CAPTULO

oordenadas cartesianas rotacin de ejes

rectangulares

1.1

Coordenadas cartesianas rectangulares de coordenadas,

Desde u n p u n t o fijo O, al q u e se le llamar origen

se trazan tres rectas fijas Ox, Oy y Oz p e r p e n d i c u l a r e s entre s, c o m o e n la F i g . 1. A estas rectas se las l l a m a eje x, eje y y eje z, respectivamente; y en c o n j u n t o se les d e n o m i n a ejes cartesianos rectangulares Oxyz. p l a n o s Oyz, Ozx yz, p l a n o zx y p l a n o xy respectivamente. Los y Oxy se l l a m a n p l a n o s coordenados, o tambin p l a n o

xFie. 1. Coordenadas cartesianas rectangulares.

Se a c o s t u m b r a elegir los ejes de t a l m a n e r a q u e Ox, v a d o r q u e m i r e e n l a direccin Oz,

Oy y Oz f o r m e n

u n sistema d e r e c h o , en ese o r d e n . E s t o s i g n i f i c a q u e p a r a u n obserel s e n t i d o d e l arco m e n o r d e u n p u n t o sobre Ox a u n p u n t o sobre Oy es e l de las m a n e c i l l a s d e l r e l o j . L a F i g . 2(a) i l u s t r a esto y l a F i g . 2(b) m u e s t r a l a relacin de l a F i g . 2(a) 13

14

Coordenada cartesiana* ra tarif'iilarrr y rotacin de ejetNtese q u e para u n o b s e r v a d o r q u e m i r e e n l a

c o n l.i m a n o derecha

d i r e a n Ox, el lenticlo d e l arco m e n o r d e Oy a Oz es e l d e las mane(ill.is del reloj; j para u n observador q u e m i r e e n l a direccin d e Oy, e! ( n u d o del m o m e n o r d e Oz a Ox es e l d e las m a n e c i l l a s d e l relo). Los tres e n u n c i a d a respecto a los observadores q u e m i r a n e n l a direccin de los ejes i rspectivos, i m p l i c a n u n a simetra cclica e n x, y y x; es decir, si en c u a l q u i e r a d e los tres e n u n c i a d o s , se substituye a x p o r y, y p o r z y z p o i K, entonces se o b t i e n e u n o d e l o s o t r o s dos. A l a o p e r a i i o n de l u b s t i t u i l . x p o r y, y p o r z y z p o r x se le l l a m a 1 bio cclico entre x, y y z. intercam-

L a posicin de u n p u n t o P c o n respecto a u n sistema d a d o d e ejes cartesianos rectangulares, se especifica d e l a m a n e r a s i g u i e n t e : se d i b u j a n las p e r p e n d i c u l a r e s PL, PM y PN q u e v a n desde P a l o s p l a n o s yz, zx y xy respectivamente, c o m o en l a K i g . I. S e a : x = l a l o n g i t u d de PL,

Fio. 2. (a) La flecha indica un giro en el sentido de las manecillas del reloj, como la vera un observador desde la direccin Oz (b) Relacin con la mano derecha.

s i e n d o de signo p o s i t i v o c u a n d o P y Ox estn situado e n el m i s m o l a d o d e l p l a n o yz y d e s i g n o n e g a t i v o definen: y = l a l o n g i t u d de z = l a l o n g i t u d de PM, PN, e n easo c o n t r a r i o . Si m i lar mente, se

Coordenadas cartesiana rectangulares 15c toma el signo positivo o negativo p a r a y d e p e n d i e n d o d e q u e P y Oy t e n situados sobre el mismo lado o sobre e l o p u e s t o d e l p l a n o zx; y el signo positivo o negativo para z segn P y Oz estn situados sobre e l mismo lado o sobre el opuesto d e l p l a n o xy. A los nmeros x, y y z se les llama c o o r d e n a d a x, c o o r d e n a d a y y c o o r d e n a d a z d e P . A P se l e denomina c o m o e l punto (x, y, z). U n a observacin e l e m e n t a l es q u e , c u a n d o se d a n x, y y z, l a posicin P con respecto a los ejes q u e d a d e t e r m i n a d a d e m a n e r a nica. Recpr. rocamente, c u a n d o se d a u n p u n t o P, ste d e t e r m i n a u n a trada nica de c o o r d e n a d a s . E n otras p a l a b r a s , h a y u n a correspondencia Distancia PM al origen. de uno a O, uno e n t r e los p u n t o s P y las tradas de nmeros reales (x, y, z). P a r a h a l l a r l a d i s t a n c i a desde P a l o r i g e n construyase el paraleleppedo r e c t a n g u l a r q u e tenga c o m o lados a PL, y PN ( F i g . 3). P o r e l teorema de Pitgoras, se tiene q u e : OP2

= ON

2

+

PN2

2

= PU + PM

+

PN .2

T L

M

/ /o

p

/

/ /2 2

Fie. S. Construccin pan hallar la distancia OP.

P u e s t o que las distancias perpendiculares desde P a los planos coordenados son |x|, |y, z|, se deduce que: OP = V ( x - + y + z ) . 1-1)

16

(loordenwlan i-artesianas rectangulares y rotacin de ejesrutic punios, l a d i s t a n c i a , entre los p u n t o s P(x, y, z) y se o b t i e n e de l a m a n e r a siguiente. Se d i b u j a n tres ejes PY y PZ q u e pasen p o r P y q u e sean p a r a l e l o s Oy y Oz, c o m o se m u e s t r a e n l a F i g . 4. S i X,f

Distancia /" (x\ y', z')

c o o r d e n a d o s nuevos PX, a los ejes o r i g i n a l e s Ox, tonces es fcil ver q u e :

Y y Z, s o n las c o o r d e n a d a s d e P

c o n respecto a estos n u e v o s ejes, e n -

X = x' A p l i c a n d o el r e s u l t a d o

x,

Y = / -y,

Z = z - zf

(1.1),PF =>

/(X +K 4-Z )2 2 2

f

y e n trminos de las coordenadas c o n respecto a los ejes o r i g i n a l e s , pp> = v u * ' - * ) /2

+ (/ - y)

2

+ P

- )hz 2

(45)

Fie. 4. Construccin para hallar Pf*.

Rk

EJERCICIOS1. Demostrar que la distancia entre los puntos (5. 4, 2) y (0, 3, 1) es 3 y/ 3. 2. Demostrar que la distancia desde el punto V (2a + 262 + c2).2

{a b, a + b, c)

al origen es

3. Hallar los puntos del plano xy que estn a una distancia unitaria desde el origen y sean equidistantes a los ejes X y y.

Cosenos directores y razones de direccin

17

\ Hallar los puntos que estn a una distancia de 5 unidades desde el origen y cuyas distancias a los planos xy y zx, son 2 V 2 unidades. 5. Hallar los puntos que estn a una distancia de i \/ 2 desde cada eje. 6. Hallar la distancia entre a) los puntos (1, I, 0) y (1, 2, 4) 6) los puntos (3. - 1 . 2) y ( - 1 , 5, - 1 ) . 7. Las coordenadas de un punto O' con respecto a los ejes cartesianos rectangulares Ox, Oy y Oz son (1, I, 1). Tomar los nuevos ejes O'x', O'y' y O'z' que pasen por O', tal que, sean paralelos a los ejes originales respectivamente. Hallar las coordenadas de O con respecto a los nuevos ejes. Si un punto P tiene coordenadas (1, 2, 0) con respecto a los nuevos ejes, hallar sus distancias perpendiculares desde los planos xy, xz y yz. 8. Hallar la longitud del permetro del tringulo cuyos vrtices estn situados en los puntos (1, 0, 0) , (0, 1, 0) y (0, 0, 1).

1.2

Cosenos directores y razones de direccin directores. Oy Sea OP u n a recta o r i e n t a d a desde O (el origen) forma L o s cosenos directores de OP se d e f i n e n

Cosenos c o n Ox,

a u n p u n t o P, y represntense p o r a, (3, y los ngulos tpie OP y Oz ( F i g . 5). c o m o eos a , eos fi y eos y. P o r c o n v e n i e n c i a se e s c r i b e n : l = eos a, ra = eos (3, n = eos y.

(1-3)

Por ejemplo, los cosenos d i r e c t o r e s d e l eje x s o n 1, 0, 0. i n d i q u e p o r A el p i e d e l a p e r p e n d i c u l a r desde P a l eje x , sea OP = r,T

y s u p o n g a q u e las coordenadas d e P s o n (x, y, z). P o r el tringulo se tiene q u e ON

OPN

= \x\ = r|cos a|. T a m b i n si a es u n ngulo a g u d o ,

t a n t o eos a c o m o x s o n positivos, m i e n t r a s q u e si a es u n ngulo obtuso eos a y x s o n ambos negativos. D e aqu se d e d u c e q u e x = r eos a, y anlogamente se d e m u e s t r a q u e y = r eos P y z r eos y Po** tanto, los cosenos directores d e OP s o n B Puesto que r = x2 2

l ==, x / r ,2 2

m y/r,

n zr.

(1-4)-

4 y + z , se t i e n e l1

-f- m

2

+ n = 1.2

(1.5)

E s t o d e m u e s t r a q u e los cosenos d i r e c t o r e s de u n a recta n o s o n i n d e p e n d i e n t e s : d e b e n satisfacer l a ecuacin (1.5). P o r detinicin los cosenos directores d e u n a recta W q u e n o pasa p o r el o r i g e n s o n los m i s m o s q u e los d e l a recta p a r a l e l a trazada desde e l o r i g e n c o n el m i s m o s e n t i d o q u e

18

Coordenadas cartesianas rectangulares y rotacin de ejesz

X

Fe 5. La recta OP forma ngulos o, p. y con los ejes. Razones de direccin. Cuando tres nmeros cualesquiera a, b y c, son tales que: a:b:c = l:m:n se les llama razones de direccin de OP. Si la ecuacin ca, se tiene / = a/d, que sustituidos en la ecuacin d= m = b/d, (1.5),2

(1.6) (1.6) se verifi-

n = c\d,

(1.7)

V(

+ & +^)2

( )L8

L a eleccin de signo en (1.8) indica que hay dos conjuntos posibles de cosenos directores correspondientes a cada conjunto dado de razones de direccin. Estos conjuntos de cosenos directores corresponden a rectas paralelas con direcciones opuestas.

EJERCIOOS9. Demostrar que los cosenos directores de la recta que une el origen con el punto (1, 4, 3) son: 1/V26, - 4 / V 2 6 , 3/V26.

Angulo entre rectas que pasan por el origen

19

lo. Hallar los cosenos directores de la recta que une el origen con el punto

. 5) II Una recta forma ngulos de 60 con el eje x y el eje y, y est inclinada en fulo obtuso con el eje z. Demostrar que sus cosenos directores son J , \, \/2 y terminar el ngulo que forma con el eje z. l " Hallar los cosenos directores de la recta que equidista de los tres ejes y est el ociante positivo x ^ 0, > ^ 0 y z ^ 0. 13. Hallar las razones de direccin de la recta que forma ngulos de 45 con el 1 x y el eje y, y est situada en el octante positivo.

..'t

n g u l o entre rectas que pasan p o r el o r i g e n c o n cosenos directores /, m , n y V, tal que

C o n s i d e r e d o s rectas O A y OA', untos d e OA y OA'

', n'. P a r a h a l l a r el ngulo 0 e n t r e ellas, represente p o r B y B' a l o s (si es necesario e n s u prolongacin) (1.4)r

B = OB' = 1 ( F i g . 6 ) . E n t o n c e s d e l a ecuacin as c o o r d e n a d a s d e B y B' s o n (/, m , n) y ( "e los cosenos a l tringulo OBB', eos 6 = ero p o r (1.2), BB'2

cuando r = 1

m', n ).

A l a p l i c a r l a ley

se tiene:2

OB

2

+ OB'

-

BB'

2

'20BOB'

= 1

-IBB' .2

= {V = (V2

l)

2

+ (m' 2

m)

2

+ (n' - n )2

2

+ m'

+ n' )2 2

+ (l2

+ m2

2

+ n ) - 2(11' + mm' +2

nn').

I isando los resultados l + m + n tiene:

= 1 y

l'

2

+ m'

2

+ n'

2

= l, se o b -

eos 6 = IV + mm' +

nn'. y OA'

(1.9) igual a

O b s e r v e q u e , c u a n d o se t o m a e l ngulo e n t r e OA

$, tambin se o b t i e n e (1.9), p o r q u e eos (2JI 6) = eos 6.

Fie. 6.

