Analisis Mecanismo Cuatro Barras
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Universidad de GuanajuatoDivisión de Ciencias de la vida
Campus Irapuato-Salamanca
Análisis y síntesis de mecanismos
Mecanismo de cuatro barras
Profesor:M.C. Adrian Flores Ortega
Por:
Vargas Ramos Julio César
Introducción.
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
El mecanismo de cuatro barras es la cadena cinemática cerrada más
simple de eslabones unidos con un simple grado de libertad.
Mecanismos más complejos pueden ser reinventados y mejorados por
medio del uso de un mecanismo de cuatro barras que maneje algún o
algunos otros.
Debido a esta propiedad, y debido a la amplia variedad de
movimientos los cuales pueden ser generados directamente por
mecanismos de cuatro barras, ellos son a menudo encontrados en el
corazón de máquinas y subsistemas tales como prensas, máquinas
transportadoras, mecanismos de retornos rápidos, computadoras
análogas y generadores de funciones. El estudio del mecanismo de
cuatro barras está bien justificado no sólo debido a sus diferentes
aplicaciones directas, si no también debido a que la mayoría de los
problemas básicos encontrados en diversos mecanismos generales
llegan a ser más simples y más entendibles en la aplicación del
mecanismo de cuatro barras.
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
Objetivo.
Identificar para un ciclo completo la posición, velocidades y
aceleraciones que se presentan en el mecanismo y graficar los datos
obtenidos para observar el comportamiento de dicho mecanismo en
una ciclo completo.
Análisis.
Para poder comprender lo que pasa cuando la manivela cumple con
un ciclo completo, primero se hizo un análisis de posiciones,
velocidades y aceleraciones que genera el mecanismo, a partir del
movimiento constante en la manivela.
Análisis de posición del mecanismo de
cuatro barras.
Para el mecanismo de cuatro barras mostrado en la figura 1, sea a, b,
c y d las literales que denoten las longitudes de los eslabones 1, 2, 3
y 4, respectivamente. El eslabón fijo a es considerado el eslabón 1.
Los ángulos θ2 , θ3 yθ4 denotan la posición angula de los eslabones 2, 3
y 4 respectivamente, y son considerados positivos cuando se miden
en el sentido contrario de las manecillas del reloj, como se muestra.
La longitud de la diagonal desde A hasta D es denotada por s el
ángulo que esta hace con la línea OD es indicado como β. El eslabón
2 es considerado como el eslabón de entrada o manivela y su
posición angular θ2 que es conocido.
Los ángulos θ3 yθ4 pueden ser encontrados como prosigue. Considere
el triangulo OAD Entonces:
s=√a2+b2−2abcos θ2
Para β
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
β=arc sen ( bssenθ2)
Triangulo ABD
ψ=arc cos( c2+s2−d22cs )Paraλ
λ=arc sen( cd senψ )Entonces observando el comportamiento del mecanismo se pueden
obtenerlo los valores de θ3 yθ4 obteniendo entonces:
θ3=ψ−β
θ4=360−(λ+β)
Análisis de la velocidad del mecanismo de
cuatro barras.
Para encontrar las ecuaciones de velocidad se representa una
ecuación de lazo vectorial la cual después se representa en una
ecuación con notación compleja “números complejos” teniendo
entonces:
b+c+d=a
Representando cada vector en la propiedad de euler tenemos:
a=ae iθ1
b=be iθ2
c=ce iθ3
d=d eiθ4
Sustituyendo…
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
(b eiθ2+c eiθ3+d eiθ4=a ) ddt
Derivando con respecto al tiempo obtenemos:
biω2 eiθ2+ciω3e
iθ3+diω4 eiθ4=0
Separando en su parte real e imaginaria tenemos:
−bω2 senθ2−cω3 senθ3−d ω4 senθ4=0
bω2cos θ2+c ω3 cosθ3+d ω4 cosθ4=0
Se resolvió el sistema de ecuaciones para ω3 y ω4 quedando
ω3=−bsen δc sen ϵ
ω2
ω4=bsen γd sen ϵ
ω2
Donde:
δ=(θ2−θ4)
γ=(θ3−θ4)
ϵ=(θ2−θ3)
Para calcular la velocidad del eslabón b, c o d solo se
despejó el eslabón que queremos conocer y obtenemos la
velocidad tangencial.
v2=bω2 (−senθ2+cosθ2 )
v3=c ω3 (−sen θ3+cosθ3 )
v4=dω4 (−senθ4+cosθ4 )
Análisis de la aceleración del mecanismo de
cuatro barras.
Para el análisis de las aceleraciones se tomó la ecuación de velocidad
obtenida en el apartado anterior y se le saco la segunda derivada
teniendo como resultado ecuaciones para cada eslabón:
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
aa=0
ab=−b ω22 (cosθ2+sen θ2 )
ac=c¿
ad=d¿
Posteriormente se obtuvieron las ecuaciones para las velocidades
angulares teniendo:
α 3=ω3ω2α2−
bω22cos δ+cω3
2 cos ϵ+dω42
c senϵ
α 4=ω4ω2α2+
bω22 cos γ+c ω3
2+d ω42cos ϵ
dsenϵ
Nota: cuando la velocidad angular en el eslabón dos es constante, la
aceleración angular en ese mismo eslabón es cero.
