Análisis Fractal

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- Presentar la noción del concepto de fractal y las bases de la geometría fractal. - Dar una breve explicación de algunos de los métodos de análisis fractal. - Mencionar algunas de las múltiples aplicaciones de los fractales y los métodos de análisis basados en esta técnica. - Mostrar un panorama de la tendencia en la utilización de las herramientas derivadas de la geometría fractal.

Transcript of Análisis Fractal

CENTRO DE INVESTIGACIN Y DE ESTUDIOS AVANZADOS DEL IPN DEPARTAMENTO DE INGENIERA ELCTRICA SECCIN DE BIOELECTRNICA

Tecnologas Avanzadas en Bioinstrumentacin

ANLISIS FRACTAL

Ortega Robles Emmanuel Daniel

22 de Febrero de 2011

CONTENIDO

1 OBJETIVOS 2 JUSTIFICACIN 3 INTRODUCCIN 4 ANTECEDENTES 5 GEOMETRA FRACTAL 5.1 CONCEPTO DE FRACTAL 5.2 DIMENSIN FRACTAL 5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOS 5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIA 5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROT 5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTAL 5.5 CLASIFICACIN DE LOS FRACTALES 6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES 6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZA 6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y TECNOLOGA 7 ANLISIS FRACTAL 7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING). 7.2 DIVISORES (MTODO DEL COMPS). 7.3 RELACIN REA-PERMETRO. 7.4 MTODO SLIT ISLAND (SIM).

2 2 2 3 5 5 6 8 10 12 13 13 14 14 15 17 18 19 20 21

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7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES. 7.6 ANLISIS DE FLUCTUACIN SIN TENDENCIA (DFA) 7.7 ANLISIS DE IMGENES Y TEXTURA. 7.8 ANLISIS MULTIFRACTAL. 7.9 SOFTWARE PARA EL ANLISIS FRACTAL 8 CONCLUSIONES 9 REFERENCIAS

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1 OBJETIVOSPresentar la nocin del concepto de fractal y las bases de la geometra fractal. Dar una breve explicacin de algunos de los mtodos de anlisis fractal. Mencionar algunas de las mltiples aplicaciones de los fractales y los mtodos de anlisis basados en esta tcnica. Mostrar un panorama de la tendencia en la utilizacin de las herramientas derivadas de la geometra fractal.

2 JUSTIFICACINLos mtodos de anlisis fractal han demostrado ser una herramienta con un gran potencial para el estudio de datos y la obtencin de informacin en distintas ramas del conocimiento.

3 INTRODUCCINCuando intentamos comprender y describir el mundo que nos rodea o cuando atacamos un problema por vez primera generalmente tendemos a hacer simplificaciones y desmenuzarlo en componentes de menor complejidad. Esta forma de comenzar a entenderse con los fenmenos de la naturaleza es muy til tanto en la ciencia como en la vida cotidiana. Nos da en el mayor de los casos modelos con una aproximacin suficiente a la realidad con los cuales poder trabajar para fines prcticos. Para qu complicarse ms las cosas. Sin embargo, ponindonos ms estrictos, las figuras comunes de la geometra clsica o euclidiana no son las ms adecuadas para generar formas complejas como la hoja de un helecho o el perfil de una montaa (Figura 1). Su limitacin se debe a que tienden a perder su estructura cuando son ampliadas; un arco de crculo se transforma poco a poco en una recta, la superficie de una esfera se hace cada vez ms plana. Esto no es precisamente lo que sucede con las formas naturales. Por ejemplo, la superficie rugosa de una roca mantiene prcticamente la misma complejidad a varios niveles de amplificacin con el microscopio. Si analizamos una parte de la roca, y dentro de ella otra ms pequea, y as sucesivamente, no por ello nos parecer cada vez ms lisa [1].

4

Figura 1: Simplificacin de la naturaleza.

Las nubes no son esferas, las montaas no son conos, las costas no son crculos, y la corteza de los rboles no es lisa, ni los relmpagos viajan en una lnea recta, reflexiona Benot Mandelbrot, padre de la geometra fractal, en su libro The Fractal Geometry of Nature [2]. Es entonces cuando nos preguntamos si hay otras formas de describir estas entidades. Y por qu no describirlas por medio de cuerpos que lleven tal propiedad de detalle al extremo; que mantengan sus propiedades y caractersticas a cualquier escala. Cuerpos que si bien son mucho ms complicados que las figuras geomtricas tradicionales, su construccin no implica un procedimiento muy complicado. A este tipo de formas geomtricas que, entre otras propiedades, contienen una imagen de s mismas en cada una de sus partes, se les llama ahora fractales y hace ya ms de una dcada que inundaron el mundo cientfico con un conjunto de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de conocer y describir la naturaleza [1].

4 ANTECEDENTES [3]Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) Defini la primera curva que es continua en todo punto y no es derivable o diferenciable en ninguno: la funcin de Weierstrass. Est definida en la recta y toma valores reales. De este modo, Weierstrass mostr que era falsa la conjetura que circulaba en aquella poca que afirmaba que las funciones continuas eran diferenciables salvo en puntos aislados [4]. Es la primera curva que puede ser considerada como un fractal.

