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ANALISIS MATEMATICO I (2017)

Bienvenidos/as al curso de Analisis Matematico I. A continuacion les contaremos brevementealgunas caracterısticas de la materia.

La carga horaria semanal es: 4 horas por semana de clases teoricas (2 clases por semana) y 4horas por semana de clases practicas (2 clases por semana). Para los/as estudiantes de la Lic.en Matematica, se adicionan 2 horas (6 horas en total) de clases practicas segun lo estipuladoen el Plan de Estudios.

Requisitos para aprobar los trabajos practicos de la materia:

• Sobre la asistencia: La asistencia a las clases practicas es obligatoria. Se requierecontar con el 80% de asistencia.

Les pedimos a aquellos/as estudiantes que, por motivos laborales, de salud, etc, no puedancumplir con la asistencia a las clases, se contacten con la catedra.

• Examenes parciales: Aprobar los dos parciales practicos (uno a mitad del curso y otroal finalizar). Habra 3 instancias para aprobar cada uno de ellos. Pronto publicaremos elcalendario de evaluaciones.

Para el primer parcial, implementaremos un sistema de “parcialitos” optativos duranteel primer cuatrimestre que consistiran, cada uno, en 1 o 2 ejercicios de temas especıficos.Aquellos estudiantes que los aprueben no tendran que volver a rendirlos y reduciran lacantidad de temas a evaluar en el primer examen parcial.

Bibliografıa - Libros recomendados

• “Calculo”. Serge Lang. Editorial Addison Wesley

• “Calculo I ”. Serge Lang. Fondo Educativo Interamericano

• “Calculus”. Volumen I. Tomas Apostol. Editorial Reverte

• “Elementos de calculo diferencial e integral”. Sadosky-Guber. Editorial Alsina.

• “Calculus”. Michael Spivak. Editorial Reverte

• “Calculo diferencial e integral de funciones de una variable”. Francisco Javier Perez Gonzalez.Universidad de Granada.

Catedra virtual

Utilizaremos, a lo largo de todo el ano una catedra virtual para compartir con los estudiantesvarias actividades de ejercitacion, bibliografıa, videos tutoriales, autoevaluaciones, recursos deGeogebra, etc.

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Analisis Matematico I 2017 Guıa de actividades practicas Nro. 1


Actividad 1. Si suponemos que son ciertas las desigualdades

a+ b > c+ d a > b c > d

¿Cuales de las siguientes desigualdades tambien sera cierta? Den una prueba en el caso que sean ciertas o un contrae-jemplo en el caso que no lo sean.

a > c a > d b > c b > d

Actividad 2. Demuestren que las siguientes afirmaciones son verdaderas.

a) Si x es negativo entonces x < 2. b) Si a > 1 entonces a < a2.

c) Si x > 1 e y > 2 entonces x+ y > 3. d) Si 0 < a < 1 entonces a2 < a.

e) Si x < y < −2 entonces1

y<

1

x. f) Si 0 < x entonces −x es negativo.

g) Si a < b < 0 y c < d < 0 entonces ac > bd. h) Si a < b y c < 0 entonces ac > bc.

Actividad 3. Muestren que las siguientes afirmaciones son falsas.

a) Si a es un numero real entonces a2 > 0. b) Si x < 5 e y < 6 entonces xy < 30.

c) Si x > 0 entonces x < x2. d) Si a es un numero real entonces −a es negativo.

e) Si x ≤ 5 entonces x− 2 ≤ −7.

Actividad 4. ¿Por que no se puede dividir por cero entre los numeros reales? Hay varias maneras de convencerse;propongan y describan alguna de ellas.

Actividad 5. El siguiente razonamiento es claramente incorrecto. ¿Por que?. ¿Donde esta el error?Tomemos dos numeros iguales x = y, entonces

x = y

x2 = xy

x2 − y2 = xy − y2

(x+ y) (x− y) = y (x− y)

x+ y = y

2y = y

2 = 1

Actividad 6. Resuelvan las siguientes ecuaciones para la variable indicada.

a) −2u2 + 6u = −3 para u, b) x2 =3

4x− 1

8para x, c) 2x4 − 5x2 + 1 = 0 para x,

d) a− 2[b− 3(c− x)

]= 6 para x, e)

a+ 1

b=a− 1

b+b+ 1

apara a,

Depto. de Matematicas – Fac. Cs. Exactas – UNLP Pagina 1 de 6


Actividad 7. Resuelvan las siguientes desigualdades. Expresen el conjunto solucion utilizando la notacion de intervalo;representen el conjunto solucion en la recta real.

a) 3x+ 5 ≤ 5x− 2 b)b

2− 3 > 5− 5b

3c)

a− 2

a+ 3> 0

d) 1 <3

xe)

1

x+

1

1− x> 0 f) x2 − 5x+ 9 > x

g) x3(x− π)(x+ 3)2 < 0 h) −4 < 4− 3x ≤ 17 i)x2

x2 + 4x+ 5> 1

Actividad 8. Prueben las siguientes desigualdades

a) 0 < x+ y − xy < 1 siempre que 0 < x < 1, 0 < y < 1.

b)1

x+

1

a+ b− x<

1

a+

1

bsiempre que 0 < a < x < b.

Actividad 9. Muestren que las siguientes igualdades son verdaderas.

a) x2 − y2 = (x− y)(x+ y) b) x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)

c) x3 + y3 = (x− y)(x2 − xy + y2)

Actividad 10. Sean x, y y z distintos de cero. Prueben que las siguientes igualdades son falsas

1

x+ y=

1

x+

1

y

√x2 + y2 = x+ y

√xy =

√x√y

xy

z=

xyz

Actividad 11. Simplifiquen las siguientes expresiones. No deben quedar parentesis y a lo sumo puede quedar unasola fraccion.

a)x2 + 3x+ 2

x2 − x− 2b)

2x2 − x− 1

x2 − 9.x+ 3

2x+ 1c)

x2

x2 − 4− x− 1

x+ 2

d)1

x+a −1x

ae)

1

y

(1

x− y− 1

x+ y

)f)

(x6 3

37

)1/2

g)(x+ a)2 − x2

ah)

x−2yz

x+2

i)

yx −

xy

1y −

1x

Actividad 12. En los siguientes casos, simplifiquen las expresiones (no deben quedar parentesis, a lo sumo puedequedar una sola fraccion y un solo sımbolo de raız que debe estar en el numerador).

a) (√a−√b)(√a+√b) b)

√10√

5− 2c)

h√4 + h− 2

Actividad 13. Calculen los valores x que verifican cada ecuacion:

a)√x+ 1−

√x− 1 = 2 b)

1√x− 1

2−√x

= −2

3



Actividad 14. Un granjero desea encerrar un area rectangular de 10m2 para organizar un cultivo. Respondan lassiguientes preguntas:

a) ¿Cuanto debera medir el largo del rectangulo si el ancho mide 4m?¿Y si el largo mide 8m cuanto debera medir el ancho?

b) ¿Cual de los rectangulos mencionados en el punto anterior poseemenor perımetro?

c) ¿Es cierto que dado un numero x es posible obtener una region rec-tangular de area 10m2 de manera que el ancho mida x?

d) Llamemos P al perımetro del terreno y x a la longitud del ancho.Discutan la validez de la siguiente expresion. ¿Que debe aclarar paraque la expresion anterior sea correcta?

P = 2x+ 2

(10

x

)(1)

e) Si x = 124m ¿Cuanto indica la expresion anterior que debe valer P?

f) Den las dimensiones de 2 rectangulos con un area de 10m2, uno deellos con un perımetro de 10m y el otro con un perımetro de 8m.

g) La tabla de la derecha nos mostrara el comportamiento del perımetrocuando varıa la longitud de la base del terreno para ciertos valoresde x. Completar la tabla para los valores de x indicados.

h) Si el granjero quiere que ademas de tener un area de 10m2 elperımetro del terreno cercado sea el menor posible, ¿Cuales seranlas dimensiones del terreno?

x P

0

1

2

3

4

5

6

x P

3,1

3,15

3,16

3,17

3,18

3,2

3,3

Actividad 15. Vamos a investigar como depende la medida de los angulos interiores de un polıgono regular de lacantidad de lados.

a) En el caso del triangulo y del cuadrado, indiquen la cantidad de ladosdel polıgono regular y la medida de los angulos interiores.

b) Para el pentagono regular sugerimos subdividirlo en triangulos como seindica en la figura y recordar que la suma de los angulos interiores (enradianes) de cualquier triangulo es π.

c) ¿Como calcularıan el tamano de un angulo interior de un polıgono regularde n lados? ¿Pueden determinar una formula?

d) Confeccionen una tabla tomando A como la medida del angulo interiory n la cantidad de lados.



