Análisis Matemático I Ing. Antonio Crivillero. Menú Principal Variación de Funciones Integral...
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Análisis Matemático I
Ing. Antonio Crivillero
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Menú Principal
Variación de Funciones
Integral Definida – Aplicaciones Geométricas y Físicas
Sucesiones y Series
Introducción
Salir
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Introducción
PROBLEMA DEL MUNDO REAL
MODELOFÍSICO
CONCLUSIONESMATEMÁTICAS
INTERPRETACIÓNFÍSICA
PREDICCIONESACERCA DELMUNDO REAL
formular
formular
resolver
poner a prueba
DEPENDENCIAS RELACIONES
VARIABLES
HIPÓTESIS
Menú Principal
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Variación de FuncionesMenú
Principal
Determinación de Extremos Locales
Máximos y Mínimos Locales
Determinación de Extremos Absolutos
Concavidad y Convexidad – Puntos de Inflexión
Asíntotas Lineales a Curvas Planas
Estudio Completo de una Función Explícita
Aplicaciones
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Máximos Locales
Menú Principal
Definición:
Menú Funciones
Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo:
El valor f (c) es un valor máximo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican
:f fdomA
)()( cfxf cEAx
“c” se denomina punto de máximo local o relativo
cxxEcdonde
)(cf
)(xf
c
)(cf
)(xf
c
Siguiente
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Mínimos Locales
Menú Principal
Definición:
Sea una función definida en un conjunto y sea “c” un punto interior del mismo:
El valor f (c) es un valor mínimo local o relativo de f si y sólo si existe un entorno del punto c tal que los valores de f verifican
:f fdomA
)()( cfxf cEAx
“c” se denomina punto de mínimo local o relativo
cxxEcdonde
)(cf
)(xf
c
)(cf
)(xf
c
Siguiente
Menú Funciones
Anterior
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Puntos Críticos
Menú Principal
Definición:
El punto “c” interior del es un punto crítico de primera especie de la función f si y solo si “c” verifica una cualquiera de las siguientes condiciones:
fdom
a) f es derivable en “c”, siendo f ’(c) = 0
Siguiente
Menú Funciones
Anterior
b) f no tiene derivada primera finita en c, es decir, f ’ (c) no existe, pero f está definida en c
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Determinación de Extremos Locales:Condición Necesaria
Menú Principal
Teorema: Condición Necesaria para la Existencia de Extremos Locales
Sea f una función definida en un conjunto A, y sea “c” un punto interior de A tal que f es derivable en “c” (con derivada finita):
si “c” es un punto extremo local de f entonces f ’ (c) = 0
Si la función f tiene un extremo local en “c” “c” es PUNTO CRÍTICO de f
Demostración (para “c” punto máximo local):
Por ser “c” un punto interior de A y, además, f (c) un valor MÁXIMO
LOCAL de f, existe siempre un entorno de centro c, Ec, tal que:
)()( cfxf cEAx 0)()( cfxf
Siguiente
Menú Funciones
Anterior
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Determinación de Extremos Locales:Condición Necesaria (cont.)
Menú Principal
tomando límites laterales
de (1) y (2) para x Yc
se tiene:
si 0)()(
0
cx
cfxfcxcx (1)
si 0)()(
0
cx
cfxfcxcx (2)
0)()(
lim
cx
cfxfcx
0' cf
0)()(
lim
cx
cfxfcx
0' cf
La existencia de la derivada en el punto c (formulada en la hipótesis) exige la igualdad de las derivadas laterales, es decir:
cfcfcf '''
00 ''' cfcfcf 0' cf
)(cf
)(xf
c
0)(' cf
Siguiente
Menú Funciones
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 1ª
Menú Principal
Teorema de la Derivada Primera:
Si “c” es un punto crítico de f y si existe un intervalo [a,b] con c X (a,b) tal que f es continua sobre [a,b] y
Siguiente
1) 0' xf ),( cax 0' xf ),( bcx
f tiene un máximo relativo en “c”
2) ),( cax 0' xf 0' xf ),( bcx
f tiene un mínimo relativo en “c”
3) 0' xf ),( cax
f no tiene ni máximo ni mínimo relativo en “c”
),( bcx 0' xf
0' xf ),( cax),( bcx 0' xf
ó
Menú Funciones
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Menú Principal
Demostración (1):
Siguiente
)(cf
ca bx x
0' xf ),( caxComo para , f es no decreciente sobre [a,c], entonces
cfxf ),( cax
0' xf ),( bcxComo para , f es no creciente sobre [c,b], entonces
cfxf ),( bcx
cfxf bax , , f tiene un máximo relativo en “c”
Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 1ª
Menú Funciones
Anterior
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Menú Principal
Demostración (2):
Siguiente
)(cf
ca bx x
0' xf ),( caxComo para , f es no creciente sobre [a,c], entonces
cfxf ),( cax
0' xf ),( bcxComo para , f es no decreciente sobre [c,b], entonces
cfxf ),( bcx
cfxf bax , , f tiene un mínimo relativo en “c”
Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 1ª
Menú Funciones
Anterior
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Menú Principal
Demostración (3):
Siguiente
0' xf ),( caxSi para f es estrictamente creciente en [a,c]
Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 1ª
y 0' xf ),( bcxsi para f es estrictamente creciente en [c,b]
xf es estrictamente creciente en [a,b]
Análogamente,
0' xfsi a ambos lados de “c” xf es estrictamente decreciente en [a,b]
En cualquiera de los casos, f no tiene ni un máximo ni un
mínimo relativo en “c”.