5

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845-1918) Fue un matemtico alemn inventor, con Dedekind y Frege, de la teora de conjuntos, que es la base de las matemticas modernas [5]. Estableci una sucesin de segmentos conocida como polvo de Cantor, un ejemplo sencillo de fractal, mismo que ha resultado ser de gran utilidad en el modelado de distintos fenmenos en variadas reas del conocimiento. Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) Abri el camino para el estudio de sistemas dinmicos. Elabor la teora rigurosa moderna de la estabilidad de un sistema y la del movimiento de un sistema mecnico a partir de un nmero finito de parmetros. Partiendo de dicha teora se construyen los denominados fractales de Markus-Lyapunov mapeando las regiones de estabilidad y de comportamiento catico de un sistema dinmico.[6][7] Giuseppe Peano (1858-1932) Fue un matemtico y filsofo italiano, conocido por sus contribuciones a la Teora de conjuntos. Dise en 1890 una curva que, al desarrollarse, pasa por todos los puntos del plano (curva de Peano) como un contraejemplo que us para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una regin arbitrariamente pequea. ste fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal.[8] Waclaw Sierpinski (1882-1969) Matemtico polaco con notables aportaciones a la teora de conjuntos, la teora de nmeros, la topologa y la teora de funciones. Tres conocidos fractales llevan su nombre: el tringulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski.[9] Niels Fabian Helge von Koch (1815-1897) Fue un matemtico sueco que escribi muchos artculos sobre teora de nmeros y cuyo nombre se ha asignado a una famosa curva llamada copo de nieve de Koch, una de las primeras curvas fractales en ser descritas, en un artculo del ao 1904 titulado Acerca de una curva continua que no posee tangentes y obtenida por los mtodos de la geometra elemental.[10] 6

Gaston Maurice Julia (1893-1978) Julia fue un precursor en lo que hoy se conoce como fractales. Fue el primero en estudiar el tema, y explicar cmo a partir de cualquier funcin compleja se puede fabricar, por medio de una sucesin definida por induccin, un conjunto cuya frontera es imposible de dibujar a pulso. Su notoriedad culmin al ser publicado su artculo informe sobre la iteracin de las funciones racionales en la revista francesa de matemticas Journal de Mathmatiques Pures et Appliques. [11] Benot Mandelbrot (1924-2010) Principal creador de la Geometra Fractal (trmino que l mismo acu), al referirse al impacto de esta disciplina en la concepcin e interpretacin de los objetos que se encuentran en la naturaleza. En 1982 public su libro Fractal Geometry of Nature en el que explicaba sus investigaciones en este campo. Supo utilizar la herramienta que se estaba popularizando en sta poca, el ordenador, para trazar los ms conocidos ejemplos de geometra fractal: el conjunto de Mandelbrot por supuesto, as como los conjuntos de Julia descubiertos por Gaston Julia quien invent las matemticas de los fractales, desarrollados luego por Mandelbrot. [12]

5 GEOMETRA FRACTAL5.1 CONCEPTO DE FRACTALComo se mencion anteriormente, el trmino fractal fue introducido por primera vez por el matemtico Benot Mandelbrot en 1975 y deriva del latn fractus que significa quebrado o fracturado. [13] Un fractal, segn Mandelbrot, es un objeto semigeomtrico cuya estructura bsica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas. [2] Se dice que es semigeomtrico pues resulta ser ms complicado que un cuerpo geomtrico regular. A simple vista es un ente con bordes altamente irregulares y que a distintas escalas de observacin, parece conservar el mismo patrn, lo que le confiere la propiedad de autosimilitud, la cual es una de las ms importantes a la hora de definir estas estructuras. Es por esto que, adelantndonos un poco a definir puntualmente las propiedades de los fractales, es necesario hablar sobre la autosimilitud. Segn B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. [13] Esta propiedad puede 7

vislumbrarse muy claramente al observar uno de los fractales ms famosos: el tringulo de Sierpinski (Figura 2).

Figura 2: Tringulo de Sierpinski.

Como se puede notar, el tringulo de Sierpinski presenta una estructura aparentemente simple, un tringulo compuesto por tringulos ms pequeos; pero pronto descubrimos que tanto si se observa en su escala total (cuadro negro) como si disminuimos la escala y observamos cada una de las partes que lo componen (cuadro azul), esta construccin sigue mantenindose. An disminuyendo la escala (cuadros verde y prpura) descubrimos tringulos que a su vez estn formados por tringulos ms pequeos y que son exactamente iguales al original. Y esto, tericamente, podra seguir infinitamente al disminuir la escala. Cada porcin del objeto tiene las mismas caractersticas del objeto completo.

5.2 DIMENSIN FRACTALEstablecer la dimensin de un objeto regular "a ojo" parece ser cosa fcil y requiere tan slo de un poco de sentido comn. De esta forma decimos que un punto es adimensional, un segmento de recta es unidimensional, que un cuadrado es bidimensional y un cubo es tridimensional. Estamos acostumbrados a ver la dimensin de un objeto como un nmero entero que indica la cantidad de direcciones independientes o grados de libertad sobre los que uno se puede mover en el espacio que contiene a dicho objeto, es decir, su dimensin topolgica. Sin embargo, a fin de estudiar los fractales, es necesario encontrar una expresin matemtica que nos permita caracterizar la dimensin de un objeto de forma general.

8

Para tal fin, consideremos un segmento de recta de una unidad de longitud. Si triplicamos su tamao, esto es, lo expandimos con un factor de escala igual a tres, obtenemos un segmento de recta de longitud tres el cual obviamente contiene tres componentes congruentes, es decir, tres copias del segmento original de longitud uno (Figura 3). Por razones que sern ms claras posteriormente, notamos que .

3 = 31Ahora hacemos lo mismo con un cuadrado de rea unitaria. Si lo expandimos por un factor de escala tres, esto es, triplicamos la longitud de sus lados, obtenemos un cuadrado cuya rea es nueve veces mayor. En esta ocasin tenemos nueve copias del cuadrado unitario original. Observemos que .

9 = 32Finalmente expandimos un cubo de volumen unitario con un factor de escala tres y obtenemos un cubo que consiste de 27 componentes congruentes. En este caso, .

