Análisis multifractal de series econométricas

Antonio TurielInstitut de Ciències del Mar de Barcelona – CSIC(en colaboración con Conrad Pérez,Universidad de Barcelona)

Motivación

Datos... ¿meteorológicos?Datos econométricos

Los datos tienen una apariencia muy disímil, pero...

Análisis estadístico

Distribuciones (empíricas) de valores

Telefónica MeteoSat

Análisis estadístico

Distribuciones de v.a. de derivadas

Telefónica MeteoSat

¿Por qué esta coincidencia?

- Los derivadas son estacionarias y reflejan laverdadera estructura local

- Los dos problemas considerados son invariantes de escala (correlaciones de los retornos)

- Ambos sistemas son multifractales

FractalesConjuntos autosimilares (la parte = al todo)

Autosimilar estadísticoAutosimilar afín

Multifractales

Muchos fractalescoordinados

Análisis de singularidadesPara obtener las diferentes componentes fractales

Transformada de wavelet:

Exponente de singularidad local:

Señales multifractalesTodo t tiene asociado un h(t)

Componente h:

Exponentes Telefónica Distribución exponentes

Multifractales reconstructibles

Un multifractal es reconstructible si:

- Existe una Variedad Más Singular (h ≤ h)∞

- La señal se reconstruye desde la VMS

Reconstrucción aleatoria

Reconstrucción uniforme

Comparativa

Reconstrucción VMS(PSNR > 25 dB)

Propiedades de la VMS

- La VMS da buena calidad a muestreos moderados

- Las variaciones positivas y negativas están idénticamente distribuídas sobre la VMS

- Los muestreos aleatorio y uniforme describen malla tendencia

- La tendencia viene dada por el exceso de signos+ sobre los – o viceversa

LA VMS CONSISTE EN LOS PUNTOS DE TENDENCIA

Señal reducidaSe construye trivializando (i.e., ±1) las variacionessobre la VMS y reconstruyendo

Las series reducidas tienen el mismo comportamientomultifractal que las originales

Volatilidades

Original: contínua; reducida: a trazos

Fuentes

Permiten formalizar la relación entre s y r

Derivada deRadon-Nikodym:

Un modelo contínuo a trozos permite una buenaaproximación de las fuentes.

Comparación señal -reconstrucción con fuentes(PSNR> 35 dB)

Fuentes para Telefónica

Interpretación de las fuentes

- Corresponden a una dinámica lenta, a largo plazo

- Los puntos de transición son puntos de crisis (al menos del modelo, posiblemente del sistema)

- El horizonte de predicción es la siguiente transición

- Las características multifractales son constantesen el tiempo, pero la tendencia y otras variables de interés econométrico no.

Conclusiones

- Muchas series de interés econométrico poseenpropiedades de invariancia de escala y multifractalidad

- Las series pueden ser descompuestas en componentes fractales invariantes de escala

- De todas las componentes, la más relevante es laVariedad Más Singular (VMS) ya que:

• La VMS caracteriza la tendencia

• La señal puede ser reconstruída a partir de lasderivadas sobre la VMS

Conclusiones (y 2)

- La reconstructibilidad de las series permite definiruna serie reducida con las mismas propiedades dinámicas a pequeña escala

- Se puede separar la dinámica de largo alcance conuna comparación directa de la serie con la reducida

- Las fuentes permiten aproximar con precisión la señal, y muestran fuertes transiciones

- Esta descripción puede ser usada para tareas decodificación y de predicción