Análisis Modal Aplicado

UNIVERSIDAD SIMN BOLVAR

COORDINACIN DE INGENIERA ELCTRICA

ANLISIS MODAL APLICADO A LA ESTABILIDAD DE VOLTAJE EN SISTEMAS DE POTENCIA

POR

PEDRO V. QUINTANA C.

TUTOR PROF: JUAN F. BERMDEZ Q.

PROYECTO DE GRADO PRESENTADO ANTE LA ILUSTRE UNIVERSIDAD SIMN BOLVAR

COMO REQUISITO PARCIAL PARA OPTAR AL TTULO DE INGENIERO ELECTRICISTA

(TOMO I)

Sartenejas, Enero 2006

iv

ANLISIS MODAL APLICADO A LA ESTABILIDAD DE VOLTAJE EN SISTEMAS DE POTENCIA

POR

PEDRO V. QUINTANA C.

RESUMEN

Se presentan cuatro mtodos para evaluar la distancia de un sistema al colapso y

los nodos que contribuyen ms en el fenmeno. El primero es el mtodo de las curvas

P-V, que provee, mediante la capacidad de carga de un sistema, de un margen de

estabilidad. Luego se tiene al mtodo de las curvas Q-V, que calcula la cantidad de

potencia reactiva necesaria para mantener un nodo a un voltaje especificado, dando pie

as otro margen de estabilidad. El mtodo principal estudiado es el anlisis modal, que

es una modificacin del anlisis de estabilidad modal ya conocido y que define un

nuevo margen de estabilidad, con el beneficio del ahorro de esfuerzo en identificar tanto

la distancia al colapso como las reas involucradas. El ltimo mtodo se puede calcular

fcilmente a partir del anlisis modal y son las sensitividades del voltaje respecto a la

potencia reactiva. Se probaron tres sistemas con los cuatro mtodos.

v

NDICE GENERAL

RESUMEN.......................................................................................................................iv NDICE GENERAL .........................................................................................................v NDICE DE FIGURAS.................................................................................................. ix NDICE DE TABLAS .................................................................................................. xiii SMBOLOS Y ABREVIATURAS............................................................................... xvii CAPTULO 1: INTRODUCCIN.................................................................................. 1

1.1 ANTECEDENTES ......................................................................................... 1 1.2 PLANTEAMIENTO ...................................................................................... 1 1.3 CONTENIDO GENERAL............................................................................. 2

CAPTULO 2: CONCEPTOS BSICOS [1], [2], [3], [4] ........................................... 3 2.1 DEFINICIN.................................................................................................. 3 2.2 COLAPSO DE VOLTAJE ............................................................................ 4 2.3 ESCALA DE TIEMPO [4] ............................................................................ 6 2.4 TEORA DE BIFURCACIN [3]. ............................................................... 6 2.5 CLASIFICACIN DE LAS BIFURCACIONES [3],[4] ............................ 7

CAPTULO 3: HERRAMIENTAS DE ANLISIS [1], [3], [4] .................................... 9 3.1 CURVAS P-V.................................................................................................. 9 3.2 CURVAS Q-V ............................................................................................. 11 3.3 ANLISIS MODAL Y SENSITIVIDAD [1], [2],[4] ................................. 14

3.3.1 MODOS DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE .............................................. 16 3.3.2 FACTORES DE CONTRIBUCIN NODALES ......................................... 19

CAPTULO 4: CASOS ESTUDIADOS........................................................................ 21 4.1 SISTEMA DE PRUEBA DE 9 BARRAS [9] ............................................. 21

4.1.1 ANLISIS A CARGA NOMINAL .............................................................. 22 4.1.2 ANLISIS A CARGA MNIMA.................................................................. 25 4.1.3 ANLISIS A DOBLE CARGA.................................................................... 27 4.1.4 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO.............................................. 29 4.1.5 GRFICAS P-V Y Q-V................................................................................ 31 4.1.6 ANLISIS A CARGA NOMINAL INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 32 4.1.7 ANLISIS A CARGA MNIMA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 34 4.1.8 ANLISIS A DOBLE CARGA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 34 4.1.9 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO......................................................................... 35

vi

4.1.10 GRFICAS P-V Y Q-V INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 37

4.2 SISTEMA DE PRUEBA DEL IEEE DE 30 BARRAS [11]...................... 39 4.2.1 ANLISIS A CARGA NOMINAL .............................................................. 39 4.2.2 ANLISIS A CARGA MNIMA.................................................................. 40 4.2.3 ANLISIS A DOBLE CARGA.................................................................... 41 4.2.4 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO.............................................. 42 4.2.5 GRFICAS P-V Y Q-V................................................................................ 43 4.2.6 ANLISIS A CARGA NOMINAL INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 45 4.2.7 ANLISIS A CARGA MNIMA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 46 4.2.8 ANLISIS A DOBLE CARGA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 47 4.2.9 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO INCLUYENDO .................. 48 COMPENSADOR CAPACITIVO......................................................................... 48 4.2.10 GRFICAS P-V Y Q-V INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 49

4.3 SISTEMA INTERCONECTADO NACIONAL DE 75 BARRAS [10] ... 50 4.3.1 ANLISIS A CARGA NOMINAL .............................................................. 50 4.3.2 ANLISIS A CARGA MNIMA.................................................................. 52 4.3.3 ANLISIS A DOBLE CARGA.................................................................... 55 4.3.4 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO.............................................. 57 4.3.5 GRFICAS P-V Y Q-V................................................................................ 59 4.3.6 ANLISIS A CARGA NOMINAL INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 60 4.3.7 ANLISIS A CARGA MNIMA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 62 4.3.8 ANLISIS A DOBLE CARGA INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 64 4.3.9 ANLISIS EN CONDICIN DE COLAPSO INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO......................................................................... 66 4.3.10 GRFICAS P-V Y Q-V INCLUYENDO COMPENSADOR CAPACITIVO........................................................................................................ 68

CAPTULO 5: ANLISIS DE LOS RESULTADOS .................................................. 69 CAPTULO 6: CONCLUSIONES................................................................................ 82 CAPTULO 7: RECOMENDACIONES ...................................................................... 84 REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS ......................................................................... 85 APNDICE A: FUNDAMENTO MATEMTICO DEL ANLISIS MODAL APLICADO A LA ESTABILIDAD DE VOLTAJE [14] ............................................. 88 APNDICE B: FACTORES DE CONTRIBUCIN NODALES.............................. 91 APNDICE C: DATOS DEL SISTEMA DE 9 BARRAS [9] ..................................... 97 APNDICE D: DATOS DEL SISTEMA DE 30 BARRAS [11] ................................. 99 APNDICE E: DATOS DEL SIN REDUCIDO (75 BARRAS) [10]........................ 102

vii

APNDICE F: RESULTADOS COMPLETOS DEL ANLISIS MODAL PARA EL SISTEMA DE 9 BARRAS........................................................................................... 106

F.1 CARGA NOMINAL ..................................................................................... 107 F.2 CARGA MNIMA ........................................................................................ 112 F.3 DOBLE CARGA........................................................................................... 116 F.4 CONDICIN DE COLAPSO........................................................................ 122

APNDICE G: ECUACIONES Y RESULTADOS DE LAS SIMULACIONES TRANSITORIAS EXTENDIDAS [6], [7], [8], [11] ................................................... 127

G.1 MOTIVACIN ............................................................................................ 127 G.2 ECUACIN DE OSCILACIN [6], [7], [11] ............................................. 128 G.2 MODELO DE LOS ENLACES DE FLUJO [6] .......................................... 128 G.3 MODELO DEL AVR (Regulador Automtico de Voltaje) [11].................. 130 G.4 MODELO DEL GOBERNADOR [11] ........................................................ 132 G.5 SIMULACIONES ......................................................................................... 134 G.5.1 SISTEMA DE 9 BARRAS........................................................................ 135

