Analítica en el espacio
Transcript of Analítica en el espacio
![Page 1: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/1.jpg)
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.2. GEOMETRÍA
ANALÍTICA EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO.
Eugenio Hernández
COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAREN MATEMÁTICASCurso 2011-2012
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 2: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/2.jpg)
3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2) ∈ R2 y tiene a~v = (v1, v2) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y) = (p1,p2) + t(v1, v2) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elplano se obtiene una expresión del tipo ax + by + c = 0 que sellama ecuacion cartesiana de la recta.
Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas ocoincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 1. Describir las ecuaciones paramétricas ycartesianas de la recta que pasa por el punto P = (2,1) y tienea ~v = (1,5) como vector director.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 3: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/3.jpg)
3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2) ∈ R2 y tiene a~v = (v1, v2) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y) = (p1,p2) + t(v1, v2) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elplano se obtiene una expresión del tipo ax + by + c = 0 que sellama ecuacion cartesiana de la recta.
Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas ocoincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 1. Describir las ecuaciones paramétricas ycartesianas de la recta que pasa por el punto P = (2,1) y tienea ~v = (1,5) como vector director.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 4: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/4.jpg)
3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2) ∈ R2 y tiene a~v = (v1, v2) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y) = (p1,p2) + t(v1, v2) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elplano se obtiene una expresión del tipo ax + by + c = 0 que sellama ecuacion cartesiana de la recta.
Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas ocoincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 1. Describir las ecuaciones paramétricas ycartesianas de la recta que pasa por el punto P = (2,1) y tienea ~v = (1,5) como vector director.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 5: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/5.jpg)
3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2) ∈ R2 y tiene a~v = (v1, v2) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y) = (p1,p2) + t(v1, v2) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elplano se obtiene una expresión del tipo ax + by + c = 0 que sellama ecuacion cartesiana de la recta.
Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas ocoincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 1. Describir las ecuaciones paramétricas ycartesianas de la recta que pasa por el punto P = (2,1) y tienea ~v = (1,5) como vector director.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 6: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/6.jpg)
3.2.1. Rectas en el plano y en el espacio
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2) ∈ R2 y tiene a~v = (v1, v2) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y) = (p1,p2) + t(v1, v2) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elplano se obtiene una expresión del tipo ax + by + c = 0 que sellama ecuacion cartesiana de la recta.
Dos rectas en el plano pueden cortarse, ser paralelas ocoincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 1. Describir las ecuaciones paramétricas ycartesianas de la recta que pasa por el punto P = (2,1) y tienea ~v = (1,5) como vector director.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 7: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/7.jpg)
Ejercicio 2. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : 2x + y = 2 y r2 : 3x − y = −7
Demuestra que
∣∣∣∣∣∣1 x y1 a1 a21 b1 b2
∣∣∣∣∣∣ = 0 es la ecuación de una
recta en el plano que pasa por los puntos A = (a1,a2) yB = (b1,b2) .
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y tiene a~v = (v1, v2, v3) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(v1, v2, v3) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elespacio se obtiene dos expresiones del tipo
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 , a2x + b2y + c2z + d2 = 0
que son su ecuacion cartesiana.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 8: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/8.jpg)
Ejercicio 2. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : 2x + y = 2 y r2 : 3x − y = −7
Demuestra que
∣∣∣∣∣∣1 x y1 a1 a21 b1 b2
∣∣∣∣∣∣ = 0 es la ecuación de una
recta en el plano que pasa por los puntos A = (a1,a2) yB = (b1,b2) .
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y tiene a~v = (v1, v2, v3) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(v1, v2, v3) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elespacio se obtiene dos expresiones del tipo
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 , a2x + b2y + c2z + d2 = 0
que son su ecuacion cartesiana.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 9: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/9.jpg)
Ejercicio 2. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : 2x + y = 2 y r2 : 3x − y = −7
Demuestra que
∣∣∣∣∣∣1 x y1 a1 a21 b1 b2
∣∣∣∣∣∣ = 0 es la ecuación de una
recta en el plano que pasa por los puntos A = (a1,a2) yB = (b1,b2) .
