ANÁLISIS+DINÁMICO+DE+VIADUCTOS+SOMETIDOS+A+ACCIONES+DE+TRENES+DE+ALTA+VELOCIDAD.pdf

ANLISIS DINMICO DE VIADUCTOS SOMETIDOS A

ACCIONES DE TRENES DE ALTA VELOCIDAD

Jos Francisco Gonzlez Jimnez

INGENIERO INDUSTRIAL

Tutor: Pedro Galvn Barrera

DEPARTAMENTO DE MECNICA DE LOS MEDIOS CONTINUOS, TEORA

DE ESTRUCTURAS E INGENIERA DEL TERRENO

UNIVERSIDAD DE SEVILLA Sevilla, Enero de 2006

Escuela Superior de

Ingenieros de Sevilla

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

PROYECTO FIN DE CARRERA

ANLISIS DINMICO DE VIADUCTOS SOMETIDOS A

ACCIONES DE TRENES DE ALTA VELOCIDAD

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Agradecimientos

Este proyecto culmina con mi etapa de estudiante de Ingeniera Industrial en la

Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla. Esto ha sido posible gracias a la ayuda de

muchas personas, sin las cules, el trabajo habra sido ms duro.

En primer lugar, agradecer al Tutor del proyecto, Pedro Galvn Barrera, el

constante apoyo mostrado y su permanente disponibilidad, as como sus palabras de

nimo en tiempos difciles.

Por otra parte, agradecer a las personas que forman parte del foro de CalculiX su

constante ayuda en el aprendizaje de dicho programa, en especial a Guido Dhondt.

Por ltimo quera mostrar mi profundo agradecimiento a todas las personas que

han hecho que estos aos de carrera hayan pasado de la mejor forma posible: mi familia

y mis buenos amigos.

ndice Proyecto Fin de Carrera

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NDICE

ndice...

1.- Introduccin y objetivos del proyecto.

2.- Descripcin de los programas de elementos finitos: CalculiX y

FEAPpv....

2.1.- Mtodo de los elementos finitos..

2.2.- Anlisis dinmico de estructuras basado en elementos finitos....

2.3.- Discretizacin temporal...

2.3.1.- Mtodos de integracin temporal..

2.3.2.- Familia de mtodos de Newmark..

2.3.3.- Sensibilidad al paso de integracin utilizado..

2.4.- Matriz de amortiguamiento. 2.5.- CalculiX: Programa de elementos finitos tridimensional...

2.5.1.- Historia del programa..

2.5.2.- Descripcin del programa

2.6.- FEAPpv: Un programa de elementos finitos. Versin personal.

2.6.1.- Descripcin del programa.

3.- Validacin de los programas de elementos finitos: CalculiX y

FEAPpv....

3.1.- Validacin de CalculiX....

3.1.1.- Problemas estticos..

3.1.1.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro..

3.1.1.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

3.1.2.- Problemas dinmicos

3.1.2.1.- Cubo bajo una presin variable en el tiempo..

3.2.- Validacin de FEAPpv....

3.2.1.- Problemas estticos.

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3.2.1.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro..

3.2.1.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

3.2.2.- Problemas dinmicos....

3.2.2.1.- Viga biempotrada con carga vertical de tipo Heaviside

3.2.2.2.- Viga biempotrada con carga vertical transitoria..

3.3.- Eleccin del programa ....

4.- La resonancia en los puentes de ferrocarril y los mtodos de clculo

dinmico utilizados ....

4.1.- Normativa actual..

4.1.1.- Ficha UIC-776-I R...

4.1.2. Instruccin IAPF-75..

4.2.- Efectos resonantes

4.2.1.- Clculo de la respuesta esttica..

4.2.2.- Respuesta dinmica ante una carga mvil aislada...

4.2.3.- Respuesta dinmica producida por un tren de cargas mviles..

4.2.4.- Coeficientes de impacto....

4.3.- Riesgo de resonancia....

4.4.- Modelos de cargas puntuales...

4.5.- Modelo de cargas puntuales teniendo en cuenta la deflexin de la

va, las traviesas y la flexibilidad del balasto......

4.5.1.- Hiptesis y simplificaciones en el clculo de la curva de

deflexin

4.5.2.- Clculo cuasi-esttico de la curva de deflexin de la va..

4.5.3.- Clculo dinmico de la curva de deflexin de la va....

4.5.4.- Fuerza aplicada por una traviesa sobre la estructura

4.6.- Vehculos ferroviarios utilizados.....

4.7.- Modelos de puentes utilizados.

4.7.1.- Tipos de modelos y elementos...

4.7.2.- Conexin estructura-suelo.

4.7.3.- Modelo de puentes teniendo en cuenta las traviesas

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5.- Anlisis de distintas tipologas de puentes..

5.1.- Anlisis de puentes de un vano

5.1.1.- Puente de un vano de 20 metros y estribos de 8.5 metros.

5.1.2.- Puente de un vano de 30 metros y estribos de 8.5 metros.

5.1.3.- Puente de un vano de 20 metros y estribos de 12 metros..

5.1.4.- Puente de un vano de 30 metros y estribos de 12 metros..

5.1.5.- Comparacin de la respuesta entre puentes de distintas

longitudes de vano..

5.1.6.- Comparacin de la respuesta entre puentes de distintas alturas de

los estribos.

5.2.- Anlisis de puentes de dos vanos.

5.2.1.- Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 8.5

metros....

5.2.2.- Puente de dos vanos de 10 metros cada uno y estribos de 12

metros


metros


metros


metros


metros

5.3.- Anlisis de puentes de cuatro vanos

5.3.1.- Puente de cuatro vanos de 40 metros cada uno y estribos de 10

metros

5.4.- Estudio de un viaducto isosttico de 15 metros de luz

5.4.1.- Comparacin de los resultados y validacin de la metodologa

usada.

5.4.2.- Barrido de velocidades para diferentes tipos de trenes reales...

5.5.- Estudio de un viaducto real: Viaducto E-II.

5.6.- Estudio de un viaducto con tablero de doble viga sobre el que

circulan dos trenes en sentido opuesto.

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6.- Conclusiones y lneas de investigacin propuestas

6.1.- Conclusiones de la investigacin desarrollada

6.2.- Lneas de investigacin propuestas.

A.- Caractersticas de trenes de alta velocidad europeos...

A.1.- ICE 2...

A.2.- AVE

A.3.- TALGO AV

B.- Descripcin de la Hoja de EXCEL donde se implementa las ecuaciones

que recogen los efectos de la deflexin de la va, las traviesas y la flexibilidad

del balasto...

C.- Descripcin del programa encargado de realizar la superposicin de la

respuesta correspondiente a una carga aislada...

D.- Desarrollo de las soluciones tericas de una viga biapoyada y una viga

en voladizo...

D.1.- Viga biapoyada con carga vertical en el centro..

D.2.- Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

Bibliografa.

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Introduccin y objetivos del proyecto Proyecto Fin de Carrera

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1.- Introduccin y objetivos del proyecto.

En este proyecto se abordan dos objetivos claramente diferenciados:

En primer lugar nos centraremos en la bsqueda y validacin de programas de

elementos finitos no comerciales para un posterior acoplamiento con programas de

elementos de contorno.

En segundo lugar se realizar un estudio paramtrico de puentes de diversas

tipologas teniendo en cuenta los efectos dinmicos debidos a las cargas mviles de los

trenes.

En los ltimos aos, tanto en Espaa como en otros pases europeos, la

construccin de infraestructuras ferroviarias para trenes de alta velocidad ha

experimentado un auge. Dichos trenes han cambiado el concepto de largo recorrido,

permitiendo reducir significativamente el tiempo de transporte para viajeros y

mercancas.

Pero no se puede olvidar que al aumentar la velocidad, los puentes de ferrocarril se

vern sometidos a efectos dinmicos que pueden crear efectos resonantes y que hasta el

momento no han sido estudiados suficientemente. En la actualidad, los puentes para

trenes de alta velocidad viene siendo objeto de estudio en el Departamento de Mecnica

de los Medios Continuos de la Escuela Superior de Ingenieros de Sevilla. De esta forma

este proyecto viene a ser una continuacin de otros proyectos y estudios realizados en

dicho departamento as como los cimientos de futuros proyectos que podrn servirse de

la informacin mostrada.

En primer lugar se busc programas de elementos finitos no comerciales de los

cuales tuvisemos su programacin y que adems cumpliera una serie de requisitos

adicionales: deba de ser capaz de realizar anlisis transitorios con carga mviles con el

objeto de modelar los trenes de alta velocidad para un posterior estudio de puentes de

ferrocarril. Deba de ser lo ms sencillo posible de forma que slo nos interesaba del

programa su capacidad para realizar anlisis transitorios. Este aspecto era difcil de

conseguir en la medida que cualquier programa de elementos finitos tena muchas ms

opciones, por ello se realizara un estudio de la programacin del programa para as


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quedarnos con aquellas subrutinas que nos interesaran. A ser posible el lenguaje de

programacin deba de ser FORTRAN ya que en un futuro este programa sera acoplado

con otro programa de elementos de contorno cuyo lenguaje de programacin es este

ltimo.

Esta conexin entre elementos finitos y elementos de contorno permitir un

estudio mucho ms exhaustivo de la influencia que tiene en puentes ferroviarios la

interaccin suelo-estructura. Esto es debido a que el modelado del suelo con elementos

de contorno ofrece mejores resultados que si el modelado es con elementos finitos.

