Análisis Matemático II v.5

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Universidad Tecnológica Nacional Facultad Regional Buenos Aires Departamento de ciencias básicas A A N N Á Á L L I I S S I I S S M M A A T T E E M M Á Á T T I I C C O O I I I I Apunte de la materia V.5 F.E.P (Actualizada al 8-03-13)

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AMII Apunte para estudiantes

Transcript of Análisis Matemático II v.5

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    Departamento de ciencias bsicas

    AANNLLIISSIISS MMAATTEEMMTTIICCOO IIII

    Apunte de la materia V.5 F.E.P

    (Actualizada al 8-03-13)

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    Realizado por: Fernando

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    AAPPAARRTTAADDOO AA

    QQUU TTEENNGGOO QQUUEE CCOONNOOCCEERR??

    En el primer apartado se desarrollan de forma abreviada los temas que el

    estudiante de anlisis matemtico, de nivel dos, deber conocer para entender los temas comprendidos en el programa de la asignatura.

    Temario a estudiar. Recta en el espacio. Ecuaciones. Plano. Ecuaciones. Cnicas. Cudricas. Sistema de ecuaciones.

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    ..::RECTA EN EL ESPACIO::..

    Ecuacin de la recta en el espacio:

    x, y, z = x0, y0, z0 + (ax , ay , az) En esta ecuacin debemos tener en cuenta:

    1 X0 = x0, y0 , z0 es un punto perteneciente a la recta 2 t es un escalar. 3 A = ax , ay , az es el vector director de la recta.

    Ecuacin paramtrica de la recta en el espacio:

    x = x0 + axy = y0 + ayz = z0 + az

    Nuevamente .

    Ecuacin segmentaria de la recta en el espacio:

    x x0ax

    =y y0

    ay=

    z z0az

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    Interpretacin geomtrica de las rectas las cuales una de sus componentes es nula. (1)

    Interpretacin geomtrica de las rectas las cuales dos de sus componentes son nulas. (2)

    (1)(2) Apuntes lgebra y geometra analtica Prof: Leonor Carvajal.

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    ..::PLANO::.. Ecuacin general o implcita del plano:

    Ax + By + Cz + D = 0 En esta ecuacin debemos tener en cuenta:

    1 A, B, C no simultaneamente nulas 2 n = nx , ny , nz = (A, B, C)

    Ecuacin paramtrica del plano:

    x = x0 + . ax + . bxy = y0 + . ay + . byz = z0 + . az + . bz

    En esta ecuacin debemos tener en cuenta:

    1 "" "" Ecuacin segmentaria de plano:

    x

    A+

    y

    B+

    z

    C= 1

    En esta ecuacin debemos tener en cuenta: 1 , , , , 2

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    Interpretacin geomtrica del plano con una componente nula (3)

    Interpretacin geomtrica del plano con dos componentes nulas. (4)

    (3)(4) Apuntes lgebra y geometra analtica Prof: Leonor Carvajal.

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    ..::CNICAS::.. Circunferencia (5)

    Sea ( ) un punto del plano y sea +. El conjunto de puntos (x,y) del plano cuya distancia al punto ( ) es r, se llama circunferencia de centro ( ) y radio r. Tiene por ecuacin cannica:

    x 2 + y 2 = r2

    Ecuaciones paramtricas

    x = h + r cos()y = k + r sen()

    para 0 2 Elipse (6)

    Dados en un plano dos puntos fijos llamados focos, se llama elipse al lugar geomtrico de

    los puntos del plano tales que la suma de sus distancias a los focos es constante. Esta constante se suele denotar 2a.

    (xh)2

    a2+

    (yk)2

    b2= 1

    Ecuaciones paramtricas

    x = h + a cos()y = k + b sen()

    para 0 2

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    Parbola. (7) Dada una recta d (directriz) y un punto F (foco), que no pertenece a d, se llama parbola al lugar geomtrico de los puntos del plano que equidistan de d y de F

    y2 = 2px

    Ecuaciones paramtricas

    x = ty = t2 para t

    Hiprbolas. (8)

    Dados dos puntos fijos de un plano, llamados focos, se llama hiprbola al lugar geomtrico de los puntos del plano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos F1 y F2 es constante. Esta constante se suele llamar 2a y la distancia entre los focos 2c.

    (xh)

    2

    a2

    (yk)2

    b2= 1

    Ecuaciones paramtricas x = h + a sec()y = k + b tg()

    para

    2;

    2 (

    2;3

    2)

    (5)(6)(7)(8)Nociones de geometra analtica y algebra lineal. Ana Mara Kozak.

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    ..::CUDRICAS::..

    (9) Nociones de geometra analtica y algebra lineal. Ana Mara Kozak.

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    ..::SISTEMA DE ECUACIONES::.. Introduccin:

    A veces uno tiene que resolver un sistema de varias ecuaciones para encontrar la solucin a un problema, los sistemas de ecuaciones en esas ocasiones nos permiten encontrar la solucin. Para resolver sistemas de ecuaciones lineales tenemos diferentes herramientas matemticas.

    Sistema de ecuaciones lineales:

    Definimos a un sistema lineal de m ecuaciones con n incgnitas a un conjunto de m ecuaciones lineales en las variables {1; 2; . . ; } y se define segn la siguiente frmula:

    111 + 122 + 133+. . . . +1 = 1 211 + 222 + 233+. . . . +2 = 2

    .. 311 + 322 + 333+. . . . + = 3

    Las variables a y b con subndices son constantes y {1; 2; . . ; } son las incgnitas. Se dice que el sistema es lineal porque las incgnitas estn elevadas a la 1. Ejemplo:

    31 + 42 + 73 + 4 = 2 1 + 62 + 23 + 34 = 0

    Este es un tipo de sistemas el cual se resuelve mediante el mtodo de Gauss, Gauss-Jordan o la regla de Cramer.

    En la materia a estudiar generalmente nos encontraremos con sistemas de ecuaciones los cuales generalmente podremos resolver mediante los siguientes mtodos: Sustitucin, igualacin y reduccin.

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    Ejercicio:

    A continuacin se propondrn tres formas de resolucin dejando a eleccin del lector elegir la ms agradable.

    Mtodo de sustitucin Mtodo de igualacin Mtodo de reduccin

    Ejercicio:

    3x + y = 22

    4x 3y = 1

    Resolucin: De la primera ecuacin:

    y = 22 3x Reemplazando en la segunda:

    4x 66 + 9x = 1 13x = 65 x = 5

    Por lo tanto:

    y = 7

    Ejercicio:

    3x + y = 22

    4x 3y = 1

    Resolucin:

    y = 22 3x

    y =1 4x

    3

    Igualando ambas ecuaciones:

    22 3x =1 4x

    3

    66 + 9x = 1 4x

    x =

    65

    13=> = 5

    Por lo tanto:

    y = 7

    Ejercicio:

    2x + 3y = 55x + 6y = 4

    Resolucin: Multiplico por (-2) ec. 1

    4x 6y = 10

    5x + 6y = 4

    Sumo ambas ecuaciones.

    4x 6y + 5x + 6y = 6 4x + 5x = 6 x = 6

    Por lo tanto:

    y =17

    3

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    Primer parcial

    Terico / Prctico

    Realizado por: Fernando

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    UUNNIIDDAADD II

    EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS PPRRIIMMEERRAA PPAARRTTEE

    La primera unidad vista en la materia desarrolla la primera parte de las

    ecuaciones diferenciables.

    Temario a estudiar. Ecuaciones diferenciables ordinarias. Definiciones. Ecuaciones diferenciables en variables separables. Ecuaciones diferenciables de orden superior a 1. Trayectorias ortogonales. Ecuaciones diferenciables lineales de primer orden.

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    ..::ECUACIONES DIFERENCIABLES ORDINARIAS. DEFINICIONES::..

    Tipos de soluciones: Las soluciones de las ecuaciones diferenciales no son nmeros (no se resuelven ecuaciones algebraicas) sino funciones y para hallarlas ser necesario pasar por uno o ms pasos de integracin. Expresin diferencial: Es aquella que contiene variables y sus derivadas o sus diferenciales.

    Ej: + 2 1 Ecuacin diferencial: Es toda ecuacin que contiene expresiones diferenciables.

    Ej: 2 = 12

    Ecuacin diferencial ordinaria: Es aquella donde existe una nica variable independiente. Ecuacin diferencial en derivadas parciales: Es aquella donde existen dos o ms variables independientes (No se tratan este tipo de ecuaciones diferenciables) Orden de una ecuacin diferencial ordinaria: Es el de la derivada de mayor orden que aparece en la misma.

