Analisis Estructural - Cálculo matricial de las deformaciones - Vigas continuas

8/6/2019 Analisis Estructural - Clculo matricial de las deformaciones - Vigas continuas

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Universitat de les Illes Balears Arquitectura Tcnica Departament de Fsica

ANALISIS ESTRUCTURAL

CALCULO MATRICIAL DE LASDEFORMACIONES

Rigideces de una barraVigas continuas

Resistencia de Materials Prof: Mateu Moy Borrs


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ANALISIS ESTRUCTURALCALCULO MATRICIAL DE LAS DEFORMACIONES

Metodo de Rigidez

Relaciona las acciones que inciden sobre una estructura con lasdeformaciones resultantes en la misma (giros y desplazamientos de los nudos)a travs de la Rigidez.

Accin = Rigidez x Deformacin

En el caso del metodo matricial restringido se considera que todas lasbarras son de longitud inalterable, es decir que no se acortan por el efecto delos esfuerzos normales. Este mtodo permite calcular la mayora de estructurasen edificacin sin que la simplificacin afecte de manera significativa a los

resultados.

Los nudos de la barra podrn desplazarse en el sentido de las flechas,es decir, perpendicularmente a la directriz inicial de la barra:

Puede considerarse un desplazamiento perpendicular de los extremosya que el arco de circunferencia que describira es sumamente pequeo debidoa la pequeez de las deformaciones.

El movivimento de la barra ir acompaado de unos giros en susextremos (dependiendo del grado de empotramiento de los mismos) y/o de undesplazamiento relativo de sus extremos.

= desplazamiento relativo entre los nudos= giro que se produce en el nudo.

Rigidez: Es la accin necesaria aplicar para ques e produzca una deformacinunitaria.



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Si Def. = 1 Accin = Deformacin

Criterio de signos en analisis extructural:

Giros: antihorario (+)Horario (-)

Movimientos: (+) (-)

Clculo de las rigideces

Supongamos una barra a la que se le produce un giro unidad (1 radin)

en uno de sus extremos; cero en el otro y despalzamiento entre los nudostambin cero. Es decir, la barra puede girar en uno de sus extremos y tiene unempotramiento perfecto en el otro.

1rad I = 1; D =0; = 0

Para que dicha situacin de movimientos sea posible debern aparecer unosmomentos M y M.

M

M M+M

Pero si solo apareciesen los momentos, la barra giraria debido al parM+M, por lo que para que la barra permanezca en posicin deben aparecerunas fuerzas que anulen dicho par.

T

MM

T

Las fuerzas que deben aparecer para que se produzca esta deformacinunitaria (giro 1 rad.) corresponden a las rigideces de la barra.

A continuacin deduciremos el valor de M, M y T a partir de losteoremas de Mohr.



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EI

UV

AB

A

BA == 0 (*3)0=AB

AU

Ahora podemos tomar dos de las tres condiciones halladas paraestablecer un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas y deducir el valorde M y M:

EIAB = 0=AB

AU

EILMML

=+

2

'

2

0

3

2*

2

'

3

*

2

=+ LLMLML

L

EIM

2'= ,,

L

EIM

4=

Ahora ya conocemos los valores de M y M que producen la deformacin(giro) de la barra, pero nos falta determinar los valores de T para que losextremos se mantengan en su posicin inical:

T LTL

EI*

6= ,,

2

6

L

EIT =

L

EI6

T

M, M y T seran por tanto las fuerzas necesarias aplicar a una barrapara producir una deformacin de un giro unitario (1 rad) en uno de susextremos y las denominaremos rigideces.

L

EI6

L

EI4

L

EI2

L

EI6

Cada una de las rigideces relaciona la accin necesaria aplicar en esenudo (M o T) con la deformacin que se produce (giro () o desplazamiento()). Utilizaremos los subindices G y D segn el siguiente cuadro:



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Giro (G) Desplazamiento (D)Accin M T

Deformacin

KGD

KGG KGG

KGD

Como en la realidad el ngulo nunca ser 1 radian, el valor de lasfuerzas que apareceran en los nudos seran el giro que se produjesemultiplicado por la rigidez correspondiente:

= i K* i KGG* iKGD* i(...)