Actividad 16. Recuerden la actividad 15. Tomando como n la cantidad de lados del polıgono regular y α como lamedida del angulo interior del polıgono.

a) ¿Que ecuacion pudieron determinar relacionando n y α?

b) ¿n puede ser cualquier numero? ¿Que condiciones debe cumplir?

c) Sin tener en cuenta el contexto, la formula anterior permite valores frac-cionarios. Reemplazando n = 5

2 , ¿que valor tomara α?

d) Intenten dibujar un polıgono cuyos angulos interiores sea el valor de αcalculado usando como guıa el esquema de abajo.

e) Lo mismo pero considerando n = 83 .

Actividad 17. Resuelvan las siguientes situaciones problematicas:

a) En un parque de diversiones existen dos planes de pago que varıan segun la cantidad de entradas que se comprenpara los diversos juegos.

En el primer plan se pagan $50 al comienzo y luego $10, 99 por cada juego.

En el segundo plan se pagan $25 al comienzo y luego $13, 99 por cada juego.

¿Cuantos juegos son necesarios jugar para que el primer plan resulte menos caro que el segundo plan?

b) Las instrucciones en un paquete de una pelıcula indican que la caja debe conservarse a una temperatura entre 41◦Fy 30◦F .

Conociendo la relacion entre ◦C (grados centıgrados) y ◦F (grados en Farenheit)

9[◦C]− 5[◦F ] + 160 = 0

¿Cual es el rango de temperaturas permitido para el paquete en grados centıgrados?

c) Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar una combi para que los lleve al conciertoes de $900, lo cual se deben repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Por otro lado, los organizadores delconcierto ofrecen un descuento en las entradas para aquellas personas que asistan en grupo en combi (para ahorrarproblemas de estacionamiento). El descuento que ofrecen es de $9 del valor de la entrada por la cantidad depersonas que pertenezcan al grupo. Considerando que la entrada al concierto cuesta normalmente $500 y que lascombis no pueden llevar mas de 50 personas.

¿Cuantos estudiantes deben ir en el grupo para que el costo individual no supere los $115?

d) Para enviar un paquete por correo, la empresa pone como condicion que el paquete no sea demasiado grande. Enconcreto, solo acepta paquetes para los cuales el alto mas lo que mida el perımetro de la base no puede ser mayora 216 cm.

i) ¿La empresa aceptara un paquete que mide 12 cm de ancho, 17 cm de alto y 150 cm de largo? ¿Y un paquetede 61× 61× 122 cm?

ii) ¿Cual es el mayor alto aceptable para un paquete que tiene base cuadrada y mide 19× 19 cm?



Actividad 18. Utilizando el valor absoluto expresen algebraicamente las siguientes oraciones.

a) Los numeros b y c distan en 4 unidades.

b) La distancia de x a −3 es mayor o igual a 1.

c) La distancia desde m hasta −1 es mas grande que la distancia desde m a 0.

d) La distancia desde x a 1 dividido la distancia de x a −1 es constante.

e) La distancia de x a 3 es menor que la distancia de 0 a y.

f) La distancia de z a 0 es la misma que la distancia de −z a 0.

g) La distancia entre a y b es la misma que la distancia entre b y a.

Actividad 19. Completen la tabla. La primera fila es un ejemplo.

|x| < 4 −4 < x < 44−4 0

|x| ≥ 60

3−3 0

x < −2 o x > 20

|x| ≤ 00

|x| < 00

|x− 1| < 70

x < 4 o x > 60

− 12

320

|x− a| < r0

|x− a| > r0



Actividad 20. Encuentren los conjuntos solucion de las siguientes ecuaciones o inecuaciones. Escriban las solucionesadecuadamente utilizando, siempre que se pueda, la notacion de intervalo y representelas en la recta numerica.

a) |x− 1| |x+ 1| = 0 b) |x− 1| |x+ 2| = 3 c) |3x+ 1| < 2 d) |x− 5| < |x+ 1|

e) |x2 + x| > 0 f) x2 ≥ 3 g)|x|x

= −1 h)4

|2x− 1|>

1

x+ 10

Actividad 21. Den 4 ejemplos de numeros a y b que cumplan simultaneamente las igualdades

|a+ b| = 2 |a|+ |b| = 8

Actividad 22. Expliquen por que la ecuacion |3x− 1| = −2 no tiene soluciones.

Actividad 23. Muestren que si a, b y c son tres numeros reales tales que |a| ≤ 4, |b| ≤ 12 y |c| > 2 entonces

a) |ab| ≤ 2 b) a2 ≤ 20 c) |a+ b| ≤ 92 d) |3 + b| ≥ 2 e)

∣∣∣ac

∣∣∣ < 2




Funciones lineales

Actividad 1.

a) Encuentren las funciones lineales que cumplen lassiguientes condiciones:

• f(1) = 2 y su grafica tiene pendiente −2.

• g(0) = 2 g(−1) = −1

b) Realicen las graficas de f y g.

c) Determinen, en forma analıtica, los valores de xpara los cuales g(x) > f(x).

Actividad 2. Asocien cada funcion con la descripcion correspondiente de su grafica.

• Recta con pendiente −1 que pasa por el punto P (1, 3) • f(x) = 36x

• Recta perpendicular a la recta y = 4x+ 8 • g(x) =5

3x+

7

3• Recta que pasa por origen • h(x) = −(x− 1) + 3

• Recta que pasa por los puntos (1, 4) y (−2,−1) • r(x) = −1

4x− 3

Actividad 3. Con respecto a la Actividad 2. ¿Como podrıan verificarse las respuestas usando el Geogebra?

Actividad 4. Realicen las graficas de las siguientes funciones lineales.

a) f(x) = 3x+ 1 b) g(x) = 23x−

√2 c) h(x) = πx+ 2

Actividad 5. Decidan, justificando la respuesta adecuadamente, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Toda recta del plano es la grafica de una funcion lineal.

b) Los puntos (1, 2), (4, 32 ) y (7, 3) estan alineados.

c) Los puntos (−4,−2), (−1, 1) y (2, 4) estan alineados.

d) Existe alguna funcion lineal que cumpla f(1) = 2, f(4) = 32 y f(7) = 3.

e) Si el punto (A,B) pertenece a la grafica de la funcion f(x) = mx+ b entonces el punto (A+ 1, B +m) tambien.

Actividad 6. Una tableta de chocolate esta dividida en 13× 5 piezas cuadradas como la figura 1. Un duende magicopasa por el aula y corta la tableta como en la figura 2 y luego la reordena como en la figura 3. Al final sale volandocon un sabroso cuadradito de chocolate que le sobro.

Figura 1 Figura 2 Figura 3¿Es posible que sobre un cuadrado luego de reordenar las piezas? ¿Como puede explicarse la situacion?



Funciones cuadraticas

Actividad 7. Encuentren las funciones cuadraticas que verifican las condiciones indicadas. En los incisos a, b, c y drealicen las graficas correspondientes.

a) El vertice de la grafica esta en el punto (1, 1) y corta al eje x en 3.

b) La grafica contiene el origen y en x = 2 alcanza su valor mınimo que es −5.

c) La grafica contiene los puntos (0,3), (1,4) y (-2,13).

d) La grafica contiene el origen y en x = 2 alcanza su valor maximo.

e) f)

Actividad 8. Determinen el o los valores de k tales que

1. f(x) = x2 + 7x+ k tenga una sola raiz.

2. La grafica de g(x) = x2 − 2kx+ k2 − 3k + 2 pase por el origen.

Pueden utilizar los deslizadores de Geogebra para comprobar las respuestas anteriores.

Actividad 9. Hallen, en forma analıtica, la interseccion entre las graficas de los siguientes pares de funciones.

a)

f(x) = 2x2

g(x) = 3x+ 9b)

f(x) =

3

2x2 − x

g(x) =3

2x2 − x+ 2

c)

f(x) = x2 + 6x+ 9

g(x) = −1

2x2 − 1

d)

f(x) = x2 + 2x− 2

g(x) = 2x− x2 − 2

Realicen las graficas con Geogebra y corroboren las respuestas.

Funciones numericas

Actividad 10. Hallen el dominio natural de las siguientes funciones.

a) f(u) =√

4− 7u b) g(x) =1

x2 + 3xc) r(θ) = 3

√θ − 2

θ + 3

d) m(x) =x3 − 7x

1− 3x

e) h(y) =1√y − 5

+1

y − 8f) u(θ) =

√θ − 2√θ + 3

− 5

Actividad 11. Con respecto a la Actividad 10.

a) Realicen las graficas de las funciones usando el Geogebra.

b) Identifiquen en las graficas el dominio obtenido y comparen con sus respuestas encontradas analıticamente.

c) Determinen la imagen de las funciones segun las graficas obtenidas.