G.5.1.1 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5, A CARGA NOMINAL). ................................................ 136 G.5.1.2 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR, SIN GOBERNADOR. (FALLA 3 EN EL NODO 5, A CARGA NOMINAL). ............................................... 138 G.5.1.3 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR. (FALLA 3 EN EL NODO 5). ....................................................................................... 141 G.5.1.4 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 Y DESCONEXIN DE LA RAMA 5-7)...................... 143 G.5.1.5 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR, SIN GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 Y DESCONEXIN DE LA RAMA 5-7)...................... 145 G.5.1.6 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR CON GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 Y DESCONEXIN DE LA RAMA 5-7). ..... 147 G.5.1.7 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 EN CONDICIN DE CARGA DE COLAPSO 2,375). . 149 G.5.1.8 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (AUMENTO DE 50% EN LA CARGA DEL NODO 5, A CARGA DE COLAPSO)....................................................................................................... 151 G.5.1.9 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 EN CONDICIN DE CARGA NOMINAL). ................. 153 G.5.1.10 SISTEMA DE 9 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (AUMENTO DE 50% EN LA CARGA DEL NODO 5, A CARGA NOMINAL). ..................................................................................................... 155 G.5.1.11 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 EN CONDICIN DE CARGA DE COLAPSO 2,375). . 156 G.5.1.12 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 5 EN CONDICIN NOMINAL). ...................................... 158 G.5.1.13 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (AUMENTO DE 50% EN LA CARGA DEL NODO 5, A CARGA DE COLAPSO)....................................................................................................... 160 G.5.1.14 SISTEMA DE 9 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (AUMENTO DE 50% EN LA CARGA DEL NODO 5, A CARGA NOMINAL). ..................................................................................................... 161

G.5.2 SISTEMA DE 30 BARRAS...................................................................... 163

viii

G.5.2.1 SISTEMA DE 30 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 30). ...................................................................................... 163 G.5.2.2 SISTEMA DE 30 BARRAS SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 30, DESCONEXIN DEL NEXO 30-29, A CARGA NOMINAL). ..................................................................................................... 165 G.5.2.3 SISTEMA DE 30 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 30). ..................................................................................... 166 G.5.2.4 SISTEMA DE 30 BARRAS CON AVR Y GOBERNADOR (AUMENTO DE LA CARGA DEL NODO 30 EN 50 %, A CARGA NOMINAL). ..................................................................................................... 168

G.5.3 SIN.............................................................................................................. 169 G.5.3.1 S.I.N., SIN AVR NI GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 58)........................................................................................................................... 169 G.5.3.2 S.I.N., SIN AVR y GOBERNADOR (FALLA 3 EN EL NODO 58 CON DESCONEXIN DE A RAMA 58-31). ................................................ 171 G.5.3.3 S.I.N., SIN AVR y GOBERNADOR (CON AUMENTO DEL 50% EN LA CARGA DEL NODO 58). ......................................................................... 172

G.6 CONCLUSIONES........................................................................................ 174

APNDICE H: ANLISIS MODALES DE LOS SISTEMAS DE 9 Y 30 BARRAS AL DESCONECTAR RAMAS.................................................................................... 176

ix

NDICE DE FIGURAS Figura 1: Curvas P-V a distintos factores de potencia (atraso y adelanto), para un

sistema radial simple .............................................................................................. 10 Figura 2: Curva Q-V para el sistema radial simple (Pr se mantuvo a 350 MW)........... 13 Figura 3: Diagrama unifilar del sistema de prueba de 9 barras. .................................... 22 Figura 4: Grfica P-V del Sistema de 9 barras ............................................................. 31 Figura 5: Grfica Q-V del Sistema de 9 barras. ............................................................ 32 Figura 6: Curva P-V del sistema de 9 barras a carga nominal incluyendo compensador

en la barra 5. ........................................................................................................... 37 Figura 7: Curva Q-V del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

5. ............................................................................................................................. 38 Figura 8: Curvas P-V del sistema de 30 barras ............................................................. 43 Figura 9:Grfica P-V de nodos seleccionados del sistema de 30 barras. ...................... 44 Figura 10 Grfica Q-V de nodos seleccionados del sistema de 30 barras..................... 44 Figura 11 Curva P-V del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

30. ........................................................................................................................... 49 Figura 12: Curva Q-V del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

30. ........................................................................................................................... 50 Figura 13: Curvas P-V de todas las barras el SIN ......................................................... 59 Figura 14: Curvas P-V de nodos selectos del SIN (derivado de la grfica anterior)..... 59 Figura 15: Curvas Q-V de algunas barras del SIN ........................................................ 60 Figura 16: Curva P-V del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

58. ........................................................................................................................... 68 Figura 17: Curva Q-V del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

58. ........................................................................................................................... 68 Figura 18: Curvas P-V mostrando los niveles de carga a los que se realizaron los

anlisis modales y los perfiles de tensin de cada uno d los nodos del sistema..... 73 Figura 19: Curvas P-V del sistema de 30 barras, para nodos selectos (los diez nodos

con los factores de contribucin ms altos)............................................................ 74 Figura 20: P-V del SIN, para nodos selectos (los diez nodos con los factores de

contribucin ms altos)........................................................................................... 75 Figura 21: Localizacin de los nodos dbiles del sistema de 9 barras, despus de

haber realizado el anlisis modal en cada condicin de carga. .............................. 77 Figura 22: Localizacin de los nodos dbiles del sistema de 9 barras, despus de haber

realizado el anlisis modal en cada condicin de carga. ........................................ 78 Figura 23: Localizacin de los nodos dbiles del sistema de 30 barras, despus de

haber realizado el anlisis modal en cada condicin de carga. .............................. 78 Figura 24: Diagrama unifilar del SIN, mostrando las barras dbiles del sistema...... 79 Figura 25: Mapa fsico de Venezuela mostrando las reas dbiles del sistema.Error!

Marcador no definido. Figura 26: Sistema de prueba para el Apndice B......................................................... 91 Figura 27: Sistema de 9 barras. ..................................................................................... 97 Figura 28: Sistema de prueba IEEE de 30 barras. ......................................................... 99 Figura 29: Diagrama Unifilar del SIN [10] ................................................................. 105 Figura 30: Referencia del sistema y referencia dq0 de la mquina sincrnica............ 129 Figura 31: Diagrama fasorial de la mquina sincrnica durante un transitorio........... 130 Figura 32: Diagrama de bloques del AVR (en el dominio de S)................................. 131 Figura 33: Caracterstica de velocidad en rgimen permanente del gobernador......... 133

x

Figura 34: Diagrama de bloques del AGC (en el dominio de S)................................. 133 Figura 35: Comportamiento de los ngulos de torque de las mquinas sincrnicas, para

las condiciones de simulacin del sistema descritas. ........................................... 136 Figura 36: Perfil de tensin de todos los nodos del sistema, para las condiciones de

simulacin del sistema descritas........................................................................... 137 Figura 37: Frecuencia de las mquinas del sistema, para las condiciones de simulacin

del sistema descritas. ............................................................................................ 137 Figura 38: Comportamiento de los Autovalores luego de aplicada la perturbacin, para

las condiciones de simulacin del sistema descritas. ........................................... 138 Figura 39: Comportamiento de los ngulos de torque de las mquinas sincrnicas, para




















las condiciones de simulacin del sistema descritas. ........................................... 149

xi

Figura 59: Comportamiento de los ngulos de torque de las mquinas sincrnicas, para las condiciones de simulacin del sistema descritas. ........................................... 150

Figura 60: Perfil de tensin de todos los nodos del sistema, para las condiciones de simulacin del sistema descritas........................................................................... 150

Figura 61: Frecuencia de las mquinas del sistema, para las condiciones de simulacin del sistema descritas. ............................................................................................ 151


