Analisis de Sistemas y Senales

Primera Practica de Laboratorio

Fabricio Puente Mansilla

17 de septiembre de 2015

1. Problema 1

1. En la Figura 1 se aprecia las diferentes representaciones de la graficaD(kg/m3) vs. h(Km) en escala lineal y logarıtmica.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4D vs. h − lineal/lineal

h(Km)

D(K

g/m

3)

100

101

102

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1D vs. h − log/lineal

h(Km)

D(K

g/m

3)

0 5 10 15 20 25 30 3510

−2

10−1

100

101

h(Km)

D(K

g/m

3)

D vs. h − lineal/log

100

101

102

10−2

10−1

100

h(Km)

D(K

g/m

3)

D vs. h − log/log

Figura 1: Grafica de D(kg/m3) vs. h(Km) en escala lineal y logarıtmica .

De la Figura 1 se aprecia a simple vista que la aproximacion exponencial esla mas adecuada. Para ajustar la curva usamos el codigo acontinuacion:

1 clear ; clc ;2 h = 0 : 3 : 3 3 ;3 D= [ 1 . 2 0 0 .91 0 .66 0 .47 0 .31 0 .19 0 .12 0 .075 0 .046

0 .029 0 .018 0 . 0 1 1 ] ;4

5 %Ajuste de curva6 p=polyf it (h , log (D) ,1 ) ;7 a=p (1)8 k=exp(p (2 ) )9

10 %Grafica de l a curva de a j u s t e11 hold on12 plot (h ,D, ’ o ’ ) ;

1

13 h a ju s t =0 : 0 . 0 1 : 3 3 ;14 D ajust=k∗exp( h a j u s t .∗ a ) ;15 plot ( h a jus t , D ajust , ’ r ’ ) ;16

17 grid on ;18 t i t l e ( ’D vs h ’ ) ;19 xlabel ( ’h (km) ’ ) ;20 ylabel ( ’D (Kg/mˆ3) ’ ) ;21 legend ( ’ Datos ’ , ’ Curva de a j u s t e (D = 1.53 e ˆ{(−0.1458 \

cdot h) }) ’ ) ;

Del ajuste de curva tenemos la siguiente funcion:

D = 1,5032 · e−0,1458·h

En la Figura 2 se aprecia la el ajuste y los datos.

0 5 10 15 20 25 30 350

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6D vs h

h (km)

D (

Kg/m

3)

Datos

Curva de ajuste(D = 1.53 e(−0.1458 ⋅ h)

)

Figura 2: Comparacion de datos y ajuste de curva.

2. Vamos a calcular σxy, de los ajustes de curva el que cuente con el menorvalor de este parametro sera la mejor aproximacion. Para ello usamos elsiguiente codigo:

1 clear ; clc ;2 h = 3 : 3 : 3 3 ;3 D= [ 0 . 9 1 0 .66 0 .47 0 .31 0 .19 0 .12 0 .075 0 .046 0 .029

0 .018 0 . 0 1 1 ] ;4

5 iden = ones (1 , length (h) ) ;6 N=length (h) ;7

8 %Ajuste l i n e a l9 p l=polyf it (h ,D, 1 ) ;

10 a l=p l (1 ) ;11 b l=p l (2 ) ;12 y l=(D−( a l ∗h+b l ) ) . ˆ 2 ;13 s 2 l=y l ∗ iden ’ ;14 o l=sqrt ( s 2 l /(N−2) )15

16 %Ajuste potenc ia17 p p=polyf it ( log (h) , log (D) ,1 ) ;

2

18 a p=p p (1) ;19 b p=exp( p p (2 ) ) ;20 y p=(D−(b p∗h . ˆ a p ) ) . ˆ 2 ;21 s2 p=y p∗ iden ’ ;22 o p=sqrt ( s2 p /(N−2) )23

24 %Ajuste exponenc ia l25 p e=polyf it (h , log (D) ,1 ) ;26 a e=p e (1 ) ;27 b e=exp( p e (2 ) ) ;28 y e=(D−(b e ∗exp( a e ∗h) ) ) . ˆ 2 ;29 s 2 e=y e ∗ iden ’ ;30 o e=sqrt ( s 2 e /(N−2) )31

32 %Logaritmico33 p l o=polyf it ( log (h) ,D, 1 ) ;34 a l o=p e (1 ) ;35 b l o=p e (2 ) ;36 y l o=(D−( a l o ∗ log (h)+b l o ) ) . ˆ 2 ;37 s 2 l o=y l o ∗ iden ’ ;38 o l o=sqrt ( s 2 l o /(N−2) )

De esto se obtiene:

σxy(lineal) = 0,1360

σxy(potencia) = 0,4461

σxy(exponencial) = 0,0592

σxy(logaritmico) = 0,2509

Donde claramente la exponencial es la mejor aproximacion.