Actividad 12. Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas

a) Si f es una funcion lineal entonces 5f tambien lo es.

b) Si f y g son funciones lineales entonces f + g tambien lo es.

c) Si f y g son funciones lineales entonces f.g tambien lo es.

d) Si f y g son funciones cuadratricas entonces f + g tambien lo es.

e) Si f es una funcion lineal entonces f(x± y) = f(x)± f(y).

f) Si f es una funcion cuadratica entonces f(ax) = a2f(x).

g) Si f es una funcion lineal entonces existe un numero k ∈ IR tal f(b)− f(a) = k . (b− a).

Actividad 13. Consideren tres funciones f : A ⊆ IR → IR, g : B ⊆ IR → IR y h : C ⊆ IR → IR. Escriban en formasimbolica los dominios de las siguientes funciones:

a) f + g b) g.h c)f

gd)

3f

g − he)

3

f.gf)

f + g

g2 + h2

Funciones homograficas

Actividad 14. Dada la funcion g(x) =−x+ 4

x− 2

a) Determinen el dominio natural de g y verifiquen que−x+ 4

x− 2= −1 +

2

x− 2.

b) Grafiquen la funcion g.

c) Determinen en base a la grafica realizada para que valores de x se satisfacen las siguientes condiciones:

i) g(x) = 0 ii) g(x) > 0 iii) g(x) > −1

d) Determinen, en forma analıtica, para que valores de x se satisfacen las siguientes condiciones:

i) g(x) = −2 ii) g(x) > 2 iii) g(x) < −2

Corroben las respuestas usando la grafica elaborada.

e) Determinen el dominio natural de cada funcion y, usando un procedimiento similar al inciso a, grafıquenlas:

i) h(x) =x− 2

x− 5ii) g(x) =

2x− 1

x+ 1iii) r(x) =

3x

2x− 1

Funciones definidas a trozo

Actividad 15. Realicen la grafica de cada funcion. Utilicen la grafica para determinar su imagen.

a) f(x) =

2x+ 3 si x > 2

−x− 2 si x ≤ 2b) f(x) =

x si x ≤ 0

−x si x > 0

c) f(x) =

−x2 − 2x+ 2 si x < 0

x+ 2 si x ≥ 0d) f(x) =

−x+ 2 si −3 < x ≤ 2

x− 2 si 2 < x ≤ 5

e) f(x) =

x si x < 1

5 si x = 1

x+ 2 si x > 1

f) f(x) =

3 si x ≤ −2

x2 − 1 si −2 ≤ x ≤ 2

3 si x > 2



Actividad 16. En cada caso, den una formula para la funcion definida a trozos que se presenta en la grafica.

Valor absoluto

Actividad 17. Evaluen cada funcion en los siguientes valores: 0, −3,√

2, −3

2

f(x) = |x| g(x) = | − x| h(x) = x+ |x| w(x) = x− |x|

Actividad 18. Para cada una de las siguientes funciones

f(x) = |x− 5| − 6 h(x) = |3x− 5|+ |2x+ 1|

a) Determinen su dominio.

b) Encuentren los puntos de la grafica donde se corta con los ejes coordenados.

c) Reescriban las funciones como funciones a trozos y realicen las graficas.

Actividad 19. En cada caso, encuentren los valores de x que se solicitan:

a) |f(x) + g(x)| < |f(x)|+ |g(x)| si f(x) = x− 3 y g(x) = 4− x.

b) |f(x)− g(x)| > |f(x)| − |g(x)| si f(x) = x y g(x) = x− 2.

c) |f(x)− 1| < 10−2 si f(x) = 3x+ 7.

d) |f(x)| ≥ 104 si f(x) =1 + 2x

x.

e) |f(x)| > 1000 si f(x) =x

x− 3.




Circunferencias, elipses e hiperbolas

Actividad 1. Encuentren el centro y el radio de lassiguientes circunferencias. Grafiquen.

a) x2 + y2 − 4x− 6y − 1 = 11

b) x2 + y2 − 3x− 9 = 0

c) 3x2 + 3y2 − 6x− 1 = 0

Actividad 2. En cada caso, encuentren una ecuacionde la o las circunferencias que

a) Pasan por el punto (2, 1) y su centro es (3,−3).

b) Pasan por los puntos (2, 1) y (3,−3) y su centro estasobre la recta x+ 2y = 1

Actividad 3. Determinen los elementos de las elipses (centro, eje focal, semiejes y vertices). Luego grafıquenlas.

a)x2

12+y2

9= 1 b) 3x2 + 6y2 + 2x = 12 c)

Actividad 4. Determinen los elementos de las hiperbolas (centro, asıntotas, vertices y eje focal). Luego grafıquenlas.

a)x2

4− y2

9= 1 b) c) y2 − x2 + 5y = 1

Actividad 5. Hagan un bosquejo para cada posibilidad que exista de interseccion entre las curvas.

1. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener dos circunferencias distintas?

2. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener una circunferencia y una parabola?

3. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener una circunferencia y una elipse?

4. ¿Cuantos puntos de interseccion pueden tener una recta y una hiperbola?



Transformaciones

Actividad 6. Describan en palabras como se transforma la grafica de la funcion f en los siguientes casos segun lastraslaciones, dilataciones, reflexiones.

a) f(x) + 4 b) f(x+ 4) c) f(x− 1)− 4 d) f

(x+

1

2

)+ π

e) 2f(x) f)1

4f(x) g) f(3x) h) f

(x2

)i) 2f(x− 2) + 2 j) f(3x)− 1

Actividad 7. En los siguientes casos, determinen una formula para g(x) a partir de la funcion f(x).

a) b) c)

g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . .

d) e) f)

g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . . g(x) = . . . . . . . . . . . .

Actividad 8. A continuacion les presentamos las graficas de estas cinco funciones:

f1(x) = x f2(x) = x2 f3(x) = x3 f4(x) = |x| f5(x) = x2 − 2x

a) Indiquen si las funciones son pares, impares, ambas o ninguna de las dos cosas. Justifiquen grafica y analıticamente.

b) Usando traslaciones, dilataciones y/o reflexiones apropiadas, propongan las graficas de las siguientes funciones.

g1(x) = x+ 3 g2(x) = (x− 4)2 g3(x) = −x3 g4(x) =

∣∣∣∣x+1

3

∣∣∣∣− 1



Actividad 9. Determinen si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Demuestren aquellas que seanverdaderas y den algun contraejemplo para aquellas que sean falsas.

a) h(x) =2

x− 1es una funcion par.

b) La grafica de g(x) = 4− x2 es simetrica con respecto al eje y.

c) f(x) = x3 − x es una funcion impar.

Actividad 10. Propongan la expresion de una funcion h que sea polinomial par, negativa y tal que h(−3) = −9.




Lımites

Actividad 1. Calculen los valores indicados segun la informacion de la grafica. Den una explicacion en los casos queno existan.

a) f(−1) b) limx→−1+

f(x) c) limx→−1−

f(x)

d) limx→−1

f(x) e) f(2) f) limx→2

f(x)

g) f(4) h) limx→4

f(x) i) f(6)

j) limx→6

f(x) k) f(7) l) limx→7+

f(x)

m) limx→7−

f(x) n) limx→7

f(x)

Actividad 2. En cada caso, utilicen el sistema de ejes coordenados para realizar un esbozo de la grafica de unafuncion que cumpla las condiciones solicitadas.

a) y = f(x) debe cumplir

• f(−2) = 2 y limx→−2

f(x) = 1

• f(−1) = 3 y limx→−1

f(x) = 3

• f(1) no esta definido y limx→1

f(x) = 0

• f(2) = 1 y limx→2

f(x) no existe.

b) y = g(x) debe cumplir

• g(−1) = 3, g(0) = −1, g(1) = −2 y g(4) = 3

• En x = −1, x = 0, x = 1 y x = 4 existe ellımite de g y su lımite es igual al valor de lafuncion en el punto.

• g(2) no esta definido y tampoco existelimx→2

g(x)

c) y = h(x) debe cumplir

• Dom(h) = [−4, 6)− {2}, g(0) = 1, g(1) = −2y g(4) = 3

• limx→0

h(x) = 2 y limx→2

h(x) = −3

• La grafica de h esta formada por tramos derectas.

• h es una funcion decreciente en el intervalo[3, 4].



