Aunque nos suene como redundante, esta es otraramadelamatemticaaplicadaa lafsica cuyopropsito es estudiar lasdistintasformasenquesepueden operaraquellasmagnitudes fsicasqueadems detenervalorposeen direccin,a quienesllamaremosmagnitudesvectoriales. Resultaimportanteconocerydominarestas herramientaspuestoquecon ellose hacecompren-sibleloqueocurreenlanaturalezadeaquellosfenmenosfsicosendondesepresentanlas magnitudesvectoriales. J--...!,3.1.Vector Designamoscon estenombreaaquelelementomatemtico,indicadoporWlsegmentode rectaorientado,que nos permite representar grficamentea unamagnitud vectorial.Sus elemen-tosson: a)Direccin.- Eslacaractersticaquenos se-aladedndehaciadndeseorientael vector yqueseindica por medio deunal-nearectaquepasapordichospuntos.La orientacinde estarectasedefinepor el n-gulo 8medido desde una rectade referencia yensentidoantihorario. b)Mdu!o.- Llamadotambinnte/lsidad, viene a ser el valor o medidade lamagnitud vectorialrepresentada.Siconocemoslaes-cala(e)deldibujoylalongitud(/)delseg-mento dirigido, elmdulo viene dado por: IV= l.e Al evaluar lostrminos de esta relactn comprobamosHueestos sonpositivosy por ende tambin lo es elmdulo delvector . .; '-'-: NotacinVectorial --> Segmento Dirigido:AB -+- --+ Vector:V = V1\V = AB Mdulo:IVI NotacinGeneral: es lUID

I DIREfN I , . y I MDULO V = I V...... (8=ngulo Direccional) 68Fsica5toPre. CONJUNTO DE SEGMENTOS DIRIGIDOS IGUALES ENTRES! ,,",n de repruentado como: I Ia=(a1;0,;.,; .. )I 1 1.. d.p.Mldulo' Rectsde - "ingulo- - -1fefomicTa

--"BDIToaBI www.FISICA2013.blogspot.com ~3.2.Tiposde Vectores Cuandoexploramoselmundodelosvectoresnosencontramosconunaricavariedadde estos,loscualeshansido clasificadossegn diversos criteriosutilitarios,todos ellos vlidospero que finalmente responden alreade su aplicacin.Puesbien, portratarsede tUltexto que preten-de darinformacinelementaly suficientemente bsicaparapoder comprender en elfuturocual-quieradelostiposdeclasificacionesexistentes,presentaraqu losqueajuiciodeeminentes pedagogosdelafsicasonlosmsesenciales_ a)VectoresCodirigidos.- Son aquellosqueposeenlamismadi-reccin,es decir,ademsdeserparalelosestnorientadoshacia elmismo lugar.Estosedenotaas: Xiil b)Vectores Contrariamente Dirigidos.- Esaquel par devectores de direcciones opuestas,es decir,que siendo paralelosse orien-tanhacialadosopuestos.EstosedenotaaS: ilt-J.e ~ r3.3.Igualdad de Vectores A -- \\--------,_.....:.:....OCO>O>_ ----jj - - -I\- - - __....::._ct - ___ _o e n-tln- n .c:JoO_--""-__ Definicin1.- Dosvectoressonigualessiademsdetenerelmismomduloposeenla mismadireccin.EstosedenotaaS : {A-B} AiiB Definicin 2 .- UnvectorB es el opuesto de otroA Isi adems detener elmismo mdulo ambossoncontrariamentedirigidos.Estosedenotaas: {A-B} At-J.B Observaciones: ha.. Elopuesto deA se denota como:- A _ 2da.LosvectoresA y - A son tales que:1A 1=1- A 1 Definicin 3 .- Dos vectoresA yB son colineales si ambos son paraJelos a lUlamismarecta y adems existeun nmero kE l;!, talque: k ~ O=>Xiiil k=O=>A=O ksO =>At-J.il Ik.A = IkiIAI Aesto se denominamultiplicacindeunvectorpor unescalar. ArnlisisVectorial69 www.FISICA2013.blogspot.com 3.4.Adicinde Vectores Definicin.- SeanA=PQyB=ST ,dosvectoresrepresentadosporSllSrespectivos seg-mentosdirigidos,sedefinelaadicindelosvectoresA yB comoelvectorcuyosegmento - -dirigido viene dado porPQ+ ST ,al cual se denominavectorsuma yse denotaas:A +B. RegIa del ParalelogramoM - --1 -- - -R I {- -I PQ =OM I Si : I - - sr =ON - -PQ+ST=OR O B N p Regla del Tringulo MiR S jj e>! {- -PQ=OM Si: ST=MR -PQ+Sf= OR O . estegrficose puede observarqueal ini cio sehantrazadodos segmentosdirigidosPQ yST pararepresentaralosvectoresutilizandoeneUocuatropuntosdelplano.Luegoseha -->--> construidootropardesegmentosdirigidosOMyONequivalentesaloscon origen comn.Es necesario reconocer que estos segmentos dirigidos son diferentes aPQySTres-pectivamente por tener susorgenes y extremos tambin diferentes,sinembargo ellos representan aunmismovector.Acontinuacinsehaconstruidoelparalelogramotrazandoparalelasalos --> segt!lentos dirigidos, dondeel segmento dirigidoORrepresentaalvector suma. De esto se puede deducir que la adicin de vectores nos conduce a otro vector y por definicin ste no depende de la eleccin de los segmentos dirigidos que representan a estos vectores.LaRegla delParalelogramofuepropuestaporprimeravezpor SirnonStevin(1548-1620)yestablecequela suma de vectores o resul tante se ubica entre los dos vectores y est dado por la diagonal de lafigura. Estemismo resultado selogra por la Regla delTringulo,en el quelosvectores se ubican uno acontinuacindelotro(formandocontinuidad),demodoqueelvectorsumaoresultanteviene dado porelvector quecierralafiguratriangular. Estasreglas se amplanalaRegladelPolgOIlOparamsdedosvectoresenelplanoyala RegladelParaleleppedoparatresvectores ubicados en di ferentes planos (enel espacio),enlos que bastarqueellos seubiquenformandocontinuidad,as el vector suma oresultante sersiempre el vector quecierrala fi gura. 70Fsica5/0Pre.

