Unidad 3. Anlisis dimensional y similitud dinmicaLos parmetros adimensionales profundizan de manera significativa nuestra comprensin de los fenmenos de flujo de fluidos en forma parecida al caso de un gato hidrulico, donde la relacin de los dimetros de pistn determina la ventaja mecnica, un numero adimensional que es independiente del tamao total del gato; permiten aplicar resultados experimentales limitados en nmero a situaciones en que se tengan diferentes dimensiones fsicas y, a veces, diferentes propiedades de fluido. Los conceptos de anlisis dimensional presentados en este captulo, ms una comprensin de la mecnica del tipo de flujo en estudio, hacen posible realizar esta generalizacin de datos experimentales. La consecuencia de tal generalizacin es mltiple, ya que ahora se puede describir el fenmeno en su totalidad sin estar restringido a la discusin del experimento especializado que se realiz. As, es posible realizar menor nmero de experimentos, aunque de carcter altamente selectivo, para describir las facetas escondidas del problema y lograr as importantes ahorros de tiempo y dinero. Los resultados de una investigacin se pueden tambin presentar a otros ingenieros y cientficos en una forma ms compacta y significativa para facilitar su uso. Igualmente importante es el hecho que, a travs de tales presentaciones incisivas y ordenadas de informacin, los investigadores pueden descubrir nuevas caractersticas y reas faltantes de conocimientos del problema en estudio. Este avance dirigido de nuestra comprensin de un fenmeno seria perjudicado si no se contara con las herramientas de anlisis dimensional. En el siguiente captulo, que se relaciona primordialmente con efectos viscosos, un parmetro es altamente significativo; p. ej.. el nmero de Reynolds. Muchos de los parmetros dimensionales pueden verse como la razn de un par de fuerzas de fluidos, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas fuerzas en una situacin de flujo particular son mucho mayores que otras, es posible despreciar el efecto de las fuerzas ms pequeas y tratar el fenmeno como si fuera determinado completamente por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden usar procedimientos matemticos y experimentales ms sencillos, aunque no necesariamente ms fciles, para resolver el problema. Para situaciones con varias fuerzas de la misma magnitud, tales como fuerzas de inercia, de viscosidad y gravitacionales, se requieren tcnicas especiales. Despus de una discusin de dimensiones, anlisis dimensional y parmetros adimensionales, se presentan estudios de similitud dinmica y de modelos.

3.1 Definicin hidrulicos

de

anlisis

dimensional

modelos

Anlisis dimensional El anlisis dimensional trata de las relaciones matemticas de las dimensiones de las magnitudes fsicas y constituye otra herramienta muy til de la moderna

mecnica de los fluidos. En toda ecuacin que exprese una relacin fsica entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numricos y tambin por sus dimensiones. En general, todas las relaciones fsicas puede reducirse a una relacin entre las magnitudes fundamentales, fuerza F, longitud L y tiempo T (o bien la masa M , longitud L y tiempo T ) . Entre las aplicaciones se incluyen (1) conversin de un sistema d unidades en otro, (2) desarrollo de ecuaciones, (3) reduccin del nmero de variables requeridas en u programa experimental y (4) establecimiento de los principios para el diseo de modelos. El Anlisis Dimensional tiene aplicaciones en: 1. Deteccin de errores de clculo. 2. Resolucin de problemas cuya solucin directa conlleva dificultades matemticas insalvables. Por ejemplo, Rayleigh, precursor del Anlisis Dimensional junto a Fourier, lo empleo por primera vez en Mecnica de Fluidos. 3. Creacin y estudio de modelos reducidos. Por ejemplo, los tneles aerodinmicos. 4. Consideraciones sobre la influencia de posibles cambios en los modelos, tanto cambios reales como imaginarios. Maquinaria hidrulica La velocidad de rotacin de maquinaria hidrulica presenta una variable adicional. Las partes mviles en una mquina hidrulica requieren un parmetro adicional para asegurar que los patrones de la lnea de corriente sean similares en el modelo y en el prototipo. Este parmetro debe relacionar el flujo (descarga) con la velocidad de las partes mviles. Para mquinas geomtricamente similares, si los diagramas vectoriales de velocidad que entran o salen de las partes en movimiento son similares, se dice que las unidades son homlogos, es decir, que para propsitos prcticos existe similitud dinmica. El nmero de Froude no es importante, pero los efectos del nmero de Reynolds (llamados efectos de escala porque es imposible mantener el mismo nmero de Reynolds en unidades homlogas) pueden causar una discrepancia de 2 o 3% en la eficiencia entre el modelo y el prototipo. El nmero de Mach tambin es de importancia en los compresores de flujo axial y en turbinas de gas. Los modelos hidrulicos, en general, pueden ser o bien modelos verdaderos o modelos distorsionados. Los modelos verdaderos tienen todas las caractersticas significativas del prototipo reproducidas a

