Análisis Fractal

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 CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA SECCIÓN DE BIOELECTRÓNICA Tecnologías Avanzadas en Bioinstrumentación A ANÁLISIS NÁLISIS F F RACTAL RACTAL Ortega Robles Emmanuel Daniel 22 de Febrero de 2011 CONTENIDO

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- Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal. - Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal. - Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica. - Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.

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CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DE ESTUDIOSAVANZADOS DEL IPN

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICASECCIÓN DE BIOELECTRÓNICA

Tecnologías Avanzadas en Bioinstrumentación

AANÁLISISNÁLISIS FFRACTALRACTAL

Ortega Robles Emmanuel Daniel

22 de Febrero de 2011

CONTENIDO

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1 OBJETIVOS 22 JUSTIFICACIÓN 23 INTRODUCCIÓN 2

4 ANTECEDENTES 35 GEOMETRÍA FRACTAL 5

5.1 CONCEPTO DE FRACTAL 55.2 DIMENSIÓN FRACTAL 65.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS 8

5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA 105.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT 12

5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL 135.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES 13

6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES 146.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA 146.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y 15

7 ANÁLISIS FRACTAL 177.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING). 187.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS). 19

7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO. 207.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM). 21

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7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O 227.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA) 237.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA. 24

7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL. 247.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL 25

8 CONCLUSIONES 269 REFERENCIAS 26

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1 OBJETIVOS

Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometríafractal.Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal.Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y losmétodos de análisis basados en esta técnica.Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de lasherramientas derivadas de la geometría fractal.

2 JUSTIFICACIÓN

Los métodos de análisis fractal han demostrado ser una herramienta con ungran potencial para el estudio de datos y la obtención de información endistintas ramas del conocimiento.

3 INTRODUCCIÓN

Cuando intentamos comprender y describir el mundo que nos rodea o cuandoatacamos un problema por vez primera generalmente tendemos a hacersimplificaciones y desmenuzarlo en componentes de menor complejidad. Estaforma de comenzar a entenderse con los fenómenos de la naturaleza es muyútil tanto en la ciencia como en la vida cotidiana. Nos da en el mayor de loscasos modelos con una aproximación suficiente a la realidad con los cualespoder trabajar para fines prácticos. Para qué complicarse más las cosas.

Sin embargo, poniéndonos más estrictos, las figuras comunes de la geometríaclásica o euclidiana no son las más adecuadas para generar formas complejascomo la hoja de un helecho o el perfil de una montaña (Figura 1). Su limitaciónse debe a que tienden a perder su estructura cuando son ampliadas; un arcode círculo se transforma poco a poco en una recta, la superficie de una esferase hace cada vez más plana. Esto no es precisamente lo que sucede con lasformas naturales. Por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantieneprácticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificación con elmicroscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra máspequeña, y así sucesivamente, no por ello nos parecerá cada vez más lisa [1].

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Figura 1: Simplificación de la naturaleza.

“Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no soncírculos, y la corteza de los árboles no es lisa, ni los relámpagos viajan en una

línea recta” , reflexiona Benoît Mandelbrot, padre de la geometría fractal, en sulibro The Fractal Geometry of Nature [2].

Es entonces cuando nos preguntamos si hay otras formas de describir estasentidades. Y por qué no describirlas por medio de cuerpos que lleven talpropiedad de detalle al extremo; que mantengan sus propiedades ycaracterísticas a cualquier escala. Cuerpos que si bien son mucho máscomplicados que las figuras geométricas tradicionales, su construcción noimplica un procedimiento muy complicado.

A este tipo de formas geométricas que, entre otras propiedades, contienen unaimagen de sí mismas en cada una de sus partes, se les llama ahora fractales y

hace ya más de una década que inundaron el mundo científico con un conjuntode nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir lanaturaleza [1].

4 ANTECEDENTES [3]

Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897)

Definió la primera curva que es continua en todo punto yno es derivable o diferenciable en ninguno: la función de

Weierstrass. Está definida en la recta y toma valoresreales. De este modo, Weierstrass mostró que era falsa laconjetura que circulaba en aquella época que afirmabaque las funciones continuas eran diferenciables salvo enpuntos aislados [4]. Es la primera curva que puede serconsiderada como un fractal.

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Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918)

Fue un matemático alemán inventor, con Dedekind yFrege, de la teoría de conjuntos, que es la base de lasmatemáticas modernas [5]. Estableció una sucesión desegmentos conocida como polvo de Cantor, un ejemplosencillo de fractal, mismo que ha resultado ser de granutilidad en el modelado de distintos fenómenos envariadas áreas del conocimiento.

 Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918)

Abrió el camino para el estudio de sistemas dinámicos.Elaboró la teoría rigurosa moderna de la estabilidad de unsistema y la del movimiento de un sistema mecánico apartir de un número finito de parámetros. Partiendo dedicha teoría se construyen los denominados fractales deMarkus-Lyapunov mapeando las regiones de estabilidad yde comportamiento caótico de un sistema dinámico.[6][7]

Giuseppe Peano (1858-1932)

Fue un matemático y filósofo italiano, conocido por suscontribuciones a la Teoría de conjuntos. Diseñó en 1890una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntosdel plano (curva de Peano) como un contraejemplo queusó para mostrar que una curva continua no puede serencerrada en una región arbitrariamente pequeña. Éstefue un ejemplo temprano de lo que se conoce comofractal.[8]

Waclaw Sierpinski (1882-1969)

Matemático polaco con notables aportaciones a la teoríade conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoríade funciones. Tres conocidos fractales llevan su nombre: eltriángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curvade Sierpinski.[9]

Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897)

Fue un matemático sueco que escribió muchos artículossobre teoría de números y cuyo nombre se ha asignado auna famosa curva llamada copo de nieve de Koch, una delas primeras curvas fractales en ser descritas, en unartículo del año 1904 titulado   Acerca de una curvacontinua que no posee tangentes y obtenida por losmétodos de la geometría elemental.[10]

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Gaston Maurice Julia (1893-1978)

  Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce comofractales. Fue el primero en estudiar el tema, y explicarcómo a partir de cualquier función compleja se puedefabricar, por medio de una sucesión definida porinducción, un conjunto cuya frontera es imposible dedibujar a pulso.Su notoriedad culminó al ser publicado su artículo informesobre la iteración de las funciones racionales en la revistafrancesa de matemáticas Journal de Mathématiques Pureset Appliquées. [11]

Benoît Mandelbrot (1924-2010)

Principal creador de la Geometría Fractal (término que élmismo acuñó), al referirse al impacto de esta disciplina enla concepción e interpretación de los objetos que seencuentran en la naturaleza. En 1982 publicó su libroFractal Geometry of Nature en el que explicaba susinvestigaciones en este campo.Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizandoen ésta época, el ordenador, para trazar los más conocidosejemplos de geometría fractal: el conjunto de Mandelbrotpor supuesto, así como los conjuntos de Julia descubiertospor Gaston Julia quien inventó las matemáticas de losfractales, desarrollados luego por Mandelbrot. [12]

5 GEOMETRÍA FRACTAL

5.1 CONCEPTO DE FRACTAL

Como se mencionó anteriormente, el término fractal fue introducido porprimera vez por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975 y deriva del latínfractus que significa quebrado o fracturado. [13]

Un fractal, según Mandelbrot, es un objeto semigeométrico cuya estructurabásica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. [2] Se dice quees semigeométrico pues resulta ser más complicado que un cuerpo geométricoregular. A simple vista es un ente con bordes altamente irregulares y que adistintas escalas de observación, parece conservar el mismo patrón, lo que le

confiere la propiedad de autosimilitud, la cual es una de las más importantes ala hora de definir estas estructuras.

Es por esto que, adelantándonos un poco a definir puntualmente laspropiedades de los fractales, es necesario hablar sobre la autosimilitud. SegúnB. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen lamisma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferenteescala y pueden estar ligeramente deformadas. [13] Esta propiedad puede

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vislumbrarse muy claramente al observar uno de los fractales más famosos: eltriángulo de Sierpinski (Figura 2).

Figura 2: Triángulo de Sierpinski.

Como se puede notar, el triángulo de Sierpinski presenta una estructuraaparentemente simple, un triángulo compuesto por triángulos más pequeños;pero pronto descubrimos que tanto si se observa en su escala total (cuadronegro) como si disminuimos la escala y observamos cada una de las partes quelo componen (cuadro azul), esta construcción sigue manteniéndose. Aúndisminuyendo la escala (cuadros verde y púrpura) descubrimos triángulos quea su vez están formados por triángulos más pequeños y que son exactamenteiguales al original. Y esto, teóricamente, podría seguir infinitamente aldisminuir la escala. Cada porción del objeto tiene las mismas característicasdel objeto completo.

5.2 DIMENSIÓN FRACTAL

Establecer la dimensión de un objeto regular "a ojo" parece ser cosa fácil yrequiere tan sólo de un poco de sentido común. De esta forma decimos que un

punto es adimensional, un segmento de recta es unidimensional, que uncuadrado es bidimensional y un cubo es tridimensional. Estamosacostumbrados a ver la dimensión de un objeto como un número entero queindica la cantidad de direcciones independientes o grados de libertad sobre losque uno se puede mover en el espacio que contiene a dicho objeto, es decir, sudimensión topológica. Sin embargo, a fin de estudiar los fractales, es necesarioencontrar una expresión matemática que nos permita caracterizar ladimensión de un objeto de forma general.

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Para tal fin, consideremos un segmento de recta de una unidad de longitud. Sitriplicamos su tamaño, esto es, lo expandimos con un factor de escala igual atres, obtenemos un segmento de recta de longitud tres el cual obviamentecontiene tres componentes congruentes, es decir, tres copias del segmentooriginal de longitud uno (Figura 3). Por razones que serán más clarasposteriormente, notamos que

13 3=.

Ahora hacemos lo mismo con un cuadrado de área unitaria. Si lo expandimospor un factor de escala tres, esto es, triplicamos la longitud de sus lados,obtenemos un cuadrado cuya área es nueve veces mayor. En esta ocasióntenemos nueve copias del cuadrado unitario original. Observemos que

29 3=

.

Finalmente expandimos un cubo de volumen unitario con un factor de escala

tres y obtenemos un cubo que consiste de 27 componentes congruentes. Eneste caso,

327 3=

.

Figura 3: Concepto de dimensión.

Obsérvese que en cada uno de los tres casos mencionados, tenemos unadimensión  D, un factor de escala r  y un número de componentes  N , quesatisfacen la ecuación

 D N r =

. Otros ejemplos de la validez de esta regla se

muestran en la Figura 4, en donde un triángulo es expandido por un factor de

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escala de 2, un cuadrado por un factor de 2.5 y un segmento de recta por unode

2

.