2. Problema 2

1. A continuacion se muestra el codigo MatLab para generar la funcion v(t)y en la Figura3 la correspontiente grafica.

1 %Problema 2 par te a2

3 %Definimos tiempo ( t )4 t = −15 :0 .01 :25 ;5

6 %Generamos i n t e r v a l o s segun cada va l o r d i s t i n t o quetoma nuestra funcion

7 t1 = ( t>=−12)&(t<=−4) ;8 t2 = ( t>=−4)&(t<=4) ;9 t3 = ( t>=4)&(t<=12) ;

10 t4 = ( t>=12)&(t<=20) ;11

12 %Evaluamos en cada i n t e r v a l o de tiempo13 v1 = (−(5/16) ∗( t+8) .ˆ2+5) .∗ t1 ;14 v2 = ((5/16) ∗( t ) .ˆ2−5) .∗ t2 ;15 v3 = (−(5/16) ∗( t−8) .ˆ2+5) .∗ t3 ;16 v4 = ((5/16) ∗( t−16) .ˆ2−5) .∗ t4 ;17

18 %Sumamos cada uno de l o s r e su l t a do s19 v = v1 + v2 + v3 + v4 ;

3

20

21 %Graficamos l a funcion22 plot ( t , v , ’m’ , ’ l i n ew id th ’ , 2 )23 t i t l e ( ’ v ( t ) vs . t ’ )24 xlabel ( ’ t ’ )25 ylabel ( ’ v ( t ) ’ )26 axis ([−15 25 −6 6 ] )

−15 −10 −5 0 5 10 15 20 25−6

−4

−2

0

2

4

6v(t) vs. t

t

v(t

)

Figura 3: Funcion no periodica v(t).

2. Ahora acondicionamos el codigo anterior para generar una funcion quetenga como argumento el tiempo.

1 function s = v func ( t )2

3 t1 = ( t>=−12)&(t<=−4) ;4 v1 = (−(5/16) ∗( t+8) .ˆ2+5) .∗ t1 ;5

6 t2 = ( t>=−4)&(t<=4) ;7 v2 = ((5/16) ∗( t ) .ˆ2−5) .∗ t2 ;8

9 t3 = ( t>=4)&(t<=12) ;10 v3 = (−(5/16) ∗( t−8) .ˆ2+5) .∗ t3 ;11

12 t4 = ( t>=12)&(t<=20) ;13 v4 = ((5/16) ∗( t−16) .ˆ2−5) .∗ t4 ;14

15 %Concatenamos l o s d i v e r s o s va l o r e s de l a funcion16 s = v1 + v2 + v3 + v4 ;17 end

3. En la Figura 4 se muestra la senal h(t) = 14 − 2v(−0,25t + 2). Paracomprobar que nuestra grafica es correcta podemos hacer un cambio devariable t′ = −0,25t+ 2. De este modo tendıamos h(t′) = 14− 2v(t′).Paraconstatar usamos la siguiente tabla:

4

t t′ v(t’) h(t)56 -12 0 148 0 -5 24

-24 8 5 4-40 12 0 14

Cuadro 1: Distintos valores de h(t).

−80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80

0

5

10

15

20

25Función h(t)

t

h(t

)

Figura 4: Senal h(t).

3. Problema 3

Podemos definir analıticamente la senal v(t) como sigue:

v(t) =

− 5

16 (t+ 8)2 + 5; −12 < t < −4516 t

2 − 5); −4 < t < 4

− 516 (t− 8)2 + 5; 4 < t < 12

516 (t− 16)2 − 5; 12 < t < 20

(1)

1. Valor medio. Graficamente tambien se puede apreciar tiene igual areapositiva como negativa.

vmed =1

t1 − t2

∫ t2

t1

v(t)dt

vmed =1

32(

∫ −4−12

(− 5

16(t+ 8)2 + 5)dt+

∫ 4

−4(

5

16t2 − 5))dt+

+

∫ 12

4

(− 5

16(t− 8)2 + 5)dt+

∫ 20

12

(5

16(t− 16)2 − 5)dt)

vmed = 0

5

2. Valor eficaz

vefic =

√1

t1 − t2

∫ t2

t1

[v(t)]2dt

vefic = 3,5957

3. Es una senal energıa debido a que es finita en el tiempo.

4. Problema 4

1. En la Figura 5 se aprecia |V (ψ)| para ψε[−8π, ψ0].

−25 −20 −15 −10 −5 00

10

20

30

40

50

60

70

Onda de tensión en función de ψ

ψ

V(ψ

)

Figura 5: Magnitud de onda de tension.

