1

ANÁLISIS DE ANÁLISIS DE SENSIBILIDADSENSIBILIDAD

2

1. Definición del problema, recolección de datos.

2. Formulación de modelo matemático.

3. Obtención de soluciones a partir del modelo. (Resolución. Incluye análisis

de Sensibilidad).

4. Prueba del modelo (corrección de errores, validación)

5. Preparación para la aplicación del modelo (Desarrollo de un sistema de

apoyo a la toma de decisiones).

6. Implementación (Inducción, procedimientos, documentación,

capacitación, retroalimentación, etc.).

Enfoque de Modelamiento de IO

3

Sea el Problema de Programación Lineal:

Análisis de Sensibilidad

Max Z=∑j=1

n

c j x j

s/a

∑j=1

n

aij x j≤bi ; i=1,2 , ... ,m

x j≥0 ; j=1,2 , ... ,n

4

Sea el Problema de Programación Lineal:

En la práctica, los parámetros del problema, son estimaciones

Análisis de Sensibilidad

Max Z=∑j=1

n

c j x j

s/a

∑j=1

n

aij x j≤bi ; i=1,2 , ... ,m

x j≥0 ; j=1,2 , ... ,n

5

Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho

de efectuar cambios en los valores de los parámetros .

Análisis de Sensibilidad

6

Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho

de efectuar cambios en los valores de los parámetros .

- Identificar parámetros sensibles

Análisis de Sensibilidad

7

Investigar el efecto que tendría en la solución óptima encontrada el hecho

de efectuar cambios en los valores de los parámetros .

- Identificar parámetros sensibles

- Identificar los intervalos dentro de los cuales los valores de los

parámetros pueden cambiar, sin alterar la solución óptima .

Análisis de Sensibilidad

8

Sean

los valores de los parámetros originales .

Suponer que al menos uno de estos valores cambia. Entonces, se tiene

que es el conjunto de los nuevos valores para los parámetros.

Notación

c j ,aij ybi

c j , aij y bi

9

Sean

los valores de los parámetros originales .

Suponer que al menos uno de estos valores cambia. Entonces, se tiene

que es el conjunto de los nuevos valores para los parámetros.

Matricialmente :

Notación

c j ,aij ybi

c j , aij y bi

bb cc AA

10

Nueva tabla inicial

Tabla Final Revisada

Tabla Simplex: Actualización

b

1 �c

A0

0

I

0Z

VariablesOriginales

VariablesHolgura

LadoDerecho

b*=S* b

1 z*�c=y* A�c

A*=S* A0

ZVariablesOriginales

VariablesHolgura

LadoDerecho

y*z*=y* b

S*

11

Ejemplo

Tabla Simplex: Actualización

MaximizarZ=3x15x2

s/a

x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

12

Ejemplo

Tabla final Simplex

Tabla Simplex: Actualización

MaximizarZ=3x15x2

s/a

x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

13

Ejemplo

Tabla final Simplex

Tabla Simplex: Actualización

MaximizarZ=3x15x2

s/a

x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

Suponerahora:

c=4,5; A=1 00 22 2; b= 4

2418

14

Nueva tabla inicial:

Tabla Simplex: Actualización

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 -4 -5 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 24x5 0 2 2 0 0 1 18

15

Nueva tabla inicial:

Tabla Final Revisada

Tabla Simplex: Actualización

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 -4 -5 0 0 0 0x3 0 1 0 1 0 0 4x4 0 0 2 0 1 0 24x5 0 2 2 0 0 1 18

16

Luego de obtener la tabla Simplex final, se debe convertir a la forma

apropiada, si fuese necesario

Tabla Simplex: Actualización

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 1/2 2 48x3 0 0 0 1 1/2 -1/2 7x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/2 1/2 -3

17

Luego de obtener la tabla Simplex final, se debe convertir a la forma

apropiada, si fuese necesario

Tabla Simplex: Actualización

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 -2 0 0 3/2 1 54x3 0 1/3 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 2/3 0 0 -1/3 1/3 -2

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 1/2 2 48x3 0 0 0 1 1/2 -1/2 7x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/2 1/2 -3

LaSoluciónBásicaqueseobtieneesx1 ,x2 ,x3 , x4 ,x5=�3,2,7 ,0 ,0

18

1. Revisión del Modelo. Efectuar Cambios en los coe ficientes

2. Revisión de la Tabla Simplex Final

3. Conversión de la tabla Simplex final a la forma apropiada (si fuese

necesario)

4. Prueba de factibilidad

5. Prueba de optimalidad

6. Reoptimizar

Análisis de Sensibilidad: Procedimiento General

19

- Cambios en disponibilidad de recursos

- Cambios en coeficientes de variable no básica

- Introducción de una nueva variable.