Con las premisas anteriores se encontr en primer momento un programa llamado

CalculiX [2], el cul fue analizado tanto en sus posibilidades como en su programacin.

Ms tarde, otro programa llamado FEAPpv [16] fue el centro de nuestras miras, de

forma que se hizo lo mismo que con el anterior y adems se compar con este ltimo.

De entre ambos se eligi el programa FEAPpv por ser el que cumpla mejor los

requisitos mostrados. As se pas a la segunda parte del proyecto, consistente en un

estudio de puentes ferroviarios de distintas tipologas que permita obtener conclusiones

generales. Para esta parte se utilizar adems del programa mencionado, otro programa

comercial y ms potente llamado ANSYS Release 8.0 [1].

En lo que se refiere a la geometra de los puentes, se pretende obtener informacin

acerca de cmo vara la respuesta de la estructura al variar la longitud de los vanos, el

nmero de stos o la altura de los estribos.

En cuanto a los vehculos ferroviarios, se buscan conclusiones acerca del impacto

que stos tienen sobre la estructura cuando son modelados como una serie de cargas

puntuales que recorren la estructura y cuando adems se tiene en cuenta los efectos

asociados a la flexibilidad del carril, las traviesas y el balasto. Por otra parte tambin se

observar la variacin de la respuesta de la estructura al variar la velocidad de los

trenes.


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Por ltimo, relacionado con la conexin suelo-estructura, se estudiar la

utilizacin de apoyos modelados como muelles. Cada muelle tendr una rigidez

equivalente al terreno sobre el que se encuentra el puente.

Descripcin de los programas de elementos finitos: CalculiX y FEAPpv Proyecto Fin de Carrera

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2.- Descripcin de los programas de elementos finitos:

CalculiX y FEAPpv.

En este punto se pretende dar una visin global acerca del anlisis dinmico y

transitorio de estructuras desde el punto de vista de los elementos finitos. Para ello se

citarn los distintos mtodos y tipos de anlisis existentes as como otros aspectos de

relevancia en dicho campo. Por ltimo se har una descripcin de los programas que ha

sido objeto de nuestro estudio.

2.1. Mtodo de los elementos finitos.

No es objeto de esta memoria el describir la influencia tan determinante que han

ejercido los mtodos de elementos finitos dentro del mbito del clculo estructural.

Debido a la versatilidad de su aplicacin a todo tipo de estructuras as como la facilidad

con que se pueden modelar los distintos estados de carga, los elementos finitos se han

convertido en la herramienta de clculo por excelencia de la ingeniera civil.

Este mtodo numrico se basa en la discretizacin espacial de una estructura

pasando as de un problema continuo con infinitos grados de libertad a un problema

discreto con un nmero finito de ellos.

Los aspectos ms importantes de este mtodo son:

- Discretizacin fsica del dominio dividindolo en elementos cuyo

comportamiento puede ser estudiado de forma genrica.

- Discretizacin matemtica de forma que los valores de la variable de

campo en el dominio se aproximan mediante los valores de esta en una

serie de puntos pertenecientes a los elementos y unas funciones de forma

que aproximan la solucin sobre todo el dominio.

jjuu = en el dominio de (2.1.1) - Las ecuaciones diferenciales que gobiernan el problema en cuestin no se

tratan directamente sino que se transforman a su versin integral de tipo


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energa, siendo en el caso de estructuras el Teorema de los Trabajos

Virtuales.

2.2. Anlisis dinmico de estructuras basado en elementos finitos.

El anlisis dinmico es una tcnica usada para determinar la respuesta dinmica de

una estructura bajo la accin de fuerzas dependientes del tiempo. Este anlisis permite

conocer la variacin con el tiempo de desplazamientos, esfuerzos, tensiones y fuerzas en

una estructura como respuesta de sta a una combinacin de cargas estticas,

transitorias y armnicas. En este tipo de anlisis los efectos de la inercia y del

amortiguamiento son muy importantes.

La ecuacin de movimiento bsica a resolver en un anlisis dinmico es la

siguiente:

( ){ } ( ){ } ( ){ } { })t(FuKuCuM =++ &&& (2.2.1)

Donde:

(M) = Matriz de masa.

(C) = Matriz de amortiguamiento.

(K) = Matriz de rigidez.

{ }u&& = Vector de aceleracin nodal. { }u& = Vector de velocidad nodal. { }u = Vector de desplazamiento nodal. { })t(F = Vector de fuerza dependiente del tiempo.

Para un instante dado, t, estas ecuaciones pueden ser consideradas como

ecuaciones de equilibrio esttico que tienen en cuenta las fuerzas de inercia ( ){ }( )uM && y las de amortiguamiento ( ){ }( )uD & . Para resolver estas ecuaciones los distintos programas de elementos finitos utilizan mtodos de integracin temporal, siendo el algoritmo de

Newmark uno de lo ms utilizados.


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Existen tres metodologas diferentes de abordar el problema anterior, utilizndose

en todas ellas la discretizacin e integracin temporal mencionada anteriormente. Son

las siguientes:

a) Mtodo de integracin directa en el tiempo del modelo completo.

Se definen los N grados de libertad que caracterizan a la estructura y se resuelve,

para cada instante de la integracin, la ecuacin dinmica general (2.2.1).

Este es el mtodo ms general porque permite que todo tipo de no-linealidades

puedan ser incluidas.

Las ventajas de este mtodo son:

De todos, ste es el ms fcil de utilizar, puesto que no hay que preocuparse por elegir grados de libertad maestros ni por elegir los modos

de vibracin ms significativos.

Permite todo tipo de no-linealidades. Usa las matrices completas, por tanto no hay que aproximar la matriz de

masa.

Todos los desplazamientos y tensiones son calculados en un nico paso. Acepta todo tipo de cargas: fuerzas nodales, desplazamientos impuestos,

cargas elementales (presiones y temperaturas), etc.

La principal desventaja del mtodo de integracin directa es que es el ms caro

numricamente hablando de los tres.

b) Mtodo de superposicin modal.

Este mtodo slo es aplicable para un comportamiento lineal de la estructura. En

primer lugar se extraen los autovalores de la estructura y se seleccionan los n modos

propios de vibracin ms significativos (N >> n). Posteriormente se integran en el

tiempo esos modos de vibracin.

La ecuacin que se obtiene para cada modo de vibracin estar desacoplada del

resto, por lo que se reduce, en ltimo trmino, a la resolucin de un sistema de un nico

grado de libertad.


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La principal ventaja es su mayor rapidez y su menor coste computacional en la

mayora de problemas respecto a los otros dos.

Las desventajas ms importantes que presentas son:

El paso de tiempo de integracin debe de permanecer constante durante todo el anlisis transitorio, por tanto no estarn permitidas las estrategias

de paso variable.

No estn permitidas las no-linealidades. No acepta la imposicin de desplazamientos.

c) Mtodo reducido.

Se condensa el tamao del problema mediante la utilizacin de grados de libertad

maestros y matrices reducidas. Despus de haber calculado los desplazamientos en los

grados de libertad maestros, se expande la solucin a los grados de libertad originales.

La principal ventaja es que es ms rpido y menos caro que el algoritmo a).

Las desventajas son:

Cargas elementales como presin y temperatura no pueden ser aplicadas a la estructura. Sin embargo aceleraciones sin son permitidas.

Todas las cargas deben ser aplicadas en los grados de libertad maestros. El paso de tiempo de integracin debe de permanecer constante durante

todo el anlisis transitorio, por tanto no estarn permitidas las estrategias

de paso variable.

No estn permitidas las no-linealidades.

Una vez descritas las distintas metodologas existentes para resolver un problema

dinmico con el mtodo de los elementos finitos, decir que en este proyecto se ha

optado por la utilizacin del mtodo de integracin directa del modelo completo por ser

el ms general de todos.


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2.3. Discretizacin temporal.

Como antes se ha comentado, la discretizacin e integracin temporal se realiza

tanto para los modelos resueltos con anlisis modal, como en la integracin directa del

sistema completo y en anlisis reducido.

2.3.1. Mtodos de integracin temporal.

La ecuacin de partida para un algoritmo de integracin temporal de primer orden

es la siguiente:

( ) ( )( )( ) [ ]ft,tt,yty ty,tfty 000 =

=& (2.3.1)

Ha este sistema se conoce con el nombre de problema de Cauchy en un intervalo

[t0,tf], y viene dado por un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden y una

condicin inicial.

No obstante, el sistema de ecuaciones diferenciales que aproxima la dinmica de

una estructura en general es de segundo orden y puede expresarse de forma compacta de

la siguiente forma:

( )t,w,wFwM &&& = (2.3.2) Donde el vector F y la matriz M son, en general, funciones no lineales de ( )t,ww, & .

El sistema anterior se puede convertir en un sistema de primer orden tal como el (2.3.1)

sin ms que realizar el siguiente cambio:

( ) ( )( ) tyt,ft,w,wFMwy que tal

wwy 1- =

=

=

&&&& (2.3.3)

Gracias a este cambio se pueden utilizar los mtodos numricos de integracin

propios de sistemas de primer orden, aunque existen algoritmos especficos para

sistemas de segundo orden.


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Un mtodo numrico de integracin temporal calcula secuencialmente los valores

de la incgnita y(t) de una forma discreta y espaciados mediante intervalos de tiempo.

