Teor procedimientos de demostracin y a, o ejercicios de Anlisis Funcional aLic. Alejandro Alonso Fster u Dra. Luc Argelles Corts a u e

FACULTAD DE MATEMATICA, F ISICA Y COMPUTACION Universidad Central Marta Abreude Las Villas Cuba 2005

Indice General1 Una aproximacin al estudio del Anlisis Funcional o a 1 1.1 Orientaciones metodolgicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 o 1.2 Caracter sticas del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Sobre el enfoque global en el curso de Anlisis Funcional . . . 5 a 1.4 Prembulo al texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a 1.4.1 Inuencia del Anlisis Clsico en el Anlisis Funcional a a a 7 1.4.2 Generalizacin de la geometr al Anlisis Funcional . . 10 o a a 1.4.3 Importancia de los espacios normados generales . . . . 11 1.5 Panormica del texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 a 2 Espacios normados 2.1 Espacios normados . . . . . . . . . . 2.2 Espacios de Banach . . . . . . . . . . 2.3 Espacios de Hilbert . . . . . . . . . . 2.4 Desigualdades de Hlder y Minkowski o 2.5 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . 2.6 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 16 20 24 25 27 43 45 45 50 60 63 70 71 79 85 92

3 Operadores lineales 3.1 Continuidad, acotacin y norma de un operador lineal o 3.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Espacio de operadores lineales acotados . . . . . . . . 3.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Operadores inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Operadores cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Operadores casi cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . i

3.6

3.5.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 99 . 99 . 101 . . . . . . . . . 102 108 119 121 122 124 132 135 140

4 Espacios duales y operadores conjugados 4.1 Funcionales lineales continuos en espacios normados . . . . . 4.2 Teorema de Hahn-Banach. Estructura del Espacio Dual . . . 4.2.1 Aplicaciones del Teorema de la Acotacin Uniforme al o caso de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Espacio Dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Operadores Conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Conjugado de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Convergencia Dbil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.4.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Conjuntos compactos y Operadores totalmente continuos 5.1 Conjuntos compactos en espacios normados . . . . . . . . . 5.2 Operadores lineales totalmente continuos . . . . . . . . . . . 5.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ejercicios resueltos aplicados a la resolucin de ecuaciones ino tegrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Ejemplos Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Operadores autoconjugados. Teor espectral a 6.1 Operadores autoconjugados . . . . . . . . . . 6.1.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . 6.2 Espectro de un operador lineal . . . . . . . . . 6.2.1 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . 6.3 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142 . 143 . 144 . 150 . 161 . 179 180 . 180 . 182 . 188 . 195 . 206

ii

Cap tulo 1 Una aproximacin al estudio o del Anlisis Funcional aEl Anlisis Funcional es un producto de las matemticas modernas que cona a densa resultados de diferentes ramas del anlisis tales como: las ecuaciones a diferenciales ordinarias y parciales, ecuaciones integrales, clculo variacional, a anlisis numrico, teor de aproximaciones y otros. Se ha demostrado que a e a resulta sumamente importante para una mejor comprensin de resultados ya o obtenidos y por obtener. Hoy d es imposible trabajar en temas del anlisis a, a sin algn conocimiento de los mtodos y herramientas que nos proporciona. u e El anlisis clsico trabaja en espacios eucl a a deos ndimensionales, de donde tenemos las nociones de funciones, convergencia, etc. El Anlisis Funcional a extiende y generaliza considerablemente algunas nociones como espacio, convergencia y funcin. Los elementos de los espacios ahora no slo sern o o a nmeros o nuplos de nmeros sino elementos de naturaleza arbitraria, por u u ejemplo: funciones, medidas, sucesiones. Estos espacios pueden tener innitas dimensiones y stas pueden ser contables o no. Adems de funciones se e a tienen aplicaciones (transformaciones) de espacios en otros, por lo que en casos especiales podemos hablar de funcionales y operadores. La convergencia y los l mites sern tambin redenidos de manera muy general para espacios a e muy abstractos. La forma muy general de estas nociones bsicas permite aplicar los resula tados en otras ramas distintas de las matemticas. Algunos resultados estn a a muy cerca de los clsicos del anlisis, pero en otros casos dieren considerablea a 1

mente de las ideas que se tienen de los espacios euclideanos ndimensionales. Resulta un hecho que las interpretaciones geomtricas son muy importantes e para entender muchos mtodos del Anlisis Funcional, es por esto que resule a ta necesario conocer las nociones geomtricas en cualquier momento en esta e especialidad. Las herramientas algebraicas son, tambin, de suma importancia y complee tan la idea de que existen tres ramas de las matemticas (geometr lgebra a a, a y anlisis) que se encuentran conectadas de una manera muy evidente. a Este texto comienza desde un recordatorio de algunos conceptos y se va adentrando en la teor m a nima necesaria para resolver mltiples problemas u del Anlisis Funcional. a

1.1

Orientaciones metodolgicas o

La asignatura Anlisis Funcional es una de las de mayor grado de abstraccin a o a la cual se enfrenta el estudiante de Licenciatura en Matemtica. Esto se a debe a su carcter unicador, destinado a la obtencin de resultados muy a o generales que pueden ser aplicados prcticamente en todas las ramas de la a Matemtica. Lo anterior explica por qu esta asignatura es considerada sia e multneamente como bsica espec a a ca y como asignatura del ejercicio de la profesin. o El enfoque intr nseco del Anlisis Funcional constituye una dicultad para a la generalidad de los estudiantes que la reciben a la altura del cuarto ao n de la carrera, tras haber recibido otras asignaturas bsicas y del ejercicio de a la profesin, donde se han aprendido algunas tcnicas un tanto espec o e cas del Anlisis Funcional. Entre estas asignaturas pueden citarse el Anlisis a a Matemtico, la Topolog y la Teor de la Medida e Integracin. a a a o La dicultad que se ha aludido ha sido reconocida por estudiantes de todas las universidades del pa en diversos contextos, por lo cual la imparticin s o del Anlisis Funcional constituye un reto pedaggico para los profesores del a o claustro de la carrera, agravado por la carencia de textos con caracter sticas idneas. o 2

El texto bsico carece expl a citamente de ejercitacin y los textos de cono sulta que pueden utilizarse (que se reeren en la bibliograf de este texto) a maniestan algunos de los sealamientos siguientes: n Solo muestran algunos ejercicios propuestos, ninguno resuelto. Indican respuestas cualitativas de algunos ejercicios propuestos. En algunos casos se esboza la aplicacin de ciertos articios. o Por lo antes sealado reviste importancia acometer la didctica especializan a da de esta asignatura a partir de la elaboracin de un libro como material o de estudio que posea las caracter sticas requeridas, en particular, cubrir los contenidos planteados en el Plan de Estudios de la Carrera de Matemtica. a La intencin del texto es viabilizar la adquisicin de habilidades en las tcnio o e cas del Anlisis Funcional, que deben lograrse mediante las formas organia zativas de docencia tales como el seminario, cuya preparacin debe estar o apoyada en una adecuada orientacin del trabajo independiente. o El seminario es propicio para debatir tanto aspectos tericos como prcticos, o a por lo que se ha prestado atencin al desarrollo de ejemplos de ambos tipos o en el texto. Por tanto, complementando el texto con una gu apropiada, se a puede estimular la independencia en el estudiante, potenciar la inclusin de o temas novedosos del perl del especialista (de acuerdo con el Plan de Estudio), seleccionar las actividades preparatorias para el desarrollo del seminario y basar la ejecucin de actividades de rearmacin de conocimientos. o o

1.2

Caracter sticas del texto

El presente libro es el resultado de varios aos de trabajo de los profesores de n la asignatura Anlisis Funcional y surge debido a la necesidad de que tanto a los estudiantes como los profesores puedan utilizar un texto metodolgicao mente apropiado para el desarrollo del proceso docente-educativo. El mismo est estructurado mediante seis cap a tulos que abarcan temas bsicos a de la formacin del profesional en esta asignatura. Cada uno de los cap o tulos presenta los esenciales tericos dosicados en ep o grafes que muestran las 3

deniciones, relaciones tericas fundamentales y comentarios que contribuyen o a la jacin del conocimiento. El desarrollo de los ejercicios est preparado o a para que el profesor pueda viabilizar la enseanza problmica y para que el n e estudiante pueda estudiar de forma tutorial bajo la orientacin del docente o porque se han explotado creativamente las facilidades del editor1 para este n. Como caracter stica general, la forma de presentacin de los cap o tulos conere una unidad metodolgica al texto. Este hecho, unido a que el tratamiento o terico es general y el contenido es consecuente con los requerimientos de la o ejercitacin seleccionada, hace del texto un material bibliogrco auto cono a tenido. Con el n de rearmar y ampliar la formacin profesional relacionada con o el ejercicio de la profesin, en el penltimo cap o u tulo se han introducido ejercicios relacionados con la aplicacin prctica de la teor de Fredholm a la o a a resolucin de ecuaciones integrales, lo cual refuerza el carcter extraordinario o a de este texto en cuanto a su aplicabilidad. Sobre la base de resultados ya publicados, relativos a la aplicacin de moo dernos mtodos de enseanza en el aprendizaje de la Matemtica, en algunos e n a casos vinculados al uso de la computacin, en la confeccin del presente libro o o se maniestan las siguientes perspectivas que coneren aspectos novedosos al texto: Se han utilizado las extraordinarias ventajas que ofrece el LaTeX en cuanto al manejo de la simbolog estructural, con vistas a instrumentar a la condicin tutorial del conocimiento, lo cual aumenta notablemente o la calidad del autoestudio. Esto puede apreciarse a lo largo de los ejercicios que son explicados en este libro. Se han aprovechado invariantes metodolgicas para el desarrollo de o algunos temas, tales como la determinacin de la norma de un operador, o en particular de un funcional. Se ha procurado facilitar tanto al profesor como al estudiante la concepcin del seminario como forma de concretar el papel integrador de o la asignatura. A este n contribuye la forma en que se ha diseado la n resolucin de los ejercicios. o1

LaTeX

4

Se viabiliza la comprensin del estudiante en lo relativo al tratamiento o de la modelacin matemtica en problemas del Anlisis Funcional, si o a a el profesor aplica las reglas heur sticas que caracterizan el mtodo de e enseanza problmica. n e Se facilita al profesor el montaje de una ingenier didctica, debido a a a que se ha utilizado un enfoque apropiado mediante el cual los ejercicios se presentan de forma natural en el contexto de la presentacin terica o o y los ejercicios propuestos no son simplemente ejercicios adicionales, sino que constituyen un complemento, puesto que se originan en los ejercicios resueltos o los generalizan.

