Análisis y simulación de sistemas dinámicos usando...

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REVISTA VÍNCULOS VOL. 10 NúmERO 1 EnEro - Junio DE 2013

Análisis y simulación de sistemas dinámicos usando el Software DS Simulator Analysis and simulation of dynamic systems using DS Software Simulator

Edison I. Sabogal P.*Angélica M. Atehortúa L.**

Lilia M. Ladino M.***

Fecha de recepción: marzo 17 de 2013

Fecha de aprobación: Abril 30 de 2013

Resumen

En este artículo se describe el software DS Simulator para la simulación de sis-temas dinámicos, el cual ha sido desarrollado en Java y es de código abierto. DS Simulator le permite al usuario interactuar fácilmente con una interfaz gráfica sin tener que involucrarse con un lenguaje de programación. Además, tiene la posibilidad de guardar los datos obtenidos y exportar la simulación a un lenguaje de programación, como MatLab u Octave, para reutili-zar el código. Mediante este software es posible estudiar numé-ricamente sistemas dinámicos difíciles o imposibles de resolver analíticamente. La presentación de DS Simulator se desarrolla con ejemplos de los tipos de sistemas que puede simular, esto es, aquellos representados por ecuaciones en diferencia, dife-renciales ordinarias y estocásticas.

Palabras clave Sistemas dinámicos, análisis numérico, simulación.

* Grupo Inv. Sistemas Dinámicos, Universidad de los Llanos. [email protected]

** Grupo Inv. Sistemas Dinámicos, Universidad de los Llanos. [email protected]

*** Grupo Inv. Sistemas Dinámicos Universidad de los Llanos. [email protected]

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1. Introducción

En este artículo se presenta la versión 3.0 de 2011 del software DS Simulator. Los re-sultados de la investigación desarrollada consisten en una compilación de algoritmos numéricos para el estudio de sistemas diná-micos a partir de series de tiempo, iteración de funciones, curvas solución, retratos de fase, campos vectoriales y exponentes de Lyapunov. Por medio de este software es posible realizar un análisis completo de un sistema dinámico, reduciendo gastos en tér-minos de tiempo y mejorando la precisión de los resultados obtenidos. DS Simulator es de código libre, lo que facilita su uso sin tener que recurrir a compras de licencias, y además, permite el acceso al código para personalizaciones y reutilizaciones. La in-terfaz gráfica se presenta en idioma inglés con el n de que sea accesible para un público más amplio. La predicción y el análisis del comportamiento de un sistema dinámico son frecuentemente una tarea ardua que se dificulta por la ausencia de herramientas

efectivas [2]. En efecto, puesto que un siste-ma dinámico es un modelo matemático, en la mayor a de casos la no linealidad de sus ecuaciones hace que sea difícil o imposible resolverlo analíticamente. La simulación por computador es una solución a dicho proble-ma [3], ya que puede proporcionar una bue-na aproximación numérica a las soluciones del modelo. No obstante, la ejecución de esta simulación requiere conocimientos sobre al-goritmos numéricos y de algún lenguaje de programación [19]. Por consiguiente, DS Simulator ha sido desarrollado para la si-mulación y el análisis numérico de sistemas dinámicos discretos, continuos y estocásti-cos, lo que facilita la interacción del usua-rio mediante una interfaz gráfica sencilla y proporciona una gran variedad de técnicas de análisis para un estudio más amplio del sistema. Estas características hacen que DS Simulator sea una herramienta novedosa, ya que se diferencia de otros software que solo se centran en alguna tarea específica de aná-lisis (como bifurcaciones o retrato de fase), o dificultan su uso con una interfaz gráfica compleja [6, 7, 16, 10, 4],1 o son un producto

Abstract

This paper describes DS Simulator software for the simulation of dy-namical systems, which has been developed in Java and is open source. DS Simulator allows to the user to interact with a graphical interface without having to en-gage with a programming language. Further-more, it has the possibility of to save and export data from the simula-tion to a programming language, such as MatLab or Octave, for to reuse the code. Through this software can be studied numerically dynamical systems that are dificult or impossible to solve analytically. The presen-tation of DS Simulator develops with examples of the types of systems that can be simulated, that is, those represented by difeerence equations, ordinary difeerential and stochastic.

Keywords

Dynamical systems, numerical analysis, simulation.