    Ej: = 0 es de orden 3. Grado de una ecuacin diferencial ordinaria: en aquellos casos que la ecuacin puede expresarse como un polinomio respecto de las derivadas de la variable dependiente, el grado es el exponente de la derivada de mayor orden.

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    Soluciones de una ecuacin diferencial:

    Solucin general (S.G)

    Solucin particular (S.P)

    Solucin singular (S.S)

    Es una relacin entre las variables que satisface a la ecuacin y contiene n constantes arbitrarias esenciales.

    Es toda solucin que se obtiene de la general dndole a las constantes valores determinados

    Es toda solucin de la ecuacin diferencial que no est incluida en la solucin general. (No puede obtenerse de ella dando valores determinados a las constantes.

    A saber: La solucin general constituye un haz o familia de curvas. Se dice que el orden de infinitud del haz es n por tener n constantes arbitrarias esenciales.

    ..::ECUACIONES DIFERENCIABLES EN VARIABLES SEPARABLES::..

    Estamos ante una ecuacin de variables separables cuando podemos escribirla de la siguiente forma:

    f1 x g1 y dx + f2 x g2 y dy = 0 donde y = f(x)

    Realizando los correspondientes despejes podemos concluir en:

    y =f1 x g1 y

    f2 x g2 y

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    Nota: Para conseguir la solucin particular de una ecuacin diferencial en variables del tipo separables reemplazo en la solucin general el punto P = x, y buscando la constante denominada en este caso "C" que debe verificar la ecuacin de la curva. A saber: Si se desea conocer la ecuacin diferencial a partir de una solucin general acudiremos a derivar la solucin general n veces (n nmero de constantes en la ecuacin) y vincular las mismas. Otra forma de definir a las ecuaciones diferenciables de variables separadas:

    =

    ..::EC. DIFERENCIABLES DE ORDEN SUPERIOR A UNO::..

    Este tipo de ecuaciones diferenciables se resuelven aplicando un cambio de variables. El mtodo se explicara a travs de un ejemplo demostrativo integrando conocimientos de ecuaciones diferenciales ya expuestos.

    xy 2y = 0. Halle la S. P / y(1) = 3 = y 1 = 3 Aplicaremos el cambio: = Si: w = y entonces w = y

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    Resolucin: xw = 2w

    xdw

    dx= 2w

    dw

    w=

    2

    xdx

    w = kx2

    Sabiendo que w = y y = kx2

    dy

    dx= kx2

    dy = kx2dx

    y =kx3

    3+ c

    Familia de curvas:

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    Para obtener la solucin particular s que: y 1 = y 1 = 3

    y =kx3

    3+ c

    3 =

    k

    3+ c

    Sabiendo que f 1 = 3 k = 3

    3 =3

    3+ c

    c = 2

    La solucin particular (S.P)

    y = x3 + 2

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    ..::TRAYECTORIAS ORTOGONALES::..

    Para obtener las trayectorias ortogonales a una solucin general de una ecuacin diferencial deberemos:

    (1) Obtener la ecuacin diferencial (2) Realizar el cambio: y por 1

    y

    (3) Resolver la ecuacin diferencial

    Ejemplo: Dada la solucin general: x2 + y2 = r2

    (1) Obtenemos la ecuacin diferencial: x + yy = 0 (2) Realizando el cambio, obtenemos la nueva ecuacin diferencial:

    x + y 1

    y = 0

    (3) Resolviendo la ecuacin diferencial dada: y = ax solucin general de las trayectorias ortogonales a las curvas dadas.

    Donde:

    (1) Las curvas de rojo pertenecen a: y = ax (2) Las curvas en negro pertenecen a: x2 + y2 = r2

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    ..::EC. DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN::..

    Estamos ante una ecuacin diferencial lineal de primer orden cuando podemos escribirla en la forma:

    y + y P x = Q(x) Nota: Si en particular Q x = 0 la ecuacin diferencial es del tipo variables separadas:

    y + y P x = 0 Para este tipo de ecuaciones utilizamos un mtodo de resolucin el cual consiste en un cambio de variables que se le atribuye a La Grange de la forma: y = u v Donde:

    (1) = (2) = (3) = (4) = (5) = +

    Ejemplo: Sea la E.D (ecuacin diferencial) lineal: 3 = 0 halle la solucin general (x 0)

    y y1

    x= x2

    Aplicando: y = u v y = uv + u v =>

    uv + u v v

    x = x2

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    [v vx] = 0 => v v

    x= 0 E. D variables separables.

    Resolviendo la ecuacin diferencial dada: v = x A esta no le agregamos la constante en la funcin debido a que lo agregaremos en la resolucin de la siguiente ecuacin diferencial. Si se agrega ac la constante y luego se vuelve a agregar una segunda constante (si agregamos dos constantes) el resultado ser incorrecto. Reemplazo v = x en la ecuacin: u v + u v v

    x = x2 =>

    u x = x2 E. D variables separadas.

    Resolviendo la ecuacin diferencial dada:

    u =x2

    2+ C

    Notar que se incorpora la constante una sola vez a la solucin.

    y x = u x v x Dado que: y = u v Terminamos obteniendo la solucin general de la ecuacin diferencial:

    y x = x2

    2+ c x

    Familia de curvas:

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    Ejercicio de parcial/final. Si f x, y = x2 + 4y2 halle las trayectorias ortogonales a las lneas o curvas de nivel de f. Indique en especial las ecuaciones de las curvas de la familia que pasen por el (2,1)

    Resolucin formal:

    f x, y = x2 + 4y2 x2 + 4y2 = f 2x + 8yy = 0

    Para encontrar las curvas ortogonales reemplazo: "y" por: 1

    y por lo tanto:

    2x + 8y

    1

    y = 0

    2x 8y

    dx

    dy = 0

    2x = 8y

    dx

    dy

    2xdy = 8ydx

    dy

    8y=

    dx

    2x

    dy

    y= 4

    dx

    x

    ln y = 4 ln x + ln k siendo ln|k| la constante de integracin.

    ln y = ln x4k

    y = x4k

    y = x4H

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    Para obtener la solucin particular simplemente debo tener en cuenta del enunciado:

    f 2 = 1 Por lo tanto:

    1 = 1H H = 1

    Finalmente: y = x4 es la sol. Part. de la trayectoria ortogonal de f dada en el enunciado.

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    UUNNIIDDAADD IIII

    CCAAMMPPOOSS EESSCCAALLAARREESS

    f: DcRn R/ n 2

    Temario a estudiar. Dominio de un campo escalar. Representacin del dominio en el plano.

    Expresin del dominio por comprensin. Representacin geomtrica de un campo escalar. Conjunto de nivel. Conjunto de nivel de un campo escalar de dos variables.

    Conjunto de nivel de un campo escalar de tres variables.

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    ..::DOMINIO DE UN CAMPO ESCALAR Y REPRESENTACIONES::..

    Dada f: DcR2 R/ n 2. Ejemplo:

    f: DcR2 R/f(x, y) = xy

    x2 + y2 9

    Dominio: El conjunto D, subconjunto de R2, es el dominio de f, se puede expresar por comprensin como:

    Dom f = {(x, y) R2/ Z R z = f(x, y) En nuestro ejemplo:

    Dom f = {(x, y) R2/xy 0 x^2 + y2 9} Grficamente:

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    ..::REPRESENTACIN GEOM. DE UN CAMPO ESCALAR::..

    La grfica de un campo escalar de dos variables representa una superficie en el espacio de ecuacin cartesiana: z = f(x, y) Ejemplo:

    z = 9 x2 y2 Representa la siguiente superficie:

    ..::CONJUNTO DE NIVEL DE UN CAMPO ESCALAR::..

    Sea f: DcR2 R, un campo escalar se denomina conjunto de nivel k de f al conjunto de todos los X D tales que f X = k constante, donde k es un numero que pertenece al conjunto imagen de f. Si denotamos L(k) al conjunto de nivel de f correspondiente a un nmero real k resulta:

    L k = {(x, y) Df/f(x, y) = K} con k IF

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    IMPORTANTE:

    L k cDf Observacin:

    Si el campo escalar es de dos variables independientes, cada conjunto de nivel en general es una curva de nivel (INCLUIDA EN EL DOMINIO) Mientras que si el campo escalar es de tres variables independientes, cada conjunto de nivel en general es una superficie de nivel incluida en el dominio del campo.

    Ejemplo: Halle el conj. de nivel 5 para el campo escalar: , = 9 2 2

    5 = 9 2 2 2 + 2 = 4

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    UUNNIIDDAADD IIIIII

    FFUUNNCCIINN VVEECCTTOORRIIAALL

    f: DcR Rn/ n 2

    Temario a estudiar. Dominio de una funcin vectorial. Representacin del dominio en el plano. Parametrizacin de la curva interseccin.