Actividad 3. Determinen la formula de una funcion f a trozos que cumpla todas las condiciones indicadas

Dom(f) = [−5, 5] limx→−2−

f(x) 6= limx→−2+

f(x) f(−2) = 0 limx→1

f(x)no existe

f es una funcion decreciente en el intervalo [−2, 0] limx→3

f(x) 6= f(3)

Actividad 4. Considerando que la grafica de la derecha le corresponde a una funcion f responda las preguntas.

a) ¿Cuales son todos los valores de a para los cualesno existe lim

x→af(x)?

b) ¿Cuanto vale limx→0−

f(x)− limx→0+

f(x)?

c) ¿Cuanto vale limx→7−

f(x)− limx→7+

f(x)?

d) ¿Cuanto vale limx→−4−

f(x)− limx→−4+

f(x)?

Actividad 5. Consideren las siguientes funciones:

D(x) =

1 si x es racional

0 si x es irracional[x] = el mayor numero entero m tal que m ≤ x

a) Calculen los siguientes valores

D(0) D(12

)D(−1) D(π) D(π + 1) D(

√2) D(

√4) D(ππ)

[0] [1] [1, 5][12

][2.1] [−0, 5] [−1] [−1, 3] [

√2] [2− π] [2−

√7]

b) Estudien en cada caso la existencia o no de los lımites:

i) limx→0

D(x) ii) limx→1

D(x) iii) limx→√2D(x)

iv) limx→0−

[x] v) limx→0+

[x] vi) limx→0

[x] vii) limx→1

[x] viii) limx→ 1

2

[x]

c) Hagan un boceto de la grafica de D(x).

d) ¿Cual de las siguientes graficas se corresponde con la grafica de la funcion [x]?

i) ii) iii)



Actividad 6. A partir de la informacion suministrada en cada inciso calculen los lımites solicitados indicando laspropiedades utilizadas.

a) Si limx→4

f(x) = −1 y limx→4

g(x) = 5, calculen limx→4

(f(x)− 2

5g(x)

).

b) Si limx→x0

f(x) = 5 y limx→x0

g(x) = −2, calculen limx→x0

f(x)g(x)− 2

f(x)− g(x).

c) Si limx→1

f(x)

x2= 7, calculen lim

x→1

f(x)

x

Actividad 7. Demuestren las siguientes afirmaciones usando como base las propiedades algebraicas de los lımites.

a) Si limx→a

f(x) existe y limx→a

(f(x) + g(x)) existe entonces limx→a

g(x) existe.

b) Si limx→a

f(x) no existe y limx→a

g(x) existe entonces limx→a

(f(x) + g(x)) no existe.

c) Si limx→a

f(x) no existe y limx→a

g(x) existe y es distinto de cero entonces limx→a

f(x).g(x) no existe.

Actividad 8. Las siguientes proposiciones son falsas. Propongan contraejemplos adecuados que lo muestren.

a) Si limx→a

f(x) = L y limx→a

g(x) = L entonces limx→a

f(x)

g(x)= 1.

b) Si limx→a

((f(x))2

= L2 entonces limx→a

f(x) = L.

c) Si f(x) < 0 para todo x ∈ (0, 1) y limx→1−

f(x) = L entonces L < 0.

Actividad 9. Calculen los siguientes lımites. En los casos que los lımites no existan se debe explicar por que.

a) limx→0

|x|x

b) limx→3+

2x− 6

|2x− 6|c) lim

x→3−

2x− 6

|2x− 6|d) lim

x→2−(x+ 1)

|x+ 2|x+ 2

e) limx→0

x3

x2f) lim

x→0

4x5

3x5g) lim

x→0

x

2x3h) lim

x→2(x+ 1)

x2 + x− 6

x2 − 4

i) limw→−5−

3w

2w + 10j) lim

t→0

(t+ 1

t− 1

t

)k) lim

u→0

5u3 + 8u2

3u4 − 16u2l) lim

x→π

x− πx2 − π2

’

m) limx→a

x2 − a2

x− an) lim

x→2

x3 − 8

x− 2o) lim

r→−3

2

r + 2p) lim

x→1

√x− 1− 1

x− 1

q) limh→0

√h2 + 4h+ 5−

√5

hr) lim

y→−1

√y2 + 8− 3

y + 1s) lim

t→0−

(t2

5− 1

t

)t) lim

u→0

2

u− 1

u(u− 1)

Actividad 10.

a) Si 6− 2x2 ≤ f(x) ≤ 6− x2 para −1 ≤ x ≤ 1, encuentren el valor de limx→0

f(x).

b) Si limθ→−1

f(θ) existe yθ2 + θ − 2

θ + 3≤ f(θ)

θ2≤ θ2 + 2θ − 1

θ + 3, encuentren lim

θ→−1f(θ).



Actividad 11. Dada la funcion

f(x) =

1 si x < 0

x3 − 2x2

xsi 0 < x < 3

7 si x = 3

x2 − 9

x− 3si x > 3

a) Indiquen su dominio natural y luego grafıquenla.

b) Calculen analıticamente los siguientes lımites y corroboren los resultados con la grafica propuesta.

(i) limx→0+

f(x) (ii) limx→0−

f(x) (iii) limx→3+

f(x) (iv) limx→3−

f(x)

(v) limx→ 1

2

+f(x) (vi) lim

x→0f(x) (vii) lim

x→3f(x) (viii) lim

x→4f(x)

Continuidad

Actividad 12. Dadas las funciones

a) f(x) =x2 − x− 6

x− 3b) g(x) =

x2 − x− 6

x− 3si x 6= 3

3 si x = 3

c) h(x) =

x2 − x− 6

x− 3si x 6= 3

5 si x = 3

Determinen sus dominios naturales, realicen sus graficas y analicen la continuidad en forma analıtica en x = 3.

Actividad 13. Consideren la funcion f(x) =

1

x+ 2si x ≥ −1

x2 + 1 si x < −1

a) Indiquen el dominio natural de la funcion.

b) Realicen su grafica

c) Estudien la continuidad analıtica y graficamente de f en el punto x = −1.

Actividad 14. Calculen los siguientes lımites argumentando adecuadamente sobre la continuidad de las funcionesinvolucradas.

a) limx→1

4x3 − 2x+ 6 b) limx→0

√x5 + 3 + 5 c) lim

x→π

√x+ 5

x− 1

Actividad 15. Para cada funcion, indiquen el mayor conjunto de valores de x en que es continua. Estudiar asıntotasverticales y/o saltos.

a) f(x) =2− xx− 3

b) h(x) =x2 − 1

x− 1c) r(x) =

x2 − 1

|x− 1|

d) t(x) =x2 + x+ 1

x2 − xe) j(x) =

π3√

5− 2xf) w(x) =

4x2√x2 + 1− 1



Actividad 16. Determinen si las siguientes funciones son continuas en el intervalo [0, 1].

a) f(x) =

√x

xsi x ∈ (0, 1]

0 si x = 0

b) g(x) =

√x

3√x

si x ∈ (0, 1]

0 si x = 0

Actividad 17. Grafiquen f(x) =x2 − 4

|x− 2|.

¿Existe limx→2

f(x)? ¿Puede definirse f(2) para que f sea continua en x = 2?

Actividad 18. En cada caso, den un ejemplo grafico de una funcion que cumpla las condiciones indicadas y escribanla formula de la funcion propuesta.

a) Sea continua en el intervalo [a, b].

b) Sea continua en el intervalo [a, b] excepto en x = x0 con x0 ∈ (a, b).

c) limx→x0

+f(x) = f(x0) y lim

x→x0−f(x) 6= f(x0).

d) Esta definida en x = x0 y existe limx→x0

f(x) pero no coincide con f(x0).

e) No esta definida en x = x0 y existe limx→x0

f(x).

f) Sea discontinua en el intervalo [a, b] pero |f | sea continua en [a, b].

Actividad 19. Consideren la funcion f(x) =

√x+ 1− 1

xdefinida para x ∈ (−1, 0) ∪ (0,+∞).

a) Determinen el lımite de f(x) cuando x tiende a 0.

b) ¿Como debe definirse f(x) en x = 0 para que resulte continua en x = 0?

Actividad 20. En cada caso, determinen el valor de c para el cual la funcion es continua en todo IR.

a) f(x) =

x+ 3 si x ≤ 2

c.x+ 6 si x > 2b) g(x) =

x+ 3 si x ≤ −1

(x− c)2 + 1 si x > −1

c) h(x) =

−√

2x si x < 1

(x− c− 3)2 + c+ 3 si x ≥ 1

d) R(x) =

−x2 − 2x+ 4 si x ≤ c

−2x+ 1 si x > c

Actividad 21. Encuentren los valores de b y c para los cuales la funcion f resulta continua en todo IR.

f(x) =

x+ 1 si 1 < x < 3

x2 + b.x+ c si |x− 2| ≥ 1

Actividad 22. ¿Para cuales de las siguientes funciones f existe una funcion F de continua dominio IR tal queF (x) = f(x) para todo x del dominio natural de f?

a) f(x) =x2 − 4

x+ 2b) f(x) =

|x|x

c) f(x) = 0 definida para x ∈ IQ.