1 pplane: http://math.rice.edu/ d eld/dfpp.html, matds: http://kvm.math.rsu.ru/matds/.

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v Í n c u l o sEdison ivanú sabogal PérEz, angélica María atEhortúa labrador, lilia MErcEdEs ladino MartínEz

rEvista víncUlos vol. 10 núMEro 1 EnEro - Junio dE 2013

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comercial que limitan su uso [9].2 DS Simula-tor es un software multiplataforma que pue-de ser utilizado en cualquier sistema opera-tivo con mínimas condiciones de hardware, lo que hace una gran ventaja con respecto a herramientas desarrolladas como toolbox para MatLab [1], las cuales requieren tener MatLab instalado y contar con buenas carac-terísticas de hardware para que el software sea ejecutado eficientemente. DS Simulator está disponible online para su descarga en la página web del autor https://sites.goo-gle.com/site/ angelicamariaatehortualabra-dor/proyectos/ds-simulator.

La organización es la siguiente: en la sec-ción 2 se presenta la arquitectura de DS Si-mulator. La sección 3 describe brevemente la metodología aplicada en el desarrollo del software. En la sección 4 se muestran los resultados del análisis y simulación de tres ejemplos de sistemas dinámicos: discreto,

continuo y estocástico. Finalmente, la sec-ción 5 corresponde a las conclusiones del trabajo realizado.

2. Software DS simulator

La estructura general de DS Simulator puede verse en la figura 1. En esta interfaz gráfica, el usuario ingresa los datos correspondien-tes del modelo matemático formulado en un sistema de ecuaciones. En la siguiente sec-ción se detallan las técnicas de análisis que tiene la herramienta, descritas en el presente artículo como funcionalidades.

Los algoritmos utilizados para el análisis numérico del modelo matemático son trata-dos de acuerdo con el tipo de sistema con los mejores métodos planteados en la literatura para sistemas discretos [12], continuos [5] y estocásticos [13]. Se aplica el método de Run-

2 phaser: http://www.phaser.com/

Fuente: elaboración propia.

Figura 1. Estructura general de DS Simulator. Ventana de interacción gráfica (1): entrada de datos de la respectiva funcionalidad. (2): análisis de puntos seleccionados sobre la gráfica visualizada en (4) y (3): barra de estado o indicador de ejecución del proceso actual

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ge-Kutta de orden 4 para la simulación de sistemas dinámicos continuos, para el caso de los exponentes de Lyapunov se aplica el método de Ramasubramanian y Sriram [17], y para la simulación de los sistemas estocás-ticos el método de Euler-Maruyama [11].

El flujo de trabajo de DS Simulator se visua-liza en la figura 2. De la barra de menú en la parte superior de la interfaz gráfica des-plegada, el usuario selecciona la funciona-lidad que va a utilizar, el ingreso de datos, la opción de visualizarlos en la ventana de gráfica, exportar dicho proceso a MatLab u Octave o guardar los datos obtenidos en un archivo de texto.

3. Metodología

Para el desarrollo de DS Simulator se utilizó la metodología de desarrollo basado en fun-cionalidades (FDD Feature Driven Develo-pment) [15]. El modelo global lo constituye los sistemas dinámicos, que se divide en tres tipos: discreto, continuo y estocástico, y cada uno de ellos se compone de una lista de fun-cionalidades que caracterizan el software. Las funcionalidades del software bajo FDD se muestra en la figura 3.

Figura 3. Funcionalidades software DS Si-mulator bajo el modelo de desarrollo FDD


Figura 2. Diagrama de flujo para el procedimiento principal de DS Simulator

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4. Ejemplos de aplicación

A continuación, se muestra la aplicación de DS Simulator en tres ejemplos de sistemas dinámicos (discreto, continuo y estocástico), en los que se refleja el aporte del software para su análisis.

4.1 Ejemplo 1: sistema discreto

Un modelo clásico en sistemas dinámicos discretos es la función logística, ecuación (1). Este modelo poblacional tiene una amplia ri-queza dinámica, puesto que puede eviden-ciar la estabilidad, la extinción, la fluctua-ción periódica o el comportamiento caótico de una población. Si en la ecuación (1) se tie-ne el parámetro a α= 3:2, entonces se obtiene un punto fijo repulsor en 0,68 bajo la órbita de 0,4, es decir, la población evoluciona a partir 0,4 alejándose del punto fijo, siendo as este un punto inestable del sistema, tal como se observa en la figura 4.

