Análisis Vectorial

Click here to load reader

  • date post

    07-Jan-2016
  • Category

    Documents

  • view

    18
  • download

    1

Embed Size (px)

description

Analisis de VEctores

Transcript of Análisis Vectorial

  • Anlisis Vectorial

    ESCALARES Y VECTORES

    La definicin de una cantidad escalar es verdaderamente simple, el termino escalar se

    refiere a una cantidad que se representa con un simple numero real ya sea positivo o

    negativo.

    La definicin de vector es un tanto mas compleja comparada a la definicin del

    escalar. Una cantidad vectorial tiene magnitud y direccin en el espacio (el espacio se

    refiere a las dimensiones del sistema que para el caso de los campos elctricos y

    magnticos el estudio se reduce a dos y tres dimensiones), como ejemplo de una

    cantidad vectorial estn la fuerza, la velocidad, la aceleracin entre otros. Cada

    cantidad tiene una magnitud y una direccin. Para entender mejor el concepto de

    vector se hace una analoga con el desplazamiento de un punto ya que tienen las

    mismas propiedades matemticas: para empezar se toma un punto de partida P1 y se

    mueve en una trayectoria arbitraria hasta el punto P2, el efecto neto de este

    movimiento es igual que si moviera en linea recta (en la figura representada por D).

    esta recta D recibe el nombre de desplazamiento y se caracteriza por tener una

    magnitud (su longitud) y una direccin (de P1 a P2) como lo indica la flecha.

    representacion de un vectorr

    la representacin geomtrica de un vector se describe a continuacin en un espacio

    vectorial de tres dimensiones, para otra dimensiones la abstraccin es sencilla. Esto

    denota la magnitud del vector y su direccin va de el origen al punto final.

    OPERACIONES CON VECTORES

    SUMA VECTORIAL dados los siguientes vectores A y B

  • la suma vectorial se define componente a componente como se muestra a

    continuacin

    la resta de vectores es un proceso anlogo a la suma definido segn los signos de

    forma similar al lgebra escalar.

    PRODUCTO PUNTO Dados dos vectores A y B, el producto punto se define como la suma de los productos

    componente a componente.

    para el producto punto hay que considerar la siguiente convencin

    En principio podemos observar que bajo esta definicin el producto escalar entre dos

    vectores se realiza como si estuviramos multiplicando dos polinomios

    PRODUCTO CRUZ para las aplicaciones fsicas y en nuestro caso para los campos elctricos y

  • magnticos el producto vectorial o cruz es de de vital importancia. El producto vectorial

    permite encontrar un vector normal a los dos vectores objeto del estudio (A y B).

    como en el producto punto esta operacin entre vectores tiene las siguientes

    restricciones:

    aplicando las restricciones se tiene,

    esta expresin se hace mas clara mediante el uso del determinante

    VECTORES UNITARIOS un vector unitario es aquel cuya magnitud es la unidad y generalmente se toma como

    una cantidad sin dimensiones un ejemplo bastante comn de vectores unitarios son

    los que se toman en direccin de los ejes coordenados x,y,z. Un vector unitario en una

    direccin dada esta definido por por un vector en esa direccin divido entre su

    magnitud.

    SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS en las coordenadas cilndricas la localizacin de un punto P se especifica por medio de

    tres cantidades, r, , z. Las definiciones de estas cantidades se especifican claramente

    en la grfica, donde tambin se ilustran los vectores unitarios y el vector de posicin

    del punto. Se puede observar que cuando el vector de posicin se proyecta sobre el

  • plano xy, r es la longitud de esta proyeccin, mientras que es el ngulo que dicha

    proyeccin forma con el eje x positivo, z es la misma que en el sistema de

    coordenadas rectangulares.

    Las relaciones entre coordenadas cartesianas y cilndricas se describen a

    continuacin:

    ahora se pueden definir tres vectores unitarios ortogonales entre si: z es el mismo que

    en coordenadas rectangulares, el vector unitario para r se elige de manera que este en

    la direccin en que r aumenta y sea perpendicular a z, entonces es paralelo al plano

    xy. se define perpendicular a los dos anteriores y en la direccin indicada.