Los intervalos de tiempo se definen como:

n1n1n tth = ++ (2.3.4)

Para cada instante tn obtendremos un valor de ( )N0,1,...,n yn = a partir del conocimiento del valor de la misma en los k instantes anteriores. El nmero k es l

nmero de pasos del integrador.

As llegamos a una expresin general en la que el valor de yn+k se obtiene a partir

de los k valores anteriores de la incgnita: yn+k-1, yn+k-2,, yn.

( )=

++++++ =k

0jknknn2kn1knknjnj h;t,y,...,y,y,yhy (2.3.5)

En la ecuacin (2.3.5) se recogen todos los mtodos de integracin posibles. En

base a diferentes criterios, stos se pueden clasificar en varios tipos:

Mtodos de un paso/ mtodos multipaso.

Los mtodos de un paso son aquellos en que para cada instante de tiempo el valor

de la variable incgnita se calcula gracias al paso anterior. Es decir en este mtodo

k = 1. Entre estos los ms afamados son los de Runge-Kutta. Los anteriores as como

muchos otros de un paso parten de la igualdad siguiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )dtty,tftydttytyty 1nn

1n

n

t

tn

t

tn1n ++ +=+=+ & (2.3.6)

Segn sea la aproximacin de la integral de la ecuacin (2.3.6) mediante alguna

frmula de cuadratura adecuada as ser el mtodo de integracin. Por citar uno de ellos,

el ms conocido es el mtodo de Runge-Kutta clsico el cual aproxima la integral de

(2.3.6) mediante la regla de Simpson.


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En los mtodos multipaso la variable y(t) en un instante dado se calcula gracias a

la informacin de varios pasos anteriores. Es decir en este caso k > 1. Los ms

conocidos son los mtodos de Adams que se basan en aproximar la integral que aparece

en la expresin (2.3.6) mediante una frmula de cuadratura basada en los nodos de

cuadratura tn-k+1,,tn. Es decir, se construye el polinomio interpolador de grado k-1,

denotado por * kn,P , el cual interpola los k valores del campo f(t,y) en las aproximaciones

numricas ( ) ( )1kn1knnn y,t,...,y,t ++ . Por tanto el algoritmo de k-pasos quedar como:

( )++=+ 1nn

t

t

*k,nn1n dttPyy (2.3.7)

Mtodos explcitos/mtodos implcitos.

Bsicamente los mtodos explcitos usan la ecuacin diferencial en un tiempo tn para predecir una solucin en tn + hn+1. En un algoritmo explcito, la expresin (2.3.5)

permite despejar yn+k conocidos los valores { } 1k0,1,...,j;y jn =+ . Para la mayora de las estructuras reales, las cuales contienen elementos rgidos, se

requiere muy pequeos incrementos de tiempo para obtener una solucin estable con

estos algoritmos. As, todos los mtodos explcitos son condicionalmente estables con

respecto al tamao del incremento de tiempo.

Por poner algn ejemplo de stos, se pueden citar los mtodos de Runge-Kutta

explcitos cuya formulacin es la siguiente:

( ) 1-N0,1,...,n h,y,thyy nnnnn1n =+=+ (2.3.8) Los mtodos implcitos tienden a satisfacer la ecuacin diferencial en un tiempo tn

despus de que la solucin en tn - hn+1 haya sido encontrada. A diferencia de los

anteriores, ahora no es posible despejar yn+k de la ecuacin (2.3.5) una vez que

conocemos { } 1k0,1,...,j;y jn =+ .


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En estos algoritmos es posible usar incrementos de integracin grandes, de forma

que pueden ser condicional o incondicionalmente estables.

Como ejemplo, citar el mtodo de Adams implcito de un paso conocido como la

regla de los trapecios y es de la forma:

( ) ( )( )1n1nnnnn1n y,tfy,tf2hyy +++ += (2.3.9)

Mtodos de paso fijo/mtodos de paso variable.

En los de paso fijo, el valor del paso de integracin permanece constante a lo largo

de la integracin. Es decir htth n1n1n == ++ . Todos los algoritmos que se ha mostrado a modo de ejemplos en los puntos anteriores son de paso fijo.

En los de paso variable, como su propio nombre indica, los intervalos de tiempo

pueden ser distintos en cada paso. Hoy da, el procedimiento que se ha probado como

ms eficaz es el de los pares encajados de mtodos Runge-Kutta.

La clasificacin anterior no es internamente excluyente entre s como se ha podido

comprobar en los ejemplos propuestos, puesto que tanto los mtodos de un paso como

los multipaso pueden ser explcitos o implcitos. Incluso existe la posibilidad de

construir algoritmos que combinen mtodos explcitos e implcitos conocidos como

pares predictor-corrector.

En cuanto a la conveniencia de utilizar uno u otro mtodo es preciso determinar la

naturaleza de las ecuaciones diferenciales a resolver (2.3.3) as como la convergencia y

estabilidad del algoritmo.

En nuestro caso las ecuaciones (2.3.3) son lineales y de segundo orden. Segn lo

que se recoge en (Garca Orden [22]), la regla trapezoidal aplicada a un sistema lineal,

es el mtodo de integracin incondicionalmente estable ms preciso, y adems conserva

de forma exacta la energa del sistema.

Este algoritmo equivale a un mtodo -Newmark con = y = . Es ste el que se ha utilizado en la resolucin de los problemas mostrados en el proyecto.


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2.3.2. Familia de mtodos de Newmark.

En 1959 Newmark present una familia de mtodos implcitos y de paso nico

para la solucin de problemas estructurales dinmicos. Estos mtodos han sido

aplicados en muchos anlisis dinmicos de estructuras ingenieriles en los ltimos

cuarenta aos. En el caso que nos concierne la ecuacin que se pretende resolver con el

uso de los algoritmos de Newmark es la ecuacin de segundo orden (2.2.1).

Utilizando las series de Taylor para el desplazamiento y la velocidad en el instante

tn+1 se obtiene:

....u6

hu2

huhuu n3

n2

nn1n ++++=+ &&&&&& (2.3.10)

....u2

huhuu n2

nn1n +++=+ &&&&&&& (2.3.11)

Donde:

h = intervalo de tiempo fijo. ( )n1n tth = + . nu = vector de desplazamiento nodal en tiempo tn.

nu& = vector de velocidad nodal en tiempo tn.

nu&&& = vector de aceleracin nodal en tiempo tn.

nu&&&& = vector de derivada tercera del desplazamiento nodal en tiempo tn.

1nu + = vector de desplazamiento nodal en tiempo tn+1.

1nu +& = vector de velocidad nodal en tiempo tn+1.

1nu +&& = vector de aceleracin nodal en tiempo tn+1.

Newmark trunc las ecuaciones anteriores y las expres de la siguiente forma:

n3

n2

nn1n uhu2huhuu &&&&&& +++=+ (2.3.12)


20

n2

nn1n uhuhuu &&&&&&& ++=+ (2.3.13)

Donde y son parmetros de integracin de Newmark.

Si a continuacin asumimos que la aceleracin es lineal con el paso de tiempo,

podemos escribir la siguiente ecuacin:

h

uuu n1nn&&&&&&& = + (2.3.14)

Sustituyendo la expresin (2.3.14) en las ecuaciones (2.3.12) y (2.3.13) obtenemos

las ecuaciones de Newmark en su forma estndar.

1n2

n2

nn1n uhuh21uhuu ++ +

++= &&&&& (2.3.15)

( ) 1nnn1n uhuh1uu ++ ++= &&&&&& (2.3.16) El objetivo ser la obtencin del vector de desplazamiento nodal 1nu + . Para ello

la ecuacin de movimiento (2.2.1) es evaluada en el instante tn+1, de forma que

obtenemos:

[ ] [ ] [ ] a1n1n1n FuKuCuM =++ +++ &&& (2.3.17) Se reordenan las expresiones (2.3.15) y (2.3.16) de la forma siguiente:

( ) n3n2n1n01n uauauuau &&&&& = ++ (2.3.18) 1n7n6n1n uauauu ++ ++= &&&&&& (2.3.19)

Donde:

20 h1a = ; ha1

= ; h

1a 2 =

121a3 = 1a 4

=

= 2

2ha5


21

( )= 1ha6 ha7 = Notar que la ecuacin (2.3.18) puede ser sustituida en la ecuacin (2.3.19), de

forma que se obtiene 1nu +&& y 1nu +& en funcin de la incgnita 1nu + . Sustituyendo (2.3.18) y (2.3.19) en la ecuacin (2.3.17) se obtiene:

[ ] [ ] [ ]( ) [ ]( )[ ]( )n5n4n1

n3n2n0a

1n10

uauauaC

uauauaMFuKCaMa

&&&

&&&

+++

+++=++ + (2.3.20)

De la ecuacin (2.3.20) se obtiene 1nu + y gracias a las expresiones (2.3.18) y (2.3.19) obtenemos las velocidades y aceleraciones.

Los parmetros y controlan la estabilidad del mtodo de integracin. As, si el amortiguamiento es nulo, el algoritmo de Newmark es condicionalmente estable si:

21 ,

21 y

2

1tmax

(2.3.21)

Donde max (rad/s) es la mxima frecuencia del sistema estructural dado por la ecuacin (2.2.1).

