Análisis y Diseño a Torsión con ejemplo

ANÁLISIS Y DISEÑO A TORSIÓN

La torsión en estructuras de hormigón armado aparece generalmente debido a la continuidad entre sus

elementos componentes. La situación más común en las estructuras es la presencia de momentos flectores,

fuerzas de corte y axiales. Sin embargo, hay casos en que se pueden presentar fuerzas de torsión que

intentan torcer el elemento con respecto a su eje longitudinal. La existencia de torsión pura es

extremadamente rara ya que generalmente está combinada con momentos flectores, esfuerzos de corte y

esfuerzos axiales.

Por muchos años los efectos de torsión fueron ignorados en el diseño. Como se verá más adelante, en

algunos casos es justificado, pero no en otros. Se tomaba a la torsión como una acción secundaria y en

general no era tenida en cuenta en el diseño; su influencia era absorbida por el factor de seguridad global de

las estructuras diseñadas a otros esfuerzos muy conservadoramente. Sin embargo, años posteriores surgió la

necesidad de considerar la torsión porque por un lado los métodos más sofisticados de análisis permitían

estructuras más livianas, menos conservadoras y por lo tanto con menor coeficiente de seguridad global; por

otro lado se incrementó el uso de elementos estructurales en los cuales la torsión jugaba un rol principal en la

respuesta ante las acciones, como es el caso de vigas de puentes curvos, vigas cargadas excéntricamente,

estructuras prefabricadas sin continuidad para redistribución de esfuerzos, balcones, losas helicoidales, etc.

A partir de los años 60 se comenzó a dar impulso en la investigación del comportamiento de elementos a

torsión y la primera recopilación se materializó en un simposio organizado por el American Concrete Institute,

ACI, en el año 1968. Las primeras previsiones de código para torsión aparecieron en el ACI en la versión

1971. Los procedimientos para abordar el problema de la torsión permanecieron prácticamente invariables

hasta la versión del año 1989. En esta generación de códigos, la torsión cubría sólo a las estructuras de

hormigón armado no pretensado.

El procedimiento para diseño y análisis a torsión era similar al aplicado a corte. La resistencia a torsión

consistía en una contribución por parte del hormigón, designada como Tc, y otra debido a los estribos y

armadura longitudinal, designada como Ts, que estaba basada en la analogía del reticulado con diagonales a

45 grados. Ver por ejemplo, ref. [1], ACI-318-83.

Las previsiones para torsión fueron completamente revisadas en la versión del ACI-1995. El nuevo

procedimiento, tanto para secciones macizas como huecas, está basado en la analogía del reticulado espacial

aplicado a tubos de pared delgada, ya que como se verá luego, la porción central de una viga sólida puede

ser conservadoramente ignorada en el proceso de diseño. Las suposiciones son apoyadas por resultados de

ensayos. El método se aplica tanto a hormigón armado como a hormigón pretensado.

TORSIÓN POR EQULIBRIO Y POR COMPATIBILIDAD.

UNASAM FAC. ING CIVIL

Los esfuerzos de torsión pueden aparecer como el resultado de

acciones primarias o secundarias. El caso de torsión primaria aparece

cuando la carga externa no tiene otra alternativa que ser resistida por esfuerzos de torsión. En tales casos la

torsión, que es requerida inevitablemente para mantener el equilibrio, puede ser determinada en forma

unívoca mediante el sólo uso de las condiciones de equilibrio estático. Esta situación se conoce como de

torsión por equilibrio. La torsión en este caso se transforma en un problema de resistencia puesto que la

estructura o sus componentes colapsarán si no se suministra la adecuada resistencia a torsión. La Fig.7.1(a)

muestra un caso típico donde la viga empotrada está sometida, además de flexión y corte, a torsión que le es

transferida por el momento de flexión de la viga perpendicular sometida a la carga de punta P. El momento

flector M= P.a de la viga cargada se transforma directamente en momento torsor T= P.a en la viga

empotrada. La viga cargada además está sometida a corte V= P, y la viga empotrada a momento flector M=

P.l, y a cortante V= P. Si el empotramiento no fuera capaz de restringir esa torsión, y/o la viga no resiste a

torsión, el colapso es inevitable.

