República Bolivariana De VenezuelaUniversidad Fermín Toro

Vice-Rectorado AcadémicoDecanato de Ingeniería

Nombre: Enrico ElettoC.I: 24.398.652SAIA

Solucion De Un SistemaDe Ecuaciones Lineales

Método de Solucion Gaussiana Este método propone la eliminación progresiva de variables en el

sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las variables.

Uno de los problemas de la eliminación Gaussiana es que debemos dividir entre el pivote; si este es un número muy pequeño, entonces un error de redondeo puede arrojar serias dudas sobre la respuesta final.

Este método se aplica para resolver sistemas lineales de la forma:

Método de Gaus-Jordan El Método de Gauss – Jordan o también llamado eliminación de

Gauss – Jordan, es un método por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con n números de variables, encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicación mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este método, se debe en primer lugar anotar los coeficientes de las variables del Sistema de ecuaciones lineales en su notación matricial:

Descomposición LU En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU es una

forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario pre multiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación.

Factorización de Cholesky Una matriz A simétrica y positiva definida puede ser factorizada

de manera eficiente por medio de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior. Para una matriz no singular la descomposición LU nos lleva a considerar una descomposición de tal tipo A = LU; dadas las condiciones de A, simétrica y definida positiva, no es necesario hacer pivoteo, por lo que ésta factorización se hace eficientemente y en un número de operaciones la mitad de LU tomando la forma  , donde L (la cual podemos "verla" como la raíz cuadrada de A) es una matriz triangular inferior donde los elementos de la diagonal son positivos

Factorización de QR, Householder En álgebra lineal, la descomposición o factorización QR de una

matriz es una descomposición de la misma como producto de una matriz ortogonal por una triangular superior. La descomposición QR es la base del algoritmo QR utilizado para el cálculo de los vectores y valores propios de una matriz.

En muchas aplicaciones el número de filas (M) de una matriz de coeficientes A mxn puede ser 3 al número de columnas (N)

Método Iterativo Un método iterativo trata de resolver un problema

matemático (como una ecuación o un sistema de ecuaciones) mediante aproximaciones sucesivas a la solución, empezando desde una estimación inicial. Esta aproximación contrasta con los métodos directos, que tratan de resolver el problema de una sola vez (como resolver un sistema de ecuaciones Ax=b encontrando la inversa de la matriz A).

Un método iterativo da lugar a una sucesión de vectores que idealmente converge a la solución. El cálculo se detiene cuando se cuenta con una solución aproximada con cierto grado de precisión especificado de antemano o después de cierto número de iteraciones. Los métodos indirectos son casi siempre iterativos.

Método de Gauss-Sediel Gauss-Seidel: Este método es iterativo o de aproximación para

obtener raíces. Mediante una técnica sistemática  se obtiene una mejor aproximación a la raíz.Es poco eficiente debido a la disminución de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de aproximación se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada.

Método de Jacobi El método de Jacobi consiste en realizar una secuencia de

transformaciones ortogonales, cada transformación se denomina “rotación de Jacobi”; y corresponde a una rotación cuyo objetivo es eliminar a un elemento de la matriz. Se va rotando sucesivamente la matriz hasta que el error es pequeño para ser considerada una matriz diagonal. Un concepto fundamental de este método es que, al rotar la matriz para eliminar un elemento que ya sea cero, se modifican varios elementos situados en la fila y la columna del elemento que se rota, que podían valer cero y hasta haber rotado con anterioridad.