El mtodo es incondicionalmente estable si:

212 (2.3.22)

Sin embargo, si es mayor que se introducirn errores en la integracin.

Como se ha mencionado en prrafos anteriores, se adoptar para integrar las

ecuaciones dinmicas los valores = y = . Esto se traduce en tomar la aceleracin constante en un intervalo e igual a ( )

2uuu n1n&&&&&& += + .


22

2.3.3. Sensibilidad al paso de integracin utilizado.

En la figura 2.1 se compara el desplazamiento vertical que se produce en el centro

de un puente con un nico vano de 20 m de luz al paso de una carga de 170 KN que se

desplaza a una velocidad de 100 m/s para distintos incrementos de integracin. El

amortiguamiento que se ha tenido en cuenta en la estructura es del 5 %. Los pasos de

tiempo son: h = 0.05 s, h = 0.01 s, h = 0.001 s, h = 0.0001 s y h = 0.00001 s.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5

-4

-3

-2

-1

0

1x 10-5

t(s)

uz(m

)

Desplazamiento vertical en el centro del vano de un puente de 20 m

intervalo de integracion =0.05intervalo de integracion =0.01intervalo de integracion =0.001intervalo de integracion =0.0001intervalo de integracion =0.00001

Fig.2.1. Comparacin del desplazamiento vertical para distintos intervalos de integracin.

Como se puede observar, a medida que se reduce el paso de integracin h, los

resultados obtenidos convergen a lo que se podra considerar la solucin real. De hecho

las curvas correspondientes a los pasos h = 0.0001 s y h = 0.00001 s son indistinguibles.

Sin embargo, para valores de h relativamente gruesos (h = 0.05 s y h =0.01 s) la curva

que se obtiene difiere bastante de la solucin real. Este hecho se debe a que con pasos

de integracin tan elevados no se puede caracterizar adecuadamente el comportamiento

dinmico del puente.


23

Por otro lado, sealar que cuando se utiliza la integracin directa del modelo

completo, el paso de tiempo puede utilizarse como filtro de frecuencias. Este es el caso,

por ejemplo, de los programas de elementos finitos que utilizan esta tcnica de

integracin en el tiempo. En ausencia de mecanismos numricos que anulen en el

clculo frecuencias de vibracin superiores a una dada, el paso de tiempo ejercer este

papel.

A continuacin se resumen las diversas recomendaciones que, tanto en la

normativa vigente como en la literatura tcnica, se proponen sobre el paso de

integracin a adoptar para clculos dinmicos en puentes ferroviarios. (ERRI D214 (a)

[7]), (ERRI D214 (c) [9]) y (Museros et al. [28]):

Determinacin del intervalo de integracin h en funcin de la frecuencia de

vibracin ms alta considerada de la estructura:

max

1 f81h = (2.3.23)

Donde fmax es la frecuencia mxima de la estructura en Hz.

Determinacin del paso de integracin h en funcin del nmero mnimo de

intervalos de tiempo existentes durante el paso de un eje por el vano ms

corto de la estructura.

vN

Lh intmin

min2

= (2.3.24)

Donde Lmin es la longitud del vano ms corto, v es la velocidad del tren y

intminN es el nmero mnimo de intervalos de tiempo (En nuestro caso

tomaremos 200).

Determinacin del paso de integracin h en funcin del nmero n de

modos de vibracin considerados y la longitud del vano ms corto del

puente.


24

vn4

Lh min3 = (2.3.25)

Paso de integracin fijo h que acte como filtro de frecuencias superiores a

50 Hz.

s002.0h 4 = (2.3.26)

Las recomendaciones no se limitan a proponer un nico paso de integracin, sino

que se sugiere la utilizacin del mnimo de entre los propuestos anteriormente. As se

puede tomar ( )321 h,h,hminh = , pero no menor que h4.

2.4. Matriz de amortiguamiento.

El amortiguamiento est presente en la mayor parte de los sistemas y debe ser

especificado en un anlisis dinmico. A diferencia de la rigidez y la masa, las constantes

que controlan el amortiguamiento no pueden evaluarse de forma sencilla a partir de la

geometra de los elementos estructurales y de las propiedades mecnicas del material.

En un sistema de un grado de libertad, el amortiguamiento es proporcional a la

velocidad.

ucf ientoamortiguam &= (2.4.1)

Al menor valor de c que hace que la estructura separada de su posicin de

equilibrio vaya al reposo sin sobreoscilacin se le denomina amortiguamiento crtico.

En un sistema de un grado de libertad, el amortiguamiento crtico viene dado por:

ncr m2mk2c == (2.4.2)

Donde k es la rigidez del sistema, m la masa y n la frecuencia natural del mismo Normalmente el amortiguamiento se define con el factor de amortiguamiento

que es la relacin de c con respecto a su valor crtico.


25

mk2c

cc

cr == (2.4.3)

En un sistema de N grados de libertad, como es el caso, el amortiguamiento de

dicho sistema viene recogido en la matriz de amortiguamiento [ ]C presente en la ecuacin (2.2.1).

A la hora de definir la matriz [ ]C existen principalmente dos formas: Amortiguamiento proporcional o amortiguamiento de Rayleigh.

La matriz de amortiguamiento es definida como combinacin lineal de la matriz

de rigidez y de masa, tal y como muestra la expresin siguiente:

[ ] [ ] [ ]KMC += (2.4.4) Esta matriz as definida me permite, en un anlisis modal, desacoplar el sistema

dado por (2.2.1). As es posible pasar de un sistema de N grados de libertad a un sistema

de N ecuaciones de un grado de libertad cada una. Para un modo de vibracin i, cuya

frecuencia natural es i, los parmetros y cumplen la siguiente relacin:

2

i

i

+=

2i (2.4.5)

Donde i es el factor de amortiguamiento correspondiente al modo de vibracin i.

En la mayora de los problemas estructurales, el coeficiente de amortiguamiento

, puede ser ignorado; es decir, podemos considerar = 0. En estos casos se puede evaluar el valor de conociendo i y i mediante la expresin:

i

i = 2 (2.4.6)

Slo es posible un valor de para un sistema estructural, por tanto se elegir el modo de vibracin correspondiente a la frecuencia ms dominante.


26

Comentar que en estructuras reales se evala el amortiguamiento mediante

medidas experimentales de la estructura objeto del estudio o de otras similares. El

amortiguamiento se puede evaluar para los distintos modos de vibracin, si bien, dada la

dificultad de la estimacin suele emplearse el mismo para todos los modos. El valor ms

tpico del amortiguamiento, que est implcito en muchas normas de clculo, es del 5 %,

siendo este valor el que se utilizar para la mayor parte de los problemas que se estudian

en este proyecto (Aunque tambin se utilizarn otras tasas de amortiguamiento).

Amortiguamiento generalizado.

Ahora la matriz de amortiguamiento no tiene porque ser combinacin lineal de las

otras dos matrices. En este caso se modifica la ecuacin (2.2.1) quedando de la siguiente

forma:

( ){ } ( ){ } ( ){ } { }( ){ } ( ){ } { }

=

=++0uMuM

)t(FuKuCuM&&&&&

(2.4.7)

Definiendo:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

CMM0

A [ ] [ ] [ ][ ] [ ]

=

k00M

B ( ){ } [ ]( )[ ]

=

tF0

tQ (2.4.8)

{ } { }{ }

=

uu

y &&&& { } { }{ }

=

uu

y&

Llegamos a la ecuacin:

[ ]{ } [ ]{ } ( ){ }tQyByA =+& (2.4.9) Del sistema anterior es posible obtener los autovectores y autovalores y

posteriormente desacoplarlo.

Este tipo de amortiguamiento no lo vamos a utilizar en los modelos propuestos.


27

2.5. CalculiX: Programa de elementos finitos tridimensional.

2.5.1. Historia del programa

Este programa fue desarrollado por dos ingenieros en sus ratos libres a finales de

1998. Los autores son Guido Dhondt y Klaus Witting. Adems, a lo largo de los aos

tambin se vieron involucrados en el proyecto otra serie de personas que aportaron otras

partes esenciales al programa, como son solvers matemticos y cdigos que mejoraron

el programa.

El mximo artfice es Guido Dhondt (1961), responsable del cdigo del

programa. Guido Dhondt es un Ingeniero Civil de la Universidad Catlica de Louvain

(Leuven, Blgica) y doctor en Ingeniera Civil en la Universidad de Princeton (U.S.A).

El otro creador es Klaus Wittig, el cul fue el encargado del pre- y post-

procesador de CalculiX.

Surgiendo en aquel tiempo en que el lenguaje de programacin C naci y

FORTRAN era el lenguaje estndar para clculos ingenieriles, el cdigo de CalculiX

est escrito en una mezcla de C y FORTRAN. Las primeras lneas de dicho cdigo

fueron escritas en otoo de 1998 y estaban fuertemente influenciadas por el programa

FEAP de Zienkiewicz y Taylor. Los primeros intentos del programa slo tenan

capacidad de resolver problemas estticos y lineales con elementos tridimensionales de

20 nodos y usando integracin reducida. Pronto se convirti en un programa ms

potente, de forma que a finales de 1999 ya tena incorporado las opciones de anlisis en

frecuencia y pandeo, adems de la posibilidad de utilizar geometras no lineales y

materiales con comportamiento no lineal. Posteriormente se introdujeron anlisis con

simetra, tanto en vigas como en placas, anlisis de transferencia de calor y ms

recientemente anlisis de estados dinmicos estables.