ƒ(x) = ax(1- x) (1)

Mediante la iteración de la ecuación (1) se pueden encontrar puntos periódicos del sistema. Siguiendo el análisis del compor-tamiento del sistema (1) bajo la órbita 0,4 y usando la funcionalidad de iteración de fun-ciones se obtienen dos puntos de periodo 2: 0,51 y 0,79, ambos puntos son estables, ver figura 5. La figura 6 describe la orbita 0,4 del sistema (1) geométricamente, mostrando su comportamiento periódico. El diagrama de bifurcación del sistema (1) muestra el cam-bio en su dinámica por la variación del pará-metro a. Esto se observa en la figura 7, en la que se muestran varias bifurcaciones cuan-do a > 3. Por último, con la gráfica obtenida de los exponentes de Lyapunov como serie de tiempo, es posible clasificar el comporta-miento del sistema (1) en regular o caótico, si se obtienen valores negativos o positivos de (a) (valor punto fijo en el parámetro a) res-pectivamente; además, se identifican pun-tos de bifurcación donde (a) = 0, mostrando cuando el comportamiento cambia de regu-lar a caótico (ver figura 8).


Figura 2. Diagrama de flujo para el procedimiento principal de DS Simulator

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Figura 4. Gráfica de la función logística con a = 3:2

Figura 5. Gráfica de la segunda iterada de la función logística con a = 3:2

4.2 Ejemplo 2: sistemas continuos

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Figura 6: Serie de tiempo de la funcion log stica con a = 3:2

Figura 7: Diagrama de bifurcación de la función logística

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Figura 8. Exponentes de Lyapunov de la función logística

Figura 9. Retrato de fase del sistema 2 con = 1 y = 8

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Como un segundo ejemplo se ilustra el siste-ma dinámico continuo descrito por la ecua-ción (2), denominado oscilador de Du ng-Van Der Pol [14], y que se puede reescribir como el sistema de ecuaciones (3).

(2)

(3)

La ecuación 2 es de gran utilidad en diferen-tes aplicaciones tales como el comportamien-to de la inestabilidad en el funcionamiento de los compresores de aire o bombas centrí-fugas [14], comunicación segura [8], ritmos circadianos [18], entre otros. La ecuación 2 resulta de la combinación de la ecuación de Van der Pol (paraβ = 0) y de la ecuación de Duffling (para ε= 0), como casos especiales. En las figuras 9 y 10 es factible observar el comportamiento general de la solución pe-riódica del sistema 3, con parámetros de =χ 1 y = 8 con condiciones iniciales de x = 2 y y = 0. Mientras que en la figura 11 se observa todas las posibles soluciones de diferentes

condiciones iniciales con estos mismos pará-metros y cuya gráfica es obtenida del código generado desde la funcionalidad de Campo vectorial de DS Simulator ejecutada desde Matlab el cual se muestra en el algoritmo 1.


Figura 10. Curva solución del sistema 2 con = 1 y = 8


Figura 11. Campo vectorial del sistema

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Algoritmo 1: Codigo en Matlab campo vec-torial

En las figuras del 12 a 14 se observa el retra-to de fase, curvas solución y campo vectorial del sistema de Van der Pol con ε = 1 respec-tivamente.

Los algoritmos 2 y 3 muestran el script para generar una gráfica de los datos guardados

de un proceso realizado, los cuales son útiles para su respectivo tratamiento.

El sistema 2 con = 0 y beta = 0:2 tiene tres puntos de equilibrios: (0,0), ( 2:23; 0), cuyo comportamiento está clasificado como fuen-te espiral para el primero y punto de silla para estos dos últimos puntos. En DS Simu-lator es posible analizar el comportamiento del sistema en un punto, el cual es seleccio-nado sobre la gráfica, tal como se observa en la figura 15.

La solución del sistema Duffling con β= 0:2 se grafica en las figuras 16 y 17. Se puede comprobar que este sistema es conservativo, ya es se encuentra una función hamiltoniana del sistema, como se observa en la figura 18 que se obtiene directamente en la ventana gráfica de DS Simulator, o exportando el có-digo a Matlab u Octave para una gráfica más ilustrativa como se expone en la figura 19. A diferencia del sistema inicial, Van der Pol-Du ng, con parámetros ε= 1 y β= 0:2 el cual no es conservativo (ver figura 20).