escala (semejanza geomtrica) y satisfacen todas las restricciones de diseo (semejanza cinemtica y dinmica). El estudio comparativo entre modelo y prototipo ha mostrado con evidencia que la correspondencia de comportamiento es frecuentemente buena, fuera de las limitaciones esperadas como lo atestigua el correcto funcionamiento de muchas estructuras diseadas a partir de ensayos sobre modelos.Ejemplo 4.6 Los coeficientes de vlvula K = p/( V2 /2) para una vlvula de 600 mm de

dimetro se determinarn de pruebas sobre una vlvula geomtricamente similar de 300 mm de dimetro usando aire atmosfrico a 80F. Los lmites de pruebas deben ser para el flujo de agua a 70 F entre 1 y 2.5 m/s. Qu lmites de flujos de aire se necesitan? SOLUCIN: Los lmites del nmero de Reynolds para la vlvula prototipo son

( )min=

(

)

= 610,000

( )max 610,00(2.5)=1,525,000Para pruebas con aire a 80 F

= (1.8 X10-4 ft2/s)(0.3048m/ft)2 = 1,672 X10-5 m2/sEntonces los limites de de las velocidades del aire son

= 610,000 =1,525,000

Vmin= 30.6 m/s Vmax=85 m/s

min

= /4(0.3m)2 (30.6 m/s) = 2.16 m3/s = /4(0.3m)2 (85 m/s) = 6.0 m3/s

max

3.2 Semejanza geomtrica, cinemtica y dinmica Semejanza geomtrica Entre el modelo y el prototipo existe semejanza geomtrica cuando las relaciones entre todas las dimensiones correspondientes u homlogas en modelo y prototipo son iguales. Tales relaciones pueden escribirse

(1)

(2)

Semejanza cinemtica Entre modelo y prototipo existe semejanza cinemtica si (1) las trayectorias de las partculas mviles homlogas son geomtricamente semejantes y (2) las relaciones entre las velocidades de las partculas homlogas son iguales. A continuacin se dan las siguientes relaciones tiles:

(1)

(2)

(3)

Semejanza dinmica Entre dos sistemas semejantes geomtrica y cinemticamente existe semejanza dinmica si las relaciones entre las fuerzas homlogas en modelo y prototipo son las mismas. Las condiciones requeridas para la semejanza completa se obtienen a partir del Segundo principio del movimiento de Newton, . Las fuerzas que actan pueden ser cualquiera de ]as siguientes, o una combinacin de las mismas: fuerzas viscosas, fuerzas debidas a la presin, fuerzas gravitatorias, fuerzas debidas a la tensin superficial y fuerzas elsticas. Entre modelo y prototipo se desarrolla la siguiente relacin de fuerzas:

3.3 Parmetros adimensionalesLos cinco parmetros adimensionales coeficiente de presin, nmero de Reynolds, nmero de Froude. Nmero de Weber y nmero de Mach son importantes en la correlacin de datos experimentales. Se estudian en esta seccin, haciendo resaltar la importancia en la relacin del coeficiente de presin con los oros parmetros.

Coeficiente de presinEl coeficiente de presin p / ( p V 2 / 2 ) es la razn de la presin a la presin dinmica. Cuando se multiplica por el rea, es la relacin Je la fuerza de presin a la fuerza inercial, como ( p \ n / 2 ) A sera la tuerza necesaria para reducir la velocidad a cero. Tambin se puede escribir como h / ( V 2 / 2 g ) por divisin entre . Para flujo en tubos la ecuacin de Darcy-Weisbach relaciona las prdidas hf con la longitud del tubo L, el dimetro D y la velocidad V por medio de un factor f de friccin adimensional

o ya que Se muestra que fL/D es igual al coeficiente ce la. En flujo dentro de un tubo, la gravedad no influye sobre las perdidas; por lo tanto, F se puede eliminar. En forma similar, la tensin superficial no tiene efecto y W te descarta. Para flujo de lquido a rgimen permanente, la compresibilidad no es importante y M se descarta. I puede referirse D;/,a la proyeccin de altura de la rugosidad en la pared del tubo; y l2 a su espaciamiento ; de aqu,

Los problemas de flujo en tubo se tratan en los captulos 5, 7 y 11. Si la compresibilidad es importante.