Figura 4: Ejemplos de escalamiento.

Como se demuestra en la Figura 4, ni  N  ni r  necesitan ser estrictamentenúmeros enteros para que la ecuación

 D N r =

sea válida. La dimensión  D, en

cambio, esperaríamos que fuese siempre entera.

Despejando  D de la ecuación anterior obtenemos la expresión general queestábamos buscando, misma que se conoce como dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

log

log

 N  D

r =

Ahora veamos si es posible producir un objeto geométrico cuya expansión porun factor r pueda ser dividida en  N componentes de tal forma que su dimensión

no sea un número entero.

Nuestro primer ejemplo de dimensión fraccionaria puede ser hallado en laarquitectura de un interesante objeto ideado en 1904 por el matemático suecoHelge von Koch y que recibe el nombre de “copo de nieve de Koch”. Suconstrucción empieza con un triángulo equilátero de lado unitario. Cada lado sedivide en tres partes iguales y se remplaza la parte central por dos segmentosde igual longitud formando un ángulo de 60 grados. Luego, con la figura

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resultante se procede de la misma manera en cada uno de sus lados y así sucesivamente (Figura 5).

En este caso, a toda escala sobre la figura, cada lado de longitud  L es divididoen secciones de un tercio de extensión, l=L/3 (r=3), y en el proceso se generancuatro particiones de tamaño similar ( N=4). Entonces, usando la fórmula deHausdorff-Besicovitch para caracterizar la dimensión de este peculiar objetoobtenemos:

log41.2619

log3 D = ≅

¡Un objeto con dimensión fraccional!

El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evidencia más de lasingularidad de la forma geométrica que estudiamos. La dimensión deHausdorff definida de esta manera es una medida de la complejidad y

rugosidad del cuerpo, y nos da una idea de su extensión real en el espacio. Elcopo de nieve de Koch cubre más espacio que una recta ( D=1), pero menosque un plano ( D=2). Incluso se puede demostrar que su perímetro es infinitoaunque está confinado en un área bien determinada.

Figura 5: Construcción del “copo de nieve de Koch”.

5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS

Otros "monstruos" matemáticos como la curva de Koch exhiben dimensionesfraccionales distintas y cada uno de ellos tiene una dimensión de Hausdorff quelo caracteriza.

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 Tal es el caso, por ejemplo, del triángulo de Sierpinski que es el resultado deseccionar a toda escala un triángulo equilátero en cuatro particiones similarescuyos lados son tan sólo la mitad de los de la figura original ( r=2). Una vezhecho esto se extrae la sección central, de forma que queden las tres partes delos vértices ( N=3), y sobre éstas se actúa de la misma manera, como semuestra en la Figura 6.Su dimensión de Hausdorff es entonces:

log31.585

log2 D = ≅

De forma análoga puede construirse la carpeta de Sierpinski (Figura 6) si laiteración consiste en dividir a todos los niveles un cuadrado en secciones de unnoveno de área (r=3), eliminando la participación del centro ( N=8). Entiéndasepor iteración a la repetición de la misma operación o transformación a todaescala.La dimensión de esta figura es:

log8 1.893log3

 D = ≅

 

Figura 6: Construcción del triángulo y la carpeta de Sierpinski.

Comparando los resultados obtenidos para las tres figuras estudiadas se haceevidente que la dimensión de Hausdorff cuantifica hasta qué punto el objetocubre el espacio en el que se encuentra inscrito. Mientras la curva de Koch

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malcubre el plano,  D=1.263, la carpeta de Sierpinski,  D=1.893, lo logra casicompletamente. [1]

De esta misma forma, aplicando una operación repetidamente sobre algunafigura podemos obtener un sinnúmero de formas con dimensiones fractales.Como ejemplos tenemos la greca fractal cuya construcción puede vislumbrarseen la Figura 7 o el   polvo de Cantor (Figura 8), mismo que es particularmenteútil como se verá más tarde.

log81.5

log4 D = ≅

Figura 7: Greca fractal.

La construcción de éste último fractal, también llamado conjunto de Cantor,resulta sencilla. Tomemos una línea recta de longitud uno. Dividamos ahora

esta línea en tres partes iguales y quitemos la parte central. Cada segmentotiene ahora longitud de un tercio. Enseguida repetimos el mismo procedimientocon cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tieneahora una longitud de un noveno. Si se llevara a cabo este procedimiento unnúmero muy grande de veces, se llegaría a obtener un "polvo" formado de unnúmero extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitudpequeñísima.

Su dimensión de Hausdorff, que de ahora en adelante llamaremos dimensiónfractal, es:

log20.631

log3 D = ≅

Figura 8: Polvo de Cantor.

En otras palabras, es más que una colección de puntos, pero menos que una

línea.

5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA

Los fractales también pueden ser generados en base a un número sobre el quese hace una operación de forma recursiva. Esta operación puede ser, por

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ejemplo, el elevar al cuadrado un número real lo cual se denotaría por laexpresión:

2

1n n Z Z + =

Así, tomando un número inicial0 2 Z  =

, como ejemplo, se tendría la secuencia:

2, 4, 16, 256, 65536, … , ∞ en la que cada elemento de la serie es el cuadradode su antecesor. A esta secuencia de números que se genera se le denomina laórbita de la iteración, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, en este caso)se le llama su atractor .