    COORDENADAS ESFERICAS la figura muestra las coordenadas esfricas (, , ) del punto P en el espacio. La

    primera coordenada esfrica es simplemente la distancia del origen a P. la segunda

    coordenada es y es el ngulo 0P y el eje z positivo, siempre puede ser elegido

    entre el intervalo [0, ]. por ultimo, es el ngulo familiar de las coordenadas

    cilndricas y siempre vamos a poder elegirlo en el intervalo [0, 2].

  • la relacin de las coordenadas esfricas con las cartesianas se ilustra a continuacin:

    GRADIENTE El gradiente de un campo escalar es un vector que representa la magnitud y

    direccin de la razn de incremento espacial mximo de un escalar.

    Por ejemplo, la temperatura de un saln, la altitud de un terreno o el potencial

    elctrico de una regin. El gradiente de dicha funcin escalar es la herramienta

    que nos va a permitir saber cual es el incremento mximo de esta medida.

    A continuacin podemos observar el gradiente de campos escalares

    representado por las flechas azules.

  • El campo elctrico, es un campo vectorial que se puede representar matemticamente en

    funcin

    del gradiente as:

    Existen muchos campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de un

    potencial escalar, uno de ellos es el campo electrosttico, que deriva del potencial

    elctrico.

    Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo

    escalar se denomina potencial , consevativo o irrotacional. As, una fuerza conservativa deriva de la energa potencial como

    E =V

    Ejemplo:Dada la funcin f(x,y,z) = 2xy + 5y2 sin(z). su vector gradiente es:

    f=(fx,fy,fz)=(2y,2x+10y,cos(z))

    DIVERGENCIA

    Divergencia de una funcin:Es una funcin escalar que resulta de realizar el producto

    punto del operador nabla con una funcin vectorial. Tiene como argumento una

    funcin vectorial y produce como resultado una funcin escalar. E

    Divergencia

    Y se puede definir utilizando el concepto de flujo, de esta manera:

    E =lim0sE \vectda La explicacin de la anterior ecuacin es:

    En un determinado punto, la funcin divergencia de E , es igual al lmite del flujo que

    atraviesa a la superficie S de adentro hacia afuera, dividido por el volumen encerrado

    por la superficie y que contiene al punto tiende a cero.

  • La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo

    saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen.

    La divergencia en un punto se puede clasificar en:

    DIVERGENCIA POSITIVA: Cuando los vectores salen del punto. DIVERGENCIA NEGATIVA: Cuando los vectores entran al punto.

    DIVERGENCIA CERO: Cuando la cantidad de vectores que salen y entran al punto es la misma.

    ROTACIONAL:El rotacional tiene como argumento una funcin vectorial y

    produce como resultado otra funcin vectorial.

    Vector rotacional

    \vectE

    Utilizando el concepto de integral de lnea, podemos definir a la

    componente en la direccin del rotacional,de esta manera:

    [\vectE]u=limSu 0c\vectE\vectdlSu La explicacin de la anterior ecuacin es:

    En un determinado punto, la componente en la direccin de la funcin

    rotacional de E, es igual al lmite de la circuitacin de E a lo largo del

  • contorno cerrado C (C est en un plano perpendicular a ) dividido por el

    rea S_u (S_u es una superficie encerrada por el contorno C y que pasa

    por el punto ), cuando S_u tiende a cero.

    Un campo vectorial que posee un rotacional cero se dice que es un

    campo vectorial con rotacional nulo (tambin, campo vectorial irrotacional

    o conservativo). Un campo vectorial con divergencia cero se conoce

    como campo vectorial con divergencia nula (o solenoidal).

    Si por ejemplo, un campo vectorial F(r) puede escribirse como como el gradiene

    de un campo escalar g(r), entonces F(r) es inevitablemente un campo vectorial

    con rotacional nulo, como resultado de la identidad vectorial:

    [ g(r)]=0

    En forma semejante, si el campo vectorial F(r) puede expresarse como el

    rotacional de otro campo vectoria G(r), entonces es posible demostrar que F(r)

    es un campo vectorial con divergencia nula gracias a la identidad vectorial:

    . [ G(r)]=0

    Las definiciones de los campos vectoriales con rotacional y divergencia nulos no

    son ni mutuamente excluyentes ni mutuamente inclusivas. Es posible que un

    campo vectorial tenga, al mismo tiempo, rotacional nulo y divergencia nula (p.e.