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    ..::DOMINIO Y REPRESENTACIN DE LA FUNCIN VECTORIAL::..

    Sea f: DcR Rn/n 2 si en particular n = 2: f: DcR R2/f(t) = (2 cos t , 2sen t ) es un ejemplo de una funcin vectorial.

    Donde: x = 2 cos(t)

    y = 2 sen (t)

    Representacin de la imagen:

    A: f

    4 = ( 2; 2)

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    ..::PARAMETRIZACIN DE LA CURVA INTERSECCIN::..

    El concepto a desarrollar es uno de los ms importantes en el trascurso de la materia ya que se trabajara con parametrizaciones hasta el final de la materia por tal motivo para desarrollar este tem se tomo la eleccin de realizar ejemplos sobre ejercicios que requieran de parametrizar una curva como interseccin de superficies. Ejemplo 1. Dada la curva cuyas ecuaciones cartesianas son:

    z = 9 x2 y2

    z = 1 + x2 + y2

    Se pide: i. Un sistema equivalente que permita parametrizar la curva. ii. Parametrizar la curva. iii. Representar la curva.

    Antes de parametrizar la curva debemos tener en cuenta que la misma nace

    como interseccin de las dos superficies dadas en el enunciado. Como primer objetivo a la hora de buscar una parametrizacin es obtener un sistema equivalente cmodo, por lo general en este tipo de ejercicios cmodo es sinnimo de superficies cilndricas intersectadas con planos aunque esto ltimo no siempre es posible. Obtencin del sistema equivalente:

    C: x2 + y2 = 9 z

    x2 + y2 = z 1

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    Entonces:

    9 z = z 1 z = 5

    Por lo tanto el nuevo sistema equivalente encontrado se encuentra dado por:

    C: x2 + y2 = 4

    z = 5

    Como se puede apreciar logramos un sistema equivalente cmodo formado

    por una superficie cilndrica intersectada por un plano (otra superficie) Parametrizacin de la curva C:

    Dado que todos los puntos de C y C* comparten los mismos puntos si parametrizo la C* (curva proyectada sobre el plano xy) parametrizo C*

    C = x = 2 cos(t)y = 2sen t

    z = 0

    con 0 t 2

    Finalmente:

    C = x = 2 cos(t)

    y = 2 sen t z = 5

    con 0 t 2

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    Representacin de la curva: Para representar la curva podemos utilizar el sistema equivalente o el sistema inicial dado en el enunciado del ejercicio. Muchas veces nos convendr representar a la curva mediante un sistema equivalente ya que se puede volver muy tedioso si no se tiene la prctica suficiente representar curvas mediante superficies no conocidas. Para representar la curva eleg el sistema equivalente.

    Ejemplo 2. Dada la curva cuyas ecuaciones cartesianas son:

    x2 + y2 + z2 = 4

    x2 + y2 = 2y Primer octante.

    Se pide: i. Un sistema equivalente que permita parametrizar la curva. ii. Parametrizar la curva.

    En este ejercicio no hace falta buscar un sistema equivalente ya que tenemos una superficie cilndrica proyectante oculta entre las superficies dadas. Con un repaso de superficies dadas en lgebra podemos observar que la superficie: x2 + y2 = 2y es un cilndro desplazado.

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    Veamos: x2 + y2 = 2y x2 + y2 2y = 0

    Completando cuadrados:

    x2 + y2 2y + 1 1 = 0 x2 + y 1 2 = 1

    Claramente observamos un cilindro desplazado en una unidad sobre el eje y

    con centro: (0,1,0) Armamos el sistema equivalente proyectado sobre el plano xy:

    C = x2 + y 1 2 = 1

    z = 0

    Parametrizando la curva proyectante CURVA NO PLANA:

    x = cos t

    y = sen t + 1z = 0

    Pasamos a buscar los valores de variacin de t ya que al tratarse de una curva no plana la misma no deber porque tomar valores del intervalo: [0,2] Elegimos el punto: (0,0,0) ya que si dibujamos la curva como interseccin de esfera -cilindro la curva nace en dicho punto.

    0 = cos t0

    0 = sen t0 + 10 = 0

    t0 =

    2

    Luego elegimos el punto: (0,2,0) ya que si dibujamos la interseccin de esfera cilindro la curva finaliza en dicho punto.

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    0 = cos(t1)

    2 = sen t1 + 10 = 0

    t1 =

    2

    La parametrizacin va de:

    2 t

    2

    Para finalizar se debe expresar a z en funcin de sen(t) y cos(t) Sabiendo de S1: x2 + y2 + z2 = 4 despejamos z:

    z = 4 x2 y2 Despejando y reemplazando de forma conveniente:

    z = 2 2 sen(t) Finalmente expresamos la ecuacin paramtrica de la curva como interseccin de las dos superficies propuestas en el enunciado:

    x = cos(t)

    y = sen t + 1

    z = 2 2 sen(t)

    con

    2 t

    2

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    UUNNIIDDAADD IIVV LLMMIITTEE YY CCOONNTTIINNUUIIDDAADD

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn R/ n 2

    Temario a estudiar. Limite doble. Funciones acotadas. Condicin de continuidad. Limites radiales. Funciones convenientes de aproximacin.

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    ..::LIMITE DOBLE::..

    La resolucin de lmites en dos variables se realiza del mismo modo que en una variable (anlisis matemtico I) a diferencia que en este caso no salvaremos indeterminaciones. IMPORTANTE

    Debemos recordar que cuando tratamos con lmites de dos variables no se puede aplicar la regla de LHopital.

    Teniendo en cuenta que:

    f x =x2

    x2 + y2 y f x =

    y2

    x2 + y2

    Son funciones acotadas procedemos a ejemplificar la resolucin de un lmite en R2 Ejemplo:

    Sea f: DcR2 R/f(x, y) = x sen 1

    x si y 0

    cos xy si y = 0 analice si limX0 f(x, y)

    Para los pares (x, y) R2/y 0: f(x, y) = x sen 1

    y

    Para los pares (x, y) R2/y = 0: f(x, y) = cos(xy) Parte A: Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por (x, y)/y = 0

    limX0

    cos xy = 1 Parte B:

    Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por (x, y)/y 0

    limX0

    x sen 1

    y = 0

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    POR LO TANTO: Como los lmites son distintos para distintos caminos por los que me acerco al origen de coordenadas se tiene que:

    limX0

    f(x, y)

    ..::CONDICIN DE CONTINUIDAD::..

    Sea: : un campo escalar y 0 un punto interior del dominio, es continuo en 0 si se cumple:

    1. 0 2. limX 0 f 0 3. 0 = limX 0 f 0

    ..::LIMITES RADIALES Y FUNC. CONVENIENTES DE APROX.::..

    Esta herramienta matemtica es til para demostrar la no existencia de lmites, generalmente al resolver un ejercicio de lmites en anlisis matemtico II nos encontraremos continuamente con casos donde haya que aplicarlos. FAMILIAS DE CURVAS QUE GENERALMENTE UTILIZAREMOS:

    1. y y0 = m x x0 2. y y0 = a x x0

    2 3. y y0 = a x x0

    3 4. x x0 = a y y0 5. x x0 = a y y0

    2 6. y = ax2 + bx 7. x = ay2 + by

    Entre otros

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    IMPORTANTE

    Al acercarnos por cualquier curva la funcin deber tender al mismo valor en caso contrario: limX 0 f 0

    Ejemplo: Analizar si existe el lmite del siguiente campo escalar en: , = (2,0)

    f: DcR2 R/f(x, y) =

    x 2 y

    x 2 2 + y2 si x 2 y 0

    0 si x 2 y = 0

    Parte A:

    Nos acercamos al (2,0) por (x, y)/ x 2 y = 0

    limX(2,0)

    0 = 0 Parte B:

    Nos acercamos al (2,0) por (x, y)/ x 2 y 0

    limX(2,0)

    x 2 y

    x 2 2 + y2 (

    )

    En este caso no se puede salvar la indeterminacin. Motivo por el cual

    acudimos a la informacin que nos dan los denominados limites radiales. Con y = m(x 2)

    lr = limx2

    x 2 m x 2

    x 2 2 + m2 x 2 2

    = limx2

    x 2 2m

    x 2 2 1 + m2

    =limx2 m1+m2

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    Donde: m1+m2

    es una familia de nmeros distintos entre s. Dado que a medida que nos aproximamos al punto por caminos diferentes la funcin tiende a valores distintos (por principio de unicidad del lmite, en el caso de que exista debe ser nico) se tiene que:

    limX(2,0)

    f(x, y)

    Ejercicio de parcial/final.