1.3

Sobre el enfoque global en el curso de Anlisis Funcional a

Para el logro de valores ticos en el estudiante, es muy util que gane conciene cia de la relevancia de los hechos precedentes y del esfuerzo mantenido del hombre para alcanzar nuevas conquistas como respuesta a los retos sociales. Por esto se impone abordar de forma sistemtica y organizada el contenido a con un enfoque que proyecte en particular la historia de la profesin. o La presentacin realizada toma en consideracin diversas dimensiones o l o o neas de la relacin Anlisis Funcional-contexto histrico con caracter o a o sticas utilitarias bien denidas. Entre las dimensiones pueden citarse las siguientes: Psicolgica: Busca la motivacin por la aplicacin de potentes resultados o o o que conducen al manejo de valores ticos inherentes a la matemtica, e a tales como la elegancia, la precisin y la concisin. o o Epistemolgica: Destinada a materializar las relaciones con otras discio plinas. En este caso son claros los v nculos con las ms notables a propiedades topolgicas de los espacios mtricos, entre ellas la caracterio e zacin de la continuidad de funciones denidas entre espacios mtricos o e (ampliamente utilizada en la resolucin de los ejercicios), el teorema de o Baire (base de la demostracin del teorema general de la acotacin unio o forme) y las caracterizaciones de la compacidad en espacios mtricos, e expl citamente resumidas en el cap tulo 5 por su relevancia prctica en a 5

el mismo. Como proyeccin de la teor estudiada se han aplicado resultados o a bsicos del Anlisis Funcional en diversas reas, como por ejemplo el a a a teorema de la acotacin uniforme en Anlisis Matemtico; la teor de o a a a operadores inversos en Matemtica Numrica y en Ecuaciones Diferena e ciales; la nocin de convergencia dbil en la teor de funciones generao e a lizadas y la teor espectral en la resolucin de ecuaciones integrales. a o Lgica: Mediante la dosicacin de procesos inductivo-deductivos. En este o o texto se procura un balance entre lo general y lo particular y una concatenacin terico-prctica basada en los esenciales m o o a nimos y la adecuada aplicacin de la experiencia acumulada. o Axiolgica: Debe garantizar la derivacin de valores partiendo de la aseo o quibilidad del conocimiento a partir de las caracter sticas de la presentacin, la forma de usar las tcnicas y el lenguaje. El objetivo o e es lograr la actualidad en la informacin, profundizar la especicidad o cultural e inculcar un compromiso social mediante el anlisis de los hea chos y de la labor de eminentes profesionales. En el presente estudio hay nombres expl citos de gran signicacin cient o ca en la historia del Anlisis Funcional, entre ellos: Stefan Banach (1892-1945) pionero en a el estudio de los espacios normados y de sus aplicaciones a partir de 1922; David Hilbert (1862-1943) considerado el ms clebre matemtico a e a alemn de la primera mitad del siglo XX, con aportes en casi todas las a ramas de la matemtica (fue contemporneo de Otto Hlder (Alemaa a o nia, 1859-1937)); Hermann Minkowski (1864-1909), matemtico y f a sico alemn de origen ruso, creador de algunos tipos de espacios que fueron a la base del progreso de la Teor de la Relatividad y Frederich Riesz a (1880-1956), hngaro, que continu y generaliz la obra de Hilbert. u o o

1.4

Prembulo al texto a

Con vistas a propiciar una motivacin inicial para un acercamiento al texto, o brindamos aqu una exposicin informal que constituye una visin escueta de o o ideas previas que contribuyen a la comprensin de la perspectiva del presente o libro.

6

1.4.1

Inuencia del Anlisis Clsico en el Anlisis Funa a a cional

Para adquirir una idea de cmo se origin la teor del Anlisis Funcional, es o o a a util tomar en consideracin algunos hechos basados en la geometr clsica, o a a como los que se exponen a continuacin: o En el espacio Rn de n-plos de coordenadas reales, se pueden denir dos operaciones: una de suma (que permite la traslacin) y otra de o multiplicacin por un escalar (o dilatacin en sentido amplio) y estas o o operaciones dotan a este espacio de una estructura de espacio vectorial, lo cual ofrece la posibilidad de expresar algebraicamente propiedades anes de la geometr (por ejemplo, el segmento xy es paralelo al zu si a el vector y x es igual al vector u z). La distancia euclideana permite fundamentar la nocin de convergeno n cia de una sucesin de puntos en R . La formalizacin del concepto o o de distancia euclideana entre dos puntos x, y como una aplicacin de o n valores positivos denida sobre el producto cartesiano de R por s mis mo, posee tres propiedades muy caracter sticas asociadas a la nocin o heur stica de la separacin entre dos puntos: la propiedad triangular, o que expresa que en todo tringulo XY Z, la longitud del lado XY es a menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados; la propiedad de invarianza del valor de la distancia al permutar la notacin de los o puntos considerados y la propiedad de nulidad del valor de la distancia si y slo si los puntos coinciden. o De aqu que Rn est dotado de una estructura mtrica que presen a e ta dos propiedades bsicas, sobre las cuales descansa la teor clsica a a a de funciones, esto es, el Anlisis Matemtico: el teorema de Cauchya a Bolzano (una sucesin es convergente si y slo si es de Cauchy) y el o o teorema de Bolzano-Weirstrass (de toda sucesin acotada se puede exo traer una subsucesin convergente). La suciencia para la convergencia o en el teorema de Cauchy-Bolzano ofrece un modelo de comportamiento de Rn que debe recuperarse en espacios ms generales mediante una a caracter stica expl cita, lo cual origina la nocin de espacio mtrico o e completo. o sticas vectorial y mtrica (euclideana, e La relacin entre las caracter 7

por lo que Rn se designa entonces como E n ) est dada por las dos a propiedades que pueden expresarse as : (1) La distancia d(x, y) entre los puntos x, y no cambia si los dos puntos se someten a la misma traslacin, esto es: d(x + z, y + z) = d(x, y). o (2) La distancia entre los puntos x, y queda multiplicada por el mdulo o del escalar que dilata ambos puntos, es decir: d(cx, cy) = |c| d(x, y). Tomando z = y en la primera propiedad se tiene d(x y, 0) = d(x, y), lo cual signica que es suciente conocer las distancias al origen para determinar las distancias entre todos los puntos. Por tanto, el nmero d(x, 0) adquiere una relevancia especial que u tiene las propiedades siguientes: d(x, y) 0 d(x + y, 0) ,Prop. (1)

d(x, 0) = 0 x = 0,

d(cx, 0) = |c| d(x, 0)

= =

d(x + y y, y) = d(x, y) d(x, 0) + d(0, y)d((1)(0),(1)y)

Prop. (2)

d(x, 0) + |1| d(0, y)=1

=

d(x, 0) + d(0, y)

Por invarianza

=

d(x, 0) + d(y, 0)

A la aplicacin p(x) = d(x, 0) de valores positivos denida sobre Rn se o le llama norma y de acuerdo con lo anterior cumple las propiedades: (N1) p(x) = 0 x = 0; (N2) p(cx) = |c| p(x); (N3) p(x + y) p(x) + p(y). El concepto de norma se vincula estrechamente al de producto escalar de cualquier par de vectores de Rn : x = (x1 , x2 , ..., xn ) 8 y = (y1 , y2 , ..., yn )

denido as : (x| y) =

n

xi y i ,i=1

debido a quen

(x| x) =i=1

x2 (d(x, 0))2 = (p(x))2 . i

Este producto obedece a las leyes siguientes: (x1 + x2 | y) = (x1 | y) + (x2 | y) (cx| y) = c (x| y) (x| y) = (y| x) (x| x) 0; (x| x) = 0 x = 0; y adems la desigualdad fundamental a |(x| y)| p(x) p(y) Luego para dos vectores no nulos x, y se tiene que |(x| y)| (x| y) 1 1 1 p(x) p(y) p(x) p(y) y este hecho origina la nocin de ngulo entre dos vectores x, y o a mediante la denicin o cos = (x| y) . p(x) p(y)

La importancia de esta relacin radica en que nociones tales como la o perpendicularidad entre vectores, as como resultados asociados (por ejemplo el teorema de Pitgoras) se generalizan a espacios arbitrarios a siempre que exista un producto que satisfaga la axiomtica del producto a escalar analizado.

9

1.4.2

Generalizacin de la geometr al Anlisis Funo a a cional

Aunque desde la poca de Euclides se sab que la validez de los teoremas e a de la geometr dependen slamente de la axiomtica que gobierna el coma o a portamiento de los entes geomtricos y no de la naturaleza de dichos entes, e durante mucho tiempo la imagen f sica de los conceptos de punto, recta, ngulo, etc., ejerci una gran limitacin al campo de aplicacin de los teorea o o o mas. Con el desarrollo del Anlisis Matemtico, la perspectiva axiomtica para la a a a aplicacin prctica de los resultados gan fuerza, y por tanto trascendi del o a o o marco de E n . Son muy notables los problemas que plantean los ejemplos siguientes: 1) Dada una matriz K = (kij ) y un vector y = (y1 , ..., yn ) E n , hallar un vector x = (x1 , ..., xn ) E n tal que:n

kij xj = yij=1

i = 1, ..., n

De forma precisa, la incgnita es una funcin x con dominio en el o o conjunto {1, ..., n} tal que x(i) = xi i = 1, ..., n

Entonces, x constituye un punto en un cierto conjunto de funciones. Ntese que una matriz es un caso particular de una funcin de dos o o variables, y sobre la base de esta analog Ivar Fredholm (Suecia, 1866a, 1927) plante el problema que se presenta a continuacin. o o 2) Dada una funcin de dos variables k(t, s), t, s [a, b], la funcin y(t) y el o o parmetro , hallar una funcin x(t) tal que a ob

x(t) +a

k(t, s)x(s) ds = y(t)

Como en el caso de la teor de ecuaciones algebraicas se tiene una ina terpretacin geomtrica de la misma por su relacin con E n , Hilbert se o e o 10

propuso hallar un enfoque geomtrico anlogo para la teor de Frede a a holm, y esto lo llev a introducir espacios de dimensin innita cuyos o o elementos eran sucesiones o funciones con ciertas caracter sticas, donde se puede denir la nocin de distancia, perpendicularidad u ortogonao lidad, etc. En la teor de Hilbert se generaliza la nocin de punto, a o pero se mantiene anloga la frmula para la distancia. En sus trabaa o jos, Minkowski generaliza la nocin de distancia en un cierto sentido; o pero impl citamente la generalizacin del concepto de distancia se ten o a desde que Pafnuty Chebychev (Rusia, 1821-1894), en la teor de aproxa imacin de una funcin continua x por un polinomio P (t), al evaluar o o la bondad de la aproximacin, utilizaba el valor de o d(x, P ) = sup |x(t) P (t)| ,t[a,b]

ya que posee todas las propiedades reseadas para la distancia. n

1.4.3

Importancia de los espacios normados generales

La creacin de las teor abstractas de espacios mtricos, normados, hilbero as e tianos, etc., donde slo se jan los axiomas a los que obedecen estos cono ceptos, permite deducir un grupo de teoremas que despus puede aplicarse a e diversas teor particulares y as se evita repetir para cada teor particular as a el mismo razonamiento. Usualmente, la teor general se enriquece mediante las tres v siguientes: a as Buscando analog de buenaspropiedades establecidas en espacios as concretos. As por ejemplo, se generalizan las nociones de espacio , completo y de conjunto compacto. En el caso de esta ultima nocin, el o proceso de transferencia de la misma a espacios innito-dimensionales conduce a un concepto cualitativamente ms amplio que el que se tiene a en E n . Aumentando la cantidad de estructuras disponibles sobre un conjunto, ya que hay ms propiedades y resultados que pueden ser utilizados. Por a ejemplo, si en un espacio normado se considera adems un producto a como operacin interna, que satisface ciertas compatibilidades tanto o con la estructura algebraica de espacio vectorial como con la estructura 11

topolgica de norma, entonces la teor se hace ms rica porque se o a a pueden considerar adems las especicidades de otras teor tales como a as la de ideales. Estableciendo relaciones entre diversos espacios mediante morsmos apropiados. Entre ellos se destacan los que dan lugares a los espacios normados siguientes: L(E) = {T : E E, E = {f : E K, T lineal} (completo si E es completo) f lineal} .

La importancia de L(E) reside en que constituye el marco apropiado para la teor espectral, la cual resulta una generalizacin a espacios a o innitos de la reduccin de una matriz a la forma diagonal, mientras o que la del espacio E radica en que permite obtener resultados de representacin que logran la identicacin de espacios arbitrarios con eso o pacios conocidos.