Fig. 7.1(a) Ejemplo de torsión

por equilibrio: voladizo cargado

excéntricamente

La Fig.7.1 (b) muestra otro caso muy típico de torsión por equilibrio donde la flexión de la losa en voladizo se

transforma en torsión de su viga soporte la cual en sus apoyos debe contar con restricción a torsión y por otro

lado resistir tanto torsión como flexión. El momento de torsión en los extremos de la viga induce momentos

flectores del mismo valor en las columnas. Note que en dicha figura para que el efecto sea estrictamente de

torsión primaria, la losa debe estar en voladizo, es decir su único apoyo debe ser la viga de borde indicada,

por lo que el momento mE de la losa, por unidad de longitud, en su apoyo no puede ser nulo. No hay

posibilidades de redistribuir o ignorar los momentos de torsión inducidos en la viga de borde.

El momento torsor máximo en los extremos de la viga, o cara de la columna, es igual al momento T= (mE/m)

xL/2, (MT en la figura) siendo L la luz libre de la viga. El momento torsor a lo largo de la viga varía, con valor

máximo en los apoyos y nulo en el centro. Esto se puede visualizar si se toma a la viga de borde como un

cuerpo libre y se sigue el camino inverso de las cargas: supóngase que, por ejemplo, la flexión de la columna


de la izquierda, de valor MB, es ahora la que produce torsión de la

misma intensidad T, y con sentido de giro anti-horario en la cara que

se ve de la viga. A su vez, sección a sección, hacia el interior de la viga, la flexión de la losa va induciendo

momentos torsores por cada metro, (mE/m) que se van oponiendo al torsor del apoyo, T, ya que son en

sentido horario, y lo hacen disminuir hasta anularlo en el centro de la viga. Como la flexión sigue en la viga de

borde hacia el apoyo más alejado, ahora se comienza a acumular torsión en sentido contrario la que aumenta

hasta un máximo MB en el apoyo coincidente con la columna. Ésta reaccionará con un torsor de igual valor y

sentido contrario, nuevamente anti-horario.

La Fig.7.2, de ref. [2], muestra en (a) y (b) dos casos también muy frecuentes de encontrar en la práctica,

siendo el tercero en (c) análogo al presentado en la Fig.7.1 (b). Todos corresponden a torsión primaria.

En estructuras estáticamente indeterminadas, se genera torsión como acción secundaria para satisfacer los

requerimientos de compatibilidad o continuidad estructural. El no considerar tal continuidad en el diseño

puede conducir a una cantidad y ancho de fisuras excesivas, pero no tendría otras serias consecuencias

como el colapso. La Fig.7.3 muestra claramente cómo se pasa de torsión por equilibrio en el caso (a) a torsión


por compatibilidad del caso (b), al tener la losa en su borde A la

posibilidad de redistribuir los momentos negativos de apoyo hacia el

centro por existir un apoyo adicional en la línea B, es decir que se tiene más de una alternativa para el

equilibrio. El caso típico de la Fig.7.3 (b) muestra la losa monolítica de hormigón armado y si la viga es rígida

a torsión y está reforzada adecuadamente, y si las columnas pueden suministrar el momento resistente a

flexión inducido por torsión de la viga, los momentos en la losa en su borde de apoyo serán aproximadamente

los que corresponden a apoyo exterior rígido, con cierto valor que se esquematiza en la Fig.7.3(c). Sin

embargo, si la viga tiene una rigidez baja a torsión y no está armada en forma apropiada para este efecto, se

produce fisuración, se reduce aún más su rigidez al giro de la sección transversal y los momentos de borde de

la losa disminuyen notablemente, aproximándose a los de un borde articulado, como lo muestra la Fig.7.3(d).

Diseñando la losa para la situación de momentos redistribuidos evitará el colapso de la estructura.

Fig. 7.3

Efectos de torsión en hormigón armado.

(a) torsión primaria en viga por descarga de

losa en voladizo.

(b) torsión secundaria o de compatibilidad

en viga de borde de entrepiso.

