Análisis musical.Teoría de conjuntos

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    13-Jul-2015
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TEORA DE CONJUNTOS Pitch: altura indi vidual. Pitch-c/ass: conjunto de todas las alturas de igual nombre en cualquier octava. Numeracin: de O a 11. Tipos de cero: cero fijo (puede ser el Do o cualquier otra altura con carcter de polaridad o de foco de atraccin) y cero mvil (cada conjunto o serie tiene un cero diferente). Intervalos: se lnide su tamao restando la altura inferior a la altura superior [Do = O; Re = 2; Mi = 4; Fa# = 6; La # = 10] Do - Mi = O - 4; 4-0 = 4 = 3aM Re - Fa# = 2 - 6; 6-2 = 4 = 3aM La# - Re = 10 - 2; 2-10 = 14-10 = 4 = 3aM [se aade 12 al n agudo] Inversin: se consideran los intervalos como complementarios Fa#-La#=6-IO; 10-6=4=3aM La# - Fa# = 10 - 6; 6-10 = 18-10 = 8 = 6"111 aade 12 al n agudo] [se Intervalos compuestos: se reducen siempre al mbito de la octava restando 12 del nmero mayor. D06 (25) - Si3 LO) = [25 - 12 - 12 = 1] - [O] = 1 = 2"111_ Clses de intervalos: 1,11 = 2"111, aM 7 2,10 = 2aM, 7am 3,9 = 3"m, 6aM 4,8 = 3a1\1-, 6"m _______ : 3,T-",--'-'il"r,Y1 = 4aA,5ad 6 Pitch-C!ass Set: grupo de clases de altura, o conjunto de sonidos, cada una diferente de las dems. Los PC-Sets pueden contener, generalmente, entre 3 y 9 alturas. Cada PC-Set se presenta dentro de unos corchetes con sus alturas ordenadas de abajo a arriba en el mbito de una octava. Tambin se suele indicar qu sonido es el O. Por ejemplo: [Sol = O] [0,2,4, 7, 9] El "nombre oficial" de cada PC-set se puede obervar en el Apndice 1 (Prime Fonns and Vectors of Pitch-Class Sets) del libro The Structure 01 Atona! Music de AlIen Forte. Como se puede observar, cada pe-set se nombra con dos dgitos: el primero indica el nmero de sonidos del PC-set y el segundo es Wl nmero de orden asignado por Forte_ Vector: contenido inlervlico de cada PC-se! expresado en el nmero de intervalos posibles entre todos sus miembros. As, 211231 (PC-set 5-20: 0,1,3,7,8) significa que se pueden encontrar entre sus miembros dos 23m ( 7aM), una 2aM ( 7am), una 3am ( 6aM), dos 3aM ( 6"m), tres 4a1 ( 5"J) y una 4aA ( sad). Transposicin: consiste en aadir un intervalo a cada miembro de un PC-Set. Por ejemplo:

O+4 4

2+4 6

479+4 8 +4 11 +4 13(=1) 11.

[13 - 12] = 1. Por tanto, la nueva serie queda as: 4, 6, 8,11, 1, o bien, 1,4,6,8, Ordenacin ms baia (Prime Fonn): 1.Escribir todos los sonidos en orden ascendente en el mbito de una octava.

2.Hallar el intervalo ms amplio y poner el sonido superior como sonido ms bajo. 3.Si el ltimo intervalo es mayor que el primer intervalo, se es el orden ms bajo. Pero si el ltimo intervalo es igualo ms pequeo que el primero, se escribe la serie en orden contrario y se hallan los complementarios, transportndolos despus para que el primer sonido sea O. Para la serie Sol, La, Do, Re#, Mi queda as: Orden ascendente (Sol = O) [0,2,5,8,9] Serie en orden contrario: [9,8,5,2,0] Complementarios: [3,4,7,10,0) [0,1,4,7,9] Transposicin a -3