Figura 63 Perfil de tensin de todos los nodos del sistema, para las condiciones de simulacin del sistema descritas........................................................................... 152





















xii














Figura 97: Frecuencia de las mquinas del sistema, para las condiciones de simulacin del sistema descritas ............................................................................................. 170




Figura 101: Comportamiento de los ngulos de torque de las mquinas sincrnicas, para las condiciones de simulacin del sistema descritas..................................... 172



xiii

NDICE DE TABLAS Tabla I: Clasificacin de los nodos del Sistema de prueba de 9 barras.......................... 22 Tabla II: Autovalores (AV) del sistema a carga nominal. .............................................. 23 Tabla III: Matriz de Autovectores derechos del sistema. ............................................... 23 Tabla IV: Matriz de autovectores izquierdos del sistema............................................... 23 Tabla V: Matriz de los factores de contribucin nodal del sistema............................... 24 Tabla VI: Factores de contribuciones nodales, por autovalor y por nodo...................... 24 Tabla VII: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................... 25 Tabla VIII: Autovalores del sistema a carga mnima. .................................................... 25 Tabla IX: Matriz de autovectores derechos del sistema de prueba de 9 barras.............. 26 Tabla X: Matriz de autovectores derechos del sistema de prueba de 9 barras. .............. 26 Tabla XI: Matriz de factores de contribucin del sistema de prueba. ............................ 26 Tabla XII: Factores de contribuciones nodales, por autovalor y por nodo. ................... 26 Tabla XIII: Sensitividad Q-V de los nodos del sistema. ................................................ 27 Tabla XIV: Autovalores del sistema a doble carga. ....................................................... 27 Tabla XV: Matriz de autovectores derechos del sistema. .............................................. 27 Tabla XVI: Matriz de autovectores izquierdos del sistema de prueba. .......................... 28 Tabla XVII: Matriz de factores de contribucin del sistema de prueba......................... 28 Tabla XVIII: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 28 Tabla XIX: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema................................ 28 Tabla XX: Autovalores del sistema cerca de la condicin de colapso.......................... 29 Tabla XXI: Matriz de autovectores derechos del sistema de prueba. ............................ 29 Tabla XXII: Matriz de autovectores derechos del sistema de prueba. ........................... 29 Tabla XXIII: Matriz de los factores de contribucin del sistema de prueba.................. 30 Tabla XXIV: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 30 Tabla XXV: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................. 30 Tabla XXVI: Autovalores seleccionados del sistema incluyendo compensador en la

barra 5. .................................................................................................................... 33 Tabla XXVII: factores de contribucin del sistema a carga nominal incluyendo

compensador en las barra 5. ................................................................................... 33 Tabla XXVIII Sensitividad del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la

barra 5. .................................................................................................................... 33 Tabla XXIX: Autovalores seleccionados del sistema a carga mnima incluyendo

compensador en la barra 5. ..................................................................................... 34 Tabla XXX: Factores de contribucin del sistema a carga mnima incluyendo

compensador en la barra 5. ..................................................................................... 34 Tabla XXXI: Sensibilidad del sistema a carga mnima incluyendo compensador en la

barra 5. .................................................................................................................... 34 Tabla XXXII: Autovalores seleccionados del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 5. ..................................................................................... 35 Tabla XXXIII: Factores de contribucin del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 5-..................................................................................... 35 Tabla XXXIV: Sensibilidad del sistema a doble carga incluyendo compensador en la

barra 5. .................................................................................................................... 35

xiv

Tabla XXXV: Autovalores seleccionados del sistema en condicin de colapso incluyendo compensador en la barra 5. .................................................................. 36

Tabla XXXVI: Factores de contribucin del sistema en condicin de colapso incluyendo compensador en las barra 5.................................................................. 36

Tabla XXXVII: Sensibilidad del sistema en condicin de colapso incluyendo compensador en la barra 5. ..................................................................................... 36

Tabla XXXVIII: Autovalores seleccionados del sistema a carga nominal. ................... 39 Tabla XXXIX: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 40 Tabla XL: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ................................ 40 Tabla XLI: Autovalores seleccionados del sistema a carga mnima. ............................. 40 Tabla XLII: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 41 Tabla XLIII: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................ 41 Tabla XLIV: Autovalores seleccionados del sistema a doble carga. ............................. 41 Tabla XLV: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 42 Tabla XLVI: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................ 42 Tabla XLVII: Autovalores seleccionados del sistema cerca de la condicin de colapso.

................................................................................................................................ 42 Tabla XLVIII: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 43 Tabla XLIX: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................ 43 Tabla L: Autovalores seleccionados del sistema a carga nominal incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 45 Tabla LI: Factores de contribucin del sistema a carga nominal incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 45 Tabla LII: Sensibilidad el sistema a carga nominal incluyendo compensador en la barra

30. ........................................................................................................................... 46 Tabla LIII: Autovalores seleccionados el sistema a carga mnima incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 46 Tabla LIV: Factores de contribucin del sistema a carga mnima incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 46 Tabla LV: Sensibilidad del sistema a carga mnima incluyendo compensador en la barra

30. ........................................................................................................................... 46 Tabla LVI: Autovalores seleccionados del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 47 Tabla LVII: Factores de contribucin del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 47 Tabla LVIII: Sensibilidad del sistema a doble carga incluyendo compensador en la barra

30. ........................................................................................................................... 48 Tabla LIX: Autovalores seleccionados del sistema en condicin de colapso incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 48 Tabla LX: Factores de contribucin del sistema en condicin de colapso incluyendo

compensador en la barra 30. ................................................................................... 48 Tabla LXI: Sensibilidad el sistema en condicin de colapso incluyendo compensador en

la barra 30. .............................................................................................................. 49 Tabla LXII: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema............................... 51 Tabla LXIII: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 51

xv

Tabla LXIV: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................ 52 Tabla LXV: Autovalores seleccionados del sistema a carga mnima. ........................... 53 Tabla LXVI: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 54 Tabla LXVII: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema............................ 54 Tabla LXVIII: Autovalores seleccionados del sistema a doble carga............................ 55 Tabla LXIX: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 56 Tabla LXX: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ............................. 56 Tabla LXXI: Autovalores seleccionados del sistema cerca de la condicin de colapso.57 Tabla LXXII: Factores seleccionados de contribuciones nodales, por autovalor y por

nodo. ....................................................................................................................... 58 Tabla LXXIII: Sensitividad Q-V de nodos seleccionados del sistema. ......................... 58 Tabla LXXIV: Autovalores seleccionados del sistema a carga nominal incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 61 Tabla LXXV: Factores de contribucin del sistema a carga nominal incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 62 Tabla LXXVI: Sensibilidad del sistema a carga nominal incluyendo compensador en la

barra 58. .................................................................................................................. 62 Tabla LXXVII: Autovalores seleccionados del sistema a carga mnima incluyendo

compensador en barra 58........................................................................................ 63 Tabla LXXVIII: Factores de contribucin del sistema a carga mnima incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 63 Tabla LXXIX: Sensibilidad del sistema a carga mnima incluyendo compensador en

barra 58. .................................................................................................................. 64 Tabla LXXX: Autovalores seleccionados del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 65 Tabla LXXXI: Factores de contribucin del sistema a doble carga incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 65 Tabla LXXXII: Sensibilidad del sistema a doble carga incluyendo compensador en la

barra 58. .................................................................................................................. 66 Tabla LXXXIII: Autovalores seleccionados del sistema en condicin de colapso

incluyendo compensador en la barra 58. ................................................................ 66 Tabla LXXXIV: Factores de contribucin del sistema en condicin e colapso

incluyendo compensador en la barra 58. ................................................................ 67 Tabla LXXXV: Sensibilidad del sistema en condicin de colapso incluyendo

compensador en la barra 58. ................................................................................... 67 Tabla LXXXVI: Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva

condicin de carga para el sistema de 9 barras....................................................... 69 Tabla LXXXVII]: Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva

condicin de carga para el sistema de 30 barras..................................................... 69 Tabla LXXXVIII Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva

condicin de carga para el SIN............................................................................... 69 Tabla LXXXIX: Valores de carga para alcanzar el colapso de los sistemas de prueba. 71 Tabla XC : Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva condicin de

carga para el sistema de 9 barras, con compensadores capacitivos conectados. .... 71 Tabla XCI: Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva condicin de

carga para el sistema de 30 barras, con compensadores capacitivos conectados. .. 71 Tabla XCII: Variaciones del autovalor de menor magnitud, a la respectiva condicin de

carga para el SIN, con compensadores capacitivos conectados. ............................ 72

xvi

Tabla XCIII: Variacin de los autovalores para los distintos niveles de carga de los sistemas de prueba, con compensadores capacitivos desconectados y conectados.72

