nivel de inventario y la demanda (ventas) en la semana 100. Indicar si se

alcanza un precio de equilibrio a largo plazo y en qué valor. (1 punto)

Los nuevos parámetros del modelo son:

- Precio inicial A: pA(0)=150.

- Parámetro de la ecuación de demanda A: 1=40.

- Elasticidad demanda con respecto al precio A: 2=-0,2.

- Tasa de incremento del precio: a=0,1.

Implementando el sistema en el ordenador y simulando se obtiene el siguiente resultado,

Por tanto, el nivel de inventario en la semana 100 es IA(100)=25, que coincide con la

demanda en ese momento. Estamos en una situación de equilibrio, con un precio

pA(100)=10,49 unidades.

6) Se dispone de la serie de precios del producto A en 20 semanas. Estos son

Semana Precio (pA)

1

2

3

4

5

6

7

8

8

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

142

138

135

133

135

130

120

115

117

115

117

117

120

114

113

112

110

109

110

Calibrar la elasticidad del precio ( 2) para que el precio simulado por el modelo se ajuste

lo mejor posible a los datos. Interpretar los estadísticos de contraste de ajuste. (1 punto)

Se implementa en el ordenador los estadísticos de validación R2, ECM, ECMP, U de Theil,

Um, Us y Uc vistos en la asignatura. Comparando la serie de datos reales con los simulados

para diferentes valores de la elasticidad del precio 2 se obtiene, por ensayo y error, que con

el valor 2=-0,12 los estadísticos de validación son

Estadístico Resultado

R2

ECM

ECMP

U

Um

Us

Uc

0,89

3,7

2,9%

0,014

0,002

0,13

0,86

Los resultados indican una buena similitud entre los datos simulados y reales, con un error

medio inferior al 3%, un estadístico de Theil muy cercano a cero y muy poco error

concentrado en la media. Podemos concluir que este valor del parámetro es adecuado para

representar la serie real. Se observa en la gráfica conjunta de los datos simulados y reales

que ambos siguen patrones muy similares,

7) Se incluye ahora la empresa B (apartado 2) al modelo anterior. Ambas empresas (A y B)

son competidoras, por lo que la demanda depende de los precios de una y otra empresa.

Así, 32

A 1 A Bq p p y 32

B 1 A Bq p p , siendo qB las ventas del producto B, pB su precio y 3,

1, 2, 3 parámetros. El precio de B sigue la ley análoga a la del precio de A, varía en

a=0,1 unidades por cada unidad de diferencia entre demanda y el nivel de inventario

(oferta). El precio inicial del producto B es 150. Los valores de los nuevos parámetros son

3=0,05, 1=20, 2=0,05, 3=-0,3.

Escribir las ecuaciones diferenciales del modelo. Simularlo e indicar el nivel de inventario

y los precios de cada producto tras 100 semanas. Indicar asimismo para qué producto se

alcanza más rápidamente el nivel de equilibrio. (2 puntos)

Ahora las ventas de A y B son, respectivamente, vA=qA y vB=qB. El precio de B, pB(t),

sigue la ecuación diferencial,

BB B

dpa q I .

dt

Escribiendo estas ecuaciones conjuntamente, el sistema queda de la forma,

32

32

32

32

A A A1 A B

A1 A B A

B B B1 A B

B1 A B B

dI I Ip p ,

dt

dpa p p I ,

dt

dI I Ip p ,

dt

dpa p p I .

dt

Los nuevos parámetros del modelo son:

- Precio inicial B: pB(0)=150.

- Parámetro de la ecuación de demanda B: 1=20.

- Elasticidad demanda con respecto al precio B: 3=-0,3.

- Elasticidad cruzada: 3= 2=0,05.

Implementando y simulando el sistema en el ordenador, queda de la forma,

Tras 100 semanas, los precios de los productos son pA(100)=115,35 y pB(100)=2,21, y el

nivel de inventario es IA(100)=29,50 y IB(100)=20,01, respectivamente. Ambos productos

alcanzan un nivel de equilibrio a largo plazo, pero la empresa B llega más rápidamente a

este equilibrio con una demanda e inventario igual 20 unidades aproximadamente, y un

precio de 2,02 unidades.

8) Algunos de los parámetros del apartado 7 siguen las siguientes distribuciones:

Parámetro Distribución de Probabilidad

Elasticidad precio A ( 2)

Elasticidad precio B ( 3)

Elasticidad cruzada ( 3)

Normal(-0,12;0,1)

Normal(-0,3;0,05)

Normal(0,05;0,02)

Estimar la probabilidad de que el nivel de inventario sea negativo en la semana 100 para

la empresa A y B, respectivamente. Estudiar qué elasticidades influyen en mayor medida

sobre ese nivel de inventario. Estimar el tiempo de retardo del producto A para que la

media del nivel de inventario en A en la semana 100 sea 30. (2 puntos)

En primer lugar, se introducen las variables aleatorias en el ordenador y se indica como

“Output” el inventario en la semana 100 de ambas empresas A y B. Simulando el sistema

con 500 iteraciones, la distribución de las variables output es la siguiente:

La probabilidad de que el nivel de inventario de la empresa A sea menor que cero en la

semana 100 es P[IA(100)<0] 0,22, mientras que para la empresa B es P[IB(100)<0] 0.

Observando los coeficientes de regresión de los parámetros aleatorios del modelo sobre el

nivel de inventario de la empresa A en la semana 100, se obtiene

Tasa Coeficiente Regresión

Elasticidad de precio A -0,67

El resto no es significativo. Por tanto, la tasa más influyente sobre el nivel de inventario de

la empresa A en esa semana es la elasticidad de demanda sobre el precio del producto A,

por cada unidad porcentual de aumento de esta elasticidad, el nivel de inventario en la

semana 100 se reduce en 0,67%.

Análogamente, se observan los coeficientes de regresión de los parámetros aleatorios del

modelo sobre el nivel de inventario de la empresa B en la semana 100,

Tasa Coeficiente Regresión

Elasticidad de precio B

Elasticidad de precio A

0,21

-0,07

El resto no es significativo. En este caso, la tasa más influyente es la elasticidad del precio

del producto B.

La última cuestión se resuelve utilizando la opción “Goal seek” de “Advanced analysis”.

Elegimos como objetivo que la media del nivel de inventario de la empresa A en la semana

100 sea 30, cambiando el tiempo de retardo del producto A. Se toma como “Comparison

Accuracy” en “Options” un porcentaje del valor objetivo de 1%. El tiempo de retardo

estimado para alcanzar esos valores medios de inventario es 1,73 semanas

aproximadamente.