I

4-13 ,2,3,4,6,8,10 4-25(6),2,3,50,2,4,6 4-5 ,2,4 445332 9-9 9-5 9-7 9-6 8-26 9-4 9-3 7-1 8-1 9-8 9-2 010020 9-11 4-21(12) 4-17(12) 0,3,4,7 4-9(6) 210021 654463 8-6 8-22 8-23 8-2 8-27 8-28 8-25 8-24 8-Z15 654553 767763 100110 654321 644563 Pcs ,6 201210 102111 8-21 Name 655552 766674 200022 644464 112101 321000 210000 9-1 001110 11201.1 111120 121110 665542 221100 211110 656542 8-3 110121 8-16 766773 111111 101100 8-9 332110 4-1(12) 444441 .0,1,3 g:S...... ~ 8-19 668664 64565r 765442 010101 210111 111000 9-1O 8-8 101310 8-7 100011 004002 212100 231211 0,1,5 0,4,8 0,1,2,4,5 464644 ,6,8,9,10 101220 0,1,4 777663 ,6,7,9 0,1,2 0,1,2,3,5,6,7,8,10 0,2,7 0,3,7 0,1,2,3,4,6,7,9,10 -t ,~:1Prime,6,7,97-9 002001 and Vectors of 0,1,2,'1 544332 0,2,6 0,1,6,7 546652 0,1,2,4,5,7,8,97-5 0,1,3,4,5,6,8,97-3 0,1,4,5 464743 0,1,2,],5,6,8,9 7-4 0,1,2,4,5,6,8,98-13 667773 ,6,7,8 0.1 ,2,3,4,6,8,99-12 012120 0,2,5 0,1,2,3,4,6,7,8,9 0,2,4 322210 ,6,7 8-14 686763 0,2,3,6 454422 0,1,3,4,5,6,7,97-11 0,1,2,3,5 533442 0,1,2,3,5,7,8,10 ,6,8.10 021120 0,1,2,3,4,5876663 0,1,2,3,4,6,7,97-6 0,1,3,6 556453 0,1,2,3,4,7,8,78-12 020301 322111 311221 0,1,2,4,6,7,8,10 v,: 0,1,3,4 545662 020202 ,10 0,1,2,5 544431 0,1,2,3,6,7,8,6,8 0,2,3,4,5,6,8,6,7,9 0,1.2,3,4,6,8 o,-l"-,J,4 122010 232201 223111 222220 0,1 .3,5 474643 0,1,4,6 554563 ,7 7-2 0,1,2,3,4,5,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,8,9 0,1,2,3,4,6,7,8,10 0,1,2,3,5,6,7,9,10 0,1,2,3,4,7,8,98-11 676683 0,1,5,6 020100 0,1,4,8 012111 0,1,2,3,4,5,8,98-18 666963 0,1,2,3,4,5,6,8,10 321121 0,1,2,6 0,1,2,3,4,5,6,77-8 0,2,4,7 566452 0,2,3,4,5 200121 b,l 0,1,2,3,6,7,8,98-17 021030 0,1,2,3 545752 0,2,3,7 432100 0,1,2,4,5,7,9,10 0,1,2,4,5,7,8,10 ,6,8,10 0,1,2,3,4,6,9 8-Z29 102210 0,1,3,4,5,6,8 8-20 677673 0,1,3;4 546553 0,1,5,7 000300 0,1,2,3,4,5,6,8,9 0,1,3,7 565552 0,1,2,3,4 555562 0,1,4,7 448444 0,1,2,3,4,5,6,7,8 3-9(12) 554331 0,1,2,3,4,6,7,87-10 030201 0,2,5,8 532353 0,2,6,8 543342 0,3,6,9 465562 0,1,2,3,4,5,7,8,10 0,1,2,3,4,5,6,98-10 676764 0,1,2,3,7 011010 3-5 0,1,2,5,6 Vector 0,1,2,3,6 465472 0,1,2,6,7 453432 0,1,3,4,6 456553 0,2,3.4.6 556543 0.1,2,4,6 555553 0,1,2,3,4,5,7,97-7 0,2,3,4,7 456562 8-:L 3-1(12) 310131 1 ..,6,7,1f Forms Sets Pitch-Class 0,1,t,~,2,5,7,1l. -'"(:-."

Name

Appendix

6-22 6-9 6-219 6-2 6-Z10 6-21 6-15 6-Z17 6-16 6-Z3 6-Z23(12) 6-8(12) 6-26(12)