27 = 33

Figura 3: Concepto de dimensin.

Obsrvese que en cada uno de los tres casos mencionados, tenemos una dimensin D, un factor de escala r y un nmero de componentes N, que satisfacen la ecuacin . Otros ejemplos de la validez de esta regla se

N = rDmuestran en la Figura 4, en donde un tringulo es expandido por un factor de

9

escala de 2, un cuadrado por un factor de 2.5 y un segmento de recta por uno de .

2

Figura 4: Ejemplos de escalamiento.

Como se demuestra en la Figura 4, ni N ni r necesitan ser estrictamente nmeros enteros para que la ecuacin sea vlida. La dimensin D, en

N = rDcambio, esperaramos que fuese siempre entera. Despejando D de la ecuacin anterior obtenemos la expresin general que estbamos buscando, misma que se conoce como dimensin de HausdorffBesicovitch.

D=

log N log r

Ahora veamos si es posible producir un objeto geomtrico cuya expansin por un factor r pueda ser dividida en N componentes de tal forma que su dimensin no sea un nmero entero. Nuestro primer ejemplo de dimensin fraccionaria puede ser hallado en la arquitectura de un interesante objeto ideado en 1904 por el matemtico sueco Helge von Koch y que recibe el nombre de copo de nieve de Koch. Su construccin empieza con un tringulo equiltero de lado unitario. Cada lado se divide en tres partes iguales y se remplaza la parte central por dos segmentos de igual longitud formando un ngulo de 60 grados. Luego, con la figura 10

resultante se procede de la misma manera en cada uno de sus lados y as sucesivamente (Figura 5). En este caso, a toda escala sobre la figura, cada lado de longitud L es dividido en secciones de un tercio de extensin, l=L/3 (r=3), y en el proceso se generan cuatro particiones de tamao similar (N=4). Entonces, usando la frmula de Hausdorff-Besicovitch para caracterizar la dimensin de este peculiar objeto obtenemos: Un objeto con dimensin fraccional!

D=

log 4 1.2619 log 3

El resultado es desconcertante pero indiscutible, y es una evidencia ms de la singularidad de la forma geomtrica que estudiamos. La dimensin de Hausdorff definida de esta manera es una medida de la complejidad y rugosidad del cuerpo, y nos da una idea de su extensin real en el espacio. El copo de nieve de Koch cubre ms espacio que una recta (D=1), pero menos que un plano (D=2). Incluso se puede demostrar que su permetro es infinito aunque est confinado en un rea bien determinada.

Figura 5: Construccin del copo de nieve de Koch.

5.3 ALGUNOS FRACTALES FAMOSOSOtros "monstruos" matemticos como la curva de Koch exhiben dimensiones fraccionales distintas y cada uno de ellos tiene una dimensin de Hausdorff que lo caracteriza.

11

Tal es el caso, por ejemplo, del tringulo de Sierpinski que es el resultado de seccionar a toda escala un tringulo equiltero en cuatro particiones similares cuyos lados son tan slo la mitad de los de la figura original (r=2). Una vez hecho esto se extrae la seccin central, de forma que queden las tres partes de los vrtices (N=3), y sobre stas se acta de la misma manera, como se muestra en la Figura 6. Su dimensin de Hausdorff es entonces:

D=

log 3 1.585 log 2

De forma anloga puede construirse la carpeta de Sierpinski (Figura 6) si la iteracin consiste en dividir a todos los niveles un cuadrado en secciones de un noveno de rea (r=3), eliminando la participacin del centro (N=8). Entindase por iteracin a la repeticin de la misma operacin o transformacin a toda escala. La dimensin de esta figura es:

D=

log 8 1.893 log 3

Figura 6: Construccin del tringulo y la carpeta de Sierpinski.

Comparando los resultados obtenidos para las tres figuras estudiadas se hace evidente que la dimensin de Hausdorff cuantifica hasta qu punto el objeto cubre el espacio en el que se encuentra inscrito. Mientras la curva de Koch 12

malcubre el plano, D=1.263, la carpeta de Sierpinski, D=1.893, lo logra casi completamente. [1] De esta misma forma, aplicando una operacin repetidamente sobre alguna figura podemos obtener un sinnmero de formas con dimensiones fractales. Como ejemplos tenemos la greca fractal cuya construccin puede vislumbrarse en la Figura 7 o el polvo de Cantor (Figura 8), mismo que es particularmente til como se ver ms tarde.

D=Figura 7: Greca fractal.

log 8 1.5 log 4

La construccin de ste ltimo fractal, tambin llamado conjunto de Cantor, resulta sencilla. Tomemos una lnea recta de longitud uno. Dividamos ahora esta lnea en tres partes iguales y quitemos la parte central. Cada segmento tiene ahora longitud de un tercio. Enseguida repetimos el mismo procedimiento con cada uno de los segmentos restantes. Cada uno de los segmentos tiene ahora una longitud de un noveno. Si se llevara a cabo este procedimiento un nmero muy grande de veces, se llegara a obtener un "polvo" formado de un nmero extraordinariamente grande de segmentos, cada uno de longitud pequesima. Su dimensin de Hausdorff, que de ahora en adelante llamaremos dimensin fractal, es:

D=

log 2 0.631 log 3

Figura 8: Polvo de Cantor.

En otras palabras, es ms que una coleccin de puntos, pero menos que una lnea.