20

Coordenadas cartesianas rectangulares y rotacin de ejespara rectas perpendiculares. D o s rectas q u e p a s a n p o r e l

Condicin

o r i g e n s o n p e r p e n d i c u l a r e s s i y slo s i I/' + m m ' - + n n ' = 0. Demostracin. si 0 =\x d e d u c e d e (1.9). (1.10)

L a s dos rectas OA y O A' s o n p e r p e n d i c u l a r e s si y slo

6 = f jt, es d e c i r , si y slo si eos 9 = 0. E l r e s u l t a d o se

EJERCICIOS14. Demuestre que el ngulo entre las rectas cuyos cosenos directores ion A\ 2 ./> V'2. 0 y J V 3 .

I V . c-

1

W6

15. Demostrar que las rectas cuyos cosenos directores son l\/2, 0, \y/2 y h^'< 0, son perpendiculares.

16. Hallar el ngulo entre dos diagonales cualesquiera de un cubo. [Sugerencia. Elija los ejes convenientemente con el origen en el centro del cubo.]

1.4

L a proyeccin o r t o g o n a l de u n a recta s o b r e o t r a

Sean dos rectas OP y OA u n i d a s p o r u n ngulo 9. E n t o n c e s se d e f i n e l a proyeccin o r t o g o n a l d e OP sobre OA c o m o OP eos 9 ( F i g . 7 ) . (si es OP entonces ON = Ntese q u e si A ' es e l p i e d e l a p e r p e n d i c u l a r desde P a OA necesario e n s u prolongacin ms all d e O o d e A), |cos 0\. E n l a seccin 1.2 se d e m u e s t r a q u e las proyecciones d e OP sobre los ejes cartesianos rectangulares c o n o r i g e n O s o n las coordenadas x , y y z d e P c o n respecto a estos ejes. Este r e s u l t a d o se e x t i e n d e a h o r a para h a l l a r l a proyeccin d e OP sobre u n a recta OA l a c u a l n o neces a r i a m e n t e es parte d e u n o d e los ejes coordenados. Sean l, m, n los cosenos directores d e O A y P e l p u n t o (x, y, z). E n tonces l a proyeccin o r t o g o n a l d e OP sobre O A es Ix + my + nz.z Demostracin. son x / r , yfr P o r las ecuaciones (lili)

(1.4), los cosenos directores d e OP D e ah q u e , p o r l a frmula (1.9),

y z/r, d o n d e r = OP.

el ngulo 9 e n t r e OP y OA est d a d o p o r eos 9 = (Ix + my + nz)/r. L a expresin (1.11) se d e d u c e i n m e d i a t a m e n t e d e l a definicin d e sobre O A.

proyeccin o r t o g o n a l d e OP

Rotacin de ejes

21

Fie. 7. ON es la proyeccin ortogonal de OP sobre la recta O A.

EJERCICIOS 17. Los puntos A y B, tienen coordenadas (1, 4, 1) y ( 1, 3, 2) , respectivamente. O es el origen, hallar el punto P producido sobre OA de tal manera que la proyeccin de OP sobre OB sea de una longitud igual a 9^/14/7. 18. Una recta OP une el origen O con el punto P (3, 1, 5). Demostrar que la

proyeccin ortogonal de OP sobre la recta en el octantc positivo y que forma ngulos iguales con los tres ejes, es 3\/3. ^ 19. Los pies de las perpendiculares desde el punto (4, 4, 0) a las rectas que

pasan por el origen y cuyos cosenos directores son (iy/2, iy/2, 0) y (J, , ) , estn representados por N y N'. Hallar las longitudes de ON y ON', donde O es el origen, y explique por qu una de stas es cero.

1.5 La

R o t a c i n de matriz

ejes y sus propiedades. C o n s i d e r e dos sistemas E s fcil ver se p u e d e que, de

de transformacin

de ejes cartesianos r e c t a n g u l a r e s d e r e c h o s Oxyz ejes Oxyz u n a rotacin (con Ox, Oy y Oz s i e m p r e fijos Ox'y'z!. A

y Ox'y'z'. e n t r e s)

p o r u n m o v i m i e n t o c o n t i n u o a d e c u a d o c o n respecto a O , e l sistema en c o i n c i d e n c i a c o n e l sistema

poner

t a l m o v i m i e n t o se le llamar

d e ejes.

22

1'inn

IIIIUUIIIH

4ni Irnimui*

rvi laituluns

y

niliuiiin

d eje

Fie. 8. Una rotacin de ejes.

O b s e r v e q u e , si u n sistema de ejes es d e r e c h o y e l o t r o i z q u i e r d o , es i m p o s i b l e p o n e r l o s e n c o i n c i d e n c i a p o r u n a rotacin. Es c o n v e n i e n t e d e n o m i n a r a Oxyz c o m o ejes o r i g i n a l e s y a Ox'y'z' Sean /, l Oxyz. Adems, i n d i q u e p o r l ,21 12

c o m o ejes nuevos. c o n respecto a los ejesl o s

y l

13

los cosenos directores de Ox' l,22

l

23

y hv

hs

cosenos directores

de Oy' y Oz'. E s t o se r e s u m e a d e c u a d a m e n t e e n l a disposicin s i g u i e n t e : 0 x' i 2?X y z

tu 21

i i

22

/,s c o n respecto a los ejes

E n este a r r e g l o , los cosenos directores d e Ox'

Oxyz aparecen e n l a p r i m e r a f i l a , los d e Oy' e n l a s e g u n d a y los de Oz* e n l a tercera. Adems, si se leen h a c i a abajo las tres c o l u m n a s a s u vez, es fcil ver q u e se o b t i e n e n los cosenos directores de los ejes Oy, Oz c o n -respecto a los ejes Ox'y'z'. de Oy'3l

Ox,

L a disposicin d e cosenos d i r e c son p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s,M

tores en (1.12) se l l a m a matriz Puesto q u e los ejes Ox', tM

transformacin.

y Oz'lt

Z

+ l

l + "T*

7

23

= 0, (1.13)

^21 ^31 "f* l-ll 'j2 hx hi +

^23 ^33 = 0, 1 + L '13 = 0.

Rotacin de ejes

23

imbin de la seccin 1.2, se sabe que las sumas de los cuadrados de los cosenos directores son iguales a la unidad, y as tenemos: 4 4 + 4 + 4 = 1. + 4 + + 4 = 1 . 4=1(1.14)

4 + 4

las seis ecuaciones en (1.13) y (1-14) se les llama relaciones de ortoormalidad. Observe cmo se establecen en la disposicin (1.12). Puesto que los elementos de las columnas forman los cosenos direclores de los ejes Ox, Oy y Oz con respecto a los ejes O x ' y V , se deduce |x>r argumentos similares que 'n /,*hi

+ *2i *n + + +h*

hi ht 1 hrn

=

0, (1.15) 0;

+

= 0,=

'21 + '33 hx

4 + l\x + 4 = n 4 4 l a s ecuaciones + 4 + 4 = 1. + 4 + 4 = ison una forma alternativa importante (1.16)

(1.15) y (1.16)

de las relaciones de ortonormalidad. Se pueden deducir de las ecuaciones (1.13) y (1-14) por u n argumento puramente algebraico. L a matriz de transformacin satisface una condicin ms, la cual aparece por el hecho de que tanto el sistema Oxyz como el sistema Ox'y'zf

T =

l1 222 Ks 23

(El lector inexperto en determinantes, encontrar en el Apndice 1 de este libro una explicacin de toda la teora necesaria.) Si se indica el determinante transpuesto de T por T', se tieneIxxkx

T* = TT =

I*

23 x |/

I2

/2 = *2,

De ah que, al multiplicar los dos determinantes y usar las condiciones de ortonormalidad (1.13) y (1.14),

24

Coordenada cartesiana rectangulares y rotacin de ejes1 O O 1 O = 1. O 1

T

2

= OO

E n este caso T = 1 . A h o r a b i e n , c u a n d o los ejes Oxyz l y O x ' y V c o i n c i d e n , es fcil v e r q u eif

los valores a p r o p i a d o s e n l a disposicin (1-12) s o n l = 1 c u a n d o i = ; yi}

= 0 c u a n d o i =fc;'; y p a r a este caso p a r t i c u l a r i T = 0 0 0 1 0 0 0 = 1. 1

S i los ejes se h a c e n g i r a r fuera tle c o i n c i d e n c i a , los cosenos directores lu variarn d u r a n t e l a rotacin d e m a n e r a c o n t i n u a (es d e c i r , " n o c o n saltos sbitos" e n v a l o r ) , y c o m o e l d e t e r m i n a n t e T es l a s u m a d e los p r o d u c t o s d e los cosenos directores, su v a l o r tambin variar c o n t i n u a mente. Pero e n todos los pasos d e l a rotacin T = 1 1, y as sucesiv a m e n t e , T debe t o m a r e l v a l o r de 1 1 a travs d e l a rotacin p a r a q u e n o o c u r r a d i s c o n t i n u i d a d e n el v a l o r . P u e s t o q u e T = 1 c u a n d o los dos sistemas coordenados c o i n c i d e n , se d e d u c e q u e e n todas las posiciones ^11 = /2X

^12 ^13l- 2 ^23 = 1.

T

(1.17)

^31

^32 's3 satisfacer l a m a t r i z d e trans(1.12) son los

sta es l a condicin a d i c i o n a l q u e d e b e formacin.

Se h a visto (pie, s i las c o m p o n e n t e s d e l a disposicin

cosenos directores de los ejes nuevos c o n respecto a los ejes o r i g i n a l e s , las c o n d i c i o n e s (1.13), (1.14) y (1.17) necesariamente se satisfacen. Estas c o n d i c i o n e s son tambin suficientes p a r a l a disposicin q u e represente u n a rotacin d e los ejes derechos Oxyz. E n p r i m e r l u g a r , si se satisfacen (1.14), las filas e n l a m a t r i z es de(x, Ox', las ecuaciones (1.13), los ejes Ox', Oy' y Oz' s o n p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s; segundo, si se satisfacen las ecuaciones de transformacin representan a los cosenos directores de Ox', Oy' y Oz'\ y f i n a l m e n t e s i se satisface l a ecuacin (1.17), e l sistema Ox'y'z' recho. Transformacin de coordenadas. Sea u n p u n t o P d e c o o r d e n a d a s y Ox'y'z* y, z) y (x', y', z') c o n respecto a los ejes Oxyz Oy' y Oz*. D e ah q u e , si se e m p l e a respectivamente.

L a s coordenadas x', y' y zf de P s o n las proyecciones de OP sobre

(1.11) p a r a c a l c u l a r l a s , se o b t i e n e

Rotacin de ejes 2 ax' = / x + l yM lt

+ l z,ia 23

y' = l x2l 7 3

+ l y + l z,22 32

(1.18)

z = ** * + l

y + l33 z.

ilaciones (1.18) d e m u e s t r a n cmo las c o o r d e n a d a s d e P se transI.III d e a c u e r d o a l a rotacin d e l o s ejes; (presiones son establecidas p o r l a disposicin rinal udas y a l o s ejes Oxyz n o t e tambin q u e estas (1.12). c o m o e l sistema

Toi supuesto, se podra c o n s i d e r a r a los ejes Ox'y'z'

c o m o e l sistema n u e v o y d e t e r m i n a r las coorf

(x, y , z) e n trminos d e ( x ' y', zT). R e c u e r d e q u e l o s e l e m e n s o n los cosenos directores d e l o s ejes y e m p l e a n d o (1.11) se d e d u c e q u e2l

= J , ^ * > las ecuaciones (1.20) a (1.22) x\= se pueden abreviar en la forma =1.2,8. se reducen a la forma i =1.2,3.

(1*2)

1**

(1.23)

Similarmente, las ecuaciones (1.19) x ^ J ^ x ' , , E n las ecuaciones ( 1 2 3 ) y ( 1 2 4 )

(1.24)

aparece dos veces el ndice / en las

sumas, y l a s u m a se efecta con los tres valores posibles del mismo. C o m o esta situacin ocurre con mucha frecuencia, es conveniente adoptar u n a convencin que a menudo evite l a necesidad de escribir signos de suma.

ixi convencin de suma y su uso

27

C O N V E N C I N DE SUMA. S i e m p r e y c u a n d o aparezca dos veces u n ndice ii la m i s m a expresin, d i c h a expresin se sumar c o n todos los valores sildes d e d i c h o ndice. Con el e m p l e o d e l a convencin d e s u m a , las ecuaciones (1.23) y 1.24) sern s i m p l e m e n t ex\ = lijXj

,

(1.25)

s o b r e e n t i e n d e q u e c u a n d o se e m p l e e u n s o l o ndice e n u n a ecuacin 1 c o m o i sobre los lados i z q u i e r d o y d e r e c h o d e (1.25) y ( 1 . 2 6 ) ) es lida p a r a cada v a l o r d e ese ndice. E l lector notar q u e las ecuaciones [1.25) y (1.26) s o n m u c h o ms elegantes y adecuadas q u e las formasriginales (1.18) y (1.19).