1.5

Panormica del texto a

El presente texto consta de seis cap tulos, especializados en tcnicas del Anlie a sis Funcional lineal a partir del segundo. Las principales ideas de cada cap tulo pueden resumirse como sigue: El segundo cap tulo, relativo a espacios normados, destaca la axiomtica a esencial del concepto de norma e introduce por su relevancia la nocin o de espacio de Banach como caso particular de espacio mtrico complee to, ya que dicha nocin fundamenta un conjunto sustancial de resultao dos muy importantes en las aplicaciones. A su vez, son introducidos los espacios de Hilbert como casos particulares de espacios de Banach, debido a que constituyen la generalizacin natural de los espacios eucl o deos (donde existe el concepto de ortogonalidad) y adems constituyen a tambin el marco apropiado para el bsico teorema de Riesz. e a Los espacios normados resultan el caso ms sencillo de espacios veca toriales topolgicos, y en los ejemplos resueltos se fortalece la idea de o la compatibilidad entre la estructura algebraica de espacio vectorial y la 12

estructura topolgica asociada a la norma mediante la demostracin de o o la continuidad de las operaciones de espacio vectorial. Se muestra una forma general del teorema de la acotacin uniforme que se particulariza o posteriormente en el cuarto cap tulo. El tercer cap tulo estudia los operadores lineales con una gran incidencia prctica como muestran los tipos abordados en la ejemplicacin: a o integrales, diferenciales, de diferencias nitas, de transformadas, matriciales, de retardo, de evaluacin, de proyeccin, etc. o o Dentro de la clase de los operadores lineales se estudian y caracterizan subclases distinguidas por su potencia terica: los operadores contio nuos, los inversibles y los cerrados. Aqu se establece la equivalencia entre operadores continuos y aco tados, lo cual facilita el manejo de diversas formas equivalentes de la nocin de norma de un operador. o En cuanto a los operadores inversibles se investigan las condiciones para garantizar la continuidad del inverso y se demuestran diversas relaciones entre los conceptos de operador cerrado y operador continuo. En el cuarto cap tulo, la nocin de norma de un operador se particulao riza al caso de funcionales lineales continuos, que constituyen su objeto de estudio. Los resultados tericos que se manejan se dividen en tres o sentidos: el primero, enfatizar las aplicaciones anal ticas del teorema de Hahn-Banach; el segundo, particularizar al caso de algunos funcionales el teorema de la acotacin uniforme analizado en el cap o tulo 2 y el tercero, introducir la importante nocin (por su aplicacin en o o optimizacin) de operador lineal adjunto y del concepto derivado en el o contexto de espacios de Hilbert que se denomina como conjugado de Hermite. El quinto cap tulo trata una clase con propiedades especiales, que es usual en la teor de las ecuaciones integrales y en los procesos de a sumacin: sta es la clase de los operadores totalmente continuos. o e El sexto cap tulo se utiliza para aplicar los fundamentos tericos del o 13

cap tulo anterior, vinculados con el desarrollo de rudimentos de la teor a espectral. Finalmente se ofrece un ndice de materias para ayudar al lector a localizar las principales deniciones y las nomenclaturas de los teoremas que son estudiados y aplicados en el texto.

14

Cap tulo 2 Espacios normadosLa nocin de mdulo (o valor absoluto) de un nmero real es muy importante o o u porque a partir de l se dene un indicador de la cercan entre dos nmeros e a u cualesquiera: ste consiste en considerar el mdulo de la diferencia entre e o ellos, es decir, se puede denir la aplicacin: o d : R R R+ as d(x, y) = |x y| :

Con este concepto se puede denir inmediatamente la nocin de l o mite de una sucesin {xn } a x, se denota xn x y se dice que xn tiende a x: o xn x > 0 n0 N : n n0def.

d(xn , x) = |xn x| 0. El conjunto Sr (x0 ) = {x X : x x0 r} se llama bola cerrada de centro en el punto x0 X y radio r > 0. El conjunto (x0 ) = {x X : x x0 = r} se llama esfera con centro en el punto x0 X y radio r > 0. Un conjunto A X se denomina acotado si es posible encerrarlo en una bola (abierta o cerrada). (Ejercicio resuelto 4) El nmero u Diam(A) = sup x yx,yA

a se denomina dimetro del conjunto A X. La nomenclatura de dimetro se justica porque esta nocin generaliza la a o de dimetro de un c a rculo y la importancia de este concepto radica en que proporciona una v alternativa para probar que un conjunto de un espacio a mtrico est acotado: e a A est acotado Diam(A) < +. a (Ejercicio propuesto 2) El nmero u d(x, A) = inf x yyA

se denomina distancia de un punto x X a un conjunto A X. El nmero u d(A, B) =xA,yB

inf

xy

se denomina distancia entre los conjuntos A, B X. Un conjunto se llama abierto si para cualquier x0 M existe un r > 0 tal que, Sr (x0 ) M . Un punto a X se llama punto de acumulacin del o conjunto M X si en cualquier bola Sr (a) existe un punto x M (x = a). El conjunto de todos los puntos de acumulacin del conjunto M se designa o por M . El conjunto M M se llama clausura del conjunto M y se denota mediante M . Un conjunto M X se llama cerrado si M = M . Una sucesin {xn } X(n N) se llama convergente hacia el elemento o 17

x0 X y se escribe xn x0 si xn x0 0. Una caracterizacin muy o n util de punto de clausura es la siguiente: x M {xn } M (Ejercicio resuelto 5) Un conjunto L X se denomina variedad lineal si de x, y L se deduce que 1 x + 2 y L, para cualesquiera 1 , 2 . Si la variedad lineal es un conjunto cerrado en X, entonces se llama subespacio. Se llama segmento, que une los puntos x, y X, al conjunto de puntos del tipo x + (1 )y, 0. Un conjunto A X se llama convexo si el segmento que une cualesquiera dos puntos de A, est contenido totalmente en A. a Las nociones topolgicas de conjunto compacto y de conjunto relativamente o compacto adquieren en un espacio mtrico formas especiales muy prcticas e a porque pueden establecerse en trminos de sucesiones. Debido a que todo e espacio normado es mtrico, estas formas son vlidas tambin en los espacios e a e normados. Un subconjunto A (E, ) se dice que es relativamente compacto si toda sucesin innita {xn } A contiene al menos un punto de acumulacin o o x E. En otras palabras A (E, ) es compacto si todo subconjunto innito de A posee un punto de acumulacin contenido en E. En particular, un espacio o mtrico (E, ) es compacto si para toda sucesin innita {xn } E existe, al e o menos, una subsucesin {xnk } que converge a x E. o Sobre un mismo espacio pueden denirse varias normas y es posible que stas e estn relacionadas. Dos normas x 1 y x 2 en un espacio lineal X se llaman e equivalentes si existen dos nmeros , > 0 tales que, para cualquier x X u se cumple la desigualdad x 1 x 2 x 1 . (Ejercicios resueltos 6 y 7) Algunas normas de uso ms com n a u Se resumen seguidamente algunas deniciones de norma en diversos tipos de espacios familiares tales como: espacios de nuplos de escalares; espacios de 18 : xn x.

sucesiones y espacios funcionales constituidos por funciones continuas, continuamente diferenciables, acotadas, medibles y de variacin acotada. Cada o uno de ellos se denomina con la notacin que se utilizar en lo sucesivo. o a En el espacio E mm1 2

x =k=1

|xk |

2

El espacio lp (p > 1) de las sucesiones acotadas x = (x1 , x2 , ...)(xk R(xk C)) que satisfacen la condicin |xk |p < o k=1m1 p

x =k=1

|xk |p

El espacio lm de los vectores x = (xk )m (xk R(xk C)), k=1m

x =k=1

|xk |

m El espacio lp (p > 1) de los vectores x = (xk )m (xk R(xk C)), k=1 m1 p

x =k=1

|xk |p

El espacio C[a, b] de las funciones continuas sobre [a,b] x = max |x(t)|t[a,b]

El espacio C k [a, b] de las funciones k veces continuamente diferenciables sobre [a,b]k

x =i=0

t[a,b]

max x(i) (t)

El espacio M [a, b] de las funciones acotadas sobre [a, b] x = sup |x(t)|t[a,b]

19

El espacio Lp [a, b] de las clases de funciones medibles en el intervalo [a, b] segn la relacin de igualdad en casi todas partes u ob

x =a

|x(t)|p dt

1 p

,1 p <

o El espacio V [a, b] de las funciones de variacin acotada sobre [a, b] con la norma:b

x = |x(a)| +a

x(t).

La funcin x(t) real dada en [a, b] se llama funcin de variacin acotada o o o si existe una constante c tal que para toda particin del segmento o [a, b] :n

a = t0 < t1 < ... < tn = b

se cumple la desigualdad: |x(tk ) x(tk1 )| < c.k=1

La variacin total de una funcin de variacin acotada sobre [a, b] es o o o un nmero ub n

x(t) = supa k=1

|x(tk ) x(tk1 )| ,

donde la cota superior se toma sobre todas las posibles particiones nitas del segmento [a, b]. Se puede observar que el espacio lm es un caso particular de los espacios m lp (p > 1) cuando p vale 1, por lo que resulta natural extender la notacin o m lp al caso p 1 porque la aplicacin no constituye una norma para p < 1. o (Ejercicio resuelto 8)

2.2

Espacios de Banach

El concepto de espacio de Banach es muy importante porque en ellos resultan vlidos los teoremas ms signicativos del Anlisis Funcional, por ejemplo a a a el teorema de la Acotacin Uniforme (que se particularizar en el siguiente o a cap tulo) y los teoremas del inverso acotado y del grco cerrado (que se a estudiarn en el prximo cap a o tulo). 20

Denicin 2.2.1 Sea (X, d) un espacio mtrico. Una sucesin {xn } X o e o se denomina fundamental si para cualquier > 0 existe un N = N ( ) tal que, para cualquier n > N y todos los p naturales se cumple la desigualdad d(xn+p , xn ) < . Un espacio X se denomina completo si toda sucesin funo damental converge en l. Un espacio normado completo se denomina espacio e de Banach. (Ejercicios resueltos 9, 10 y 11) El teorema de la Acotacin Uniforme basa su demostracin en el teorema o o de Baire, por lo que se introducen a continuacin las deniciones topolgicas o o que fundamentan este ultimo teorema. Un conjunto A X se llama denso en X, si A = X. Un conjunto A X se llama nunca denso en X, si Int(A) = Denicin 2.2.2 A es de 1ra categor si es unin contable de conjuntos o a o nunca densos. Denicin 2.2.3 A es de 2da categor si no es de 1ra categor o a a. Proposicin 2.2.1 A B = C , entonces B es de 2da categor o a.I II

Proposicin 2.2.2 es nunca denso2 de 1ra categor no es de o a da 2 categora. La forma ms directa de demostrar el teorema de Baire es considerarlo como a corolario de un teorema que establece una caracter stica de los conjuntos de primera categor en los espacios completos. a Teorema 2.2.1 Sea X un espacio mtrico completo. A X, A de 1ra categor e a. Entonces = . A Corolario 2.2.1.1 (Teorema de Baire) Sea X = , X espacio mtrico e da completo. Entonces X es de 2 categora.

2

Por la denicin. o

21

Demostracin[Teorema de Baire] o Supongamos lo contrario, es decir, suponer que X es de 1ra categor ena, tonces X = X = contrario a la hiptesis o Combinando el teorema de Baire y la proposicin 2.2.1, se puede construir o un procedimiento de demostracin de que un conjunto dado es de segunda o categor a: Procedimiento 1 (P1) Escribir la unin disjunta X = A B, donde X es un espacio mtrico o e completo. (P2) Garantizar que A es un conjunto de primera categor a. (P3) Inferir que B es un conjunto de segunda categor a. Apliquemos el Procedimiento 1 para demostrar que el conjunto de los irracionales (I) es de 2da categor en R con la topolog usual. a a (P1) Q I = R, donde A = Q, B = I, X = R. (P2) A = Q es la unin contable de sus puntos, cada uno de los cuales es o un conjunto nunca denso. (P3) I es de 2da categor 3 , Q I = R4 . aI II

En el enunciado del teorema de la acotacin uniforme interviene la nocin o o de seminorma, que es una aplicacin que satisface los axiomas N2 y N3 o establecidos para la norma. Teorema 2.2.2 (Teorema de la Acotacin Uniforme) Sean X un eso pacio de Banach no vaco, I, x X, p (x) 0. {p }I familia de seminormas continuas. Si sup p (x) < + x XI

entonces, sup sup p (x) < +I x 13 4

Aplicando la proposicin 2.2.1. o Por el Teorema de Baire.

22

Demostracin o Formemos An = {x X : p (x) n I} Notemos que An es cerrado puesto que An =I

p1 [0, n]

adems a An 5 X 6n n

An Ann

concluyendo, X7 =n

An =

Esto implica que existe n0 N : An0 = An0 tiene un punto interior, es decir, x0 X, r > 0 tales que B(x0 , r) An0 . Probemos que {p (x)} est uniformemente acotada sobre x < 2r. Consia deremos que x est en la bola B(x0 , r). Entonces x admite la descomposicin a ox1 x2

x = x0 + aplicando p

x x x0 = 2 2

x1B(x0 ,r)

x2B(x0 ,r)

p (x) = p (x1 ) +B(x0 ,r)

p (x2 )p (x2 )B(x0 ,r)An0

2n0

I.