Tabla XCIV: Clasificacin por magnitud de los factores de contribucin nodales para cada uno de los nodos del sistema de 9 barras, para cada condicin de carga. ...... 74

Tabla XCV: Clasificacin por magnitud de los factores de contribucin nodales para cada uno de los nodos del sistema de 30 barras, para cada condicin de carga. .... 75

Tabla XCVI Clasificacin por magnitud de los factores de contribucin nodales para cada uno de los nodos del SIN, para cada condicin de carga. .............................. 75

Tabla XCVII: Datos de los nodos del sistema de 9 barras ............................................. 98 Tabla XCVIII: Datos de las ramas del sistema de 9 barras ............................................ 98 Tabla XCIX: Datos de los nodos del sistema de 30 barras .......................................... 100 Tabla C Datos de las ramas del sistema de 30 barras................................................... 101 Tabla CI: Datos de los nodos del SIN .......................................................................... 102 Tabla CII: Datos de las ramas del SIN ......................................................................... 103 Tabla CIII: Nombre de las subestaciones del SIN y su nmero en la tabla de datos de

nodos (ver tabla CI) .............................................................................................. 104 Tabla CIV: Matriz de admitancias nodales del sistema de 9 barras............................. 106 Tabla CV: Matriz Jacobiana reducida para carga nominal........................................... 107 Tabla CVI: Matriz Jacobiana reducida por el mtodo de Kron para carga nominal .... 109 Tabla CVII: Autovalores del sistema para carga nominal............................................ 109 Tabla CVIII: Matriz de autovectores derechos del sistema para carga nominal .......... 110 Tabla CIX: Matriz de autovectores izquierdos del sistema para carga nominal .......... 111 Tabla CX Matriz Jacobiana reducida del sistema para carga mnima.......................... 112 Tabla CXI: Matriz Jacobiana reducida por el mtodo de Kron para carga mnima. .... 114 Tabla CXII: Autovalores del sistema para carga mnima............................................. 114 Tabla CXIII: Matriz de autovectores derechos del sistema para carga mnima........... 115 Tabla CXIV: Matriz de autovectores izquierdos del sistema para carga mnima. ....... 116 Tabla CXV Matriz Jacobiana reducida del sistema para doble carga. ......................... 116 Tabla CXVI Matriz Jacobiana reducida por el mtodo de Kron del sistema para doble

carga. .................................................................................................................... 119 Tabla CXVII: Autovalores del sistema para doble carga. ............................................ 119 Tabla CXVIII: Matriz de autovectores derechos del sistema para doble carga ........... 120 Tabla CXIX: Matriz de autovectores izquierdos del sistema para doble carga............ 121 Tabla CXX: Matriz Jacobiana reducida del sistema para la condicin de colapso...... 122 Tabla CXXI: matriz Jacobiana reducida por el mtodo de Kron del sistema para la

condicin de colapso. ........................................................................................... 124 Tabla CXXII: Autovalores del sistema para la condicin de colapso.......................... 124 Tabla CXXIII Matriz de autovectores derechos del sistema para la condicin de

colapso. ................................................................................................................. 125 Tabla CXXIV: Matriz de autovectores izquierdos del sistema para la condicin de

colapso. ................................................................................................................. 126

xvii

SMBOLOS Y ABREVIATURAS

:P Cambio incremental en la potencia

activa del nodo.

:Q Cambio incremental en la

inyeccin de potencia reactiva del nodo.

: Cambio incremental en la fase del voltaje del nodo.

:V Cambio incremental en la magnitud del voltaje del nodo.

:RP Cambio incremental en la

potencia activa del nodo (para el

jacobiano reducido).

:RQ Cambio incremental en la

inyeccin de potencia reactiva en la

barra(para el jacobiano reducido).

:R Cambio incremental en la fase del

voltaje del nodo (para el jacobiano

reducido).

:RV Cambio incremental en la

magnitud del voltaje del nodo (para el


:J Matriz jacobiana del problema de

flujo de carga.

RJ : Matriz jacobiana reducida del

problema de flujo de carga.

RKJ : Matriz jacobiana reducida a la

que se ha aplicado el mtodo de Kron.

PJ : Matriz subjacobiana P-.

PVJ : Matriz subjacobiana P-V.

QJ : Matriz subjacobiana Q-.

QVJ : Matriz subjacobiana Q-V.

PVRJ : Matriz subjacobiana P- (para el


PVRJ : Matriz subjacobiana P-V (para el


RQJ : Matriz subjacobiana Q- (para el


QVRJ : Matriz subjacobiana Q-V (para el

jacobiano reducido). T : Matriz de autovectores derechos.

xviii

1T : Matriz de autovectores izquierdos.

D : Matriz diagonal de autovectores. 1D :

Matriz inversa diagonal de autovectores

kiP : Factor de contribucin.

..SC : Condensador sincrnico.

GiP : Potencia activa generada en la

barra i.

GiQ : Potencia reactiva generada en la

barra i.

Damp : Amortiguacin de la mquina

sincrnica.

H: Constante de inercia

: Frecuencia/velocidad angular [rad/seg.]

0f : Frecuencia de la mquina (Hz.)

elP : Potencia elctrica demandad a la

mquina sincrnica.

mecP : Potencia mecnica suministrada a

la mquina sincrnica.

p : Smbolo que reemplaza a dtd .

dX : Reactancia sincrnica en el eje d.

'dX : Reactancia transitoria en el eje d.

qX : Reactancia sincrnica en el eje q.

'qX Reactancia transitoria en el eje q.

Ra : Resistencia de armadura.

'0dT : Constante de tiempo transitoria a

circuito abierto en el eje d.

'0qT Constante de tiempo transitoria a

circuito abierto en el eje q.

fV : Voltaje de campo (voltaje de la

excitatriz).

'E : Tensin interna transitoria del

generador.

'dE : Tensin interna transitoria en el eje

directo (d)d.

'qE : Tensin interna transitoria en el eje

en cuadratura (q).

'rE : Tensin interna transitoria en el eje

real.

'mE : Tensin interna transitoria en el eje

imaginario.

AVR: (Automatic Voltage Regulator)

Regulador automtico de voltaje.

refV : Voltaje de referencia.

PK : Ganancia proporcional.

xix

IK : Ganancia integral.

DK : Ganancia derivativa.

pV : Seal de voltaje controlada

(despus de ser PID)

1pV : Seal de voltaje integral.

2pV : Seal de voltaje integral.

3pV : Seal de voltaje derivativa.

RV : Seal de voltaje amplificada.

SV : Seal de voltaje del sensor.

AK : Ganancia del amplificador.

EK : Ganancia de tiempo de la

excitatriz.

AT : Constante de tiempo del

amplificador.

ET Constante de tiempo de la excitatriz.

BORNEV : Voltaje en bornes de la mquina

sincrnica.

AGC : (Automatic Generation Control)

control automtico de generacin.

G : Gobernador.

R : Regulacin.

C : Seal de diferencia de frecuencia

angular regulada.

gT : Constante de tiempo del

gobernador.

tT : Constante de tiempo de la turbina.

