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Anlisis VectorialProf. Javier Mrquez M.

Cantidades Escalares y VectorialesLas Cantidades Fsicas se pueden clasificar segn su origen en bsicas y derivadas, pero existen otras clasificaciones, por ejemplo:-

Segn su actividad, cantidades extensivas e intensivas. Segn su naturaleza, cantidades escalares y vectoriales.

Esta segunda pasaremos a detallar.

Una cantidad escalar es aquella que queda completamente definida por un nmero y las unidades utilizadas para su medida. Su valor puede ser independiente del observador. Ejemplo: Masa = 62 kg Temperatura = 37 C

O tambin su valor puede depender de la posicin o estado de movimiento del observador.

Ejemplo:

Energa Cintica = 450 J

Una cantidad vectorial es aquella que para quedar completamente definida necesita adems de su valor numrico y su unidad, una direccin y sentido.Ejemplos: Velocidad = 20 m/s hacia el norte Aceleracin = 2 m/s2 opuesta a la velocidad

Desplazamiento = 10 m al oesteCampo elctrico = 15 N/C perpendicular al plano

Definicin de VectorUna cantidad vectorial se representa mediante un segmento de recta orientado llamado vector. Posicin Fuerza

Desplazamiento

SIMBOLO GAVector que entra (-)

Vector que sale (+)

Elementos de un Vector

Mdulo: Tamao del vector, se representa por r .Direccin: Es la lnea punteada por donde pasa el vector. Sentido: Queda indicado por la punta del vector.

Un cuerpo se mueve de A Hasta B a travs de la lnea curva punteada, el vector desplazamiento r es aquel que va desde A hasta B

Atencin

Podemos tambin medir la direccin y sentido de un vector simultneamente midiendo el ngulo que se forma desde la lnea horizontal en donde descansa el vector, hasta la posicin del vector mismo yendo en sentido contrario a las manecillas de un reloj con lo cual quedara determinado de manera ms precisa su direccin y sentido.

Clasificacin de VectoresVectores colineales

A

B

C

Se les llama as a los vectores que se encuentran en una misma lnea.

Vectores coplanares

A

B C

Se les llama as a los vectores que se encuentran en un mismo plano.

Vectores concurrentes

AB

C

Se les llama as a los vectores que coinciden (concurren) en un mismo punto.

Vectores paralelos

A

B

El vector A es paralelo a B si: A = sB, siendo s un nmero real.

Vectores iguales

A

B

A=B

Dos vectores son iguales si tienen la misma direccin y el mismo mdulo.

Vectores opuestos

A

B

B = -A

A = -B

Dos vectores son opuestos si tienen el mismo mdulo, pero direcciones opuestas.

Adicin y Sustraccin de VectoresAdicin - Mtodo grfico

BA

R B A

El vector suma o resultante de A y B es el vector R, esta tcnica es conocida como mtodo del triangulo.

B A

B

R

A

En esta construccin, la resultante R es la diagonal del paralelogramo de lados A y B. Esta tcnica es conocida como mtodo del paralelogramo.

Tanto si usamos la tcnica del triangulo como la tcnica del paralelogramo podemos hallar el mdulo de la resultante valindonos de la trigonometra, para ello usamos la formula conocida como la ley de los cosenos:

c a b

c a b 2abcos 2 2 2

b a

c

c2 = a2 + b2 + 2abcos

En esta construccin geomtrica el vector resultante es el que completa el polgono, dicha tcnica es llamada mtodo del

polgono.

Ejemplo:

Del grfico hallar la resultante de los vectores: A

Siendo: | A | = 10u39 21

| B | = 6u

B

Aplicando el mtodo del paralelogramo

A

A

R39 21 B

B39 + 21 = 60

Hallando el mdulo de la resultante por la ley de cosenos:

| R |2 = | A |2 + | B |2 + 2| A | | B |cos | R |2 = 102 + 62 + 2(10)(6)cos60 | R |2 = 100 + 36 + 60 | R |2 = 196 | R | = 14uCos60 = 1/2

Sustraccin de vectores Mtodo grfico

A R= A+(- B) = A-B -B

B

Grafico que muestra como restar el vector B del vector A, note que se est empleando para ello el mtodo del triangulo.

Vector unitarioEs un vector cuyo mdulo vale uno. Se utiliza para especificar una direccin y nos permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una direccin particular.

V

V = | V |u u (vector unitario)

V y u tienen la misma direccin.

Como cualquier vector V se puede expresar como el producto de su magnitud y un vector unitario que tiene la misma direccin que V, entonces:

V=|V|uDividiendo ambos lados de la ecuacin entre | V |

V|V|

= u

Luego decimos que, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unitario que tiene la misma direccin que dicho vector.