Resultados.
Después de que se determinaron las ecuaciones de posición, velocidad y
aceleración de los eslabones b, c y d se realizó en Excel una tabla para
observar el comportamiento del mecanismo a nivel grafico.
En el presente reporte solo se presenta el comportamiento del mecanismo
para cuatro posiciones de θ2, estas posiciones se distribuyeron una en cada
cuadrante, obteniendo lo siguiente:
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
POSICIONESvelocidad angular
en rad/seg
velocidad tangencial en m/seg
aceleración angular rad/seg2
aceleración en m/seg2
Ɵ2 (grados
)
t(s) Ɵ3rad
Ɵ4rad
ω3 ω4 v2 v3 v4 α3 α4 a2 a3 a4
10
0,0025591
4
1,13624537
1
5,25028702
9
33,3102314
9
-25,7650697
7
165,963152
4
-113,334476
5
-282,615910
5
2562,83963
9
-448,919031
9
-16164,7743
1
-19034,8468
5
-3084,24822
3
110
0,0281505
4
0,51845832
2
5,37891533
7
-9,25619267
8
25,6624344
2
-262,238980
5
-24,1706745
8
288,288410
1
1143,05945
9
449,743518
9
-8339,67410
9
2166,74808
5
5935,96064
210
0,0537419
4
0,72480032
6
5,87973231
5
116,988219
9
115,649686
3
-74,8864021
7
70,1368836
7
1214,1434
-3397,53787
1
-1914,84888
19061,1797
7
-137275,109
6
-76503,5707
5
350
0,0895698
9
1,28385059
5
5,39789059
9
19,1905213
6
-21,2660297
7
237,017712
7
-90,8214514
-239,398159
2
2082,01271
6
613,373137
4
-11318,9245
-13055,5212
2
7415,20447
5
Tabla1.Resultados del análisis del mecanismo de 4 barras, obtenidos en Excel.
A partir de estos datos se obtuvieron las gráficas, para observar el
comportamiento en el plano, del mecanismo de cuatro barras.
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
1
2
3
4
5
6
7
VELOCIDAD ANGULAR (ω) para r2, r3 y r4
Ɵ2 (rad)Ɵ3 (rad)Ɵ4 (rad)
Tiempo (t)
θx (r
adia
nes)
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
0 1 2 3 4 5 6 7
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
VELOCIDAD DE (A)
θ2 (rad)
V2 m
/s
0 1 2 3 4 5 6 7
-5000
-4000
-3000
-2000
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
VELOCIDAD DE (B)
θ2(rad)
V3
m/s
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
aceleración angular de (B)
Tiempo(s)
velo
cida
d an
guar
ω3
(rad
/s)
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
0 1 2 3 4 5 6 7
-80000
-60000
-40000
-20000
0
20000
40000
60000
80000
VELOCIDAD DE (D)
θ2 (rad)
V4 m
/s
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-8000
-6000
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
Aceleración angular de (D)
Tiempo (s)
velo
cidad
ang
ular
ω4
(rad
/s)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-400-300-200-100
0100200300400
Aceleración de (A)
Tiempo(s)
velo
cidad
V2
(m/s
)
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-5000-4000-3000-2000-1000
010002000300040005000
Acelerción de (B)
Tiempo(s)
velo
cida
d v3
(m/s
)
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
-80000-60000-40000-20000
020000400006000080000
Aceleración de (D)
Tiempo (S)
velo
cidad
v4
(m/s
)
Discusiones.
Como se pudo observar en los resultados el comportamiento del las velocidades y aceleraciones en los eslabones 3 y 4 muy parecida debido al comportamiento uniforme constante del eslabón de entrada (r2). Para respaldar esto se realizó a mano un problema tomando como grado de libertad una posición en cada cuadrante (el procedimiento se anexa al final del reporte), obteniendo la siguiente tabla:
POSICIONESvelocidad angular
en rad/seg
velocidad tangencial en
m/seg
aceleración angular rad/seg2
aceleración en
m/seg2
Ɵ2 (grados)
t(s)Ɵ3rad
Ɵ4rad ω3 ω4 v2 v3 v4 α3 α4 a2 a3 a4
100,002559
14
1.13
5.02503
33.309
-25.7659
165.9632
-113.3299
-282.628
2562.339
-448.94
767
-16164.8
-19034.232
-3084.8552
1100,028150
54
0.5185
5.3788
-9.2534
25.66-
262.24
-24.154
288.255
1143.44
449.63
-8339.75
2167.34
5936.072
Análisis del mecanismo de cuatro barras.
2100,053741
94
0.72
5.88
116.95
115.62-
74.88
70.073
1213.8
-3398 -191519061.136
-137274.8
-76530.6
3500,089569
89
1,28
5,397
19,190
-21,266 237,017
-90,821
-239,39
2082 613,37-
11319
-13055,52
7415,204
Tabla1.Resultados del análisis del mecanismo de 4 barras, obtenidos en por el método de números complejos.
Conclusión.
Realizando el muestreo se concluyó que los resultados arrojados son extremadamente cercanos a los obtenidos en la hoja de cálculo de Excel por lo que se determino que el procedimiento empleado para la resolución del mecanismo de cuatro barras es correcto. Cumpliéndose así el objetivo del presente trabajo.
Análisis del mecanismo de cuatro barras.