2.5.2. Descripcin del programa

CalculiX es un paquete diseado para resolver problemas en diferentes campos. El

mtodo utilizado para ello es el mtodo de elementos finitos. Con este programa se

pueden construir, calcular y post-procesar modelos de elementos finitos. Se pueden


28

resolver con CalculiX problemas lineales y no lineales as como problemas estticos,

dinmicos y trmicos.

CalculiX es un programa de software libre y se puede encontrar en

www.calculix.de. Por tanto su cdigo de programacin es accesible y modificable por

cualquier persona. El programa es distribuido de forma gratis y a su vez sin ninguna

garanta. Dicho cdigo es una mezcla de subrutinas en FORTRAN y subrutinas en C.

Concretando en las posibilidades del programa, los tipos de anlisis que se pueden

realizar son los siguientes:

- Anlisis estticos.

- Anlisis en frecuencia.

- Anlisis de pandeo.

- Anlisis dinmicos (Tanto con mtodo modal como con integracin directa).

- Transferencia de calor.

- Acsticos.

- Lubricacin hidrodinmica.

- Electrostticos, etc...

En cuanto a los tipos de elementos, CalculiX est provisto de elementos tipo viga,

elementos lmina, elementos brick, elementos de tensin plana, elementos de esfuerzo

plano, elementos axisimtricos, elementos fluidos y elementos gap. De todos ellos

existen diferentes variedades segn el nmero de nodos que posean.

Por otra parte comentar que existen varios tipos de materiales que pueden ser

utilizados, como son materiales elsticos, hiperelsticos, con deformacin plstica,

Adems es posible definir el tipo de material personalmente por el usuario.

En relacin a los tipos de cargas que se pueden manejar, stas pueden ser

puntuales, distribuidas, gravitatorias, centrfugas, flujos de calor convectivo, Adems

tambin pueden ser variables en el tiempo.

Hasta aqu se ha comentado las caractersticas generales del programa. De todas

las posibilidades de anlisis, a nosotros slo nos interesa el anlisis dinmico con cargas


29

transitorias. En concreto, estamos interesados en el anlisis dinmico mediante el

mtodo de integracin directa de las ecuaciones de movimiento. Sealar que este

programa tiene la posibilidad de realizar anlisis implcitos y explcitos. Por defecto, el

mtodo de integracin utilizado es el de Newmark clsico ( = y = ). Adems hay que resear que tambin nos ofrece la posibilidad de definir los parmetros del

amortiguamiento de Rayleigh y .

Tambin hay que decir que CalculiX se provee de solvers matemticos exteriores

e independientes para la resolucin de los problemas como son ARPACK, SPOOLES,

SGI y TAU.

Fijndonos en el cdigo del programa, lo conforman 247 subrutinas (sin contar

las de librera), de las cuales 24 de ellas estn en lenguaje C y el resto en FORTRAN. La

funcin principal (ccx_1.3.c) est en C y se encarga de llamar a las dems. Adems,

ninguna rutina en FORTRAN puede llamar a una rutina en C, en cambio lo contrario si

es posible. Notar que todos los argumentos son pasados por referencia y no por valor.

La subrutina principal est compuesta bsicamente de las siguientes partes:

1. Asignacin en memoria de los campos (openfile.f, readinput.c,

allocation.f )

Despus, para cada paso:

2. Lectura del dato de entrada (calinput.f).

3. Determinacin de la matriz de la estructura (mastruct.c y mastructcs.c)

4. Resolucin de las ecuaciones y obtencin de resultados.

Centrndonos en el ltimo punto, decir que segn el tipo de anlisis que se realiza,

as ser la subrutina que es llamada en la funcin principal. Podemos distinguir:

Para anlisis estticos profile.c y prespooles.c (segn los solvers utilizados).

Para anlisis dinmicos no-lineales y trmicos nonlingeo.c. Para anlisis en frecuencia arpack.c y arpackcs.c. Para pandeo arpackbu.c. Para anlisis dinmicos lineales dyna.c.


30

Para anlisis de estados dinmicos estables steadystate.c

A raz de la informacin anterior se podra prescindir de las subrutinas profile.c,

prespooles.c, nonlingeo.c, arpack.c, arpackcs.c, arpackbu.c y steadystate.c y todas

aquellas que fueran llamadas en las citadas y que a su vez no lo fuesen en dyna.c.

2.6. FEAPpv: Un programa de elementos finitos. Versin personal.

2.6.1. Descripcin del programa.

FEAPpv es la versin limitada del programa comercial FEAP. Al igual que el

anterior, es un programa de software libre y sin garantas del cual disponemos de su

cdigo de programacin en www.ce.berkeley.edu/~rlt/feappv. Su creador es Robert L.

Taylor, profesor en la universidad de Berkeley (California) en el Departamento de

Ingeniera Civil y Medioambiental. Dicho programa est fuertemente influenciado por

el libro The Finite Element Method, de Zienkiewicz and R.L. Taylor [34].

Este sistema de anlisis computacional fue desarrollado con la intencin de:

- Ser un programa de fcil manejo para los principiantes en los elementos

finitos de forma que pudiesen familiarizarse con los diferentes tipos de

elementos y mtodos de modelaje.

- Ser utilizado en investigacin, y/o aplicaciones que requiriesen frecuentes

modificaciones.

A pesar de ser una versin limitada, es un programa muy completo, sobretodo

desde el punto de vista de la librera de elementos que posee.

El sistema de computacin fue desarrollado en un principio para estaciones de

trabajo UNIX y para ordenadores personales (Windows PC). El programa tiene

integrados diferentes mdulos que se encargan de recibir los datos de entrada del


31

modelo de elementos finitos, la resolucin del problema en un amplio rango de

aplicaciones y la presentacin de los resultados de forma grfica y/o numrica.

FEAPpv es capaz de resolver problemas estructurales (estticos o transitorios), de

transferencia de calor o de mecnica de fluidos, as como muchos otros problemas

modelados por ecuaciones diferenciales. A diferencia que CalculiX, un problema se

resuelve utilizando un command language que es un comando que especifica el

algoritmo a utilizar para obtener la solucin. El programa est provisto de una cantidad

aceptable de estos comandos. As por ejemplo, si tengo un sistema de ecuaciones de

segundo orden, como es el caso de un problema estructural transitorio, el usuario

especificar que la estrategia para obtener la solucin ser mediante la utilizacin del

mtodo de integracin temporal de Newmark.

En cuanto a la librera de elementos, FEAPpv tiene los siguientes:

- Solid Elemento brick o ladrillo que es usado para resolver problemas continuos con pequeas o grandes deformaciones. Existen

elementos 2-D y 3-D y pueden tener diferentes nodos.

- Frame Elemento viga. Usado para modelos estructurales con deformaciones debidas a axil, cortante y flector. Cada elemento tiene dos

nodos y puede ser 2-D o 3-D.

- Truss Elemento cable. Es utilizado para aquellos casos en que slo hay deformacin y fuerza axil.

- Plate Elemento lmina. Son usados en modelos estructurales con conducta de cuerpos planos en los cuales una dimensin es mucho ms

pequea que las otras dos.

- Shell Elemento cscara. Este elemento modela cuerpos curvos cuyo espesor es menor que las otras dos dimensiones.

- Membrane Elemento membrana. Usado para modelos estructurales con conducta de cuerpos curvos que son delgados y slo tienen cargas en

el plano.

- Thermal Elemento trmico. Este elemento se utiliza para calcular la temperatura en elementos slidos o viga.

- User Los usuarios pueden aadir elementos propios al programa.


32

En relacin a los tipos de materiales, FEAPpv est provisto de distintos modelos

de materiales como son: materiales elsticos lineales ortotrpicos e isotrpicos,

materiales visco-elsticos, materiales plsticos,. Resear que en este programa el

amortiguamiento de Rayleigh es introducido en la definicin de los materiales y slo se

tiene en cuenta para materiales elsticos lineales.

Al igual que con CalculiX, es posible utilizar cargas puntuales y distribuidas

dependientes del tiempo.

Centrndonos en el anlisis transitorio que es el que nos interesa, este programa de

elementos finitos puede utilizar, segn sea la naturaleza del sistema de ecuaciones

diferenciales a resolver (orden y linealidad), un mtodo u otro. As para el caso que nos

concierne, es decir para un sistema de ecuaciones de segundo orden lineales, el mtodo

utilizado es el de Newmark. Por defecto, FEAPpv utiliza = y = .

En cuanto al cdigo de FEAPpv, est formulado netamente en lenguaje

FORTRAN. El nmero de subrutinas que lo conforman es 414 sin contar las funciones

de librera. La funcin principal recibe el nombre de feappv.f. Las dems subrutinas

estn divididas en varios grupos:

- Subrutinas correspondientes al programa. Es el grupo ms general y en l se

engloban todas las rutinas encargadas de realizar todas las operaciones y todos

los algoritmos para los distintos anlisis. En este grupo tenemos 228 subrutinas.

- Subrutinas de elementos. Son aquellas en las que se definen los distintos tipos de

elementos y materiales. Tenemos 15 subrutinas en este grupo.

- Subrutinas del usuario. En este grupo estn todas las funciones que son objeto

de ser modificadas y utilizadas directamente por los usuarios (49 funciones).

- Subrutinas plot. Aquellas que permiten presentar datos grficamente (64

subrutinas).