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y tiene a~v = (v1, v2, v3) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(v1, v2, v3) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elespacio se obtiene dos expresiones del tipo
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 , a2x + b2y + c2z + d2 = 0
que son su ecuacion cartesiana.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 10: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/10.jpg)
Ejercicio 2. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : 2x + y = 2 y r2 : 3x − y = −7
Demuestra que
∣∣∣∣∣∣1 x y1 a1 a21 b1 b2
∣∣∣∣∣∣ = 0 es la ecuación de una
recta en el plano que pasa por los puntos A = (a1,a2) yB = (b1,b2) .
La recta que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y tiene a~v = (v1, v2, v3) como vector director tiene por ecuaciónparamétrica (x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(v1, v2, v3) , t ∈ R .
Al eliminar t en las ecuaciones paramétricas de una recta en elespacio se obtiene dos expresiones del tipo
a1x + b1y + c1z + d1 = 0 , a2x + b2y + c2z + d2 = 0
que son su ecuacion cartesiana.Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 11: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/11.jpg)
Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse, serparalelas o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 3. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,1,0)
r2 : (x , y , z) = (0,1,2) + s(2,0,1)
Ejercicio 4. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 :
{x − 1 = 0
3y − z + 5 = 0
}y r1 :
{x − y + z = 4
2x − z = 0
}.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 12: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/12.jpg)
Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse, serparalelas o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 3. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,1,0)
r2 : (x , y , z) = (0,1,2) + s(2,0,1)
Ejercicio 4. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 :
{x − 1 = 0
3y − z + 5 = 0
}y r1 :
{x − y + z = 4
2x − z = 0
}.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 13: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/13.jpg)
Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse, serparalelas o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 3. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,1,0)
r2 : (x , y , z) = (0,1,2) + s(2,0,1)
Ejercicio 4. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 :
{x − 1 = 0
3y − z + 5 = 0
}y r1 :
{x − y + z = 4
2x − z = 0
}.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 14: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/14.jpg)
Dos rectas en el espacio pueden cortarse, cruzarse, serparalelas o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Ejercicio 3. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,1,0)
r2 : (x , y , z) = (0,1,2) + s(2,0,1)
Ejercicio 4. Determinar la posición relativa de las rectas:
r1 :
{x − 1 = 0
3y − z + 5 = 0
}y r1 :
{x − y + z = 4
2x − z = 0
}.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 15: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/15.jpg)
3.2.2. Planos en tres dimensiones
El plano que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y estágenerado por los vectores ~u = (u1,u2,u3) y ~v = (v1, v2, v3)tiene por ecuación paramétrica(x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(u1,u2,u3) + s(v1, v2, v3) , t , s ∈ R .
Para eliminar t y s observar que para cada (x , y , z) fijos, el
sistema r1 :
x = p1 + tu1 + sv1y = p2 + tu2 + sv2z = p3 + tu3 + sv3
tiene solución única en
las variables t , s. Esto es posible si y solo si
2 = r
u1 v1u2 v2u3 v3
= r
u1 v1 x − p1u2 v2 y − p2u3 v3 z − p3
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 16: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/16.jpg)
3.2.2. Planos en tres dimensiones
El plano que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y estágenerado por los vectores ~u = (u1,u2,u3) y ~v = (v1, v2, v3)tiene por ecuación paramétrica(x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(u1,u2,u3) + s(v1, v2, v3) , t , s ∈ R .
Para eliminar t y s observar que para cada (x , y , z) fijos, el
sistema r1 :
x = p1 + tu1 + sv1y = p2 + tu2 + sv2z = p3 + tu3 + sv3
tiene solución única en
las variables t , s.
Esto es posible si y solo si
2 = r
u1 v1u2 v2u3 v3
= r
u1 v1 x − p1u2 v2 y − p2u3 v3 z − p3
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 17: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/17.jpg)
3.2.2. Planos en tres dimensiones
El plano que pasa por el punto P = (p1,p2,p3) ∈ R3 y estágenerado por los vectores ~u = (u1,u2,u3) y ~v = (v1, v2, v3)tiene por ecuación paramétrica(x , y , z) = (p1,p2,p3) + t(u1,u2,u3) + s(v1, v2, v3) , t , s ∈ R .
