Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo -...

Tema 3

ANÁLISIS DINÁMICO DE SISTEMAS

Tema 3

Análisis de Sistemas en el Dominio del Tiempo

Gijón - Febrero 2005 1

Indice

• 4.1. Análisis de los sistemas


• 4.1. Análisis de los sistemas

• 4.2. Respuesta impulsional

• 4.3. Respuesta a un escalón

• 4.4. Respuesta a una señal cualquiera

• 4.5. Estabilidad

• 4.6. Criterio de estabilidad de Routh

• 4.7. Sistemas de primer orden

• 4.8. Sistemas de segundo orden


• 4.8. Sistemas de segundo orden

• 4.9. Sistemas de orden superior

• 4.10. Retardo puro

Análisis de los Sistemas• Conocido el modelo matemático del sistema se realiza el análisis de su

comportamiento dinámico. Y(s)X(s) G(s)

g(t)


•Se utilizan señales de excitación sencillas y con transformada de Laplace.

• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de

x(t) y(t)g(t)

t

δ(t)∞ ↑

t

u0(t)

1

1 t

f(t)

1

1 t

f(t)

1


• El análisis se puede realizar en el dominio del tiempo o en el dominio de la frecuencia. f(t)

M

t

-M

π/ω 2·π/ω

Respuesta impulsional

• Señal de excitación: Impulso de Dirac

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

y(t)Formas de respuesta


• Respuesta del sistema: g(t)

t

δ(t)∞ ↑

1)(

)()(

=

=

sX

ttx δt0

0 t

y(t)

Formas de respuesta

típicas ante un impulso


• Respuesta del sistema: g(t)

)()]([)(

)()()·()(

1 tgsGLty

sGsGsXsY

==

==−

0 t

y(t)

0 ty(t)

Respuesta a un escalón

• Señal de excitación: Escalón unitario

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

Formas de respuesta


• Respuesta del sistema: Integral de g(t)

ssX

tutx

1)(

)()( 0

=

=

t

u0(t)

1

t

y(t)

0

Formas de respuesta

típicas ante un escalón


• Respuesta del sistema: Integral de g(t)

∫=

=

==

− ττ

0

1)(

)()(

)()()·()(

dtgs

sGLty

s

sGsGsXsY

t

y(t)

0

Respuesta a una señal cualquiera

• Señal de excitación: x(t)

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)


• Respuesta del sistema:

1. Se calcula la Transformada de Laplace de la entrada: X(s)=L[x(t)]

2. Se obtiene la Función de Transferencia que sirve de modelo del sistema: G(s)

−=−==

=

∫∫tt

dxtgdgtxtgtxty

sGsXsY

00)·()·()·()·()(*)()(

)()·()(

ττττττ


3. Se calcula la Transformada de Laplace de la salida: Y(s)=X(s)·G(s)

4. Se obtiene la Antitransformada de Laplace de Y(s): y(t)=L-1[Y(s)]

Estabilidad (I)

Un sistema es estable si ante señales de entrada o perturbaciones acotadas produce salidas acotadas y regresa a un estado de equilibrio.


Un sistema de control está en estado de equilibrio si, en ausencia de cualquier perturbación o entrada, la salida permanece en el mismo estado.

y(t)

t

Estable

G(s)

g(t)

t

δ(t)∞ ↑


y(t)

t

Estable

Inestable

G(s)

g(t) t

δ(t)∞ ↑

Estabilidad (II)

( )

( )

−

−

∈

≥

+

+

=++++++++

=

∏

∏=

−−

−−

(polos)r denominado del raíces lasson

(ceros)numerador del raíces lasson

,...

...)(

1

1

1

1

10 j

ijn

m

j

j

snn

mm

mm

p

z

Cpz

mn

ps

zs

Kasasasa

bsbsbsbsG

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)


( ) −∈+

++++ ∏=

−− (polos)r denominado del raíces lasson ,...

