Prof. Javier Márquez M.

Análisis Vectorial

Cantidades Escalares y Vectoriales

Las Cantidades Físicas se pueden clasificar según su origen en básicas y derivadas, pero existen otras clasificaciones, por ejemplo:

- Según su actividad, cantidades extensivas e intensivas.

- Según su naturaleza, cantidades escalares y vectoriales.

Esta segunda pasaremos a detallar.

Una cantidad escalar es aquella que queda completamente definida por un número y las unidades utilizadas para su medida.

Su valor puede ser independiente del observador.

Ejemplo: Masa = 62 kg Temperatura = 37º C

O también su valor puede depender de la posición o estado de movimiento del observador.

Ejemplo: Energía Cinética = 450 J

Una cantidad vectorial es aquella que para quedar completamente definida necesita además de su valor numérico y su unidad, una dirección y sentido.

Ejemplos:Velocidad = 20 m/s hacia el norte

Aceleración = 2 m/s2 opuesta a la velocidad

Desplazamiento = 10 m al oeste

Campo eléctrico = 15 N/C perpendicular al plano

Una cantidad vectorial se representa mediante un segmento de recta orientado llamado vector.

PosiciónDesplazamientoFuerza

SIMBOLOGÍA

Vector que entra (-)

Vector que sale (+)

Definición de Vector

Elementos de un Vector

Módulo: Tamaño del vector, se representa por Δr .

Dirección: Es la línea punteada por donde pasa el vector.

Sentido: Queda indicado por la punta del vector.

Un cuerpo se mueve de A Hasta B a través de la línea curva punteada, el vector desplazamiento Δr es aquel que va desde A hasta B

Podemos también medir la dirección y sentido de un vector simultáneamente midiendo el ángulo que se forma desde la línea horizontal en donde descansa el vector, hasta la posición del vector mismo yendo en sentido contrario a las manecillas de un reloj con lo cual quedaría determinado de manera más precisa su dirección y sentido.

Atención

θ

Clasificación de Vectores

Vectores colineales

A CB

Se les llama así a los vectores que se encuentran en una misma línea.

Vectores coplanares

A

CB

Se les llama así a los vectores que se encuentran en un mismo plano.

Vectores concurrentes

A

B

C

Se les llama así a los vectores que coinciden (concurren) en un mismo punto.

Vectores paralelos

A

B

El vector A es paralelo a B si: A = sB, siendo s un número real.

Vectores iguales

A B

A = B

Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección y el mismo módulo.

Vectores opuestos

Dos vectores son opuestos si tienen el mismo módulo, pero direcciones opuestas.

A B

B = -A A = -B

Adición y Sustracción de Vectores

Adición - Método gráfico

BA

B

A

R

El vector suma o resultante de A y B es el vector R, esta técnica es conocida como método del triangulo.

A

A

BR

B

En esta construcción, la resultante R es la diagonal del paralelogramo de lados A y B. Esta técnica es conocida como método del paralelogramo.

2 2 2c a b 2abcos

Tanto si usamos la técnica del triangulo como la técnica del paralelogramo podemos hallar el módulo de la resultante valiéndonos de la trigonometría, para ello usamos la formula conocida como la ley de los cosenos:

c2 = a2 + b2 + 2abcosγ

γ

c

a

b

a

b c

γ

En esta construcción geométrica el vector resultante es el que completa el polígono, dicha técnica es llamada método del polígono.

Ejemplo:

Del gráfico hallar la resultante de los vectores:

Siendo:

| A | = 10u

| B | = 6u39°

21°

A

B

Aplicando el método del paralelogramo

39°21°

A

B

39° + 21° = 60°

A

B

R

Hallando el módulo de la resultante por la ley de cosenos:

| R |2 = | A |2 + | B |2 + 2| A | | B |cosθ

| R |2 = 102 + 62 + 2(10)(6)cos60°

| R |2 = 100 + 36 + 60

| R |2 = 196

| R | = 14u

Cos60° = 1/2

Sustracción de vectores – Método gráfico

A

-B

B

R= A+(- B) = A-B

Grafico que muestra como restar el vector B del vector A, note que se está empleando para ello el método del triangulo.

Vector unitario

Es un vector cuyo módulo vale uno. Se utiliza para especificar una dirección y nos permite expresar en forma conveniente un vector que tiene una dirección particular.

V

u (vector unitario)

V = | V |u

V y u tienen la misma dirección.

Como cualquier vector V se puede expresar como el producto de su magnitud y un vector unitario que tiene la misma dirección que V, entonces:

V = | V | u

Dividiendo ambos lados de la ecuación entre | V |

V = u

| V |

Luego decimos que, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unitario que tiene la misma dirección que dicho vector.

Vectores Unitarios Rectangulares

En el plano cartesiano los vectores unitarios son: El vector i (eje x), el vector j (eje y) y el vector k (eje z). i

x

y

x

y

z

j

k

Componentes de un Vector

Consideremos un vector A que se encuentra localizado en el plano cartesiano. Podemos expresar a este vector como la suma de sus proyecciones sobre los ejes coordenados y llamar a estos vectores las componentes de A.