A continuacin analizaremos una barra en la que se produce undesplazamiento relativo unitario entre sus nudos extremos y suponiendo quesus extremos permanecen como empotramientos perfectos. Para ello sernecesario aplicar unos momentos (M , M) y unas fuerzas (T) compatibles conla deformacin propuesta:

T1 M

T M

M (-)

(+) M

0==

AB

AB

EI 0=AB M = M

1=BA

V 11

*)3

2*

23

1*

2( =+

EI

LMLML 2

6

L

EIM =



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M+M T

T2

12

L

EI LT

L

EI*

122= 3

12

L

EIT=

KGD KDD

KDD KGD

En el caso de que uno de los extremos de la barra fuese unaarticulacin, en ese nudo no aparecen momentos que se opongan a ladeformacin y las rigideces quedaran como sigue:

KDDL

EIKGG

3=

0

1rad 0' =GGK

KGG

KDD 2

3

L

EIKDD =

1 KGD KDD 2

3

L

EIKGD =

KDD 0

0)( =BGDK

3

3

L

EIKDD =

En el caso general que nos encontremos con giro en los dos extremosde la barra y, adems, despalazmiento relativo entre los nudos

T

Mi Md T



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Lo descompondremos en tres ecuaciones:

- Primero el giro izquierdo = 1, el giro derecho = 0 y el desplazamiento = 0

- Segundo: giro izquierdo = 0, giro derecho = 1 y desplazamiento = 0- Tercero: giro izquierdo =0, giro derecho = 0 y desplazamienmto = 1

Con lo que se puede establecer la siguiente matriz:

i=1 d=0 = 0

i=0 d=1 = 0

i=0 d=0 = 1

Mi KGG KGG KGD iMd = KGG KGG KGD * dT KGD KGD KDD

Accin = Rigidez * Deformacin

De esta manera quedan relacionadas las acciones en los nudos de unabarra con las deformaciones en los mismos a travs de las rigideces de labarra.

Ejemplo:

Calcular la siguiente viga continua:

2T 4T 5T 2T/m

1m 2m 4m 2m 2m 6m

A B C D

El giro que se producir en los apoyos A, B y C estar condicionado porlas cargas a izquierda y derecha de los mismos y por las rigideces respectivasde las vigas que los acometen.

El nudo A, al tener un voladizo en uno de sus lados, podemos considerarque gira libremente, lo cual simplifica el clculo sin que practicamente seaprecie en los resultados.

En primer lugar calcularemos cada tramo de viga como si sus nudosfueran empotramientos, es decir, calcularemos sus momentos hiperestticos.



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El voladizo del apoyo A lo sustituimos por el momento que producesobre el apoyo.

El criterio de signos ser el expuesto al principio del tema.

Tramo AB:

4T 2T/m

MBA mTQl

l

alPaM

BA 06,115.182

)(2

2

22

=+

=

3mT

Tramo BC:

2T/m 5T

MBC MCB mTPlQl

MBC

17.5812

2

=+= mTMCB 17.5=

Tramo CD:

2T/m mTQl

MCD 00,6

12

2

== mTMDC 00,6=

M

CDM

DC

Juntando los tres tramos nos quedara:

-3 3 -11,06 5,17 -5,17 6,00 -6,00

Estos resultados solo seran correctos en caso de que los apoyos B y Cfueran empotramientos perfectos.

En nuestro caso, los momentos a izquierda y derecha de cada apoyodebern equilibrarse en funcin de las rigideces de las vigas que los acometen.Ello tambin afectar al empotramiento D.

A continuacin vamos a calcular las rigideces de las barras en funcindel giro de cada nudo (solamente B y C ya que D es un empotramiento perfectoy no girar).