1

1

1

10 iij

i

inn

nn pCpzps

asasasa

Re

Im

-σ

-p1real poloun es raíz La

)(·)(L1)(

OrdenPrimer de Sistemaun de Ejemplo

11

0

·1-

σσ

σ

−=−=

=→+

= −

ps

tuetgs

sGt Re

Im

-z1

-p1

-p2

-p3

-z2

-z3

-p4

polosceros


Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2conjugados complejos polos dos·son raíces Las

)()···sen(1

)(L

)(

1

·

1)(

complejos poloscon Orden Segundo de Sistemaun de Ejemplo

2,12,1

0·

1-

222

jps

tutetgsbsas

sGt

βα

βββα

α

±−=−=

=→++

=++

= −

Estabilidad (III)

Im

-σ Re

Im

-α

β-p1

g(t)

g(t)

t

ESTABLEESTABLE


Re

-σ

-p1

Re

-β-p2

Re

Im

-p1 Re

Im

β

-β

-p1

-p2

t

t

g(t)

g(t)

g(t)

t

INESTABLE

LIMITADAMENTE ESTABLE

MARGINALMENTE ESTABLE


Re

Im

-σ

-p1

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

t

g(t)g(t)

t

INESTABLE

Estabilidad (IV)

Im

-α

β-p1 Re

Im

-σ

-p1

t

g(t)

g(t)

t


Re

Im

β

-β

-p1

-p

Re

-α

-β-p2

Re

Im

-α

β

-β

-p1

-p2

Re

Im

-σ-p1

t

g(t)

g(t)

t

t

g(t)

t

Atenuación más rápida

(Transitorio más corto)

Atenuación más rápida

(Transitorio más corto)


-β-p2

Re

Im

-α β

-β

-p1

-p2

Re

Im

β

-β

-p1

-p2

g(t)

t

g(t)

t

Menor frecuenciaMenor frecuencia

Estabilidad (V)

• Un sistema es estable si todos sus polos están situados en el semiplano complejo

negativo.


• Un sistema es inestable si algún polo está situado en el semiplano complejo positivo

o si existen polos múltiples en el eje imaginario o en el origen.

• Un sistema es limitadamente estable si existe un solo polo en el origen, estando los

demás situados en el semiplano negativo.

• Un sistema es marginalmente estable si existe una pareja simple (no múltiples) de

polos complejos conjugados sobre el eje imaginario, estando los restantes polos

situados en el semiplano negativo.

• Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan


• Los polos situados en el semiplano negativo originan respuestas que se atenúan

tanto más rápidamente, cuanto más alejados estén del eje imaginario. Se denominan

en general “polos dominantes” aquellos que están más cerca del mencionado eje.

• Los polos complejos conjugados dan lugar a respuestas cuyas oscilaciones son de

frecuencia tanto más elevada cuanto mayor sea su distancia al eje real.

Criterio de Estabilidad de RouthIndica si existen raíces con parte real positiva en un polinomio:

0··...··· 12

22

21

10 =++++++ −−−−

nnn

nnn asasasasasa

El sistema que tenga

como denominador ese

polinomio, será estable

REGULACIÓN AUTOMÁTICA

1) ∀ai, ai>0 (es decir, todos con el mismo signo y sin nulos)

2) Se construye la siguiente tabla:

4321

4321

7531

6420

3

2

1

.........

...

...

...

...

cccc

bbbb

aaaa

aaaa

s

s

s

s

n

n

n

n

−

−

−

12210 −− nnnpolinomio, será estable

si todos los ai>0 y todos

los coeficientes de la

primera columna de la

tabla son también

estrictamente positivos.

El polinomio tiene

tantos polos con parte

−=

−=

−=

−=

−=

−=

71

60

11

70613

51

40

11

50412

31

20

11

30211

1··

1··

1··

aa

aa

aa

aaaab

aa

aa

aa

aaaab

aa

aa

aa

aaaab


1

1

21

0

1

2

............

w

v

uu

s

s

s

tantos polos con parte

real positiva como

cambios de signo se

producen en la primera

columna de la tabla

−=

−=

−=

−=

31

51

11

31512

21

31

11

21311

7111

1··

1··

...

bb

aa

bb

baabc

bb

aa

bb

baabc

aaaa

Sistemas de Primer Orden (I)Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)sT

KsG

·1)(

+=

y(t)

0,37·K/T

K/T

K: ganancia estática o en régimen permanente


• Respuesta impulsional: X(s)=1

)(·)]([)]([)( 0

11tue

T

KsGLsYLty T

t−−− ===

• Respuesta a un escalón: X(s)=1/s

)()·1·()(

)]([)( 0

11 tueKsG

LsYLty T

t−−− −=

==

tT

t

y(t)