Derivadas

Actividad 1. Para cada una de las siguientes funciones, calculen la derivada en el x0 indicado usando la definicion.

a) f(x) = 7x2 x0 = 1 b) g(x) =5

xx0 = 1 c) h(x) =

√3x + 1 x0 = 0

Actividad 2. Cada uno de los siguientes lımites representa la derivada de alguna funcion f en algun numero a.Establezcan, en cada caso, la funcion f y el valor de a correspondiente

a) limh→0

(1 + h)10 − 1

hb) lim

h→0

4√

16 + h− 2

hc) lim

t→1

t4 + t− 2

t− 1

Actividad 3. Lanzamos una roca hacia arriba con una velocidad inicial de 400cm/s y en cada instante t (en segundos)la altura que alcanza es de h(t) = 120 + 400t− 5t2 centımetros.

a) Encuentren la velocidad promedio∆h

∆tdesde t = 0 a t = 0.5.

b) Encuentren la velocidad promedio∆h

∆tdesde t = 0.5 a t = 1.

c) ¿Cuanto vale la velocidad instantaneadh

dtpara t = 0.5?

Actividad 4. Estudien si existe la recta tangente a la grafica de las funciones en el punto de abscisa x0 = 0.

a) f(x) = x + |x| b) g(x) = x.|x| c) h(x) =

3x + 1 x > 0

3x x ≤ 0

Realicen las graficas de las tres funciones.

Actividad 5. Muestren que la funcion

h(x) =

−x x < 0

x2 x ≥ 0

no es derivable en x = 0. ¿Es continua en ese punto?

Actividad 6. Sea g(x) = |x2 − x− 2|.

a) Escriban a la funcion g como una funcion definida a trozos.

b) Hallen los puntos donde la funcion no tiene derivada. ¿Como es la grafica de g en esos puntos?

Actividad 7. Estudien para que valores de a la funcion

h(x) =

3− ax2 x ≤ 1

2

axx > 1

resulta derivable en x = 1. Los resultados pueden chequearse usando los deslizadores del .



Actividad 8. Estudien para que valores de a y b la funcion

g(x) =

ax + b x < 1

1

x2 + 1x ≥ 1

resulta continua y derivable en x = 1. Los resultados pueden chequearse usando los deslizadores del .

Actividad 9. Estudien para que valores de a y b la funcion

g(x) =

x3 − x x < 0

ax + b x ≥ 0

resulta continua y derivable en los reales. Den la expresion de g′(x). Los resultados pueden chequearse usando los

deslizadores del .

Actividad 10. Si y = 15x+ 8 es la ecuacion de la recta tangente a la grafica de la funcion f(x) en el punto de abscisa

x = 0. Hallen el valor de f(0) y f ′(0).

Actividad 11.

a) Determinen, por definicion, la derivada de las funciones en un valor generico x0.

i) g(x) = 7x3 ii) h(x) =3− x

x− 1(x0 6= 1)

b) Encuentren la ecuacion de la recta tangente a la grafica de g en el punto de abscisa x0 = 1.

c) Realicen la grafica de la funcion g(x) junto con la recta tangente encontrada.

d) Encuentren la ecuacion de la recta tangente a la grafica de h en el punto de abscisa x0 = 3.

e) Realicen la grafica de la funcion h(x) junto con la recta tangente encontrada.

Actividad 12. Calculen las derivadas de las siguientes funciones (utilizando las reglas de derivacion). Indiquen losdominios naturales de cada funcion y de su derivada.

a) f(x) = 2x−√x− 3x2 b) h(x) = (x3 − 1)(x2 + x) c) m(t) = (t− 1)(t + 3)(t− 2)

d) t(x) =1

x√x

e) p(t) =

(t6 +

1

t

)(t5 + 1

)f) q(w) =

w

w + 2+

w + 1

w

g) x(y) = y31

y + 1h) P (R) =

R4(R + 1)

R− 1i) n(u) =

−5

u3 + 2u2

Actividad 13.

a) Determinen en que punto de la curva de ecuacion y = 3x2 + 2x la recta tangente es paralela a la recta que pasapor los puntos (1, 0) y (0, 1).

b) ¿Cuantas rectas tangentes a la grafica de y = x2 + 1 pasan por el punto (2, 1)? Escriban la ecuacion de cada unade ellas.

c) Encuentren los puntos pertenecientes a la grafica de la funcion f(x) = x3 − x en los que la recta tangente eshorizontal.

Actividad 14. Una caja tiene altura t, ancho t3 + 1 y profundidad1

t + 2.

a) ¿Cual es la razon de cambio instantanea del volumen de la caja?

b) ¿Cual es la razon de cambio instantanea de la suma de las superficies de las paredes de la caja?




Regla de la cadena

Actividad 1. Las siguientes funciones pueden expresarse como composicion de dos o mas funciones.

• f(x) =√x4 − 2 • h(x) = (x3 − 1)5 • m(t) =

1

(πt2 + 1)6• t(x) =

(x2 + 1

x2 − 1

)3

En cada caso:

a) Indiquen las funciones intervinientes en la composicion (podrıan existir varias opciones).

b) Calculen las derivadas (utilizando las reglas de derivacion).

c) Indiquen los dominios naturales de cada funcion y de su derivada.

Actividad 2. En cada caso, calculen f ◦ g y su derivada; tambien sus dominios naturales.

a) f(x) =1

xg(x) = x2 + 1 b) f(x) =

x√1− x3

g(x) = x2

Actividad 3. Calculen las derivadas segunda, tercera y 50-esima de cada una de las siguientes funciones:

a) f(x) = x3 + 3x2 − 2x b) f(x) = (x2 + 1)3

Actividad 4. Utilizando la informacion de la tabla, calculen la derivada de las funciones en el valor dado de x:

x f(x) g(x) f ′(x) g′(x)2 8 2 1/3 -33 3 -4 2π 5

a) (f ◦ g)(x) en x = 2

b) g(f(x)) en x = 3

c) 1/(g(x))2 en x = 2

d)√f(x) en x = 3

e)√f2(x) + g2(x) en x = 3

f) f(x).g3(x) en x = 2.

Derivacion implıcita

Actividad 5. En los siguientes casos consideramos a y como una funcion de x. Hallen y′(x) (en terminos de x e y) eindiquen donde la expresion encontrada es valida, es decir, que condiciones se deben satisfacer.

a)√xy = y2

√3 b)

y

x− y= xy + π c) y1/3 + x11/5 = 3xy

Actividad 6. El siguiente grafico corresponde a la curva de ecuacion x2 + xy + y2 = 7.

a) Encuentren en el grafico todos los puntos sobre la curva paralos cuales la recta tangente es horizontal.

b) Comprueben graficamente que esos puntos se encuentran so-bre la recta y = −2x.

c) Usen derivacion implıcita para demostrar lo afirmado en elapartado anterior.

d) Encuentren en forma analıtica las coordenadas de esos puntos.

e) Comprueben las soluciones anteriores con .



Actividad 7. Una escalera de 3 metros de longitud descansa contra una pared vertical. El extremo inferior comienzaa resbalar sobre el piso y se aleja de la pared a una velocidad constante de 0.5m/s.¿A que velocidad se desliza hacia abajo el extremo superior cuando esta a 1.8m del suelo? ¿A que velocidad golpea laescalera (su extremo superior) el piso?

Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio

Actividad 8. Decidan, justificando, cuales de las siguientes funciones satisfacen las hipotesis del teorema de valormedio y cuales no.

a) f1(x) = x2/3, x ∈ [−1, 8]

b) f2(x) = x4/5, x ∈ [0, 1]

c) f3(x) =√x(1− x), x ∈ [0, 1]

d) f4(x) =

x si 0 ≤ x < 1

0 si x = 1

Actividad 9. Sea f(x) = 5x4 + 9x3 − 11x2 + 10. Prueben que la grafica de f tiene una recta tangente de pendiente

9 en algun punto cuya abscisa esta entre −1 y 1. ¿Es posible comprobar la respuesta con ?

Actividad 10.

a) Consideren a f una funcion continua en el intervalo [1, 3] y derivable en el intervalo (1, 3) tal que 1 ≤ f ′(x) ≤ 2para todo x ∈ (1, 3). Muestren que 2 ≤ f(3)− f(1) ≤ 4.

b) La velocidad de un tren se mantuvo entre los 40 y los 50 kilometros por hora durante un trayecto de 200 kilometros.¿Que se puede decir de la duracion del viaje?