SEP : Sistema Elctrico de Potencia.

SIN : Sistema Interconectado Nacional.

..NC : Carga nominal.

MnC. : Carga mnima.

MxC. : Doble carga.

..ColC : Condicin de colapso.

..VA : Autovalor (autovalores).

..CF : Factor de contribucin (o

factores).

1

CAPTULO 1: INTRODUCCIN

1.1 ANTECEDENTES

El problema de la estabilidad de voltaje en sistemas multimquinas ha sido

tomado en cuenta slo en fechas relativamente recientes. El inters en el estudio de este

problema surgi en la dcada de los setenta cuando sistemas enteros salieron de

operacin en pases desarrollados.

1.2 PLANTEAMIENTO

El problema de la estabilidad de voltaje se asocia a la incapacidad del Sistema

Elctrico de Potencia (SEP) para suplir la potencia reactiva requerida con el objeto de

mantener los perfiles de tensin.

La naturaleza del fenmeno es intrnsecamente dinmica, por lo que las

simulaciones pueden tomar mucho tiempo. Por esta razn, es importante el desarrollo

de un mtodo de anlisis, que aunque aproximado, produzca resultados muy cercanos al

comportamiento del sistema con tiempos de simulacin (o de clculo) mucho menores a

los obtenidos en los estudios de estabilidad transitoria.

El mtodo utilizado es una variacin anlisis modal clsico, el cual provee de

ndices que muestran la distancia relativa al colapso, los nodos involucrados en el

fenmeno y los impactos de las medidas correctivas tomadas. El mtodo se basa en la

diagonalizacin de la matriz jacobiana reducida del problema de flujo de carga, que se

modifica por el mtodo de Kron. El mtodo permite obtener los autovalores y

autovectores izquierdo y derecho de una matriz que relacione directamente las

variaciones de voltaje con las variaciones de potencia reactiva.

2

Para validar estos resultados, se emplearon otros mtodos, tales como las

grficas P-V, Q-V, el anlisis de sensitividad y un programa comercial de simulacin de

SEP (NEPLAN). Por ltimo, se realizaron simulaciones en el tiempo de tres sistemas

de prueba (Sistema de 9 barras, Sistema de Prueba de 30 Barras del IEEE y el SIN

reducido), para verificar el comportamiento de los voltajes y autovalores, ante

perturbaciones.

1.3 CONTENIDO GENERAL

En el captulo 2 se presentan los conceptos bsicos relacionados con la

estabilidad de voltaje. En primer lugar se establece una definicin operacional del

fenmeno as como del colapso. Luego se trata el tema de las escalas de tiempo en las

que se puede observar el colapso. A continuacin, se presenta el concepto de las

grficas de bifurcacin, que es una de las teoras ms ampliamente empleadas en el

estudio de fenmenos de estabilidad cuando que se involucra al rgimen dinmico. Para

finalizar con algunos comentarios aclaratorios.

El captulo 3 se dedica a presentar los mtodos ms empleados en el estudio de

la estabilidad de voltaje: las grficas P-V y Q-V. Luego se trata el mtodo del anlisis

modal y dado su relacin, se uni al anlisis de sensitividades Q-V, para finalizar con

algunos comentarios pertinentes.

El captulo 4, por su parte, se dedica a mostrar los resultados ms importantes

obtenidos a partir de la aplicacin del anlisis modal y de simulaciones de estabilidad

transitoria extendida. El captulo 5 se dedica a analizar ms en detalle los resultados

obtenidos.

Por ltimo, los captulos 6 y 7 se dedican a las conclusiones y recomendaciones a

las que lleg, en funcin de los resultados obtenidos.

3

CAPTULO 2: CONCEPTOS BSICOS [1], [2], [3], [4]

2.1 DEFINICIN

En la actualidad, existen grupos de especialistas pertenecientes al IEEE y al

CIGRE con el objetivo de unificar, actualizar y clasificar una serie de conceptos

relacionados a la estabilidad de sistemas de energa elctrica. En base a lo anterior, no

existe todava una definicin formal y ampliamente aceptada de la estabilidad de

voltaje. Por ejemplo, una definicin coherente con las reas de control y sistemas no

lineales es [2]:

La capacidad de un sistema de alcanzar niveles de tensin fijos, mayores que cero,

en todos sus nodos despus de haber sufrido cualquier perturbacin.

Segn la definicin anterior, es posible encontrar un sistema cuyos niveles de

voltaje sean bajos desde el punto de vista operativo, pero estables esto est de acuerdo

con la definicin de estabilidad en sistemas no lineales-, ya que se considera estable si

alcanza un punto de equilibrio. Operacionalmente no es conveniente que los niveles de

tensin sean bajos.

Desde un punto de vista de vista ms general, se puede decir que la estabilidad

de voltaje tiene que ver con la capacidad de un sistema de potencia para mantener todos

sus voltajes nodales mayores a cero y operacionalmente aceptables, tanto en

condiciones normales como despus de ser sujeto a una perturbacin. Cuando un

sistema de potencia ha perdido la estabilidad en los voltajes de sus nodos, se dice que ha

ocurrido un colapso de voltaje.

4

En realidad, el fenmeno de inestabilidad de los voltajes en los nodos de un

sistema de potencia (o colapso de voltaje, como tambin se le conoce) es muy complejo,

ya que engloba a muchos de los equipos que forman al sistema y, por tanto a las

variables que describen sus respectivos comportamientos.

El colapso ocurre en sistemas muy cargados que han sido objeto de una

perturbacin, por lo que pueden presentar deficiencias en generacin de potencia

reactiva. An ms, se le asocia a la incapacidad de un sistema de potencia de satisfacer

la demanda de potencia reactiva; sta incapacidad se debe a las limitaciones en la

generacin o en su transporte de potencia reactiva. Cabe destacar que la naturaleza del

fenmeno de inestabilidad de voltaje en un sistema de potencia es fundamentalmente

dinmica.

2.2 COLAPSO DE VOLTAJE

El colapso de voltaje es tal vez el trmino que se repite con mayor frecuencia al

referirse al estudio de estabilidad de voltaje. Para explicarlo, es necesario hacer uso de

la definicin de estabilidad ante una perturbacin en un punto de operacin dado [4]:

Un punto de operacin de un sistema de potencia es estable ante pequeas

perturbaciones si, seguido a una pequea perturbacin, el sistema retorna a un punto

de operacin idntico o cercano a aqul existente antes de la perturbacin.

De este modo el punto de operacin de un sistema de potencia es estable. Ahora

bien, supngase como punto de partida que un sistema de potencia se encuentra

funcionando en un punto de operacin estable, luego, ocurre una pequea perturbacin

5

que ocasiona un pequeo transitorio para estabilizarse en un nuevo punto de operacin.

La perturbacin se debe a cambios en el sistema y si estos cambios son graduales, es

posible obtener un registro de lo cambios ocurridos en los distintos puntos de operacin

[4].

Puede suceder que a raz de uno de estos pequeos y graduales cambios el

sistema pierda estabilidad. En el colapso de voltaje la estabilidad se pierde cuando un

pequeo incremento en la carga del sistema causa que desaparezca el punto de

operacin. La situacin anterior resulta en que el sistema de potencia atravesar por un

estado transitorio caracterizado por la cada dinmica en los voltajes de los nodos del

sistema [4].

Entre los cambios que pueden dar origen a un colapso de voltaje se tienen [1]:

Incremento en la carga. Generadores, condensadores sincrnicos y SVS, que alcanzan sus lmites

de generacin reactiva.

Accin de transformadores con cambiadores de toma. Dinmicas de recuperacin de cargas. Salidas de operacin de lneas de transmisin y de generadores.