T

0,63·K

K

3·T

0,95·K

Tangente en el origen

(pendiente K/T)

y(t) T

K: ganancia estática o en régimen permanente

T: constante de tiempo


)()·1·()]([)( 0 tueKs

LsYLty T−===

• Respuesta a una rampa: X(s)=1/s2

)(]···)·([)(

)]([)( 02

11tueTKTtK

s

sGLsYLty T

t−−− +−=

== tT

-K·T

(pendiente K)

T

Sistemas de Primer Orden (II)

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)sT

sTKsG N

·1

)·1·()(

+

+=

y(t)

K

K·TN/T

Im-1/T

a) TN>T


x(t) y(t)g(t)

sT

KsT

sT

K

sT

sTKsG N

N

·1··

·1·1

)·1·()(

++

+=

+

+=

sT ·1+


K

K/T

Tangente en el origen

(pendiente K/T)

Respuesta del

sistema sin el cero

t

t

y(t)

K

K·TN/T

Re-1/TN

Re

Im-1/T

-1/TN

b) T>TN>0


t

Derivada de la otra curva

t

y(t)

K

K·TN/TRe

Im-1/T -1/TN

c) TN<0

NOTA: Si el cero está próximo al origen

el factor |K·TN/T| aumenta peligrosamente

Sistemas de Segundo Orden (I)

bsas

K

ss

K

ss

KsG s

nn

n

++=

++=

++=

·1·

·2·

1···2

·)(

22

2

22

2

ωξ

ωωωξ

ω Si a,b>0, el sistema

es estable


ssnn

nn ++ 1··2 ωω

K: ganancia estática

T=2·ξ/ωn: constante de tiempo

ξ>0: coeficiente de amortiguamiento

ωn>0: frecuencia natural del sistema

σ>0: constante de amortiguamiento o

factor de decrecimiento

Si ξ<1, ω : frecuencia amortiguada

nn

nn

s

ss

ξ

ξωωξ

ωωξ

complejasson raíces las 1 Si

1··

:son sistema) del

(polos polinomio del raíces Las

0···2

22,1

22

<

−±−=

=++


Si ξ<1, ωd : frecuencia amortiguada

d

nd

js ωσ

ξωωωξσ

ξ

·

1··

:conjugadas

complejasson raíces las 1 Si

2,1

2n

±−=

−==

<

Re

Im

-σ

-ωd

ωdωn

θ

θξ cos=

Sistemas de Segundo Orden (II)

22

2

···2

·)(

nn

n

ss

KsG

ωωξω

++=

Re

Im

ξ<1 ξ=0

ξ>1 ξ>1 ξ=infξ→inf

ξ=1

−±−=

=++

1··

0···2

22,1

22

ξωωξ

ωωξ

nn

nn

s

ss


nn

a) Si ξ>1: dos raíces reales

b) Si ξ=1: una raíz doble

c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas

Re

ξ=0ξ<1ξ=1

−±−= 1··2,1 ξωωξ nns

1· 22,1 −±−= ξωσ ns

ns ωσ −=−=2,1

Re

Im

s1s2

a)

Re

Im

-σ

b)


c) Si 0<ξ<1: dos raíces complejas conjugadas

d) Si ξ=0: dos raíces imaginarias puras

djs ωσ ·2,1 ±−=

nd jjs ωω ··2,1 ±=±=

Re

Im

-σωd

-ωd

c)

Re

Im

ωd

-ωd

d)

Sistemas de Segundo Orden (III): respuesta impulsional

a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado

2· BAK ω ·=−=

ωnK

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)


b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado

c) Si 0<ξ<1: sistema subamortiguado

)(····)( 0

·2tuetKty

tnn

ωω −=

2122

2

···2

·)(

ss

B

ss

A

ss

KsG

nn

n

−+

−=

++=

ωωξω

[ ] )(···)( 0

·2·1 tueBeAtytsts +=

1·2

·

2 −=−=

ξ

ωnKBA

x(t) y(t)g(t)

ξ=0y(t)