1. Si 2r 1, entonces sup p (x) 2n0x 1

I,

de donde sup sup p (x) 2n0 < +.I x 1

Por construccin o x, {p } est acotada a 7 Completo, luego de 2da categor a.6

5

23

2. Si 2r < 1, entonces

1 1 > 0. Sea m > > 1. N 2r 2r

Consideremos x : x 1, m> 1 1 x x 2r 1 > 2r > 2r x 2r m m m1

aplicando p (x) I p Entonces, p (x) 2mn0 . De aqu que sup p (x) 2mn0 sup sup p (x) 2mn0 < +.x 1 I x 1

x 2n0 m

2.3

Espacios de Hilbert

Un espacio lineal real se llama eucl deo si a todo par de sus elementos x, y se le pone en correspondencia un nmero real denotado (x | y) y llamado u producto escalar, el cual debe cumplir los axiomas siguientes: 1) (x | x) 0, (x | x) = 0 si y slo si x = 0 o 2) (x | y) = (y | x) 3) (x | y) = (x | y) para cualquier K 4) (x + y | z) = (x | z) + (y | z) Un espacio lineal complejo se llama unitario si a todo par de elementos suyos x, y se le pone en correspondencia un nmero complejo denotado (x | y) y u llamado producto escalar, siempre que se cumplan los axiomas siguientes: (1) (x | x) 0, (x | x) = 0 si y slo si x = 0, o (2) (x | y) = (y | x), 24

(3) (x | y) = (x | y) para cualquier C, 4) (x + y | z) = (x | z) + (y | z). Del axioma (1) y de la desigualdad de Cauchy-Buniakovski 8 se desprende que en espacios eucl deos y unitarios se puede introducir la norma mediante la igualdad x = (x | x) (Ejercicios propuestos 1 y 2). Un espacio H con producto escalar (eucl deo o unitario) se llama de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. (Ejercicio resuelto 12, ejercicios propuestos 3, 4 y 5) Se llama ngulo entre dos elementos no nulos x e y y de un espacio de a Hilbert real a un ngulo comprendido entre 0 y tal que a cos = (x | y) x y

Los elementos x, y H se llaman ortogonales y se escribe xy si (x | y) = 0. Un conjunto de elementos z H tales que (z | x) = 0 para cualquier x M H se denota M . Un sistema de elementos h1 , h2 , ... H se llama ortogonal si (hi | hj ) = ij = 1 para i = j, 0 para i = j.

El sistema de elementos x1 , x2 , ... H se llama linealmente independiente si para cualquier n N el sistema x1 , x2 , ..., xn es linealmente independiente.

2.4

Desigualdades de Hlder y Minkowski o

La demostracin de la desigualdad de Hlder se basa en propiedades de las o o funciones convexas, por lo que se estudia en ocasiones bajo la denominacin o de desigualdad de convexidad y su utilidad fundamental se explica porque interviene en la demostracin de la desigualdad de Minkowski. La imporo tancia de esta ultima est dada porque fundamenta la demostracin de la a o desigualdad triangular en ciertos espacios. Es por esto que resulta util pre sentarlas agrupadas en diversas formas: para sumas nitas, para series y para integrales, como se resumen a continuacin. o8

|(x | y)| (x | x)(y | y).

2

25

Desigualdades de Hlder. Sean p, q dos nmeros reales positivos detero u 1 1 minados por la relacin p + q = 1. o (1) Para cualesquiera nmeros x1 , ..., xn ; y1 , ..., yn , un n1 p

n

1 q

|xk yk | k=1 k=1

|xk |pk=1

|yk |q

.

(2) Para cualesquiera nmeros x1 , ..., xn , ...; y1 , ..., yn , ..., tales que, u

|xk | < ,k=1 k=1

p

|yk |q < ,

se tiene,

1 p

1 q

|xk yk | k=1 k=1

|xk |pk=1

|yk |q

.

(3) Para cualesquiera funciones continuas x(t), y(t) sobre una regin T , o |x(t)y(t)| dt T T

|x(t)| dt

p

1 p

|y(t)| dtT

q

1 q

.

Desigualdades de Minkowski. Sea 1 p < . (1) Para cualesquiera nmeros x1 , ..., xn ; y1 , ..., yn , un1 p

n

1 p

n

1 p

|xk + yk |pk=1

k=1

|xk |p

+k=1

|yk |p

.

u (2) Para cualesquiera nmeros x1 , ..., xn , ...; y1 , ..., yn , ..., tales que

|xk | < ,k=1 k=1

p

|yk |p < ,

se tiene,1 p

1 p

1 p

|xk + yk |pk=1

k=1

|xk |p

+k=1

|yk |p

.

26

(3) Para cualesquiera funciones continuas x(t), y(t) sobre una regin T , o |x(t) + y(t)| dtT p1 p

T

|x(t)| dt

p

1 p

+T

|y(t)| dt

p

1 p

.

Una aplicacin F : X Y , X e Y espacios normados, se llama continua o en el punto x0 X, si para cualquier > 0 existe = (x0 ) > 0 tal que, para todo x0 S (x0 ), f (x) S (f (x0 )). Una aplicacin F : X Y se llama o continua, si es continua en cada punto x0 X. Una aplicacin F : X Y o se llama uniformemente continua, si para cualquier > 0 existe = ( ) > 0 tal que, para todo x0 X de x S (x0 ) se deduce que f (x) S (f (x0 )). (Ejercicios resueltos 15, 16 y 17, ejercicio propuesto 6) Tambin es vlida y muy util desde el punto de vista prctico, la siguiente cae a a racterizacin de la continuidad de una funcin denida entre espacios mtrio o e cos mediante el concepto de sucesin y que se conoce con la denominacin o o de funcin sucesionalmente continua. Se tiene en este caso que: o f es continua en x f es sucesionalmente continua en x [xn x f (xn ) f (x)]. (Ejercicio resuelto 14)

2.5

Ejercicios Resueltosp(x) = sup |x(t)|t[a,b]

1. Probar que en el espacio X de las funciones acotadas sobre [a, b], xX

constituye una norma. Solucin: o 1) p(x) = 0 sup |x(t)| = 0 |x(t)| = 0 t [a, b]t[a,b]

x(t) = 0 t [a, b] x = 0. 27

2) p(x) = sup |(x)(t)| = sup |x(t)| = sup || |x(t)| = || sup |x(t)|t[a,b] t[a,b] t[a,b] t[a,b]

= || p(x) K 3) Sean x, y X t [a, b]

x X.

|(x + y)(t)| = |x(t) + y(t)| |x(t)| + |y(t)| sup |x(t)| + sup |y(t)|t[a,b] p(x) cota superior t[a,b] p(y)

sup |(x + y)(t)| p(x) + p(y).t[a,b] p(x+y)

2. En el espacio de las funciones continuamente diferenciables sobre [a, b] determinar si las siguientes expresiones constituyen normas: a) max |x (t)|;t[a,b]

b)

t[a,b]

max |x (t)| + |x(a)|.t[a,b]

Solucin al inciso a) Denominemos p(x) = max |x (t)| o p(x) = 0 max |x (t)| = 0 |x (t)| = 0 t [a, b]t[a,b]

X (t) = 0 t [a, b] x(t) es constante en [a, b] x=0 Conclusin: p no es una norma. o Solucin al inciso b) Denominemos p(x) = max |x (t)| + |x(a)| ot[a,b]

p(x) = 0 max |x (t)| = 0 |x(a)| = 0t[a,b]

Por el razonamiento hecho en el inciso a), x(t) es constante en [a, b] y x(a) = 0, lo cual indica que la constante es necesariamente 0. p(x) = 0 x = 0. 28

Es necesario analizar si se cumplen los restantes axiomas; p(x) =t[a,b] t[a,b]

max |(x) (t)| + |(x)(a)|

= max |X (t)| + || |x(a)||||x (t)|

= || max |x (t)| + |x(a)|t[a,b] p(x)

Veamos el ultimo axioma p(x + y) = max |(x + y) (t)| + |(x + y)(a)|t[a,b]

Pero por las denicionest[a,b]

max |(x + y) (t)|+|(x + y)(a)| =

t[a,b]

max |x (t) + y (t)| +|(x + y)(a)|

Para todo t [a, b] se tiene |x (t) + y (t)| |x (t)| + |y (t)| max |x (t)| + max |y (t)|t[a,b] t[a,b]

max |x (t) + y (t)| max |x (t)| + max |y (t)|t[a,b] t[a,b] t[a,b]

A partir de la expresin de p(x + y) llegamos a que o p(x + y) max |x (t)| + max |y (t)| + |x(a)| + |y(a)|t[a,b] t[a,b]

= max |x (t)| + |x(a)| + max |y (t)| + |y(a)|t[a,b] t[a,b] p(x) p(y)

e 3. Probar que todo espacio normado es mtrico. Solucin: o Sea X un espacio normado. Denamos: d(x, y) = x y , donde d satisface los axiomas siguientes: 29

1) d : X X R+ ; 2) d(x, y) = x y = (1)(y x) = |1| y x = d(y, x); 3) d(x, y) = 0 x y = 0 x = y; 4) d(x, y) = x y = 9 (x z) + (z y) x z + z y .d(x,z) d(z,y)

De aqu que se cumplen los axiomas de distancia, por lo que (X, d) es un espacio mtrico. e 4. Hallar las formas geomtricas de las bolas siguientes: e 4.1) S1 (0) en E 3 . 4.2) S1 (0) en R3 con la norma x = max |xi |.i=1,2,3

4.3) S1 (f0 ) en C[a, b]. Solucin al inciso 4.1) S1 (0) = {(x1 , x2 , x3 ) R3 : x2 + x2 + x2 1} o 1 2 3 (esfera centrada en el origen y radio 1). Solucin al inciso 4.2) S1 (0) = {max(|x1 | , |x2 | , |x3 |) 1}. o max(|x1 | , |x2 | , |x3 |) 1 |x1 | 1, |x2 | 1 |x3 | 1 1 x1 1 , 1 x2 1 , 1 x3 1. Luego, S1 (0) es un cubo centrado en el origen y con arista de longitud 2. Solucin al inciso 4.3) S1 (f0 ) = o f C[a, b] : max |f (t) f0 (t)| < 1 .t[a,b]

t[a,b]

max |f (t) f0 (t)| < 1 t [a, b]

|f (t) f0 (t)| < 1

t [a, b] 1 < f (t) f0 (t) < 1 t [a, b] f0 (t) 1 < f (t) < f0 (t) + 1. Entonces, la ordenada f (t) del grco de cada una de las funa ciones en la bola centrada en f0 estn comprendidas en la banda a determinada por las ordenadas de las funciones f0 (t)1 y f0 (t)+1.9

Introduciendo z X.

30

5. Probar que Diam(A) = Diam(A). Solucin: o Sean x, y A. {xn } , {yn } A Sea > 0 n0 N Entonces, d(x, y) d(x, xn ) +d(xn , yn ) + d(yn , y) < 2 + Diam(A),< 0 : 1 x 1 x a 1 x 2 x b 2 R 1 .

a x2

1

x 2 b x 1 x 2 x 1 b2

1

1

1 x a

(3) Propiedad Transitiva.1 1 2

R R R

2 R 3 : 2 a1 , a2 > 0 : 3 b1 , b2 > 02

1

R

3

a1 x 1 x 2 a2 x 1 b1 x 2 x 3 b2 x 2 .

De estas desigualdades se deduce: x 3 b2 x 2 b2 a2 x 1 x 3 b1 x2 b1 a1 x 1 a1 b1 x 1 x 3 a2 b2 a>0 b>0

1

R

3

.

33

8. Constituyem

1 p

x =k=1

|xk |p

una norma en el conjunto de los vectores x = (xk )m (xk R) si p < 1 k=1 y m 2? Solucin: o La respuesta es no, veamos qu ocurre cuando tenemos dos vectores e de la forma siguiente: 1/2 0 0 1/2 . . x= y y= . . . . 0 0 Veriquemos que no se cumple el tercer axioma de norma10 : x+y = 2 1 2p1 p

=2

1p p

donde 0 < p < 1

1p 1p >02 p >1= x + y . p

9. Probar que toda sucesin fundamental est acotada. o a Solucin: o Sea {xn } X una sucesin fundamental. o > 0n0 N tal que n, m n0 xn xm < En particular xn xn0 < y xm xn0 < xn B (xn0 ) y xm B (xn0 )10

Desigualdad triangular.