Los problemas de flujo compresible se estudian en el captulo 7. En el caso de flujo a travs de un orificio, estudiado en el captulo 9, V=C

en la que l puede referirse al dimetro del orificio y /1 y /2 a las dimensiones corriente arriba. La viscosidad y tensin superficial no son importantes para orificios grandes y fluidos de viscosidad baja, ya que los numeradores de los nmeros de Reynolds y de Weber son muy grandes comparados con sus denominadores. Los efectos de la compresibilidad no son importantes cuando el nmero de Mach es pequeo comparado con 1. Adquieren importancia cuando el nmero de Mach se acerca a la unidad o es mayor que ella. En el caso de flujo a rgimen permanente por canal abierto, estudiado en el captulo 5. La frmula de Chzy relaciona la velocidad promedio V, la inclinacin S del canal y el radio K hidrulico de la seccin transversal (rea de la seccin dividido entre el permetro mojado) mediante

C es un coeficiente que depende del tamao, forma y rugosidad del canal. Entonces

ya que los efectos de la tensin superficial y de la compresibilidad generalmente no son importantes. El arrastre F sobre un cuerpo se expresa por F= C D A V2 /2. En la que A es un rea caracterstica del cuerpo, generalmente la proyeccin del cuerpo sobre un plano normal al flujo. Entonces F/A es equivalente a p, y

El trmino R se relaciona con el arrastre por friccin pelicular debido al corte viscoso as como con el arrastre de forma, o perfil, que es causado por la separacin entre las lneas de corriente del flujo y el cuerpo; F est relacionado con el arrastre de onda si hay una superficie libre: para nmeros grandes de Mach CD puede variar ms marcadamente con M que con otros parmetros; las razones de longitud pueden referirse a la forma o rugosidad de la superficie.

Nmero de Reynolds El nmero de Reynolds VD/ es la razn de las fuerzas inerciales a las fuerzas viscosas. Un nmero crtico de Reynolds hace distincin entre regmenes de flujo, tales como flujo laminar o turbulento en tubos, en la capa limite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situacin. En flujo compresible, el nmero de Mach es generalmente ms significativo que el nmero de Reynolds. El nmero de Froude El nmero de Froude V/ , al elevarse al cuadrado y despus multiplicarse y dividirse por A, es una razn de fuerza dinmica (o de inercia) a la fuerza de la gravedad. Con flujo de superficie lquida libre (/ reemplazaba por la profundidad y) la naturaleza del flujo (rpido" o tranquilo) depende de si el nmero de Froude es mayor o menor que la unidad. Es til en los clculos de sallo hidrulico, en el diseo de estructuras hidrulicas, y en el diseo de barcos. El nmero de Weber El nmero de Weber V2l/ es la razn de las fuerzas inerciales a las fuerzas de tensin superficial (evidente cuando el numerador y denominador se multiplican por L.). Es importante en interfases gas-liquido o lquido-liquido y tambin donde esta

interfases estn en contactos con una frontera. La tensin superficial causa pequeas ondas (capilares) y formacin de gotas; tiene un efecto en la descarga de orificio y vertederos con cargas muy pequeas. El efecto de la tensin superficial sobre la propagacin de ondas se muestra en la figura 4.1. A la izquierda del mnimo de la curva, la velocidad de la onda es controlada por la tensin superficial (las ondas se llaman rizos), y a la derecha del mnimo de la curva los efectos de gravedad son dominantes.

Nmero de Mach La velocidad del sonido en un liquido se escribe K/ si K es el mdulo elstico a la compresin o c = KTT (K es la razn del calor especifico y T la temperatura

absoluta para un gas perfecto). V/c o V/ R/ es el nmero de Mach. Es una medida de la razn de fuerzas inerciales a las fuerzas elsticas. Cuando V/c se eleva al cuadrado y se multiplica por A / 2 en el numerador y denominador, el numerador es la fuerza dinmica y el denominador es la fuerza dinmica en flujo snico. Tambin se puede mostrar como una medida de la razn de la energa cintica del flujo a la energa interna del fluido. Es el parmetro correlativo ms importante cuando las velocidades estn cercanas o arriba de las velocidades snicas locales.