Por ejemplo, si escogemos como punto inicial

0 0.5 Z  =

, obtenemos la órbita:

0.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625, … , 0, en la que el atractor es cero.

Los conjuntos de Julia son una familia de fractales, que se obtienen al estudiarel comportamiento de los números complejos al ser iterados por una función deeste tipo. Este trabajo fue desarrollado por dos matemáticos franceses, Gaston

 Julia y Pierre Fatou, a principios de nuestro siglo. Sus resultados fueron la basesobre la que se construyó la revolución fractal de los ochenta. En particular,Benoît Mandelbrot recuperó su análisis sobre el comportamiento de losnúmeros complejos cuando la iteración consiste en elevarlos al cuadrado ysumar una constante al resultado, esto es:

2

1n n  Z Z c+ = +

Donde c también es un número complejo.

Las órbitas que ahora se generan son secuencias de números complejos y suscaracterísticas dependen fundamentalmente de los valores del punto inicial  Z 0del que se parte y la constante c seleccionada.

Desde 1906, Fatou había demostrado que para cada valor de c, la aplicación deesta iteración sobre todos los puntos del plano complejo genera órbitas que ensu mayoría terminan en atractores que tienden a infinito, salvo para unconjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteración tiende a órbitasperiódicas donde se repite la misma secuencia de números después de ciertonúmero de iteraciones o puntos que convergen hacia atractores finitos. A estospuntos, cuya iteración no escapa a infinito, se les llama  prisioneros, mientraslos otros son escapistas. El conjunto de todos los puntos prisioneros pertenecena lo que llamaremos el cuerpo de un conjunto de Julia.

Para localizar los puntos que conforman el conjunto de Julia para una constantec dada, hay que recorrer el plano complejo buscando la frontera donde se pasade tener órbitas que se disparan a infinito, a la región donde esto ya nosucede. Al efectuar este procedimiento con la ayuda de un ordenador ycolorear los puntos del plano de acuerdo con la velocidad con la que escapan o

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convergen, se obtienen figuras de gran complejidad y belleza, como las que semuestran en la Figura 9.

c = 0.32+0.043i c = 0.194+0.6557i

c = -0.12+ 0.66i c = -0.1565+1.0322i

c = 0.12+ 0.74i c = -0.1565+1.0322i

Figura 9: Conjuntos de Julia para distintos valores de la constante c.

5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT

Del análisis de la Figura 9 se hace evidente que existen dos clases principalesde conjuntos de Julia; aquellos para los cuales el cuerpo está formado por unasola pieza (el área del cuerpo se dice que es conexa) y otros en los que elcuerpo está desmembrado en infinitas colecciones de puntos más o menosaisladas (disconexa).

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Benoît Mandelbrot, en la década de los setenta, fue el primero en localizar losvalores de la constante c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos. Al hacerlose encontró con que esta colección de valores de c, que en su honor tiene elnombre de conjunto de Mandelbrot , también tenía una estructura sorprendentecuando se representaba en el plano complejo. [1]

Este conjunto se define así: [14]

0

2

1

0 (término inicial),

(relación de inducción)n n

 z c

  z z c+

=∀ ∈

= +£

Existe otra manera de definir este conjunto: Es el conjunto de los complejos c

para los que el conjunto de Julia asociado a  f c(z) = z² + c es conexo.

Figura 10: Conjunto de Mandelbrot. Cada imagen es una ampliación de la anterior.Si representamos en negro los puntos para los que la órbita de las iteracionespermanece acotada, y los puntos para los que esta órbita escapa se

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representan de diferentes colores según la velocidad con que la órbita se va ainfinito, se obtienen las representaciones usuales del conjunto de Mandelbrot(Figura 10).

Estas representaciones sugieren que su estructura es altamente compleja ynos muestran la autosimilaridad a diferentes escalas de observación que sibien no es exacta, se puede demostrar que sigue siendo isomorfa a la inicial.Además de esta característica, el conjunto de Mandelbrot presenta otraspropiedades.

Es compacto, conexo y su complemento también es conexo.Su interior consta de un conjunto numerable de componentes.Su frontera tiene dimensión topológica 1 pero dimensión de Hausdorff 2,la máxima posible al ser subconjunto del plano.Los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentesregiones del conjunto de Mandelbrot.

5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL

A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características: [13]

Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricostradicionales.Posee detalle a cualquier escala de observación.Es autosimilar (exacta, aproximada o estadísticamente).Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su

dimensión topológica.Se define mediante un simple algoritmo recursivo.No es diferenciable en ningún punto.

Es preciso mencionar que no basta con una sola de estas características paradefinir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues apesar de ser un objeto autosimilar, carece del resto de las característicasexigidas.

5.5 CLASIFICACIÓN DE LOS FRACTALES

Por su autosimilitud se pueden clasificar en: [13]

Fractales con autosimilitud exacta. Este es el tipo más restrictivo deautosimilitud. Exige que el fractal sea idéntico a diferentes escalas. Amenudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funcionesiteradas.