--J e D I TO ' www.FISICA2013.blogspot.com LEYESDELAADICINDE VECTORES Ira.A + B = B + ALeyCommutativa 2da.(A + B) + C =A+( B +C)LeyAsociativa 3ra.A + O =ALey delaexistenciadelElemento Neutro 4ta.A +(-A)=OLey delaexistenciadel InversoAditivo Probo01,.!!{.j!i.H.Ui OODCO' OeI:leco CCCDCCCCCCO DO e Determinaunarelacinmatemtica para cale..!!.: lar el mdulo del vector suma de los vectoresA yB que/orman entre si unngulo e. .;1#.1 .. 1;1.11. cecee ce cee eDODCCCCCCcc CeC Construimos elparalelogramo OMRN, yaplj-cando laLeyde Cosenos en elt;ONR : M. _____________ R , oAN , , , :5 I RI ' =A' + B'- 2AB cos (180 - e) Donde :cos(180 - e)=-cos e IR 1=JA'+B2+2ABcos8 Observacin,-Elngul-Finalmenteaplicamosconelloslapropiedad deresultantemnima: R=R, - R, = 26-11R=15 (-.+) 2do. Mtodo.- Lasuma de losvectoresdados es:A +B +e +5=R , pero la escribimos enformaalgebraicaaS: A+ B + C + O=R ... (*) Enellacadatrminotieneun signo.Elsigno ser: (+)si la orientacin es (-.+)y(-)si la orien-tacines(-C = 12 0 = 7 -A' + B'+ AB= 169 .. . (2) Reemplazando(1)en (2): A' + (15- A)' + A(15- A)= 169 Efectuando,reduciendoyordenando: A' - ISA+ 56= O (A> A=8 74Fsica5/0Pre. Al reemplazar estos valores en (1) concluimos que: dy11=8 Probo 12 Dosvectoresdeigu.almdulo,tienenunaresul-tallle que esJ3 veces uno de ellos Qu ngulo formandichos vectores? iltj.J!iJ.H,U* cooaaa cooaao DcaCODDDDODDO . Delafiguraconstruidaobtenemosxa par-tir del Il:".OMP: Bisectriz pdelHCJQ, , , , , , , , , , , , , '..' " o Q x= ,adems:R = 2x 1RI= 2AReemplazandodatos: .!3A=2A cos(H e=3D. 2 Probo13 (Propiedad) cos e = 60 Sil3 A + 2 B I = 7 u; 12A . 3 B 1 = 7.5 u cul es elvalar de 17A 4 B I? i Jfj.WIUt.' CICICagOClOOOacoaaaoaaccacaD Haciendo: P = 2 Ji:- 3 B=>2 P = 4 Ji:- 6 B

--"BDITOBI!I www.FISICA2013.blogspot.com y:Q+2B Sumando:2 P +Q 7 A - 4 B Acontinuacin,loque buscamos se obtendra partir delarelacin: 17A- 4B112P+Q I 17X- 4B1 J(2p)2+Q2+ 2(2P)Q.cos53 Donde: 12A - 3B1 =>2P Tambin:Q 13 A + 2 B17 =>17 A - 4 B 1 Jl52 + 72 + 2(15)(7).3/5 17A-4B 1Observacin: 2 P "Qforman53, Probo14 Siseyerifica que+b queb;;e a+e,demostrar 1I#d.j!i=.U' eeCIeeleoeeeoooooo000 CICI ooco Nuestrademostracinsesustentaraplican-do racional y adecuadamente las distintas pro-piedades sobrevectores.Veamos: 1.(-a) +(a++b) ........ Todo vector es igual asi mismo 2.{(- ) +a }+b (- ) + (a+;) ............. LeyAsociati va 3.O + ;(- a) +(+;) ... :... ..Elemento inverso aditivo 4.............. NeutroAditivo y por sustitucin 5........... LeyAsociativa 6.b =e...... ... Elemento neutro aditivo AnlisisVectorial Observacin. Apartirdeestademostracin,seestablecen lassiguientespropiedades: i)+;+e =>;e Propiedadcancelativa ii)=> Sumadeelementosiguales Probo15 Si se verifica que:Zi+x = b, demostrar que : -a iiM.lj't:t., cecce ee eOee ocecececece ce e T odQvector es igual asi mismo: (-a)+(a+ + x) LeyAsociativaySustitucin: {(- a) +a }+x (- a) +; Leyes del Inverso Aditivo yConmutativa: Leydelneutro aditivo: Lassiguientes son dosapli-caciones importantes de la adicin de vectores: o : neutroaditivo- ti: inverso aditivo + O+ti=>a O Probo16 Demostrar que paravectorAse veri-ficalaigualdad:-(-A ) A Sea:x1.Existenciadelinverso aditivo: =>2.Por sustitucin: 75 www.FISICA2013.blogspot.com =>-A+(- x)=O 3.Por sumade elementos iguales: 4.Asocia ti vidadyneutroad iti vo: =>{A +(-A) } +(-X)=A' 5.Existenciarlelinn:::'rsoaditivo:O+ -xA b.Existenciadelneutroaditivo:- x=A Porsus titucin:- (- A) =A I qqd. Prob_17 Delllostrarlaigllaldl/d:-A=(-1) .A Defini cindevectornulo:O = o.A Inverso aditivo en IR:o =[1+ (-1)] A ... (1) Existenciadelinversoaditivo: -A =(-A) + O... (2) Por sustitucind e(1)en(2): - A=(- A)+ [l +(-l) ]A AplicandoladistribuDvidaddelamulti plica-cinporun nmero: -A=( -A)+A+ (-1)A Asociatividaddelaadicin: -A=[(-A)+A]+(-l)A Inversoaditi vo:-A=O + (-l )A Neutroaditivo:-A= (-l )AIqqd Prob_18 -emo!...trarqueparacotillea/es AyB.laigllaldad:111A + 11B =O. se e 11111pi e siysolosi: m= 11= O. ,.jti'l!'j"t.U' 1:1 1:1CIQQgDD1:1OQ QC gQce CIgoc el Q1:1g Supongamos que11'* O,entonces: ..... 