Analisis Matematico

Maestrıa en Ing. Electronica

Capitulo I

Introduccion

D.U. Campos-Delgado

Facultad de Ciencias

UASLP

Agosto/2019

1

CONTENIDO

Operadores

Estructura del plano

Metodo axiomatico

Demostraciones

2

Operadores

•Muchos aplicaciones en ingenierıa y ciencias

pueden ser analizadas o visualizadas como ca-

jas negras.

CAJA NEGRA

Entrada Salida

• Se ingresa un elemento de entrada y la caja

negra proporciona una salida.

• La pregunta natural es como procesa / trans-

forma/ mapea la entrada la caja negra y con

que caracterısticas, ası como que tipos de va-

riables de entrada y salida se contemplan.

• Ejemplos:

⋄ Caıda libre de una partıcula,

3

⋄ Motor electrico,

⋄ Transductor de temperatura,

⋄ Amplificador de audio,

⋄ Motor de combustion en un automovil. �

• Una caja negra operador que transforma

una entrada en una salida.

• Para entender su respuesta, es importante

estudiar la estructura matematica de los ope-

radores.

• Pueden ser vistos como transformaciones,

funciones, mapeos o aplicaciones entre es-

pacios lineales con norma.

⇒ Se engloban a:

Ecuaciones matriciales,

Ecuaciones integrales y diferenciales,

Ecuaciones en diferencias y

Procesos aleatorios.

Estructura del Plano

Tomar el ejemplo del plano Euclideano en 2

dimensiones

x=x1x

2

0 x1

x2

Estructura Teorica de Conjuntos

• El plano es un conjunto de pares ordenados

de numeros reales x =

[

x1x2

]

• Denotar el conjunto como R2 (El orden es

importante !!!)

Estructura Topologica

• Se relaciona al concepto de distancia

• Definir la distancia d entre 2 puntos x y y:

d(x,y) =√

(x1 − y1)2 + (x2 − y2)

2 ∀x,y ∈ R2

• R2 + concepto de distancia ⇒ espacio metri-

co

4

Estructura Algebraica

• Esta relacionada con las operaciones de su-

ma y multiplicacion escalar

x+ y =

[

x1 + y1x2 + y2

]

∀x,y ∈ R2

αx =

[

αx1αx2

]

∀α ∈ R

• R2 + suma y escalamiento ⇒ espacio lineal

Estructura Combinada Topologica y Alge-

braica

• La asociacion se logra a traves del concepto

de norma o longitud de vectores

‖x‖ =√

x21 + x22

⇒ d(x,y) = ‖x− y‖ & ‖αx‖ = |α|‖x‖• R2 + suma y escalamiento + magntitud ⇒espacio normado

5

Estructura Geometrica

• Combinacion de las propiedades topologicas,

algebraicas o ambas.

• La norma de manera adicional puede ser ge-

nerada a traves del producto interno.

< x,y >= y⊤x =

[

y1 y2]

[

x1x2

]

= x1y1+x2y2

⇒ ‖x‖ =√< x,x >

• Existen otras normas las cuales no son gene-

radas por un producto interno.

• R2 + suma y escalamiento + producto in-

terno ⇒ espacio de producto interno

y

x

||x|

|

||y||

0

d(x,y)

<x,y>

||y||

6

Metodo Axiomatico y Abstraccion

Axioma o postulados : proposiciones que se

asumen como verdaderas pero no pueden

ser probadas dentro de la teorıa.

Ejemplo: algunos axiomas de la geometrıa

Euclideana ⇒ (a) cualquier par de puntos

pueden ser unidos por una lınea recta, (b)

cualquier cırculo puede ser dibujado a partir

de un centro y radio dado, (c) cualquier

segmento de recta puede ser extendido a

una lınea recta. �

7

Definicion : es el nombre que se le asigna a

una proposicion, de modo que cuando sea

necesaria dicha proposicion, se pueda sus-

tituir por el nombre dado.

Ejemplo: “un numero natural es primo si y

solo si sus unicos divisores son 1 y el mis-

mo”. �

Teorema : son los resultados de la teorıa y,

por tanto, el objetivo de las matematicas.

Es un razonamiento logico en el cual las

premisas son axiomas de la teorıa o bien

otros teoremas ya probados, y la conse-

cuencia es otra proposicion relativa a la

teorıa.