- Subrutinas Windows/Unix. Son dos grupos diferentes de rutinas, de forma que

las correspondientes a cada uno sirven para el funcionamiento del programa en

un entorno u otro.

- Subrutinas en f77 y f90. Serie de rutinas en FORTRAN 77 y otras en FORTRAN

90.


33

Por ltimo es interesante comentar que el cdigo de FEAPpv es un cdigo

bastante claro y es por este motivo y por su facilidad de modificacin, que sea un

programa bastante extendido en las universidades de ingeniera.

Validacin de los programas de elementos finitos: CalculiX y FEAPpv Proyecto Fin de Carrera

34

3.- Validacin de los programas de elementos finitos:

CalculiX y FEAPpv.

3.1. Validacin de CalculiX.

En este punto lo que se trata es de verificar la capacidad del programa CalculiX a

la hora de realizar distintos anlisis estructurales. Concretamente se realizarn una serie

de problemas estticos y dinmicos con este programa y con otro programa de

elementos finitos comercial que es ANSYS. Los resultados obtenidos se compararn

entre s y con la solucin terica de cada uno de los problemas. Con esta serie de tests se

tendr la certeza de que el programa, del cual no tenemos garantas de antemano y se

desconocen sus posibilidades, es apto para su utilizacin.

3.1.1. Problemas estticos.

3.1.1.1. Viga biapoyada con carga vertical en el centro.

El problema en cuestin es el siguiente:

L = 2 m

A

B

C

F = 100 N

b = 0.08 m

h = 0.08 mX

Z

Y

Z

Fig.3.1. Viga biapoyada con carga en el centro.


35

Datos de la seccin de la viga y del material (acero):

46zzyy m 1041333.3II

== . A = 6.4 10-3 m2.

E = 2.11011 N/m2.

=0.3.

a. Solucin terica.

La solucin terica del problema se desarrolla en el anexo D. El desplazamiento

en el centro de la viga es el siguiente:

EI48LF 3

B = (3.1.1)

A continuacin se sustituyen los datos de nuestro problema en la expresin

anterior:

m10325.2 5B=

b. Solucin con elementos finitos.

Se ha utilizado, adems del programa de elementos finitos CalculiX, el programa

ANSYS, con el fin de comparar los resultados obtenidos con el primero y los obtenidos

con este ltimo. Tambin se compararn con los resultados tericos.

Sealar que con ANSYS slo se ha utilizado un tipo de elemento que es el BEAM4.

Este elemento es uniaxial y tiene seis grados de libertad en cada uno de los nodos y est

provisto de traccin, compresin y torsin. En cuanto a CalculiX se han utilizados dos

tipos diferentes de elementos, obteniendo con cada uno de ellos resultados muy

dispares. En concreto son el B32 y el B32R. El B32 es un elemento viga, unidimensional

y cuadrtico con tres nodos, tal y como se muestra en la figura siguiente:


36

n1

n2

t

1

23

Fig.3.6. Elemento viga en CalculiX.

En cada uno de los nodos se define un sistema de coordenadas cartesianas t - n1-

n2, donde t es el vector local y normalizado de la tangente, n1 es el vector normal en la

direccin 1 y n2 es el vector normal en la direccin 2. Las direcciones 1 y 2 son

utilizadas para expandir el elemento B32 en un elemento C3D20 (elemento brick,

cuadrtico, tridimensional con 20 nodos). Este hecho se produce siempre que utilicemos

un elemento viga y es como se muestra a continuacin:

1 2 3

1 2

34

5 6

78

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

1920

2

1

t

Nodo elemento 3D

Nodo elemento 1D

Fig.3.7. Expansin del elemento viga al elemento brick.

En cuanto al elemento B32R es similar al anterior con la salvedad de que este

utiliza integracin reducida y el B32 no. En este caso la expansin se produce al


37

elemento C3D20R que tiene 2x2x2 puntos de integracin y el C3D20 tiene 3x3x3

puntos de integracin.

A continuacin se muestra una tabla con el desplazamiento mximo (B) obtenido utilizando los diferentes programas y el error relativo:

( ) 100*% tericaB

tericaB

obtenidaB

= (3.1.2)

Elemento Mallado (n de

elementos) B (m) (%)

Teora - - -2.32515 10-5 -

ANSYS BEAM4 10 -2.3251 10-5 0.0022

2 -1.7152 10-5 26.23

5 -2.2692 10-5 2.41 B32

10 -2.3267 10-5 0.067

2 -2.3348 10-5 0.415

5 -2.329 10-5 0.166

CalculiX

B32R

10 -3.6484 10-5 56.91

Tabla.3.2. Resultados de desplazamiento mximo.

Como se puede observar, utilizando el elemento B32, los resultados mejoran

segn vaya aumentando el nmero de elementos de la discretizacin. En cuanto al

elemento B32R, su comportamiento es idneo para un nmero de elementos pequeo

mientras que empeora considerablemente cuando el mallado es muy fino.

Vamos a comparar el desplazamiento en la direccin z a lo largo de toda la viga.

En la siguiente grfica se muestra dicho desplazamiento utilizando todas las

opciones expuestas anteriormente.


38

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 Comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (2 elementos B32)Calculix (5 elementos B32)Calculix (10 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)Calculix (5 elementos B32R)Calculix (10 elementos B32R)

Fig.3.8. Desplazamiento en direccin z a lo largo de la viga.

Se representan los resultados de CalculiX que ms se parecen a los de ANSYS.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (10 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)Calculix (5 elementos B32R)



39

En la siguiente figura se representa el error relativo entre ANSYS y CalculiX para

cinco elementos B32R que es la que a simple vista ms se parece.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4error relativo entre ANSYS y CALCULIX (5 elementos B32R)

l(m)

erro

r (%

)

Fig.3.10. Error relativo entre ANSYS y CalculiX

En conclusin hay que sealar que el elemento B32 (convertido internamente en el

C3D20) es demasiado rgido y al utilizarlo con pocos elementos los resultados no son

bueno, mientras que si utilizamos en su lugar el B32R (convertido internamente en el

C3D20R) con pocos elementos los resultados son mucho mejores.


40

3.1.1.2 Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre.


A B

F

b

hX

Z

Y

Z

L

Fig.3.11. Viga en voladizo con carga en el extremo libre.

Datos del problema: Datos de la seccin:

L = 2m. A = 6.4 10-3 m2.

F = 1000 N. 46zzyy m 1041333.3II==

b = 0.08 m.

h = 0.08 m.

Datos del material (acero):

E = 2.11011 N/m2.

=0.3.

a. Solucin terica.

El desplazamiento terico en el punto B es el siguiente (anexo D):

EI3

FL v3

B = (3.1.3) Sustituyendo los datos del problema en la ecuacin (3.1.3) se obtiene:

m 10 72024.3 v 3B=


41


Se utiliza al igual que en el ejemplo de la viga biapoyada, tanto CalculiX como

ANSYS. Adems con ambos programas se ha utilizado los mismos elementos que en el

problema anterior, es decir, con ANSYS el elemento BEAM4 y con CalculiX los

elementos B32 y B32R.

Los resultados que se obtienen se muestran en la tabla siguiente:



Teora - - -3.72024 10-3 -

ANSYS BEAM4 10 -3.7202 10-3 0.0011

2 -3.253 10-3 12.56

5 -3.578 10-3 3.82

10 -3.658 10-3 1.67

15 -3.688 10-3 0.867

20 -3.69 10-3 0.813

B32

25 -3.703 10-3 0.46

2 -2.193 10-3 41.05

CalculiX

B32R 5 No converge -

Tabla.3.4. Resultados de desplazamiento mximo.

Se observa de la tabla anterior que el elemento B32 funciona mejor cuanto mayor

sea la discretizacin utilizada, en cambio el elemento B32R no funciona bien con

ninguna discretizacin.

Vamos a comparar el desplazamiento vertical a lo largo de toda la vida que se

obtiene con los programas de elementos finitos.


42

En primer lugar se comparan todas las alternativas mostradas en la tabla 3.4.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (2 elementos B32)Calculix (5 elementos B32)Calculix (10 elementos B32)Calculix (15 elementos B32)Calculix (20 elementos B32)Calculix (25 elementos B32)Calculix (2 elementos B32R)


Quedndonos con las alternativas de CalculiX que ms se asemejan a la solucin

de ANSYS nos queda la siguiente figura:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)

ANSYSCalculix (10 elementos B32)Calculix (15 elementos B32)Calculix (20 elementos B32)Calculix (25 elementos B32)



43

Como conclusin se puede decir que las soluciones obtenidas con CalculiX y con

ANSYS son muy parecidas a partir de una discretizacin de 10 elementos siempre que se

utilice el elemento B32.

3.1.2. Problemas dinmicos.

3.1.2.1. Cubo bajo una presin variable en el tiempo.

El ejemplo seleccionado para comparar la potencia de CalculiX ante anlisis

dinmicos tales que las cargas sean dependientes del tiempo es el de un cubo cuya cara

superior est sometida a una presin dependiente del tiempo y empotrado en la base de

ste. Adems sus caras laterales tendrn impuestas unas condiciones de contorno que se

exponen a continuacin. As el problema ser:

x

y

z

t

L

Fig.3.17. Cubo bajo una presin variable en el tiempo.


44

x

z

t

a

b

Fig.3.18. Cubo bajo una presin variable en el tiempo.