Delta

de Kronecker.

L a d e l t a d e K r o n e c k e r se d e f i n e p o r

P o r l a introduccin d e este smbolo y el e m p l e o d e l a convencin de suma, las relaciones de o r t o n o r m a l i d a d (1.13) y (1.14) se s i n t e t i z a n e n esta nica ecuacin.l lik Sk

= h,t

(1.28)

P o r e j e m p l o , si se t o m a i = 1 y / = 2, sta ser hi k* = 0; esto es, **U ^21 + 'l2 '22 + 'lS ^23=

0,

la c u a l es (1.13),. N u e v a m e n t e , si se t o m a 1 = ;' = 1 e n ( 1 . 2 8 ) , da y c se definen pori {

a. = xi,

b. = l-,

e. = ( - l ) i .

Ollde x es una constante y (por definicin) 0! = 1, demostrar que a. 6. = e, a c. ={

1 1 +x

. Si las cantidades e . y e' . satisfacen a la relacint t l

mi nj ij ^mn'l e

strar que t)

rm n) mnt l -]mp q

encia. Multiplique la primera ecuacin por

.7

Invariancia c o n respecto a una

rotacin de los

ejes2

C o n s i d e r e u n a funcin / (a,, a, ...)

d e v a r i o s elementos a , , a , Oxyz,

ls q u e d a d o c u a l q u i e r sistema d e ejes cartesianos r e c t a n g u l a r e s r a' a' , ...2

elementos a cu, . . . , se d e t e r m i n a n p o r u n a regla d e f i n i d a . I n d i q u e1 (

los elementos c o r r e s p o n d i e n t e s a c u a l q u i e r o t r o sistema con el mismo origen O. E n -

ejes cartesianos r e c t a n g u l a r e s Ox'y'z', tices, si / (a\,ncih / se d i c e q u e s ejes.

a ' , ...)2

= / ( i a. , . . . ) ,2

es invariante

con

respecto

a una

rotacin

de

L o s ejemplos

siguientes a c l a r a n l a i d e a de i n v a r i a n c i a .

femplos

de

invariantesz e s

1. L a funcin \/(x-' + V" + *) \x*+y-+z*) =

i n v a r i a n t e , puesto q u e (1.9) d a **+(&+z' +2( 2 21

+/,, + /?;,)+ (4 + & + 4)

+ Z

I2

7 + J22

1 3

4i)

x'y'

+2(l,,L,

l

+ l

T2

h. +kJr,)fz'

+ 2 ( / uH-t 4 * U *

^ > (1.13) y ( l . H ) , esto se

e m p l e a r las c o n d i c i o n e s d e o r t o n o n n a l i d a d uce a

30

Coordenada* cartesiana* rectangulares y rotacin de ejesVi** + y + )2 z2

= V ( * ' + y'2

2

+ ' )z 2

Este r e s u l t a d o tiene u n a interpretacin geomtrica i n m e d i a t a : expresa e\ h e c h o d e q u e l a d i s t a n c i a e n t r e e l o r i g e n y u n p u n t o n o d e p e n d e d e l sistema de coordenadas q u e se e m p l e e p a r a c a l c u l a r l a . L a demostracin d a d a c o n a n t e r i o r i d a d se a b r e v i a c o n s i d e r a b l e m e n t e p o r e l e m p l e o d e l a convencin d e s u m a (ver e l ejercicio 32 a l f i n a l de esta seccin). 2. S i O A y OB s o n dos rectas q u e p a s a n p o r e l o r i g e n , l a expresin q u e representa e l coseno d e l ngulo e n t r e ellas es i n v a r i a n t e c o n respecto a u n a rotacin d e los ejes. P a r a v e r i f i c a r esto a l g e b r a i c a m e n t e , sean ( a a , a ), (b2 3 lt

b , b ) las c o o r d e n a d a s d e A y B respecto a los2 3

ejes Oxyz. S i O A =

c y OB = b, los cosenos directores d e O A y OB s o na

i a'

a

2

fl

s^

&i bb'

2

b

3

a'

a

b'

b

Si 0 es e l ngulo e n t r e O A y OB, l a frmulaa, bx

(1.9) d aa ot t

+ ab2

2

+ a b3

3

c o n e l e m p l e o d e l a convencin d e s u m a . Segn e l e j e m p l o

(1) se ve

q u e a y b s o n i n v a r i a n t e s c o n respecto a u n a rotacin d e los ejes. P o r t a n t o , p a r a d e m o s t r a r q u e eos 0 es i n v a r i a n t e basta d e m o s t r a r q u e a* b es i n v a r i a n t e . A l emplear Ox'y'zf, b\, b' ),3 {

(1.25) se ve q u e e n l a transformacin a los ejes nuevos2 3

las coordenadas d e A y B se c o n v i e r t e n e n ( a ' a' , a' ) y (b\, dondea\ = lyHj, b\ = lik

b.k

P o r tanto a\b\= l^l^ajb,. (1.30)

(Ntese q u e antes d e establecer l a expresin p a r a a\ b'^, se d e b e n emp l e a r diferentes ndices m u d o s e n l a frmula p a r a a\ y b\; de o t r o m o d o u n ndice aparecer ms d e dos veces en e l segundo m i e m b r o d e (1.30).) A l emplear las relaciones d e o r t o n o r m a l i d a d e n l a f o r m a ( 1 2 9 ) (con los ndices c a m b i a d o s p o r los q u e se r e q u i e r e n aqu) y (1.30) se c o n v i e r t e ena\ b\ = h =jk

a bk

k

a

b

k

-

a = (a, b + a b4 t 2

2

+ a b)3 3

es i n v a r i a n t e

Notacin de matrices

31

irt|K-

lgebra escalar y vectorialde posicin. b,2

Vector "A) y (u

S i A y B son dos p u n t o s c o n coordenadas

(a

u

a,2

b ),3

l a recta q u e v a d e A h a c i a i? es u n vector

q u e se

representa p o r>

AB = (b

l

a

u

b

2

>

a, b2

3

a)3

y r e c i b e e l n o m b r e d e vector Demostracin.

de posicin

de B con respecto

a A.

P a r a d e m o s t r a r q u e AB (b)

es u n vector hay q u e satisfacer p a r a l e l o s a los

las c o n d i c i o n e s (a),

y (c) de l a definicin de vector.

a) T o m a n d o los ejes cartesianos rectangulares Ax'y'z? en Ax'y'z'

ejes Oxyz, c o m o se i n d i c a en l a F i g . 9, se ve q u e las coordenadas d e B f i j a n c o m p l e t a m e n t e l a posicin de B c o n respecto a A. C o m o estas coordenadas s o n : x' = , flj, y' = b las cantidades 6j al f 2 2 3 2

a,2

z!

=

b

3

a,3

b a y b a p u e d e n asociarse a su vez c o n los3

ejes x', y y z' y, p o r t a n t o , c o n los ejes x , y y z; tales c a n t i d a d e s se l l a m a n componentes de AB. se m u e v e n p a r a l e l a m e n t e a s misb) C o n s i d e r e q u e los ejes Oxyz (x ,0

mos, de m a n e r a q u e pasen p o r u n n u e v o o r i g e n cuyas c o o r d e n a d a s son yo, Zo) i referidas a los ejes e n s u posicin o r i g i n a l . L a s coordenadas de A sern

FK;. 9.

Vectores: nociones bsicas 37iNo ~r ia

+ a , z + fl ) y las d e B, (x2 3

0

+ b >

u

y + b , z + b ). P o r c o n 0 2 0 3

siguiente s i l a c o m i l l a i n d i c a e l v a l o r d e AB e n los ejes nuevos, (All)' = [(x + b,) 0

( x + a,), (y + 6 ) - (y + a ) , (z + b ) - (z + a )]0 0 2 2 0 3 3

= (6, = >

a

lf

b

2

a, b2

3

a)3

AB.

M' deduce q u e las c o m p o n e n t e s d e AB s o n i n v a r i a n t e s c o n respecto a u n a li.islacin d e ejes. c) Sean Ox', Oy' y Ozf los ejes c o o r d e n a d o s r e c t a n g u l a r e s cuyos cosenos .!iK< lores r e l a t i v o s a los ejes Oxyz (1.23), las c o o r d e n a d a s (a\, a\, a' )3

estn dados p o r (1.12). E m p l e a n d o y (b\, b' , b' )2 3

d e A y B referidas

.i los ejes Ox'y'z'

son .2 kgfy b\ = lu b (i = 1,2. 3),

a\ = resultando

s

b\ - a\ =

.2 l^b, - a,)

(i = 1,2, 3).>

(2.6)

l)( l o a n t e r i o r se d e d u c e q u e las c o m p o n e n t e s d e AB obedecen a l a l e y de transformacin v e c t o r i a l (2.2). C o m o se satisfacen las tres c o n d i c i o nes d e l a definicin, AB es u n vector.>

E l v e c t o r OP q u e d a l a posicin d e u n p u n t o P ( x , y, z) c o n respecto .i u n o r i g e n O, se l l a m a vector de posicin d e P. Ms a d e l a n t e ser c o n v e n i e n t e representar este v e c t o r p o r r = (x, y, z ) . Observe q u e e l v e c t o r d e posicin d e u n p u n t o O c o n respecto a s m i s m o , es e l v e c t o r cero Ejemplos de vectores (0, 0, 0 ) . que aparecen en sistemas fsicos. M u c h a s provelocidades y P o r ejemplo,

piedades d e sistemas fsicos s o n vectores.

aceleraciones d e p u n t o s mviles, fuerzas, velocidades y aceleraciones a n gulares y pares, s o n todos vectores. E n l a teora d e l a e l e c t r i c i d a d y e l magnetismo, l a i n t e n s i d a d d e c a m p o elctrico, l a i n t e n s i d a d d e c a m po magntico y l a d e n s i d a d de c o r r i e n t e elctrica s o n tambin vectores. E n e l s i g u i e n t e captulo (seccin 3.7) se definirn los vectores veloc i d a d y aceleracin. O c a s i o n a l m e n t e se har referencia tambin a a l g u nos d e los otros vectores m e n c i o n a d o s antes; sus d e f i n i c i o n e s se p u e d e n hallar en libros de consulta apropiados. Representacin geomtrica de vectores. Considrese q u e a = {a a ,lt 2

a)3

38

lgebra escalar y vectorialv

es u n vector n o cero y A e l p u n t o cuyas coordenadas x, y y z s o n a>

a

2

y a . E n t o n c e s O A = ( a a , a ) l o q u e demuestra q u e a y O A t i e n e n las m i s m a s componentes. P o r consiguiente, el segmento de recta diria 2 3

>

gido O A se puede c o n s i d e r a r c o m o u n a representacin geomtrica d e a. C u a n d o u n segmento hasta A Sea O'A' d i r i g i d o tal c o m o OA representa u n vector, lo a n t e r i o r puede mostrarse e n u n d i a g r a m a t r a z a n d o u n a flecha desde O ( F i g . 1 0 ) . U n vector cero se representa geomtricamente en trazado forma apropiada por u n punto. u n segmento d e recta de l o n g i t u d i g u a l a l a d e O A O'y' p a r a l e l a m e n t e y e n el m i s m o sentido q u e O A. Si O'x', de A' referidas a estos ejes nuevos sern O'A' (a a , a ).2 3

y O'z' son

ejes desde O' paralelos a Ox, Oy y Oz, respectivamente, las coordenadasu

E n consecuencia d e recta papuede

es u n a segunda representacin geomtrica d e l vector a. D e aqu se

d e d u c e q u e l a representacin geomtrica d e a c o m o segmento r a l e l o y d e l m i s m o s e n t i d o q u e OA Direccin de un vector.

d i r i g i d a n o es nica; c u a l q u i e r otro segmento de recta d i r i g i d o O'A' y c o n su m i s m a l o n g i t u d emplearse tambin p a r a representar a a.

Puesto q u e u n vector n o cero se puede re-

Fic. 10. O'A' = OA.

Vectores: nociones bsicas 39tar p o r u n segmento d e recta d i r i g i d o , se d i c e q u e u n v e c t o r (o est a s o c i a d o a) u n a direccin: n a t u r a l m e n t e t a l direccin ser 1 a l a d e los segmentos d i r i g i d o s q u e r e p r e s e n t a n el vector. uta O A. L a direccin d e l v e c t o r n u l o n o est d e f i n i d a . B e d i c e q u e dos vectores s o n paralelos antparalelos Magnitud:

Por

to, l a direccin d e l vector a es l a direccin d e l a recta e n l a q u e si t i e n e n l a m i s m a direccin d e u n vector a = ( a a , a )2 3

si t i e n e n d i r e c c i o n e s opuestas. se

de un vector. L a magnitud

ne como a = y/{a\ + a\ + a\). (2.7)

ambin ser c o n v e n i e n t e e n a l g u n a s ocasiones r e p r e s e n t a r l a m a g n i t u d u n v e c t o r a p o r |a.

