Análisis musical.Teoría de conjuntos

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 TEORÍA DE CONJUNTOS Pitch: altu ra indi vidual. Pitch-c/ass: conjunto de todas las alturas de igual nombre en cualquier octava. Numeración: de Oa 11. Tipos de cero: cero fijo (puede ser el Do o cualquier otra altura con carácter de polaridad o de foco de atracción) y cero móvil (cada conjunto o serie tiene un cero diferente). Intervalos: se lnide su tamaño restando la altura inferior a la altura superior [Do = O; Re = 2; Mi = 4; a = 6; La = 10] Do Mi = O- 4; 4-0 = 4 = 3aM Re - Fa = 2 - 6; 6-2 = 4 = 3aM La - Re = 10 - 2; 2-10 = 14-10 = 4 = 3aM [se añade 12 l n° agudo] Inversión: secons id eran los in tervalos como complementarios Fa -La =6-IO; 10-6=4=3aM La - Fa = 10 - 6; 6-10 = 18-10 = 8 = 6 111se añade 12 al n° agudo] Intervalos compues os: se reducen siempre al ámbito de la octava restando 12del número mayor. D06 (25) - Si3 LO = [25 - 12 - 12 = 1] - [O]= 1  2 111_ Cl ás es de inte rval os : 1,11= 2 11 1, 7aM 2, 0 = 2aM, 7am 3,9 = 3 m, 6aM 4,8 = 3a1\1-, 6 m  3,T- ,-- - il r,Y1 6  4aA,5ad Pi tch-C as s Se t: grupo de clases de altura, o conjunto de sonidos, cada una diferente de las demás. Los PC-Sets pueden contener, generalmente, entre 3 y 9 alturas. Cada PC-Set se presenta dent o de uno corchetes con sus alturas ordenadas de abajo a arriba en el ámbito de una octava. También se suele indicar qué sonido es el O.Por ejemplo: [Sol = O][0,2,4, 7, 9] El nombre oficial de cada PC-set se puede obervar en el Apéndice (Prime Fonns and Vectors of Pitch-Class Sets) del libro The Structure 01Atona Music de AlIen Forte. Como se puede obse rv ar, cada pe-set se ombra con dos dígitos: el primero indica el número de sonidos del PC-set y el segun o es Wl número de orden asignado por Forte_ Vector: contenido inlerválico de cada PC-se expresado en el número de interva os posibles entre todos sus miembros. Así, 211231 (PC-set 5-20: 0,1,3,7,8) significa que se pueden encontrar entre sus miembros dos 23m 7aM), una 2aM 7am), una 3am 6aM), dos 3aM 6 m), tres 4a1 5 J) y una 4aA sad). Transposición: consiste en añadir un intervalo a cada miembro de un PC-Set. Por eje plo: O 79 +4 +4 +4 +4 +4 4 6 8 11 13(=1) [13 - 12] = 1. Por anto, la nueva serie queda así: 4, 6, 8,11, 1, o bien, 1,4,6,8, 11. Ordenación más baia (Prime Fonn): 1.Escribir todos los sonidos en orden ascendente en el ámbito de una octava. 2.Hallar el intervalo más amplio y poner el sonido superior como sonido más bajo. 3.Si el último intervalo es mayor que el primer intervalo, ése es el orden más bajo. Pero si el último intervalo es igualo más pequeño que el primero, se escribe la serie en orden contrario y se hallan los complementarios, transportándolos después para que el primer sonido sea O.Para la serie Sol, La, D , Re , Mi queda así: Orden ascendente (Sol = O) [0,2,5 8,9] Serie en orden contrario: [9,8,5,2,0] Complementarios: [3,4,7,10,0) Transposición a -3 [0,1,4,7,9]

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TEORÍA DE CONJUNTOS

Pitch: altura indi vidual.

Pitch-c/ass: conjunto de todas las alturas de igual nombre en cualquier octava.

Numeración: de Oa 11.