Para eliminar t y s observar que para cada (x , y , z) fijos, el
sistema r1 :
x = p1 + tu1 + sv1y = p2 + tu2 + sv2z = p3 + tu3 + sv3
tiene solución única en
las variables t , s. Esto es posible si y solo si
2 = r
u1 v1u2 v2u3 v3
= r
u1 v1 x − p1u2 v2 y − p2u3 v3 z − p3
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 18: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/18.jpg)
⇔
∣∣∣∣∣∣u1 v1 xu2 v2 yu3 v3 z
∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣
u1 v1 p1u2 v2 p2u3 v3 p3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Desarrollando el primer determinante por la tercera columna seobtiene una expresión de la forma Ax + By + Cz + D = 0 quees la ecuación cartesiana del plano.
Dos planos en el espacio pueden cortarse en una recta, serparalelos o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 19: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/19.jpg)
⇔
∣∣∣∣∣∣u1 v1 xu2 v2 yu3 v3 z
∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣
u1 v1 p1u2 v2 p2u3 v3 p3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Desarrollando el primer determinante por la tercera columna seobtiene una expresión de la forma Ax + By + Cz + D = 0 quees la ecuación cartesiana del plano.
Dos planos en el espacio pueden cortarse en una recta, serparalelos o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 20: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/20.jpg)
⇔
∣∣∣∣∣∣u1 v1 xu2 v2 yu3 v3 z
∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣
u1 v1 p1u2 v2 p2u3 v3 p3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Desarrollando el primer determinante por la tercera columna seobtiene una expresión de la forma Ax + By + Cz + D = 0 quees la ecuación cartesiana del plano.
Dos planos en el espacio pueden cortarse en una recta, serparalelos o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 21: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/21.jpg)
⇔
∣∣∣∣∣∣u1 v1 xu2 v2 yu3 v3 z
∣∣∣∣∣∣−∣∣∣∣∣∣
u1 v1 p1u2 v2 p2u3 v3 p3
∣∣∣∣∣∣ = 0
Desarrollando el primer determinante por la tercera columna seobtiene una expresión de la forma Ax + By + Cz + D = 0 quees la ecuación cartesiana del plano.
Dos planos en el espacio pueden cortarse en una recta, serparalelos o coincidentes.
¿Cómo se distingue cada caso?
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 22: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/22.jpg)
Ejercicio 5. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasapor el punto P = (1,1,0) y tiene a ~u = (−1,0,2) y a~v = (1,3,3) como vectores generadores.
Ejercicio 6. Hallar la posición relativa de los planos deecuaciones 2x + 3y − z = 1 y −x − 2y + z = 0.
Ejercicio 7. Hallar la ecuación del plano paralelo al de ecuaciónx + y + z = 0 que pasa por el punto P = (1,1,1).
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 23: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/23.jpg)
Ejercicio 5. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasapor el punto P = (1,1,0) y tiene a ~u = (−1,0,2) y a~v = (1,3,3) como vectores generadores.
Ejercicio 6. Hallar la posición relativa de los planos deecuaciones 2x + 3y − z = 1 y −x − 2y + z = 0.
Ejercicio 7. Hallar la ecuación del plano paralelo al de ecuaciónx + y + z = 0 que pasa por el punto P = (1,1,1).
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 24: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/24.jpg)
Ejercicio 5. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasapor el punto P = (1,1,0) y tiene a ~u = (−1,0,2) y a~v = (1,3,3) como vectores generadores.
Ejercicio 6. Hallar la posición relativa de los planos deecuaciones 2x + 3y − z = 1 y −x − 2y + z = 0.
Ejercicio 7. Hallar la ecuación del plano paralelo al de ecuaciónx + y + z = 0 que pasa por el punto P = (1,1,1).
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 25: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/25.jpg)
3.2.3. Producto escalar. Longitudes y ángulos.
PRODUCTO ESCALAR
Si ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) son dos vectores de Rn,se define su producto escalar como < ~x , ~y >=
∑ni=1 xiyi .