5.3.1 LOS CONJUNTOS DE JULIALos fractales tambin pueden ser generados en base a un nmero sobre el que se hace una operacin de forma recursiva. Esta operacin puede ser, por 13

ejemplo, el elevar al cuadrado un nmero real lo cual se denotara por la expresin:

Z n +1 = Z n2As, tomando un nmero inicial , como ejemplo, se tendra la secuencia:

Z0 = 22, 4, 16, 256, 65536, , en la que cada elemento de la serie es el cuadrado de su antecesor. A esta secuencia de nmeros que se genera se le denomina la rbita de la iteracin, y el punto al que se tiende a llegar (infinito, en este caso) se le llama su atractor. Por ejemplo, si escogemos como punto inicial , obtenemos la rbita:

Z 0 = 0.50.5, 0.25, 0.0625, 0.00390625, , 0, en la que el atractor es cero. Los conjuntos de Julia son una familia de fractales, que se obtienen al estudiar el comportamiento de los nmeros complejos al ser iterados por una funcin de este tipo. Este trabajo fue desarrollado por dos matemticos franceses, Gaston Julia y Pierre Fatou, a principios de nuestro siglo. Sus resultados fueron la base sobre la que se construy la revolucin fractal de los ochenta. En particular, Benot Mandelbrot recuper su anlisis sobre el comportamiento de los nmeros complejos cuando la iteracin consiste en elevarlos al cuadrado y sumar una constante al resultado, esto es:

Z n +1 = Z n2 + cDonde c tambin es un nmero complejo. Las rbitas que ahora se generan son secuencias de nmeros complejos y sus caractersticas dependen fundamentalmente de los valores del punto inicial Z0 del que se parte y la constante c seleccionada. Desde 1906, Fatou haba demostrado que para cada valor de c, la aplicacin de esta iteracin sobre todos los puntos del plano complejo genera rbitas que en su mayora terminan en atractores que tienden a infinito, salvo para un conjunto bien definido de puntos. En estos casos, la iteracin tiende a rbitas peridicas donde se repite la misma secuencia de nmeros despus de cierto nmero de iteraciones o puntos que convergen hacia atractores finitos. A estos puntos, cuya iteracin no escapa a infinito, se les llama prisioneros, mientras los otros son escapistas. El conjunto de todos los puntos prisioneros pertenecen a lo que llamaremos el cuerpo de un conjunto de Julia. Para localizar los puntos que conforman el conjunto de Julia para una constante c dada, hay que recorrer el plano complejo buscando la frontera donde se pasa de tener rbitas que se disparan a infinito, a la regin donde esto ya no sucede. Al efectuar este procedimiento con la ayuda de un ordenador y colorear los puntos del plano de acuerdo con la velocidad con la que escapan o 14

convergen, se obtienen figuras de gran complejidad y belleza, como las que se muestran en la Figura 9.

c = 0.32+0.043i

c = 0.194+0.6557i

c = -0.12+ 0.66i

c = -0.1565+1.0322i

c = 0.12+ 0.74i

c = -0.1565+1.0322i

Figura 9: Conjuntos de Julia para distintos valores de la constante c.

5.3.2 EL CONJUNTO DE MANDELBROTDel anlisis de la Figura 9 se hace evidente que existen dos clases principales de conjuntos de Julia; aquellos para los cuales el cuerpo est formado por una sola pieza (el rea del cuerpo se dice que es conexa) y otros en los que el cuerpo est desmembrado en infinitas colecciones de puntos ms o menos aisladas (disconexa).

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Benot Mandelbrot, en la dcada de los setenta, fue el primero en localizar los valores de la constante c que dan lugar a conjuntos de Julia conexos. Al hacerlo se encontr con que esta coleccin de valores de c, que en su honor tiene el nombre de conjunto de Mandelbrot, tambin tena una estructura sorprendente cuando se representaba en el plano complejo. [1] Este conjunto se define as: [14]

(trmino inicial) z0 = 0 , c 2 zn +1 = zn + c (relacin de induccin)Existe otra manera de definir este conjunto: Es el conjunto de los complejos c para los que el conjunto de Julia asociado a fc(z) = z + c es conexo.

Figura 10: Conjunto de Mandelbrot. Cada imagen es una ampliacin de la anterior.

Si representamos en negro los puntos para los que la rbita de las iteraciones permanece acotada, y los puntos para los que esta rbita escapa se 16

representan de diferentes colores segn la velocidad con que la rbita se va a infinito, se obtienen las representaciones usuales del conjunto de Mandelbrot (Figura 10). Estas representaciones sugieren que su estructura es altamente compleja y nos muestran la autosimilaridad a diferentes escalas de observacin que si bien no es exacta, se puede demostrar que sigue siendo isomorfa a la inicial. Adems de esta caracterstica, el conjunto de Mandelbrot presenta otras propiedades. Es compacto, conexo y su complemento tambin es conexo. Su interior consta de un conjunto numerable de componentes. Su frontera tiene dimensin topolgica 1 pero dimensin de Hausdorff 2, la mxima posible al ser subconjunto del plano. Los diferentes tipos de conjuntos de Julia se reparten en diferentes regiones del conjunto de Mandelbrot.

5.4 PROPIEDADES DE UN FRACTALA un objeto geomtrico fractal se le atribuyen las siguientes caractersticas:[13]

Es demasiado irregular para ser descrito en trminos geomtricos tradicionales. Posee detalle a cualquier escala de observacin. Es autosimilar (exacta, aproximada o estadsticamente). Su dimensin de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensin topolgica. Se define mediante un simple algoritmo recursivo. No es diferenciable en ningn punto. Es preciso mencionar que no basta con una sola de estas caractersticas para definir un fractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar, carece del resto de las caractersticas exigidas.

5.5 CLASIFICACIN DE LOS FRACTALESPor su autosimilitud se pueden clasificar en:[13]

Fractales con autosimilitud exacta. Este es el tipo ms restrictivo de autosimilitud. Exige que el fractal sea idntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas.