3.4 Teorema de PI de BuckinghamEl teorema de Buckingham demuestra que, en un problema fsico que incluye n cantidades en las que hay m dimensiones, las cantidades se pueden ordenar en n-m parmetros adimensionales independientes. Sean A 1 A 2 , A 3 ..A n las cantidades implicadas, tales como la presin, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales a la solucin, por lo que debe existir alguna relacin funcional F (A 1 A2. A 3 ,..A,) - 0 (4.3.1)

Si 1, 2, ..... representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A 1 , A2 A1, ... entonces con m dimensiones implicadas, existe una ecuacin de la forma f ( 1 , 2 , 3 ,..., n - m )=o (4.3.2)

La prueba del teorema se puede encontrar en las referencias I y 2. El mtodo para determinar los parmetros consiste en seleccionar m de las cantidades A, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones y usarlas como variables repetitivas* junto con una de las otras A cantidades para cada . Por ejemplo, sea que A1 A2, A3 contengan M, L y T, no necesariamente en cada una, sino en forma colectiva. Entonces el primer parmetro est compuesto como 1 = el segundo como 2= y asi hasta n-m=1 2 3An 1 2 3A5 1 2 3A4

(4.3.3)

En estas ecuaciones se determinarn los exponentes para que cada sea adimensional. Las dimensiones de las cantidades A se sustituyen y los exponentes de M, L y T se fijan iguales a cero respectivamente. stos producen tres ecuaciones con tres Incgnitas para cada parmetro , con lo que se pueden determinar los exponentes x, y, z y de aqu el parmetro . Si slo estn implicadas dos dimensiones, dos de las cantidades A se escogen como variables repetitivas y se obtienen dos ecuaciones con los dos exponentes incgnitos pata cada trmino de .

En muchos casos la agrupacin de trminos A es tal que el arreglo adimensional n evidente por inspeccin. El caso ms simple es aquel cuando dos cantidades tienen las mismas dimensiones, por ejemplo, longitud, la razn de estos dos trminos siendo el parmetro . El procedimiento queda mejor ilustrado por varios ejemplos. Ejemplo 4.1 La descarga por un tubo capilar horizontal se piensa que depende de la cada de presin por unidad de longitud, el dimetro y la viscosidad. Encuntrese la forma de la ecuacin. SOLUCIN: Las cantidades son listadas con sus dimensiones: Cantidad Descarga Cada de presin por unidad de longitud Diametro Viscosidad Simbolo Q p D Dimensiones L3T-1 ML-2T-2 L ML - 1 T-1

*Es esencial que ninguna de las m cantidades seleccionadas usadas como variables repetitivas se pueden obtener a partir de las dems variables repetitivas.

Entonces

Sustituyendo en las dimensiones da = (L 3 T -1 (ML -2 T -2

ML -1 T -1 =M 0 L0 T 0

Los exponentes de cada dimensin deben ser iguales en ambos lados de la ecuacin. Con L primero, 3x1 - 2y1 + z1 - 1 = 0 e igualmente para M y T y1+1=0 - x1 - 2y1 - 1=0 de la cual x1 =1 , y1= -1 , z1= -4 y =

Despus de resolver para Q. Q=

C

de la cual el anlisis dimensional no produce informacin sobre el valor numrico de la constante adimensional C; la experimentacin (o el anlisis) muestra que es /128.

Cuando se usa el anlisis dimensional, deben conocerse las variables en un problema. En el ltimo ejemplo, si se hubiera usado la viscosidad cinemtica en lu- ar de la viscosidad dinmica, hubiera resultado una frmula incorrecta. Ejemplo 4.2 Se tiene un vertedero triangular como se muestra en V vertical, con una muesca en Angulo cortada por arriba de ella y colocado a travs de un canal abierto. El liquido en el canal esta acumulado y forzado a fluir por la muesca. La descarga Q es alguna funcin de la elevacin H de la superficie del lquido corriente arriba, por arriba del fondo de la muesca. Adems, la descarga depende de la gravedad y de la velocidad V0 con que llega al vertedero. Determine la forma de la ecuacin de descarga. Solucin: Una relacin funcional F (Q, H, g, V0, )=0 va a agruparse en parmetros adimensionales. es adimensional; por tanto, es un parmetro . Slo se usan den dimensiones, L y T. Si f y H son las variables repetitivas, = Entonces x1+y1+3= 0 -2y1-1=0 De las cuales x1= , y1= , x2=

Q=

(LT-2

L3T-1

x2+y2+1=0 -2y1-1=0 y 1 = , =

, y2= ,

1 = O f( Esto se puede escritor

,

, )=0

=f1 (

,)