    F(r)=2x). Tambin es posible que un campo vectorial tenga, al mismo tiempo un

    rotacional no nulo y una divergencia no nula (p.e. F(r)=yx + zz)

    CAMPO

    Es una regin del espacio,o todo el espacio, el cual tiene asociado a cada uno de

    sus puntos, propiedades fsicas determinadas por funciones escalares y

    vectoriales.

    Por otro lado, Campo en fsica es la regin en la que se ejerce sobre un

    objeto una fuerza gravitatoria, magntica, electrosttica o de otro tipo. Se

    supone que estas regiones estn recorridas por lneas de fuerza (lneas

    de flujo) imaginarias, muy juntas, donde el campo es ms intenso, y ms

    espaciadas, donde es ms dbil. A continuacin se mostrara la grfica de un campo elctrico.

  • Campo electrico

    Para una mejor explicacion podemos ver el siguiente video.

    El concepto de campo fue desarrollado por James Clerk Maxwell en su

    teora electromagntica.

    o Campo: Asignacin de un conjunto de nmeros (usualmente 3) a cada punto del espacio.

    o Campo Gravitatorio: Campo de fuerzas que representa la interaccin gravitatoria.

    o Campo Electrosttico: Describe la influencia que una o ms cargas ejercen sobre el espacio que les rodea.

    o Campo Electromagntico: Campo fsico, de tipo tensorial, que afecta a partculas con carga elctrica.

    o Campo Tensorial: Asignacin de una aplicacin multilineal a cada punto de un dominio del espacio.

    o Campo Espinorial: Tipo de campo fsico que generaliza los conceptos de campos vectoriales y tensoriales.

    o Campo Vectorial: Construccin del clculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo.

  • TEOREMA FUNDAMENTAL DEL GRADIENTE

    El teorema del gradiente establece que si existe una funcin escalar, y de ella obtenemos dos puntos y los unimos por

    medio de una curva C, la integral de lnea que describe el incremento entre dichos puntos es siempre el mismo. sin importar

    la trayectoria que se escoja entre los puntos.

    El teorema del gradiente aplica tanto para funciones F(x,y,z) como para

    funciones F(x,y) y viene representado matemticamente por la siguiente

    expresin:

    \int_{(L)}{\nabla{f}}.(ds)}=f(b)-f(a)

    En donde

    f.(ds)

    es el incremento infinitesimal. Adems, cuando hacemos la integral

    estamos sumando todos los incrementos de la funcin en todas las

    direcciones.

    A continuacin se muestra una grfica que ilustra mejor el concepto.

    Ilustracion del teorema del gradiente

    veamos un ejemplo.

    sea:

    t=xy2

    En donde a=(0,0,0) y b=(2,1,0)

    Verificar que se cumple el teorema del gradiente

  • En la grafica se muestra una linea recta que une los puntos a y b. y podemos observar en ella,

    tres diferentes recorridos por los cuales se pueden unir los dos puntos.

    comencemos por el camino I

    sabemos que:

    d=dxi+dyj+dzk

    la variacion de x es entre cero y dos, mientras que Y y Z no tienen ningun cambio.

    por lo tanto

    d=dxi

    por el camino II

    d=dyjx=2

    puesto que el incremento en z es cero y el valor de x es 2.

    Podemos obtener entonces el gradiente de la funcion. y se tiene como resultado.

    (t)=y2i+2xyj+ok

    reemplazando estos valores en el gradiente de la funcion se produce la expresion

    (t)=y2+4y

    (t)dl=4ydy

    entonces como no hubo incremento en la direccion i tenemos que:

  • Y por el camino III

    X varia entre 0 y 2, Y varia entre 0 y 1, y Z=0

    dl=dxi+dyj

    (t)(ds)=y2dx+2xydy

    y al integrar nos queda como resultado:

    =14x2dx+x22dx

    =34x2dx

    entonces:

    2034x2dx=2

    Referencias:

    Serway Fsica. Editorial McGraw-Hill (1992)

    Michael valero, Fsica Fundamental segunda edicin [1982-1986]

    http://es.wikipedia.org/wiki/Analisis_vectorial [ visitado: 15/10/09]

    http://www.youtube.com/watch?v=FH2PU2wgx6M [video]

    HAYT, William H., Buck, Teoria electromagnetica 7a edicion, Mc Graw Hill.

    WANGSNESS Ronald k, Campos electromagneticos, editorial LIMUSA mexico.