    Sea: f x, y = x7

    x+y si x + y 0

    0 si x + y = 0

    , se pide calcular si existe

    limx 0 f(x, y) Desarrollo formal. Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por los (x,y)/x+y=0

    limx 0

    f x, y = 0 Nos acercamos al origen de coordenadas (0,0) por los (x,y)/x+y0

    limx 0

    f x, y =x7

    x + y

    Este es un caso especial el cual apareci en un final tomado, dado que la rama de la funcin no es acotada ni estamos en presencia de infinitsimo por acotado acudimos a los limites radiales, demostraremos que al acercarnos al origen por distintos caminos la funcin tiende a valores distintos por lo que el limite no existir.

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    Para demostrar que el lmite no existe se debe buscar una funcin la cual sirva de curva para aproximar, para este caso buscare la funcin de la siguiente forma:

    x7

    x + y= 1

    Ax7 = x + y

    y = Ax7 x

    Siendo A la constante que me dar una familia de curvas, por lo tanto:

    limx0

    x7

    x x + ax7=

    1

    a

    Como a medida que me aproximo al origen por distintos valores la funcin tiende a valores distintos (por principio de unicidad del lmite, si existe debe ser nico) se tiene que:

    limx 0

    f(x, y)

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    UUNNIIDDAADD VV DDEERRIIVVAADDAASS

    Temario a estudiar. Derivadas parciales. Operador gradiente. Definicin de derivadas direccionales. Aplicacin. Gradiente de un campo escalar en un punto. Propiedad de homogeneidad

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    ..::DERIVADA DIRECCIONAL DE UN CAMPO ESCALAR::..

    Sea f un campo escalar definido en un conjunto abierto DcRn , X0 =(a1, a2, . , an) es un punto de D y donde u = u1, u2, . , un es un versor de Rn , la derivada direccional de f en X0 con respecto al versor u esta dada por el siguiente lmite:

    f X0, u = limh0

    f X0 + hu f X0

    h

    Donde: u es un vector unitario (versor) u = a, b a2 + b2 = 1

    ..::DERIVADA PARCIALES::..

    Sea f: DcR2 R/z = f(x, y) y sea P0 = (x0, y0) interior a D; las derivadas parciales de f(x,y) en (x0 , y0)):

    f x a, b = limh0

    f x0 + ha; y0 f X0

    h

    f y a, b = limh0

    f x0; y0 + hb f X0

    h

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    .::GRADIENTE DE UN CAMPO ESCALAR EN UN PUNTO::..

    Muchas veces interesa conocer en qu direccin el campo varia ms rpidamente con la posicin, y cul es la intensidad de esa variacin. Esta informacin se obtiene a travs del operador gradiente. Sea : 2 llamamos de esta forma al vector cuyas componentes son las derivadas parciales:

    0 = 0 ;

    0 Si : 3

    0 = 0 ;

    0 ; 0

    Observaciones:

    (1) Si : 2 el gradiente es perpendicular a cada curva de nivel de dicho campo en 0.

    (2) Si : 3 el gradiente es normal a cada superficie de nivel de dicho campo en 0.

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    ..::PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD::.. Si existe la derivada direccional f X0, v y k R, k 0 entonces f X0, kv = kf

    X0, v Demostracin:

    f X0, kv = limh0

    f X0 + kv f X0

    h

    f X0, kv = k limh0

    f X0 + kv f X0

    kh

    Si h2 = kh como h 0 sabemos que h2 0

    f X0, kv = k limh20

    f X0, +v f X0

    h2

    f X0, kv = k f

    X0, v Corolarios:

    1. f X0 , v = f X0, v

    2. f X0 , v = v f X0, v donde v =

    v

    v

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    Ejercicio de parcial/final.

    Sea: f x, y = x3 y

    x3 2+y2 si x 3

    sen(x 3 + y) si x = 3

    , se pide analizar

    derivabilidad del campo escalar en el punto: (3,0) para toda direccin, teniendo en cuenta que el ejercicio finalizara cuando todas las direcciones sean analizadas. Condiciones del ejercicio:

    X0 = 3,0 u = a, b a2 + b2 = 1

    Desarrollo formal. Para resolver este ejercicio acudo a la definicin de derivada direccional definida por el siguiente lmite: f X0 , u = limh0 f X0+hu f X0 h Utilizando como versor el genrico (de esta forma se logra analizar para toda direccin y sentido) y el punto dado como dato. Adems sabemos por enunciado que: f X0 = 0 Reemplazando datos: f X0, u = limh0 f (3,0)+h(a,b) h

    f X0, u = limh0

    f 3ha; hb

    h

    Una vez planteado el limite pasaremos a dividir el ejercicio en dos ramas, por un lado trabajaremos con los pares (x,y)/x=3 y por el otro lado con los pares (x,y)/x3.

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    Parte A: (x,y)/x=3 Para esta parte: x = 3 3ha = 3 => = 0 finalmente a = 0

    f X0, u = limh0

    sen(hb)

    h= lim

    h0

    sen(hb)b

    bh= b

    Parte A: (x,y)/x3

    Para esta parte: x 3

    f X0, u = limh0

    3 + ha 3 hb 3 + ha 3 2 + hb 2

    h= lim

    h0

    1

    h

    hahb

    h2a2 + h2b2

    limh0

    1

    h

    h2ab

    h2 a2 + b2 =

    ab

    h

    Finalmente el resultado a la consigna pedido ser la unin de ambos resultados:

    f X0, u =

    b si a = 00 si b = 0

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    UUNNIIDDAADD VVII DDIIFFEERREENNCCIIAABBIILLIIDDAADD

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn R/ n 2

    Temario a estudiar. Definicin de diferenciabilidad. Propiedades de los campos diferenciables. Deduccin de la ecuacin del plano tangente a la grafica de un campo

    diferenciable. Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es continuo en un punto

    interior. Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es derivable respecto de

    toda direccin.

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    ..::DEFINICIN DE DIFERENCIABILIDAD::..

    Decimos que f: DcR2 R es diferenciable en un punto interior X0 si se cumple:

    f x0 + h; y0 + k f x0; y0 Fx (X0 )h + F

    y (X0 )k + (h, k) h2 + k2

    Donde lim h,k (0,0) h, k = 0 Lo que es lo mismo:

    f X0 + v f X0 = f X0 v + v v Donde limv 0 ( v ) = 0 OBSERVACIN: Si tuviramos una funcin escalar de una variable independiente diramos que f es diferenciable en 0 f es derivable en 0. Mientras que para funciones de ms de una variable independiente esto ya no es cierto. La continuidad de un campo escalar as como la derivabilidad del mismo respecto de toda direccin son condiciones necesarias pero no suficientes para que el campo escalar termine siendo diferenciable en dicho punto.

    ..::PROPIEDADES DE LOS CAMPOS DIFERENCIABLES::..

    (1) Si f es diferenciable en X0 => f es continuo en X0 (2) Si f es diferenciable en X0 => f es derivable en X0 u (3) Si f es discontinua en X0 => f no es diferenciable en X0 (4) Si u respecto del cual f => f no es diferenciable en X0 (5) Si f es diferenciable en X0 => f X0 , u = f X0 u u (6) Si no es cierto que para toda direccin: f X0 , u = f X0 u => f no es

    diferenciable en X0

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    (7) Si f es diferenciable en X0 => fmax X0 = f X0 y la direccin responsable es u = f X0

    | f X0 |

    (8) Si f es diferenciable en X0 => fmin X0 = f X0 y la direccin responsable es u = f X0

    | f X0 |

    (9) Si f es diferenciable en X0 => f X0 , u = 0 para dos direcciones (siempre que f X0 0 )

    (10) Si existe ms de una direccin u " respecto de la cual se obtiene derivada direccional mxima => f no es diferencial.

    (11) Si existe ms de una direccin u " que promueve derivada direccional mnima => f no es diferenciable en ese punto.

    (12) Si existe ms de dos direcciones respecto de las cuales se obtiene derivada direccional nula => f no es diferenciable.

    (13) Si f C1 en X0 => f es diferenciable en X0 (14) Si f es campo escalar polinomico (f C1) => f es diferenciable (15) Si f es diferenciable en X0 =(x0; y0) (interior a Df) => la superficie grfica de

    ecuacin z = f(x,y) admite plano tangente y recta normal en (x0 , y0 , z0) cuyas ecuaciones son respectivamente:

    plano tangente: Z = Z0 + F x x0 , y0 x x0 + F y x0, y0 (y y0) recta normal: X = X0 + tv con t R y X0 = (x0 , y0 , z0)

    (16) La diferenciabilidad es condicin necesaria y suficiente para que la grafica de un campo escalar de 2 variables admite plano tangente en (x0 , y0 , z0) de la forma: Z=Z0 + F x x0 , y0 x x0 + F y x0 , y0 (y y0) con 0 = (, ) Si f es diferenciable en X0 => es decir

    0 + ; 0 + 0; 0 Fx x0, y0 h + F

    y x0 , y0 k donde h y k R

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    ..::DEMOSTRACIN: SI ES DIFERENCIABLE ES CONTINUO::..