76Fsica5toPre. mA+118=0=>mA=-11B Pf -1 => =- si: =k 111' ni =>A= k B=>A11 B Si nembargoporcondici nAAB50nno colineaJes.Luegonuestras uposicinesfalsa, concl uyendo que:n=O Espero que ahora puedas demostrar que m =O. Hazlo,tpuedes!. Prob_19 Sisesabequelosvectoresayb5011110 cotillea/es,determinar elvalor de..x",paraque e =xii + (3x - ll)b y d = 2ii - Sb . sean paralelos. Enbasealadefinicin3,losvectoresfy d sernparalelossiexisteun"k"talque: c=kd ..(') A conti nuacinreempl azamos losdatos en (*): xa+(3x - ll)b = k.(2ii- Sb) xa+(3x - ll)b =2k- 5kb... (") Transponiendotodoal1ermiembro: (x - 2k)a+(3x - 11 + Sk)b =O Acontinuacinaplicarnoslapropiedadesta-blecidaen elejercicioan terior: Dea :x-2k=Ox= 2k De;:3x- ll +5k=O=>3x+Sk= lJ Resolviendoencontramosque: k =lx =2 Observacin.-Otrom tododeresoluci nconsisteenesta-bl ecerlaigualdaddecoeficientesenlaecua-cin ("). As: Dea:x =2k Deb :3x+5k=1l

... BDITO_BI www.FISICA2013.blogspot.com 01.- Se tienen losvectores a y ; de mdulos_6 y 8 respectivamente: calcular elmdulo de (a +b). a b Al10Bl l2C)13Dl l4El2 0). - Se muestran los vectores de m.dulos lal ~6Y lb I ~8, calcular el mdulo de (a + b). b - - - = - - - ~ < > -a ----"---Al2Bl4e l 6Dl8EllO Detenninar el mdulo de la resultante en cada caso: 07.-A)3 B)4 C)5 08.-A)12 B) 13 C) 14 D) 15 D)6 E) 7 03.- Sabiendoquelaresultantedelos _vectoresEl 16 mostrados es15. culeselmdulo de b? laI= 7 ~ Al7Bl8C) 9DlIIEllO 04. - Determinar la resultante del sistema de vectores mostrado. 9+ .. = 4 -x12 AlIBl 2el 6Dl 8El10 05. - Calcular la resultante delsistema de vectores. 5 - 2x12 -x = 7+x ~ Al-3Bl5el-6DlOEl4 06.- Determinar ~valor dex para que la resultante del sistema sea:R~14 (--. 6=3x-9 -------Al5Bl3 AnlisisVectorial A=2xt> C"--.:::Sr ,,-,-+,,,3 - t> e l 2DlIEl2 09.-A) 16 B)8J3 C)8 10.-A) II B) 12 C) 13 D)17 E) 20 11.- A) 10 B)20 C)20J3 D)4J3 E)4 D) 15 E) 1OJ3 l2.-A)15B)12 C) 10D) 9 E) 8 ~ 4 ~ 10 77 www.FISICA2013.blogspot.com l3.-A) 3D)9 J-B)3 J3 E)4 C)6 3 14.-A) 8D)9 12 B) 10 JiE) 10 ~ C)13 15.- A) 5D)5Ji J B)5 J3E)10 Ji 45 ,- ------5 C)1O 16.-A) 9D)6 B)8E)5 ~ C)7 17.- Sean los vectores lA 1=5Y IB I = 9 cuya resul-tante mide 4JW . Cul es el ngulo entre ellos? A)130"B) 37"C) 45D) 53E) 60" 18.- Se tienen dos vectores A = 8 y B =11. Cul de los siguientes no puede ser una resultante de ellos? A)8B) 11C)13D)2E)5 19.- La resultante mxima de dos vectores es16 y la mnima es 4. Cul es el mdulo del menor? A)10B)6C)8D)5E)3 2 0 . ~Dos vectores codirigidos tienen una resultan-te de mdulo iguala14.Algirar 90" a uno de los vectores.sunuevaresultantetieneunmdulo igual alO. Cul es elmdulo del mayor de ellos? ~ 4~ 5C)6~ 7E)8 21.- Dosvectores formanunngulode120",elde mayor mdulo mide 80 y la resultante es perpendicu-lar al menor. Calcular el mdulo de dicha re,ultante. A) 20B)40C)40J3D)80E) 15 22.- Se tienen dos vectores AyB de mdulos 5 y l . Determinar el ngulo que formanlos vectores si elvectorresultante formaunngulo de8conel vector de mayor mdulo. A) 45B)6O"C) 30"D) 53E) 74 78Fsica5toPre. 23.- Se tiene dos vectores de mdulos 5y 3.Cal-cularelnguloentrelosvectores sisuresultante forma un ngulo de 37' con el mayor de ellos. A)127"B)9O"C) 150"D)6O"E) 16 24.- Elvector resultante de dos vectores, mide 25 y haceunngulode74conunodelosvectores componentes el cualmide 31Cul es la longitud delotrovector? A)7B)24C)24J'iD) 12E) 76 25. Dos fuerzasde valores enteros consecutivos actan sobre un cuel]:Q formando 600 entre s, dan-doporresultanteJ61.Calculeelmdulodela menor de las fuerzas. A)2B)6C)4D)5E)7 26.- Dos vectoresA y B forman entre s un ngu-lode53.Si A=14,caicularelmdulodeBpara que A + B forme 37 con A . A)10B)20C)25J3D)30E) 15 27.- Los vectores 12X - y I Y 14Y - 2X I miden res-pectivamente 24 y 30 formandoentre si143. Se pide determinar elmdulo de Y. A)6B) 12C)5D)9E)10 28.