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) < ~x , ~x >≥ 0 y < ~x , ~x >= 0⇔ ~x = 0 .b) < ~x , ~y >=< ~y , ~x > (Simétrica)c) < λ~x , ~y >= λ < ~x , ~y > , λ ∈ Rd) b) < ~x + ~y , ~z >=< ~x , ~z > + < ~y , ~z > (Distributiva)
LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
La longitud o norma de un vector ~x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn es
‖~x‖ =√< ~x , ~x > =
√∑ni=1 x2
i .
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Si ~x , ~y ∈ Rn , | < ~x , ~y > | ≤ ‖~x‖‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 26: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/26.jpg)
3.2.3. Producto escalar. Longitudes y ángulos.
PRODUCTO ESCALAR
Si ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) son dos vectores de Rn,se define su producto escalar como < ~x , ~y >=
∑ni=1 xiyi .
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) < ~x , ~x >≥ 0 y < ~x , ~x >= 0⇔ ~x = 0 .b) < ~x , ~y >=< ~y , ~x > (Simétrica)c) < λ~x , ~y >= λ < ~x , ~y > , λ ∈ Rd) b) < ~x + ~y , ~z >=< ~x , ~z > + < ~y , ~z > (Distributiva)
LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
La longitud o norma de un vector ~x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn es
‖~x‖ =√< ~x , ~x > =
√∑ni=1 x2
i .
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Si ~x , ~y ∈ Rn , | < ~x , ~y > | ≤ ‖~x‖‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 27: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/27.jpg)
3.2.3. Producto escalar. Longitudes y ángulos.
PRODUCTO ESCALAR
Si ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) son dos vectores de Rn,se define su producto escalar como < ~x , ~y >=
∑ni=1 xiyi .
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) < ~x , ~x >≥ 0 y < ~x , ~x >= 0⇔ ~x = 0 .b) < ~x , ~y >=< ~y , ~x > (Simétrica)c) < λ~x , ~y >= λ < ~x , ~y > , λ ∈ Rd) b) < ~x + ~y , ~z >=< ~x , ~z > + < ~y , ~z > (Distributiva)
LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
La longitud o norma de un vector ~x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn es
‖~x‖ =√< ~x , ~x > =
√∑ni=1 x2
i .
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Si ~x , ~y ∈ Rn , | < ~x , ~y > | ≤ ‖~x‖‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 28: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/28.jpg)
3.2.3. Producto escalar. Longitudes y ángulos.
PRODUCTO ESCALAR
Si ~x = (x1, . . . , xn) e ~y = (y1, . . . , yn) son dos vectores de Rn,se define su producto escalar como < ~x , ~y >=
∑ni=1 xiyi .
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALARa) < ~x , ~x >≥ 0 y < ~x , ~x >= 0⇔ ~x = 0 .b) < ~x , ~y >=< ~y , ~x > (Simétrica)c) < λ~x , ~y >= λ < ~x , ~y > , λ ∈ Rd) b) < ~x + ~y , ~z >=< ~x , ~z > + < ~y , ~z > (Distributiva)
LONGITUD O NORMA DE UN VECTOR
La longitud o norma de un vector ~x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn es
‖~x‖ =√< ~x , ~x > =
√∑ni=1 x2
i .
DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ
Si ~x , ~y ∈ Rn , | < ~x , ~y > | ≤ ‖~x‖‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 29: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/29.jpg)
COSENO
El coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos~x , ~y ∈ Rn es cosα = cos^(~x , ~y) = <~x ,~y>
‖~x‖‖~y‖ .
NOTA: Observar que la desigualdad de Cauchy-Schwarzimplica −1 ≤ cos^(~x , ~y) ≤ 1 .
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD
Dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Rn son ortogonales operpendiculares si < ~x , ~y >= 0 .
Ejercicio 8. Demostrar que si k vectores no nulos de Rn sonortogonales entre sí, también son linealmente independientes.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
Si ~x , ~y ∈ Rn , ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 30: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/30.jpg)
COSENO
El coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos~x , ~y ∈ Rn es cosα = cos^(~x , ~y) = <~x ,~y>
‖~x‖‖~y‖ .