34

Esto signica que la sucesin est acotada a partir del trmino n0 , es o a e decir, n n0 xn xn xn0 + xn0 xn xn0 + xn0 < + xn0 Por tanto, xn max( x1 , x2 , ..., xn0 1 , + xn0 ). 10. Sea (X, ) un espacio de Banach. Probar que (X X, (x, y) es un espacio de Banach. Solucin: o Sea (xn , yn ) una sucesin fundamental en X X. Se tiene que o > 0n0 N tal que n, m n0 (xn , yn ) (xm , ym ) Pero (xn , yn ) (xm , ym )0 0 0 0)

donde

= max( x , y )

< .

= (xn xm , yn ym ) 0 = max( xn xm , yn ym ) 0, > 0 : x X2)

Def.

x

2

x

1

x

2

Y {an } es una sucesin fundamental en (X, o

si y slo si o2

> 0 n0 ( ) N : n0 n p N an+p an Como x X x1

0 tal que n |n | M , de aqu que |n | xn x 0.n Mn

0

o 15. Probar que la funcin f (x) = x es continua. Solucin: o f : X R+ Vamos a probar que f es sucesionalmente continua, es decir [xn x f (xn ) f (x)]n

R

n

R

Supongamos entonces que xn x n Def.

xn x 0n

Debemos estimar: |f (xn ) f (x)| = | xn x | Tenemos que xn = 12 (xn x) + x xn x + x xn x xn x12

Se introduce el l mite x.

41

Anlogamente a x = 13 (x xn ) + xn x xn + xn x xn xn xxn x

Como xn x es mayor que ( xn x ) y tambin es mayor que el e opuesto de este nmero ( x xn ), se inere que xn x supera el u valor modular de ( xn x ), de aqu que | xn x | xn x . A partir de esta estimacin se deduce, debido a que o xn x 0,n

que

xn x .n

16. Sea X un espacio de Hilbert sobre K. Denamos f (x, y) = (x | y), donde ( | ) es el producto escalar del mismo. Probar que f es una aplicacin continua. o Solucin: o Consideremos sobre X X cualquier estructura topolgica que induzca o la convergencia por coordenadas, en particular, (x, y) = max( x , y ). De aqu que se tiene que (xn , yn ) (x, y) xn x yn yn n n

Probemos que f es sucesionalmente continua. Supongamos que: (xn , yn ) (x, y); hay que probar que: f (xn , yn )K

;

f (x, y)K

f (xn , yn ) = (xn | yn )13

f (x, y) = (x | y),

Se introduce el trmino xn . e

42

luego hay que demostrar que (xn | yn ) (x | y) |(xn | yn ) (x | y)| 0.n Def.

Por esto vamos a analizar el comportamiento de |(xn | yn ) (x | y)|. Introduciendo el trmino auxiliar (xn | y) e |(xn | yn ) (x | y)| = |(xn | yn ) (xn | y) + (xn | y) (x | y)| = |((xn | yn ) (xn | y)) + ((xn | y) (x | y))| Aplicando propiedades del mdulo y del producto interior o |(xn | yn ) (xn | y)| + |(xn | y) (x | y)| = |(xn | yn y) + (xn x | y)| Por la desigualdad de Cauchy-Buniakowski |(xn | yn y) + (xn x | y)| xnM

y n y + xn xn

y

0

n

0n

n

0

0

Por tanto, |(xn | yn ) (x | y)| 0n

2.6

Ejercicios Propuestos

1. Determinar la forma geomtrica de la bola S1 (0) en l2 . e 2. Probar que: A est acotado Diam(A) < +. a 3. Probar que en todo espacio unitario (x | y) = (x | y). deos y unitarios la aplicacin o 4. Probar que en los espacios eucl x = constituye una norma. 43 (x | x)

5. Probar los ejercicios resueltos 14 y 15 a partir de la denicin expresada o en tminos de , . e o 6. Probar que si X es un espacio unitario, x0 X la aplicacin f (x) = (x, x0 ), es una aplicacin continua, aplicando: o o o a) la caracterizacin de funcin sucesionalmente continua; b) la denicin en trminos , ; o e c) el ejercicio resuelto 16. (x X)

44

Cap tulo 3 Operadores linealesSi X, Y son espacios normados y se establece una aplicacin T de X en Y , o el estudio de las peculiaridades de esta funcin (denominada operador) y o sus principales propiedades conduce a la obtencin de esquemas de comporo tamiento predeterminados en casos aparentemente muy distintos como los siguientes: 1ro) T (x) = Ax, donde x Rn y A es una matriz cuadrada de dimensin o n. 2do) T (x) = x , donde x es una funcin con derivada continua x en un o intervalo [a, b]. 3ro) T x = g, si x es una funcin continua en [0, 1] y g es la funcin dada o o por:1

g(s) =0

stx(t)dt 0 s 1

Este conocimiento resulta muy util en la teor de resolucin de ecuaciones. a o

3.1

Continuidad, acotacin y norma de un o operador lineal

El conocido concepto de funcin continua entre espacios mtricos adquiere o e un matiz especial cuando los espacios son vectoriales y el operador es lineal. Se ver que en este caso son vlidos dos resultados de gran fuerza prctica: a a a 45

el primero establece la equivalencia entre la continuidad en un punto y la continuidad en todo el espacio. El mismo fundamenta la demostracin de o que el concepto de continuidad equivale a un nuevo concepto: el de operador acotado, ms fcil de manejar porque est basado en una desigualdad. a a a Denicin 3.1.1 Sea F un operador con campo de denicin D(F ) X o o y campo de valores R(F ) Y . Se llama acotado si transforma cualquier conjunto acotado de D(F ) en un conjunto acotado en el espacio Y . Denicin 3.1.2 Sean X, Y espacios normados, ambos reales o ambos como plejos. Un operador A : X Y con campo de denicin D(A) X se llama o lineal si D(A) es una variedad lineal en X y para cualesquiera x, y D(A), as como para cualesquiera 1 , 2 R(1 , 2 C) se cumple la igualdad A(1 X1 + 2 X2 ) = 1 A(X1 ) + 2 A(X2 ). (Ejercicio resuelto 1) El conjunto N (A) = {x D(A) : A(X) = 0} se denomina conjunto de ceros o ncleo del operador A. u La importancia prctica del concepto de operador lineal est dada por la a a variedad de operadores muy utiles que satisfacen esta propiedad. Se resumen seguidamente algunos de ellos, suponiendo en todos los casos un dominio de denicin apropiado. (Ejercicio propuesto 4) o Algunos ejemplos de operadores lineales (1) El operador nulo: Ax = 0 x X; (2) El operador identidad: Ax = 1; (3) Ax = y si y(s) =b a

K(s, t) x(t) dt;

(4) Ax = y si y(s) = x (s) + x(s); (5) El operador de diferencias nitas: Ax = y si y(s) = x(s) + x(s), siendo x(s) = x(s + s) x(s), x : R R; (6) El operador de transformada: Ax = 46 ei k s

x(s) ds k R;

(7) Si x = (x1 , x2 , x3 , ...) A1 x = A2 x =k=1

1 1 1 (x1 + x2 ), (x2 + x3 ), (x3 + x4 ), ... ; 2 2 2

a1k xk ,k=1

a2k xk , ...

(8) Ax = y si y(s) = s x(s); (9) Ax = y si y(s) = x(s 1); (10) El operador combinado (evaluacin y multiplicacin): o o Ax = y tal que y(t) = t2 x(0).

Donde A : C[0, 1] C[0, 1]; (11) El operador producto por una funcin ja: o Ax = y siendo y(t) = 0 (t) x(t);

(12) Operador entre espacios de sucesiones: Ax = (1 x1 , 2 x2 , ..., n xn , ...), x = (x1 , ..., xn , ...) n R n N.

Teorema 3.1.1 Un operador lineal A : X Y , dado sobre todo X y continuo en el punto x0 X es continuo en cualquier punto y X. (Ejercicio resuelto 2) Por tanto un operador lineal A : X Y con D(A) = X es continuo si es continuo en el punto 0 X. Denicin 3.1.3 Un operador lineal A : X Y con D(A) = X se llao ma acotado si existe c > 0 tal que para cualquier x S1 (0) es vlida la a desigualdad Ax c. Teorema 3.1.2 Un operador lineal A : X Y con D(A) = X es acotado si y slo si para cualquier x X se cumple la desigualdad Ax c x . o 47

(Ejercicio resuelto 3, ejercicio propuesto 2) Teorema 3.1.3 Un operador lineal A : X Y con D(A) = X es continuo si y slo si es acotado. o (Ejercicios resueltos 4, 5 y 6) Denominacin: o L(X, Y ) = {A : X Y u Denicin 3.1.4 El nmero o A = supxX, x 1

tales que A es lineal acotado} .

Ax

se denomina norma del operador lineal acotado A : X Y con D(A) = X. Proposicin 3.1.1 (Deniciones alternativas de norma) Sea A L(X, Y ). o Denamos, E = supx=0 x =1

Ax , x

C = sup Ax ,x 1

B = sup Ax ,

D = inf{k 0 : x X Ax k x }.

Entonces E B C D E. (Ejercicio resuelto 7) La denominacin de norma se justica por el hecho de que la aplicacin o o A = E = B = C = D constituye una norma sobre el espacio L(X, Y ) (Ejercicio propuesto 3). Tomando en consideracin las expresiones equivao lentes para la norma de un operador lineal y continuo, se puede construir un procedimiento para el clculo de la norma. a Procedimiento 2. Clulo de la norma de un operador a Sea A L(X, Y ). (P1) Vericar que A es un operador (A : X Y ). 48

(P2) Vericar que A es lineal. a (P3) Vericar que A est acotado. (Es decir k : x X Ax k x )

Nota: Al terminar (P3) hemos probado que A L(X, Y ) (P4) Acotar superiormente la norma. Nota: Al terminar (P4) se concluye que A k. (P5) Hallar A . Nota: Si se quiere probar que A de las formas siguientes: = k proceder entonces de una Ax0 =k x0

1ra forma) Buscar x0 X, x0 = 0, tal que Nota: Con esto se demuestra que:

Ax0 =kE= A , x0 que es la desigualdad contraria a la determinada en (P4). 2da forma) Buscar x0 X, x0 = 1, tal que Ax0 = k. Nota: Con esto se demuestra que: Ax0 = k B = A , que es la desigualdad contraria a la determinada en (P4). (Ejercicios resueltos 8, 9, 10 y 11) Si en un espacio normado se dene una ley interna con las propiedades algebraicas de un producto con identidad e, entonces la estructura de lgebra a que se obtiene se hace compatible con la estructura topolgica de espacio o normado exigiendo las condiciones: 49

(1) xy x (2) e = 1.

y ;

La primera de estas condiciones conduce a establecer que la ley de producto es continua, como lo son tambin las leyes de suma y de multiplicacin por e o un escalar. (Ejercicio resuelto 12)

3.1.1

Ejercicios Resueltos

1. Sean X e Y , espacios lineales; A : X Y un operador lineal. Demostrar que el operador A transforma un conjunto convexo de D(A) en un conjunto convexo en el espacio Y . Solucin: o A lineal, S X convexo, A(S) convexo? y1 , y2 A(S) x1 , x2 S : y1 = Ax1 y2 = Ax2 . Sea [0, 1] y1 + (1 )y2 = Ax1 + (1 )Ax2 1 A(x1 + (1 )x2 ) A(S)S

o 2. Veamos la demostracin del Teorema 3.1.1. Demostracin o Sea y X. Como X e Y son espacios mtricos por ser normados, es e suciente probar que A es sucesionalmente continuo. Supongamos que yn y, entonces A(yn ) A(y)? A(yn ) = A(yn y + y x0 + x0 ) Por la linealidad de A, se tiene que A(yn ) = A(yn y + x0 ) + A(y) A(x0 ),1

Por la linealidad de A.