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Fractales con cuasiautosimilitud. Exige que el fractal parezca aproximadamente idntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de s mismos. Matemticamente D.Sullivan defini el concepto de conjunto cuasiautosimilar a partir del concepto de cuasi-isometra. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Fractales con autosimilitud estadstica. Es el tipo ms dbil de autosimilitud; se exige que el fractal tenga medidas numricas o estadsticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo. Tambin se pueden clasificar segn el mtodo con el cual se generan o su construccin como: Sistemas de funciones iteradas (IFS). Unos conjuntos se reemplazan recursivamente por su imagen bajo un sistema de reglas. El conjunto de Cantor, la alfombra de Sierpinski, el tringulo de Sierpinski, la curva de Peano, la curva del dragn, el copo de nieve de Koch o la Esponja de Menger, son algunos ejemplos. Fractales de algoritmos de Escape. Definidos por una relacin de recurrencia en cada punto del espacio (por ejemplo, el plano complejo). Dentro de este tipo de fractales encontramos el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y el fractal de Lyapunov. Fractales aleatorios. Generados por procesos estocsticos, no deterministas. Como ejemplo estn el movimiento browniano, el vuelo de Lvy, los paisajes fractales o los rboles brownianos.

6 UTILIDAD DE LOS FRACTALES6.1 LOS FRACTALES EN LA NATURALEZAMandelbrot asegura que en la naturaleza existen muchos fenmenos de carcter fractal, de hecho, muchos ms de los que podemos imaginar: la trayectoria que sigue una partcula que realiza movimiento browniano; la forma de las cadenas montaosas, en las que si uno intentara medir su superficie, encontrara valores infinitos; el permetro de las costas que, al ir disminuyendo la escala escogida para medirlo, su longitud tiende a infinito; la configuracin de los sistemas respiratorio, nervioso y circulatorio en los vertebrados; la morfologa de algunas plantas y animales (Figura 11). [15]

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Figura 11: Fractales naturales. Izquierda: Brcoli romanescu. Derecha: Hoja de helecho.

En general, parece ser que dondequiera que un proceso irregular y catico ha dado forma al ambiente, se han generado geometras fractales como las costas, ros, montaas, nubes, rocas, etc. que por su redundancia y falta de regularidad poseen propiedades estructurales particulares. Es importante sealar que los fractales que existen en la naturaleza tienden a ser irregulares y son autosimilares slo en sentido estadstico. Adems, cuando se amplifica una de las partes de un fractal natural, la propiedad de generar la misma figura, o alguna similar, tiene lmites inferiores y superiores. Por ejemplo, al observar el perfil de una montaa, el tamao de los objetos ms grandes est determinado por la fuerza de gravedad, mientras que la menor escala de observacin a la cual todava se detectan los mismos detalles depende de la accin de la erosin y, por supuesto, del tamao de los tomos. Los fractales son, en ese sentido, slo una buena aproximacin de la estructura de las formas naturales.

6.2 APLICACIONES DE LOS FRACTALES EN LA CIENCIA Y LA TECNOLOGALos fractales mostraron su utilidad por primera vez cuando se gener con ellos un modelo simple para la aparicin de ruido en ciertas lneas de transmisin en sistemas de comunicacin digital, esto es, la presencia de breves interrupciones elctricas que confunden y dificultan la comunicacin, del tipo de las que estamos acostumbrados a or cuando hablamos por telfono o escuchamos el radio. [1] El anlisis de las seales demostr que las interrupciones aparecan por paquetes, pero dentro de estos paquetes se distingua una estructura intermitente, y dentro de sta, ms interrupciones recurrentes, etc. Un registro grfico de las interrupciones dio lugar a un patrn fractal similar al conjunto de Cantor (Figura 8). El polvo de Cantor es uno de los ms famosos, a pesar de no ser tan atractivo visualmente. Su estructura est detrs de varias cosas en el mundo real y as se ha utilizado como modelo para representar desde la distribucin de los 19

anillos de Saturno y las fluctuaciones en el precio del algodn a partir del siglo pasado, hasta las variaciones que el nivel de las aguas del ro Nilo ha experimentado desde hace 2000 aos. Ms an, cuando la idea que subyace en la construccin de este conjunto se extiende a tres dimensiones, el patrn que se genera coincide sorprendentemente con la distribucin de estrellas y galaxias en el universo. En el rea de las telecomunicaciones, los fractales han tenido tambin grandes aportaciones. En los sistemas mviles de comunicaciones es de vital importancia el uso racional del espacio. Sin embargo un elemento crucial del sistema que utiliza mucho de ese espacio es la antena. Una solucin inesperada para este problema fue construir antenas fractales, las cuales son ms compactas y tienen ciertas propiedades que las hacen preferibles a las antenas tradicionales. [16] Las propiedades de los fractales se aprovechan en la construccin de antenas que pueden obtener anchos de banda de 10 a 40% de la frecuencia central superiores a las antenas clsicas, que van de 10% a 20%, patrones de radiacin estables y gran nmero de bandas determinado por el nmero de iteraciones del fractal. [17] Las primeras antenas diseadas, fueron arreglos planos y lineales tipo fractales delgados, organizando los elementos en un patrn Fractal para reducir el nmero de elementos en el arreglo y obtener antenas de banda ancha o desempeo en mltiples bandas. Actualmente se est trabajando con curvas y objetos fractales como los tringulos de Sierpinski, rboles fractales, curvas e islas de Koch, entre otras (Figura 12) que minimicen el rea de la antena, aprovechando su capacidad natural multibanda.

Figura 12: Antenas fractales. De izquierda a derecha: Antena fractal para telfono mvil inspirada en la distribucin de Cantor; respuesta en frecuencia de dicha antena; antena fractal inspirada en la curva de Koch.