)(cf
c b
a)(cf
c
b
a
Menú Funciones
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
Teorema de la Derivada Segunda:
(se aplica únicamente en puntos críticos “c” de primera especie con existencia de derivada primera en “c”: f ’ (c) =
0)
Siguiente
Si una función f(x) es dos veces derivable en un punto “c”, siendo f ’(c) = 0 (pto. crítico de 1ª especie), y f ’’(c)K0, se verifica
1) si 0'' xf f tiene un máximo relativo en “c”
2) si 0'' xf f tiene un mínimo relativo en “c”
Menú Funciones
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
Siguiente
Demostración (1):
0lim
''''
cx
cfxfcf cxSi
0lim'
''
cx
xfcf cx
y
por el Teorema de la conservación del signo de los límites finitos,
''cc ExE se verifica:
0'
cx
xf
0 cxsi cx 0' xf
0 cxsi cx 0' xf
por el Teorema del cambio de signo de la derivada primera de positiva a negativa, resulta que f(x) tiene un máximo
relativo en “c”.Demostración (2): Se demuestra en forma análoga.
Menú Funciones
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
Siguiente
Ejemplo 1:
xxf
f tiene un punto crítico en x = 0 ;como no existe f ’(0) no podemos aplicar el Teorema de la
Derivada 2ª.
Sin embargo, usando el Teorema de la Derivada 1ªencontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0
0x
y
Menú Funciones
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
Siguiente
f tiene un punto crítico en x = 0 , pero como no existe f ’’(0)nuevamente no podemos aplicar el Teorema de la Derivada 2ª.
Por el Teorema de la Derivada 1ªencontramos que f tiene un mínimo relativo en x = 0
Menú Funciones
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Ejemplo 2:
34xxf
0x
y
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
El Teorema de la Derivada 2ª se puede generalizar a los casos de funciones f cuyas (n-1) primeras derivadas en “c” son iguales a cero.
0cf nSi , siendo n número par xf tiene un extremo relativo en “c”:
0cf nSi xf tiene un mínimo relativo en “c”
0cf nSi xf tiene un máximo relativo en “c”
(Su demostración requiere conocer la fórmula de Taylor)
Menú Funciones
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Siguiente
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
Ejemplo 1:
3'
4
4xxf
xxf
0' cf
0
04 3
c
c
24024
0024
0012''''''
''2''
IVIV fxf
fxxf
fxxf
0 xf tiene un mínimo en x=0
Menú Funciones
Anterior
Siguiente
0x
y 4xxf
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Determinación de Extremos Locales:Condiciones Suficientes – Derivada 2ª
Menú Principal
2'
3
3xxf
xxf
0' cf
0
03 2
c
c
606
006''''''
''''
fxf
fxxf
0 n = 3 (impar) no tiene ni máximo ni mínimo
Menú Funciones
Anterior
Ejemplo 2:
0 x
y 3xxf
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Concavidad y Convexidad
Menú PrincipalMenú Funciones
Siguiente
0
x
y
a x1
x2 b
P1
P2
x
P
Q
xfy
211 xtxtx
2121 )1( , )1( xtxtfxtxtP
121 xtxtxx
1,0 121 ttxxxx
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Concavidad y Convexidad
Menú PrincipalMenú Funciones
Siguiente
Tomemos dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b].