50

pero como A es continuo en x0 yn y + x0 x0 A(yn y + x0 ) A(x0 ) A(yn ) A(x0 ) + A(y) A(x0 ) = A(y) 3. Demostrar que el ncleo N (A) de un operador lineal acotado A : X u Y es un subespacio del espacio X. Solucin: o Sean x, y N (A), entonces Ax = 0 y Ay = 0 dos elementos de N (A). Por la linealidad de A tenemos A(x + y) = Ax + Ay = 0 x + y N (A)=0 =0

y Ax = Ax = 0 x N (A),=0

esto nos asegura que N (A) es una variedad lineal, por lo que slo nos o faltar probar que es cerrado. a 1ra forma) Un conjunto cerrado es aquel donde se verica N (A) = N (A). Es suciente probar que N (A) N (A). x N (A) xn N (A) : xn x Axn Ax0

Por ser A un operador continuo. De aqu que Ax = 0 x N (A).Preimagen

2da forma) N (A) =cerrado

A1 ( {0} )continua cerrado

o 4. Veamos la demostracin del Teorema 3.1.3, es decir A lineal y continuo A acotado. 51

Demostracin o Supongamos que A es acotado y que xn 0, entonces Axn A(0)? Donde A(0) = 0 por el carcter lineal de A. Como una consecuencia a del Teorema 3.1.2 A acotado c > 0 : Axn c xn . Luego, xn 0 xn 0 Axn 0 Axn 0 Por tanto, A continuo en x0 = 0 A continuo.2 Supongamos ahora que A es continuo, entonces ser A acotado? Supona gamos lo contrario; es decir, para cada n existe xn tal que Axn > n xn A sea yn = xn , n xn yn = 1 xn n xn = 1 0, n n xn n xn >1

pero Ayn 0, n , luego A no es continuo en el punto cero y por tanto no es continuo en ningn punto por el Teorema 3.1.1. u dx 5. Ser acotado el operador A : C[0, 1] C[0, 1], Ax(t) = , cuyo cama dt po de denicin L es la variedad lineal de las funciones continuamente o diferenciables sobre [0,1]? Solucin: o2

Recordar Teorema 3.1.1

52

Sean A lineal, xn (t) = tn , Axn = xn xn Luego, { xn { Axn n=1 } , n=1 } ,

xn (t) = ntn1 = =t[0,1] t[0,1]

y Axn = xn .t[0,1] t[0,1]

sup |xn (t)| = sup ntn1 = n sup |xn (t)| = sup |tn | = 1

es un conjunto acotado; pero no est acotado. a

Como podemos apreciar el operador A no est acotado A no es a 3 continuo. 6. Sean X, Y , espacios de Banach; A : X Y un operador lineal acotado con D(A) = X. Constituyen normas en X las igualdades: a) x1

= Ax ,

a b) x 2 = x + Ax ? En caso armativo, ser X un espacio de Banach con esta norma? Solucin al inciso a) Vamos a analizar el primer axioma de norma o x1

= 0 Ax = 0 Ax = 0

Si N (A) = {0} entonces se puede implicar que x = 0, luego en general esta aplicacin no constituye una norma. En el caso de o que N (A) = {0}, X resulta isomtrico a R(A), por lo que ser e a completo si este espacio lo es. Solucin al inciso b) S Probemos el primer axioma o . x2

= x + Ax = 0 x = 0 Ax = 0 x = 0.

Sea un escalar x3 4

2

= 4 x + Ax = || x + || Ax = || x

2

.

Recordar Teorema 3.1.2. A es lineal.

53

Probemos ahora el axioma triangular, x + y x+y2

2

x

2

+ y

2

=

x + y + A(x + y) x + Ax + y + Ayx2

y

2

Recordemos que en un espacio de Banach toda sucesin fundao mental debe ser convergente. Probemos esta propiedad, xn+p xn2

0

xn+p xn + A(xn+p xn ) 00 0 n

xn+p xn 0 n

A(xn+p xn ) 0.

Veamos cada sumando por separado, xn+p xn 0 5 x X : xn+p x 0 y en el otro sumando, A(xn+p xn ) 0 6 Axn+p Axn 0, luego, {Axn } es una sucesin fundamental. Entonces o y Y : Axn+p y 07 y = Ax8 Luego, xn+p x (X,2) 2

= xn+p x + A(xn+p x) 0

es de Banach.

o 7. Demostrar la proposicin 3.1.1. Solucin: o 1ro)5 6

Ax = A x

x x

B E B 9 C.

X es un espacio completo Por la linealidad de A. 7 Y es de Banach 8 A acotado, luego continuo 9 Por denicin. o

54

2do) Ax k

x : x 1 C D. 2

3ro) Supongamos que D E = > 0 E = D < D Entonces x = 0 Ax E < D Ax < x 2 Luego, E B C D E. D x

2

x = 0 Absurdo!

8. Demostrar que los siguientes operadores son lineales acotados y hallar sus normas aplicando el procedimiento 2: a) A : C[0, 1] C[0, 1], Ax(t) = Solucin inciso a) o (P1) A es un operador; (P2) la linealidad es una consecuencia inmediata de la linealidad de la integral; o (P3) por la denicin de norma en C[0, 1] se tiene que,t t 0 2

x( )d ;

b) A : C[0, 1] C[0, 1], Ax(t) = t x(0);

Ax = sup |(Ax)(t)| = supt[0,1] t[0,1] 0

x( )d

Podemos acotar la expresin que aparece en el ultimo miembro o t t

x( )d0

0

|x( )| d sup |x( )| sup |t 0| [0,1] x t[0,1] 1

t

supt[0,1] 0

x( )d 1 x sup Ax 1x 1 A Ax

55

Para probar la desigualdad en sentido contrario consideremos x0 C[0, 1] dado por x0 (t) 1 t [0, 1]. Notemos que x0 = 1 y hallemos Ax0 .t

Ax0 = supt[0,1] 0

x0 ( ) d = sup |t| = 1.=1 t[0,1]

Entonces Ax0 = 1 sup Ax = A ,x 1

luego A = 1. Solucin al inciso b) Prueba de la linealidad. o A(x(t) + y(t)) = t2 (x(0) + y(0)) = t2 x(0) + t2 y(0)Ax(t) Ay(t)

= Ax(t) + Ay(t) Hallemos A . Por denicin de norma en C[0, 1] o Ax = sup |(Ax)(t)| = sup t2 x(0) |x(0)| 1 xt[0,1] t[0,1]

entonces, sup Ax 1x 1 A

Rec procamente, sea x0 (t) 1 t [0, 1], por lo que x0 = 1 Ax0 = sup t2 (1) = 1 sup Ax = At[0,1] x 1

luego A = 1. A 1 la igualdad se alcanza cuando x es constante. 9. Dado el operador T : l1 l1 denido por: T (x1 , x2 , x3 , ...) = (0, x1 , 2x2 , x3 , 2x4 , ...),=x

56

probar que T = 2. Solucin: La linealidad se demuestra directamente de la denicin. o o Tx = |x1 | + 2 |x2 | + |x3 | + 2 |x4 | + ... 2 |x1 | + 2 |x2 | + 2 |x3 | + 2 |x4 | + ... 2 x T 2.

Para probar la desigualdad contraria, consideremos el elemento de l1 : x0 = (0, 1, 0, 0, 0, ...). Entonces x0 = 1 T x0 = (0, 2, 0, 0, ...) T x0 = 2 T x0 2 Tx = = 2 sup = T . x0 1 x x =0 10. En el espacio de Hilbert H el operador de proyeccin ortogonal sobre o el subespacio L H para x = u + v, siendo u L y v L se dene por la igualdad P x = u. Demostrar que el operador P es acotado y hallar su norma. Solucin: o P es lineal si y = u + v entonces P (x + y) = u + u = P (x) + P (y) Sea x H Px = u u2

+ v

2

=

(u + v | u + v) = x P 1.

La igualdad P x = x se cumple para cualquier u L por lo que para todo u = 0 Pu u Px = = 1 sup = P , u u x x =0 luego P = 1.

57

11. En el espacio C[1, 1] consideremos los operadores 1 [x(t) + x(t)], 2 1 [x(t) x(t)] Bx(t) = 2 Ax(t) = b) Probar que A2 = A. Solucin al inciso a) Demostremos la linealidad. o A(x + y)(t) = 1 [(x + y)(t) + (x + y)(t)] 2 1 = [x(t) + y(t) + x(t) + y(t)] 2 1 1 = [x(t) + x(t)] + [y(t) + y(t)] 2 2Ax(t) Ay(t)

(3.1.1) (3.1.2)

a) Demostrar que A es un operador lineal acotado y hallar su norma.

Hallemos A A sup maxx

=

sup Ax(t)x =1

1 [x(t) + x(t)] =1 t[1,1] 2 = supx =1 x =1

1 ( x + x ) 2

sup x = 1

La cota superior se alcanza para x 1, por lo que A = 1. Solucin al inciso b) o 1 A2 x(t) = [Ax(t) + Ax(t)] = Ax(t) 2Ax(t)

a 12. Si {xn } , {yn } son sucesiones fundamentales de un lgebra normada A, probar que {xn yn } es una sucesin fundamental. Adems, si xn x o a 58

y yn y, pruebe que xn yn xy. Solucin: Hay que probar que o xn yn xm ym xn yn xm ym agrupandon,m

= =

0 xn yn xn ym + xn ym xm ym xn (yn ym ) + (xn xm )ym xn (yn ym ) + (xn xm )ym

Por la denicin de Algebra oM M

xn

yn ym + xn xmn,m

ym

0

n,m

0

Supongamos ahora que xn x y que yn y. xn yn xy = xn yn xyn + xyn xy = (xn x)yn + x(yn y) xn x yn + x yn yn

0

M

n

0

Observe que el trmino auxiliar introducido e xyn + xyn = 0, pudo haber sido alternativamente xn y + xn y la demostracin se hubiera cambiado por: o xn yn xy = xn yn xn y + xn y xy = xn (yn y) + (xn x)y y n y xn + y xn xn

0

M

n

0

59

3.2

Espacio de operadores lineales acotados

Denicin 3.2.1 Sean X e Y , espacios normados, ambos reales o compleo jos; A, B, operadores lineales acotados denidos sobre todo el espacio X y con valores pertenecientes a Y . Al suponer segn la denicin: u o (A + B)x = Ax + Bx, A(x) = Ax, A = supxX, x 1

Ax

obtenemos el espacio L(X, Y ) normado de operadores lineales acotados. Denicin 3.2.2 En el espacio L(X, X) = L(X) suponemos, por denio cin, (AB)x = A(Bx). Por lo tanto L(X) pasa a ser una lgebra con unidad, o a donde sta es el operador idntico I : X X, Ix = x. e e (Ejercicios resueltos 1 y 2) o Denicin 3.2.3 Una sucesin An L(X, Y )(n N) se llama uniformeo u mente convergente hacia el operador A L(X, Y ) y se denota An A si An A 0(n ). Una sucesin An L(X, Y )(n N) se o llama fuertemente convergente hacia el operador A L(X, Y ) y se denota s An A si para todo x X An x Ax 0(n ). (Ejercicios resueltos 3 y 4) Teorema 3.2.1 Si Y es un espacio de Banach, L(X, Y ) es un espacio de Banach. (Ejercicio resuelto 5) Teorema 3.2.2 (Principio de acotacin uniforme) Sea un conjunto o de ndices de cardinalidad arbitraria y supongamos que la sucesin {A }, o donde recorre a , es una coleccin de elementos de L(X, Y ) donde X es o un espacio de Banach. Si sup A x < x X

entonces, sup A < .

60

Demostracin o Aplicaremos el teorema de la acotacin uniforme, por lo cual el primer paso o ser construir una familia de seminormas continuas. a Sea p = A (x) norma. I. Debemos comprobar que cada p es una semiA (x) = || A x = || p (x) A (x + y) = A (x) + A (y) A (x) + A (y) = p (x) + p (y).

p (x) = p (x + y) =

Ahora debemos comprobar que cada p es continua, lo cual se har mediante a el anlisis de la condicin de ser sucesionalmente continua. a o Supongamos que xn x p (xn ) = A (xn ) A (x) A (x) = p (x)

Por hiptesis se tiene, o sup p (x) = sup A (x) < + x,

obtenindose la tesis de acuerdo con el teorema de la acotacin uniforme e o sup sup p (x) = sup sup A (x) < +. x 1 x 1 A

En particular, cuando = N se obtiene: Teorema 3.2.3 (Teorema de Banach-Steinhaus) Sean X un espacio de Banach, An L(X, Y )(n N) y la sucesin An x acotada para cualquier o x X. Entonces, la sucesin An es acotada. o (Ejercicio resuelto 6) Agrupemos seguidamente algunas aplicaciones del teorema de la acotacin o uniforme que muestran su alcance prctico. a 61

Aplicaciones 1.- X espacio de Banach, Y espacio normado y Tn L(X, Y ). Supongamos que Tn converge en cada punto x X. Entonces el operador T denido por T (x) = lim Tn (x) est en L(X, Y ) an

Demostracin o Es necesario probar que T es lineal y continuo. Mostremos en primer lugar la linealidad. Sean , escalares; x, y X. T (x + y)Def.