Si a se representa geomtricamente p o r O A = (a 'tud es i n v a r i a n t e e n u n a rotacin d e ejes

lr

a , a ),2 3

se v e q u e a

precisamente l a l o n g i t u d d e l segmento d e recta OA.

P u e s t o q u e esta

(ver seccin 1.7, ejemo su

1), se d e d u c e q u e l a m a g n i t u d d e u n vector tambin es i n v a r i a n t e , m a g n i t u d d e u n vector se l l a m a tambin a veces s u mdulo ta. Vectores unitarios (o unidad). unitario. U n vector c o n m a g n i t u d i g u a l a l a L o s vectores u n i t a r i o s se d i s t i n g u e n es i d a d se l l a m a vector vector u n i t a r i o . S i a es u n v e c t o r c u a l q u i e r a , el v e c t o r u n i t a r i o c u y a direccin es l a a se representa p o r a .

e n t e m e n t e c o n u n acento c i r c u n f l e j o ; as r = (eos 0, sen 6, 0)

EJERCIOOS1. Demostrar que las ecuaciones (2-2) son equivalentes a

enra. Multiplique (2.2) por l 29).]

k

y emplee las condiciones de ortonormalidad

2. Los puntos P y Q_ tienen las coordenadas (1, 2, 3) y (0, 0, 1) con respecto a ejes Oxyz. Hallar las componentes referidas a tales ejes de: a) el vector de po-n de P con respecto a O; b) el vector de posicin de O con respecto a P; el vector de posicin de P con respecto a Q_. n 3. Hallar las magnitudes de los vectores a = (L 3, 4) y b = (2, I, 0). tienen la misma

4. Demostrar que los vectores a = (0, 3, 3) y b = (0, 5, 5) reccin. Cul es la razn a/b?

'10

lgebra escalar y vectorial

'>. 1.a matriz de transformacin para una rotacin de los ejes Oxyz a los ejes Ox'y'i' es como sigue: O X* y z' X 0 -1 0 y i 0 0 z 0 0 1

Explicar (con palabras o por un diagrama) cmo estn relacionadas las posiciones de los dos sistemas de ejes. Un vector a tiene componentes (2, 1, 2) con respecto al sistema de ejes Oxyz. Hallar las componentes de a con respecto a los ejes Ox'y'z'. 6. Demostrar que a = (eos 6. sen 6 eos tp, sen 6 sen / (X a , + X a'i + X al) = |X| V ( ? + \ + al) N *

*or tanto, c u a n d o se m u l t i p l i c a u n vector p o r u n escalar X, s u m a g n i t u d preda m u l t i p l i c a d a p o r |X|. L a multiplicacin d e u n vector n o cero p o r u n escalar p o s i t i v o n o u n b i a su direccin, p e r o si se m u l t i p l i c a p o r u n escalar n e g a t i v o d i c h a lireccin se i n v i e r t e . P a r a v e r esto, considere q u e O A = (a,, a , a )2 3 2 3

re-

>resenta a a, entonces X a estar representada p o r XOA = (Xa,, X a , Xa ) = M ' . Puesto q u e A y A' t i e n e n las c o o r d e n a d a s ( a a , a )2 3

y (Xa,, X a , Xa.,)2

spectivamente, los cosenos directores d e O A y OA' a, a' a2

sern

a

3

Xa,Y

Xa

2

Xa

3

~a' T

Xj^' | i | a

?

d o n d e a = \/(a, + al + a*). S i X > 0 entonces X/|X| = 1, m i e n t r a s q u e si X < 0, entonces X/|X = 1. P o r c o n s i g u i e n t e , OA y O A' t i e n e n la l i s m a direccin s X > 0 y d i r e c c i o n e s opuestas si X < 0 ( F i g . 1 1 ) . L a direccin de Xa es, p o r tanto, i g u a l o c o n t r a r i a a l a d e a segn q u e X sea p o s i t i v o o negativo. El vector a . Se d e f i n e c o m o - a = (-l)a. (2.9)

42

lgebra escalar y vectorial

Fie. 12. Segmentos OA y OA' de una recta dirigidos opuestamente y que tienen igual longitud.

Si a y OA

a se r e p r e s e n t a n p o r O A

y OA'

r e s p e c t i v a m e n t e , .entonces

y OA'

sern segmentos d e i g u a l l o n g i t u d d i r i g i d o s o p u e s t a m e n t e . puesto q u e AO y O A' s i e n d o segmentos

O b s e r v e q u e O A = AO,

paralelos d i r i g i d o s y d e i g u a l l o n g i t u d , representan el m i s m o vector.

EJERCICIOS8. U n punto P sobre una recta AJi es tal que \AP\ : |PB| = 3:2. Demostrar 2AP = 3P8. que

9. Demostrar que, para cualquier vector a. a = a&, donde i es un vector unitario en la misma direccin que a10. Demostrar que los cuatro puntos cuyos vectores de posicin son

&'

V

-

r

r -

1

-V 2

donde r' ^ 0, r ^ 0, estn sobre una circunferencia.

2.4

Adicin y substraccin de vectores2 t

Adicin. L a s u m a d e dos vectores a = (fl,, a , a,) y b = (> b, b ) define como a + b = (a, + b , a + b , a + b ).x 2 2 3 3

se

(2.10)

E l c o n j u n t o d e todos los vectores es cerrado efecto, si se c o n s i d e r a n los requisitos (a), [b) A s i m i s m o , si ( a ' a' , a' )2 3

c o n respecto a l a o p e r a y (c) d e l a definicin y (b) de

cin de adicin; es d e c i r , l a s u m a d e dos vectores a y b es u n vector. E n vector (seccin 2.2), se ve i n m e d i a t a m e n t e q u e (a) y (&',, b' , b' )2 3

se satisfacen.

s o n las c o m p o n e n t e s d e a y b dan

referidas a los ejes Ox'y'z',

las ecuaciones (2.2)

Adicin y substraccin de vectores l.'a\=l n i . m d o se tiene,ijaj

y

b'^l^bi

( = 1,2,3).

Iuc d e m u e s t r a q u e las c o m p o n e n t e s d e a 4- b satisfacen l a c o n d i n (c) (lomo a + b =bt i i

+ a

i

( i = 1, 2, 3 ) ,

d e d u c e d e (2.10) q u e a + b = b + a; decir, l a operacin d e adicin es A s i m i s m o , si c = (c,, c , c )2 3

(2.11)

conmutativa.

es u n tercer vector, entonces c o m oi

(

como PA = AP lo anterior puede expresarse por AP = ^-PB (X,U 7

t0).

(2.14)

Igualando las magnitudes de cada miembro de (2.14) se tiene AP = |p/X| PB. Por tanto AP.PB = | : |X|.u

Si X y u tienen el mismo signo, (2.14) indica que AP y PB tienen la misma direccin, en consecuencia P est en AB y entre A y B. Si X y u tienen signas contra >

rios, AP y ./J sern opuestos; por consiguiente P est en la prolongacin de AB trazada desde B (si |p|/|X| > 1) o bien, en la prolongacin trazada desde A (si u|/|X| < 1).

EJERCICIOS11. Si a y b son dos vectores como se muestra a continuacin, verificar que sus sumas y diferencias son como se indican a (a) (> /) (r) (2, 2. 2) (3, 0, 0) (1, - 2 . 6) b ( 1. 0. 1) ( 5. 0, 0) (-1, - 3 , 7) a + b (3, 2, 3) (8, 0, 0) (0, - 5 , 13) a b ( 1, 2, 1) (-2, 0, 0) ( 2, 1, -1).

12- I.os puntos A y B con respecto a los ejes Oxyz son tales que: =(1,1,1), Mi = (0, - 1 , 3).

Cul es el vector de posicin de: a) B con respecto a O; b) O con respecto a B' 13. Sobre un plano horizontal (sin obstculos) , un observador camina una milla hacia el N. una hacia el E, una hacia el S y una hacia el W. Explicar vectorialmente por qu regresa al punto de partida. 14. Si el ngulo entre los vectores a y b es de 00, y si a = b = 3, demostrar que |a - b| = 3. 15. Por la propiedad de que ACleando las reglas de la m u l t i p l i c a c i n

d e u n vector por u n2

la a d i c i n d e vectores, u n v e c t o r a = ( a a ,

a)3

se p u e d e e s c r i b i r

>mo a = a, i + a j + 2 3

k.representacin

fcil d e m o s t r a r q u e , c u a n d o se d a l a trada i, j , k, l a a es tema de nica. tres vectores unitarios mutuamente

L o s tres vectores i, j , k son u n i t a r i o s y p e r p e n d i c u l a r e s e n t r e s. U n sisperpendiculares se llama sistema ortonormal. D e b i d o a q u e u n vector a r b i t r a r i o p u e d e para un represen-

tarse c o m o u n a c o m b i n a c i n Las

l i n e a l tle i, j , k, se d i c e t a m b i n q u e estos l a t o t a l i d a d d e los vectores. muy importante en el papel

vectores f o r m a n u n a base ortonormal bases o r t o n o r m a l e s d e s e m p e a n lisis v e c t o r i a l .

EJERCICIOS18. Un vector a en el cuadrante positivo del plano xy forma un ngulo de 45 >n cada uno de los dos ejes Ox y Oy. Demostrar que

a = (i + j)/V*lx)s vectores de posicin de los puntos A y B con respecto al origen O de los Oxyz son j + 2k y 5 + j + Gk respectivamente. Demostrar que AB = 6. 20. Hallar a, b y c si (a + b 2) i + (c 1) j + (a + c) k = 0.

I

2.6

Productos escalares escalarb ),3

E1 productob,2

(o productocomo

punto)

d e dos vectores a = (a

u

a, a)2 3

y b = (&!,

se d e f i n e

4tt

lgebra escalar y vectorialab = ab1 l

+ a b2

3

+ a

3

b.3

(2.13)

E s t a operacin entre dos vectores es c o n m u t a t i v a , p o r q u e b.a = ba1 l

+ ba2

2

+

ba3

3

=

ab.

(2.16)

E l p r o d u c t o escalar d e a p o r s m i s m o es a - a = a + al + al = a ;2

P o r c o n s i g u i e n t e a - a es el c u a d r a d o de l a m a g n i t u d d e a. S i a = ( a a , a ),2 3

b = (& b., b )3

y c = (c c , c ),2 3

entonces (2.17)

a-(b sta es l a ley distributiva.2

+ c) = a - b +

a*c;

Se d e m u e s t r a fcilmente, puesto q u e3 u

a - (b -t- c) = ( a a , a ) (6, + c2

b + c, b +2 2 3 2 2 2 3

c)3 3 3

= ( i &i + a i c, + a b + a c = (a, 6, + a b2 2

+ a b + a2 2

c)3 3

+ a b)3 3

+ (a, c, +

c 4- a

c)3

= a-h Invariantes riante escalar. escalares.

+

a-c.

T o d o escalar q u e t o m a el m i s m o v a l o r en cada inva2

sistema de coordenadas c o n el c u a l p u e d e ser asociado se l l a m a P o r t a n t o las c o m p o n e n t e s de u n vector a = (a,, a ,

a)3

no son i n v a r i a n t e s escalares p o r q u e p u e d e n t o m a r diferentes valores e n d i s t i n t o s sistemas de coordenadas. S i n e m b a r g o , l a m a g n i t u d de a, es decir a = V ( i + * +f l fl 2

'

a

u

n

i n v a r i a n t e escalar. ge-

C o m o a - a = a , e l p r o d u c t o escalar de a p o r s m i s m o es u n i n v a r i a n t e escalar. ste es u n caso especial d e l s i g u i e n t e r e s u l t a d o ms neral. Los productos sean ( ' a' , a' )2 3

escalares

son invariantes2

escalares.

P a r a d e m o s t r a r esto,

y (&' b' ,

b' )3

las c o m p o n e n t e s de a y b c o n resj>ecto (2.2), (= 1, 2, 3 ) ,

a los ejes Ox'y'z'.

P o r l a ecuacin lija

a\= y asi

y

b'^l^b,

hi hk a> b .k

Pero, p o r las c o n d i c i o n e s de o r t o n o r m a l i d a d

(1.29),

i)e ah que

M\b't = a b m a b;ik i k k

k

Productos escalareslee Ir, k>s l e j e i X r - v y - } y z-^osori idn-

a las c o m p o n e n t e s correspondientes!idea a l l H a y ; q u e o b s e r v a r , ! s i n lombargo, q u e este r e s u l t a d o n o es c i e r t o s i a(a -:2b) = - 9. 29. Demostrar que los vectores-i + j + * y fcl ~~ 2Xj + k son perpendiculares si y

Mi Id S X 1.