- Sabiendo que iiybno son colineales, con qu valor de x resultan ser colineales los vectores: c=(x-l)ii+byd=(2+3x)ii-2b. A)-4B)3C)-6D) 1E)O RACSO BOITO"!.' www.FISICA2013.blogspot.com 3.5FsicaVirtual Esteapplet loubicasen elCDen lasec-cinFsica1.Consisteendeterminarlaresul-tante de un grupo de vectores que t puedes ir cambiando en nmero. Entotal el applet te per-mitehacerhastacincocambios Puedesvisualizarlaconstruccindela resultante,que aparece en color rojo, en forma dinmica.Esteprocesoteconfirmarelmto-do deltringulo ydel polgono. Que tediviertas. 3.6Aplicaciones Grficas .':;;' ". .'.,l ". Nota.MEn vista que la adicin vectorial tiene por definicin un soporte geomtrico, creo conve-niente proponer ydesarrollaraqu unconjuntodeejerciciosen losquedichaoperacin sever empleada para determinar nuevos vectores,en los que ser necesario recurr,iralas propiedades geomtricasbsicassobretringulosypolgonos.Veamos: Prob.20 Enel esquema se sabe que .-P=A+4BYQ=3B-A Se pide determinar el mdulo deB. , , , , , , , , , , 53: -----..q -t- 18 ----t-i;l;,.,.lui"t.n, eceeeoeeeeeCIeeCl ee1:1eeeeCI ee Completamoslosladosdelostringulosrec-tngulosnotables: , , , , :"" :tt"i :11

,.,. :11' .... 530:N ____ +-14-".--18 --"_---" 4.8---_'--,, Calculandolaresultante:R =P +Q AnlisisVectorial79 www.FISICA2013.blogspot.com 14=718 1 181=2 Prob.21 Calcular el mdulo de laresultante de los vectores 1II0strados, si el lado de hexgollo regular mide "a". 'If'''':'' '" aCIeaaaaeCIe'"CI aaaClCCI DCI CICICICI Nombrandoyacomodandolosvectores,ten-dremos: ,, ",,, ,, ,, ,, '- _ ____ __ J R=2a Prob.22 Determinar UlJaexpresin vectorial para x en fUll-cin deiiyb. 'lf1.jlit3t.Ui Oc CIeCICIgQee[] aael CICICI CI., CIoc CICICI Completandolosladosdelafiguray 80Fsica5toPre. graficandolosvectores: 3.4 ---X------+---16 ---t--Q p t::,. PHQ: t::,.QHR: 16 H9R x+16u=a(1 ) x =b +9 .... (2) (1).9+ (2).16:25x+144=90+16b+144 Despejandox Itendremos: Observacin.-9ii + 16b x ==-:::;= 2S Esposible identificar una estrecharelacin en-trelos vectores dados y las medidas de los la-dos opuestos aellos, talque: Q ,',,. .. ,.,,"''' ''''' -_._-P16H9R Prob.23 x = 9" +16b 25 Determillaruna vectorialparax en trminos dea Ab . 1lij.lIt,uUi ce 00 co eDoc CO [] Ccc co eecc ce [] - -- -Trazamos:BN//MD"b=AC

.. a! www.FISICA2013.blogspot.com Adems: MPes base media del fiBQC.Tam---> bin se observa queAChaquedado trisecado, de manera queAQ =AC/3.Luego del fiABQ se establece que: j= Prob.24 2>' 2b-3ii 6 - Dadoelsiguiemeconjuntodevectores,sepide enC011lrar suvector resultante,esto es,indicar su mdulo ysucorrespondiente direccin. F IJi1.1I1i,t.U' [] eEl oDDaD eDel oc DeDO DO DDO OC o Dado que existenparejas devectoresquefor-mancontinuidad,aplicaremoselmtododel tringulo.Luegosetendrunconjuntode vectorescolineales,aS: A 5 C' e e 7 E A 12 l:o-->-->-->-->--> a)AC+CCACb)EH+HCEC -->-->-->-->-->--> e)AF+FE=AEd)DF+FB=DB Graficando estos vectores, y empleando la con-vendn de signos indicada,tendremosquela resultantevienedadaas : --+--+--+-+-+ R=AC+EC+AE+DB R =(+5)+ (-7)+ (+12)+ (-6) R=+4 --> R= 4 (-+) Prob.25 Determinar la suma de todos losvectores que se muestran enla figura: DenominemosconR alaresultantedelsis-tema,talque: R =JI+B +E+)5+E +F+G...(1) Delesquemaoriginalse puede afirmarque: ...(2) yadems:E +E=)5...(3) A continuacin, reemplazamos(2)y(3)en(1): 81 www.FISICA2013.blogspot.com Prob.26 Determinar el mdulo de __ A+B- e +l5- E para el sistema mostrado. dOlle:1A 1=3; 1B 1=6 Construyendo el sistema de vectorescon: e y-E Observaremos que: R =A+8- C+D-E =A - C Dado queD+8+(-E)=O: li i5 Prob.27 3: b. _________ _ 6 Eneltringulomostrado,encontrar el vectorx en fimcin delosvectoresA y . si se cumple quePQ =QR12 s 82Fsica5/0Pre. '!!1,iil.('U' CC! CI eCI aCaDCI CICICI CICID CI CIoa CI 01:1 CICI Haciendo:PQ=m Entoncespor condicindel problema: S QR=2i Luego, aplicando el mtodo del tringuloten-dremos:. L'.PQS :m+1'=Am=A-1' ..... (I) L'.QRS:2m +8 =1' ..... (2) Reemplazando(1)en(2): 2(A-1')+8=1' Observacin.- Esposibledeterminarx empleandolasiguienterelacin: x = A(QR)+ 8(PQ) A(2)+ 8(1) 1+2 PQ+QR 2A+B x=--3-Prob.28 = DelI:::..PQR,M es UII punto medio de PQ.Detemli-narunaexpresinparax en funcindea y b . ,///' p ji .. , , :l R ;"J;;j MQ .aa RACSO