El colapso de voltaje es un proceso complejo en el que se puede observar una

cada inicialmente lenta en los voltajes, para luego presentar una cada mucho ms

rpida (pero tambin es posible que la cada en los voltajes sea abrupta). Las escalas de

tiempo en las que puede el colapso pueden variar desde los milisegundos a los

segundos (cuando la respuesta dinmica es rpida) hasta los minutos a incluso horas

(cuando la respuesta dinmica de los dispositivos es lenta) [4].

6

2.3 ESCALA DE TIEMPO [4]

La escala de tiempo en la que se puede verificar una prdida de la estabilidad de

voltaje o colapso en un sistema de potencia puede variar desde los segundos hasta horas.

Esta variacin en la escala de tiempo se debe principalmente a los distintos fenmenos

que pueden ocurrir [4]:

a. Transitorios electromecnicos: se presentan generadores, reguladores,

mquinas de induccin y elementos del sistema que empleen

electrnica de potencia (SVS o Static Var Sistems). Se encuentran en

el rango de los segundos.

b. Dispositivos de switcheo discreto, como cambiadores de toma y

limitadores de excitacin. Se encuentran en el rango de las decenas de

segundo.

c. Procesos de recuperacin de carga, que pueden durar muchos

minutos.

2.4 TEORA DE BIFURCACIN [3].

Debido a la naturaleza no lineal del colapso de voltaje, es necesario emplear

tcnicas tales como la teora de bifurcacin, con el fin de estudiarlo y encontrar maneras

de evitarlo.

La bifurcacin se refiere a cambios cualitativos en el sistema (como cuando se

pierde el equilibrio o se pasa de un estado de equilibrio a otro oscilatorio). De esta

manera, en la teora de bifurcacin se establece que se puede predecir cmo un sistema

7

pierde estabilidad (tpicamente), variando lentamente sus datos, es decir, se quiere

estudiar el sistema en el lmite de estabilidad.

Adicionalmente a los datos (que son cantidades del sistema que varan

lentamente, cambiando gradualmente las ecuaciones del sistema, como por ejemplo, el

cambio suave en la demanda reactiva en los nodos de un sistema), es necesaria la

presencia de variables de estado. Estas pueden ser las ya conocidas y usuales de

magnitud y el ngulo de fase de los voltajes nodales de un sistema u otros no tan

usuales, como los ngulos de fase y las corrientes en los devanados de un generador [3].

En los datos podran ser incluidos los ajustes de control con el objeto de

observar cmo afectan al sistema stos cambios. Las ecuaciones que describen al

sistema empleadas en la aplicacin de sta teora pueden ser diferenciales, algebraicas-

diferenciales o algebraicas [4].

2.5 CLASIFICACIN DE LAS BIFURCACIONES [3],[4]

Entre los tipos de bifurcacin que existen, es relevante mencionar slo tres de

ellas:

Bifurcaciones silla: son aquellas en las que desaparece el punto de equilibrio a medida que los datos cambian lentamente. En especial es de

inters cuando desaparece el punto de equilibrio estable, con lo que el

estado del sistema cambia dinmicamente lo que explica la cada

dinmica de los voltajes nodales durante el colapso-. Los datos de ajuste

de control se mantienen fijos [4].

Bifurcacin lmite: son bifurcaciones que aparecen cuando se representan los lmites asociados con los diversos controladores del sistema. Al igual

8

que en las bifurcaciones silla, ste tipo de bifurcacin resulta en la

desaparicin del punto de equilibrio [4].

Bifurcacin Hopf: son tpicas en sistemas de potencia y se las ha asociado a varios tipos de oscilaciones, tales como las oscilaciones

electromecnicas. El punto de equilibrio pasa a ser oscilatoriamente

inestable, cuya consecuencia son ya sean oscilaciones estables u

oscilaciones transitorias crecientes [4].

Basndose en las caractersticas de los elementos de un sistema de potencia, es

posible identificar las principales causas de problemas en la estabilidad de voltaje [2],

[4]:

La carga en las lneas de transmisin es muy alta, con lo que se alcanza o se est muy cerca del lmite de transmisin de potencia reactiva por las

lneas.

Las fuentes de voltaje se encuentran muy lejos de los centros de carga. El nivel de voltaje de las fuentes es muy bajo. Se ha alcanzado el lmite de generacin reactiva en los generadores. La compensacin reactiva es muy baja.

Cabe destacar que el problema de perfiles de voltaje nodales bajos se considera

como un problema distinto al de estabilidad de voltaje.

9

CAPTULO 3: HERRAMIENTAS DE ANLISIS [1], [3], [4]

Se estudiarn los cuatro mtodos ms usados en la actualidad para realizar el

estudio de estabilidad de voltaje.

3.1 CURVAS P-V

Estas curvas son el resultado de resolver repetidamente el problema de flujo de

carga, a medida que se incrementa discretamente la demanda ya sea en una de las cargas

del sistema o en todas las cargas del sistema. En general, al incrementar slo una de las

cargas, cualquiera de las presentes en el sistema puede ser elegida, pero la prctica

generalizada al construir este tipo de curvas es la de variar todas las cargas del sistema

al mismo tiempo a factor de potencia constante o no-. Las variables a graficar son los

voltajes en los nodos del sistema y la demanda de la carga, que se puede expresar en por

unidad o en por ciento.

Debido a que la magnitud del voltaje en cualquier nodo del sistema es una

variable de estado y la demanda en la carga es un dato, estas curvas son en realidad

diagramas de bifurcacin silla-, que se conocen tambin con el nombre de curvas de

nariz.

En la prctica son muy utilizadas ya que muestran el punto de colapso y la

mxima demanda que puede soportar antes que esto ocurra es un ndice de la

cargabilidad del sistema-. En la figura 1 se muestran distintas curvas P-V a distintos

factores de potencia tanto en adelanto como en atraso. En la rodilla de estas curvas se

encuentra el punto crtico o de bifurcacin, ya que es la frontera entre las zonas de

operacin estable (rama superior de la grfica) y la zona inestable (rama inferior de la

grfica). Es este punto crtico el que seala la mxima cargabilidad y donde el flujo de

carga deja de converger.

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4Caracteristicas P-V de un sistema radial simple a distintos f.p.

0.9 atr.0.95 atr. 1.0

0.95 ad.

0.9 ad.

Puntos criticos

Vca

rga

Pcarga

zona inestable

zona estable

Figura 1: Curvas P-V a distintos factores de potencia (atraso y adelanto), para un sistema radial simple

Para entender la diferencia entre la zona de estabilidad de la zona de

inestabilidad es necesario analizar alguna de las curvas mostradas en la figura 1.

Tmese, por ejemplo, la curva con factor de potencia 1. En la rama superior se observa

que al aumentar la potencia demandada por la carga, el voltaje del nodo al que se

encuentra conectada, disminuye efectivamente sucede en los sistemas reales-. Por su

parte para la rama inferior se observa que al aumentar la demanda de la carga, el voltaje

en el nodo aumenta, es contrario a lo que debe suceder. Es por estos comportamientos

11

que se puede distinguir entre las zonas de estabilidad e inestabilidad de voltaje en un

sistema.

Basado en este mtodo existe un margen de estabilidad de voltaje, que se

define como el incremento en la carga desde el punto de operacin de partida hasta el

punto crtico de estabilidad. Es importante destacar que se puede medir la cargabilidad

de tres maneras [4]:

1. Los MVA del sistema completo.

2. Los MVA de un solo nodo.

3. Si el incremento de la carga se efecta a factor de potencia constante,

entonces se pueden utilizar slo los MW ya sean del sistema

completo o de un solo nodo.

Para evitar confusiones a la hora de construir las curvas P-V, es importante tener

en cuenta lo siguiente [4]:

1. Siempre se deben identificar las variables de estado y los datos del

sistema.