En la que ambos, f y f1 son funciones incongnitas. Despues de resolver para Q, Q=

f1

, )

Se requiere ya sea experimentacin o analisis para obtener informacin adicional sobre la f1. Si se han seleccionado H y V0 como variables repetitivas en lugar de g y H. 1 =0Q

=

(LT-1

L3T-1

1 = Entonces X1+y1+3=0 -y1-1=0

0Q

=

(LT-1

LT-2

X2+y2+3=0 -y2-1=0

de la cual x1= -2, y1 = -1. X2 = I, y2 = -2, y 1= O f( )=0 2= 3=

Ya que aiiIquiera de los parmetros se pueden invertir o elvarse a cualquier potencia sin afectar citado adimcniional, Q= V0H2f2 ( , )

La funcin incgnita tiene los mismos parmetros que f1, pero no podra ser la misma funcin .La ultima forma muy til, en general, porque se puede depreciar V0 en vertederos de ranura en V. Esta muestra que no debe seleccionarse un trmino de menor importancia como variable repetitiva. Otro mtodo para determinar juegos alternativos de los parmetros seria la recombinacin arbitraria del primer conjunto. Si se conocen cuatro parmetros II independientes, 1, 2, 3, 4 el trmino a= Con los exponentes escogidos a voluntad, producira un nuevo parmetro. Entonces a, 2, 3, 4, constituirn un nuevo conjunto. Se puede continuar con este procedimiento para encontrar todos los conjuntos posibles. Los pasos en un anlisis dimensional se pueden resumir como sigue: Seleccionar las variables pertinentes. Esto requiere algunos conocimientos del proceso. Escribir las relaciones funcionales; por ejemplo, F(V, D. p, c, //) = 0 3. Seleccionar las variables repetitivas. (No hacer la cantidad dependiente una variable repetitiva.) Estas variables deben contener todas las m dimensiones del problema. Frecuentemente se selecciona una variable porque especifica la escala, otra las condiciones cinemticas; y en los casos de mayor inters en este captulo una variable que est relacionada con las fuerzas o masa del sistema; por ejemplo. Se seleccionan D, V, o. 4. Escribir los parmetros II en trminos de exponentes incgnitos; por ejemplo. 1= Vx1Dy1z1 = (LT-1)x1Ly1(ML-3)z1ML-1T-1

5. Para cada una de las expresiones II escribir las ecuaciones de los exponentes. de manera que la suma de los exponentes de cada dimensin sea cero. 6. Resolver las ecuaciones simultneamente. 7. Sustituir en las expresiones II del paso 4 los exponentes para obtener los parmetros FI adimensionales. 8. Establecer la relacin funcional. f1=(1, 2, 3,,n-m)=0

O resolver para uno de los explcitamente: 2=f (1, 3,., n-m) 9. Recombinar, si se desea, para alterar las formas de los parmetros . manteniendo el mismo nmero de parmetros independientes. Formulacin alternativa de los parmetros Un mtodo rpido para obtener parmetros , desarrollado por Hunsaker y Rightmire, utiliza las variables repetitivas como cantidades primarias y resuelve para M. I. y T funcin de ellas. En d ejemplo 4.3 las variables repetitivas son V, D. y , por lo cual, V=LT -1 L=D D=L T=DV -1 =ML -3 M=D 3

Ahora, por las ecuaciones (4.3.4) = ML-1T-1= D3D-1D-1V = DV de aqu que el parmetro es 1= Las ecuaciones (4.3.4) se pueden usar directamente para encontrarlos otros parmetros . Para 2 g = LT - 2 = DD - 2 V 2 =V 2 D - 1 y 2=

=

Este mtodo no requiere la solucin repetida de tres ecuaciones en tres incgnitas para la interminacin de cada parmetro .

Bibliografa: Mecnica de Fluidos. Victor L. Streeter, E. Benjamin Wylie Keith W. Bedford 3 Edicion Editorial: Mc Graw Hill Mecnica de Fluidos e Hidrulica. Ranald V. Giles Editorial: Mc Graw Hill

Internet: http://www.ugr.es/~andyk/Docencia/TEB/Tema5.pdf

INSTITUTO TECNOLGICO DE ACAPULCO

Mecnica de fluidosUNIDAD 3:Anlisis dimensional y similitud dinmica

Profesora: Ing. Francisco BarrientosAlumno: Beatriz Victoriano Merino

No. Control: 09320493