NOTA: Observar que la desigualdad de Cauchy-Schwarzimplica −1 ≤ cos^(~x , ~y) ≤ 1 .
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD
Dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Rn son ortogonales operpendiculares si < ~x , ~y >= 0 .
Ejercicio 8. Demostrar que si k vectores no nulos de Rn sonortogonales entre sí, también son linealmente independientes.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
Si ~x , ~y ∈ Rn , ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 31: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/31.jpg)
COSENO
El coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos~x , ~y ∈ Rn es cosα = cos^(~x , ~y) = <~x ,~y>
‖~x‖‖~y‖ .
NOTA: Observar que la desigualdad de Cauchy-Schwarzimplica −1 ≤ cos^(~x , ~y) ≤ 1 .
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD
Dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Rn son ortogonales operpendiculares si < ~x , ~y >= 0 .
Ejercicio 8. Demostrar que si k vectores no nulos de Rn sonortogonales entre sí, también son linealmente independientes.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
Si ~x , ~y ∈ Rn , ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 32: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/32.jpg)
COSENO
El coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos~x , ~y ∈ Rn es cosα = cos^(~x , ~y) = <~x ,~y>
‖~x‖‖~y‖ .
NOTA: Observar que la desigualdad de Cauchy-Schwarzimplica −1 ≤ cos^(~x , ~y) ≤ 1 .
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD
Dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Rn son ortogonales operpendiculares si < ~x , ~y >= 0 .
Ejercicio 8. Demostrar que si k vectores no nulos de Rn sonortogonales entre sí, también son linealmente independientes.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
Si ~x , ~y ∈ Rn , ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 33: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/33.jpg)
COSENO
El coseno del ángulo que forman dos vectores no nulos~x , ~y ∈ Rn es cosα = cos^(~x , ~y) = <~x ,~y>
‖~x‖‖~y‖ .
NOTA: Observar que la desigualdad de Cauchy-Schwarzimplica −1 ≤ cos^(~x , ~y) ≤ 1 .
ORTOGONALIDAD O PERPENDICULARIDAD
Dos vectores no nulos ~x , ~y ∈ Rn son ortogonales operpendiculares si < ~x , ~y >= 0 .
Ejercicio 8. Demostrar que si k vectores no nulos de Rn sonortogonales entre sí, también son linealmente independientes.
DESIGUALDAD TRIANGULAR
Si ~x , ~y ∈ Rn , ‖~x + ~y‖ ≤ ‖~x‖+ ‖~y‖ .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 34: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/34.jpg)
NOTA: Si ~x , ~y ∈ Rn son perpendiculares entre sí,
‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2 .
El concepto de ortogonalidad permitecalcular ecuaciones de rectas y planos
Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP = (1,−2) y tiene a ~u = (1,3) como vector director.
Ejercicio 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el puntoP = (1,3,−2) y es perpendicular al vector ~u = (2,−1,4) .
El vector ~u = (a,b, c) es perpendicular al plano de ecuaciónax + by + cz + d = 0 en R3.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 35: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/35.jpg)
NOTA: Si ~x , ~y ∈ Rn son perpendiculares entre sí,
‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2 .
El concepto de ortogonalidad permitecalcular ecuaciones de rectas y planos
Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP = (1,−2) y tiene a ~u = (1,3) como vector director.
Ejercicio 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el puntoP = (1,3,−2) y es perpendicular al vector ~u = (2,−1,4) .
El vector ~u = (a,b, c) es perpendicular al plano de ecuaciónax + by + cz + d = 0 en R3.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 36: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/36.jpg)
NOTA: Si ~x , ~y ∈ Rn son perpendiculares entre sí,
‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2 .
El concepto de ortogonalidad permitecalcular ecuaciones de rectas y planos
Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP = (1,−2) y tiene a ~u = (1,3) como vector director.
Ejercicio 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el puntoP = (1,3,−2) y es perpendicular al vector ~u = (2,−1,4) .