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Fractales con cuasiautosimilitud. Exige que el fractal parezcaaproximadamente idéntico a diferentes escalas. Los fractales de estetipo contienen copias menores y distorsionadas de sí mismos.Matemáticamente D.Sullivan definió el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometría. Los fractales definidospor relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

Fractales con autosimilitud estadística. Es el tipo más débil deautosimilitud; se exige que el fractal tenga medidas numéricas oestadísticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractalesaleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

 También se pueden clasificar según el método con el cual se generan o suconstrucción como:

Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazanrecursivamente por su imagen bajo un sistema de reglas. El conjunto deCantor, la alfombra de Sierpinski, el triángulo de Sierpinski, la curva dePeano, la curva del dragón, el copo de nieve de Koch o la Esponja deMenger, son algunos ejemplos.

Fractales de algoritmos de Escape. Definidos por una relación derecurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo).Dentro de este tipo de fractales encontramos el conjunto de Mandelbrot,el conjunto de Julia y el fractal de Lyapunov.

Fractales aleatorios. Generados por procesos estocásticos, nodeterministas. Como ejemplo están el movimiento browniano, el vuelo

de Lévy, los paisajes fractales o los árboles brownianos.

6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES

6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA

Mandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenómenos decarácter fractal, de hecho, muchos más de los que podemos imaginar: latrayectoria que sigue una partícula que realiza movimiento browniano; la formade las cadenas montañosas, en las que si uno intentara medir su superficie,

encontraría valores infinitos; el perímetro de las costas que, al ir disminuyendola escala escogida para medirlo, su longitud tiende a infinito; la configuraciónde los sistemas respiratorio, nervioso y circulatorio en los vertebrados; lamorfología de algunas plantas y animales (Figura 11). [15]

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Figura 11: Fractales naturales. Izquierda: Brócoli romanescu. Derecha: Hoja dehelecho.

En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y caótico hadado forma al ambiente, se han generado geometrías fractales como lascostas, ríos, montañas, nubes, rocas, etc. que por su redundancia y falta deregularidad poseen propiedades estructurales particulares.

Es importante señalar que los fractales que existen en la naturaleza tienden aser irregulares y son autosimilares sólo en sentido estadístico. Además, cuandose amplifica una de las partes de un fractal natural, la propiedad de generar lamisma figura, o alguna similar, tiene límites inferiores y superiores. Porejemplo, al observar el perfil de una montaña, el tamaño de los objetos másgrandes está determinado por la fuerza de gravedad, mientras que la menorescala de observación a la cual todavía se detectan los mismos detallesdepende de la acción de la erosión y, por supuesto, del tamaño de los átomos.Los fractales son, en ese sentido, sólo una buena aproximación de la estructurade las formas naturales.

6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y LATECNOLOGÍA

Los fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se generó con ellosun modelo simple para la aparición de ruido en ciertas líneas de transmisión ensistemas de comunicación digital, esto es, la presencia de brevesinterrupciones eléctricas que confunden y dificultan la comunicación, del tipode las que estamos acostumbrados a oír cuando hablamos por teléfono o

escuchamos el radio.[1]

El análisis de las señales demostró que lasinterrupciones aparecían por paquetes, pero dentro de estos paquetes sedistinguía una estructura intermitente, y dentro de ésta, más interrupcionesrecurrentes, etc. Un registro gráfico de las interrupciones dio lugar a un patrónfractal similar al conjunto de Cantor (Figura 8).

El polvo de Cantor es uno de los más famosos, a pesar de no ser tan atractivovisualmente. Su estructura está detrás de varias cosas en el mundo real y así se ha utilizado como modelo para representar desde la distribución de los

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anillos de Saturno y las fluctuaciones en el precio del algodón a partir del siglopasado, hasta las variaciones que el nivel de las aguas del río Nilo haexperimentado desde hace 2000 años. Más aún, cuando la idea que subyaceen la construcción de este conjunto se extiende a tres dimensiones, el patrónque se genera coincide sorprendentemente con la distribución de estrellas ygalaxias en el universo.

En el área de las telecomunicaciones, los fractales han tenido también grandesaportaciones. En los sistemas móviles de comunicaciones es de vitalimportancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial delsistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solucióninesperada para este problema fue construir antenas fractales, las cuales sonmás compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a lasantenas tradicionales. [16]

Las propiedades de los fractales se aprovechan en la construcción de antenasque pueden obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia centralsuperiores a las antenas clásicas, que van de 10% a 20%, patrones deradiación estables y gran número de bandas determinado por el número deiteraciones del fractal. [17]

Las primeras antenas diseñadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractalesdelgados, organizando los elementos en un patrón Fractal para reducir elnúmero de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha odesempeño en múltiples bandas. Actualmente se está trabajando con curvas yobjetos fractales como los triángulos de Sierpinski, árboles fractales, curvas eislas de Koch, entre otras (Figura 12) que minimicen el área de la antena,aprovechando su capacidad natural multibanda.

 

Figura 12: Antenas fractales. De izquierda a derecha: Antena fractal para teléfonomóvil inspirada en la distribución de Cantor; respuesta en frecuencia de dicha antena;

antena fractal inspirada en la curva de Koch.

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Se han utilizado técnicas derivadas de la teoría de fractales en la compresiónde imágenes, música, video y datos en general.[13]

Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la Figura13 no es difícil. Haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar unIFS o conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) encada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). Lainformación sobre la imagen quedará codificada en el IFS, y la aplicaciónreiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada encuestión.