Ejemplo 1: “si m y n son primos, entonces

su mınimo comun multiplo es m× n.” �

Ejemplo 2: “una matriz A ∈ Rn×n es in-

vertible, si y solo si, su determinante es

diferente de cero det(A) 6= 0.” �

8

Corolario : consecuencia inmediata de un re-

sultado ya probado.

Ejemplo: “el sistema de ecuaciones lineales

Ax = b tiene solucion si det(A) 6= 0”. �

Lema : un teorema corto usado como un re-

sultado preliminar utilizado en la construc-

cion de un teorema formal.

Ejemplo:“cuando ac es divisible por un nume-

ro b, que es primo relativo a c, entonces a

debe ser divisible por b.” �

Conjetura : una proposicion que es consisten-

te con datos conocidos, pero que no ha si-

do verificada o mostrado que sea falsa.

Ejemplo: “un numero n es primo ⇔ se sa-

tisface que 2n − 2 es divisible por n.” �

9

Demostraciones

⇛ Se basan en leyes de la logica.

⇛ Existen 2 tipos de implicaciones:

i. “Si A entonces B”: si A es valido o ver-

dadero, entonces B es valido o verdadero

(“A ⇒ B”). Se le conoce como condicion

suficiente.

Ejemplo: Si a es un entero par, entonces

a2 es un entero par. �

ii. “A, si y solo si, B”: equivalente a “Si A

entonces B” y “Si B entonces A” ( “A ⇔B”). Su demostracion involucra la prueba

de ambas hipotesis (A ⇒ B y B ⇒ A).

Se le conoce como condicion necesaria y

suficiente.

Ejemplo 1: x2+2bx+c ≥ 0 ∀x ∈ R y b, c ∈ R,

si y solo si, b2 − c ≤ 0. �

Ejemplo 2: un numero entero es divisible

entre 9, si y solo si, la suma de sus dıgitos

tambien es divisible entre 9. �

10

Demostraciones de Teoremas

⇛ Los resultados que contemplan implicacio-

nes “si y solo si” son muy valorados en ma-

tematicas.

⇛ Si se logra demostrar que A ⇒ B, entonces

se busca como encontrar las condiciones para

B ⇒ A, y se logra entonces A ⇔ B,

⇛ Otros ejemplos de implicaciones si y solo si:

Ejemplo 3: un numero entero es divisible entre

4, si y solo si, sus dos ultimos digitos forman

un numero divisible entre 4. �

Ejemplo 4: dados dos numero enteros m y n,mostrar que m3 − n3 es par, si y solo si, m− nes par. �

Ejemplo 5: mostrar que un triangulo tiene la-

dos de igual magnitud, si y solo si, sus anglos

internos son iguales. �

⇛ En la practica (leyes, medicina, fısica expe-

rimental, etc.), ¿como se realizan las demos-

traciones?

11

Primeramente dado un argumento A, ya sea A

o No A deben ser ciertos de inicio.

La implicacion A ⇒ B es equivalente a No B ⇒No A.

⇛ Existen 3 tecnicas basica:

1. Demostracion directa: para demostrar A ⇒B, se asume A y entonces se deriva la condicion

B.

Una manera de contradecir o verificar que no

es cierta A ⇒ B, es considerar un caso en que

dado A no se cumple B → contra-ejemplo.

Ejemplo 1: probar x ≥ 0 ⇒ x < ex.

Demostracion: asumir de inicio que x ≥ 0.

Definir f(x) , x y g(x) , ex ⇒ se cumple

f(0) < g(0) y ademas

f ′(x) < g′(x) ∀x > 0.

Entonces al integrar la expresion anterior de 0

a x, se obtiene

f(x)− f(0) < g(x)− g(0)

y se concluye que f(x) < g(x). �

12

Ejemplo 2: Si a es un entero par, entonces a2

es un entero par.

Demostracion: asumir que a es un entero par

⇒ ∃n ∈ Z tal que a = 2n. Por lo tanto, se

cumple que a2 = 2(2n2), y en consecuencia a2

tambien es par. �

Ejemplo 3: Si a, b, c ∈ Z, a divide a b, y a divide

a c, entonces a divide a b+ c.Demostracion: Considerando que a, b, c ∈ Z y

asumiendo que ∃j ∈ Z tal que b/a = j y ∃k ∈ Z

tal que c/a = k

⇒ b/a+ c/a = (b+ c)/a = j + k ∈ Z.

�

Ejemplo 4: Demostrar que la suma de 2 nume-

ros racionales es otro numero racional.