(c) momentos en las losas si la viga de

borde es rígida a torsión

(d) momentos en las losas si la viga de

borde es flexible a torsión.

Fig. 7.4

Torsión por equilibrio y por

compatibilidad en puentes bajo


acción sísmica.

El diseño para torsión por equilibrio y por compatibilidad es diferente. En el primero la resistencia a torsión

debe ser asegurada. En el segundo es suficiente con suministrar una capacidad rotacional adecuada. El

torsor por equilibrio debe ser resistido por acciones elásticas (no se refiere acá al fenómeno de fisuración sino

al de fluencia plástica). La torsión no es un modo apropiado de respuesta inelástica.

En los casos de torsión por compatibilidad, la resolución numérica generalmente no es necesaria. Es

suficiente con asegurar, como se demostrará luego, una buena distribución de armaduras longitudinales y de

estribos para aliviar la rotación de la sección de hormigón. La ref. [3] indica que los ensayos sobre columnas

con rotulación plástica bajo la combinación de desplazamientos que generan flexión y rotaciones de torsión

han demostrado que la capacidad plástica de columnas circulares típicas no se ve adversamente afectadas si

las rotaciones torsionales no superan el valor del 5 %.

Es importante considerar lo que la ref. [3] señala con relación al comportamiento inherente del hormigón

armado a torsión. Para flexión, la relación esfuerzo-deformación para la sección transversal está dada por:

M = E.I.Φ ……………………… (7.1)

Donde Φ es la curvatura (rotación por unidad de longitud) y (EI) el módulo de rigidez a flexión, y que en forma

aproximada para la viga de la Fig.7.4(a) se podría tomar como módulo de rigidez efectiva:

E.Ie = 1.0 Ec.Ig para el caso de hormigón precomprimido, y

E.Ie = 0.5 Ec.Ig para el caso de hormigón armado,

Siendo Ec el módulo de elasticidad longitudinal del hormigón, e Ig el momento de inercia de toda la sección

transversal de hormigón.

A su vez, para torsión, si bien aún no hemos hecho referencia a los parámetros que controlan la respuesta, a

partir del fenómeno descrito hasta ahora se puede adivinar que en el módulo de rigidez de la sección a torsión

deben intervenir el módulo de elasticidad transversal del hormigón, G, y el momento

de inercia polar de la sección, J. Si Φt es la rotación de la sección transversal,

entonces la relación similar a flexión será:

……………..…… (7.2)

La citada referencia indica que, sin necesidad de mayor sofisticación, la rigidez torsional de la viga, se puede

aproximar como:

G.Je = 1.0 Gc.Jg para el caso de hormigón precomprimido o no fisurado


G.Je = 0.05 Gc.Jg para el caso de hormigón armado fisurado.

HORMIGÓN SIMPLE SOMETIDO A TORSIÓN.

El comportamiento del hormigón armado en torsión, antes de producirse la fisuración, puede basarse en el

estudio del hormigón simple puesto que la contribución de la armadura en ese estado puede considerarse

insignificante.

COMPORTAMIENTO ELÁSTICO.

Para establecer los efectos de torsión en hormigón simple se pueden utilizar los conceptos que aparecen en

los textos de mecánica estructural, ver por ejemplo Refs.[4] y [5]. La Fig.7.8 muestra un elemento de sección

circular sometido a torsión, y las resultantes trayectorias de tracción y compresión. Para este caso, la

ecuación de la torsión, similar en forma y concepto a la ecuación de la flexión que relaciona el Momento

flector M con el momento de inercia I, fue propuesta cerca de 1775 por el ingeniero francés Coulomb, y se

expresa así:

T momento torsor, r radio de la sección circular y J momento de inercia polar.

Fig. 7.8

Trayectorias de las tensiones principales en una barra cilíndrica sometida a torsión pura.