    Si f: DcRn R es diferenciable en X0 interior al Df => f es continuo en X0 . Demostracin:

    Por ser f diferenciable en X0 existe un entorno del punto X0 en el cual se verifica:

    f X0 + v f X0 = f X0 v + v v Donde limv 0 ( v ) = 0 siendo v el vector incremento f X0 + v = f X0 + f X0 v + v v Pasando al lmite cuando v 0 y teniendo en cuenta que el lmite del primer miembro existir si existe el lmite del segundo miembro, pasamos a fundamentar lo siguiente:

    (a) Como X0 Df, existe f( X0 ) y el limv 0 f( X0 ) = f( X0 ) dado que es un nmero real.

    (b) Las componentes del f X0 existen dado que f es diferenciable en X0 y no dependen de v , por lo tanto limv 0 ( f X0 v ) = 0

    (c) limv 0 ( v | v |) = 0 dado que por un lado 0 por hiptesis y que el limv 0 (| v |) = 0.

    Por todo lo expuesto se tiene que existe limv 0 f X0 + v = f X0 => f es continua en X0

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    ..::DEM.: SI ES DIFERENCIABLE ES DERIVABLE PARA TODA DIRECCIN:..

    Si f: DcRn R es diferenciable en X0 interior al Df => f es derivable en X0 respecto de toda direccin. Demostracin:

    Por ser f diferenciable en X0 existe un entorno del punto X0 en el cual se verifica:

    f X0 + v f X0 = f X0 v + v v Donde limv 0 ( v ) = 0 siendo v el vector incremento f X0 + v = f X0 + f X0 v + v v Si de los infinitos puntos del entorno, seleccionamos aquellos para los cuales v = hu es decir que se consideran los puntos que se hallan en las rectas que pasan por X0 y tienen la direccin de cada u , se tiene:

    f X0 + hu f X0 = f X0 hu + hu hu Dividiendo por h ambos miembros nos queda:

    f X0 + hu f X0

    h= f X0 u + hu

    h

    h pues u = 1

    Pasando al lmite cuando h 0 y teniendo en cuenta que el lmite del primer miembro (que es por definicin la derivada direccional de f en 0) existir si existe el lmite del segundo miembro, pasamos a fundamentar lo siguiente: Las componentes del f X0 existe dado que f es diferenciable en X0 y no dependen de h, por lo tanto limh0( f X0 u ) = k R Por otra parte limh0 hu h h = 0 por ser el caso de producto de infinitsimos

    limh0

    f X0 + hu f X0

    h= f X0 u

    => Existe f X0 + hu / f X0 + hu = f X0 u

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    ..::DEDUCCIN DEL PLANO TANGENTE A LA GRFICA::..

    Si f es diferenciable en x0, y0 su superficie grfica tiene la ecuacin cartesiana z = f(x, y) o bien 0 = f x, y z f x, y z = 0 A dicha ecuacin la podemos considerar como la ecuacin de la superficie de nivel 0 correspondiente a un campo escalar de tres variables de la forma: F: DcR3 R/ F x, y, z = f x, y z El f x = Fx, Fy, Fz => f x = f x x0, y0 , f y x0, y0 , 1 = n

    : f x x0, y0 x + fy x0 , y0 y z + D = 0

    Como (x0 , y0, z0) verifican la ecuacin del plano:

    : f x x0 , y0 x0 + fy x0, y0 y0 z0 + D = 0

    D = z0 fx x0, y0 x0 f

    y x0 , y0 y0

    Finalmente:

    : f x x0, y0 x + fy x0, y0 y z + z0 f

    x x0, y0 x0 f

    y x0, y0 y0 = 0

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    UUNNIIDDAADD VVIIII CCAAMMPPOOSS VVEECCTTOORRIIAALLEESS

    En esta unidad se estudian los campos vectoriales de la forma:

    f: DcR2 R3

    Temario a estudiar. Representacin de los campos vectoriales. Plano tangente a la superficie imagen del campo vectorial. Punto regular de una superficie. Definicin. Matriz Jacoviana asociada a un campo vectorial.

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    ..::REPRESENTACIN DE LOS CAMPOS VECTORIALES::..

    Sea f : DcR2 R3 /f u, v = x(u, v , y u, v , z(u, v))

    Con: 0 v 2u 0

    Todo campo vectorial cuyo dominio est incluido en el espacio de 2 dimensiones, con un conjunto imagen incluido en R3con componentes continuas en dicho dominio representa una superficie en el espacio entendiendo que dicha superficie es la representacin del conjunto imagen de dicho campo.

    ..::DEFINICIN DE PUNTO REGULAR DE UNA SUPERFICIE::..

    Sea f : DcR2 R3/ f continua en D dado por f u, v = (x u, v ; y u, v ; z u, v ) Sea p0 S / p0 = f u0; v0 Decimos que p0 S es punto regular de la superficie segn la representacin paramtrica dada por f en D. Si f es diferenciable en A = u0; v0 interior a D y el producto vectorial fu u0; v0 xfv u0; v0 0

    ..::MATRIZ JACOBIANA ASOCIADA A UN CAMPO VECTORIAL::..

    Recibe este nombre la matriz que tiene por filas el gradiente de cada componente del campo vectorial. Sea g : DcRn Rn/g X = (g1 X ; g2 X ; . )

    Dg =

    g1x

    (X) g1y

    (X) g1n

    (X)

    g2x

    (X) g2y

    X g2n

    (X)

    gnx

    (X) gny

    (X) gnn

    (X)

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    UUNNIIDDAADD VVIIIIII FFUUNNCCIIOONNEESS CCOOMMPPUUEESSTTAASS

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn R/ n 2

    Temario a estudiar. Teorema: Regla de la cadena Resolucin de ejercicios aplicando la regla de la cadena. Resolucin de ejercicios aplicando la matriz Jacoviana asociada a un campo

    vectorial.

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    Componer una funcin significa sustituir una funcin en otra. Dada z = f(x, y) para componer dicha funcin tendremos que sustituir las dos variables x e

    y por dos funciones, digamos g1 y g2 que conecten a estas con otras variables, por ejemplo u y v. As, si consideramos las funciones:

    x = g1(u, v), y = g2(u, v) podemos sustituir a estas en la funcin f y obtener la funcin compuesta:

    h = f(g1(u, v);g2(u, v))

    ..::TEOREMA: REGLA DE LA CADENA::..

    Dada: g : DcRn Rm g diferenciable en A D f: DcRm R f diferenciable en g A

    Entonces: h = FOg es diferenciable en A y adems:

    Dh A = Df g A

    Dg A

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    ..::RES.DE EJER. APLICANDO LA REGLA DE LA CADENA::..

    Sea: g: DcR2 R2/g x; y = (u, v) , f: DcR2 R/f(u, v) = 2u + 3v

    u = x2 + y3

    v = 3x2 y

    Obtenemos la funcin compuesta z = h(x, y) en (1,2). Por enunciado:

    x0 = 1y0 = 2

    u0 = 9v0 = 1

    Y adems:

    (1) ux = 2x ux 1,2 = 2 (2) uy = 3y2 uy 1,2 = 12 (3) vx = 6x vx 1,2 = 6 (4) vy = 1 vy 1,2 = 1 (5) f u = 2 f u 9,1 = 2 (6)f v = 3 f v 9,1 = 3

    hx x, y = f u u x + f v v x hy x, y = f u u y + f v vy

    h x 1,2 = f u 9,1 ux 1,2 + f v 9,1 ux 1,2 h x 1,2 = f u 9,1 uy 1,2 + f v 9,1 vy 1,2

    hx 1,2 = 2 2 + 3 6 = 22

    hy 1,2 = 2 12 + 3 1 = 21

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    ..::RESOLUCIN DE EJERCICIO APLICANDO LA MATRIZ JACOBIANA::..

    Sea: g: DcR2 R2/g x; y = (u, v) , f: DcR2 R/f(u, v) = 2u + 3v

    u = x2 + y3

    v = 3x2 y

    Obtenemos la funcin compuesta z = h(x, y) en (1,2).