Actividad 11. Demuestren que, cualquiera sea m, la funcion fm(x) = x3 + 3x+m no tiene nunca dos raıces en [0, 1].

¿Como podrıa comprobarse la respuesta con ?

Actividad 12. Determinen, justificando, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas.

a) Si la grafica de una funcion continua tiene tres intersecciones con el eje x, debe haber al menos dos puntos en losque su tangente sea horizontal.

b) Si un polinomio tiene tres raıces reales, debe haber al menos dos puntos en su grafica en los que su tangente eshorizontal.

c) Si f(−2) = 4 y f ′(x) = 0 para todo x, entonces f(x) = 4 para todo x.

d) Dada f(x) = 1 + x4/7, existe un c ∈ (−1, 1) tal que f ′(c) =f(1)− f(−1)

1− (−1).

e) Si f es derivable en el intervalo (a, b) tal que los limx→a+

f(x) y limx→b−

f(x) existen y son iguales entonces existe

c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.

Actividades mixtas

Actividad 13. Sea f : IR→ IR una funcion tal que |f(x)| ≤ |x|. Probar que f es continua en x = 0. ¿Es derivable?

Actividad 14. Sea f(x) definida en un entorno del origen. Mostrar que si |f(x)| ≤ x2 entonces f es derivable en 0.

Calcular f ′(0). Utilicen el para interpretar geometricamente el resultado.

Actividad 15. Sea f(x) = x g(x) con g continua en x = 0. Probar que f es derivable en x = 0. ¿Cuanto vale f ′(0)?

Actividad 16. Si f es una funcion par y derivable en x = 0, demostrar que f ′(0) = 0.



Actividad 17. Sea f una funcion derivable en un punto x0. Hallen, si existe, el valor del siguiente lımite:

limh→0

f(x0 + h)− f(x0 − h)

h

Recıprocamente, si el lımite anterior existe, ¿es f derivable en x0?

Actividad 18. Encuentren la ecuacion de la recta normal a la curva 2x4 + y4 = 3 en el punto (1, 1). Comprueben

las respuestas con .

Actividad 19. Encuentren todos los puntos P pertenecientes a las curvas dadas que cumplen la condicion indicada.

a) La recta normal a la curva de ecuacion xy + 1 = x2 − y2 en P es paralela a la recta 2y + x = 8.

b) La recta tangente a la curva de ecuacion x3 + y3 = xy en P es vertical ( x = cte. ).

c) Comprueben las respuestas con .

Actividad 20. Sea P un punto en el primer cuadrante (x > 0 e y > 0) sobre el astroide

x2/3 + y2/3 = a2/3

Prueben que el segmento de la recta tangente al astroide en P delimitado por el primer cuadrante tiene longitud

constante. Usando se puede dibujar la curva y comprobar la respuesta.

Actividad 21. Prueben que las siguientes funciones tienen exactamente un cero en el intervalo dado.

a) f(x) = x3 +4

x2+ 7, x ∈ (−∞, 0) b) g(x) = x4 + 3x+ 1, x ∈ [−2,−1]

Comprueben las respuestas con .




Actividad 1. Consideren las funciones f , g y h segun las graficasde la derecha. Para cada funcion, indiquen a partir de su grafica

a) Regiones donde la funcion sea creciente o decreciente.

b) Puntos crıticos.

c) Maximos y mınimos locales (o relativos) y/o absolutos.

d) Regiones donde la funcion sea convexa o concava.

e) Puntos de inflexion.

Actividad 2. En los siguientes casos, grafiquen la funciony luego determinen sus regiones de crecimiento/decrecimiento ymaximos/mınimos locales y/o absolutos.

a) g(x) = −3x2 − 4x b) h(x) = x|x|

Actividad 3. En cada item, esbocen la grafica de una funcion quesatisfaga todas las condiciones.

a) Dom(f) = IR; 0 /∈ Img(f); f es continua en su dominio exceptoen x = 5; f ′(x) < 0,∀ x ∈ (−∞,−2); f ′(x) > 0,∀x ∈ (−2, 5) ∪(5,+∞).

b) f alcanza el mınimo absoluto en dos puntos del dominio pero notiene maximo absoluto; f es continua en IR; f ′(x) < 0,∀ x ∈(−∞;−2); f ′(x) > 0,∀ x ∈ (−2; 0); f es par y no es derivable enx = 0.

Actividad 4. Consideren una funcion tal que

df

dx(x) = (x− 1)(x− 2)(x− 3)(x− 4)

Determinen los intervalos de crecimiento/decrecimiento de f .

f : [−2, 2]→ IR

h : IR− {0} → IR.

g : [0, 6]→ IR

Actividad 5. La figura de la derecha es la grafica de una funcionque es dos veces derivable. Indiquen el signo de la primera y dela segunda derivada en la abscisa de los puntos marcados.

Actividad 6. Muestren que

a) h(x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 1 es decreciente en el intervalo (−2, 1).

b) g(x) = x3 + x es creciente en IR.

c) w(x) =x2 − 1

xes creciente en cualquier intervalo que no contenga a x = 0 pero no es creciente en todo su dominio.



Actividad 7. Consideren la funcion r(t) =√

2t− t2.Determinen su dominio natural, intervalos de crecimiento/decrecimiento y esbocen su grafica.

Actividad 8. Encuentren constantes b y c para que el valor mınimo de la funcion f(x) = x4 + bx2 + c sea 2 y sealcance en x = 1.

Actividad 9. Consideren la funcion f(x) = x3 − 4x2 + x + 2. En un mismo sistema de ejes cartesianos realicen sugrafica, la grafica de su primera derivada y la grafica de su segunda derivada.

Actividad 10. Dada la funcion

f(x) =

{−x2 si x < 0x3 si x ≥ 0

Realicen su grafica, muestren que f ′′ no existe en x = 0 y analicen si en x = 0 hay un punto de inflexion.

Actividad 11. Muestren, usando la definicion, que las siguientes funciones son convexas en el intervalo indicado (nose puede usar derivada segunda).

a) g(x) =√x en (0,+∞) b) f(x) = x3 en (0,+∞)

Actividad 12. En los siguientes casos, determinen los dominios naturales, las regiones de crecimiento, decrecimiento,convexidad y concavidad. Indiquen los extremos locales y los puntos de inflexion.

a) f (x) =(x2 − 4

)2b) g (x) = x3 − 6x2 + 12x c) l(x) = x

(1− x2

)1/2d) m(x) =

√x− 1 +

√9− x e) n(x) =

x3

1 + x2f) t(x) = x3(1− x)4

Actividad 13. La figura de la derechamuestra la grafica de una funcion y desus dos primeras derivadas. Indiquencual es cual explicando el motivo de ladecision.

Extremos en intervalos cerrados y acotados

Actividad 14. En los siguientes casos, determinen los extremos absolutos de cada funcion en el intervalo indicado.

a) f(x) = 3x4 − 16x3 + 18x2 en el intervalo [−1, 4]. b) f(x) = x3/4 − 2x1/4 en el intervalo [0, 4].

c) f(x) = x4/5(x− 4) en el intervalo [−1, 1]. d) f(x) =x + 1

x2 − x + 1en el intervalo [0, 3].

e) f(x) = x101 + x51 + x + 1 en el intervalo [−2, 10]. f) f(x) = |x + 1|+ |x| en el intervalo [−1, 1].




Funciones trigonometricas

Actividad 1. Utilicen la figura de la circunferencia unidad paramostrar las siguientes identidades trigonometricas.

a) cos(α+π

2) = −sen(α) b) sen(α+

π

2) = cos(α)

c) tan(α) = tan(α+ π) d) cos(π

2+α) = − cos(

π

2−α)

En el caso del inciso c) ¿que excepciones hay que tener en cuenta?

Actividad 2. Realicen las demostraciones de las identidades ante-riores utilizando en esta ocasion las siguientes identidades:

sen(α± β) = sen(α) cos(β)± cos(α)sen(β)

cos(α± β) = cos(α) cos(β)∓ sen(α)sen(β)

Actividad 3. Demuestren las expresiones (usen la actividad anterior adecuadamente).

cos2(x) =1 + cos(2x)

2y sen2(x) =

1− cos(2x)

2

Actividad 4. Hallen los valores de x para los cuales se satisfacen las siguientes igualdades:

a) sen(x) = 0.5 b) cos(32π − x

)= 1 c) cos

(x+ π

2

)sen(x− 3

2π)

= 0

Actividad 5. Usando como referencia las graficas de las funciones seno, coseno y tangente realicen las graficasde las siguientes funciones.

a) f(x) = sen(x+ π) b) g(x) = 2 cos(3x) c) h(x) = tan(−x) + 1 d) r(x) = |2sen(x) + 1|

Actividad 6. Propongan una formula para las funciones representadas con las siguientes graficas

a) f(x) = b) g(x) = c) h(x) =

Actividad 7. Calculen las derivadas de las siguientes funciones, indicando en cada caso el dominio natural dela funcion y de su derivada:

a) f(x) = tan(x) b) g(x) = cosec(x) c) h(x) = sec(x) d) m(x) = cotan(x)



Realicen la grafica de la funcion sec(x).