TORSIÓN EN ELEMENTOS DE HORMIGÓN ARMADO

Colocar la armadura siguiendo en forma estricta y continua las trayectorias de las líneas de tracción en un

elemento de hormigón armado sometido a torsión es difícil, costoso, poco práctico y, para combinación de

esfuerzos, poco eficiente. Por ello, para resistir torsión se utiliza una combinación de estribos poco separados

y barras longitudinales. Esto implica que, de ser aplicable, se deben adicionar refuerzos de acero a los

necesarios para corte y flexión (esfuerzos con los

que normalmente coexiste la torsión).


Fig. 7.24(a)

Analogía del reticulado

Espacial para torsión

Cuando los elementos se refuerzan en forma adecuada como muestra la Fig.7.24(a) y (b), las primeras fisuras

en el hormigón aparecen para un momento torsor igual o un poco mayor que el que corresponde a elemento

no armado a torsión, y aproximado por la ecuación (7.16). Esto es similar al mejoramiento de la resistencia al

corte en vigas de hormigón por efecto de los estribos. Las fisuras tienen una configuración similar a la que

indica la Fig.7.24(a). Luego de ocurrir la fisuración, la resistencia del hormigón sólo cae cerca de un 50 % y

sobreviene una redistribución de esfuerzos hacia las armaduras. Cuando la resistencia a torsión de la sección

se aproxima a su máximo valor, el recubrimiento del acero está muy deteriorado y empieza a desprenderse,

por lo cual su contribución en este estado debe ignorarse.

Fig. 24(b) Concepto de Aoh para

sección efectiva a torsión.

Se define el área Aoh= xoyo

como el área encerrada por el eje de la armadura transversal cerrada más extrema dispuesta para resistir

torsión, y además el perímetro ph= 2(xo + yo) del eje de la armadura de torsión transversal cerrada ubicada

en la posición más externa.

La resistencia a torsión en elementos de hormigón armado se puede obtener a partir de la analogía del

reticulado espacial, en la que existen diagonales comprimidas de hormigón en espiral que toman los

esfuerzos paralelos, pero no los perpendiculares, a las fisuras de torsión, tensores de acero transversales que

corresponden a los estribos cerrados y cordones de tracción que corresponden a las armaduras

longitudinales.

De acuerdo a la Fig. 7.24(a), la resistencia de torsión correspondiente a un elemento con una sección

transversal rectangular puede representarse como la suma de las contribuciones de los cortantes en cada una

de las cuatro paredes del tubo equivalente. Por ejemplo, la contribución del cuarto elemento, pared vertical

derecha del tubo es:


…(7.16) … (7.17)

Debe utilizarse Ao en vez de Aoh para determinar el Momento Torsor Nominal con esta expresión:

.... (7.21 b)

Donde Ao se debe determinar en forma analítica, o bien adoptar:

... (7.22 b)

Aoh según la Fig.7.24 (b). El ángulo de las diagonales comprimidas debe adoptarse de forma tal que 30° ≤ θ

≤ 60°. La norma específica que puede tomarse:

(a) θ= 45o para elementos no pretensados o pretensados con valores menores a los que da el punto (b), y

(b) θ= 37.5o para elementos pretensados tal que la fuerza efectiva de pretensado sea mayor que el 40 % de

la resistencia a tracción de la armadura longitudinal.

La resistencia de diseño a torsión, Td, se obtiene aplicando el factor de reducción de resistencia f = 0.75, por

lo que la ecuación básica de diseño es:

…………… (7.23)

Siendo Tu el momento torsor demanda en estado último o torsor requerido mayorado.

Para el caso común en que las tensiones de fluencia de ambos aceros, longitudinal y transversal, sean

iguales, y se adopte ángulo de las fisuras q= 45o, la expresión se simplifica a:

El área requerida para la sección transversal de una rama de estribo para torsión como:

… (7.28)

TORSIÓN Y CORTE.

La situación más común es que los elementos no estén sometidos a torsión pura sino que aparezca una

combinación con momentos flectores y esfuerzos de corte. En un elemento de hormigón armado en estado I,

no fisurado, el corte y la torsión producen esfuerzos de corte que son resistidos por el hormigón. En el

elemento fisurado, el corte y la torsión aumentan las fuerzas en las diagonales comprimidas, incrementan el

ancho de las fisuras, aumentan las tensiones en las barras longitudinales y crecen las fuerzas en los estribos.