    Dh A = Df g A

    Dg A

    Dh 1,2 = Df g 1,2 Dg 1,2 Obtengo el valor de: g 1,2 = (9,1)

    Dh 1,2 = Df 9,1 Dg 1,2 Entonces:

    hx hy = fu fv g1x g1y

    g2x g2y

    hx hy = 2 3 2x 3y2

    6x 1 1,2

    hx hy = 2 3

    2 126 1

    hx hy = (22,21)

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    UUNNIIDDAADD IIXX FFUUNNCCIIOONNEESS DDEEFFIINNIIDDAASS DDEE FFOORRMMAA IIMMPPLLCCIITTAA

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    F x, y, z = 0

    Temario a estudiar. Definicin. Teorema de Couchy-Dinni

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    ..::DEFINICIN. TEOREMA DE COUCHY-DINNI::..

    Dada F: DcR3 R,F C1 / F A = 0 y F z A 0 => la funcion de ecuacin: F x, y, z = 0 define de forma implicita a la ecuacin z = f(x, y) y adems:

    f x = Fx x0, y0 , z0

    Fz x0, y0, z0

    f y = Fy x0, y0 , z0

    Fz x0, y0, z0

    Ejemplo: Sea z = f(x,y) definida implcitamente por la ecuacin: xy + yz + ex3 ln z 17 = 0 . Se pide valor aproximado de f(3,01; 3,98)

    Primero: Establezco el punto que satisface: F x, y, z = 0

    Nota: Este paso se realiza a prueba y error reemplazando en la ecuacin implcita el x e y en este caso conocidos.

    = 3,4, 0 = 3,4,1

    Segundo: Construyo mi campo escalar a partir de mi funcin implcita ya que a la ecuacin la puedo considerar superficie de nivel 0 correspondiente

    al siguiente campo escalar:

    : 3 /(, , ) = xy + yz + ex3 ln z 17

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    Tercero: Obtengo el gradiente del campo escalar construido:

    3,4,1 = (5,4,3) Cuarto: Aplico el teorema de Couchy-Dinni:

    f x = Fx 3,4,1

    Fz 3,4,1 =

    5

    3

    f y = Fy 3,4,1

    Fz 3,4,1 =

    4

    3

    Entonces: f 3,4 =

    5

    3;

    4

    3

    Para finalizar busco el valor aproximado de f(3,01; 3,98)

    f x0 + x; y0 + y F X0 + f x X0 x + f

    y X0 y

    f 3,01; 3,98 1 5

    3 0,01

    4

    3 0.02

    f 3,01; 3,98 1,01

    Ejercicio de parcial/final. Dada z = f(x, y) def. de forma implcita por: xz + z3y + ln z + x 2 2 = 0 se pide calcular aproximadamente: f(0,98; 0,03) Desarrollo formal. A la ecuacin xz + z3y + ln z + x 2 2 = 0 la considero superficie de nivel 0 correspondiente al campo escalar:

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    F: R3 R/F(x, y, z) = xz + z3y + ln z + x 2 2 El ejercicio nos pide una aproximacin lineal, para esto recurriremos a:

    f x0 + x; y0 + y F X0 + f x X0 x + f

    y X0 y Donde:

    X = 1 0,02 ; Y = 0 + 0,03 X = 0,02 ; Y = 0,03

    Por lo tanto:

    f 0,98; 0,03 F 1,0 + f x 1,0 (0,02) + f y 1,0 (0,03) Para obtener las derivadas parciales de f (el gradiente de f en un punto) acudiremos a utilizar el teorema de Couchy-Dinni.

    f x = Fx x0, y0 , z0

    Fz x0, y0, z0

    f y = Fy x0, y0 , z0

    Fz x0, y0, z0

    Y por tanteo en la ecuacin implcita: 0 = 2 Donde: , , = + 1

    +2; 3; + 32 +

    1

    +2

    Siendo: 1,0,2 = (3,8,2)

    f x = Fx 1,0,2

    Fz 1,0,2 =

    3

    2

    f y = Fy 1,0,2

    Fz 1,0,2 = 4

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    Entonces: f 1,0 =

    3

    2; 4

    Finalmente:

    f 0,98; 0,03 2 + 5

    3 0,02 + (4)(0,03)

    f 0,98; 0,03 1,91

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    UUNNIIDDAADD XX EEXXTTRREEMMOOSS

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn R/ n 2

    Temario a estudiar. Definicin. Extremos relativos. Extremos absolutos. Definicin. Extremos condicionados. Calculo de extremos para el caso f: DcR2 R

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    ..::DEFINICIN EXTREMOS RELATIVOS & ABSOLUTOS::..

    Extremos relativos o locales. Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A) es mximo local de f si f A f(X)X E(A) Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A) es mnimo local de f si f A f(X)X E(A) Extremos absolutos. Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A) es mximo absoluto de f si f A f(X)X D Dada f: DcRn R, A D . Se dice que f(A) es mnimo absoluto de f si f A f(X)X D

    ..::DEFINICIN EXTREMOS CONDICIONADOS::..

    Sean F y G dos campos escalares diferenciables en un entorno de X0 = (x0, y0, z0) con derivadas no nulas simultneamente. Si X0 = (x0, y0 , z0) es un punto crtico de f en el conjunto A = {(x, y, z)/G(x, y, z) = 0} entonces existe un 0/(x0, y0, z0 , 0) es punto crtico de L x, y, z, = F x, y, z +G(x, y, z) Clasificacin de extremos:

    H x, y, =

    Lxx Lxy

    Gx

    Lyx Lyy

    GY

    Gx GY

    0

    = > 0 < 0

    = 0 el criterio no informa

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    ..::CALCULO DE EXTREMOS PARA EL CASO F: DCR2 R ::..

    Si f es diferenciable en X0(interior al Df) con f X0 = 0 y adems:

    H X0 = fxx (X0) fxy (X0)

    fyx (X0) fyy (X0) > 0 => x0, y0 es extremo relativo.

    Si en particular: fxx (X0) > 0 => f x0, y0 es mnimo relativo. Si en particular: fxx (X0) < 0 => f x0, y0 es mximo relativo.

    H X0 = fxx (X0) fxy (X0)

    fyx (X0) fyy (X0) < 0

    F no presenta extremos relativos se trata de un punto de ensilladura de

    coordenadas x0, y0, z0 con z0 = f x0, y0

    H X0 = fxx (X0) fxy (X0)

    fyx (X0) fyy (X0) = 0

    El criterio no informa.

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    UUNNIIDDAADD XXII PPOOLLIINNOOMMIIOO DDEE TTAAYYLLOORR

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn R

    Temario a estudiar. Expresin. Reglas memotcnicas.

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    ..::EXPRESIN DEL POL. DE TAYLOR DE ORDEN DOS::..

    , = 0

    !

    =0

    ..::REGLAS MEMOTCNICAS::..

    x + y 2 = x2 + 2xy + y2 x + y 3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

    Notar como el polinomio de Taylor respeta el cuadrado perfecto y cubo perfecto.

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    Segundo parcial

    Terico / Prctico

    Realizado por: Fernando

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    UUNNIIDDAADD XXIIII CCIIRRCCUULLAACCIINN OO TTRRAABBAAJJOO DDEE UUNN CCAAMMPPOO VVEECCTTOORRIIAALL

    En esta unidad se estudian los campos escalares de la forma:

    f: DcRn Rn/n 2

    Temario a estudiar. Definicin. Campo de gradientes. Lneas equipotenciales. Condicin necesaria para existencia de funcin potencial. Enunciado y

    demostracin. Independencia del camino. Enunciado y demostracin. Teoremas. Lneas de campo.

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    ..:DEFINICIN::..

    T = fdgC

    = f g t t2

    t1

    g t dt

    ..:CAMPO DE GRADIENTES. LNEAS EQUIPOTENCIALES::..

    Sea f x, y = (P x, y ; Q x, y ) Si f es de clase 1 (f c1) en todo punto de un recinto simplemente conexo y P y = Q x => f es campo de gradientes. Cuando el campo vectorial f es un campo de gradientes la circulacin del mismo es independiente del camino que conecta el punto inicial t1 y el

    punto final t2

    ..:COND. NECESARIA PARA LA EXISTENCIA DE FUNCIN POTENCIAL::..

    Enunciado:

    Sea f: DcR2 R2/f(x, y) = (P x, y ; Q x, y ) Un campo vectorial derivable con continuidad en un recinto simplemente conexo. Si f admite funcin potencial

    => Py = Qx

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    Demostracin: Por hiptesis U(x, y)/U(x, y) = f

    => Ux = P Uy = Q => Py = U xy Q x = U yx

    Como por hiptesis P y y Qx son continuas entonces tambin son continuas U xy U yx => Por el teorema de Schwanz podemos asegurar que

    U xy = U yx => Py = Qx

    ..:INDEPENDENCIA DEL CAMINO. ENUNCIADO Y DEMOSTRACIN::..