2. No siempre las curvas de nariz son curvas de bifurcacin, es decir,

el punto crtico no siempre se corresponde con un punto de

bifurcacin silla. Por esta razn se debe tener cuidado que la

magnitud del voltaje en los nodos y sobre todo la potencia activa

demandada por las cargas del sistema, aparezcan en las ecuaciones de

flujo de carga como variables de estado y datos respectivamente.

3.2 CURVAS Q-V

Una manera alternativa de realizar el anlisis de estabilidad de voltaje es

mediante el uso de las curvas Q-V. Bajo esta metodologa, se busca la compensacin

12

reactiva (hipottica) necesaria para mantener un nivel predeterminado de voltaje en una

barra.

El procedimiento para construir una curva Q-V es el siguiente [4]:

1. Se coloca un condensador sincrnico ficticio con capacidad para suplir

potencia reactiva infinita en el nodo de carga estudiado.

2. Se vara el voltaje del nodo en estudio, en pasos discretos, desde Vmn

hasta Vmx, manteniendo constante la demanda de potencia activa.

3. Para cada uno de los voltajes, se resuelve un flujo de carga,

calculndose la inyeccin de potencia reactiva del condensador

sincrnico ficticio.

4. Se grafica la inyeccin de potencia reactiva del condensador contra el

voltaje.

Al igual que en el caso de las curvas P-V, se define un margen de estabilidad.

Este viene dado por la potencia reactiva absorbida por el compensador sincrnico,

mientras mayor sea esta potencia, mayor ser el margen de estabilidad. En la figura 2 se

muestra una curva Q-V. El punto inferior de la curva es el punto crtico y a partir de este

punto hasta el nivel de cero potencia reactiva (no absorbe o inyecta potencia reactiva al

nodo en estudio) se mide el margen de estabilidad. Si el punto crtico sobrepasa el nivel

de cero potencia reactiva, el sistema es potencialmente inestable. As mismo, este punto

crtico tambin sirve de frontera entre los estados estable e inestable (a la izquierda del

punto es inestable, a la derecha del punto es estable), pero se debe tener en cuenta que

en la rama estable tambin se puede presentar el fenmeno de inestabilidad, cuando la

variacin de la potencia reactiva con respecto al voltaje sea muy alta (pendiente muy

grande) [4].

13

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

Qin

yect

ada

en M

VA

r

Vcarga en pu

Caracteristica Q-V de un sistema radial simple (Pcarga = 350 MW)

zona instable zona estable

margen de estabilidad

Figura 2: Curva Q-V para el sistema radial simple (Pr se mantuvo a 350 MW).

Los mtodos presentados hasta el momento poseen ventajas y desventajas que

deben ser tomadas muy en cuenta a la hora de ser aplicadas en anlisis de un sistema.

Las curvas P-V se basan en la solucin del flujo de carga, por esta razn slo es

posible calcular la rama superior (zona estable) de la curva. Para calcular la rama

inferior (zona inestable) es necesario hacer uso del flujo de carga continuado,

advirtindose que no es necesario su empleo (flujo de carga continuado), para calcular

los mrgenes de estabilidad de voltaje.

As mismo, las curvas P-V muestran cunta carga puede soportar el sistema

antes de colapsar, lo que se constituye en una medida de la seguridad de voltaje o

margen de estabilidad del sistema.

Las curvas Q-V usualmente muestran las zonas de inestabilidad y estabilidad al

mismo tiempo, por lo que es difcil que tengan problemas de convergencia.

14

Adicionalmente, se obtienen aproximadamente los requerimientos de compensacin

reactiva.

Pero, debido al mtodo de las curvas Q-V requiere que se inyecte potencia

reactiva en un solo nodo a la vez y a las no linealidades de esta inyeccin, se van a

encontrar divergencias entre los valores calculados y los que se podran medir en un

Sistema de Potencia. Se deberan calcular las curvas de todos los nodos del sistema para

obtener una imagen completa de los mrgenes de estabilidad de voltaje de cada nodo

y el peor de ellos se convertir en el margen de estabilidad del sistema.

3.3 ANLISIS MODAL Y SENSITIVIDAD [1], [2],[4]

Como ya se mencion, la estabilidad de voltaje es un fenmeno dinmico y debe

ser estudiado empleando las tcnicas respectivas. Sin embargo, el tiempo requerido para

realizar los clculos y obtener resultados pueden ser relativamente grandes (en el orden

de minutos y horas). El anlisis modal se clasifica como un anlisis de estabilidad

dinmica y ste se puede comparar con la toma de una fotografa instantnea de las

condiciones del sistema en un momento de tiempo.

La principal ventaja del mtodo consiste en que muestra aunque slo es una

muy buena aproximacin debido a las linealizaciones que se realizan-, la sensitividad

del voltaje en todos los nodos del sistema (mientras no sean barra de referencia angular

o las barras de voltaje regulado) con respecto a la potencia reactiva demandada en cada

uno de dichos nodos. El tiempo de clculo se ve reducido en gran medida.

Empleando la tcnica de las curvas Q-V, el anlisis se debe realizar barra por

barra y resolviendo de forma repetida el problema de flujo de carga. As, es crtica la

seleccin tanto de los nodos como de su nmero, para obtener informacin

significativa. Para lograr una solucin a ese problema, se puede emplear el anlisis

modal, pues es posible identificar los nodos propensos a la inestabilidad.

15

Para ilustrar el mtodo modal, las ecuaciones de flujo de carga se pueden

expresar de la siguiente forma [2]:

=

VJJJJ

QP

QVQ

PVP (1)

Donde:

=P Cambio incremental en la potencia activa del nodo.

=Q Cambio incremental en la inyeccin de potencia reactiva del nodo.

= Cambio incremental en la fase del voltaje del nodo. =V Cambio incremental en la magnitud del voltaje del nodo.

Si se emplea el modelo del flujo de carga convencional, la matriz jacobiana es la

misma que se emplea cuando se resuelven las ecuaciones de flujo de carga por el

mtodo de Newton-Raphson.

Luego, para resolver el problema de flujo de carga, se reducen las ecuaciones de

la forma ya conocida (eliminando las filas y las columnas correspondientes a la barra de

referencia angular y a las barras de voltaje regulado) y se obtiene [2]:

=

R

R

QVRRQ

PVRRP

R

R

VJJJJ

QP

(2)

Donde:

= RP Cambio incremental en la potencia activa del nodo.

= RQ Cambio incremental en la inyeccin de potencia reactiva en la barra.

= R Cambio incremental en la fase del voltaje del nodo.

= RV Cambio incremental en la magnitud del voltaje del nodo.

La matriz jacobiana as obtenida se conoce como matriz jacobiana reducida.

La ecuacin (2) puede ser reescrita (ver Apndice A) como [2]:

16

=

R

R

QVRRQ

PVRRP

R VJJJJ

Q

0 (3)

Al aplicar el mtodo de reduccin de Kron a (3), se obtiene (no se colocar en lo

sucesivo el subndice R, ya que se supone que se est trabajando con las ecuaciones de

flujo de carga reducidas):

[ ] VJJJJQ PVPQQV = 1 (4) en forma reducida:

VJQ RK = (5)

donde

PVPQQVRK JJJJJ1= (6)

Para evitar confusiones, J es la matriz jacobiana del sistema, JR es la matriz

jacobiana reducida y JRK es la matriz jacobiana reducida por Kron del sistema. Esta

ltima matriz relaciona directamente la magnitud de los voltajes en los nodos y las

inyecciones de potencia reactiva en ellos (las ecuaciones (4), (5) y (6) son obtenidas en

el Apndice A).

3.3.1 MODOS DE ESTABILIDAD DE VOLTAJE

Al diagonalizar la matriz jacobiana reducida por Kron, se obtiene [2]:

1= TDTJ RK (7)

Donde:

T = matriz de autovectores derechos de JRK.

T-1 = matriz de autovectores izquierdos de JRK.

17

D = matriz diagonal del los autovalores de JRK.