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Se han utilizado tcnicas derivadas de la teora de fractales en la compresin de imgenes, msica, video y datos en general.[13] Comprimir la imagen de un objeto autosemejante como el helecho de la Figura 13 no es difcil. Haciendo uso del teorema del collage, debemos encontrar un IFS o conjunto de transformaciones que lleva la figura completa (en negro) en cada una de sus partes autosemejantes (rojo, azul celeste y azul marino). La informacin sobre la imagen quedar codificada en el IFS, y la aplicacin reiterada de dichas transformaciones permite obtener la imagen procesada en cuestin.

Pero el enfoque anterior plantea problemas con muchas imgenes reales ya que no esperamos, por ejemplo, que la imagen de un gato presente pequeos gatitos distorsionados sobre s mismo. Para solventarlo, en 1989 Arnaud Jacquin cre el esquema de sistemas de funciones iteradas particionadas. En l se subdivide la imagen mediante una particin y para cada regin resultante se busca otra regin similar a la primera bajo las transformaciones apropiadas. El esquema resultante es un sistema de compresin con prdidas, de tiempo asimtrico. Lamentablemente an se tarda mucho en encontrar las transformaciones que definen la imagen. No obstante, una vez encontradas, la descodificacin es muy rpida. La compresin, aunque dependa de muchos factores, suele ser equiparable a la compresin JPEG. Algunos otros ejemplos de las numerosas aplicaciones que se le ha dado a los fractales se muestran en la Tabla 1.Tabla 1:Aplicaciones de los fractales.

Figura 13: Imagen autosemenjante de un helecho.

rea del conocimiento Comunicaciones Informtica Robtica

Aplicacin Modelado del trfico en redes. Tcnicas de compresin (imgenes, audio y vdeo). Robots fractales. 21

Infografa y artes plsticas Biologa Msica Fsica Qumica Geologa Economa

Paisajes fractales y otros objetos. Crecimiento tejidos, organizacin celular, evolucin de poblaciones. Composicin musical. Transiciones de fase en magnetismo, modelado de sistemas dinmicos. Agregacin por difusin limitada. Anlisis de patrones ssmicos. Fenmenos de erosin. Modelos de formaciones geolgicas. Anlisis burstil y de mercado. Filosofa de la fbrica fractal.

7 ANLISIS FRACTALDerivados de la matemtica fractal, han surgido un gran nmero de mtodos para analizar las propiedades fractales de fenmenos naturales, resultados de experimentos, imgenes y en general datos en los que se investiga si tienen o no, y si lo tienen, en qu medida, el comportamiento de un fractal, es decir, se analiza su dimensin fractal. Algunos de estos mtodos, mismos que se presentan en este trabajo, son:[18] Conteo de cajas (Box-Counting). Divisores (mtodo del comps). Relacin rea-permetro. Mtodo slit island (SIM). Autosimilaridad en series temporales o espaciales. Anlisis de fluctuacin sin tendencia (DFA) Anlisis de imgenes y textura. Anlisis multifractal.

7.1 CONTEO DE CAJAS (BOX-COUNTING).Este es uno de los mtodos ms utilizados para calcular la dimensin fractal de objetos en una imagen por su sencillez y fcil implementacin en un ordenador. Para calcular la dimensin de un objeto fractal, que bien puede ser la imagen de una costa, imaginemos que sobre la imagen se extiende una malla uniformemente espaciada y contemos cuntas cajas se requieren para cubrir el conjunto[19], como se muestra en la Figura 14. La dimensin fractal de ste objeto se calcula viendo cmo cambia ste nmero al ir haciendo la malla ms y ms fina.

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Figura 14: Mtodo de conteo de cajas aplicado para calcular la dimensin fractal de la costa de Inglaterra.

De esta forma, suponga que

es el nmero de cajas de longitud

N()

requeridas para cubrir el conjunto, entonces su dimensin fractal se define conforme a la frmula de MinkowskiBouligand como sigue:

D = lim

log N ( ) 0 log ( 1/ )

N 12 28 77 15 7 37 4

1/ 3 6 12 24 48

log[N ] 1.07 92 1.44 72 1.88 65 2.19 59 2.57 29 D=

log[1/ ] 0.477121 255 0.778151 25 1.079181 246 1.380211 242 1.681241 237 1.241

Figura 15: Clculo de la dimensin fractal de la costa de Inglaterra.

As, para la imagen de la Figura 14, se registra el nmero de cajas que contienen una parte de la costa de Inglaterra (N) y la longitud de las cajas ( ), al ir haciendo estas ltimas cada vez ms pequeas. Se calcula el logaritmo de estos dos valores y se puede observar que guarda una relacin lineal, como se aprecia en la Figura 15. La pendiente de la recta ser la dimensin fractal buscada. En este caso y en muchos ms en los que no se forma una recta perfecta, se toma la pendiente de la recta que ms se acerca a los puntos obtenidos, ya sea por mnimos cuadrados o cualquier otro criterio. 23

Cabe notar que existen otras variantes de este mtodo que utilizan en lugar de cajas, el mximo nmero de discos de radio r centrados en el conjunto, en este caso, cuyo centro se encuentra sobre la costa (Figura 16-centro), o el mnimo nmero de discos que cubren el conjunto (Figura 16-izquierda).

Figura 16: Otras variantes del mtodo de conteo de cajas.

7.2 DIVISORES (MTODO DEL COMPS).Otro mtodo muy extendido y claramente emparentado con el conteo de cajas es el mtodo de divisores o del comps (Compass o ruler method). Se utiliza habitualmente para medir la dimensin fractal de permetros. [20] Mandelbrot hizo popular los fractales utilizando este mtodo en un artculo titulado Cunto mide la costa de Gran Bretaa?