    Enunciado:

    Si f es campo de gradientes => f dgC

    es independiente del camino que une el punto inicial A y el punto final B de la curva C

    => f dgB

    A= U B U(A) siendo U el campo escalar /U = f

    Si en particular f dg = 0C cerrada

    Demostracin:

    U dgC

    = U g t .b

    a

    g t dt

    Si llamamos h t = U g t dicha funcin compuesta tendr por derivada: h t = U g t . g t (por regla de la cadena) y teniendo en cuenta que h t es continua en [a,b] entonces:

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    U dgC

    = U g t .b

    a

    g t

    dt = h t dtb

    a

    = h(t)|ab =

    = h b h a = U g b U g a

    = U b U(a) En particular si: a = b => U dg

    C= 0

    ..:TEOREMAS::..

    (1) Si C cerrada / fdgc 0 => f no es campo de gradiente => funcin

    potencial. (2) Si f es campo de gradientes con f x, y = P x, y ; Q x, y => P y = Qx (3) Si Py Qx => f no es campo de gradientes.

    ..:LNEAS DE CAMPO::..

    Dado un campo vectorial f se llaman lineas de campo a las curvas que en cada uno de sus puntos el vector f le es tangente. Si X = g t es la ecuacin vectorial de las lneas de campo se tiene f g t = g t Para hallar las lneas de campo:

    dx

    P(x, y)=

    dy

    Q(x, y)

    Siendo f x, y = (P x, y ; Q x, y )

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    Nota: Si f es campo de gradientes(es decir que admite potencial U) se tiene que las lneas de campo tienen por trayectorias ortogonales a las lneas equipotenciales.

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    UUNNIIDDAADD XXIIIIII IINNTTEEGGRRAALLEESS MMLLTTIIPPLLEESS

    Temario a estudiar. Integral doble. Integral triple. Teorema del cambio de variable. Jacoviano de pasaje. Coordenadas polares, cilndricas y esfricas.

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    ..:INTEGRAL DOBLE, INTEGRAL TRIPLE::..

    Integral doble:

    I = f x, y dxdyR

    En particular si f x, y = 1

    A R = dxdyR

    Integral Triple:

    V k = dx dy dzK

    ..:T. DEL CAMBIO DE VARIABLE. JACOBIANO DE PASAJE::..

    Sean D y D* dos regiones elementales del plano y una transformacin C1 inyectiva

    T :D*D /

    T (D*)=D definida por

    T (u;v)= (x (u;v);y (u;v))

    Entonces para cualquier funcin integrable F:DR es integrable en D, resulta:

    , = , ; ,

    = , = ,

    Donde:

    =

    =1

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    ..::COORDENADAS POLARES, CILNDRICAS Y ESFRICAS::..

    Coordenadas polares

    Coordenadas cilndricas

    Coordenadas esfricas

    Cambios de variables

    x = cos()y = sen()

    x = cos()y = sen

    z = z

    x = cos()sen()y = sen sen

    z = cos()

    Valores posibles que toman las

    variables

    0 2

    0 +

    0 2

    0 +

    0

    0 2

    0 +

    Jacoviano de

    pasaje

    j =

    j =

    j = 2sen

    Valor de

    x2 + y2 = 2

    x2 + y2 = 2

    x2 + y2 + z2 = 2

    Caso particular: Cambio de coordenadas en elipses:

    P x x2

    a2+

    y2

    b2 Q x

    x = x(, )y = y(, )

    j = ab

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    UUNNIIDDAADD XXIIVV AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAASS IINNTTEEGGRRAALLEESS MMLLTTIIPPLLEESS

    Temario a estudiar. Calculo de rea en el plano. Calculo de volumen. Calculo de masa. rea de superficies en el espacio.

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    ..:CALCULO DE REA EN EL PLANO::..

    A R = dxdyR

    Ejemplo: Hallar el rea del recinto plano mediante dos rdenes de integracin diferentes.

    Punto de interseccin entre las dos funciones: P = ( 8, 8) Primer orden de integracin:

    A R = dxdy

    dx dy 16x2

    x

    8

    0

    = 2

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    Pgina 81 de 95

    Segundo orden de integracin:

    A R = dydx + dydx

    dy dxy

    x

    8

    0

    + dy dx 16y2

    0

    4

    8

    = 2

    Notar que el recinto utilizando el segundo orden de integracin (vector horizontal) tiene dos limites distintos por lo tanto la integral se subdivide.

    ..:CALCULO DE VOLUMEN::..

    V k = dx dy dzK

    Ejemplo:

    Mediante integral triple y utilizando coordenadas cilndricas expresamos el volumen del siguiente slido en el espacio:

    k = {(x, y, z) R3/x2 + y2 + 1 z 9}

    Cambio a coordenadas cilndricas:

    x = cos()

    y = sen z = z

    V k = d d dzK

    Variacin de lambda: 0 2 Variacin de : 0 8 Variacin de z: 1 + 2 z 9

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    V k = d d dz9

    1+2

    8

    0

    2

    0

    = 32

    ..:CALCULO DE MASA::..

    =

    =

    Si la masa es proporcional al eje z: || Para el ejemplo anterior dado el resultado de la masa quedara expresada como:

    V k = d d KZ dz9

    1+2

    8

    0

    2

    0

    = 32

    ..:REA DE SUPERFICIE EN EL ESPACIO (ALABEADAS)::..

    Sea S de ecuacin implcita F(x,y,z)=0. El rea de la superficie S es

    obtenida por:

    A s = f

    |Fz|dxdy

    R

    Donde R es el recinto proyeccin en el plano.

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    Ejemplo: Calcular el rea de la superficie: = 2 + 2 con 2 y 2 + 2 6 , , = 2 + 2 = (2, 2, 1) = 42 + 42 + 1 En coordenadas cilndricas: = 42 + 1

    A s = f

    |Fz|dxdy = d 42 + 1

    6

    2

    2

    0R

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    UUNNIIDDAADD XXVV TTEEOORREEMMAASS

    Temario a estudiar. Teorema de Green. Clculo de rea con teorema de green. Flujo de un campo vectorial por definicin. Teorema de Gauss o de la divergencia. Enunciado. Aplicacin. Determinante simblico para hallar el vector llamado motor de un campo

    vectorial. Teorema de Stokes o del rotor. Enunciado. Aplicacin. Otros tipos de campos vectoriales.

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    ..:TEOREMA DE GREEN::..

    Sea f: DcR2 R2/f(x, y) = P x, y ; Q x, y un campo vectorial cuyas componentes tienen derivadas parciales continuas en un conjunto abierto DcR2, entonces:

    fC+

    dg = Qx Py dxdyR

    Donde R es una regin del plano limitado por la curva C cerrada y

    orientada en sentido positivo, de modo tal que R y C estn incluidas en D, siendo g la funcin vectorial que parametriza a la curva C.

    ..:CALCULO DE REA CON TEOREMA DE GREEN::..

    Para realizar esta demostracin elijo:

    f x, y = y, x Demostracin:

    fdg = Qx Py dxdyRC

    fdg

    C

    = (1 (1) dxdy

    fdgC

    = 2 dxdyR

    1

    2 fdg

    C

    = A(R)

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    ..:FLUJO DE UN CAMPO VECTORIAL POR DEFINICIN::..

    Se define flujo de un campo vectorial f a travs de una superficie al nmero real dado por:

    = fS

    n ds

    Donde: n = f

    f siendo ds = f

    |F z|dxdy

    = f n ds =R

    f f

    f

    f

    |Fz|dxdy

    R

    ..::TEOREMA DE GAUSS O DE LA DIVERGENCIA::..

    Sea f: DcR3 R3/f(x, y, z) = P x, y, z ; Q x, y, z ; R(x, y, z ) un campo vectorial cuyas componentes admiten derivadas parciales continuas en un slido V limitado por una superficie cerrada S orientable, si esta superficie est

    compuesta por un numero finito de partes en cada una de las cuales existe y varia con continuidad el versor normal dirigido hacia el exterior del solido V entonces la divergencia de a en el slido V es igual al flujo de a travs de la superficie S cerrada.

    = ds

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    ..::DETERMINANTE PARA HALLAR EL VECTOR MOTOR DEL CAMPO::..

    Sea: f x, y, z = P x, y, z ; Q x, y, z ; R x, y, z un campo vectorial.

    rot f =

    i j k

    x

    y

    zP Q R

    rot f = i Ry Q z j Rx Pz + k (Qx Py) Definimos con el nombre de rotor de un campo vectorial f = P, Q, R o rotacional de un campo vectorial f al vector:

    rot f = (Ry Q z; Pz R x; Q x P y)

    ..:TEOREMA DE STOKES::..