Tipos de cero: cero fijo (puede ser el Do o cualquier otra altura con carácter de polaridad o de foco de

atracción) y cero móvil (cada conjunto o serie tiene un cero diferente).Intervalos: se lnide su tamaño restando la altura inferior a la altura superior

[Do = O; Re = 2; Mi = 4; Fa# = 6; La # = 10]Do - Mi = O- 4; 4-0 = 4 = 3aMRe - Fa# = 2 - 6; 6-2 = 4 = 3aM

La# - Re = 10 - 2; 2-10 = 14-10 = 4 = 3aM [se añade 12 al n° agudo]Inversión: se consideran los intervalos como complementarios

Fa#-La#=6-IO; 10-6=4=3aM

La# - Fa# = 10 - 6; 6-10 = 18-10 = 8 = 6"111se añade 12 al n° agudo]Intervalos compuestos: se reducen siempre al ámbito de la octava restando 12 del número mayor.

D06 (25) - Si3 LO) = [25 - 12 - 12 = 1] - [O]= 1= 2"111_Cláses de intervalos:

1,11 = 2"111,7aM

2,10 = 2aM, 7am3,9 = 3"m, 6aM

4,8 = 3a1\1-, 6"m_______3,T-",--'-'il"r,Y1

6 = 4aA,5ad

Pitch-C!ass Set: grupo de clases de altura, o conjunto de sonidos, cada una diferente de las demás. LosPC-Sets pueden contener, generalmente, entre 3 y 9 alturas. Cada PC-Set se presenta dentro de unoscorchetes con sus alturas ordenadas de abajo a arriba en el ámbito de una octava. También se sueleindicar qué sonido es el O.Por ejemplo:

[Sol = O] [ 0,2,4, 7, 9]El "nombre oficial" de cada PC-set se puede obervar en el Apéndice 1 (Prime Fonns and

Vectors of Pitch-Class Sets) del libro The Structure 01 Atona! Music de AlIen Forte. Como se puede

observar, cada pe-set se nombra con dos dígitos: el primero indica el número de sonidos del PC-set y elsegundo es Wl número de orden asignado por Forte_

Vector: contenido inlerválico de cada PC-se! expresado en el número de intervalos posibles entre todossus miembros. Así, 211231 (PC-set 5-20: 0,1,3,7,8) significa que se pueden encontrar entre susmiembros dos 23m (ó 7aM), una 2aM (ó 7am), una 3am (ó 6aM), dos 3aM (ó 6"m), tres 4a1 (ó 5"J) y una

4aA (ó sad).

Transposición: consiste en añadir un intervalo a cada miembro de un PC-Set. Por ejemplo:O 2 479

+4 +4 +4 +4 +4

4 6 8 11 13(=1)

[13 - 12] = 1. Por tanto, la nueva serie queda así: 4, 6, 8,11, 1, o bien, 1,4,6,8, 11.

Ordenación más baia (Prime Fonn):1.Escribir todos los sonidos en orden ascendente en el ámbito de una octava.

2.Hallar el intervalo más amplio y poner el sonido superior como sonido más bajo.3.Si el último intervalo es mayor que el primer intervalo, ése es el orden más bajo. Pero si el último

intervalo es igualo más pequeño que el primero, se escribe la serie enorden contrario y se hallan los complementarios, transportándolos después paraque el primer sonido sea O.Para la serie Sol, La, Do, Re#, Mi queda así:Orden ascendente (Sol = O) [0,2,5,8,9]Serie en orden contrario: [9,8,5,2,0]Complementarios: [3,4,7,10,0)Transposición a -3 [0,1,4,7,9]

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t ,~:1¡(:-."I Appendix

1rime Forms and Vectors ofitch-Class Sets

Name

Pcs Vectoramecs Vector3-1(12),1,2 210000-1,1,2,3,4,5,6,7,876663,1,3 111000-20,1,2,3,4,5 ,6,7,977663,1,4 101100-30,1,2,3,4,5,6,8,967763,1,5 100110-4,1,2,3,4,5,7,8,966773-5.1 ,6 100011-5,1,2,3,4,6,7,8,966674,2,4 020100-60,1,2,3,4,5,6,8,10 686763,2,5 011010-70,1,2,3,4,5,7,8,10 677673,2,6 010101-8,1,2,3,4,6,7,8,10 676764-9(12),2,7 010020-9,1,2,3,5,6,7,8,10 67668302001-1O,1,2,3,4,6,7,9,10 668664,3,7 001110-11,1,2,3,5,6,7,9,10 667773,4,8 000300-12,1,2,4,5 ,6,8,9,10 666963-1(12),1,2,3 321000-1,1,2,3,4,5,6,765442.1 ,2,4 221100-2,1,2,3,4,5 ,6,865542,1,3;4 212100-3,1,2,3,4,5,6,956542,1,2,5 2111108-:L .. 0,1,t,~,2,5,7,1l55552'"- 4-50,1,2,6 210111