El codigo utilizado se muestra acontinuacion:

1 clc2 clear3

4 %Definimos l o s parametros5 rho 0 = 0.3− j ∗ 0 . 4 ;6 the ta 0 = angle ( rho 0 ) ;7 V 0 = 50 ;8

9 %Definimos e l p s i y V( p s i )10 th = [−8∗pi : 0 . 1 : the ta 0 ] ;11 V theta = V 0 ∗(abs(1+abs ( rho 0 ) ∗( cos ( th )+ j ∗ sin ( th ) ) ) )

;12

13 %Graficamos14 plot ( th , V theta , ’ o ’ )

6

15 t i t l e ( ’Onda de t en s i on en func ion de \ p s i ’ )16 xlabel ( ’ \ p s i ’ )17 ylabel ( ’V(\ p s i ) ’ )18 axis ([−28 0 0 75 ] )19 grid on

2. En la Figura 6 se aprecia |V (x)| versus x/λ para xε[−2, 0], tomamos λ =10.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 020

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75Onda de tensión en función de la longitud de la línea de transmisión

x

ψ

Figura 6: Magnitud de onda de tension versus x/λ.

1 clc2 clear3 %Definimos l o s parametros4 rho 0 = 0.3− j ∗ 0 . 4 ;5 the ta 0 = angle ( rho 0 ) ;6 V 0 = 50 ;7 x = −2 :0 . 001 :0 ;8 %Definimos e l p s i y V( p s i )9 lambda = 10 ;

10 lambda2 = 30 ;11 p s i = ((4∗ pi ) /( lambda ) ) ∗x + the ta 0 ;12 ps i 2 = ((4∗ pi ) /( lambda2 ) ) ∗x + the ta 0 ;13

14 V x = V 0 ∗(abs(1+abs ( rho 0 ) ∗( cos ( p s i )+ j ∗ sin ( p s i ) ) ) ) ;15 V x2 = V 0 ∗(abs(1+abs ( rho 0 ) ∗( cos ( p s i 2 )+ j ∗ sin ( p s i 2 ) ) )

) ;16

17 %Graficamos18 plot ( x/lambda2 , V x2 , ’ l i n ew id th ’ , 2 )19 t i t l e ( ’Onda de t en s i on en func ion de l a l ong i tud de l a

l i n e a de t ransmis ion ’ )

7

20 xlabel ( ’ x ’ )21 ylabel ( ’ \ p s i ’ )22 axis ( [−0.2 0 20 75 ] )23 grid on

En la Figura 7 se aprecia la magnitud de una onda de tension para unalongitud de onda distinta λ = 5.

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 020

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75Onda de tensión en función de la longitud de la línea de transmisión

x

ψ

Figura 7: Magnitud de onda de tension versus x/λ.

5. Problema 5

Como sabemos el sistema es LTI, para obtener la solucion vamos a usar lasiguiente propiedad de convolucion:

r(t) ∗ h(t) = g(t)

r′(t) ∗ h(t) = g′(t)

En Figura 8 se aprecia la respuesta del sistema a un inputx2(t).

1 t= 0 : 0 . 0 0 1 : 5 ;2 y1=(t<1) . ∗ ( t+exp(−t )−1) ;3 y2=(1<=t ) . ∗ ( exp(−t )+1−exp(−( t−1) ) ) ;4 y=y1+y2 ;5 plot ( t , y , ’ r ’ , ’ l i n ew id th ’ , 2 )6 grid on7 xlabel ( ’ t ’ )8 ylabel ( ’ y2 ( t ) ’ )9 axis ( [ 0 5 0 1 .1∗max( y ) ] ) ;

8

0 1 2 3 4 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

t

y2

(t)

Figura 8: Respuesta del sistema H(w) a un input x2(t).

9