Actividad 8. Calculen las derivadas de las siguientes funciones.

a) f (x) = sec(x2 + 1

)b) g (x) =

x+ cos(x)

cos(x) sen(x)c) g (x) = tan

(sen(√x))

Actividad 9. Hallen, en el caso que existan, los siguientes lımites.

a) limx→0

sen (2x)

xb) lim

x→0

x sen(x)

sen (x2)c) lim

x→0

sen(|x|)x

d) limx→0

1− cos(x)

x2e) lim

x→0

sen (π − x)

x

Actividad 10. Hallen los puntos de la grafica de la funcion f (x) = sen(

2x+π

4

)donde la recta tangente es

paralela a la recta de ecuacion y = x+ 1. Grafiquen.

Actividad 11. Utilicen el Teorema del Valor Medio para mostrar que para cualesquiera x1 y x2 se cumple

|sen(x1)− sen(x2)| ≤ |x1 − x2|

¿Es cierto que |sen(x)| ≤ |x| para todo x ∈ IR?

Actividad 12. Consideren la actividad 7 de la Guıa de Actividades Nro. 6. ¿Cual es la razon de cambio delangulo que la escalera forma con el piso cuando el extremo superior esta a 1.8m del suelo?

Actividad 13. Un hombre parado en un punto fijo de un muelle jala un pequeno bote. El muelle esta a 6metros sobre el nivel del agua. Si el hombre jala la cuerda a 0,6 m/seg. ¿Con que rapidez esta creciendo elangulo que forma la cuerda con el agua cuando la distancia del hombre al bote es de 15 metros?

Actividad 14. Diremos que dos funciones derivables f y g son tangentes en x = x0 sii f(x0) = g(x0) yf ′(x0) = g′(x0). ¿Las funciones sen(x) y cos(2x) son tangentes en algun punto?

Actividad 15. Un faro, ubicado a 10 kilometros de la costa hace girar suluz central a una velocidad de 1 giro cada 30 segundos. ¿Que tan rapidose mueve el punto de luz ubicado sobre una pared en la costa como seesquematiza en la figura (ver la distancia y el sentido de su movimiento)?

Actividad 16.

a) Encuentren todos los maximos y mınimos de la funcion S(x) = sen(1/x). ¿Que esta pasando cerca de x = 0?

b) Dadas las funciones f(x) = x sen

(1

x

), g(x) = x2 sen

(1

x

).

i) En caso de ser posible, redefinan estas funciones de manera que resulten continuas en x = 0,

ii) Analicen la derivabilidad de las funciones anteriores en ese mismo punto.

iii) Si alguna de las funciones resultara derivable en x = 0, analicen la continuidad de su derivada en x = 0.

c) Realicen en las graficas de las funciones S, f y g.

d) (actividad optativa) Sea h(x) =

x

2+ x2 sen

(1

x

)si x 6= 0

0 si x = 0

Verifiquen que h′(0) > 0. Prueben que existe δ > 0 tal que h(x) > 0 en (0, δ) y h(x) < 0 en (−δ, 0). Pruebenque h no es creciente en ningun intervalo que contenga a x = 0.



Funciones trigonometricas inversas

Actividad 17. Para cada funcion arccos, arcsin y arctan

a) Detallen su dominio, imagen y realicen la grafica.

b) Calculen su derivada indicando su dominio.

Actividad 18. Prueben las siguientes identidades. Recomendacion: analicen las derivadas de cada funcion.

a) cos(arctan(x)) =1√

1 + x2b) sen(arctan(x)) =

x√1 + x2

c) tan(arcsin(x)) =x√

1− x2para x ∈ (−1, 1) d) arccos(x) + arcsin(x) = π

2 para x ∈ [−1, 1].

Actividad 19. Demuestren que para todo x, y ∈ IR se cumple | arctan(x)− arctan(y)| ≤ |x− y|.

Funciones exponenciales y logarıtmicas

Actividad 20. Hallen los valores de x para los cuales se satisfacen las siguientes igualdades:

a) log2

(x2)

= 4 b) ex+3 + 5 = 0 c) ln(x+√

2)

= 1 d) e4x−x2

− 8 = 0

Actividad 21. A partir de la grafica de f(x) = ex obtener las graficas de

a) g (x) = e−x b) h (x) = ex+1 c) f (x) = 1− 3ex d) k (x) = e|x|

Actividad 22. Calculen las derivadas de las siguientes funciones. Expliciten el dominio natural de la funciony de su derivada:

a) f (x) = ln(x2 + 1

)b) f (x) =

ex

xc) f (x) = x

√x d) f (x) = xsen(x) e) f (x) =

6x

x3

Actividad 23. Hallen los puntos de la grafica de la funcion f (x) = ln(x) donde la recta tangente es paralelaa la recta de ecuacion πy − x = 0.

Actividad 24. Calculen, en el caso que existen, los siguientes lımites

a) limh→0

e3h − 1

hb) lim

x→0

ln(1− x)

xc) lim

x→0

(1 +

2

x

)1/x

Actividad 25. Llamaremos coseno hiperbolico, seno hiperbolico y tangente hiperbolica a las funciones:

cosh(x) =ex + e−x

2senh(x) =

ex − e−x

2tanh(x) =

senh(x)

cosh(x)

a) Determinen el dominio natural de las funciones.

b) Muestren las siguientes afirmaciones:

i) cosh(x) es una funcion par y senh(x) es una funcion impar.

ii) cosh(x)2 − senh(x)2 = 1.

iii) cosh(x+ y) = cosh(x) cosh(y) + senh(x)senh(y).



iv) senh(x+ y) = senh(x) cosh(y) + cosh(x)senh(y).

v) (senh(x))′ = cosh(x) (cosh(x))′ = senh(x) (tanh(x))′ =1

cosh(x)2

c) Grafiquen las funciones usando el .

Actividad 26. Un trozo de sustancia radiactiva se desintegra (pierde materia) a lo largo del tiempo a unarazon que es proporcional a la cantidad de sustancia existente. Es decir, si llamamos f(t) a la cantidad desustancia radiactiva en el tiempo t, entonces tenemos

razon de cambio de lacantidad de sustancia

→ f ′(t) = k.f(t) ← cantidad proporcional ala sustancia existente

Se considera que k es un constante negativa, ya que la cantidad de sustancia decrece con el tiempo.

a) Prueben que f(t) = Cekt. Sugerencia: Deriven la funcion h(t) = f(t)e−kt.

b) Supongamos que f(3) = 100 y f(5) = 98. ¿Cual es la cantidad de sustancia inicial (es decir f(0))?

c) Si despues de tres minutos se ha desintegrado el 10 por ciento de la sustancia original, ¿cuando se desintegrarala mitad de la cantidad original?

Actividad 27. El crecimiento exponencial refleja la explosion demografica de una poblacion. Si P (t) mide lapoblacion de una especie en funcion del tiempo, entonces (en condiciones ideales) su razon de crecimiento esproporcional a la cantidad total. En estas condiciones, ¿Cuanto tiempo debe pasar para que una poblacion seduplique?

Actividad 28. (Actividad optativa)

a) Prueben que senh : IR→ IR, cosh : [0,∞)→ [1,∞) y tanh : IR→ (−1, 1) tienen inversas.

b) Llamaremos argumento seno hiperbolico, argumento coseno hiperbolico y argumento tangente hiperbolico alas funciones inversas del inciso anterior (argsenh(x) , argcosh(x) y argtanh(x) respectivamente). Calculensus derivadas usando la formula de la derivada de la funcion inversa. Encuentren expresiones explıcitas paralas funciones argsenh(x) , argcosh(x) y argtanh(x).

Actividad 29. (Actividad optativa)

Calculen la derivada de L(x) = argtanh

(x2 − 1

x2 + 1

). ¿Observan algo curioso?

Actividad 30. En un mapa dibujado usando la proyeccion Mercator, la coordenada y sobre el papel esta dadapor y = a argtanh(sen(φ)) donde φ es la latitud y a es una constante. Calculen la derivada dy/dφ que indicacomo cambia la escala sur-norte segun la latitud.




Comportamientos asintoticos.