- Cambios en los coeficientes de una variable básica.

- Introducción de una nueva restricción

Aplicación del Análisis de Sensibilidad

20

- Cambios en el lado derecho. En cuánto cambia Z ante cambios en los bi

Cambios en La cantidad de recurso Disponible

z*=y* b

b*=S* b

21

Ejemplo

Cambios en La cantidad de recurso Disponible

b= 42418b= 4

1218 b= 0

120

MaximizarZ=3x15x2

s/a

x1≤42x2≤123x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5Suponer que:

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 36x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 2x2 0 0 1 0 1/2 0 6x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 2

22

Ejemplo

Tabla Simplex Final Revisada

Cambios en La cantidad de recurso Disponible

V. Básica1 Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2

LaSoluciónBásicaqueseobtieneesx1 ,x2 ,x3 , x4 ,x5=�2,12,6 ,0 ,0Super óptima para el primal , pero factible parael dual

23

Ejemplo

Tabla Simplex Final Revisada

Cambios en La cantidad de recurso Disponible

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2

24

Ejemplo

Tabla Simplex Final Revisada

Mediante Simplex Dual, se obtiene finalmente:

Cambios en La cantidad de recurso Disponible

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 3/2 1 54x3 0 0 0 1 1/3 -1/3 6x2 0 0 1 0 1/2 0 12x1 0 1 0 0 -1/3 1/3 -2

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6

25

Intervalo permisible para cambios en el lado derecho

b1*=2

13

b2≥0

b2*=6

12

b2≥0

b3*=2

�13

b2≥0

26

- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj

- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

c j ,a1j ,a2j , ... ,amj

27

- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj

- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

c j ,a1j ,a2j , ... ,amj

c j c j AjAj

28

- Sea una variable básica fija (en la tabla final) xj

- Suponer que uno o más coeficientes de esta variable cambian.

- Si la solución básica complementaria y* del problema Dual todavía

satisface la restricción dual que cambió , entonces la solución óptima

del primal continúa siendo óptima.

- Si no, la solución primal ya no es óptima.

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

c j ,a1j ,a2j , ... ,amj

c j c j AjAj

29

Ejemplo:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

MaximizarZ=3x15x2

sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

30

Ejemplo:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6

MaximizarZ=3x15x2

sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

31

Ejemplo:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO BásicaMaximizarZ=3x15x2

sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6

c1=3 c1=4

A1=103 A1=102

Suponerque:

32

Ejemplo:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO BásicaMaximizarZ=3x15x2

sujeto ax1≤42x2≤243x12x2≤18x j≥0, j=1,... ,5

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6

c1=3 c1=4

A1=103 A1=102

Suponerque:Estos cambios afectan a sólo una restricción Dual

33

Ejemplo:

La solución sigue siendo óptima (¡Verificar!). Los valores de la tabla

simplex modificada son:

Tabla Final (Valores originales)

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 9/2 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 3/2 1 0 0 1/2 9x4 0 -3 0 0 1 -1 6

V. Básica Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 1 0 0 0 5/2 45x3 0 1 0 1 0 0 4x2 0 1 1 0 0 1/2 9x4 0 -2 0 0 1 -1 6

34

Intervalo Permitido para cambios en los Cj

Suponer un cambio en un único Cj

Cuando es una variable no básica en la solución óptima, la solución

permanecerá óptima mientras:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable NO Básica

x j

z j*�c j≥0, donde zj

*=y* A j

c j≤y* A j

35

- Conviene asumir que esa nueva variable “siempre estuvo”, o sea, los

valores de los coeficientes eran cero.