El ACI-318-05, sección 11.6.3.1 establece un control de las tensiones de corte para la combinación de corte

por flexión y torsión. En corte por flexión limita con:


Que de no verificar lleva a modificar las dimensiones para bajar la tensión máxima de corte. Para torsión y corte, la norma impone con

similar concepto este límite:

(a) para secciones macizas:

………….. (7.29)

(b) para secciones huecas:

……… (7.30)

ARMADURAS MÍNIMAS.

La norma ACI-318, en la sección 11.6.5 especifica que en toda zona donde el momento torsor Tu

mayorado supere un cierto valor crítico, que luego se verá cómo se determina, será necesario

contar con armadura de torsión, y la mínima cantidad a colocar debe ser tal que:

La norma aclara también que los estribos transversales para torsión deben ser cerrados para

proporcionar la capacidad a tracción a través de las fisuras potenciales diagonales en todas las

caras de la viga. Por ello, ciertas formas de colocar estribos en U no cerrados pueden no ser aptos

para el caso de torsión. La Fig.7.28 muestra detalles permitidos, haciendo hincapié en la necesidad

de cerrar estribos con ganchos a 135o a menos que se cuente con confinamientos de las ramas no


cerradas. Se hace notar que para zona sísmica, tanto para corte,

confinamiento o evitar pandeo, los estribos cerrados son los más eficientes.

La separación s de los estribos se limita con el fin de asegurar el desarrollo de la resistencia última a

torsión, prevenir pérdida de rigidez luego de la fisuración, conferir adecuada capacidad de rotación a

torsión y controlar el ancho de las fisuras. La exigencia es que:

ARMADURA LONGITUDINAL.

La ecuación (7.26) es la que permite calcular el área de armadura longitudinal para torsión:

Y la norma aclara que, a los efectos de evitar cantidades excesivas de armadura longitudinal, la

relación (At/s) debe tomarse con el mismo valor que resulta de la ecuación de armadura transversal

(7.28).

La siguiente ecuación es la que adopta el ACI-318-2005 para establecer la mínima cantidad de

armadura longitudinal de torsión que es necesario disponer para los casos en que sea necesario

armadura de torsión:


Donde:

Además, el diámetro mínimo de la armadura longitudinal ds, en función de la separación de estribos s, es según norma:

El ACI-318- sección 11.6.4.3 establece que la armadura longitudinal debe ser anclada en ambos

extremos del elemento sometido a torsión. En la sección 11.6.6.3 aclara que la armadura se debe

prolongar, como mínimo, una distancia (bt+d) más allá del punto en el que ya no es teóricamente

necesaria, siendo bt el ancho de la parte de la sección transversal que contiene los estribos cerrados

que resisten la torsión. Aclaran los comentarios que la distancia (bt+d) que se toma es mayor que la

que se utiliza para la armadura de corte y flexión pues ahora las fisuras de tracción por torsión se

desarrollan en forma helicoidal.

DETERMINACIÓN DEL MOMENTO TORSOR MAYORADO TU. CRITERIO DE DIFERENTES

NORMAS.

TORSIÓN POR EQUILIBRIO. ACI-318-05

La Fig.7.31, torsión primaria o por equilibrio, y que ratifica los conceptos antes explicados, muestra el

caso en que el momento torsor, obtenido por simple equilibrio estático, no se puede reducir, ya que

el mismo se necesita indefectiblemente para el cumplir condiciones de equilibrio. En este caso, se

debe disponer de armadura de torsión, obtenida con los criterios antes explicados, para soportar la

totalidad del momento torsor Tu. Esto es lo que expresa la norma en su sección 11.6.2.1.

Fig. 7.31


Ejemplo de acción de momento torsor que el reglamento no

permite reducir.