Figura 13: Imagen autosemenjante de un helecho.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imágenes reales yaque no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeñosgatitos distorsionados sobre sí mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud

 Jacquin creó el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas. En élse subdivide la imagen mediante una partición y para cada región resultante sebusca otra región similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas. Elesquema resultante es un sistema de compresión con pérdidas, de tiempoasimétrico. Lamentablemente aún se tarda mucho en encontrar lastransformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, ladescodificación es muy rápida. La compresión, aunque dependa de muchosfactores, suele ser equiparable a la compresión JPEG.

Algunos otros ejemplos de las numerosas aplicaciones que se le ha dado a losfractales se muestran en la Tabla 1.

Tabla 1:Aplicaciones de los fractales.

Área delconocimiento

Aplicación

Comunicaciones Modelado del tráfico en redes.Informática Técnicas de compresión (imágenes, audio y vídeo).Robótica Robots fractales.

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Infografía yartes plásticas

Paisajes fractales y otros objetos.

Biología Crecimiento tejidos, organización celular, evolución depoblaciones.

Música Composición musical.Física Transiciones de fase en magnetismo, modelado de

sistemas dinámicos.Química Agregación por difusión limitada.Geología Análisis de patrones sísmicos. Fenómenos de erosión.

Modelos de formaciones geológicas.Economía Análisis bursátil y de mercado. Filosofía de la fábrica

fractal.

7 ANÁLISIS FRACTAL

Derivados de la matemática fractal, han surgido un gran número de métodospara analizar las propiedades fractales de fenómenos naturales, resultados deexperimentos, imágenes y en general datos en los que se investiga si tienen ono, y si lo tienen, en qué medida, el comportamiento de un fractal, es decir, seanaliza su dimensión fractal. Algunos de estos métodos, mismos que sepresentan en este trabajo, son:[18]

Conteo de cajas (Box-Counting).Divisores (método del compás).Relación área-perímetro.Método “slit island” (SIM).

Autosimilaridad en series temporales o espaciales.Análisis de fluctuación sin tendencia (DFA)Análisis de imágenes y textura.Análisis multifractal.

7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING).

Este es uno de los métodos más utilizados para calcular la dimensión fractal deobjetos en una imagen por su sencillez y fácil implementación en unordenador.

Para calcular la dimensión de un objeto fractal, que bien puede ser la imagende una costa, imaginemos que sobre la imagen se extiende una malla

uniformemente espaciada y contemos cuántas cajas se requieren para cubrir elconjunto[19], como se muestra en la Figura 14. La dimensión fractal de ésteobjeto se calcula viendo cómo cambia éste número al ir haciendo la malla másy más fina.

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Figura 14: Método de conteo de cajas aplicado para calcular la dimensión fractal de lacosta de Inglaterra.

De esta forma, suponga que

( ) N  ε 

es el número de cajas de longitudε 

 

requeridas para cubrir el conjunto, entonces su dimensión fractal se defineconforme a la fórmula de Minkowski–Bouligand como sigue:

( )

( )0

loglim

log 1/

 N  D

ε 

ε 

ε →=

N 1/ε

log[N ]

log[1/ ε  ]

12 31.0792

0.477121255

28 61.4472

0.77815125

77 12 1.8865

1.079181246

157 24 2.19

591.380211242

374 48

2.5729

1.681241237

D= 1.241

Figura 15: Cálculo de la dimensión fractal de la costa de Inglaterra.Así, para la imagen de la Figura 14, se registra el número de cajas quecontienen una parte de la costa de Inglaterra ( N ) y la longitud de las cajas (ε  ),al ir haciendo estas últimas cada vez más pequeñas. Se calcula el logaritmo deestos dos valores y se puede observar que guarda una relación lineal, como seaprecia en la Figura 15. La pendiente de la recta será la dimensión fractalbuscada. En este caso y en muchos más en los que no se forma una rectaperfecta, se toma la pendiente de la recta que más se acerca a los puntosobtenidos, ya sea por mínimos cuadrados o cualquier otro criterio.

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Cabe notar que existen otras variantes de este método que utilizan en lugar decajas, el máximo número de discos de radio r  centrados en el conjunto, en estecaso, cuyo centro se encuentra sobre la costa (Figura 16-centro), o el mínimonúmero de discos que cubren el conjunto (Figura 16-izquierda).

Figura 16: Otras variantes del método de conteo de cajas.

7.2 DIVISORES (MÉTODO DEL COMPÁS).

Otro método muy extendido y claramente emparentado con el conteo de cajases el método de divisores o del compás (Compass o ruler method). Se utilizahabitualmente para medir la dimensión fractal de perímetros.[20] Mandelbrot

hizo popular los fractales utilizando este método en un artículo titulado¿Cuánto mide la costa de Gran Bretaña?

Figura 17: Método del compás aplicado para calcular la dimensión fractal de la costade Inglaterra.

Obsérvese la isla de la Figura 17. En el caso de la izquierda se ha medido lalongitud de la costa utilizando una medida o regla de menor tamaño conrespecto del caso del centro y éste último con respecto del caso de la derecha.La longitud medida depende obviamente del tamaño de la regla.

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El método del compás consiste en mover una regla de longitud δ  a lo largo dela curva. La longitud estimada de dicha curva será el producto del número depasos  N  de tamaño delta necesarios para cubrir la costa, esto es,

 L N δ =

.

Valores de delta inferiores darán longitudes mayores; a medida que nuestraregla se hace más y más pequeña, añadimos más detalles y la longitud medidade la costa crece.