•.. g:S•...... ~ o,-l"-,J,4 ,6,7,1f54553,1,2,'1 210021-6,1,2,3,5 ,6,7,854463,1,4,5 201210-7,1,2,3,4,5,8,94565r,1,5,6 200121-8,1,2,3,4,7,8,944563-9(6),1,6,7 200022-9,1,2,3,6,7,8,944464 122010-10,2,3,4,5 ,6,7,966452,: .3,5 121110-110,1,2,3,4,5,7,965552,2,3,6 112101-12,1,3,4,5,6,7,956543-130,1,3,6 11201.1-13,1,2,3,4,6,7,956453,2,3,7 111120-140,1,2,4,5 ,6,7,955562,1,4,6 111111-Z15,1 ,2,3,4,6,8,955553,1,5,7 110121-16,1 ,2,3,5 ,7,8,954563-17(12) 0,3,4,7 102210-17,1,3,4,5,6,8,946652,1,4,7 102111-18,1,2,],5,6,8,946553,1,4,8 101310-19,1,2,4,5,6,8,945752 101220-20,1,2,4,5,7,8,945662-21(12) 0,2,4,6 030201-21,l ,2,3,4,6,8,1074643,2,4,7 021120-22,1,2,3,5 ,6,8.1065562 021030-23,1,2,3,5,7,8,1065472 020301-24,1,2,4,5 ,6,8,1064743-25(6)0,2,6,8 020202-25,1,2,4,6,7,8,1064644 012120-260,1,2,4,5,7,9,1056562,2,5,8 012111-27,1,2,4,5,7,8,1056553,3,6,9 004002-28,1,3,4 ,6,7·,9,10484440,1,3,7 111111-Z29,1,2,3,5 ,6,7,9555530,1,2,3,4 432100-1,1,2,3,4,5,6543210,1,2,3,5 332110-2,1,2,3,4,5 ,7543310,1,2,4,5 322210-3,1,2,3,4,5 ,8444310,1,2,3,6 322111-4,1,2,3,4,6,7443320,1,2,3,7 321121-5,1,2,3,5 ,6,7433420,1,2,5,6 311221-6,1,2,3,4,7,8334420,1,2,6,7 310131-7,1,2,3,6,7,8323530,2,3.4.6 232201-8,2,3,4,5,6,854422.1,2,4,6 231211-9,1.2,3,4,6,853432,1,3,4,6 223111-10,1,2,3,4,6,945332,2,3,4,7 222220-11,1,3,4,5,6,844441

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Appendix 1

Pes VeetorNamees Vector 222121-Z12,1,2,3,4,7,944342,1;2,4,8213117-13,1,2,4,5,6,843532,l,2,5,í211317-14,1,2,3,5,7 ,843352,1,2,6,8202227-15,1,2,4,6,7,842443,1,3,4,713211-16,1,2,3,5,6,935432,1,3,4,812320-Z17,1,2,4,5,6,934541,1,4,5,712221-218,1,2,3,5,8,934442,1,3,6,712122-19,1,2,3,6,7,934343,1,3,7,811231-20,1,2,4,7,8,933452,1,4,5,802420-210,1,2,4,5 ,8,924641,1,4,7,802321-22,1,2,5,6,8,924542,2,3,5,732130-23,2,3,4,5,7,954351,1,3,5,731221-240,1,2,3,5 ,7,953442,2,3,5,823121-250,2,3,4,6,7;945342,2,4,5,822311-260,1,3,4,5,7,944532,1,3,5,822230-270,1,2,4,5,7 ,944451,2,3,6,822212-280,1,3,5,6,7,944433,1,3,6,822131-290,1,2,4 ,6,7,944352,1,4,6,821321-300,1,2,4,6,8,943542,1,3,6,914112-31'0,1,3,4,6,7,936333,1,4,6,913221-320,1,3,4,6,8,935442,2,4,6,840402-330,1,2,4,6,8,1062623,2,4,6,932221-340,1,3,4,6,8,1054442,2,4,7,932140-350,1,3,5,6,8,1054361,1,2,4,722121-236,1,2,3,5,6,844342,3,4,5,812320-2370,1,3,4,5,7,834541,1,2,5,812221-2380,1,2,4,5,7,83t442,1,2,3,4,543210-2