La carga distribuida a la cual est sometida el cubo es multiplicada por la funcin

de Heaviside ( (t) ).

t

1

t

Fig.3.19. Funcin de Heaviside.


45

Datos del problema:

L = 1m.

b = 1 m.

a = 1 m.

t = 10 N/m2.


E = 2.11011 N/m2.

= 0.3. = 7850 kg/m3.

Adems el problema tiene las siguientes condiciones de contorno:

6

2

3

4

5

1

Fig.3.20. Numeracin de las caras del cubo.

Cara Condicin de contorno

1,2,3,4 0t

0uu

z

yx

===

5 0

0uuu

zyx

zyx

======

Tabla.3.5. Condiciones de contorno del problema.


46

a. Solucin terica. La solucin terica del problema anterior es la siguiente:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )

++

++

+

+

= =

Ezb1n2t

Ezb1n2t

Ezb1n2t

Ezb1n2t1

EE1

tu

t,zu 1000

0n

n

est,z

z

(3.1.4)

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )

+++

+=

= Ezb1n2t

Ezb1n2t1tt,z

1000

0n

n

est,zz

zz (3.1.5)

Donde:

E

tbAtAE

bFAE

bu est,z === (3.1.6)

test,zz = (3.1.7)

En nuestro caso la funcin de Heaviside que utilizaremos tendr el siguiente

incremento de tiempo:


47

t(s)

1

0 2e-41e-4 3e-4 4e-4 5e-4 6e-4 7e-4 8e-4 9e-4 10e-4

Fig.3.21. Funcin de Heaviside del problema.

Se observa que t = 10-4 s. A continuacin se representar el desplazamiento terico en la cara superior o cara

nmero 6 (z = b) y la tensin en el empotramiento (z = 0). La representacin ser

adimensional en ambos casos.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

t(s)

uy/u

yest

Desplazamiento TEORICO de la cara superior

Fig.3.22. Desplazamiento terico en la cara superior del cubo.


48

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

t(s)

Szz

/Szz

,est

Tension TEORICA en el empotramiento

Fig.3.23. Tensin terica en la cara correspondiente al empotramiento.


Al igual que en los ejemplos anteriores, se ha utilizado el programa de elementos

ANSYS para la comparacin de la solucin que proporciona CalculiX.

Con CalculiX se ha utilizado el elemento tridimensional C3D20 y el C3D20R que

ya han sido descritos en los ejemplos anteriores.

1 2

34

5 6

78

9

10

11

12

13

14

15

16

1718

1920

Fig.3.24. Elemento C3D20.


49

Por otro lado, con ANSYS se ha utilizado el elemento tridimensional SOLID186, el

cual tiene desplazamientos cuadrticos y se comporta bien ante mallados irregulares.

Est constituido por 20 nodos con tres grados de libertad por nodo: translacin en las

direcciones x,y,z. Es capaz de soportar plasticidad, hiperelasticidad, creep, grandes

deformaciones y grandes esfuerzos.

Una vez mencionados los tipos de elementos a utilizar, se procede a la

comparacin de resultados. En primer lugar los resultados que se obtienen son para una

discretizacin del cubo en ocho elementos hexadricos en ambos programas, tal y como

se muestra en la figura.

Fig.3.25. Mallado del cubo utilizado.

En ambos casos se ha utilizado un tamao de paso de integracin constante de

510-6 s. El tiempo final que se ha tomado es de 510-3 s (con t = 10-4 s) y por tanto el nmero de integraciones ser 103.

Con estas especificaciones se obtienen los siguientes resultados:


50

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior

ANSYSCALCULIXTEORICO

Fig.3.26. Desplazamiento vertical en la cara superior del cubo.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramientoANSYSCALCULIXTEORICO

Fig.3.27. Tensin en la cara del empotramiento del cubo.


51

Como se puede observar los resultados de desplazamiento vertical en la cara 6 del

cubo son bastante parecidos a la solucin terica, y a su vez, los resultados obtenidos

con ANSYS y CalculiX tambin son muy similares. En cuanto a los resultados de las

tensiones en el empotramiento, stos siguen la tendencia de la tensin terica, aunque

difieren un poco de la misma. Adems, se obtiene que la tensin dada por CalculiX se

asemeja ms a la terica que la obtenida con ANSYS. Estos resultados pueden

considerarse buenos, ya que el problema que estamos estudiando es un problema

complejo que normalmente no da tan buenos resultados experimentales.

Ahora lo que vamos a hacer es disminuir el t con la intencin de conseguir mejores resultados, ya que, tericamente stos son mejores cuanto menor es el

incremento de tiempo de la funcin de Heaviside. As cogeremos un t = 10-5 s. Adems se podr ver que estos resultados mejoran cuanto mayor es el nmero de

elementos en el cual discretizamos el cubo. Utilizaremos en el caso de CalculiX una

discretizacin de 32 elementos hexadricos, mientras que con ANSYS el mallado del

volumen ser con 100 elementos tetradricos.

Fig.3.28 Mallado con 32 elementos (CalculiX) Fig.3.29 Mallado con 100 elementos (ANSYS)

Las grficas que se obtienen son las siguientes:


52

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior (INC T = 1e-5)

TEORICOANSYS (8 elementos)ANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)


Como se puede comprobar en la figura anterior los resultados de uy (b,t) obtenidos

con los programas de elementos finitos son muy parecidos entre s y a su vez ms

parecidos a la solucin terica que en el caso anterior. Por otro lado las diferencias son

mnimas entre un mallado y otro.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramiento(INC T = 1e-5)TEORICOANSYS (8 elementos)ANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)



53

En cuanto a las tensiones, se observa que efectivamente se parecen ms los

resultados de elementos finitos a los tericos que con el incremento de tiempo anterior.

En esta grfica si se puede ver la mejora existente cuando discretizamos el cubo en ms

elementos, ya que la solucin proporcionada por ANSYS para ocho elementos

hexadricos difiere ms de la tericas que la correspondiente a 100 elementos

tetradricos.

Representamos slo las soluciones ms aproximadas:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-10

-8

-6

-4

-2

0

2x 10-11

t(s)

uy(m

)

Comparacion desplazamiento en la cara superior (INC T = 1e-5)

TEORICOANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)



54

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

x 10-3

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

t(s)

Szz

(N/m

2 )

Comparacion tensiones en el empotramiento(INC T = 1e-5) TEORICOANSYS (100 elementos)CALCULIX (32 elementos)


En conclusin se puede decir que los resultados que se obtienen con CalculiX son

ptimos y que se cumple que cuanto menor sea el t mejor es la solucin obtenida.


55

3.2. Validacin de FEAPpv.

Se procede a la verificacin de la capacidad del programa FEAPpv a la hora de

resolver distintos problemas estructurales, tanto estticos como dinmicos. Los

resultados obtenidos se compararn con los de otros programas de elementos finitos

(ANSYS y CalculiX) as como con la solucin terica correspondiente. Se pretende, al

igual que hicimos con el programa CalculiX, ver si FEAPpv nos ofreces las garantas

suficientes para su utilizacin.

3.2.1. Problemas estticos.

3.2.1.1. Viga biapoyada con carga vertical en el centro.


L = 2 m

A B

C

F = 100 N

b = 0.08 m

h = 0.08 mX

Z

Y

Z

Fig.3.34. Viga biapoyada con carga en el centro

Datos de la seccin de la viga y del material (acero):

46zzyy m 1041333.3II

== . A = 6.4 10-3 m2.

E = 2.11011 N/m2.

=0.3.


56

El desplazamiento terico segn el eje z en el punto C viene dado por la ecuacin

(3.1.1). En cuanto a la solucin mediante elementos finitos, se ha utilizado adems de

FEAPpv, ANSYS y CalculiX. Centrndonos en el programa objeto de nuestro estudio, se

ha utilizado como elemento los de tipo viga, al igual que con los dems programas.

Concretando ms, el elemento recibe el nombre de FRAMe y es usado para modelos

estructurales que incluyen deformacin debida a axiles, cortantes y flectores. El modelo

del elemento es formulado en trminos de fuerzas resultantes que se calculan por

integracin de los componentes de las tensiones sobre la seccin del elemento. Cada

elemento tiene dos nodos y puede ser utilizado en problemas de dos y tres dimensiones.

Para problemas de dos dimensiones cada nodo tendr tres grados de libertad (ux ,uy ,z) y para problemas de tres dimensiones cada nodo tendr seis grados de libertad (ux ,uy ,uz

,x , y , z).

A continuacin se presenta una tabla en la que se recogen los desplazamientos

segn el eje z en el punto C obtenidos por los diferentes programas. Adems tambin se

presenta el error relativo que tiene cada resultado con respecto a la solucin terica

utilizando la ecuacin (3.1.2).



Teora - - -2.32515 10-5 -

ANSYS BEAM4 10 -2.3251 10-5 0.0022

FEAPPV FRAMe 10 -2.3252 10-5 0.0022

CalculiX B32 10 -2.3267 10-5 0.067

Tabla. 3.6. Desplazamiento vertical y error relativo en el punto C de la viga.

Se puede ver que el programa que estamos evaluando ofrece muy buenos

resultados para este problema.

En la siguiente grfica se recoger la comparacin de los distintos

desplazamientos a lo largo de la viga.