52

lgebra escalar y vectorial

26. Hallar la componente de i en la direccin del vector i + j + 2k. 27. Resolver el vector 3 + 4j en las direcciones de los vectores 4i 3j, 4i + 3j y k 28. Si a y b son tales que a = b, emplear el diagrama siguiente para interpretar geomtricamente la relacin (a + b)-(a - b) = a 2

i = 0.2

29. Probar vectorialmente que las perpendiculares a los lados de un

tringulo

desde los vrtices opuestos, son concurrentes. [Sugerencia. Trazar las perpendiculares desde los vrtices A y B del tringulo ABC de manera que se corten en O. Sean a. b y c los vectores de posicin de A, B y C con respecto a O, Demostrar que a - ( b - c ) = b - ( c - a ) = 0. Deducir que e-(a b) = 0 y dar la interpretacin.]

2.7 El

P r o d u c t o s vectoriales producto b,2

vectorial:i

de

un

vector

a = (a ,x

a)3

por

un

vector

J = (b, >

b)

se d e f i n e (2

como: b., a / t

a X b = Alternativamente,

b

s

3

3

e/, b de

v

a , b., a._, h,)

(2.21)

el p r o d u c t o

vectorird y b -

a = fl, i + a j + a k2 :{

b i + b, j +

b

3

k

se d e f i n e

por | a X b = K |*i j , b2

k| fl |8

(2-22)

b\3

L a notacin q u e se emple e n Primero,

(2.21)

a n t i c i p a q u e el p r o d u c t o

vectorial ahora.

d e dos vectores es u n vector, y esta conclusin se comprobar debe n o t a r s e q u e a X b c l a r a m e n t e satisface las

condiciones

Productos

vectoriales

53

( ) v (/;) d e Ja definicin d e vector, q u e se d i o e n l a seccin 2.2, y p o r lauto slo falta d e m o s t r a r q u e (c) tambin se satisface. Poi c o n v e n i e n c i a , p o n g a a X b = (a b - a b , a b2 3 3 2 3 x

a b, a b ax 3 x 2

2

b)x

-

(c

v

c , c,) .2

Referidos a los ejes Ox'y'z'

( d e f i n i d o e n la seccin 2 . 2 ) ,3

a = (a\, a\, a' ), y as, c o n respecto a estos ejes, a X b = (a', Vs

b = (b\, b\, b' ) ,3

~ a' b' , a\ b\ - c, + l e + l c ,C

c

22

2

23

3

(2.23)

^31 X ~T" ^32 2 "t"CC

C

Z'

A l e m p l e a r l a ley de transformacin la c a n t i d a d -sen- a < estati y

Prodasctom vectoriales |Hfl incluyen productos escalares

55

le pares de vectores i , j , jk-'.ObSer-

q i i c p o r (2.24), al intercambiar los dos vectores en cualquier primer ruibro del segundo conjunto de identidades (2.26), cambia el signo esa identidad; 1 por ejemplplj Y- * ^ ^ k - k I is ecuaciones (2i2(i) se pueden emplear junto con la ley distributi, ^2.25) para evaluar product os vectoriales. Por ejemptoosi si

i ton eesuOK v = (i + Sj + k ) X (2 -

j 4- 2k) 3j X j + 6j X k) ^-agKfec) ^ : 0 , entonces sen 6=0; 0 = 0 jt, l o q u e d e m u e s t r a q u e a y b s o n paralelos o a n t i p a r a l e l o s .EJEMPLO 2. es |a Demostrar que el rea de un paralelogramo con lados adyacentes a y b

*

b-

Solucin. Represente por 6 el ngulo ms pequeo entre a y b (Fig. 21). Trace una perpendicular desde el extremo de b hasta a. Dicha perpendicular ser de longitud b sen 0. Por tanto, el rea del paralclogramo es base x altura = ab sen 6. la cual es la ' b|-

aFie. 21.

Productos vectoriale

57

F.jr.MPM) 3. Hallar la forma ms general para el vector r que satisface la ecuacin r x (1, 1, 1) = (2, - 4 . 2). Solucin. Sea r = (, b, c). Al substituir este en la ecuacin dada, se tiene - 4 . 2).

(a, b, c) x (1, 1, 1) =(2. tanto (b c, c a, a -

b) = (2. - 4 , 2).

I emplear la definicin de igualdad de vectores, stos dan b - c m 2. - a = -4. = 2.

c

a-b

las ecuaciones no son independientes, pero son compatibles; puesto que al sumar dos primeras dan b es la tercera ecuacin. Va a = h tomes se deduce inmediatamente que = X-2, > c= X-4. a = -2.

r tanto, la solucin general de la ecuacin dada se puede representar en la forma r = ( L X - 2, X - 4) , e X es arbitraria. Obsenwciones. Si r xa

= b,

interpretacin geomtrica de productos vectoriales muestra que tanto r como a n ser perpendiculares a b. Por tanto, si se dan a y b. la ecuacin puede no tener solucin para r a menos que a sea perpendicular a I. Se puede demostrar (ver el ejercicio M al final de este captulo) que la solucin neral para r es r = Xa + (a x b ) / .2

F.l lector puede verificar estas observaciones por referencia al ejemplo resuelto ancriormentc. KJEMIM.O 4. Demostrar vectorialmente que ngulo son concurrentes. Solucin. Considere las bisectrices de los ngulos A y 11 de un tringulo ABC que cortan en O. Sean a. b y c los vectores de posicin de A, B y C con respecto < . respectivamente. F.ntonces > AC = - a, C*B ^ b - c. BA = a b. las bisectrices de los ngulos de un

c

58

lgebra escalar?; y vectorial i

BFie. 22.

Alic.a Ijien. si y > son vectores unitarios, la bisectriz, interna dk>S).parntesis'~d d a . i z q u i e r d a aparecen una. ve/

a ajuera (d )k)8prntesif l i lai derecha; y e n ! el ''trenti o " .aparece* p r i m e r o I l e i ereotob be (Chda. t*niino< c o n t i e n e a a i - b y c u n a vez solamente.

l ^ t i , Los vectores a * b representen- los latios adyacentes le un tringulo. Demos-

ti.ir que eli arcdidcsstc- es i/|a H b|.1747->dOemosirar la frauila ('.:{.>) ion < I uso de. (2.34). [Sugerencia. Emplee' el- reiulradd de que para dos Jrtores icalquiera A y* A K B = r^-B * A ]r 1

48. Demostrar que, si a. b v e no son cero yn(a K b ) x c = a M.(b *>c) ,

64

lgebra escalar y vectorial

entonces (a) b es perpendicular a ambos a y c. (fe) a y c son paralelos o antiparalelos. [Sugerencia. Desarrolle de acuerdo con (2.34) y (2.35).]

2.10

Productos de cuatro vectores p r o d u c t o s d e c u a t r o vectores. (2.34) y (2.35), j u n t o c o n

A l g u n a s veces es necesario m a n i p u l a r stos c o n frecuencia

i n c l u y e n las frmulas

los c o n o c i m i e n t o s d e q u e e l p u n t o y l a c r u z s i e m p r e s o n i n t e r c a m b i a bles e n el t r i p l e p r o d u c t o escalar. As, p o r e j e m p l o (a X b)-(c X d) = a [b X (c X d)]. (2.38)

A l d e s a r r o l l a r el t r i p l e p r o d u c t o v e c t o r i a l , resulta b X (c X d) = (b d ) c - ( b e ) d. y si se substituye e n l a ecuacin (2.38) se tiene

(a X b)-(c X d) = (b d) (a-c) - (b-c) (a-d), as q u e (axb)-(cxd) = ^ H e aqu otros ejercicios sobre p r o d u c t o s de c u a t r o vectores. (2.39)

EJERCICIOS4'J. Demostrar que |a x b|-' = a bs

-

(a'b)*.

:>) Dados dos vectores a y r que pasa] por el origen, demostrar sobre un dia" (. manta el vectoi (a r) - a. Deducir que la longitud de la perpendicular sobre a tlesde el punto con vector de posicin r es |a x |V|(a * r) x j .r a

51. Si a y b son vectores unitarios, demostrar que | X 2 - 1 _ ( - > a

Demostrar que sta es otra forma de la identidad trigonomtrica sen^ 0 = 1 cos2 0. 52. Demostrar que a x (b x (c

x )] = (a-b) a x .a c

2.11

Vectores anclados de aplicacin d e u n a fuerza o su linea de

E n mecnica, el puni

Vectores ancladosanin,

65

p u e d e n ser i m p o r t a n t e s ; l a fuerza, j u n t o c o n s u p u n t o d e a p l i c a anclado.

i i o n o s u lnea d e accin, se d i c e a l g u n a s veces q u e es u n vector -l m i e n t e a cursos sobre mecnica.

N o se h a c e aqu u n anlisis d e t a l l a d o , l o c u a l p e r t e n e c e ms a p r o p i a -

EJERCICIOS 53. Sea la lnea de accin de una fuerza F , y O un punto dado. Entonces el momento de F con respecto O se define como G = r x F, .Iude r = OP es el vector de posicin de cualquier punto P sobre la lnea Demostrar que G es independiente del punto particular P que se elija sobre 54. Como en el ejercicio 53 anterior, el momento G de una fuerza F con respecto u un punto O est dado por la ecuacin G = r x F, Iude r es el vector de posicin con respecto a O de cualquier punto sobre la lnea de accin de F. Por substitucin directa (o de otra manera) demostrar que los vectores de posicin de los puntos sobre ? estn dados porr = X + (F x Q)/F2,

donde A es u n parmetro. Cul es la distancia perpendicular de O a t .

CAPTULO

unciones vectoriales de una variable eal. Geometra diferencial de curvas

8.1

F u n c i o n e s vectoriales y su representacin

geomtrica /(x),

E l lector debe estar ya familiarizado con la idea de funcin real piedades de funciones vectoriales F ( ) de una variable real t.

es decir, de una variable real x. E n este captulo se estudiarn las proSuponer que las componentes del vector F(0 = ( / i ( 0 . M 0 . / a ( 0 ) son funciones unvocas o uniformes de una variable real t. Entonces V{t) se llama funcin vectorial2

de t. E n muchas aplicaciones, t es una y / ()3

variable continua y /,(), f (t) continua

son continuas sobre algn inter1

valo de t. Si esto es cierto, se dice que F ( ) es una juncin de t. Ejemplos de tales funciones son F ( ) = (2, M, sen t) yF m K

vectorial

0 < t < para para

oc,

_ '

*

W*. t> 3) |(2 , 2, 6 - )2 1

- oo < t < 2, 2 < t < oo.

La funcin vectorialF ( ) = (1, t, i - * ) -

1< t < 1 _ 1

no es continua, porque como / crece desde cero la componente z, cambia su valor desde oo a oo. Representacin geomtrica de funciones vectoriales.

Sea F() una fundon-

cin vectorial continua representada por el vector de posicin OP,

i Hablando con propiedad, una funcin es continua si su valor no experimenta ningn cambio brusco en ninguno de sus puntos. Sin embargo, para una definicin ms precisa de continuidad en un intervalo vase, por ejemplo, G. H . Hardy: Pur Mathematics (Cambridge, 1952), pg. 186.

67

68

Funciones vectoriales de una variable real2 s

d e O es e l o r i g e n y P e l p u n t o (/i(), f (t), f (t)). Entonces, mientras t vara sobre s u r a n g o d e v a l o r e s p e r m i s i b l e s , P describe u n a curva continua (en tres d i m e n s i o n e s , v e r l a F i g . 2 4 ) . E s c l a r o q u e e n general t a n t o l a m a g n i t u d c o m o l a direccin d e F ( ) variarn c o n respecto a t. ( U n vector es c o n s t a n t e s o l a m e n t e s i s u m a g n i t u d y direccin n o varan.) L a ecuacin

OP = r = F ( ) ,

(3.2)

z

y

X

Fie. 24. Curva en tres dimensiones descrita por un punto P cuya posicin est dada por una ecuacin del tipo (3.2).

oFie. 25. Curva que .se corta a si misma en X.