= =

n

lim Tn (x + y)n

Tn L(X,Y )

=

n

lim (Tn (x) + Tn (y))

lim Tn (x) + lim Tn (y) = T (x) + T (y).n

Veamos ahora la acotacin. Para cada n se tiene que o Tn (x) Tn Pasando al l mite: T (x) K x 2.- X espacio de Banach F X : sup |x (x)| < + x Xx F

x 10 K x x X

Entonces F est acotado. a Demostracin o Tomemos en el Teorema 3.2.2 a Y = K entonces, sup xxF

< +.

Teorema 3.2.4 Sean X, Y espacios de Banach; An L(X, Y )(n N). Para que la sucesin An con n converja fuertemente hacia el operador o A L(X, Y ) es necesario y suciente que:10

Por el Teorema de Banach-Steinhaus

62

1) la sucesin An sea acotada. o 2) An A fuertemente en una variedad lineal L densa en el espacio X.n

(Ejercicio resuelto 7) Teorema 3.2.5 Sea X un espacio normado, Y un espacio de Banach, A : X Y un operador lineal y, adems, D(A) = X siendo el operador A a acotado sobre D(A). Entonces existe un operador lineal acotado A L(X, Y ) tal que Ax = Ax para cualquier x D(A) y A = A . Por tanto el operador A es una prolongacin del operador A que preserva su o norma. (Ejercicio resuelto 8)

3.2.1

Ejercicios Resueltos

1. Sean T, U, V espacios normados, G L(T, U ), H L(U, V ). Entonces HG H G . Solucin: o HGx H H Gx x T G x x T H G HG

2. Sean X, Y, Z espacios normados; An , A L(X, Y ) y Bn , B L(Y, Z) donde n N y An A y Bn B. Pruebe que:n n

Bn An BAn

en el espacio L(X, Z). Solucin: o Bn An BA = = Bn An Bn A + Bn A BA Bn (An A) + (Bn B)A Bn (An A) + (Bn B)A Bn An A + Bn B A 0n M 0 0

63

3. En el espacio l2 , para un elemento x = (x1 , x2 , ...) l2 pongamos las sucesiones de operadores x1 x2 , , ... , n n Bn x = (0, 0, ..., 0, xn+1 , xn+2 , ...), n N. An x =n

Cul es el carcter de la convergencia de cada una de las sucesiones? a a Solucin: o Probemos que An converge uniformemente, lo cual nos da una condicin suciente para todas las dems convergencias. o a

An x

=k=1

xk n

2

1 2

=

1 x n 1 n

lim An 0 =

An = sup An x =x 1

n u

n

lim An = lim

1 =0 n n

An 0 en l2 . Probemos que Bn 0 y Bn Bn x 0x =s u

0. Sea x = (x1 , x2 , ...) l21 2

Bn x =k=n+1

|xk |2

0(n ).

Este resultado se obtiene de que xn l 2 n

|xn |2 < +

resto 0. Veamos que Bn 0 0 (n ).

64

Sea xn = (0, 0, ..., 0, 1, 0, 0, ...) xn = 1 para cada nn

Bn = sup Bn xx 1

Bn xn = 1 n Nn

lim Bn 0 1 = 0 0

Bn

uniformemente en l2 . 4. Consideremos el operador A : C[0, 1] C[0, 1],t

Ax(t) =0

e x( )d

y la sucesin de operadores An : C[0, 1] C[0, 1] ot n

An x(t) =0 k=0

k x( )d, n N, k!

Converge la sucesin An hacia A? Cul es el carcter de la convero a a gencia?

65

Solucin: o An A = = = sup (An A)xx =1

sup max |(An A)x(t)|x =1 t[0,1] t

sup max sup maxt

x =1 t[0,1]

0 t

k x( ) d k! k=n+1 k k! k=n+1

x =1 t[0,1]

x d

0

= max

t[0,1]

0

k d k! k=n+11 0

Por la convergencia uniforme de la serie

= max

t[0,1]

k=n+1

k d = max t[0,1] k! A.

tk+1 (k + 1)! k=n+1

=

1 An (k + 1)! k=n+1

En el caso anterior se ha utilizado un resultado del anlisis matemtico, a a ex = x x2 xn + + ... + + ... 1! 2! n!

5. Demostrar el Teorema 3.2.1. Y de Banach L(X, Y ) es de Banach. Solucin: o {An }f undamental

L(X, Y ) An Am x X, An x Am x

L(X,Y ) n,mY

0L(X,Y )

An Am

x

X n,m

0

{An x} Y Banach.fundamental

66

Entonces, y Y : An x y.n

Formemos A : X Y x lim An x = yn

Probemos que: a) A L(X, Y ) b) An AL(X,Y )

0(n )

Solucin al inciso a) A lineal: o A(x + y) = =n

lim An (x + y)lineal

n

lim (An x + An y) = Ax + Ay.

A continuo A acotado c > 0 : x X, Ax c x . Probemos esta ultima condicin. Se tiene que: o An xlineal y continua

Anfund.acotada

x

c x n

Pasemos al l mite: x X, An x Ax An x Ax Ax c x Como A es lineal y continuo se concluye que A L(X, Y ). Solucin al inciso b) > 0 n0 N : n, m n0 An Am < o An x Am x An Am Para n n0 y m An x Ax x (An A)(x) x An A , n n0 An An

x 0 x L : x x < ya que L = X n0 N : n n0 An x Ax < Por la condicin 2) o Vamos a estimar An x Ax An x Ax = = An x An x + An x Ax + Ax Ax (An x An x ) + (An x Ax ) + (Ax Ax) An x x + An x Ax + A x xM < < 0 y cualquier x D(A) se cumple la desigualdad Ax m x . (Ejercicios resueltos 5 y 6) Denicin 3.3.2 Los espacios normados X e Y se llaman isomorfos si soo bre todo X est denida la aplicacin J : X Y lineal, que realiza el a o isomorsmo de X e Y como espacios lineales y es tal que, existen dos constantes , > 0 tales que para cualquier x X se cumple la desigualdad x J(x) x . Si J(x) = x los espacios X e Y se llaman isomtricos. e Teorema 3.3.2 (Teorema del inverso acotado) Sean X, Y espacios de Banach, A L(X, Y ), R(A) = Y y sea A inversible. Entonces, A es continuamente inversible. (Ejercicio resuelto 7) El teorema del inverso acotado se aplica en la generalizacin de la teor o a

70

de los valores propios a los espacios innitos-dimensionales. El operador bsico que se estudia en este caso tiene la forma: a T I = 0 , T L(X) , un escalar

Para = 0, el miembro izquierdo puede escribirse como (I 1 T ), por lo que el problema original se relaciona con el comportamiento del operador de la forma I C, para C L(X). Por tanto, interesa conocer bajo qu condiciones I C tiene inverso acotado. e Teorema 3.3.3 Sean X espacio de Banach, C L(X) y C < 1. Entonces, el operador I C es continuamente inversible y es vlida la estia macin o 1 (I C)1 . 1 C (Ejercicios resueltos 8 y 9) Teorema 3.3.4 Sean X un espacio de Banach, A, B L(X), sea A continuamente inversible y supongamos que se cumpla la desigualdad B A A11

.

Entonces, B es continuamente inversible y es vlida la estimacin a o B 1 (Ejercicio resuelto 10) A1 1 BA A1 .

3.3.1

Ejercicios Resueltos

1. Sean X, un espacio lineal; A, B : X X, operadores lineales que satisfacen las relaciones AB + A + I = 0 y BA + A + I = 0. Demostrar que el operador A1 existe. Solucin: o AB + A + I = 0 A(B + I) + I = 0 I = A(B + I) BA + A + I = 0 (B + I)A + I = 0 I = (B + I)A 71

Hagamos C = B I, se satisface que AC = CA = I A1 = C = B I. 2. Sean X un espacio normado; A, A1 L(X) y sea k = A A1 el nmero de condicin del operador A. Consideremos la ecuacin Ax = y u o o donde y X, y = 0. Sea x X su solucin aproximada. Demostrar o que su error relativo puede estimarse segn la frmula: u o 1 A y x k y Solucin: o A y = A Ax A x x Pero x = A1 y x = A1 y A1 Para x = 0 A y x A A 1 k xx xx x x xx x y xx xx A y x k x y

xx A1 y = k y x A y x xx , y x = = A A1 A1 A1 A( x) x 1 A (A Ax) x 1 A A y x x y y A A y x x A y x y

con lo cual se demuestra la primera de las desigualdades. Por otra parte

Para y = 0 y = Ax xx

xx x

k 72

A y x y

Esta es la segunda de las desigualdades que se quer probar. an 3. Consideremos el operador A : C[0, 1] C[0, 1],t

Ax(t) =0

x( )d.

e a) Qu representa su campo de valores R(A)? b) Existe sobre R(A) el operador inverso A1 , es acotado este operador? Solucin al inciso a) R(A) es una variedad lineal de funciones continuao mente diferenciables y(t) que satisfacen la condicin y(0) = 0. o Solucin al inciso b) Para probar la existencia de A1 basta deo mostrar que A es inyectivo. Sean x, y C[0, 1]t t

Ax = Ay 0

x( )d =0

y( )d

x(t) y(t) (Derivando en ambos miembros y sabiendo que x, y C[0, 1]) d Por el Teorema fundamental del clculo, se tiene que A1 = . a dt Probemos que A1 no es acotado. Sea xn (t) = tn , xn A1 xn Luego, A1 no es acotado. 4. Consideremos el operador lineal A : C[0, 1] C[0, 1],t

= 1 = sup ntn1 = ntC[0,1]

Ax(t) =0

x( )d + x(t).

a) Demostrar que N (A) = 0, de modo que para cualquier y C[0, 1] la ecuacin Ax = y no puede tener ms que una solucin. o a o 73

b) Demostrar que A es continuamente inversible y hallar el operador A1 . Solucin al inciso a) Ax = 0 Ax(t) = 0 t [0, 1] ot

x( )d + x(t) = 0 x(0) = 0, x(t) = x (t) (derivando)0

x (t) + x(t) = 0, x(t) = cet y x(0) = 0 c = 0 x 0. Solucin al inciso b) Hallemos A1 y probemos que es sobreyectivo o y acotado. Sea y C[0, 1] y probemos que x C[0, 1] : Ax = yt

Ax(t) =0

x( )d + x(t) = y(t) x (t) + x(t) = y (t). (3.3.1)

Si xh es la solucin que satisface xh + xh = 0, entonces oAxh

Axh (t) = 0 t [0, 1] Axh = 0 xh (t) = 0 (A inyectiva). La solucin general xg (t) = xh (t) + xp (t), donde xp es una solucin o o particular de la ecuacin no homognea, se reduce a la forma: o e xg (t) = xp (t). La solucin particular se propone en la forma: o xp (t) = c(t)et , luego xp (t) + xp (t) = y(t) c (t)et c(t)et + c(t)et = y (t) c (t) = et y (t) 0 t t

e y ( )d = c(t)

xp (t) =0

e t y ( )d,

integrando por partes, u = e t du = e t d 74 dv = y ( )d v = y( ),

luego, x(t) = e t y( )|t 0t t 0

e t y( )d

x(t) =

y(t) C[0,1] 0

e t y( )d C[0, 1],

C (1) [0,1]C[0,1]

ya que y(0) = 0. A y(t) = y(t) 0 1 t

e t y( )d.

Probemos que A1 es acotado. A y1 t

sup y(t) +t[0,1] 0 t t[0,1] 0 t

e t y( )d e t |y( )t| d

y + sup y + supt[0,1] 0

(1) y d = y (1 + 1) = 2 y .