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Si consideramos que la viga es de seccin y material constante,podemos sustituir el mdulo de elasticidad y el momento de inercia por 1 al sercomunes a todas las frmulas de las rigideces.

Por otro lado, si imponemos la condicin de que en los apoyos de la viga

no puede producirse ningun descenso, podremos prescindir de los valores KGDy KDD.

En primer lugar impondremos un giro unitario al nudo B manteniendo elnudo C como empotramiento perfecto:

0.50 0.50

A B 1.00 C

Tramo AB: M G

G 50.06

33===

L

EIKGG ,, 0' =GGK

Tramo BC: M G

G 00.14

44===

L

EIK

GG,, 50.0

4

22'

===L

EIK

GG

A continuacin impondremos un giro unitario al nudo C manteniendo elnudo B como empotramiento perfecto:

1.00 0.33

A B 0.50 C 0.67

Tramo BC: 00.14

44===

L

EIK

GG,, 50.0

2' ==

L

EIK

GG

Tramo CD: 67.06

44===

L

EIKGG ,, 33.0

6

22'

===L

EIKGG

Como ya se ha explicado anteriormente, los valores de las rigidecesseran los momentos necesarios a aplicar en los nudos para que estos girasenla unidad (1 radian).



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Pero como en la realidad los nudos solo giran una pequea fraccin, losmomentos que aparezcan en los nudos por efecto de estos giros sern el valorde las rigideces por el giro real de cada nudo.

El momento final en cada nudo ser la suma de estos momentos mas

los momentos hiperestticos hallados inicialmente.

Para ello plantearemos el equilibrio esttico de cada nudo, es decir, quela suma de todos los momentos en un nudo sea igual al momento puro quehaya en l.

En nuestro caso: Momento puro en B=0Momento puro en C=0

Por tanto las ecuaciones de equilibrio en B y C sern:

0 = -11,06+5,17+(1+0,5)B+0,5c =-5,93+1,5B+0,5c B= 4.5460 = -5,17+6,00+0,5B+(1+0,67)c =0,83+0,5B+1,67c C= -1.858

En consecuencia, los momentos reales que se producirn en cadaextremo de barra debido al giro de los nudos ser:

mTKM BAB

GG

AB

BA 273,250,0*546,4* ===

mTKKM CBC

GGB

BC

GG

BC

BC 617,350.0*858,100,1*546,4** ' ==+=

mTKKM BBC

GGC

BC

GG

BC

CB 415.050,0*546,400,1*858,1** ' =+=+=

mTKM CCD

GG

CD

CD 239,167,0*858,1* ===

mTKM CCD

GG

CD

DC 619,033,0*858,1*' ===

Sumando estos momentos a los momentos hiperestticos de cada barra,tentremos el equilibrio de momentos en los nudos (apoyos) de la viga:

-3,00 3,00 -11,06 5,15 -5,17 6,00 -6,002,273 3,617 0,415 -1,239 -0,619

--------- --------- --------- --------- -----------8,79 8,79 -4,76 4,76 -6,619

Una vez hallado el diagrama de momentos hiperestticos de la viga,representado por (---) en el dibujo siguiente ser necesario colgar del mismo losdiagramas isostticos de cada una de las vigas, teniendo en cuenta que el calculoisosttico del tramo AB se hara incluyendo el voladizo:



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A B C D

A continuacin plantearemos el mismo problema en forma matricial:

Las ecuaciones de equilibrio en los nudos de la estructura quedara de lasiguiente forma:

0 -5,89 1,50 0,50 B= + *

0 0,83 0,50 1,67 C

Para obtener los momentos finales en los extremos de barrasplanteariamos:

MAB -11,06 0,50 0MBC 5,17 1,00 0,50 BMCB = -5,17 + 0,50 1,00 *MCD 6,00 0 0,67 CMDC -6,00 0 0,33


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