- Asumir que es variable no básica en la solución actual.

- Trabajar de la misma forma que el caso anterior (cambio en los valores

de los coeficientes de una variable no básica).

- Para comprobar si la solución actual sigue siendo ó ptima es verificar

si la solución dual satisface la nueva restricción dual que corresponde

a la nueva variable.

Introducción De Una Nueva Variable

36

Ejemplo:

Introducción De Una Nueva Variable

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75

Inicialmente:

c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6

45

37

Ejemplo:

Introducción De Una Nueva Variable

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Inicialmente:

c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6

45

Var Básicas

Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 0 -1,25 0,25 3,75

38

Ejemplo:

Introducción De Una Nueva Variable

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Inicialmente:

c=5,8 ,0; A=1 1 05 9 0; b= 6

45

Var Básicas

Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 0 -1,25 0,25 3,75

Suponer ahora: c=5,8 ,2; A=1 1 15 9 1; b=6

45

39

Ejemplo:

La nueva tabla final actualizada es:

Por lo tanto, la solución sigue siendo óptima .

Introducción De Una Nueva Variable

Var Básicas

Z x1 x2 xnueva x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 2 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 -1 -1,25 0,25 3,75

40

Suponer (con j fijo) es una variable básica de la solución óptima que se

muestra en la Tabla Simplex Final.

Los valores de la tabla final a actualizar son:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica

x j

z j*�c j= y* A j�c j

A j*=S* A j

41

Ejemplo:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75

Inicialmente:

c=5,8 ; A=1 15 9; b= 6

45

Suponer ahora que: c=(5,10) ; A=(1 15 8); b=(6

45)

42

Ejemplo:

La tabla final actualizada queda:

Ajustando la tabla:

Cambios En Los Coeficientes De Una Variable Básica

Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 0 -2,75 1,25 0,75 41,25x1 0 1 0,25 2,25 -0,25 2,25x2 0 0 0,75 -1,25 0,25 3,75

Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 0 0 -3,33 1,67 55,00x1 0 1 0 2,67 -0,33 1,00x2 0 0 1 -1,67 0,33 5,00

Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 Lado DerechoZ 1 1,25 0 0,00 1,25 56,250x3 0 0,38 0 1,00 -0,125 0,375x2 0 0 1 0,00 0,375 3,125

43

- Verificar si la solución óptima actual satisface la restricción. Si es así,

todavía sigue siendo SBF óptima

- Si no es así, y si además se requiere encontrar la nueva solución , se

introduce la restricción a la tabla Simplex Final (como una fila adicional)

exactamente como si fuera la tabla inicial.

Introducción De Una Nueva Restricción

44

Ejemplo

Introducción De Una Nueva Restricción

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75

45

Ejemplo

Introducción De Una Nueva Restricción

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 3,75

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤453x14x2≤20x1, x2≥0

46

Ejemplo

Introducción De Una Nueva Restricción

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤45x1, x2≥0

MaxZ=5x18x2

s/ax1x2≤65x19x2≤453x14x2≤20x1, x2≥0

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75

x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00

47

Ejemplo:

Agregando la nueva restricción

Introducción De Una Nueva Restricción

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75

x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00

48

Ejemplo:

Agregando la nueva restricción

La tabla debe dejarse en la forma apropiada

Introducción De Una Nueva Restricción

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 0,00 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 0,00 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 0,00 3,75

x5 0 3 4 0,00 0,00 1,00 20,00

Var Básicas

Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado Derecho

Z 1 0 0 1,25 0,75 0 41,25

x1 0 1 0 2,25 -0,25 0 2,25

x2 0 0 1 -1,25 0,25 0 3,75

x5 0 0 0 -1,75 -0,25 1 -1,75

49

Finalmente

Introducción De Una Nueva Restricción

Var Básicas Z x1 x2 x3 x4 x5 Lado DerechoZ 1 0 0 -4,00 0,00 3,00 36,00x1 0 1 0 4,00 0,00 -1,00 4,00x2 0 0 1 -3,00 0,00 1,00 2,00x4 0 0 0 7,00 1,00 -4,00 7,00