Sea P1 = ( x1, f(x1) ) y P2 = ( x2, f(x2) )
El segmento rectilíneo que une P1 y P2, abierto, puede escribirse:
)1,0( )( 121 tPPtPQ
)1,0( 121 tPtPtPQ
)1,0( )1( 21 tPtPtQ
)1,0( )( , )( , )1( 2211 txfxtxfxtQ
)1,0( )( t, )()1( , )1( 2211 txfxtxftxtQ
)1,0( )(t)()1( , )1( 2121 txfxftxtxtQ
)(t)()1( , )1( 2121 xfxftxtxtQ
Anterior
0
x
y
a x1 x2
P1
P2
x
P
Q
xfy
b
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Concavidad y Convexidad
Menú PrincipalMenú Funciones
Definición:
Una función es CONVEXA (cóncava hacia arriba) sobre el intervalo [a,b] si para dos puntos cualesquiera x1 y x2 en [a,b] se cumple que:
)()()1( )1( 2121 xftxftxtxtf
Si cambiamos “≤” por “≥” tenemos la definición de una función CÓNCAVA hacia abajo.
P sobre la gráfica de f en cualquier punto entre x1 y x2 se encuentra bajo el correspondiente Q.
Siguiente
Anterior
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Concavidad y Convexidad- Teorema -
Menú PrincipalMenú Funciones
Teorema:
Siguiente
Anterior
fbaxxf , 0'' 1 ) Si es CONVEXA sobre (a,b)
fbaxxf , 0'' 2 ) Si es CÓNCAVA sobre (a,b)
Demostración:
21)1( xtxt 0
x
y
a x1 x2 b
P1
P2
P
Q
xfy
c1 c2
1) Tómense dos puntos cualesquiera x1 , x2 en (a,b) / x1 ‹ x2
Sean P1 = (x1 , f (x1)) y P2 = (x2 , f (x2))
tomamos un número cualquiera entre x1
y x2: 21)1( xtxt , donde 1,0t
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Concavidad y Convexidad- Teorema -
Menú PrincipalMenú Funciones
Siguiente
Anterior
Según el Teorema del Valor Medio existen puntos
2111 )1( , xtxtxc y 2212 , )1( xxtxtc
1
121
121 ')1(
)1(cf
xxtxt
xfxtxtf
2
212
212 ')1(
)1(cf
xtxtx
xtxtfxf
21)1( xtxt 0
x
y
a x1 x2 b
P1
P2
P
Q
xfy
c1 c2
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Concavidad y Convexidad- Teorema -
Menú PrincipalMenú Funciones
Las condiciones para el Teorema del Valor Medio se verifican en los intervalos
Siguiente
Anterior
211 )1( , xtxtx 221 , )1( xxtxt y
ya que f ’’ (x) existe 21, xxx , como f ’’ (x) › 0 21, xxx ,
)(' )(' 21 cfcf
f ’ (x) es CRECIENTE sobre [x1 , x2]
121
121
)1(
)1(
xxtxt
xfxtxtf
212
212
)1(
)1(
xtxtx
xtxtfxf
12
1211
xxt
xxtxtx
12
1212
2112
2112
1 xxt
xxtxx
xtxtxx
xtxtxx
12
121)1(
xxt
xfxtxtf
12
212
1
)1(
xxt
xtxtfxf
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Concavidad y Convexidad- Teorema -
Menú PrincipalMenú Funciones
Siguiente
Anterior
t
xfxtxtf 121)1( t
xtxtfxf
1
)1( 212
121)1(1 xfxtxtft 212 )1( xtxtfxft
121 1)1(1 xftxtxtft 212 )1( xtxtftxft
112121 )1()1( xftxfxtxtftxtxtf
212 )1( xtxtftxft
121 1)1( xftxtxtf 2xft
2121 1 )1( xftxftxtxtf
de modo que, si f ’’ › 0 , la función f es CONVEXA sobre (a,b) bax ,
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Concavidad y Convexidad- Teorema -
Menú PrincipalMenú Funciones
Anterior
2)Si 0'' xf
0'''' xfxf
2121 )1( )1( xftxftxtxtf
la función f es CÓNCAVA sobre (a,b)
2121 )1( )1( xftxftxtxtf
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Asíntotas
Menú PrincipalMenú Funciones
Siguiente
Definición:
Dada la recta L es una ASÍNTOTA VERTICAL del gráfico de f si
, cxyycL
xfcxlim
x = c
xfy
Definición:
Dada la recta L es una ASÍNTOTA OBLICUA del gráfico de f si cuando la variable crece (o decrece) indefinidamente, la distancia entre los puntos
(x,y) X L y (x , f(x)) X f tiende a cero
, bxayyxL
0
y
x
0lim
0lim
bxaxf
bxaxf
x
x
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Asíntotas
Menú PrincipalMenú Funciones
Si es asíntota
al gráfico de f tenemos
bxayyxL ,
y = a · x + b
xfy
y
x
Anterior
0lim bxaxfx
lim0
limlim
ax
xf
x
xaxf
x
b
x
xx
xaxfb x lim
lim
x
xfa x