ξ=0.2

ξ=1

ξ=2



d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento

)(·)···sen(1

·)( 0

·

2tuet

Kty

t

dn σω

ξ

ω −

−=

t

)()···sen(·)( 0 tutKty nn ωω=

Sistemas de Segundo Orden (IV): respuesta a un escalón

a) Si ξ>1: sistema sobreamortiguado

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)


b) Si ξ=1: sistema críticamente amortiguado


)(]·)··1(1·[)( 0

·tuetKty

tnn

ωω −+−=

)(·

1·2

1·)( 0

2

·2

1

·1

2tu

s

e

s

eKty

tsts

n

−

−+=

ξ

ωξ=0y(t)

ξ=0.2

ξ=1

ξ=2

K


d) Si ξ=0: sistema sin amortiguamiento

)(·)··sen(1

1·)( 02

·

tute

Kty d

t

+

−−=

−

θωξ

σ

t)()]··cos(1·[)( 0 tutKty nω−=

Sistemas de Segundo Orden (V)

[%]100·[%]100·[%]100·[%]100·

:aciónSobreoscil

cotg·

·21

·

dp

A

ABeeeM

θπωσπ

ξ

ξπ

−==== −

−−

−

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

=

=

=

MKA

s

MsX

tuMtx

·

)(

)(·)( 0

10 << ξ


:ientoestablecim de Tiempo

1

:pico de Tiempo

1

:subida de Tiempo

[%]100·[%]100·[%]100·[%]100·

2

2

dn

p

dn

r

p

t

t

AeeeM

ππ

ωπ

ξω

π

ωθπ

ξω

θπ

=−

=

−=

−

−=

====

y(t)

A±5%A

B

Entrada en régimen

permanente

Pico de sobreoscilación

0.9·A

Ritmo de decrecimiento


(aprox.)2

1

:retardo de Tiempo

(aprox.)·

n

d

n

s

t

t

ω

ξ

σπ

ωξπ

+

=

==

t

Régimen

permanente

Régimen

transitorio

tstp

tr

td

dωπ·2

dωπ·3

dωπ·4

permanente

0.5·A

0.1·A

Sistemas de Segundo Orden (VI): respuesta a una rampa

20 )()(··)(s

MsXtutMtx =⇒=

Y(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)


s x(t) y(t)

y(t)

(pendiente K·M)x(t)

(pendiente M)

n

Tω

ξ·2=

n

MKω

ξ·2··


tT-K·M·T

(pendiente M)

Sistemas de Segundo Orden (VII): cero adicional a polos complejosY(s)X(s) G(s)

x(t) y(t)g(t)

NOTA: Si el cero está próximo al origen

el factor TN aumenta peligrosamente y los

efectos del cero son más notables22

2

···2

)·1(·)(

nn

Nn

ss

sTKsG

ωωξω

++

+=


y(t)

K

c)

a) Sistema sin cero

22

2

22

2

···2

···

···2

·)(

nn

nN

nn

n

ss

KsT

ss

KsG

ωωξω

ωωξω

+++

++=


efectos del cero son más notablesnn

Re

Ima)

Re

Imb)

TN>0: El sistema es más

rápido y menos amortiguado:

Mp↑, tp↓ y normalmente ts↑


tb) Derivada de a)

d)

Re

Imc)

-1/TNRe

Imd)-1/TN TN<0: El sistema presenta

inicialmente una respuesta

negativa: Mp↑, tp ↑ y

normalmente ts↑

Sistemas de Segundo Orden (VIII): cero adicional a polos reales

• Respuesta a un escalón: X(s)=1/sIma) Imb)

TN>0: El sistema puede presentar un pico de

sobreoscilación tanto mayor cuanto mayor es TN

T <0: El sistema presenta inicialmente una


y(t) e)

K

a) Sistema sin cero

d)c)

Re

a)

Re

Imd)

-1/TNRe

Imc)

-1/TN

Re

b)TN<0: El sistema presenta inicialmente una

respuesta negativa


t

a) Sistema sin cero

b) Derivada de a)

f)Re

Ime)

-1/TNRe

Imf)-1/TN

Y(s)X(s)

x(t) y(t)22

2

···2

·

nn

n

ss

K

ωωξω

++)···2)(·1(

·)(

22

2

nnd

n

sssT

KsG

ωωξω

+++=

Sistemas de Segundo Orden (IX): polo adicional


sTd ·1

1

+

y(t)

K

a)

b)

c)


Los efectos son opuestos a los que tendría un

cero en la misma posición. El sistema se hace

más lento y amortiguado.

nnd

Re

Ima)

Re

Imb)

-1/Td


t

d)

c)

Re

Imc)

-1/Td Re

Imd)

-1/Td

Si el tercer polo está más cerca

del origen, pasa a tener un

efecto dominante sobre la

respuesta del sistema.