TORSIÓN POR COMPATIBILIDAD. ACI-318-05

En los casos como muestra la Fig.7.32, estructura estáticamente indeterminada, ver sección C-201-

05 11.6.2.2, es posible una reducción de las fuerzas internas, incluidas las debidas a torsión,

invocando redistribución de esfuerzos que se producen después de la fisuración. Esto es posible

cuando exista torsión por compatibilidad. Esto significa que la norma dice que hay que evaluar el

momento torsor a partir de un análisis estructural que contemple la compatibilidad de deformaciones

por continuidad estructural, pero permite una “reducción de dicho momento máximo mayorado Tu a

los siguientes valores:

En elementos no pretensados con N= 0:

En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión:

Donde Nu se toma con valor positiva en caso de compresión y negativa en tracción, y corresponde a

la carga axial para el estado último que se analiza (no es necesariamente una carga mayorada).

Esto implica, como se ve, que la norma ha tomado el momento que produce fisuración como

referencia para la máxima redistribución posible (es decir, se puede “redistribuir” todo el exceso por

encima de ese valor de referencia), pero afectado por el factor de reducción de resistencia Φf, ya que

Tcr (por “cracking”) vimos está dado por:

Fig. 7.32.


Situación en la que el momento torsor último puede reducirse.

Si Tu es menor que la “torsión crítica” y que es un valor mínimo de referencia, el cual ya se

verá luego cómo se obtiene, la torsión puede ignorarse y sólo se provee armadura mínima.

Si Tu es mayor que la “torsión crítica” pero menor que “mínima posible resultante de la

redistribución” (y que sólo depende de propiedades geométricas), entonces se diseña con el

valor de Tu (esto es obvio pues no hay razones para redistribuir).

Si Tu es mayor que el momento torsor que resulta de la redistribución permitida, entonces

es posible aferrarse a la redistribución y diseñar con esos momentos “reducidos”.

TORSIÓN CRÍTICA.

La norma ACI-318 considera que cuando los momentos torsores Tu no superen un valor crítico o de

referencia, Tcrítico, no provocarán una reducción significativa a la resistencia de flexión y corte, por

lo que pueden ser ignorados. El valor crítico se toma, en forma aproximada, como ¼ del momento

de torsión que produce la fisuración, Tcr. En consecuencia, en la sección 11.6.1 la norma indica que

el efecto de torsión puede ser ignorado si resulta:

En elementos no pretensados con N= 0:

En elementos no pretensados con axial de tracción o compresión:

Cuando se trata de secciones huecas la norma dice que se debe utilizar Ag en lugar de Acp. Ag el

área bruta o total de la sección, que en las secciones huecas no incluye los vacíos. Esto se hace

para bajar el valor de la torsión crítica o de comparación. Solamente si Tu es menor que dicho valor

la torsión por equilibrio puede ser ignorada. Se ve además que se incluye el valor de f, factor de

reducción de resistencia, 0.75 en esta versión, para hacer aún menor el valor de comparación.

RIGIDEZ A TORSIÓN.


La Fig. 7.36 presenta una síntesis de tensiones máximas por

torsión en distintos puntos de diferentes secciones transversales y el momento

de inercia polar C= JT que corresponde a cada sección.

Fig. 7.36.

Máximas

tensiones de

torsión y

momentos de

Inercia Polar J

para algunas

secciones

homogéneas

según la teoría

de la

elasticidad.


EJEMPLO DE APLICACIÓN

Se trata del diseño de una viga prefabricada sometida a combinación de corte y torsión. La

misma debe soportar elementos de techos prefabricados, simplemente apoyados sobre el lateral

de la viga, como se muestra en la Fig.E1-1, en planta y elevación. Las vigas a diseñar están

conectadas a las columnas para transferir la torsión y el corte. No se suministra continuidad

entre las vigas soporte.

Datos:

D= doble TT + aislación + piso= 0.30 ton/m2

L = 0.15 ton/m2

f´c = 35 MPa = 3500 ton/m2 wc = 2.4 ton/m3 fy= 420 MPa= 42000 ton/m2

Fig. E1-1. Planta. Ejemplo de aplicación. 1pié=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma luz de vigas a ejes 9.0 m y columnas de 0.40x0.40 m. Luz de vigas de techo TT a ejes de columnas 18 m.