57

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10-5 comparacion desplazamientos viga biapoyada con carga vertical en el centro

l(m)

uy(m

)ANSYSCalculiXFEAPPV

Fig.3.35.Desplazamiento vertical a lo largo de la viga con distintos programas.

Como se puede observar la solucin utilizando el programa FEAPpv y ANSYS son

muy parecidas. En la grfica siguiente se evala el error relativo entre ambos resultados.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5x 10-3 error relativo entre ANSYS y FEAPPV

l(m)

erro

r rel

ativ

o (%

)

Fig.3.36. Error relativo del desplazamiento vertical a lo largo de la viga entre ANSYS y FEAPpv


58

Como se puede comprobar el error relativo mximo es aproximadamente un

0.0045 %, un error que se puede considerar insignificante.

3.2.1.2. Viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre.


A B

F

b

hX

Z

Y

Z

L

Fig.3.37. Viga en voladizo con carga en el extremo libre.

Datos del problema:

L = 2m.

F = 1000 N.

b = 0.08 m.

h = 0.08 m.

Datos de la seccin:

A = 6.4 10-3 m2.

46zzyy m 1041333.3II

==


E = 2.11011 N/m2.

=0.3.


59

El desplazamiento terico segn la direccin z en el punto B se recoge en la

ecuacin (3.1.3). En cuanto a las soluciones con los distintos programas de elementos

finitos se muestra en la tabla siguiente. Tambin se recoge el error relativo utilizando la

ecuacin (3.1.2).



Teora - - -3.72024 10-3 -

ANSYS BEAM4 10 -3.7202 10-3 0.0011

FEAPPV FRAMe 10 -3.7203 10-3 0.0016

CalculiX B32 10 -3.658 10-3 1.673

Tabla.3.7. Desplazamiento vertical y error relativo en el punto B de la viga.

De los resultados recogidos en la tabla anterior se puede decir que el programa que

estamos evaluando da muy buenos resultados para el problema de la viga en voladizo y

mejores que los que se obtuvieron con el programa CalculiX.

En las siguientes figuras se mostrarn los desplazamientos verticales obtenidos

con los distintos programas a lo largo de toda la viga. Adems tambin se representa el

error relativo que se obtiene con el programa FEAPpv en relacin con la solucin

obtenida con ANSYS. Como se puede comprobar el error mximo que se obtiene es

aproximadamente un 0.006 %, siendo este un error insignificante.


60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

-3 comparacion desplazamientos viga en voladizo con carga vertical en el extremo libre

l(m)

uy(m

)ANSYSCalculiXFEAPPV

Fig.3.38. Desplazamiento vertical a lo largo de la viga.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

1

2

3

4

5

6

7x 10

-3 error relativo entre ANSYS y FEAPPV

l(m)

erro

r (%

)

Fig.3.39. Error relativo del desplazamiento vertical a lo largo de la viga entre ANSYS y FEAPpv


61

3.2.2. Problemas dinmicos.

En este apartado se resolvern varios problemas dinmicos con cargas

dependientes del tiempo.

3.2.2.1. Viga biempotrada con carga vertical de tipo Heaviside.


L = 20 m

A B

C

F(t)

b = 1 m

h = 1 mX

Z

Y

Z

Fig.3.40. Viga biempotrada con carga en el centro

Datos de la seccin:

A = 1 m2.

4zzyy m 083333.0II ==

Datos del material:

E = 2.11011 N/m2.

kg/m 2500= =0.3.

Datos de la carga

)t(P)t(F = Donde:

P = 300 KN.


62

La funcin de Heaviside es la siguiente:

t(s)

1

0 0.20.1 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 10

(t)

Fig.3.41. Funcin de Heaviside.

A continuacin se presentarn los resultados obtenidos. Hay que sealar que en

los correspondientes anlisis no se ha tenido en cuenta el amortiguamiento, es decir no

se ha considerado la matriz de amortiguamiento (ecuacin 2.4.4).

En primer lugar se representa el desplazamiento segn la direccin z en el punto

central de la viga utilizando los tres programas de elementos finitos estudiados.


63

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4

t(s)

uz(m

)

Desplazamiento vertical en el centro de la viga

FEAPPVANSYSCALCULIX

Fig.3.42. Desplazamiento vertical en el centro de la viga.

A continuacin se representa la solucin de FEAPpv y la solucin de ANSYS.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4

t(s)

uz(m

)


FEAPPVANSYS

Fig.3.43. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv.


64

Ahora se presentarn los resultados que se obtiene teniendo en cuenta la matriz de

amortiguamiento. Sealar que la matriz de amortiguamiento que se ha utilizado es la

correspondiente al amortiguamiento proporcional o amortiguamiento de Raleigh

(ecuacin 2.4.4).

Para el clculo de los coeficientes de Raleigh se ha tomado el coeficiente = 0 y se ha calculado teniendo en cuenta nicamente el primer modo de vibracin cuya frecuencia natural es la dominante para el tipo de carga que tenemos. Por otro lado se ha

tomado como tasa de amortiguamiento modal i = 5% para el primer modo.

Se procede al clculo de las frecuencias naturales de los modos para la obtencin

del parmetro . La siguiente expresin me permite el clculo de las frecuencias naturales de una

viga para distintas configuraciones:

4ii LEIA = (3.2.1)

Donde:

Ai Valor que depende de la configuracin de la viga y del modo. E Mdulo de Young. I Momento de inercia de la seccin. L Longitud de la viga. Densidad lineal de la viga.

Los valores de Ai para el caso de una viga biempotrada se muestran en la tabla

siguiente:


65

Modo de vibracin Ai

22.4

61.7

121.0

200.0

Tabla.3.8. Valores de Ai para una viga biempotrada.

Sustituyendo los datos del problema en la expresin (3.2.1) se obtienen las

siguientes frecuencias naturales:

s/rad 88.1322rad/s 800.34 rad/s 408.11 rad/s 16.148

4

3

2

1

====

Centrndonos en la frecuencia natural del primer modo y utilizando la ecuacin

(2.4.6), obtenemos que el coeficiente de Rayleigh es aproximadamente 0.0007. Con este valor se puede obtener las tasas de amortiguamiento de los dems modos

de vibracin, de forma que se obtiene:

%0.28%3.14

%5

3

2

1

===

Como es lgico las tasas de amortiguamiento son mayores mientras mayor sea el

modo. Se puede comprobar que los amortiguamientos que se obtienen para los dems

modos no son valores demasiado elevados.

Una vez que tenemos definida la matriz de amortiguamiento se procede a la

resolucin del problema y a la exposicin de los resultados en las siguientes grficas.


66

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-8

-6

-4

-2

0x 10-4 Desplazamiento vertical en el centro de la viga

t(s)

uz(m

)ANSYSFEAPPV

Fig.3.44. Desplazamiento vertical en el centro de la viga con ANSYS y FEAPpv. (con amort.)

Se observa que ambas soluciones son muy similares. Para corroborar esta

afirmacin se presenta el error relativo entre ambas.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45Error relativo entre ANSYS Y FEAPPV

t(s)

Erro

r rel

ativ

o (%

)

Fig.3.45. Error relativo de desplazamiento vertical en el centro de la viga entre ANSYS y FEAPpv.


67

El error relativo mximo se produce cerca del instante en el cul la carga pasa de

tener un valor nulo a tener un valor P, es decir para t =0.5 s y su valor es de 0.42 %.

3.2.2.2. Viga biempotrada con carga vertical transitoria.

El problema es el mismo que el anterior problema cambiando nicamente el tipo

de carga.

L = 20 m

A B

C

F(t)

b = 1 m

h = 1 mX

Z

Y

Z

Fig.3.46. Viga biempotrada con carga en el centro.

La carga ser la siguiente:

)t(P)t(F =

Donde:

P = 300 KN.

t0INC

1

(t)

Fig.3.47. Funcin (t).

INC = 0.2778 s


68

En la figura siguiente se esquematiza la funcin (t) como en realidad se considera a la hora de introducirla en los programas de elementos finitos.

t0

1

(t)

delta

INC Fig.3.48. Esquematizacin real de (t).

En nuestro caso se ha tomado delta = 0.05556 s. Se muestra a continuacin una

tabla en la que se recoge todos los puntos que forman la funcin (t).

t (s) 0 0.05556 0.11112 0.16668 0.22224 0.2778 0.33336 0.38892 0.4448

(t) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 t(s) 0.50004 0.5556 0.61116 0.66672 0.72228 0.77784 0.8334 0.88896 0.94452

(t) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 t(s) 1.00008 1.05564 1.1112 1.6676 1.22232 1.27788 1.33344 1.389 1.44456

(t) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 t(s) 1.50012 1.55568 1.61124 1.6668 1.72236 1.77792 1.83348 1.88904 1.9446

(t) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 t(s) 2.00016 5

(t) 0 0

Tabla.3.9. Puntos de la funcin (t).

En primer lugar se realizarn los anlisis con los tres programas y sin tener en

cuenta la matriz de amortiguamiento, al igual que se hizo en el problema 3.2.2.1. De

esta forma los resultados son:


69

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x 10

-3

t(s)

uz(m

)


FEAPPVCALCULIXANSYS

Fig.3.49. Desplazamiento vertical en el centro de la viga.

En la figura anterior se puede ver como los resultados de CalculiX difieren en

mayor medida de los otros dos. Representando las soluciones de ANSYS y FEAPpv, se

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