Vectores Unitarios RectangularesyEn el plano cartesiano los vectores unitarios son: El vector i (eje x), el vector j (eje y) y el vector k (eje z).

j kz

ix

Componentes de un Vector

Consideremos un vector A que se encuentra localizado en el plano cartesiano. Podemos expresar a este vector como la suma de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y llamar a estos vectores las componentes de A.

y

Ay

A Ax

O

x

A la componente de A sobre el eje x le llamaremos vector Ax y la componente de A sobre el eje y le llamaremos vector Ay,Aplicando un poco de trigonometra podemos expresar las componentes de A de la siguiente manera: Ax = Acos Ay = Asen Podemos tambin hallar la magnitud (mdulo) del vector A del siguiente modo:

A2 = A2x + A2yY podemos expresar el ngulo (el cual nos determina la direccin y sentido del vector A) del siguiente modo:

Ay q tan

Ax

Podemos expresar ahora cualquier vector a travs de sus componentes rectangulares utilizando para ello los vectores unitarios i, j.

y

vy

V = Vxi + Vyj

vx

x

Para el caso tridimensional, tenemos:

zF = Fxi + Fyj + Fzk Fx = F Sen Cos

Fz F Fy y

Fy = F Sen SenFz = F Cos

Fxx

ngulos directoresSon los ngulos (, y ) que el vector F hace con los ejes x, y, z respectivamente, cumplindose que:

z FzF

Fx = F CosFy = F Cos Fz = F Cos

Fy y

Fx x

Dichos ngulos cumplen con la siguiente propiedad:

cos2 + cos2 + cos2 = 1

Estos cosenos son conocidos como los cosenos directores.

Adicin de VectoresMtodo analtico Sea un vector A con componentes Ax y Ay y otro vector B con componentes Bx y By, el vector resultante R = A + B ser:

R = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj) R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Como R = Rxi + Ryj, las componentes del vector resultante son: Rx = Ax + Bx Ry = Ay + By

El mdulo de R y el ngulo que forma con el eje de las x ser:

2 2 R Rx Ry

Ax Bx 2 Ay B y 2Ay B y Ax Bx

tan q

De la misma manera podemos sumar tres, cuatro y muchos ms vectores.

y

By Ry Ay R A x AX Rx Bx

B

Grfico que muestra la relacin entre las componentes de A y B y las componentes de R.

Ejemplo: Encontrar el mdulo y direccin de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura si:

y B30

A37 D 45 C x

|A| = 5 |B| = 14 |C| = 22 |D| = 73

Descomponemos rectangulares:

cada

vector

en

sus

componentes

BBx

By

Ay

AAx D

CxCy

C

El mdulo de cada componente ser:

Ax = Acos37 = 5(4/5) = 4 Ay = Asen37 = 5(3/5) = 3 Bx = Bcos30 = 14(3/2) = 73 By = Bsen30 = 14(1/2) = 7 Cx = Ccos45 = 22(2/2) = 2 Cy = Csen45 = 22(2/2) = 2

Luego:

Rx = Ax + Cx + D Bx = 4 + 2 + 73 - 73 = 6 Ry = Ay + By Cy = 3 + 7 2 = 8

Finalmente :

R R R 6 8 102 x 2 y 2 2

Multiplicacin de VectoresPodemos expresar muchas relaciones fsicas de manera concisa usando multiplicacin de vectores.Definiremos dos tipos diferentes de multiplicacin de vectores:

El primero, llamado producto escalar, produce un resultado de tipo escalar. El segundo, el producto vectorial, produce un resultado de tipo vectorial.

Producto escalar El producto escalar de dos vectores a y b, se denota por a.b y debido a esta notacin el producto escalar tambin se denomina producto punto. Expresamos el producto escalar con la siguiente ecuacin:

Siendo el ngulo entre el vector a y b.

El resultado de esta operacin es un escalar, es decir una cantidad que no tiene direccin.

Propiedades del producto escalar: Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedad distributiva:

Calculo del producto escalar usando componentes:

Obtengamos los productos escalares de los vectores unitarios

Luego expresemos a y b en trminos de sus componentes, y al expandir el producto obtenemos:

Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma de los productos de sus respectivas componentes.

Definicin geomtrica del producto escalar: El producto escalar de dos vectores es el producto del mdulo del vector b por la componente de a paralela a b.

ab

a cos

Producto vectorial EL producto vectorial de dos vectores a y b, tambin llamado producto cruz se denota por:

Con un mdulo igual a:

c = a

b sen

Siendo el ngulo entre los vectores a y b.

Propiedades del producto vectorial: Propiedad anticonmutativa:

Propiedad distributiva con respecto a la suma:

Prpopiedad de un escalar respecto al producto vectorial:

Clculo del producto vectorial usando componentes:

Obtengamos los productos vectoriales de los vectores Unitarios:

Luego expresemos a y b en trminos de sus componentes, y al expandir el producto obtenemos:

Que son las componentes de c = axb

El producto cruz tambin pude expresarse en forma de determinante:

Definicin geomtrica del producto cruz: El mdulo del producto cruz de dos vectores es el producto de sus mdulos por el seno del ngulo que forman.

v1 x v2 |v1 x v2 | v1

v1 x v2 = v1v2 Sen Lo que nos da el rea del paralelogramo cuyos lados son los vectores v1 y v2.

v2

Regla de la mano derecha para determinar la direccin del producto cruz de dos vectores:

Triple producto escalarSe define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos, el resultado es un escalar:

Propiedades el triple producto escalar:

a.(b x c) = c.(a x b) = b.(c x a)Definicin geomtrica del triple producto escalar:

El volumen del paraleleppedo definido por estos tres vectores es igual al valor absoluto de su triple producto escalar.