Sistemas de Orden Superior (I)∏ ∏

= =

−−

−

+++

=++++

++++=

P

p

Q

q nqnq

q

p

nn

mm

mm

sssTK

asasasa

bsbsbsbsG

2

1 1

2

1

11

10

··2

1)··1(·

...

...)(

ωω

ξ


– Respuesta en Régimen Permanente: Ganancia estática

)0 que (siempre )()()·(·)()( 00 ======∞ →→→∞ NKa

bsGlimsGsXslimtylimy

n

msst

– Respuesta Transitoria:

∏ ∏= =

−−

+++

=++++

=L

l

R

r nrnr

rl

Nnn

nn

sssTs

asasasasG

1 1

21

110

··2

1)··1(·...

)(

ωωξ

• Ante una entrada escalón unitario: X(s)=1/s


– Respuesta Transitoria:

Depende de qué polos y ceros tengan mayor efecto sobre la respuesta del sistema.

Los dominantes serán los más cercanos al eje imaginario.

Se tratará de conseguir un sistema que, siendo de un orden inferior, reproduzca sin

demasiado error la respuesta del sistema de partida

Sistemas de Orden Superior (II)


• Criterios de Reducción

– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que presenten una componente real (σ)

al menos seis veces superior a la componente real de los polos dominantes (σ ).al menos seis veces superior a la componente real de los polos dominantes (σdom).

– Despreciar el efecto de aquellos polos y ceros que cumplan que la distancia de

separación entre ellos medida sobre el eje real (| σp - σz |) sea inferior a 1/6 del valor de

la componente real de los polos dominantes (σdom).

– Mantener la ganancia estática.

-σdom

-6σdom

<σdom/6


• Puntualización: Los criterios anteriores no siempre son válidos (sólo aplicable para

el análisis en el dominio del tiempo de sistemas estables). Se debe comparar la respuesta del

sistema de partida y del sistema de orden reducido para comprobar la fiabilidad de la

aproximación.

Retardo Puro (I)

x(t) y(t)=x(t-T)Y(s)X(s)G(s)=e

-T·s


[ ] [ ] )(·)(L)(L)()]([L)( ·sXeTtxtysYtxsX

sT−=−==⇒=

t tT

x(t) y(t)Retardo T

T = tiempo de retardo

sTesG

·)(X(s)

Y(s) −==


No es una función racional, lo que imposibilita el estudio de la

estabilidad de sistemas que incluyan algún Retardo Puro por los

métodos vistos en este capítulo. En algunos casos se buscan Funciones

de Transferencia racionales como aproximación a su comportamiento y

que permitan facilitar su estudio.

Retardo Puro (II)

·1·1·

...2

··

!3

1

2

··

!2

1

2

·1

)(32

32

·

2

·

·

+

−

+−===

−

−

sTsTsT

sTsTsT

eesG

sT

sT

sT

Y(s)=e-T·s ·Uo(s)Uo(s) G(s)=e-T·s

uo(t) y(t)=uo(t-T)Retardo T

y(t)1


...2

··

!3

1

2

··

!2

1

2

·1

)(32

2

·

+

+

++

===sTsTsT

e

esGsT

• Respuesta a un escalón:

t

y(t)1

T

y(t)1

t

1

T

sTesG

·)( −=

sTsG

·1

1)(

+≈

sT )·2/(1−

a)

b)

a)

b)

c)Re

Im-2/T 2/T

Re

Im-1/T

b)

c)


t

-1

T

t

y(t)1

T

sT

sTsG

)·2/(1

)·2/(1)(

+

−≈

22

22

)·8/()·2/(1

)·8/()·2/(1)(

sTsT

sTsTsG

++

+−≈

c)

d)

c)

d)

Re

Re

Im2/T+j·2/T

2/T-j·2/T

-2/T+j·2/T

-2/T-j·2/T

d)

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