Se puede rescribir (7) como:

111 = TDTJ RK (8)

La ecuacin (5) se puede rescribir como:

QJV RK = 1 (9)

Sustituyendo (8) en (9):

QTDTV = 11 (10)

o

QTT

Vi

ii =

1

(11)

Donde iT es la i-sima columna de la matriz de autovectores derechos de RKJ y

1iT es la i-sima fila de la matriz de autovectores izquierdos de RKJ . Cada autovalor

i , con sus correspondientes autovectores izquierdo y derecho definen el i-simo modo del sistema [2].

Al estar normalizados los autovectores derecho e izquierdo lo que es usual-,

presentan la peculiaridad que su suma es uno. As, la i-sima variacin modal de voltaje

se puede escribir como [2]:

mii

mi QV = 1 (12)

De lo anterior se desprende que al ser los elementos de iT y 1

iT menores a uno,

el factor que escala las variaciones de voltaje es el inverso del i-simo autovalor. Si i es igual a cero, al ocurrir cualquier variacin en la potencia reactiva, la correspondiente

variacin de voltaje ser infinita, en cuyo caso se est en presencia del colapso de

voltaje [2].

18

Para entender la relacin que guarda la ecuacin (11) con la sensitividad Q-V,

supngase que Q es un vector cuyos elementos son todos cero, excepto por el k-

simo, que sea igual a kQ . Al aplicar la condicin anterior a (11) se obtiene [2]:

ki i

iki QTTV = 1

(13)

Donde Tik-1 es el k-simo elemento del i-simo autovector izquierdo. Se puede

determinar que la sensitividad Q-V del nodo k es:

= i i ikkikkTT

QV

1

(14) (ver apndice B)

que se puede rescribir como:

= i i kikFC

QV

(15)

Donde kiFC es el factor de contribucin nodal del i-simo modo y el k-simo

nodo.

Recurdese que la localizacin tanto de la zona de inestabilidad como de

estabilidad en las curvas Q-V. En la zona de estabilidad, la pendiente de la curva es

positiva, por esto, un sistema es estable (desde el punto de vista de la estabilidad de

voltaje), cuando todos los autovalores del sistema sean positivos, e inestable cuando al

menos uno de ellos sea negativo o cero la pendiente de la rama inestable de las curvas

Q-V es negativa-.

A consecuencia del efecto del autovalor y de la relacin entre el anlisis modal y

la sensitividad Q-V, el autovalor es una medida relativa de la distancia al colapso o

inestabilidad. Esta medida no es absoluta debido a la naturaleza no lineal del problema.

Cuando los autovalores estn cercanos a cero, pero positivos, el sistema ser estable,

pero cercano a la inestabilidad. El sistema se alejar de la inestabilidad cuanto ms

alejados de cero estn sus autovalores. Al aumentar la carga del sistema (ya sea

19

globalmente o en un nodo en especial), los autovalores se acercarn a cero y

eventualmente alguno se har cero y luego negativo [2].

Se debe hacer mencin de una caracterstica importante de RKJ . Si bien RJ es

una matriz asimtrica, RKJ es cuasi-simtrica de hecho, puede ser considerada como

una matriz simtrica para efectos prcticos, ver apndice C para demostracin-. Lo

anterior deja de ser cierto cuando se introducen transformadores cambiadores de fase.

Al ser RKJ simtrica, se calculan los autovalores y autovectores. Si RKJ fuese

asimtrica, se deben calcular los valores y vectores singulares. Slo afecta sta parte de

los clculos, ya que la aplicacin de la teora presentada no sufre mayores cambios.

Tambin al mostrar simetra RKJ , los autovalores tienen una parte real distinta de cero

y una parte imaginaria igual a cero o en su defecto, tan cercana a cero como para ser

despreciada-.

3.3.2 FACTORES DE CONTRIBUCIN NODALES

La ecuacin (14) puede escrita (expandindola), para el nodo k como [2]:

n

nkkn

k

kkkk

i

ikkikkkk

K

k TTTTTTTTTTQV

111

2

122

1

111

+++++++= LLL (16)

De (15) se observa que si bien en la sensitividad todos los modos influyen, es

notorio que no todos lo hacen de igual forma. Los autovalores indican la distancia

relativa al colapso y escalan cada uno de los trminos relacionados con su respectivo

modo. La participacin o contribucin del i-simo modo a la sensitividad del k-simo

nodo se cuantifica por el trmino:

1= ikkiki TTFC (17)

20

Por medio de (16) es posible calcular la contribucin a la inestabilidad de todos

los nodos estudiados para un modo especfico o la contribucin de todos los modos en

un nodo.

Los factores de contribucin nodales (definidos por (16) y (17)) llamados

tambin factores de participacin-, determinan las reas del sistema asociadas a cada

modo, es decir, es posible identificar los nodos que ms contribuyen al colapso. Son

posibles dos escenarios [1]:

1. Algunos nodos con factores de contribucin altos y el resto cercanos a

cero, lo que indica un modo localizado. Un modo localizado ocurre

generalmente cuando se conecta una carga a una red robusta, a travs de

una lnea de transmisin larga.

2. Muchos nodos con factores de contribucin pequeos pero similares y el

resto cercanos a cero, lo que indica un modo no localizado. Un modo no

localizado ocurre cuando se sobrecarga una regin de un sistema y se ha

agotado el soporte de potencia reactiva.

21

CAPTULO 4: CASOS ESTUDIADOS

Se estudiaron tres casos:

1. El sistema de prueba de 9 barras (Anderson-Fouad) [9].

2. El sistema de prueba del IEEE de 30 barras [11].

3. El sistema (simplificado) Interconectado Nacional de 75 barras [10].

Es importante hacer notar que en los anlisis, siempre se menciona el punto de

operacin en el que fueron realizados los clculos. De esta manera, cuando se menciona

carga nominal, es la demanda que suple el sistema normalmente y es la que se encuentra

en los datos de nodos, la media carga es cuando la carga a la que se realiza el estudio es

0.5 veces la carga nominal, la doble carga es 2 veces la carga nominal. La carga de

colapso es la carga en la operacin del sistema ya no es factible. Los datos de los

sistemas estudiados se encuentran en los apndices C, D y E respectivamente. Adems,

los anlisis se realizaron primero sin tomar en cuenta la existencia de compensadores

capacitivos (se tom Xc constante y su valor se eligi de manera tal que su efecto se

notase), luego fueron incluidos, siempre tomando en cuenta los puntos de operacin

anteriormente descritos. Las rutinas para realizar los clculos fueron programadas en

Matlab y se ejecutaron en un computador Pentium 4 de 3.0 GHz. y 1.0 GB de

memoria RAM.

4.1 SISTEMA DE PRUEBA DE 9 BARRAS [9]

Debido a que el sistema posee pocos nodos, se presentan los resultados de todos

ellos; en los sistemas restantes slo se presentarn los resultados ms importantes. En la

figura 3 se muestra el diagrama unifilar del sistema.

22

1

2 3

1

2 3

4

5 6

7 8 9

CARGA A CARGA B

CARGA C

TRX 1

TRX 2

TRX 3

Figura 3: Diagrama unifilar del sistema de prueba de 9 barras.

Tabla I: Clasificacin de los nodos del Sistema de prueba de 9 barras.

Barra (#) Tipo

1 Ref. Angular2 PV3 PV4 PQ5 PQ6 PQ7 PQ8 PQ9 PQ

4.1.1 ANLISIS A CARGA NOMINAL

El primer anlisis efectuado al sistema de prueba se realiz a carga nominal.

Luego de realizar un flujo de carga, se calcularon los autovalores del sistema segn se

describi en la seccin 3.3 del captulo anterior. En la tabla II se muestran los

autovalores del sistema. Las matrices jacobianas del sistema se muestran en el Apndice

23

F. Es importante hacer notar que la tabla II ser la nica tabla que muestre la barra a la

que se asocia

Análisis Modal Aplicado

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