Funciones vectoriales y su representacin geomtricadonde r = (x, y, z), se llama ecuacin por P. paramtrica

69

de la curva descrita

Deber notarse que, aun cuando F(t) se considere como una funcin unvoca de t, pueden corresponderle al mismo vector F dos (o posiblemente ms) valores de t: en otras palabras, puede fallar la correspondencia uno a uno entre los vectores F(t) y la variable . U n ejemplo sencillo de tal situacin ocurre cuando F = O A es el vector de posicin de un punto A en movimiento; en este caso, se puede considerar a t a representar tiempo. Si el punto describe una curva la cual se corta s misma en un punto X, como en la Fig. 25, entonces habr dos tiempos , y , ms o menos, por los cuales A coincide con X.2

En

este caso FA) = F( ) =2

OX.

U n a situacin similar aparece cuando un punto retrocede parte (o toda) de su trayectoria.EJEMPLO 1. U n punto P tiene vector de posicin >

OP = a(cos 6, 0, sen 0) con respecto a ejes cartesianos rectangulares Oxyz. Hallar el lugar geomtrico o grfica de P conforme 6 vara y a permanece constante. Solucin. Considerar los componentes x a eos 8, y = 0, z = a sen 6.

Ya que cos2 6 + sen 2 0 = 1, se ve que el lugar geomtrico requerido esX2 + Z2 = fl2, y 0.

As, conforme 0 vara, P describe el crculo x* + zz =

en el plano zx.

Fie. 26

70

Funciones vectoriales de una variable real

EJEMPLO 2. Sean a y b los vectores de posicin de los puntos A y B con respecto al origen O. Demostrar que la ecuacin de la recta que pasa por A y B se puede expresar en la forma p = a + (b a) t, (3.3)

donde es un parmetro (Fig. 26). Solucin. E l vector de posicin del punto B con respecto a A es AB = h a.

E l punto P con vector de posicin r est sobre la recta que pasa por A y B (Fig. 26) si y slo si AP = (b - a) t, donde t es algn nmero real. Notar que OP = O A + AP, y por consiguiente r = a + (b - a) t. sta es la ecuacin paramtrica de la recta que pasa por A y B, porque los vectores de posicin de todos los puntos P sobre la recta se pueden representar en esta forma. Observacin. Si A es el punto (x , y , z j , el punto (x y , z^) y P el punto (x, y, z), entonces las componentes de la ecuacin (3.3) son0 Q v 1

* = o + ( i- o) x x x

y = y + tox 0

y ) *> =0 z

z

0

+ ( i-*)'z

Eliminando t, resulta *-* * i - * la recta que pasa por A(x ,Q 0 =

y - y Vi-y y B(x0

0

"''-

\ h- ox

sta es la forma comn de la ecuacin en coordenadas cartesianas rectangulares de y, z)Q Q v

y

v

z .

EJERCIOOS 1. E l parmetro continuo t puede tomar todos los valores reales. Trace las curvas cuyas ecuaciones paramtricas son respectivamente: a) b) c) d)e

r (2 eos nt, sen n.t, 0), r- (sen nt, 0, 0), r = (t, \t\, 0), = ( , - t, 0),2 3

r

'

r

_ v* ~ ) ~ \(t, - f2, 0)

P

- oo < ^ 0 Para 0 < t < oo.a r a

1

2. Los puntos P y Q tienen vectores de posicin r rp

= ($2 + c, s, 1) . = (2t, t, t),

0

donde s y r son parmetros y c es una constante. Hallar el valor de c en el cual

Derivacin

de vectores

71

corten los lugares geomtricos de P y Q_ y demostrar que el punto de interseces ( 2 , 1 , 1 ) . Cules son las formas geomtricas de los dos lugares geomtricos? S. Demostrar que tienen un punto en comn las rectas cuyas ecuaciones paramem o s son r = (1, 2, 5.) + X(0. 1, 0) yI r = (0. - 2 . 4) + p(l, 2, 1),

donde X y u. son parmetros. Determinar las coordenadas de este punto. . ' 4. Si X y u son parmetros, demostrar que las curvas con ecuaciones paramtricas r = (1 + X, 1 + 231, 1 + X) r = (2u, u, 2 - 4 u ) son rectas, y que se intersecan perpendiculamiente. > 5. Los vectores a y v son constantes, y s y son parmetros que toman todos los valores reales. Demostrar que el lugar geomtrico de un punto P con vector de posicin r = a + su + rv (con respecto al origen) es un plano que pasa por el punto con vector de posicin a y paralelo al plano de los vectores y ^~> 6. Si 8 y , donde A y R son vectores constantes arbitrarios. Si el movimiento de un punto es tal que su vector de posicin r satisface la ecuacin diferencial anterior, demostrar que el movimiento est limitado a un plano.

3.3

Reglas de derivacin de funciones vectofuncio-

L a s reglas p a r a derivacin d e sumas y p r o d u c t o s nes o r d i n a r i a s . S i X, a y b s o n f u n c i o n e s identidades se v e r i f i c a n a s m i s m a s :

riales s o n s i m i l a r e s a las c o r r e s p o n d i e n t e s p a r a l a derivacin d e d e r i v a bles de t, las

siguientes

d dt d=

da di d\ dt

db

dt < da

(3.7)

a + JL- dt

(3.8)

d ' --(a.b) di '

da dh =s--.b + a. -f di di

(3.9)

74

Funciones vectoriales de una variable reald da - ( a x b ^ x b dh - .

+ a

x

(3.H.)

Estas i d e n t i d a d e s se d e m u e s t r a n fcilmente s i los vectores se represen tan e n forma de componentes. Por ejemplo, b + a b + a b)x 2 z 3 3

d d (a.h)=-{a dt dt1

da. dt da dt l a c u a l d e m u e s t r a (3.9).

da, . dt db dt

da ,3

db, dt

db

2

db dt

3

dt

dt

N o t a r q u e e n (3.10) e l o r d e n d e a y b d e b e observarse estrictamente, p o r l a p r o p i e d a d n o c o n m u t a t i v a d e los p r o d u c t o s vectoriales.EJEMPLO 4. Demostrar que la primera derivada de un vector unitario (

l,s c l a r o q u e c o m o t -> f, P se a p r o x i m a a P/

y p o r t a n t o P P{t,

f) est

f i n a l m e n t e est a l o l a r g o de l a tangente e n P ( F i g . 27). As dr/dt d i r i g i d o a l o l a r g o de l a tangente a # . P a r a d e t e r m i n a r e l sentido e n q u e a p u n t a dr/dt, gen O e n f y

e l i j a ejes c o n o r i -

c o n e l eje x p a r a l e l o a dr/dt. E n t o n c e s d e a c u e r d o c o n O

76

Funcione vectoriales de una variable real

FIG. 27. Conforme t -* V, P'P/(t /') finalmente est a lo largo de la tangente a ^ en P\

drdt ( )

C o n f o r m e t crece, e l p u n t o P se m u e v e a travs d e O e n l a direccin p o s i t i v a o n e g a t i v a tle x segn dx/dt esto se d e d u c e q u e dr/dt se m u e v e a l o l a r g o d e La tangente unitaria. sea m a y o r o m e n o r q u e cero. D e a p u n t a e n l a m i s m a direccin e n l a c u a l P c o n f o r m e t crece. S u p o n e r q u e e n el p u n t o P \ c o n parmetro V,

sobre l a c u r v a c o n ecuacin paramtrica. r = r(/) dr/dt existe y n o es c e r o .1

0

< <

(3.12)

E n t o n c e s e l vector 1 = dr/dtIdr/dtl

(3.13)

se d e f i n e c o m o la tangente t > t', entonces se d e f i n e

unitaria

e n P'. S i |rfr/d| 0 oo c o n f o r m e >

T =

lm

dr/dt

(3.14)

.T*i'|r/af|

s i e m p r e q u e exista el lmite. E s c l a r o q u e T es u n vector unitario,A . . . . . .

y el r a z o n a m i e n t o a l p r i n c i p i o

i Para la definicin de una derivada en un punto extremo de un intervalo vase, por ejemplo, G. H . Hardy: Pure Mathematics (Cambridge. 1952). pg. 286.

La tangente a una curvaHe esta seccin d e m u e s t r a q u e est d i r i g i d o a l o l a r g o d e l a i la c u r v a . Curva lisa si T 'o ^ t

77

tangente

lisa. Se d i c e q u e l a c u r v a c o n ecuacin paramtrica (3.12) es existe y es c o n t i n u a p a r a todos los p u n t o s e n e l i n t e r v a l o J . D i c h o e n trminos m e n o s precisos, l a s u a v i d a d d e l a c u r v a

puede i n d i c a r q u e n o h a y ningn c a m b i o b r u s c o e n n i n g u n o d e los puntos d e d i c h a c u r v a . Curva lisa parte por parte. Sea t < i < 0 2

< - i < i-

L a c u r v a c o n ecuacin paramtrica r = r() se d i c e q u e es lisa parte0 n

f < t ~ *\i t

R U i n i o t i e* V V . o j p n l 18. Hallar la ecuacin intrnseca doikf.eurwai cen/gettadin, jMwamtrlcai'/'U ^ r = (a eos , a sen t, &/) |W> . * - -

3.6 C u r v a t u r a , y torsin "**4av u * *>.tt!wKMnK|ou{ 9 0 t o m a OJ*, .1 -jf IOMIUI ClfU Sea f

5

0

t ^ 2*.

t jbtob r(s),

U tangente u n i t a r i a a .la curvaron.ecuacin intrnseca r =1

y representar ,t g oisacp OOi (ti rfonid b b m .11 IT> t*5 .MltJC'tir,: , ^ I t l OiU:*| III.' IB ui.U < MJ { U ' ' I ' i.n.'l > . .! f !1 OI ^ . ' * ^ V i vi- / (3-20)K N

82

Funciones vectoriales de una variable real

donde * es una funcin positiva de s y un vector unitario. 1 ejemplo resuelto al final de* la seccin 3.3 muestra que V es perpendicular a t*: se llama vector unitario normal principal. E l factor de proporcionalidad K se define como la curvatura, y es una medida de la razn en la cual cambia la direccin de la tangente con respecto a s. Por ejemplo, si la curva es una recta, T es constante en direccin y en magnitud, por tanto K = 0. L a cantidad p = *_ 1

se define como el radio de curvatura.

Otro vector de importancia en la teora diferencial de curvas es el vector unitario binormal, definido como B = f x . (3.21)

Los tres vectores unitarios "t", fV y ft forman una trada derecha ortonormal (Fig. 31). L a derivada de 6 con respecto a i es paralela o antiparalela a . Para demostrar esto, primero haga la derivacin (3.21) y emplee (3.20), asi te

Fie. SI. Vector unitario tangente f , vector unitario normal principal ft y vector unitario binormal ft en un punto particular obre la curva.

obtiene la ecuacin

*Luego

Js

di

es normal a 6 y por tanto est en d piano de fl y f . Pero

* X dft/ds es normal a 1\ y por tanto

~

-

-T,

(3.22)

donde x es una funcin de t. Este factor de proporcionalidad u.* Ilam < torsin de la curva, y es una medida de la razn en la cual cambia la direccin del biuoimal con respecto a s. Para curvas que estn en un plano I I . T claramente est en \\. por tanto (que es projx>rcional a la razn de cambio de ? ) tambin est

Curvatura en n . P o r tanto, para u n a c u r v a p l a n a , 6 pendicular a I I

y torsin

83

es u n v e c t o r c o n s t a n t e per-

y l a torsin es c e r o (x = 0).

EJEMPLO 6. Considere la hlice circular, definida paramtxicamente como r = (a eos t, a sen t, bt), donde a y b son constantes. Igualando las componentes x = a eos t, y = a sen t, z = bt, y por tanto, para todo t x +y2 2

(3.23)

=

a.2

La curva est sobre la superficie de un cilindro cuyo radio es a y cuyo eje es Oz. Tiene sus espirales alrededor del eje z, como se muestra en la Fig. 32. Para esta curva

y

Fie. 32. Hlice circular. I'or tanto

84

Funciones

vectoriales

de una variable

real

Tambin (S.E) "

(3.25) = f = ^( c o s

' -

,

c

n

' -

0

)

-

rurraToqrnco ? obucumgl .tttifm-u.i .I De lo anterior, se deduce que el normal unitario principal siempre es paralelo al plano xy. Tambin, al igualar las magnitudes de los dos miembros de (5.25), la * Ol.' ' ' il.C .otilfcl ufa V curvatura es K = \a\{a + b ).2 2

(356)

' P e r o por tas ecuaciones (354) y (3.25) ftttt S.H.4 $t .Jjil l 1 3 KltOUm k 1 O i > .X 3{3 1 ib IW.')0{ffK r|jnq?.?> >V W ! ; n< 3 7 , 2 2 3l2( * - > )! = t > < K a b ) b nt b t a

As

=

t

x

=

^+W

2{bsen,

~

bcost a)

' '

y con el empleo de (3.25) esto se reduce a -ab

...-(eos- /,sen /,0),

Por tanto, la torsin de la hlice es

i * . ; H J O G r , \ i / 3ln3lt>jr

ifanx>b

OJ33V b b f!tx3'lil) & 13 t. Olfll l O q 1> 2

T & (U\ llemc^trap a m k ^ . q u e i te cupf;

. e s . . ( l 4 , ^ V ) l * ^VMN &

|3***

V

50. Encontrar por turno T , N y B , y verificar que la> curva parablica plana

86

Funciones vectoriales de una variable real r = (f,i* ,0)2

tiene torsin cero. 21. Con la notacin empleada en el texto, demostrar que ~ ft

= - K t + T. dsK

[Sugerencia. Derivar la relacin N = B x T-] Nota. Este resultado, junto con las relaciones dT/ds = N y dB/ds = T N , constituyen las frmulas de Frenet-Serret. Dichas frmulas son fundamentales para la geometra diferencial de curvas.