Fig. E1-2. Elevación. Ejemplo de aplicación. 1pié=0.305m, 1pulgada=0.0254m: para el ejemplo se toma viga de ancho arriba de 0.40m, altura toral 0.80 m y ancho inferior 0.55m. Saliente de apoyo de vigas TT de 0.15m de ancho por 0.20m de altura. Distancia de eje de apoyo a eje de viga 0.275m. Altura de vigas TT 0.60 m.

Solución:

1) determinar los esfuerzos internos. Suponer carga uniforme de las vigas TT sobre las vigas a diseñar:

Reacción de techo sobre viga:Luz l= 18 m – 2 x 0.2750 m = 17.45 m

Reacción a D ...........RD= 0.30 x 17.45/2 t/m = 2.62 t/m Reacción a L........... RL= 0.15 x 17.45/2 t/m = 1.31 t/m

Peso propio de viga:

[(0.40x0.80) + (0.20x0.15)] m2 x 2.4 t/m3 = 0.84 t/m

- Carga mayorada para Mu y Vu:

U = 1.2 D + 1.6 L = 1.2 (2.62 + 0.84) + 1.6 X 1.31 = 6.25 t/m

- Momento en el centro del tramo:


Mu 6.25 t/m x 92/8 m2 = 63.30 t.m

- Corte en los extremos:

Vu = 6.25 t/m x 9/2 m = 28.13 t

- Carga mayorada para Tu:

U = 1.2 D + 1.6 L

D = 2.62 t/m + (0.15 x 0.20) x 2.4 t/m = 2.70 t/m

U = 1.2 x 2.70 + 1.6 x 1.31 = 5.35 t/m

- Torsión en los extremos:Tu = (5.35 t/m x 9 m) x (0.075 + 0.20)m / 2 = 6.65 t.m

El corte y la torsión crítica están a una distancia d desde la cara del soporte. Se supone altura útil d = 80cm – 5 cm = 75 cm. Por lo tanto, la sección crítica está a 75cm + 20cm= 95 cm del centro o eje de la columna, es decir: Sección crítica desde el centro del tramo (4.50m – 0.95m) = 3.55 m

- Esfuerzos en secciones críticas:

Vu = 28.13 t x 3.55/4.50 = 22.20 t

Tu = 6.65 t-m x 3.55/4.50 = 5.25 t.m

La viga debe ser diseñada para resistir en forma completa el momento torsor Tu pues se trata de un caso de torsión por equilibrio.

2) Verificar si es posible ignorar la torsión:- Torsión de fisuración:

Y se puede ignorar si la torsión es menor de 0.25 ese valor, afectado por Φ, es decir:

Y la torsión crítica o límite es: Tlim = 0.75 x 0.25 x 8.95 tm = 1.68 tm

que resulta menor que la demanda Tu = 5.25 tm, por lo cual NO puede ignorarse el efecto de torsión.


3) Verificar si la sección transversal de la viga es suficiente, es decir verificar la tensión máxima de corte por

combinación de efectos.

En la Fig. E1-3 se dan detalles que permiten obtener:

Aoh = área encerrada por el perímetro externo de estribo cerrado.Aoh = 0.33 x 0.73 + 0.15 x 0.13 = 0.26 m2ph = perímetro correspondiente = 0.33+0.73+0.48+0.13+0.15+0.60 = 2.43 m

Fig. E1-3.

Se ha tomado como distancias a ejes de estribos: Arriba (13”) 0.33m (es decir 3.5cm de recubrimiento a eje de estribos), izquierda (29”) 0.73m; abajo (19”) 0.48m; borde apoyo (5”) 0.13m; las 6”= 0.15m y las 24”= 0.60m.

la contribución del hormigón a su vez debe ser tal que:

por lo que las dimensiones de la sección transversal son adecuadas.

4) Determinar el área de estribos por torsión.


que podría corresponder a un estribo cerrado con una barra de 12 mm cada 30

cm. Sin embargo hay que sumar requerimientos por corte.

5) Determinar el área de estribos por corte.

- corte último:

- necesario a tomar por acero:

por lo que no es necesario armadura de corte.

6) Área total de estribos por combinación de corte y torsión.