0,1,2,3,4,643211-Z3

0,1,2,3,5,633221-236,1,2,3,4,7,1,2,4,5 ,6323216-Z37(12),1,2,3,4,8,1,2,3,6,722232

-26(12)0,1,2,5,6,7212426-238(12),1,2,3,7,8,1,2,6,7,820243

-8(12)0,1,3,4,5,743230

-90,1,2,3,5,742231

-Z100,1,3,4,5,7333321-Z39,2,3,4,5 ,8,1,2,4,5,7332316-240,1,2,3,5,8,1,2,4,6,732232-Z41,1,2,3,6,8,1,3,4,6,7242226-242(12),1,2,3,6,9,1,3,4,5,823430

-150;1,2,4,5,823421

-160,1,4,5,6,822431

-Z170,1,2,4,7,822332-243,1,2,5 ,6,8,1,2,5,7,8 '_22242

-219 0,1,3,4,7,813431-Z44,1,2,5 ,6,9,1,4,5,8,903630-21 0,2,3,4,6,842412-22 0,1,2,4,6,841422-Z23(12)0,2,3,5,6,8342226-Z45(12),2,3,4,6,9,1,3,4,6,833331-Z46,1,2,4,6,9,1,3,5 ,6,833241-2470,1,2,4,7,9,1,3,5,7,832341-248(12),1,2,5,7,9,1,3,4,6,925222

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1 Prime Forms and Vectors of Pitch-Class Sets181

6-Z49(12) 0,1,3,4,7,9

6-Z50(12) 0,1,4,6,7,9

Name

6-Z28(12)

6-Z29(12)

6-30(12)

6-31

6-32(12)

6-33

6-34

6-35(2)

Pes

O,l,3r5,6,9

0,1,3,6,8,9

0,1,3,6,7,9

0,1,3,5,8,90,2,4,5,7,9

0,2,3,5,7,9

0,1,3,5,7,9

0,2,4,6,8,10

Veetor

224322

224232

224223

223431143250

143241

142422

060603

Name Pes Veetor

;;

i::,

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- ?

0,. f

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6-216-216-16'-En

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..,....-1

L4-7-lt---4-114-lt

r A

Gb

(11 a~¡T-- Db

_.1 _.4

Set-theory Ana{ysis

does not meet this requirement because it maps only into 8-8 and not into +-8. ~~Ir, on the other hand, we take the set 3-5 [0,1,6], it can be seen immediately tommap in its prime fO~Il1nto 4-8 [0,1,5,6]; and ifit is transposed up by a semitone, ~~[1,2,7], it can be seen to map also ¡nto· the complement of 4-8: 8-8 Ki

[0,1,2,3,4,7,8,9] (in fact it maps into it at several transpositions). Our subcom

plex around 4-8 in all comprises 16sets: 3-4, 3-5, 5-6, 5-7, 5-20, 5-22, ~5,6-Z6/Z38, 6-7, 6-16, 6-Z17/Z43, 6-18 and 6-Z19/Z44. Subcomplexes vary insize between four and 32 sets around the nexus set and its complement. Here

(a) 'rt.el,al I.t••6-110/3'. 6-1'. '-144

6-21. 5-137. '-131

(') Otber raature ••

4-7. 4-1'. '-110/3'.

1-16. 6-21• 01 o

(e) trlcbor4 •• 3-3.3-4,3-'. 3-1

reatachori •• '-13, '-21,tetrachori 4-1'