Figura 17: Mtodo del comps aplicado para calcular la dimensin fractal de la costa de Inglaterra.

Obsrvese la isla de la Figura 17. En el caso de la izquierda se ha medido la longitud de la costa utilizando una medida o regla de menor tamao con respecto del caso del centro y ste ltimo con respecto del caso de la derecha. La longitud medida depende obviamente del tamao de la regla. 24

El mtodo del comps consiste en mover una regla de longitud a lo largo de la curva. La longitud estimada de dicha curva ser el producto del nmero de pasos N de tamao delta necesarios para cubrir la costa, esto es, .

L = NValores de delta inferiores darn longitudes mayores; a medida que nuestra regla se hace ms y ms pequea, aadimos ms detalles y la longitud medida de la costa crece. La dimensin fractal es estimada midiendo la longitud L a diferentes valores de escala mediante la siguiente relacin:

D = lim

log ( L ) 0 log ( 1/ )

7.3 RELACIN REA-PERMETRO.El mtodo de rea-permetro es utilizado generalmente para estimar la dimensin fractal de objetos completos, y no slo su permetro. Dependiendo de los objetivos del anlisis, existen tres enfoques posibles: el mtodo basado en el permetro, para determinar la medida en que el permetro de la isla, es decir, del objeto a analizar, llena el plano; basado en el rea, para determinar la medida en que la propia isla llena el plano; y basada en el paisaje (islas divididas en diferentes tipos), para comparar la complejidad de las islas. Estos mtodos se pueden utilizar para determinar la dimensin fractal de un conjunto de islas o para cada isla.[18] El enfoque de la dimensin fractal perimetral mide el grado en el que el permetro de la o las islas llenan el plano. La relacin permetro-rea de un conjunto de islas est dada por:

P = kA

D

2

Donde el rea A es el nmero de pixeles que conforman el objeto dado, el permetro P es el nmero de pixeles en la frontera de la isla, k es una constante de escalamiento y D es la dimensin fractal, misma que se determina mediante la pendiente de la grfica de los logaritmos del rea contra permetro. El enfoque de la dimensin fractal del rea cuantifica la proporcin del plano que es ocupada por un objeto. Esta dimensin puede ser medida como:

D=

log A log L

Donde L es la longitud mxima horizontal o vertical de la isla en pixeles, y A es el nmero total de pixeles que conforman la isla. As, una isla cuadrada de n n 25

(A=n2, L=n), llena completamente el plano bidimensional (

),

D = log n 2 / log n = 2mientras que para una isla rectangular de longitud n y ancho unitario (A=n 1, L=n), es decir, una lnea recta, .

D = log n / log n = 1

7.4 MTODO SLIT ISLAND (SIM).El mtodo slit-island o mtodo de las islas emplea una relacin de permetrorea para determinar la dimensin fractal de imgenes en las que se distinguen mltiples islas u objetos fracturados. Se ha utilizado en gran medida en la evaluacin de la dimensin fractal de superficies fracturadas en metales como el acero y otros materiales como las cermicas.[21] Los permetros y reas de las islas son medidos con cajas de longitud E de forma muy parecida al mtodo del conteo de cajas, contando cuntas cajas son necesarias para cubrir la isla en su totalidad, en el caso del rea, y cuntas cajas tocan el contorno de la misma, en el caso del permetro. Como se puede prever, el tamao de la caja de conteo E se va haciendo cada vez ms pequeo pero en este caso la dimensin fractal se determina mediante la siguiente ecuacin que relaciona el rea de la isla con su permetro:

A / E 2 = I / E 2 + 0.5P / EDonde el trmino corresponde al rea de la isla, es el nmero de

A/ E

2

I /E0.5 P / E

2

cajas dentro de la frontera y

es la mitad del nmero de cajas sobre la

frontera del objeto a analizar. E, como ya se mencion, es el tamao de la caja en pixeles usada para contar. De esta forma se tiene que:

( A/ E )2

1

2

(P / E )

1

D

As, la dimensin fractal D puede ser obtenida con la pendiente de la recta resultante al graficar el logaritmo de contra el logaritmo de , a

A/E2distintos tamaos de E, como se ilustra en la Figura 18.

P/E

26

Figura 18: Estimacin de la dimensin fractal con el mtodo SIM para fracturas en una alecin metlica HS-21.

7.5 AUTOSIMILARIDAD EN SERIES TEMPORALES O ESPACIALES.El concepto de un objeto fractal, que carece de una escala de longitud caracterstica, se puede extender al anlisis de los complejos procesos temporales. Sin embargo, un reto en la deteccin y cuantificacin de la dimensin fractal en las series temporales es que a pesar de que este tipo de series se suelen representar en un plano bidimensional, en realidad dependen de dos variables fsicas distintas. Por ejemplo, en la Figura 19-a, el eje horizontal representa el tiempo, mientras que el eje vertical representa el valor de la variable que cambia con el tiempo, en este caso, la frecuencia cardaca. Estos dos ejes tienen unidades fsicas independientes: minutos y latidos por minuto, respectivamente. Incluso en los casos en los que los dos ejes de una serie en el tiempo tienen las mismas unidades, su significado fsico sigue siendo diferente. Esta situacin es diferente a la de las curvas geomtricas tales como las costas y cordilleras, donde ambos ejes representan una misma magnitud fsica.[22]

27

Figura 19: Autosimilaridad en series temporales.