Si se adopta un solo estribo cerrado:


En este caso resultaría un estribo con diámetro 12 mm cada 30 cm.

El diámetro del estribo cumple además el requerimiento de norma de ser mayor de 10 mm.

7) Verificar armadura mínima de estribos.El área total de las dos ramas del estribo debe ser:

con lo cual se verifican ambos requerimientos.

8) Obtener la armadura longitudinal adicional por torsión.

9) Verificar la cantidad mínima de armadura longitudinal por torsión.

debiéndose cumplir además que:

Y se ve que controla la condición de cuantía mínima adicional por torsión.


El acero longitudinal requerido por torsión debe ser distribuido

alrededor del perímetro del estribo cerrado, con separación máxima de 30 cm, y

estar dentro del estribo, con una barra en cada esquina del mismo.

En las siguientes figuras se indican esquemas de armado. De todas maneras, se verá que se ha

apartado de lo calculado para el ejemplo, adoptando armaduras para corte y torsión un poco más

conservadoras.

Se adoptan 12 barras de diámetro 12 mm que suministran 13.56 cm2. El perímetro donde se deben

colocar es de 243 cm, lo que da una barra cada 20 cm aproximadamente. La Fig. E1-4 muestra cuál

sería la primera tentativa de armadura longitudinal por torsión. La misma puede verse levemente

modificada en función de cómo se acomode la armadura de flexión.

10) Armadura de flexión en el centro del tramo:

mientras que la cuantía mínima por flexión es (1.4/fy) = 0.3333, por lo que:

por lo que controla el momento demanda.

En los extremos, donde el momento flector es nulo, se debe suministrar al menos 1/3 de la armadura

que cubre el momento máximo, según el ACI-318, sección 12.11, es decir (24 cm2/ 3 = 8 cm2).

Teniendo ya presente los requerimientos de torsión, para la armadura de flexión se adoptan 4 barras

de diámetro 25 mm, 2 de 20 mm y una de 12 mm, lo que da un total de 27 cm2, dispuestos como lo

indica la Fig. E1-4. Con esta disposición, y sin tener en cuenta la armadura de torsión, pues es


adicional, un análisis seccional preciso da los siguientes

resultados, para el estado último o resistencia nominal:

La Fig. E1-5 muestra en definitiva las secciones transversales en tramo y apoyo cuando se

combinan los requerimientos de torsión, flexión y corte.

EJEMPLO DE APLICACIÓN No 2.

Una viga con un extremo empotrado y otro libre en voladizo, de sección con ancho b= 0.30m y altura

total h= 0.50 m está sometida a un par torsor en su extremo libre igual a Tu= 4.0 tm. El hormigón es

calidad H21 y el acero ADN 420. Diseñar la sección a torsión.

Solución.

(1) Es torsión por equilibrio, por lo que hay que evaluar Tu, que es dato para este problema.

(2) Torsión crítica:

- Acp = 0.15 m2

- Pcp = 1.6 m

Torsión que produce fisuración:


Torsión crítica = ¼ Tcr = 0.40 tm < 4.0 tm; por lo que la torsión no puede ser ignorada.

3) Verificación de dimensiones de hormigón.

Distancia de bordes a centros de estribos estimada en 2.5 cm, por lo que:

por lo que la condición queda satisfecha.

4) Armadura transversal:

De la ecuación de diseño se obtiene:

por lo que se adopta estribos de 12 mm (At = 1.13cm2) cada 17 cm.

5) Armadura longitudinal:

Teniendo en cuenta que el tipo de acero para armadura transversal y longitudinal es el mismo:

para lo cual se pueden disponer de 4 barras de diámetro 12 mm por cara lateral y adicionar 1 barra

de diámetro de 8 mm arriba y abajo, lo cual suma 10cm2, y la distribución es casi uniforme como es

la exigencia.

6) Armaduras mínimas:

Transversal:


y esta expresión controla sobre:

pero se necesitan 112 mm2, tal cual se calculó antes.

Longitudinal:

La cual en este caso carece de sentido por dar negativa.


Análisis y Diseño a Torsión con ejemplo

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