A

O x

y

Ax

Ay

θ

A la componente de A sobre el eje x le llamaremos vector Ax y la componente de A sobre el eje y le llamaremos vector Ay,

Aplicando un poco de trigonometría podemos expresar las componentes de A de la siguiente manera:

Ax = Acos θ Ay = Asen θ

Podemos también hallar la magnitud (módulo) del vector A del siguiente modo:

A2 = A2x + A2y Y podemos expresar el ángulo θ (el cual nos determina la dirección y sentido del vector A) del siguiente modo:

AxAytan

Podemos expresar ahora cualquier vector a través de sus componentes rectangulares utilizando para ello los vectores unitarios i, j.

y

x

vy

vx

V = Vxi + Vyj

Para el caso tridimensional, tenemos:

F = Fxi + Fyj + Fzk

Fx = F Senθ Cosφ

Fy = F Senθ Senφ

Fz = F Cosθ

x

y

z

F

Fx

Fy

Fz

θ

φ

z

x

y

F

Fx

Fy

Fz

θ

α

β

Ángulos directores

Son los ángulos (α, β y θ) que el vector F hace con los ejes x, y, z respectivamente, cumpliéndose que:

Fx = F Cosα

Fy = F Cosβ

Fz = F Cosθ

Dichos ángulos cumplen con la siguiente propiedad:

cos2α + cos2β + cos2θ = 1

Estos cosenos son conocidos como los cosenos directores.

θ

Método analítico

Sea un vector A con componentes Ax y Ay y otro vector B con componentes Bx y By, el vector resultante R = A + B será:

R = (Axi + Ayj) + (Bxi + Byj)R = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j

Como R = Rxi + Ryj, las componentes del vector resultante son:

Rx = Ax + BxRy = Ay + By

Adición de Vectores

El módulo de R y el ángulo que forma con el eje de las x será:

De la misma manera podemos sumar tres, cuatro y muchos más vectores.

xx

yy

BA

BA

tan

2222yyxxyx BABARRR

Gráfico que muestra la relación entre las componentes de A y B y las componentes de R.

Ry

By

Ay

Rx

AXBx

y

xA

BR

Ejemplo:Encontrar el módulo y dirección de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura si:

|A| = 5

|B| = 14

|C| = 22

|D| = 73

30º 37º

45º

AB

C

D x

y

Descomponemos cada vector en sus componentes rectangulares:

AB

C

DAx

Ay

Bx

By

Cx

Cy

El módulo de cada componente será:

Ax = Acos37° = 5(4/5) = 4Ay = Asen37° = 5(3/5) = 3

Bx = Bcos30° = 14(3/2) = 73By = Bsen30° = 14(1/2) = 7

Cx = Ccos45° = 22(2/2) = 2Cy = Csen45° = 22(2/2) = 2

Luego:

Rx = Ax + Cx + D – Bx = 4 + 2 + 73 - 73 = 6Ry = Ay + By – Cy = 3 + 7 – 2 = 8

Finalmente :

1086 2222 yx RRR

Podemos expresar muchas relaciones físicas de manera concisa usando multiplicación de vectores.

Definiremos dos tipos diferentes de multiplicación de vectores:

El primero, llamado producto escalar, produce un resultado de tipo escalar.

El segundo, el producto vectorial, produce un resultado de tipo vectorial.

Multiplicación de Vectores

Producto escalar

El producto escalar de dos vectores a y b, se denota por a.b y debido a esta notación el producto escalar también se denomina producto punto.

Expresamos el producto escalar con la siguiente ecuación:

Siendo θ el ángulo entre el vector a y b.

El resultado de esta operación es un escalar, es decir una cantidad que no tiene dirección.

Propiedades del producto escalar:

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedad distributiva:

Calculo del producto escalar usando componentes:

Obtengamos los productos escalares de los vectores unitarios

Luego expresemos a y b en términos de sus componentes,y al expandir el producto obtenemos:

Por lo tanto, el producto escalar de dos vectores es la suma delos productos de sus respectivas componentes.

Definición geométrica del producto escalar:

El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo del vector b por la componente de a paralela a b.

b

a

a cosθθ

Producto vectorialEL producto vectorial de dos vectores a y b, también llamado producto cruz se denota por:

Con un módulo igual a:

c = a b senθ

Siendo θ el ángulo entre los vectores a y b.

Propiedades del producto vectorial:

Propiedad anticonmutativa:

Propiedad distributiva con respecto a la suma:

Prpopiedad de un escalar respecto al producto vectorial:

Cálculo del producto vectorial usando componentes:

Obtengamos los productos vectoriales de los vectoresUnitarios:

Luego expresemos a y b en términos de sus componentes,y al expandir el producto obtenemos:

Que son las componentes de c = axb

El producto cruz también pude expresarse en forma de determinante:

El módulo del producto cruz de dos vectores es el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman.

v1 x v2 = v1v2 Sen θ

Lo que nos da el área del paralelogramo cuyos lados son los vectores v1 y v2.

Definición geométrica del producto cruz:

v2

α

v1

v1 x v2

|v1 x v2 |

Regla de la mano derecha para determinar la dirección del producto cruz de dos vectores:

Triple producto escalar

Se define como el producto escalar de un vector por el producto vectorial de otros dos, el resultado es un escalar:

Definición geométrica del triple producto escalar:

El volumen del paralelepípedo definido por estos tres vectores es igual al valor absoluto de su triple producto escalar.

Propiedades el triple producto escalar:

a.(b x c) = c.(a x b) = b.(c x a)