Para determinar si una curva dependiente del tiempo es auto-similar, podemos hacer la siguiente prueba: tomemos un subconjunto del objeto y escalmoslo al mismo tamao del objeto original, utilizando el mismo factor de aumento, tanto para el ancho como para el alto, y luego comparemos las propiedades estadsticas del objeto escalado con las del objeto original (media, varianza, desviacin estndar, etc.). En la prctica, para determinar la dimensin fractal de una serie temporal para un intervalo de tiempo dado, ste se divide en subconjuntos del mismo tamao, es decir, en ventanas de observacin ms pequeas a las que se les analiza alguna propiedad estadstica, que generalmente es la desviacin estndar. Para obtener una buena aproximacin de la caracterstica estadstica a sta escala de la ventana, se promedian todos los valores individuales de la propiedad en cuestin para cada subconjunto. Este procedimiento se repite para diferentes tamaos de la ventana y la dimensin fractal se estima mediante la pendiente de la curva resultante de graficar el logaritmo de la propiedad estadstica contra el logaritmo del factor de escala de la ventana, como se puede apreciar en la Figura 19-d. Para este caso en particular, donde s es la desviacin

D = = log s / log nestndar y n es el tamao del subintervalo de tiempo de la ventana de observacin.

28

7.6 ANLISIS DE FLUCTUACIN SIN TENDENCIA (DFA)Una definicin simplificada y general caracteriza a una serie en el tiempo como estacionaria si su media, desviacin estndar, funciones de correlacin u otras propiedades permanecen invariantes bajo una traslacin en el tiempo. Las seales que no obedecen estas condiciones se denominan no estacionarias.[22] Para ste ltimo tipo de seales, el anlisis expuesto en el apartado 7.5 obviamente no funciona. Es por esto que se desarroll el anlisis de fluctuacin sin tendencia o DFA, por sus siglas en ingls (detrended fluctuation analysis).

Figura 20: Algoritmo del mtodo DFA.

En ste mtodo se divide la seal original en cajas o ventanas de longitud n. Para cada ventana se dibuja la recta que ms se ajusta a los valores de la curva por el mtodo de mnimos cuadrados. sta recta representa la tendencia de los valores dentro de la ventana (Figura 20). Posteriormente se calcula la magnitud de la fluctuacin de los valores dentro de dicha ventana mediante la siguiente ecuacin:

F ( n) =

1 N

y ( k ) y ( k ) k =1 n

N

2

Este clculo se repite en todas las escalas temporales (diferentes tamaos de la ventana) para proporcionar una relacin entre F(n) y el tamao del intervalo n. Tpicamente esta relacin nos da la dimensin fractal, misma que est dada por:

D=

log F ( n ) log n

7.7 ANLISIS DE IMGENES Y TEXTURA.

29

En ste mtodo una imagen, la cual se supone tiene una textura, es interpretada como un terreno en tres dimensiones, en donde cada coordenada x,y de la imagen tiene una tercera dimensin asociada z que representa la intensidad de color del pixel.[18] Posteriormente se realiza un procedimiento muy similar al del mtodo de conteo de cajas, descrito en el apartado 7.1, slo que en este caso en lugar de dividir la imagen con cajas bidimensionales, se tendr que el terreno tridimensional es dividido en cubos de tamao (Figura 21). Se cuentan el nmero de cubos N que engloban el terreno a analizar y se relaciona el logaritmo de sta cantidad con el logaritmo del tamao de los cubos. De igual forma, la magnitud se hace variar. La dimensin fractal se estima con la ecuacin de MinkowskiBouligand.

Figura 21: Mtodo de conteo de cajas modificado para imgenes con textura.

7.8 ANLISIS MULTIFRACTAL.Cuando se aplica la caracterizacin fractal a imgenes, suele ocurrir que la entidad a estudiar presenta las intensidades que la forman distribuidas en un intervalo de nivel de grises suficientemente amplio para no poder ser caracterizado adecuadamente con una nica dimensin fractal. Para poder analizar correctamente esta situacin se dispone de la caracterizacin multifractal.[23][24] Esta metodologa de anlisis divide el intervalo de intensidades a analizar en diferentes subintervalos, para cada uno de estos se realiza la correspondiente caracterizacin fractal utilizando el mtodo del conteo de cajas. Ahora se 30

obtiene como resultado una representacin de las dimensiones fractales obtenidas frente a las intensidades correspondientes. En esta caracterizacin se pueden realizar mltiples anlisis, pero es primordial asignar un significado a la intensidad observada en la imagen. Puede representar densidad, temperatura, altura, mdulo de la velocidad o cualquier parmetro fsico de inters relacionado con la estructura espacial autosimilar de la imagen. Para cada una de estas situaciones podemos hablar de la complejidad observada en funcin de la intensidad de la magnitud caracterizada y usar la dimensin fractal para describir la geometra reflejada en la imagen por los procesos fsicos inherentes.

Figura 22: Clculo de la dimensin multifractal mediante el software especializado ImaCalc de la imagen satelital de un vrtice ocenico.

7.9 SOFTWARE PARA EL ANLISIS FRACTALExisten un gran nmero de programas computacionales para el anlisis de imgenes y datos que incluyen herramientas o estn destinados para el estudio de su dimensin fractal por diversos mtodos como los comentados en los apartados anteriores. Algunos de estos programas se enlistan a continuacin: HarFA FracLab Fractalyse 31

FracTop Fractal3e ImaCalc Kindratenko SimuLab FracLac (mdulos para ImageJ)

8 CONCLUSIONESEl estudio de los fractales as como de los mtodos de anlisis fractal sigue en desarrollo y aplicndose cada vez en un mayor nmero de ramas del conocimiento. Al igual que con otras tcnicas de anlisis de datos tales como el anlisis en frecuencia por transformada de Fourier, Wavelets o anlisis estadsticos, es importante conocer este tipo de herramientas para tener un panorama ms amplio a la hora de enfrentarnos a la resolucin de un problema.

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