www.FISICA2013.blogspot.com Ejercicios de este tipo requieren del uso de 1m buen nmero de propiedadesgeombicas;veamos: 1)Elb..PQR es issceles: 2)QN eslaalturadelb..PQRrelativaallado desigualPR,portantoesadems: bisectriz, mediatrizymediana. 3)RMes tambin mediana del b..PQR relativa alIado PQ , esto significa que G por ser el pun-todeinterseccindelasmedianasesel baricentrodedichotringulo. .4)Porpropiedaddelbaricentro,sedebecum-plirque: .... =>GR 5)AcontinuacinaplicamoselMtododel ............ Tringulo en elliPMR:PM+MRPR 3- 2- ; =>x=a-I Prob.29 Sabiendoque"G"eselbaricentrodelI!.TQM. Encuentraunaexpresin parax en funcinde liAH? Q TM AnlisisVectorial lli3.j!l,',Ui ooooe eo o00000000000000 1:1eo Si"G"eselbaricentro,trazamoslamediana QN, de este modo: 1.... x 0:::"3QN..... (1) Perodelparalelogramo TQMP,seobservaque "N"es punto medio de lasdiagonales, por ello : .... 2QN --+1- -QN2"(A+B) . .... (2) Reemplazando(2)en(1): 11- - .. Q p Prob.30 M Dadoelsiguientesistemadevectores,sepide determinar unaexpresin parax en funcinde AAB. llf'i.J!i1I.i,n. 00 eee eCIeceo eoeooocoooe oc o Valindose de lapropiedad de interseccin de diagonalesvistaenelejercicioanteriorydel vectorm , se puede establecer que: a)Delparalelogramo; 2xA +m....... (1) b)De laregintriangular sombreada; m +B....... (2) 83 www.FISICA2013.blogspot.com Sumando miembro amiembro (1)y (2): u+m+A=A+m+B 2 A =>H=B-2 Prob.31 Del sistemavectorial mostrado,se sabeque: lIJA+118- px=O Calcular: E = 4m - 811+ p,sabiendo que M y N son pUlltos metlios deON yPQrespeclivamellle. O B p '----+.-----=""Q Elaboramosungrficoenelquetrazamos: NT //QS _ Acontinuacin,siapli camosor-denadamenteelteoremadelospuntosme-dios(visto engeometrapl ana),tendremos: a)En el!'>OTN : ST = OS=>sr =A b)En el!'>PQS : TP =ST=>TP=A O p N Q Adems:OM::::MN =x:::)CM ::::X Delgrficotambin se deduce que: OP +OQ=2i5=>3A+B=4x =>3A+B-4x=O Entoncesporcomparacintendremosque: 84FsicaStaPre. m = 3 ;11=1 ;P = 4 E =4(3)- 8(1)+ 4 E=8 Prob.32 CalcularelmdulodelaresuLw1IIedelosvectores nwstrados si el lado delltexiigono.regular mide "a", , , , , , , ~ ~ - -'. / 1lfj.j!lt.i.UI DO cc eo[] [] [] eloel 1:1[] 1:1[] OC DO e[] ee[] Elsistema de vectoresdados pueden ordenar-sey agruparse del siguientemodo: DE lo e+- - - - - I - - - ~ , 7 \ ~ , - - - I - - - -a,,.1.'''1\\ a =>RA+B+C+ D+E '----0= J72+IS'-2.7.JScos I27"(') yrecordando que: cos1270 = - cos 530 = -3/5; alreemplazar en(') setendr: 88Fsica5toPre. D=J49 +225-21r{ -i) D=20 Prob.34 E%J!alll-!el ngulo que debell formar dosvectores AyB, para que el mdulo de su resultante sea igualal desuvector diferellcia. 1ll,.l!ii_(,Ui 00 COgO 00 QgocrooOCCOOOQOOOO Empleandolasrelacionesconocidassedebe cumplir que: iRl=IDI,luego: JA2+B2+2ABcos9=J A'+B'-2ABcosf)

--,.. BDIToaBI www.FISICA2013.blogspot.com Eliminandotrminossemejantesypasando todoal 1crmiembro, setendr: 4.A.B.cos e = o,peroA O 1\B O Luego:cos e =Oe = 90 Prob.35 Dado el por deveclOrt!1: = 5x - 6 Y 181= 12, los cuales verifican:I A- B I = 3x:se pide calcu-lar elvalor de"x". Dado que elmdulo de unvector es un nme-ropositivo,conclui mos que : 3x>0==>x>o Luego,pordefini cindes ustraccinde vectores,tend remos que: A+ (- jj ) Grafi cando: -B 12' A + (-B) 3% Dedonde :Sx- 60+12=3x 2x=48 Prob.36 x =24 Sabiendoqueayb110SOIlcotilleales.qu valordebelene r"x"paraqueresullellse r cotilleales los vectoreseyd . si: e = (x - 1)a + b1\(j= (5 - 3x) -2b 'lii,hll.t.U' QaClc eo(2 eoeecaCl ea00 co 00 ooo Delacondicindecolinealidad,diremos que AnlisisVectorial e 1\ dson colinealessi: d=ki',\fkEIR =>(5 - 3x)"- 2b=k[(x-1)" +;J =>(5- 3x)"- 2 b =k(x - 1) + k b 1 Porcomparaci ndirectadecoeficientesse puedeestablecerque: Parab: k =-2 Para: 5 - 3x =k(x - 1) 5 - 3x =-2, + 2 5- 3x =2(x - 1) Prob.37 ElI colllrar UIIvector unitarioellla direccin AN, sabiendoqueABCDesllllrectngulo )'Mes pUl/lOmedio deAD. '!!j,I!i! .. t.u. ceceo oeeecc cc COOCOQOOO 00 e De acuerdo con elgrfico original, deducimos que: -HC=AD1\Al)=2b=>BC=21> -->4-Asimismoreconocemos que:8N= - b 3 Aplicandoahoralarelacin(3.3),tendremos: --> AN --> IANI Ji= 3ii +4b 15 89 www.FISICA2013.blogspot.com 01.