Demostracion: ∀a, b ∈ Q se cumple que ∃p, q, r, s ∈Z tal que a = p/q y b = r/s.

⇒ a+ b =p

q+

r

s=

ps+ rq

qs

donde ps+rq ∈ Z y qs ∈ Z, por lo que a+b ∈ Q.

�

13

Ejemplo 5: Para dos enteros a y b, a + b es

impar, si y solo si, uno de los 2 enteros, a o b

es impar.

Demostracion: ⇒ Asumir que a+ b es impar,

entonces ∃k ∈ Z tal que a+ b = 2k+1, es decir

a = 2k + 1− b. Asumir que b es par, entonces

∃j ∈ Z tal que b = 2j, y al sustituir

a = 2k +1− 2j = 2(k − j) + 1

como k − j ∈ Z, se concluye que a es impar.

⇐ Asumir que a es impar y b es par, es decir

∃k ∈ Z tal que a = 2k + 1, y ∃j ∈ Z tal que

b = 2j.

⇒ a+ b = 2(k + j) + 1

Por lo tanto, a+ b es impar. �

14

2. Demostracion por contradiccion: se basa

en la equivalencia logica entre “si A, entonces

B” y ”si no B, entonces no A”. Para probar

A ⇒ B, primero se asume A y no B, y entonces

se concluye una contradiccion.

Ejemplo 1: probar que√2 es un numero irra-

cional.

Demostracion: asumir que√2 ∈ Q ⇒ ∃p, q ∈ Z

sin divisores comunes tal que p/q =√2. Por

lo tanto, p =√2q y en consecuencia p2 es un

numero par. Sin embargo, como 2 es un nume-

ro primo, p tambien debe ser par. Por lo que p2

es divisible entre 4 y por este motivo q tambien

es un numero par. De esta manera, se llega a

un contradiccion, pues se tiene que p y q son

pares, i.e. tienen como factor comun el 2; y se

concluye que la suposicion inicial es incorrecta.

�

15

Ejemplo 2: Demostrar que no existen solucio-

nes enteras positivas a la ecuacion x2−y2 = 1.

Demostracion: Utilizando el principio de con-

tradiccion, asumir que existe una solucion (x, y)

donde x y y son enteros positivos. En este ca-

so, se puede factorizar la ecuacion

x2 − y2 = (x+ y)(x− y) = 1.

Como x y y son enteros, entonces se debe cum-

plir

x+ y = 1 & x− y = 1

o

x+ y = −1 & x− y = −1.

Sin embargo, al sumar ambas ecuaciones en el

primer caso, se tiene que x = 1 y y = 0, y

para el segundo caso, x = −1 y y = 0; lo que

contradice la suposicion inicial de que ambos

valores (x, y) son enteros positivos.�

16

3. Demostracion por induccion: se basa en

el Principio de Induccion tomar a no como

un numero entero no-negativo, y suponer que

la propiedad P cumple

P(no) es cierta, es decir no cumple la pro-

piedad P .

Para cada entero k ≥ no, la siguiente con-

dicion se satisface: Si P(n) es verdad para

todo n que cumpla no ≤ n ≤ k, entonces

P(k +1) es tambien verdad.

⇒ P(n) se cumple para todo entero n ≥ no.

De esta forma para demostrar que todo n ≥ no

tiene la propiedad, es suficiente demostrar (a)

(paso de induccion) que para no se cumple, y

enseguida mostrar que (b) (hipotesis de induc-

cion) si para cada entero desde no hasta k ≥ no

se tiene la propiedad, entonces k + 1 tambien

la debe cumplir.

17

Ejemplo: probar que

Sn = a+ ar + . . .+ arn−1 =n−1∑

j=0

arj = a1− rn

1− r

donde n = 1,2, . . ..

Demostracion: (a) Considerar n = 1,

S1 = a & a1− r1

1− r= a.

Por lo que se cumple la formula.

(b) Asumir que se cumple el resultado para

n = m, es decir

Sm =m−1∑

j=0

arj = a1− rm

1− r.

(c) Considerar ahora n = m+1,

Sm+1 =m∑

j=0

arj =m−1∑

j=0

arj + arm = Sm + arm

= a1− rm

1− r+ arm = a

1− rm+1

1− r,

con lo que se demuestra la formula. �

18

Tarea # 1

Ejercicios 2,4,5, y 6 (Paginas 9 y 10 del Libro

de Texto)

19