La dimensión fractal es estimada midiendo la longitud L a diferentes valores deescala δ  mediante la siguiente relación:

( )

( )0

loglim

log 1/

 L D

δ  δ →=

7.3 RELACIÓN ÁREA-PERÍMETRO.

El método de área-perímetro es utilizado generalmente para estimar ladimensión fractal de objetos completos, y no sólo su perímetro. Dependiendode los objetivos del análisis, existen tres enfoques posibles: el método basadoen el perímetro, para determinar la medida en que el perímetro de la isla, esdecir, del objeto a analizar, llena el plano; basado en el área, para determinarla medida en que la propia isla llena el plano; y basada en el  paisaje (islasdivididas en diferentes tipos), para comparar la complejidad de las islas. Estos

métodos se pueden utilizar para determinar la dimensión fractal de unconjunto de islas o para cada isla.[18]

El enfoque de la dimensión fractal perimetral mide el grado en el que elperímetro de la o las islas llenan el plano. La relación perímetro-área de unconjunto de islas está dada por:

2 D

  P kA=

Donde el área  A es el número de pixeles que conforman el objeto dado, elperímetro P es el número de pixeles en la frontera de la isla, k es una constantede escalamiento y D es la dimensión fractal, misma que se determina mediante

la pendiente de la gráfica de los logaritmos del área contra perímetro.El enfoque de la dimensión fractal del área cuantifica la proporción del planoque es ocupada por un objeto. Esta dimensión puede ser medida como:

log

log

 A D

 L=

Donde  L es la longitud máxima horizontal o vertical de la isla en pixeles, y  A esel número total de pixeles que conforman la isla. Así, una isla cuadrada de n× n

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( A=n2  , L=n), llena completamente el plano bidimensional (2log / log 2  D n n= =

),

mientras que para una isla rectangular de longitud n y ancho unitario ( A=n× 1,

 L=n), es decir, una línea recta,

log / log 1  D n n= =

.

7.4 MÉTODO “SLIT ISLAND” (SIM).

El método slit-island o método de las islas emplea una relación de perímetro-área para determinar la dimensión fractal de imágenes en las que sedistinguen múltiples islas u objetos fracturados. Se ha utilizado en gran medidaen la evaluación de la dimensión fractal de superficies fracturadas en metalescomo el acero y otros materiales como las cerámicas.[21]

Los perímetros y áreas de las islas son medidos con cajas de longitud  E  deforma muy parecida al método del conteo de cajas, contando cuántas cajas sonnecesarias para cubrir la isla en su totalidad, en el caso del área, y cuántascajas tocan el contorno de la misma, en el caso del perímetro. Como se puedeprever, el tamaño de la caja de conteo  E se va haciendo cada vez más pequeñopero en este caso la dimensión fractal se determina mediante la siguienteecuación que relaciona el área de la isla con su perímetro:

2 2/ / 0.5 / A E I E P E  = +

Donde el término2/ A E  corresponde al área de la isla,

2/ I E 

es el número de

cajas dentro de la frontera y 0.5 / P E  es la mitad del número de cajas sobre la

frontera del objeto a analizar.  E , como ya se mencionó, es el tamaño de la cajaen pixeles usada para contar.

De esta forma se tiene que:

( ) ( )1 1

2 2/ / D  A E P E  ∝

Así, la dimensión fractal D puede ser obtenida con la pendiente de la rectaresultante al graficar el logaritmo de

2/ A E 

contra el logaritmo de

/ P E 

, a

distintos tamaños de E , como se ilustra en la Figura 18.

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Figura 18: Estimación de la dimensión fractal con el método SIM para fracturas en unaaleción metálica HS-21.

7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES.

El concepto de un objeto fractal, que carece de una escala de longitudcaracterística, se puede extender al análisis de los complejos procesostemporales. Sin embargo, un reto en la detección y cuantificación de la

dimensión fractal en las series temporales es que a pesar de que este tipo deseries se suelen representar en un plano bidimensional, en realidad dependende dos variables físicas distintas. Por ejemplo, en la Figura 19-a, el ejehorizontal representa el tiempo, mientras que el eje vertical representa el valorde la variable que cambia con el tiempo, en este caso, la frecuencia cardíaca.Estos dos ejes tienen unidades físicas independientes: minutos y latidos porminuto, respectivamente. Incluso en los casos en los que los dos ejes de unaserie en el tiempo tienen las mismas unidades, su significado físico siguesiendo diferente. Esta situación es diferente a la de las curvas geométricastales como las costas y cordilleras, donde ambos ejes representan una mismamagnitud física.[22]

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Figura 19: Autosimilaridad en series temporales.

Para determinar si una curva dependiente del tiempo es auto-similar, podemoshacer la siguiente prueba: tomemos un subconjunto del objeto y escalémoslo almismo tamaño del objeto original, utilizando el mismo factor de aumento,tanto para el ancho como para el alto, y luego comparemos las propiedadesestadísticas del objeto escalado con las del objeto original (media, varianza,desviación estándar, etc.).