El vector ~u = (a,b, c) es perpendicular al plano de ecuaciónax + by + cz + d = 0 en R3.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 37: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/37.jpg)
NOTA: Si ~x , ~y ∈ Rn son perpendiculares entre sí,
‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2 .
El concepto de ortogonalidad permitecalcular ecuaciones de rectas y planos
Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP = (1,−2) y tiene a ~u = (1,3) como vector director.
Ejercicio 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el puntoP = (1,3,−2) y es perpendicular al vector ~u = (2,−1,4) .
El vector ~u = (a,b, c) es perpendicular al plano de ecuaciónax + by + cz + d = 0 en R3.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 38: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/38.jpg)
NOTA: Si ~x , ~y ∈ Rn son perpendiculares entre sí,
‖~x + ~y‖2 = ‖~x‖2 + ‖~y‖2 .
El concepto de ortogonalidad permitecalcular ecuaciones de rectas y planos
Ejercicio 9. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el puntoP = (1,−2) y tiene a ~u = (1,3) como vector director.
Ejercicio 10. Hallar la ecuación del plano que pasa por el puntoP = (1,3,−2) y es perpendicular al vector ~u = (2,−1,4) .
El vector ~u = (a,b, c) es perpendicular al plano de ecuaciónax + by + cz + d = 0 en R3.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 39: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/39.jpg)
3.2.4. Proyecciones y distancias.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA EN Rn .
La proyección de un punto Q sobre una recta r : P + t~v , t ∈ R ,en Rn , es un punto Q′ ∈ r tal que
−−→QQ′ ⊥ ~v . Entonces,
Q′ = P + t ′~v y además:
0 =<−−→QQ′, ~v >=<
−→QP + t ′~v , ~v >=<
−→QP, ~v > +t ′ < ~v , ~v > .
Despejando t ′ obtenemos, Q′ = P − <−→QP,~v>‖~v‖2 ~v .
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN Rn .
Una vez calculada la proyección del punto Q sbre la recta Rn,la distancia de Q a la recta r es d(Q, r) = ‖QQ′‖ .
Ejercicio 11. Hallar la distancia del punto Q = (1,2,−1) a larecta r de ecuación (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,0,2) , t ∈ R .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 40: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/40.jpg)
3.2.4. Proyecciones y distancias.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA EN Rn .
La proyección de un punto Q sobre una recta r : P + t~v , t ∈ R ,en Rn , es un punto Q′ ∈ r tal que
−−→QQ′ ⊥ ~v . Entonces,
Q′ = P + t ′~v y además:
0 =<−−→QQ′, ~v >=<
−→QP + t ′~v , ~v >=<
−→QP, ~v > +t ′ < ~v , ~v > .
Despejando t ′ obtenemos, Q′ = P − <−→QP,~v>‖~v‖2 ~v .
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN Rn .
Una vez calculada la proyección del punto Q sbre la recta Rn,la distancia de Q a la recta r es d(Q, r) = ‖QQ′‖ .
Ejercicio 11. Hallar la distancia del punto Q = (1,2,−1) a larecta r de ecuación (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,0,2) , t ∈ R .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 41: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/41.jpg)
3.2.4. Proyecciones y distancias.
PROYECCIÓN DE UN PUNTO SOBRE UNA RECTA EN Rn .
La proyección de un punto Q sobre una recta r : P + t~v , t ∈ R ,en Rn , es un punto Q′ ∈ r tal que
−−→QQ′ ⊥ ~v . Entonces,
Q′ = P + t ′~v y además:
0 =<−−→QQ′, ~v >=<
−→QP + t ′~v , ~v >=<
−→QP, ~v > +t ′ < ~v , ~v > .
Despejando t ′ obtenemos, Q′ = P − <−→QP,~v>‖~v‖2 ~v .
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN Rn .
Una vez calculada la proyección del punto Q sbre la recta Rn,la distancia de Q a la recta r es d(Q, r) = ‖QQ′‖ .
Ejercicio 11. Hallar la distancia del punto Q = (1,2,−1) a larecta r de ecuación (x , y , z) = (1,0,1) + t(−1,0,2) , t ∈ R .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 42: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/42.jpg)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN R2 .