- Se tienen los vectores a y ; de m6dulos_6 y 8 respectivamente; calcular elm6dulo de (a - b). e b e A) 1B)2C)3D)4E) 5 01.- Se muestran los vectores de m.dulos lal = 6Y lb I= 8, calcular el mdulo de (ii . b). b , A)2B)4C)6D)8E)14 03.- Sabiendo que:A - B =3 (-C)4 a - 5,j 06.- A)5D)IO ~w ~ B)20E)10../3 C)5../3 b=20 9 OFsica5/0Pre. 07.- A)OD)2 d ~ B)5E) 5../3 C)4 08.A)4D)7 ~ B)5E)8 37"/0 C)6 b=8 09.- A)6D)ll ~ Is B)8E)12 b=953' C)IO 10.- A) 14D)IO b=6L B)2E) 12 C)16a=8 U.- A)20 D)6../3~ B)8 E) 10:~5!: C)8J2 b=? 12.- A)10D)O ~ ~ B) 10../3E)5../3 C)5 b= 10 13.- Dosvectoresdeigualmdulotienenunvector suma cuyo valoresel doble que el de su vectordiferen-cia. Qu ngulo forman entre s los vectores dados? A) 30'B) 37"C)45'D)6O'E) 53' J!!il RACSO --"IIDITO .. BJ www.FISICA2013.blogspot.com 3.9.Descomposicinvectorial Descomponerunvectoresencontrarunconjuntodevectores cuyaresultanteseaelvector dado.As pues, unmismo vector puedetener unainfinita ga.made conjuntos posibles,todos con unamismacaracterstica:Tenerlamismaresultante.Alcon-junto de vectores con dicha caracterstica se le llamar vectores COl1lponefltes.Estaoperacin es posible envirtuddelsiguiente principio: "El todo es igual alasuma deSIlSpartes" CuandotenemosunvectorVydosdireccionesdadas .f.ydonde se colocarn 105vectorescomponentes,lades-' composicinvectorialconsisteenconstruirunparalelogra-modemodoquelosvectores componentesVIyV2 seubican endos deloslad!"sdel paralelogramo,talcomo se aprecia en lafiguraadjunta. ,

- - - _ . IYo.r. I 3.10.DeSCOmposicinrectangular enel plano Eslaoperacin que consiste en descomponerW\vectorV =1 V1=e,en funcinde otros ubicadossobredosrectasperpendiculares(Ejex"Ejey).Siguiendolospasossealadosenel item3.9seobtendrnlascomponentesrectangulares\Ix1\ \ly'loscualesverificanlassiguientes relaciones: Vx = Vcos e "Vy = V sen e y Observaciones Si cOllocieraslascompollentesVx 1\V y deunvectorVIentoncesseyy cumplirque: (mdulo) (direccin)tan9=V,IV. i =vectorunitario en el eje X j=vectorunitario en el ejeY Seobservarque: 1)I i I = 1&. 2)I ]I =1/90 3)I i I =I } I=1 A"lisisVectorial J v. x V=v;t + V:l 1 91 www.FISICA2013.blogspot.com 3.11.Composicinrectangular Al sumar variosvectores por elmtodo de ladescomposicin rectangular, debo decir que la operacinestconstituidaporlossiguientespasos: 1 erDescomponerrectangularmentecadaunodelosvectores,segnunpardeejesortogonales previamente elegidosx ey. 2do Sumarlascomponentesquese ubicanenunmismo ejeyporseparado, de modo que: LVx ,y,R;LV yy 3" Encontramos el vector suma totalji por medio de las frmulas: IRI;JR;+ R:,y,tg B; /Rx Observaciones En vista que laresultanteJIdel ejemplo ante-rior no tiene componente en el eje X (Rx;O),sta se ubicaren el ejeY.Esteaspectodelasolucin nos sugierelaexistenciadelassiguientesreglas: a)SiJIeejeY,implica que:R.;O b) SiJIeeje X,implica que:R, ;O y Rey 3.12. EXpresincartesiana deunvector y x Rcx x Six e y son lascomponentes rectangularesde un vector v.entonces su expresin cartesiana se denotarcomo:i7 ;(x;y),llamadoparordenado.Asimismopuedeestablecerselasiguiente identidad: v; (x;y);"l+YI Del ejemplo delafiguraadjuntapodemosreconocerque: 1)ElvectorAseconsigueas:tresunidadeshacialaderecha (+3i)ycuatrounidades haciaarriba(+4}). -A;3i 'r4j;(3;4) 2)Elvector8seobtuvoas:cincounidadeshacialaizquierda (-Si)ytresunidades haciaarriba(+3}). -B;-5i +3j;(-5; 3) 3)El vectore sedeterminas: seisunidadeshacialaderecha (+6;) y tresunidadeshaciaabajo(-3}).Del ejemplo delafi gura podemos afirmar que: -C;6i-3j;(6;-3) 92Fsica5to, Pre. y (3;4) 4---------(-S; 3) ,------------ 3 , , , : -S , -' -3j: f ___________ _