3.7

Aplicaciones e n cinemtica

Las componentes de aceleracin de un punto que se mueve a lo larg de una curva. C u a n d o u n a partcula (o u n p u n t o P) se mueve, su posicin c o n respecto a u n sistema d e coordenadas d a d o depender d e l t i e m p o t. S i r = r(t) es e l vector de posicin d e P, entonces l a velocidad v y l a aceleracin i c o n respecto a u n sistema d e coordenadas se d e f i n e n c o m o v = i,2

elegido

f = f = v,2

(3.28)

d o n d e r representa dr/dt, r a d r / d , etc. R e p r e s e n t a r p o r s = s(t) l a l o n g i t u d d e arco d e l a c u r v a r = r(t) c u b i e r t a p o r l a partcula e n u n t i e m p o t. E n t o n c e s v = f = s% = sf, as (3.29)

d o n d e s es l a rapidez d e P y T e l v e c t o r tangente u n i t a r i o d i r i g i d o , e n cada instante, e n e l s e n t i d o e n q u e P se m u e v e . T a m b i n

= sf +p- s ,i 2

(3 30)

d o n d e N es e l vector u n i t a r i o n o r m a l p r i n c i p a l e n l a c u r v a descrita p o r P y p es e l r a d i o d e c u r v a t u r a . L a s c o m p o n e n t e s d e aceleracin s o n p o r tanto s e n l a direccin d e l vector tangente y s /p a l o largo de l a2

normal plano.

principal. Este resultado no est restringido al movimiento

Las componentes de aceleracin en coordenadas polares. E m p l e a n las ideas i n t r o d u c i d a s e n este captulo, se p u e d e n d e d u c i r las frmula*

Aplicaciones en cinemtica 8 7

OFie. 54. Los vectores unitarios y 8 en coordenadas polares r, Q.

bien conocidas para las componentes de velocidad y aceleracin en trminos de las coordenadas polares (r, 0). Si r y representan vectores unitarios en el plano r, 0, tal que t apunta alejndose del origen O, y 0 es normal a f j en la direccin en que 0 crece (Fig. 34). Primero se demostrarn dos resultados auxiliares importantes, a saber. di de en la direccin 0 = tonces t ff (cos0,sen 0,0), Por tanto ^ (-senfl, cos B, 0), ^ = -(cos,send, 0), = (-sen$, eos 0,0).

djdO

-t.

(3.S1)

Emplear ejes cartesianos rectangulares: Ox en la direccin 0 = 0, Oy y Oz para completar una triada derecha. E n -

y las formulas requeridas (3.31) se deducen inmediatamente. Luego el vector de posicin de P es r = ri. y por tanto (3.32)

rr + r.respectivamente. Tambin

(3.33)

Las componentes radial y transversal de velocidad son por tanto r, r0

ff . n + rtt + ir + rW + r*(f-r^f+(2rtf-KN9). (3.34)

88Por

Funciones vectoriales de una variable realtanto,2

las c o m p o n e n t e s

radial

y transversal d e aceleracin s o n

r - r y 2 f 0 + r'.E J E M P L O 8. Cuando un electrn se mueve en un campo magntico, experimenta una fuerza ey x R. donde e es la carga electrnica, v la velocidad, y B el vector de induccin magntica. Por tanto, si f es la aceleracin y m la masa del electrn, su ecuacin de movimiento es m = ev x B. (3.35)

Si B es uniforme e independiente de i , demostrar que la trayectoria descrita por el electrn es una hlice circular. Solucin. Si el eje z se elige en la direccin de B de modo que B = BU, y si r es el vector de posicin del electrn en un tiempo t, entonces (3.35) ser

O

>n . i - t u m . p t r u n ; ;p l j ,tj ,* oct&tcj & tra o m i t a n \.f .giH) : ;r* K p r x k , d t n f i fi Icm*n o~J$&)

donde P = eB/m y el punto representa derivacin con respecto a t. Luego

\ .>' ' .> *v

tanto

T- *

. r = xi+yj + zK,

'

R. '

.Vi1

V >!>>0liii >''. os * - * i; l

xi+yj+zk = p(xi +yj+zk) x k .--^Kftrsns i CTq -p*. ,.v ,A > lO ; A

. Ortl - i ti ; i i ;ilpiV > | n-Avmib d I

Separando en componente*,,,

* - 0 .

(3.37)

Si se elige el origen en la posicin de la partcula cuando f = 0, y la direccin del eje x de manera que la velocidad inicial de la partcula sea ni + iek (esto es, con tal que la componente de la velocidad inicial sea cero en la direccin y), entonces1

las ecuaciones (3.37) tienen que resolverse de acuerdo con las condiciones iniciales , - A . vos) . , 0 . V e n o , n n ~ ) s r x = u, y = 0, z = w, (3.38)

^

'

x = y = z = 0

(3 39)

La solucin de la ltima de las ecuaciones (3.37) se obtiene inmediatamente por z = wt. (3.40)

A l integrar las dos primeras ecuaciones de (3.37) y empleando las condiciones iniciales resulta

= py + u, y =

-px.

Substituyendo estos resultados, las dos primeras ecuaciones de (3.37) se pueden rcpresentar ahora como

x+p x2

= 0

y

y+p y2

= -pu.r'i

Por tanto, las solucionas generaies^para '* y y son

X = A co&.pt + Bscnpt, =

Aplicaciones

en cinemt

89

donde A, B, C y D son constantes arbitrarias. AI emplear las condiciones iniciales (3.38) y (3.39) se deduce fcilmente que A = D = 0 y 1! C = u/p. Por tanto

ux = -senpr, P

uy = -(cospt-), P z = wt,

y stas son las ecuaciones paramtricas de una hlice circular con eje x = 0 y y= ~ /PU

EJERCICIOS 22. E n un origen O sobre la superficie de la Tierra, el eje z apunta verticalmente hacia arriba. Una partcula que se mueve por la influencia constante de la gravedad solamente tiene aceleracin

dt2

-

(0,0,-*),

donde r es el vector de posicin y r representa el tiempo. Si la partcula se proyecta desde el origen cuando t = 0 con velocidad (u, 0, v), demostrar, por integracin de la ecuacin diferencial anterior, que el lugar geomtrico de su trayectoria es

r =

(ut,0,vt-igt ).2

23. Una partcula se mueve con velocidad v y aceleracin radio de curvatura de su trayectoria es

f. Demostrar que el

p-tr>xf|.Use esta frmula para determinar el radio de curvatura en el origen de la trayectoria de una partcula cuyo vector de posicin en un tiempo t, es

r =diferencial

(t,t ,.2r

24. U n punto se mueve de modo que su vector de posicin

satisface la ecuacin

dr2

.dr= g

-a

~ dt'X

donde / representa el tiempo, g es un vector constante, y X una constante escalar. Si el punto est en el origen en un tiempo i = 0 y luego se mueve con velocidad u. demostrar que

r = ^{\t + e- -\) +Xl

"(l-e-*').

{Sugerencia. Demostrar primero que

Entonces multiplique esta ecuacin por e^' e integre.]

C A P T U L O

ampos escalares y

vectoriales

4.1

Regiones definidas

E n el e s t u d i o d e l anlisis v e c t o r i a l trataremos c o n funciones aqu algunas d e f i n i c i o n e s asociadas. Regin abierta. U n c o n j u n t o de p u n t o s c o n s t i t u y e u n a regin

bre ciertos c o n j u n t o s d e p u n t o s . P o r l o q u e es c o n v e n i e n t e i n t r o d u c i r abierta

del espacio de tres d i m e n s i o n e s s i : a) cada p a r de p u n t o s d e l c o n j u n t o se p u e d e u n i r p o r u n a c u r v a c o n t i n u a , l a c u a l est c o n s t i t u i d a enteramente p o r p u n t o s de d i c h o c o n j u n t o , y b) cada p u n t o es el c e n t r o de u n a esfera q u e nicamente c o n t i e n e p u n t o s d e l c o n j u n t o . Regin cerrada cerrada. U n conjunto S de puntos constituye una regin s i : a) cada p a r de p u n t o s d e S se p u e d e u n i r p o r u n a c u r v a p o r p u n t o s de S, y b) los

c o n t i n u a q u e est c o n s t i t u i d a enteramente Frontera. punto

p u n t o s q u e n o estn en S f o r m a n u n a o ms regiones abiertas. U n p u n t o P p e r t e n e c i e n d o a u n a regin c e r r a d a 0t se l l a m a si cada esfera c u y o c e n t r o est e n P c o n t i e n e algunos frontera

p u n t o s q u e pertenecen a 01 y a l g u n o s p u n t o s q u e n o . U n c o n j u n t o S de p u n t o s f r o n t e r a d e &t f o r m a n u n a frontera mente p o r p u n t o s frontera. L a s d e f i n i c i o n e s anteriores, q u e se a p l i c a n a c o n j u n t o s d e p u n t o s e n el espacio d e tres d i m e n s i o n e s , se p u e d e n modificar fcilmente p a r a d e f i n i r regiones abiertas y cerradas y fronteras d e c o n j u n t o s d e p u n t o s en u n p l a n o : s i m p l e m e n t e se r e e m p l a z a l a esfera partes d i m e n s i o n a l e s , el crculo. U n s e n c i l l o e j e m p l o d e regin a b i e r t a es el c o n j u n t o de p u n t o s (x, y, x) tal q u e * +y + *a 2

si c a d a p a r d e p u n t o s de

S se p u e d e u n i r p o r u n a c u r v a c o n t i n u a q u e est c o n s t i t u i d a entera-

p o r sus dos c o n t r a -

< 1;

esto es, el c o n j u n t o d e todos los p u n t o s q u e estn d e n t r o (pero n o sobre 91

92

Campos

escalares

y

vectoriales

l a s u p e r f i n e dej l a esfera q u e t i e n e r a d i o u n i t a r i o y est c e n t r a d a e n el o r i g e n . S i n e m b a r g o , e l c o n j u n t o d e p u n t o s (x, y, z) t a l q u ex +y2 2

+ z

2

$ 1,

c o n s t i t u y e u n a regin c e r r a d a .

1. El conjunto de todos los puntos del espacio constituye una regin abierta o cerrada? ir el conjunto de puntos (x, y) del plano xy tal que

1 < x +y2

2

^ 2.

Explicar por que este conjunto no constituye ni una regin abierta ni una cerrada. v.wni, utofcaai n t n a m i m ] laho-um < \-> . -

4.2

Funciones d e varias variables

E l lector q u e tenga pocos c o n o c i m i e n t o s sobre f u n c i o n e s , d e v a r i a b l e s indcj>cndicnics, en es ta1

seccin encontrar' b r e v e m e n t e

explicados m u 1

chos de los conceptos y rstil'tados q u e utilizar ms a d e l a n t e .

C o m o se

tratar p r i n c i p a l m e n t e c o n (unciones de tres v a r i a b l e s reales i n d e p e n d i e n t e s , e l e s t u d i o estar l i m i t a d o a -este caso. S i n e m b a r g o , m u c h o s d e los resultados citados se e x t i e n d e n de u n a m a n e r a o b v i a a funciones d e ms de tres v a r i a b l e s . En toda esta seccin, las v a r i a b l e s i n d e p e n d i e n t e s x , y , z s o n coordeSea /(x, y, z) l a funcin d e v a l o r r e a l d e f i n i d a e n todos n a d a s cartesianas rectangulares e n e l espacio t r i d i m e n s i o n a l . Continuidad. los p u n i o s e n u n a regin a b i e r t a q u e c o n t i e n e e l p u n t o P(a, b, c). S i Q_(x, y, z) es c u a l q u i e r o t r o p u n t o e n l a regin, se d i c e q u e /(x, y, z) es continua ?l

e n e l p u n t o P\a, b, c) s i l a d i f e r e n c i a '' ' q ;i";-> tv ai io \ u;unol ^ f( yyrZ)-f{'O+7O^O-

T a m b i n se tiene

(*

1

"'/'

f

* * * W 1 - }-g*" &-*t*fyh-r-xyo*o-

f(x,yo,*)

E n consecuencia

nbmd

K

l M.O ,'o^oM BU

. 1

A

3 i

Derivadas

parciales

de alto

orden.