Figura 12. Retrato de fase del sistema 2 con ε= 1 y β= 0

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Algoritmo 2: Script en bash para graficar con gnuplot

Algoritmo 3: Código en Gnuplot

Los exponentes de Lyapunov ofrecen una excelente técnica para analizar el compor-tamiento caótico de un sistema. En la figura 21 se observan los exponentes de Lyapunov

como una serie de tiempo del sistema 3 con ε= 1 y β= 0:2. Guardando los datos obtenidos del cálculo de los exponentes de Lyapunov del sistema de Van der Pol, Duffling y Van der Pol-Du ng con ε= 1 y β= 0:2, se pueden graficar en una sola ventana para una mejor visualización como se muestra en la figura 22 y su respectivo código en Matlab u Octa-ve en el algoritmo 4.


Figura 13. Curva solución del sistema 2 con ε= 1 y β= 0


Figura 14: Campo vectorial del sistema 2 con ∈ = 1 y β = 0

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Figura 15. Análisis del sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2

Figura 16. Retrato de fase del sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2 Van der Pol

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Figura 17. Curvas solución 2 con ε= 0 y β= 0:2

Figura 18. Función hamiltoniana del sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2

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Fuente: elaboración propia. Fuente: elaboración propia.


Figura 19. Función hamiltoniana con sus curvas de nivel del sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2

Figura 20. Comprobación de que el sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2 no es conservativo

Figura 21. Exponentes de Lyapunov del sistema 2 con ε= 0 y β= 0:2)

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Figura 22. Exponentes de Lyapunov del sistema 2 y sus variantes: Van der Pol y Duffling con ε= 0 y β= 0:2

Figura 23. Exponentes de Lyapunov del sistema dinamico continuo (4)

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El sistema (4) representa un péndulo for-zado linealmente [5]. A través de los ex-ponentes de Lyapunov del sistema (4) se describe cualitativa y cuantitativamente su comportamiento caótico [5], es decir, cuando el sistema exhibe una dependencia sensible de las condiciones iniciales. Esto significa que dos trayectorias que comien-zan cerca una de la otra divergen, y cada una evolucionar de manera totalmente di-ferente de la otra. Para este sistema, el soft-ware DS Simulator obtuvo los exponentes de Lyapunov λ1 = 0, λ 2 = 0:02 y λ 3 = 0:01 (ver figura 23), lo que indica que el sistema presenta un comportamiento caótico, tal como es reportado por [5].

(4)

4.3 Ejemplo 3: sistema estocástico

El modelo matemático (5) corresponde a un sistema presadepredador estocastico, en el cual se le ha adicionado un ruido de natu-raleza no determinística. Las figuras 24 y 25 muestran el retrato de fase y los exponentes de Lyapunov, respectivamente, para este sistema.

(5)

Algoritmo 4: código en Matlab exponentes de Lyapunov ecuación Duffling y Van der Pol y Du ng-Van der Pol


Figura 24. Retrato de fase del sistema dinámico estocástico (5)

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de software que ofrece muchas ventajas en el estudio e investigación de sistemas diná-micos discretos, continuos y estocásticos. Así, esta herramienta constituye un valor agregado para la docencia e investigación, a partir del cual estudiantes e investigadores pueden manipular y controlar fácilmente variables, tomar decisiones y resolver pro-blemas. Los ejemplos de aplicación presen-tados en este artículo muestran la utilidad y calidad del software en el análisis de sis-temas dinámicos. Como trabajo futuro, se proyecta el desarrollo de nuevos algoritmos que permitan un mejor análisis de modelos matemáticos más complejos, tales como sis-temas de orden 4 y superiores.

6. Agradecimientos

Los autores agradecen al Instituto de In-vestigaciones de la Orinoquia Colombiana, IIOC, de la Universidad de los Llanos por su apoyo para este trabajo mediante el pro-yecto de investigación titulado Estabilidad y bifurcaciones en modelos de poblaciones.


Figura 25. Curvas solución del sistema dinámico estocástico (5)

Algoritmo 4: código en Matlab exponentes de Lyapunov ecuación Duffing y Van der Pol y Duffing-Van der Pol

5. Conclusiones

DS Simulator es un software escalable, fácil de usar, de código abierto, disponible online y cuya aplicación reduce costos en términos de tiempo y esfuerzo. Por estas característi-cas, DS Simulator es una nueva alternativa

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