    Sea un campo vectorial f: DcR3 R3 con derivadas parciales continuas, sea S una superficie abierta orientable imagen de un campo vectorial : con derivadas continuas y no simultneamente nulas limitadas por una curva regular C. Tenemos que la circulacin de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada es igual al flujo del rotor del campo a travs de cualquier superficie limitada por la curva si la orientacin de la curva coincide con la de la superficie.

    f dg +

    = f n ds

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    ..:OTROS TIPOS DE CAMPOS VECTORIALES::..

    Campo solenoidal: Sea F: DcRn Rn con F C1 lo denominamos campo solenoidal, si su divergencia es nula.

    div f = 0 Campo armnico: F: DcRn Rn con F C1 lo denominamos campo armnico si la divergencia del gradiente de f es nulo.

    div f = 0 Campo irrotacional: Sea F: DcRn Rn con F C1 lo denominamos campo irrotacional si su rotor es nulo.

    rot f = 0

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    UUNNIIDDAADD XXVVII EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS SSEEGGUUNNDDAA PPAARRTTEE

    Temario a estudiar. Ecuaciones diferenciales de orden dos a coeficientes constantes con segundo

    miembro nulo (Homogneas de orden dos) Ecuaciones diferenciales de segundo orden a coeficientes constantes con

    segundo miembro no nulo (No homogneas)

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    ..::E. DIFERENCIALES HOMOGNEAS DE ORDEN DOS::..

    Estamos ante una ecuacin diferencial homognea de orden dos cuando podemos escribirla en la forma:

    A0y + A1y

    + A2y = 0

    Donde: 1 A0 R 0 2 A1 R 3 A2 R La solucin de este tipo de ecuaciones diferenciables se construya a expensas de las races de la ecuacin carteristica asociada:

    A0r2 + A1r + A2 = 0

    Ecuacin caracterstica asociada a la ecuacin diferencial. Para resolverla existen tres tipos de soluciones para cada uno de los casos los cuales se describen a continuacin:

    (1) Si r1 R, r2 R y adems r1 r2 la solucin general de la ecuacin diferencial es:

    y = C1er1x+C2e

    r2x

    (2) Si r1 = r2 = r R la solucin general de la ecuacin diferencial es:

    y = C1erx+C2e

    rx

    (3) r1 = + i la solucin general de la ecuacin diferencial es:

    y = ex[C1 cos x + C2sen x ]

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    ..::EC. DIFERENCIALES NO HOMOGNEAS DE ORDEN DOS::..

    Estamos ante una ecuacin diferencial no homognea de orden dos cuando podemos escribirla en la forma:

    A0y + A1y

    + A2y = f(x) / f(x) 0 La solucin general se construye usando la solucin de la homognea y la particular.

    YGeneral = YHomogenea + YParticular Propuestas de soluciones particulares:

    Polinomios yp = Ax + b Exponenciales yp = Aebx b conocido

    cos mx o sen mx o ambas yp = Acos mx + Bsen(mx) Ejemplo para ecuaciones diferenciales cuya solucin particular puede proponerse como polinmica:

    y y 2y = 3x + 4 r r 2 = 0

    r = 2 r = 1

    Construyo la parte de la solucin homognea.

    yh = C1e2x+C2e

    x Para construir la parte de la solucin correspondiente a la particular pruebo

    con yp = Ax + b

    Yp = A

    Yp = 0 Reemplazo en la ecuacin dada (y y 2y = 3x + 4)

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    0 A 2Ax + 2B = 3x + 4 2Ax A 2B = 3x + 4

    Resuelvo el sistema:

    2A = 3 => =

    3

    2

    A 2b = 4 => = 5

    4

    Construyo la yp yp =

    3

    2x

    5

    4

    Finalmente la solucin general (S.G)

    yg = C1e2x+C2e

    x 3

    2x

    5

    4

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    IINNDDIICCEE DDEELL AAPPUUNNTTEE

    Apartado A - Qu tengo que conocer? ...................................................................................... 3

    Recta en el espacio. Ecuaciones ................................................................................................ 4

    Plano ecuaciones ....................................................................................................................... 6

    Cnicas ...................................................................................................................................... 8

    Cudricas ................................................................................................................................. 10

    Sistema de ecuaciones ............................................................................................................ 11

    Unidad I Ecuaciones diferenciables Primera parte ............................................................. 14

    Ecuaciones diferenciables ordinarias. Definiciones ................................................................ 15

    Ecuaciones diferenciables en variables separables................................................................. 16

    Ecuaciones diferenciables de orden superior a 1 ................................................................... 17

    Trayectorias ortogonales ......................................................................................................... 18

    Ecuaciones diferenciables lineales de primer orden ............................................................... 19

    Unidad II Campos escalares ..................................................................................................... 22

    Dominio de un campo escalar. Representacin del dominio en el plano. Expresin del

    dominio por comprensin ....................................................................................................... 23

    Representacin geomtrica de un campo escalar .................................................................. 24

    Conjunto de nivel. Conjunto de nivel de un campo escalar de dos variables. Conjunto de

    nivel de un campo escalar de tres variables ........................................................................... 24

    Unidad III Funcin vectorial..................................................................................................... 26

    Dominio de una funcin vectorial. Representacin del dominio en el plano ......................... 27

    Parametrizacin de la curva interseccin ............................................................................... 28

    Unidad IV Limite y continuidad ............................................................................................... 32

    Limite doble. Funciones acotadas ........................................................................................... 33

    Condicin de continuidad ....................................................................................................... 34

    Limites radiales. Funciones convenientes de aproximacin ................................................... 34

    Unidad V Derivadas ................................................................................................................. 36

    Definicin de derivadas direccionales. Aplicacin .................................................................. 37

    Derivadas parciales.................................................................................................................. 37

    Gradiente de un campo escalar en un punto .......................................................................... 38

    Propiedad de homogeneidad .................................................................................................. 39

    Unidad VI Diferenciabilidad .................................................................................................... 40

    Definicin de diferenciabilidad ............................................................................................... 41

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    Propiedades de los campos diferenciables ............................................................................. 41

    Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es continuo en un punto interior ........ 42

    Demostracin: Un campo escalar si es diferenciable es derivable respecto de toda direc .... 43

    Deduccin de la ecuacin del plano tangente a la grafica de un campo diferenciable .......... 44

    Unidad VII Campos vectoriales ............................................................................................... 45

    Representacin de los campos vectoriales ............................................................................. 46

    Punto regular de una superficie. Definicin ............................................................................ 46

    Matriz Jacobiana asociada a un campo vectorial .................................................................... 46

    Unidad VIII Funciones compuestas .......................................................................................... 47

    Teorema: Regla de la cadena ............................................................................................... 48

    Resolucin de ejercicios aplicando la regla de la cadena........................................................ 49

    Resolucin de ejercicios aplicando la matriz Jacobiana asociada a un campo vectorial ........ 50

    Unidad IX Funciones definidas de forma implcita .................................................................. 51

    Definicin. Teorema de Couchy-Dinni ..................................................................................... 52

    Unidad X Extremos ................................................................................................................... 54

    Definicin. Extremos relativos. Extremos absolutos ............................................................... 55

    Extremos condicionados ......................................................................................................... 74

    Calculo de extremos para el caso f: DcR2 R ...................................................................... 55

    Unidad XI Polinomio de Taylor................................................................................................. 56

    Expresin ................................................................................................................................. 57

    Reglas memotcnicas ............................................................................................................. 57

    Unidad XII Circulacin o trabajo de un campo vectorial ......................................................... 59

    Definicin. ............................................................................................................................... 60

    Campo de gradientes. Lneas equipotenciales ....................................................................... 60

    Condicin necesaria para existencia de funcin potencial. Enunciado y demostracin ........ 61

    Independencia del camino. Enunciado y demostracin ......................................................... 61

    Teoremas ................................................................................................................................. 61

    Lneas de campo ...................................................................................................................... 62

    Unidad XII Integrales mltiples ................................................................................................ 63

    Integral doble. Integral triple. ................................................................................................. 64

    Teorema del cambio de variable. Jacobiano de pasaje .......................................................... 64

    Coordenadas polares, cilndricas y esfricas ........................................................................... 65

    Unidad XIV Integrales mltiples ............................................................................................... 66

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    Calculo de rea en el plano ..................................................................................................... 67

    Calculo de volumen ................................................................................................................. 69

    Calculo de masa ....................................................................................................................... 69

    rea de superficies en el espacio ............................................................................................ 69

    Unidad XV Teoremas ................................................................................................................ 71

    Teorema de Green .................................................................................................................. 72

    Calculo de rea con teorema de Green .......................................