--"BDITOI.8 S www.FISICA2013.blogspot.com 3.13.Vector Posicin Sea O el origen de coordenadas del sistema formado por losejesOX,OY.Elplano determinadoporlosejescoorde-nados OX yOY se llamaPlallo deCoordwadasOXY.SiP esun punto de dichoplano de coordenadas (x; y), se escribe:P (x; y). Sedefine elvectorposicinllamadotambinradiovector: ->- -OP=xi + yj=(x; y) Unaaplicacindeestadefinicinescuandotrazamos ..., un vectorABdel punto A(A; A) hacia el punto B (8; B )lo xyxy que en lafigurase muestra como un segmentodirigido.Las coordenadas de este vector se determinancomo ladiferencia de las coordenadas correspondientes del extremo8 y el origw A. Observa: -+-+--+-i_ _ AB= O B - OA,o abreviadamente:AB= B- A -> ytambin:AB= (B- A;B- A) xxyy De estemodo ladistancia entrelos puntos A y8ser: ..., Ejemplo:DeterminarAB"AB, si: A (-3; -1) "8(5 ; -7) ->..., =>AB= (5; -7) - (-3; -1)= (5+ 3; -7 + 1)=>AB= (S; -6) =>AB= JS2 =>J64+36=>AB= 10 3.14.FsicaVirtual y y---------O y p xX : , , : , : , , B OB=-B:X Estos Applets los ubicas en el CD en Fsica1 ytepermiten determinar laAdicin y Sustrac-cin dedos vectoresubicadosen elplano XV.Tedivertirs. . .. ..; :1 , .... AnlisisVectorial .-e2 .... I ..........,.. _. ___ o" ...'"('..-" .....r-. 93 www.FISICA2013.blogspot.com Prob.38 Determina e1m6dulo de laresulrame del conjun-to devectoresmostrados. I;';".IIII.. (.' ecgco eDaCI CI eeeece 0::::1Clac DC> '" Elesquemamuestraladescomposicin delos vectores, tal que: a + ;= (al+b)+2+ b2..( ",= -j,) ----=---=0 I a +/JI =I alI +I /JI I ii+;I =12 OTROMTODO Siconstruimos otroperelelogreJ!lo alledo del original, trasladamos alvectorby aplicamos elMtodo del Tringulo,tendremos que: ,...,', ,,' 66 94Fsica5/0Pre. Prob.39 Determina las compollellles deA :::;20/40 , so-bre las recltls cuyas direcciones son: /240 y1770. CCOCDe 00 OCCCDCCCCOOC oc DCO _______________________ Recta de referencia Luegodeconstrui rlagrfi cacontodoslos datos proporci onados, aplicamos laLey de los Senose nlaregintriangularsombreada. A sen 1270 AlA220 7/25=3/5 =4/5 A, = 7AA, = 15 Prob.40 Sabiendo queV=V1 +V;.se pide dererminar e/mdulo de laeDmpOl/emeV;si adems se sabe q/le:V = 18/83Y V;=30LsL. llii.i!I!-(.Ui 00 cO oaoeOCIae00 Cla eO00 aaeO e "V=18 V2 -----83 53 V2 R.R. i!iSilRACSO -"BDITO.ES www.FISICA2013.blogspot.com Delgrficoelaborado,reconocemosqueloms adecuado para determinar V2'es aplicar la Ley de losCosenos en laregintriangular sombreada: V,2=18'+30' - 2.18.30cos53" V2 =24 Observacin:Dejoparatilademostracin de que el ngulo entre losvectores mide:e =1430 Probo415 Determinarlamedidadelngulo8que forman lascomponentes de fUIvector cuyos mduLos SO" k Y 5k,de modo que el mayor de ellos forma 8 con elvector original. '.i#.l!ii;t.. 00000 oc oooC oocooooooo 00 o 2,:@./ -----------Alhacerlaconstruccindelgrficoindican-do los datos, observamos que lo adecuado aqu esaplicarlaLeydelosSenos.Enlaregin triangularsombreado: k5k sen 8"' sen(6-8") ... (sen8"=~ ) => sen (6- 8") = 5 sen 8" =>sen (6 - 8")= 5.~ => ")..Ji sen (6- 8=-2 => 6_8" =45" 6=53" Prob.42 Encontrar elnguloque formalaresuLtantedel conjl/ntodevectoresdados,COIleleje+ Y.Se sabe tambinque: AnlisisVectoriaL IAI=3;IBI=4.y ,ICI=5. y x ,,ti'l!I/"un' 00000 oooo00000000 00000 00 o x Enprimer lugar debemos reconocer que lare-sultante parcial de los vectoresA yB mide 5 y forma con el eje X un ngulo de 37,tal como se indicaenlafiguraadjunta.Acontinuacin notamos que el problema se hared ucido a dos vectoresdeigualmdulo:S,demodoqueal construirelparalelogramo,obtendremosun rombo, donde laresultanteR es unadiagonal quealavezesbisectrizdelnguloformado pordichosvectores .Luego,losnguloscon-secutivos en Oserntalesque: 73"+ 2a + 37" = 180"=>a= 35" Finalmenteelngulo buscado .e,seencontrar as: e = 18" Prob.43 EI/contrar el mdulo de laresultallte deLsiguien-teconj/lntodevectores,dondeIAI=12J2, y, IBI=15. y 95 www.FISICA2013.blogspot.com liii,.liil:(t' ooElooElooo00 00 eoeoeo00 eeee Procediendo a descomponer rectangularmente : y Acontinuacin,determinamoslasresultan-tesparcialesencadaeje: 1)Rx=Dlx =>Rx= -Ax+Bx=-12 + 12=>Rx=O 2)Ry= l:Yy=>Ry=+Ay+By=12+9=>Ry=2l Finalmente,apartirdeestosresultados,ob-tendremoslaresultante delsistemadado: IR I = JR;+R:IRI=21 Prob.44 Determinar lascomponentesdelvectore para quelaresultallle del sistema dadoseanula. (.r,y)y -(16; 5)+(-6 ;-8) +(x; y) =(O;O) Efectuandolasumadeabscisasyordenadas porseparado,tendremos: (1 6 - 6+ x; 5- 8+ y)=(O; O) =>(10+ x; -3+y) =(O; O) 96Fsica5toPre. Porcomparacinencontramosque : x=-10y =3 Prob.45 Detenninar elmdulodelvectorEsi laresul-tallle de losvectores se encuentra sobreel ejeY. IAI=10,[2 ;181=10 . ti,l!II,uU' cc 00 oD01:11:1aCDODDClaODCI DO ce CI , y