E s c l a r o q u e las d e r i v a d a s p a r c i a -

94

Campo encalare y vectoriales

les d e p r i m e r o r d e n d e /(x, y, z) sern ellas m i s m a s f u n c i o n e s d e x, y y z. C u a n d o estas d e r i v a d a s parciales se d e r i v a n p a r c i a l m e n t e c o n resp e c t o a x , y y z, se o b t i e n e n derivadas parciales de segundo orden. Las

d e r i v a d a s parciales "df/d* tivamente p o r

t

o

n

respecto a x , y y z se r e p r e s e n t a n respec-

a /2

a /2

a /2

3* '2

3.y3*'

dzdx'

o alternativamente p o r

Se e m p l e a

u n a notacin anloga p a r a las d e r i v a d a s d e s e g u n d o df/d z

orden

q u e se o r i g i n a n d e c V / d y y

L a s d e r i v a d a s d e a l t o o r d e n se d e f i n e n d e u n a m a n e r a anloga, y se e m p l e a u n a o b v i a extensin d e l a notacin a n t e r i o r .EJEMPLO

2. Hallar o l/d*3

a

para la funcin/=(*+2y+3*)4

.

Solucin. Se halla inmediatamente

dz

= 4 ( x + 2 y + 3 z ) ^ ( * + 2 y + 3a-)3

=

12(x-r2y+3s) .3

y al derivar nuevamente con respecto a z,

*3a /2

1 2 x 3 x 3 ( x 4 2y4-3*) ,2

y por tanto

37 3*3

1 0 8 x 2 x 3 ( x + 2>'-r 3*) 648(x+2y4-3*).

E J E M P L O 3. H a l l a r

d f/dy2

3 * y cV//9* cry para

la

funcin

/ * sen (a*+frjM-l'),d o n d e a, b y c son constante. Solucin. A l d e r i v a r / p a r c i a l m e n t e con respecto a x,

df 4- = acos(ax4-y4-r2).

Funcione de varia variablecon respecto a y, \J

95

a /2

,=

up

^y^

x

ab%ea(ax+by+cz).en respecto a y,

bien al derivar / parcialmente

a* = / y

bcos(ax+by+cz).

Por tanto

A Z - = obten (ax+by + cz). E n el ejemplo anterior, se observa que = por tanto, en este caso, es indiferente el orden en que se realizan las derivaciones x y y. L o mismo ocurre para casi todas las funciones que aparecen comnmente; en efecto, si el lector sugiriera una funcin /(x, y, z) 'al azar', seria sumamente difcil que no fueran idnticos los pares d e derivadas mixtas fjf, i,*. C o m o una referencia, citamos el siguiente teorema que expresa las condiciones suficientes para que el orden de la derivacin parcial sea indiferente. T E O R E M A . Si todas las derivadas de segundo orden mixtas (/, f, etc.), de la funcin /(x, y, z) existen y son continuas en un punto dado, entonces, en ese punto.

fxy - />

fy. - m

U

" /

(4.2)

Funciones continuamente diferenciables. Se dice que la funcin /(x, y, z) es continuamente diferenciable en una regin abierta 3t si existen y son continuas en cada punto de 9 sus derivadas parciales de primer orden / /, y fr

Funciones que no son continuamente diferenciables requieren tratamiento especial y no se estudiarn en este libro. Haciendo hincapi en esto, se lo recordaremos ocasionalmente al lector cuando se enuncien resultados importantes, pero de otra manera se dar por sentado sin comentarios que las funciones de las que se est tratando son apropiadamente definidas y continuamente diferenciables en alguna regin abierta. Adems, siempre y cuando se tenga la ocasin para introducir derivadas de segundo o ms alto orden de una funcin, se dar por sentado que tambin existen y son continuas en cualquier regin abierta que se considere. L a regbi de la cadena. Sea F una funcin c o n t i n u a m e n t e d i l c r c m i a ble de f, g y h y suponer que cada una de /, g, / es u n a (uncin t o n /

96

Campos

escalares

y

vectoriales

t i n u a m e n t e d i f e r e n c i a b l e d e x , y y z. E n t o n c e s , se p u e d e d e m o s t r a r que F es u n a funcin c o m p u e s t a , c o n t i n u a m e n t e d i f e r e n c i a b l e d e x , y y z y que dF dFdf=

dFdg df dx ' dg dx

dFdh dh dx( 4 3 )

dx dF dy= =

dFdf^ df dy

dFdg dFdh+

dg dy dFdg dg dz

dh dy dFdh dh dz

dF dFd dz g e n e r a l reglai

df dz

sta es l a regla p a r a d e r i v a r u n a funcin de funciones, l l a m a d a p o r lo de la cadena. P a r a i l u s t r a r este r e s u l t a d o , sea F = f4g > ' lrautgte b!

.''lili donde wip wnsi '

+ h,%x

' - * -W faiiib |ftm w m c i b rnsTOfoY c n i i orno ) ,.^\ , \ mtsm! f i V , u M

Entonces, 3F di=

esb dFdf+

rt dFdh

.*ry tbui ( a i l & h i e q echo MtttMT

dFdg

1

^cb c^c^ a"a+

*>

"

=

lx3x2*4-(-4)x2(*-*) + l x 0

Anlogamente tambin se p u e d e n e v a l u a r ^fWfd e x ' ' y y z' j.ir ' itn rmaiupai ' *D

eniplSndo

l a r e g l a de l a c a d e n a , y s i r t e s c r i b i r ^ e x p l f c l a m ^ t c o m o ua funcinoinuq & n a u n o i m o a n o * ? iri

%! tttldiaiianMb ' " * ttnamtumtino>

natno m a N q

no* o u a u p O t t O f M l r t

3 S ' ' '*

o l l u : , !

1

1 !>

K

'->tW"sfM>i;-o otna n;bto'-v o l M .oj/a n a-

.i .w. ^

-A\

yffifflB JgH}. A ^ a p ^ ^ w < " * > " W | M ' i

obolutai

m u v-iv.w^A-r. ton t i * * A ?.\

.*mu-vi\ n i *vrn M & I ' - v * * . ^ ,

*5'^Vsi-\\vs; i-'v;.,r .tmiv\verificar fjue /.-

>f

' U W W l W M m . V V o t x a lu,M

1

< V>iv^.v

5. Si

A'. . -Vs

*

MM

'

t*

;. 10. Si

xy z -x y z,2 3 2 2

Q = "+y"x

+ Z

t

: r

\

demostrar que r grad 2 = nf. " / 11. Demostrar que grad r =nr2 .r

12. Si a es un campo vectorial constante (es decir, un campo vectorial de magnitud y direccin constantes) y r es el vector de posicin, demostrar que

grad (a.r) = a. 4.5 Propiedades del gradiente direccional ^Q/^n. Sea P u n p u n t o fijo y P o t r o p u n t o/

La derivada

>

q u e vara d e t a l m a n e r a q u e el vector PP y Q{P) en P y Pr

/

s i e m p r e es p a r a l e l o a u n vecQ{P) de Q en P en la direc-

tor u n i t a r i o fijo> . S u p o n e r q u e u n c a m p o escalar Q t o m a valores respectivamente. La derivada comod Q

cin de n se define

-

l i m ( ')-n(P)Q P

(4.13)

s i e m p r e y c u a n d o exista e l lmite. Es c l a r o q u e , e n general, Q variar c o n d i f e r e n t e r a p i d e z c o n f o r m e nos movemos variacin e n l a direccin d e . Se tiene a h o r a l a siguiente p r o p i e d a d i m p o r t a n t e de g r a d Q : n.grad? = ^ . L a demostracin es m u y s e n c i l l a . E l e g i r ejes Oxyz alejndonos d e P e n d i recciones diferentes; l a d e r i v a d a d i r e c c i o n a l c j Q / ^ n m i d e l a r a p i d e z d e

(

4

1

4

)

tales q u e c o i n c i d a n

las d i r e c c i o n e s de los vectores u n i t a r i o s i y . E n t o n c e s .grud = i.grad2 = ~

l a c u a l es l a r a p i d e z d e c a m b i o de Q e n l a direccin x, es decir, l a d i reccin d e n. Interpretacin geomtrica de grad Q. S i 6 representa el ngulo entre el vector g r a d Q y el vector u n i t a r i o , entonces

102

Campos

escalares

y

vectoriales

x- = . g r a d 3 = en

Igrad2| c o s 0 .

(4.15)

S u p o n e r q u e 8 vara, y c o n s i d e r a r u n p u n t o d o n d e g r a d Q z 0. E n este p u n t o (4.15) d e m u e s t r a q u e el v a l o r mximo de ^ Q / ^ n ocurrir c u a n d o 6 = 0; es decir, c u a n d o y g r a d Q t i e n e n l a m i s m a direccin. Se d e d u c e q u e , en un punto en la misma de un campo que varia el direccin escalar, campo. de nivel. C o n s i d e r a r la ecuacin Q(x,y,z) = A, (4.16) \grad Q| es la rapidez donde grad Q ^ 0, el vector Q se incrementa describe grad Q El apunta y en gradiente en la que de cambio por tanto, ms rpidamente la manera

de Q en esta direccin. completamente

U n p u n t o d o n d e g r a d Q = 0 se l l a m a p u n t o estacionario. Superficies

d o n d e X es u n parmetro. P a r a cada v a l o r fijo de X l a ecuacin representa u n a superficie, y si X t o m a u n a v a r i e d a d de valores diferentes se o b t i e n e u n a f a m i l i a d e superficies. P o r ejemplo, p a r a c u a l q u i e r v a l o r p o s i t i v o fijo de X, l a ecuacin x +y2

2

+ z

2

= A

(4.17)

A

(grad?)

p

Fie. 35. E l vector (grad l)

p

es normal a la superficie de nivel tic Q que pasa por P.

representa u n a esfera c o n centro en e l o r i g e n y cuyo r a d i o es -v/X. S i X vara, l a ecuacin representa u n a f a m i l i a de esferas concntricas.

Propiedades L a f a m i l i a de superficies

del gradiente o

103 superficies

(4.16) se l l a m a isosuperficies

de nivel d e Q. Sobre cada superficie d e n i v e l , Q es constante. U n ejemp l o p a r t i c u l a r d e u n c o n j u n t o d e superficies d e n i v e l s o n las superficies de presin atmosfrica constante. Sus intersecciones c o n l a superficie d e la T i e r r a se m u e s t r a n sobre mapas de t i e m p o (y u s u a l m e n t e se d e n o m i nan isbaras, es decir, rectas d e presin baromtrica constante). U n a relacin i m p o r t a n t e entre e l g r a d i e n t e d e u n c a m p o escalar, y las superficies d e n i v e l d e l c a m p o es l a siguiente. Sea P u n p u n t o sobre l a s u p e r f i c i e de n i v e l Q(x,y,z) = c,r 2 s o n

(4.18) dos curvas q u e2

d o n d e c es u n a constante. S u p o n e r q u e \ y f

pasan p o r P las cuales estn sobre l a superficie, y q u e T j y T presentar s u v a l o r e n este p u n t o P ( F i g . 35). Demostracin. S i l a ecuacin intrnseca de esr x

son sus vector

tangentes u n i t a r i a s e n P. S u p o n e r q u e g r a d Q n o se a n u l a e n P, y rep o r (grad Q) .P

Entonces el

(grad Q), est d i r i g i d o e n l a direccin d e l a n o r m a l a l a s u p e r f i c i e e n

r = r(s) = (x(s),y(s),z(s)).

(4.19)

Puesto q u e l a c u r v a est sobre l a superficie (4.18), las coordenadas de c u a l q u i e r p u n t o sobre l a c u r v a d e b e n satisfacer (4.18), y p o r t a n t o (x(s),y(s) z(s))t

= c.

D e r i v a n d o estas ecuaciones c o n respecto a s, y u s a n d o l a regla d e l a cadena, se tiene dQdx Jxd Luego . (dQ dQ dQ\ dQdy 'd ~dsy

+

+

dQdz _ dzJs ~ -

(4.20)

y l a tangente u n i t a r i a a l a c u r v a (4.19) es

(P o r t a n t o (4.20) se r e d u c e a y d e ah q u e , e n P,

dx

dy dz\

ds~'ds~'d~s)'

f .grad2 = 0,

104

Campos

escalares

y

vectoriales f ,.(grad2)P

=

0.x

P u e s t o q u