Actividad 1. Para cada uno de los siguientes casos calcular limx→+∞

f(x).g(x).

a) f(x) = x2 g(x) =1

xb) f(x) = x g(x) =

1

xc) f(x) = x g(x) =

1

x2

d) ¿Que se puede decir del limx→+∞

g(x)f(x) cuando limx→+∞

f(x) = +∞ y limx→+∞

g(x) = 0?

Actividad 2. Sean L1 y L2 dos numeros reales. Sabiendo que

limx→+∞

f(x) = L1 limx→+∞

g(x) = L2 limx→+∞

h(x) = +∞ limx→+∞

r(x) = −∞

En los casos que sea posible, utilicen las propiedades de los lımites para calcular:

a) limx→+∞

g(x) + f(x) b) limx→+∞

g(x)− f(x) limx→+∞

3f(x) + h(x)

c) limx→+∞

7h(x) + 4r(x) d) limx→+∞

f(x)

g(x)e) lim

x→+∞

f2(x) + 3

h(x)

f) limx→+∞

f(x).h(x) g) limx→+∞

f(x).g(x) h) limx→+∞

r(x)

h(x)

i) limx→+∞

h(x).r(x) j) limx→+∞

4

r(x)− f(x)k) lim

x→+∞

f2(x) + g2(x)

h(x)

Actividad 3. Hallen los siguientes lımites

a) limx→+∞

x4 − 10x3 b) limx→−∞

x2

3+ x5 c) lim

x→+∞4x− 71 + x3

d) limx→+∞

3x4 + 4x3

x6 − 7x4 + 1e) lim

x→+∞

14x5 − 12x2 + 4

2x4 − 13x+ 4f) lim

x→+∞

2x3 + 3x2 − 2

3x3 − 12x+ 2

Si p(x) y q(x) son dos polinomios de grados m y n respectivamente, analicen el comportamiento de la funcion

racionalp(x)

q(x)cuando x→ +∞ si m > n, m = n y m < n.

Actividad 4. Calculen

a) limx→+∞

sen(x)

xb) lim

x→+∞

sen(2x)− cos(x4

)ln(x)

c) limx→−∞

arctan(x) cos(x)ex

Actividad 5. Calculen:

a) limx→+∞

2x

ln(x)b) lim

x→+∞

xx

e√x

c) limx→+∞

ln (1 +√x)

exd) lim

x→−∞

√x2 − 3

x

e) limx→−∞

1

xexf) lim

x→+∞ln (1 + ex)− x g) lim

x→+∞

x2 − ln(x)

ex − x



Actividad 6. Calculen:

a) limx→+∞

(1 +

4

x

)−xb) lim

x→+∞x(

x√a− 1

)para a > 0

Actividad 7. Encuentren el dominio natural de las siguientes funciones y analicen los comportamientosasintoticos verticales.

a) f (x) =x− 2

ex+1 − 1b) g (x) =

x− 1

(x− 1) (x+ 2)xc) h (x) = tanx d) m(x) = x ln(x)

e) r(x) = arctan

(1

x

)f) t(x) = e1/x g) q(x) =

1

1 + e1/xh) c(x) = xsen

(1

x

)

Estudio y grafico de funciones

Actividad 8. Grafiquen las siguientes funciones explicitando en cada caso, si es posible:

• Dominio. Conjunto donde la funcion es continua y clasificacion de sus discontinuidades. Interseccionescon los ejes coordenados. Simetrıa

• Derivada. Dominio de la derivada. Puntos crıticos. Regiones de crecimiento y de decrecimiento.

• Comportamiento cuando x→ +∞ y x→ −∞.

• Existencia de asıntotas verticales.

• Derivada segunda. Dominio de la derivada segunda. Regiones de convexidad. Puntos de inflexion.

• Maximos y mınimos, locales y absolutos.

a) f(x) = x23 (x− 2) b) f(x) = ln(x2 + 1) c) f(x) = xe−x

2

d) f(x) = sen2(x) e) f(x) =x2

(x+ 1)12

f) f(x) = xe1x

g) f(x) =x

ln(x)h) f(x) =

(x

2− x

) 23

− 1 i) f(x) = xln(x)

j) f(x) = −e−1x2 k) f(x) = arctan (ln(x)) l) f(x) = arccos

(1

x

)

Actividad 9. Prueben las siguientes desigualdades:

a) tan(x) > x si 0 < x < π/2. b) 2 ln(x) ≤ x2 − 1

xsi x ≥ 1. c) e x+ e−x ≥ 0 para todo x



Problemas de optimizacion.

Una de las aplicaciones mas utiles de las derivadas es poder resolver problemas de optimizacion.En dichos problemas se trata, por lo general, de calcular el maximo o el mınimo absoluto de unamagnitud. Hay una gran variedad de problemas que responden a este esquema y con frecuencia tienencontenido geometrico, economico o fısico.Por ello cada uno de estos ejercicios requiere un estudio particular.

• Estudia y analiza el problema. Haz, si es posible, un dibujo o un esquema.

• Elige y define las variables con las que vas a trabajar.

• Estudia las relaciones entre las variables para proponer la expresion de la funcion que vas aoptimizar.

• Las condiciones del problema deben permitir establecer el dominio de la funcion que definiste.

• Determina el maximo o mınimo absoluto (segun corresponda) de la funcion definida en el dominioplanteado.

• Presenta la respuesta a la pregunta que aparece en el enunciado.

Actividad 10. Expliquen por que puede asegurarse la existencia de un maximo absoluto de cada funcion:

a) f es una funcion continua en un intervalo cerrado.

b) g es una funcion continua en [a,∞) y g decrece en (b,∞), para algun b > a.

c) h : IR→ IR derivable y cumple: h′(x)(x− 10) ≤ 0.

d) w continua en (a, b], limx→a+

w(x) = A ≤ w(b).

Actividad 11. Hallen que punto de la recta y = x+ 2 se encuentra mas proximo al P =

(1

2, 2

).

Muestren que la recta que pasa por el punto hallado y el P =

(1

2, 2

)es perpendicular a y = x+ 2.

Actividad 12. Hallen la distancia entre la grafica de y =1√x

y el origen.

Actividad 13. Hallen dos numeros positivos cuyo producto sea 16 y

a) cuya suma sea mınima.

b) la suma de uno de ellos con el cuadrado del otro sea mınima.

Actividad 14. Se va a realizar un cantero de flores en forma de sector circular de radio r y angulo centralθ ≤ π. El area esta estipulada, debe ser A. Encuentre r y θ de manera que el perımetro del cantero de floressea mınimo.

Actividad 15. Resuelvan

a) De todos los rectangulos de perımetro 2p, hallen el de area maxima.

b) Determinen el rectangulo inscrito en la elipse de semiejes a y b, de lados paralelos a estos ejes y area maxima.



Actividad 16. Una firma vende un producto a $50 por unidad. El costo total de colocar en el mercado xunidades esta dado por la funcion

c(x) = 5000 + 650x− 45x2 + x3

¿Cuantas unidades deberan producirse para maximizar las ganancias? ¿Cual es la ganancia para este numerode unidades? Respondan estas mismas preguntas suponiendo ahora que el precio de venta es $47.

Actividad 17. (Actividad optativa) La optica geometrica es una rama de la fısica que estudia la direccion depropagacion de la luz y su comportamiento al incidir en distintos medios materiales (aire, agua, etc). Para elloutiliza el concepto de rayo luminoso, que consiste en pensar que la luz se mueve en lıneas rectas imaginarias.Existen dos leyes importantes en este contexto, las leyes de reflexion y refraccion (esta ultima tambien conocidacomo ley de Snell). La primera de ellas establece que el angulo de incidencia α es igual al angulo de reflexionβ. Es decir,

α = β (ley de reflexion)

En la figura se muestra una situacion particular de unafuente lumınica ubicada a 5 unidades de la horizontal en elpunto A.Tanto la ley de reflexion como la de refraccion pueden de-ducirse a partir del principio de Fermat: El trayecto seguidopor la luz al propagarse de un punto A a otro punto B es talque el tiempo empleado en recorrerlo es un mınimo. Esteenunciado requiere una modificacion en casos mas gene-rales.

En este ejercicio vamos a deducir la ley de reflexion a partir del principio de Fermat pensando que, como la luzse propaga con velocidad constante en un mismo medio, basta pensar en minimizar la distancia recorrida porun rayo luminoso (en lugar de minimizar el tiempo).De acuerdo a la figura de arriba a la derecha,

a) Expresar la longitud de los segmentos AC y BC en funcion de x.

b) Encontrar x0 para el cual la suma de las longitudes de los segmentos anteriores es mınima.

c) Mostrar que para el valor x0 encontrado se cumple sen(α) = sen(β).

d) A partir de los puntos anteriores, ¿como podemos justificar que α = β?


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