-,

, 10 ..3i , , ., 45 . " ,')7" 104kX -(, 7 8 6 Descomponiendorectangularmentetodoslos vectores, y considerando que la resultante est en el eje y;tendremos que: l:Vx =0=>4k - lO-6=0=>k=4 Luego:C = 5 (4)C = 20 Prob.46 Determinar elmdulodelvectorresullallledel sistema mostrado. si:A =1; B = 2J2 . .$iil RACSO --"BDtTOt.IIS www.FISICA2013.blogspot.com l,j!'.ii'l'i.' ooooeoooO!:JO OCO CCooc DO DD!:J Q Descomponiendorectangularmentelosvec-tores dados,tendremos: 10 2Y .-",2/' 2'....,,/' 6 % = R,=+8+2-2-2=+6 Ry = +6+ 2 - 10 - 4 = -6 R = J{+6)2+ (-6)' R=6J2 Prob.47 y o Sabiendo que laresul/allle delsistema es: % - -R = (-8;-6); determinar las coordenadas de A " (-15;3) (3;2) 1'!i.!'I!II(.Ui oooce CPel 1:100 ooeoeOc 00 oc ece o Sea: JI=(A; Ay), luego, por condicin del pro-blematendremos: B =(3;2)e =(-15;3) JI+B +e = (A, + 3 - 15;Ay + 2 + 3) (-8; -6) =(A, - 12;Ay + 5) Y por comparacin detrminos: =>A=-11 y JI= (4; -11) AnlisisVectorial Prob.48 Laresultante del sistema/ielle UI1mdulo igual a 10 yforma+370 eOIlel semieje+ x.Determinar lascoordenadas dei. (-2;-5) 1lg,.!!i!tI(.Ui QDCClC gg oooooOOOOOOODDOOO o Descomponiendolosvectores ygraficandola resultante,segnlascondicionesdadas,ten-dremos : 8 , , , , ,./5 2 m, % Dedonde se puede deducir que: a)Rx = 8=>8 = IIIx- 8 - 2=>mx=:18 b)Ry = 6=>6=8+111-5 y =>l11y=:3 Luego:m = (lIIx;lII y) "" m= (18; 3) Prob. 49 Del ejercicio Gll/erior,deter.millar la direccilI del vector i . 1!!,.j"I"i,Ui CCD DO ooCOCOCO oOClOC Cl oeoooo Por lo expuesto en elitem 3.10, diremos que la direccin dem estdado por : 11Iy3 tan e =- 18 mx =>tane =i e =9,470 97 www.FISICA2013.blogspot.com Encontrarelmdulodelaresultantedelos vectoresmostradosencadacaso: 01.- A)14 B) 12 ClIO D)8 E)6 02.- A)10 JiI B)20 Cl 18 D)40 E)3 J65 03.- A)13 B) 12 ClIOJ3 D)8 E)6J3 04.- A) 20D) 5 B) 15E)O C)IO 20 19 20 14 10V3 j 60': , , , y: 15 5,J3 lO :Y 30 - - - - - ~ 37" 15 os.- Calcular elvalor de A para que la resultante se encuentre enel eje "y" A)3 B),/2 Cl4 D)3,/2 E)S,/2 98Fsica5/0Pre. 15 50 06.- Determinar elvalor de B para que la resultante se encuentre en eleje "x" A)12 !y B)11 2!N2 4So[ Cl IS 53" D) 13 B 16 E) 25 07.- Calcular el valor den para que la resultante de los vectoresmostrados seencuentren eneleje "y" A)lO" B)30" Cl4O" D)6O" E) 33 08.- Calcular elvalor de e para que la resultante se encuentren en el eje "x" A)lO" B) 11C) 16 , , D) S" leso E) 30" 09.- Determinar elmdulo delvectorA para que la resultante forme + 37c,QJ1el semieje positivo de lasx".Adems:B=2J2 ; C=7 A)S BllO Cl IS D)20 E)NA y ~ R A C S O ---"sDIToaas www.FISICA2013.blogspot.com 10. Enelsiguiente conjunto de vectores, determi-nar laexpresin cartesiana de: - - -R=A+B+C+D. A)(4;-2) B)(3;-I) C)(2 ;-2) D)(3;-3) E)(3; -2) ll.-Enlafigura,evaluaraypsi:B =aA+PC A)1/4; -3/4 B) 114; -3/2 I\B C) 1/2; 3/4 AV ~ D) 1/3 ; -5/3 W E) 1/2; 3/2 c[\:\ 12.- Dadoelsiguienteconjuntodevectores,se pide encontrarunaexpresinvectorialparax en funcinde AyS . Se sabe que PQRS esun cua-dradoyMY Nsonpuntosmedios. A)J3s +J'SA Q .-----'T---R B)3S-EA C)2Es -311./2 A D)2S-J3Ax , E)Es - J3A p ""---------' S 13.- Sia ybsonvectoresunitariosy"a" esel ngulo que forman, evaluar: A)cosa D) sen(0/2) 1lii+bl B) sena E)NA C) cos(0/2) 14.- La resultante de dos vectores mide 25 y hace un ngulo de 74' conuno de ellos el cual mide 31 Cul esla longitud delotro vector? A) 7.B)24C)24J2D)12E)76 AnlisisVectorial 15.- Calcular x en funcin de Ay B, si: X 11MN A) (A+ B)/2 B)( A+B)/3 C)(A+ B)15 D)( A+ B )16 E)A+ B A .', J,- ", f-.::;7' , . x' f\ N M jj 16.-En la figura se muestra un paraleleppedo. Cul es elmdulo delvector resultante? A) 18 B) 19 C)25 D) 14 E) 17 : : : - - = ~ - ~ ~-- ----.------r ~ ~ ~ ~ ~ 5 ~ 12 17.- Determinar la medida del nguloa para que la resultantedelosvectoresmostradosseaiguala 10, sabiendo adems que AB = 12,BC= 16 (M Y N son puntosmedios) A) 60' B)74 C)90 D)120 E)127 --------------------Ae 99 www.FISICA2013.blogspot.com