180

220222 432321 342231 114112 032221 221131 212122 221311 Pes . 434541 422232 122311 131221 443211 202321 421242 333231 333321 343230 122230 324222 543210 122212 122131 121321 113221 040402 032140 212221 211231 213211 202420 420243 123121 433221 332232 132130 322431 323421 322332 212320 222121 442443 443352 0,1,2,3,7,8 7-Z12 43t442 424542 344532 241422 242412 313431 323430 322242 0,2,4,6,8 335442 0,2,4,6,9 262623 254442 444342 0,1,4,5,7 0,1,3,6,7 0,1,2,3,5,76-Z41 0,1,2,4,5,6,8 443532 0,1,2,4,5 7-32 0,1,2,3,4,7,9 VeetorName 353442 0,1,2,3,6,7 7-29 0,2,4,5,8 0,1,3,5,7 0,2,3,5,7 345342 354351 0,1,3,4,5,7 7-30 0,1,2,3,4,6 7-Z17 0,1,4,7,8 424641 0,1,3,5,8 0,2,3,6,8 344451 303630 0,1,3,6,8 344433 344352 0,1,3,6,9 343542 0,1,4,6,9 0,2,4,7,9 0,1,2,4,7 254361 0,1,2,4,6,7,8 0,1,2,3,5,8,9 0,1,2,3,6,7,9 0,1,3,4,7 7-22 0,1,3,4,8 0,1,4,5,8 0,1,3,7,8 435432 434442 434343 433452 0,1,2,3,4,8 7-31 0,1,2,6,7,8 0,2,3,5,8 0,1,2,4,5,7 7-26 0,1,2,5,6,7 7-27 0,1,2,3,5,6 7-19 0,1,2,5,6,8,9 234222 0,1,2,3,4,5 7-218 0,1,2,3,6,96-240 0,1,4,5,6,86-248(12) 0,3,4,5,8 7-25 0,1,2,5,8 0,1,2,6,8,6,87-16 0,1,2,3,5,6,9 0,1,2,4,7,8,9 Vector 0,1,2,3,5 6-247 0,1,2,4,6,7 7-33 0,1,2,3,5,86-236 0,1,2,3,4,7 7-34 233241 0,2,3,4,6,7;9 0,2,3,4,5,7,9 0,1,2,4,6,9,8,9 0,1,3,4,6,76-Z46 0,1,2,3,6,86-238(12) 0,2,3,4,5 7-35 233331 0,1,3,4,7,86-243 0;1,2,4,5,86-242(12) 0,1,3,4,5,87-238 0,1,2,4,7,86-Z44 0,1,4,6,8 0,1,2,5336333 0,1,3,4,6,8,9,9 0,1,2,4,6,8,10 0,1,2,3,5,6,8 0,1,2,4,5,6,9 O,l,2,5,,6,7,9 0,1;2,4,8 ,7,9 '_ 0,1,2,4,5,7,8 0,1,3,4,5,7,9 0,1,2,4,7,9 7-21 225222 232341 0,2,3,4,6,8,67-14 0,1,3,5,6,7,9 0,1,2,4 ,6,97-13 0,1,2,4,6,8,9,8 '0,1,3,4,6,7,96-Z39 222121 0,1,3,4,5,7,8 0,1,3,5,6,8,10 0,1,3,4,6,8,10 0,2,3,4,6,97-236 0,2,3,5,6,86-Z37(12) 0,1,4,5,8,9 7-28 0,1,2,5,7,86-Z45(12) 0,1,3,5 0,1,2,5,7,9 7-24 0,1,2,4,6,8,87-15 0,1,3,4,6,87-237 0,1,3,5,7,8 7-20 0,1,3,4,6,9 7-23

Appendix

1

~

L

1 Prime Forms and Vectors of Pitch-Class SetsName

181 Name

Pes O,l,3r5,6,9 0,1,3,6,8,9 0,1,3,6,7,9 0,1,3,5,8,9 0,2,4,5,7,9 0,2,3,5,7,9 0,1,3,5,7,9 0,2,4,6,8,10

Veetor

Pes 0,1,3,4,7,9 0,1,4,6,7,9

6-Z28(12) 6-Z29(12) 6-30(12) 6-31 6-32(12) 6-33 6-34 6-35(2)

Veetor

224322 224232 224223 223431 143250 143241 142422 060603

6-Z49(12) 6-Z50(12)

;;

i: :,

Set-theory Ana{ysis does not meet this requirement because it maps only into 8-8 and not into +-8. ~~ Ir, on the other hand, we take the set 3-5 [0,1,6], it can be seen immediately tom map in its prime fO~Il1nto 4-8 [0,1,5,6]; and ifit is transposed up by a semitone, ~~ i [1,2,7], it can be seen to map also nto the complement of 4-8: 8-8 [0,1,2,3,4,7,8,9] (in fact it maps into it at several transpositions). Our subcomplex around 4-8 in all comprises 16sets: 3-4, 3-5, 5-6, 5-7, 5-20, 5-22, ~5, 6-Z6/Z38, 6-7, 6-16, 6-Z17/Z43, 6-18 and 6-Z19/Z44. Subcomplexes vary in size between four and 32 sets around the nexus set and its complement. HereKi

(a) 'rt.el,al 6-110/3'. 6-1'. '-144 6-21. 5-137. '-131

I.t

_.1

_.4

_.7

_.1

S-UI

\

,-u. no

(11

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Db A

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(') Otber raature 4-7. 4-1'. '-110/3'.

1-16. 6-21 01 o

-?

of

0,.

L4-7 4-lt

---4-11 4-lt

6-21 6-21 6-16

I4-1'

S-UI

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(e) trlcbor4 3-3.3-4,3-'. 3-1 reatachori '-13, '-21,tetrachori

} .i"o

~:dIEJ

4-U. n-I-D-"

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4-19. D-P'-A-'

107