5. Demostrar el Teorema 3.3.1. Solucin: o Supongamos que A1 existe y es acotado sobre R(A), entonces y R(A) A1 y M y M > 0 tal que (3.3.2)

x D(A) se cumple que y = Ax R(A), luego sustituyendo en la desigualdad (3.3.2) M Ax Ax A1 A x = xI

1 Mm

x

x D(A),

para m =

1 M 75

Supongamos que x D(A), Ax m x , con m > 0 (3.3.3)

Ax = 0 x = 0 A13 es inyectiva. Luego, A es biyectivo sobre R(A), luego existe A1 . Sea y = Ax. Entonces x = A1 y. Sustituyendo en (3.3.3): y A1 y m A1 y 1 y y R(A) A1 es continuo. mm>0

6. Sea X un espacio normado; A : X X, un operador lineal, supongamos que en X exista una sucesin xn D(A)(n N) tal que o xn = 1 y Axn 0.n

Demostrar que el operador A no tiene inverso acotado. Solucin: o Supongamos que A1 existe y es acotado, entonces por el Teorema 3.3.1 se tiene que m > 0 : Ax m x x D(A). En particular Axn m xn = m,=1

lo cual es un absurdo porque tenemos por hiptesis que Axn 0. on

7. Sea X un espacio vectorial. Sean 1 , 2 dos normas sobre X con respecto a una de las cuales X es de Banach. Supongamos que existe a > 0 tal que x 1 a x 2 x X. Probar que las dos normas son equivalentes.13

Lineal

76

Solucin: o Consideremos el operador identidad I : (X,2)

(X,

1 ).

Este operador es biyectivo y por la hiptesis es continuo. Aplicando el o teorema 3.3.2 I 1 : (X, 1 ) (X, 2 ), es continuo, por lo que existe b > 0 tal que I 1 xx 2

b x

1

,

de aqu que 1 1a b 2 por tanto, las normas son equivalentes. 8. Demostrar el Teorema 3.3.3 Solucin: o Vamos a aplicar el teorema 3.3.2. Consideremos Y = X (espacio de Banach). I C es lineal porque C L(X). a) Se puede probar que R(I C) = X mediante el principio de las aplicaciones contra das. (Ejercicio propuesto 6) b) Probemos que existe el inverso de I C. Se tiene la identidad (I C)(I + C + C 2 + ... + C n ) = = = I + C + C 2 + ... + C n C C 2 ... C n C n+1 I C n+1 (I + C + C 2 + ... + C n )(I C)2

,

Como (AB)x = A(Bx) A Bx A B x entonces AB A B . Si B = A, se tiene que A2 A 2 . 77

Luego C n+1 C

n+1

n

0 ya que C < 1.

Formemos la sucesin Sn = I+C+C 2 +...+C n L(X). Probemos o que S L(X) tal quen

lim Sn = S,

para lo cual es suciente demostrar que es fundamental. Para todo p N se tiene:n+p n+p

Sn+p Sn =k=n+1

C

k

k=n+1

Ck

n

014

Pasando al l mite en la identidad se llega a que (I C)S = I = S(I C) Con el convenio C 0 I

S = (I C) luego

1

=n=0

C n L(X),

R(I C) = D[(I C)1 ] = X (I C)1 es acotado en virtud del Teorema 3.3.2 y adems a

(I C)

1

n=0

C

n

=

1 1 C

9. Sean X un espacio de Banach; A L(X) y I A < 1. Demostrar que A es continuamente inversible. Solucin: o Sea B=L(X)

I

A , B < 1 A = I B 15L(X)

luego A es continuamente inversible.14 15

Resto de una serie convergente, ya que C < 1. Por el resultado del Teorema 3.3.3

78

10. Demostrar el Teorema 3.3.4. Solucin: o Sea BA = C B = A + C = A(I + A1 C) = A(I (A1 C)). Se tiene que: A1 C A1 C< A11

0 tal que para cualquier x D(A) se cumple la desigualdad Ax m x . Demostrar que A es un operador cerrado. Solucin: o Supongamos que, xn D(A) n N, 88 xn x, Axn y.

Probemos que x D(A) Ax = y. Axn y R(A)20 D(A) xR(A)

:

A = y, x

x es unico21

entonces por hiptesis o m xn x Axn A x=y n n

0

xn x 0 xn x

= x D(A) (Por la unicidad del l mite). Adems y = A = Ax. a x 7. Demostrar el Teorema 3.4.3. Debemos probar que: ({yn } R(A), yn y, A1 yn x) y R(A) A1 y = x.

yn R(A) xn D(A) tal que yn = Axn xn = A1 yn . Por la hiptesis asumida xn = A1 yn x o yn = Axn y.

Como A es cerrado se tiene que x D(A) y y = Ax. Esto implica que y R(A) y que x = A1 y. 8. Sea el operador lineal acotado A : X Y a) Si Y es de Banach y A es acotado, probar que D(A) es cerrado. (Teorema 3.4.4) b) Si D(A) es cerrado, entonces A es cerrado. (Teorema 3.4.2) Solucin al inciso a) Supongamos D(A) cerrado. Sea o {xn } D(A), xn x y Axn y.20 21

Por ser R(A) cerrado en Y . Por existir A1 .

89

Entonces x D(A)22 = D(A) y como A Axn Ax y necesariamente Ax = y por la unicidad del l mite en espacios mtricos. e Luego, A es cerrado. Solucin al inciso b) Sea A cerrado. Entonces hay que demostrar o que D(A) D(A). Sea x D(A) {xn } D(A) tal que xn x X 23 24 y Y : Axn y. Como A es cerrado x D(A). Luego, D(A) es cerrado. 9. Probar el Teorema del Grco Cerrado (Teorema 3.4.5) basndose en a a el Teorema del Inverso Acotado (Teorema 3.3.2). Solucin: Sea T : X Y , donde T es lineal; X, Y espacios de o Banach. Denimos el operador auxiliar: P : GT X P ((x, T x)) = x

Vamos a considerar a X Y con la norma: (x, y) = x + y . Observemos que P cumple las hiptesis del Teorema del Inverso Acoo tado (Teorema 3.3.2): P est denido entre espacios de Banach, ya que GT es un cerrado a del espacio de Banach X Y , luego es tambin un espacio de e Banach; P es lineal, sobreyectivo;22

Por ser D(A) cerrado. Como A es lineal acotado es continuo 24 {Axn } es fundamental en Y (Banach).23

90

P acotado P (x, T x) = 25 x 26 (x, T x) P 1. P inyectivo P (x, T x) = x = 0 T (0)27 = 0 (x, T x) = (0, 0) Aplicando el Teorema del Inverso Acotado (Teorema 3.3.2) se concluye que existe P 1 y es acotado. Por denicin P 1 x = (x, T x). Probemos que T es acotado o T x (x, T x) = P 1 x P 1 x 28 T P 1 .

10. Sean A : X Y un operador lineal cerrado, R(A) = Y , con X, Y espacios de Banach y existe el operador A1 . Demostrar que A1 L(Y, X). Solucin: o Como consecuencia del Teorema 3.4.3 tenemos que A1 es cerrado. (D(A1 ) = Y A1 es cerrado) Como A lineal A1 Entonces: A1 L(Y, X). 11. Sea T un operador lineal. Probar que T admite una extensin T que o es lineal y cerrada. Solucin: oPor la denicin de P . o Por la denicin de la norma de X Y . o 27 T es lineal. 28 T es acotado.26 25

Teo 3.4.5

A1 es acotado.

lineal,

91

Lineal: Sean x1 , x2 DT ; z1 , z2 Y : (x1 , z1 ) GT , (x2 , z2 ) GT . Sean , K (x1 , z1 ) + (x2 + z2 ) GT (x1 + x2 , z1 + z2 ) GT Por denicin de T : o T (x1 + x2 ) = z1 + z2 . T x1 T x2

Por la construccin GT = (x, T x) = GT , luego T es cerrado. o Para obtener que T extiende a T observemos que si x DT , (x, T x) GT GT x DT DT DT y T x = T x. Ntese que T es m o nima en el sentido siguiente: si T1 es una extensin o lineal cerrada de T entonces tambin es una extensin de T , ya que se e o tiene que GT GT1 29 GT GT1 . y T x = T x.

3.5

Operadores casi cerrados

Debido a que la nocin de operador lineal cerrado A se caracteriza en trminos o e de que su grco GA es un subespacio cerrado y adems siempre se tiene la a a relacin GA GA , si a partir de un operador lineal A no necesariamente o cerrado construimos un operador A cuyo grco sea por denicin GA (es a o decir GA GA ), de inmediato nos preguntamos: Qu condiciones sobre A se requieren para poder denir A? e Qu relacin puede establecerse entre A y A? e o29

Cerrado.

92

Si A es continuo, tendr A esta caracter a stica? En caso armativo, qu relacin existir entre las normas de estos operadores? e o a Aplicando la propiedad de que GA (clausura del conjunto A) es el menor cerrado que contiene a A, podemos transferir a A la propiedad de que resulta la menor extensin lineal cerrada de A, por lo que resulta natural denominarla o clausura de A y se justica utilizar esta notacin para dicho operador. De A o se dir que es casi cerrado o tambin que es pre-cerrado. a e Denicin 3.5.1 Sean X, Y espacios normados, DA X y o A : DA Y lineal.

Supongamos que G(A) no es cerrado. Si existe A : DA Y : G(A) = G(A)

se dice que A es casi cerrado (tambin pre-cerrado) y que A es la clausura e de A. Teorema 3.5.1 Resultan equivalentes las siguientes proposiciones (i) A tiene una extensin lineal cerrada mnima (clausura) y (ii) y Y, y = 0, (0, y) o G(A).

3.5.1

Ejercicios Resueltos

1. Probar el Teorema 3.5.1. Solucin: o i) ii) Supongamos que A. Observemos que Hip. y = 0 (0, y) G( A ) = G(A),lineal

luego, (0, y) G(A). ii) i) Denamos DA = x X luego, A(x) = z. 93 : z Y (x, z) G(A) ,

a 1ro) A est bien denido. Supongamos (x, z1 ), (x, z2 ) G(A) Hip. (x, z1 ) (x, z2 ) = (0, z1 z2 ) G(A) z1 = z2 . z1 , z 2 Y :subespacio

2do) 3ro) 4to)

A lineal. Cerrado por construccin. o extiende a A? A

Debemos probar que (i) DA DA y que (ii) Ax = Ax x DA . Comencemos por vericar (i) x DA (x, A(x)) G(A) G(A) x DA ; ahora, veriquemos (ii), por la denicin de DA y de A teneo mos que, A(x) = A(x) x DA . nima. 5to) A m Debemos probar que si A1 es una extensin cerrada de A, o entonces (i)DA DA1 y (ii)A1 x = Ax x DA . Para probar (i) observemos que G(A) G(A1 ) = 30 G(A1 ); entonces G(A) = G(A) G(A1 ) DA DA1 . Probemos (ii), x DA (x, y) GA (x, y) GA1 y = A1 x Ax = A1 x. y = Ax30

A1 cerrado.

94

2. Sean X, Y dos espacios normados, Y de Banach; A un operador lineal y acotado, A : D X Y. Probar que A es casi cerrado y A es la unica extensin continua de A o y es tal que A = A . aD Solucin: o Tcnica de construccin: x0 D e o xn D : xn x0

Como A es lineal y acotado y Y es de Banach {A(xn )} es de Cauchy en Y lim A(xn ) = A(x0 )n

1ro) A bien denido. Supongamos que xn x0 . Es necesario probar que lim A(xn ) = lim A(xn )n n

Estimemos

lineal

A(xn ) A(xn ) = A (xn xn )n

0

como A es continuo, A(0) = 0. 2do) A es lineal. 3ro) A extiende a A A = lim A(x)31 = A(x) x Dn

4to) Relacin entre las normas o A(xn ) A(x0 )31

A A

xn x0 A A A

Sucesin de trminos constantes A(x). o e

95

Tenindose la ultima desigualdad al ser A una extensin de A. e o Luego, A = A . o 5to) Unicidad de A como extensin de A a D. Sea B una extensin de A a D lineal y continua. oDef. B (x0 ) = lim B 32 (xn ) = lim A(xn ) = A(x0 ). n n D D

6to) Probar que A = A. Es necesario probar que (i) DA = DA y (ii) A(x) = A(x). Veriquemos (i) DA = D DA ? x D xn x y A(x) = lim A(xn )n D Y

(xn , A(xn )) (x, A(x)) G(A)G(A) Y

x DA y A(x) = A(x) x DA . Veamos ahora (ii) DA DA = D? x DA z Y | (x, z) G(A) ( xn , A(xn )) (x, z) xn x y A(xn ) zD

x D. Adems a A(x) = z = lim A(xn ) = A(x).n

32

Extensin de A. o

96

3.6

Ejercicios Propuestos

1. En relacin con el listado de operadores lineales presentados en el o ep grafe 3.1, responder: a) Para los ejemplos 3 y 11, si D(A) = C[a, b]. Con qu hi