En la práctica, para determinar la dimensión fractal de una serie temporal paraun intervalo de tiempo dado, éste se divide en subconjuntos del mismotamaño, es decir, en ventanas de observación más pequeñas a las que se lesanaliza alguna propiedad estadística, que generalmente es la desviaciónestándar. Para obtener una buena aproximación de la característica estadísticaa ésta escala de la ventana, se promedian todos los valores individuales de lapropiedad en cuestión para cada subconjunto. Este procedimiento se repitepara diferentes tamaños de la ventana y la dimensión fractal se estimamediante la pendiente α   de la curva resultante de graficar el logaritmo de lapropiedad estadística contra el logaritmo del factor de escala de la ventana,como se puede apreciar en la Figura 19-d.

Para este caso en particular,

log / log  D s nα = =

donde  s es la desviación

estándar y n es el tamaño del subintervalo de tiempo de la ventana deobservación.

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7.6 ANÁLISIS DE FLUCTUACIÓN SIN TENDENCIA (DFA)

Una definición simplificada y general caracteriza a una serie en el tiempo comoestacionaria si su media, desviación estándar, funciones de correlación u otraspropiedades permanecen invariantes bajo una traslación en el tiempo. Lasseñales que no obedecen estas condiciones se denominan no estacionarias.[22]

Para éste último tipo de señales, el análisis expuesto en el apartado 7.5obviamente no funciona. Es por esto que se desarrolló el análisis de fluctuaciónsin tendencia o DFA, por sus siglas en inglés (detrended fluctuation analysis).

Figura 20: Algoritmo del método DFA.

En éste método se divide la señal original en cajas o ventanas de longitud n.Para cada ventana se dibuja la recta que más se ajusta a los valores de lacurva por el método de mínimos cuadrados. Ésta recta representa la tendenciade los valores dentro de la ventana (Figura 20). Posteriormente se calcula lamagnitud de la fluctuación de los valores dentro de dicha ventana mediante lasiguiente ecuación:

( ) ( ) ( )2

1

1 N 

n

  F n y k y k   N  =

= − ∑

Este cálculo se repite en todas las escalas temporales (diferentes tamaños de

la ventana) para proporcionar una relación entre  F(n) y el tamaño del intervalon. Típicamente esta relación nos da la dimensión fractal, misma que está dadapor:

( )log

log

 F n D

n=

7.7 ANÁLISIS DE IMÁGENES Y TEXTURA.

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En éste método una imagen, la cual se supone tiene una textura, esinterpretada como un terreno en tres dimensiones, en donde cada coordenada x,y de la imagen tiene una tercera dimensión asociada  z  que representa laintensidad de color del pixel.[18]

Posteriormente se realiza un procedimiento muy similar al del método deconteo de cajas, descrito en el apartado 7.1, sólo que en este caso en lugar dedividir la imagen con cajas bidimensionales, se tendrá que el terrenotridimensional es dividido en cubos de tamaño ε  (Figura 21). Se cuentan elnúmero de cubos  N  que engloban el terreno a analizar y se relaciona ellogaritmo de ésta cantidad con el logaritmo del tamaño de los cubos. De igualforma, la magnitud ε  se hace variar. La dimensión fractal se estima con laecuación de Minkowski–Bouligand.

Figura 21: Método de conteo de cajas modificado para imágenes con textura.

7.8 ANÁLISIS MULTIFRACTAL.

Cuando se aplica la caracterización fractal a imágenes, suele ocurrir que la

entidad a estudiar presenta las intensidades que la forman distribuidas en unintervalo de nivel de grises suficientemente amplio para no poder sercaracterizado adecuadamente con una única dimensión fractal. Para poderanalizar correctamente esta situación se dispone de la caracterizaciónmultifractal.[23][24]

Esta metodología de análisis divide el intervalo de intensidades a analizar endiferentes subintervalos, para cada uno de estos se realiza la correspondientecaracterización fractal utilizando el método del conteo de cajas. Ahora se

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obtiene como resultado una representación de las dimensiones fractalesobtenidas frente a las intensidades correspondientes.

En esta caracterización se pueden realizar múltiples análisis, pero es primordialasignar un significado a la intensidad observada en la imagen. Puederepresentar densidad, temperatura, altura, módulo de la velocidad o cualquierparámetro físico de interés relacionado con la estructura espacial autosimilarde la imagen. Para cada una de estas situaciones podemos hablar de lacomplejidad observada en función de la intensidad de la magnitudcaracterizada y usar la dimensión fractal para describir la geometría reflejadaen la imagen por los procesos físicos inherentes.

Figura 22: Cálculo de la dimensión multifractal mediante el software especializadoImaCalc de la imagen satelital de un vórtice oceánico.

7.9 SOFTWARE PARA EL ANÁLISIS FRACTAL

Existen un gran número de programas computacionales para el análisis deimágenes y datos que incluyen herramientas o están destinados para elestudio de su dimensión fractal por diversos métodos como los comentados enlos apartados anteriores.

Algunos de estos programas se enlistan a continuación:

HarFAFracLabFractalyse

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FracTopFractal3eImaCalcKindratenkoSimuLabFracLac (módulos para ImageJ)

8 CONCLUSIONES

El estudio de los fractales así como de los métodos de análisis fractal sigue endesarrollo y aplicándose cada vez en un mayor número de ramas delconocimiento.

Al igual que con otras técnicas de análisis de datos tales como el análisis enfrecuencia por transformada de Fourier, Wavelets o análisis estadísticos, esimportante conocer este tipo de herramientas para tener un panorama másamplio a la hora de enfrentarnos a la resolución de un problema.

9 REFERENCIAS

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