Cuando el punto Q = (q1,q2) y la recta r de ecuaciónax + by + c = 0 están en R2 la distancia de Q a r puedecalcularse con la fórmula
d(Q, r) =|aq1 + bq2 + c|√
a2 + b2.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO EN R3 .
Cuando el punto Q = (q1,q2,q3) y el plano π de ecuaciónax + by + cz + d = 0 están en R3 la distancia de Q a r puedecalcularse con la fórmula
d(Q, r) =|aq1 + bq2 + cq3 + d |√
a2 + b2 + c2.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 43: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/43.jpg)
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN R2 .
Cuando el punto Q = (q1,q2) y la recta r de ecuaciónax + by + c = 0 están en R2 la distancia de Q a r puedecalcularse con la fórmula
d(Q, r) =|aq1 + bq2 + c|√
a2 + b2.
DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO EN R3 .
Cuando el punto Q = (q1,q2,q3) y el plano π de ecuaciónax + by + cz + d = 0 están en R3 la distancia de Q a r puedecalcularse con la fórmula
d(Q, r) =|aq1 + bq2 + cq3 + d |√
a2 + b2 + c2.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 44: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/44.jpg)
3.2.5. Algunas áreas y volúmenes.
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN Rn
El área del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b enRn se puede calcular con la fórmula
Área =
√√√√∣∣∣∣∣ < ~a, ~a > < ~a, ~b >< ~a, ~b > < ~b, ~b >
∣∣∣∣∣ =√‖~a‖2 ‖~b‖2 − (< ~a , ~b >)2
Ejercicio 12. Hallar el área del triángulo que tiene comovértices los puntos de intersección del plano de ecuación2x + y + 3z = 6 con los ejes coordenados.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 45: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/45.jpg)
3.2.5. Algunas áreas y volúmenes.
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN Rn
El área del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b enRn se puede calcular con la fórmula
Área =
√√√√∣∣∣∣∣ < ~a, ~a > < ~a, ~b >< ~a, ~b > < ~b, ~b >
∣∣∣∣∣ =√‖~a‖2 ‖~b‖2 − (< ~a , ~b >)2
Ejercicio 12. Hallar el área del triángulo que tiene comovértices los puntos de intersección del plano de ecuación2x + y + 3z = 6 con los ejes coordenados.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 46: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/46.jpg)
La fórmula para el área de un paralegramo se simplificacuando los vectores que lo generan están en R2.
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R2
El área del paralelogramo generado por los vectores~a = (a1,a2) y ~b = (b1,b2) en R2 se puede calcular con lafórmula
Área =
∣∣∣∣det(
a1 b1a2 b2
)∣∣∣∣ .
Para simplificar la fórmula del área de un paralelogramo en R3
necesitamos el producto vectorial.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN R2
El producto vectorial de los vectores ~a = (a1,a2,a3) y~b = (b1,b2,b3) en R3 es otro vector cuyas coordenadas son
~a× ~b =
(∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣) .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 47: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/47.jpg)
La fórmula para el área de un paralegramo se simplificacuando los vectores que lo generan están en R2.
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R2
El área del paralelogramo generado por los vectores~a = (a1,a2) y ~b = (b1,b2) en R2 se puede calcular con lafórmula
Área =
∣∣∣∣det(
a1 b1a2 b2
)∣∣∣∣ .Para simplificar la fórmula del área de un paralelogramo en R3
necesitamos el producto vectorial.
PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES EN R2
El producto vectorial de los vectores ~a = (a1,a2,a3) y~b = (b1,b2,b3) en R3 es otro vector cuyas coordenadas son
~a× ~b =
(∣∣∣∣ a2 a3b2 b3
∣∣∣∣ ,− ∣∣∣∣ a1 a3b1 b3
∣∣∣∣ , ∣∣∣∣ a1 a2b1 b2
∣∣∣∣) .
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 48: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/48.jpg)
Prueba que el producto vectorial ~a× ~b es un vectorperpendicular tanto a ~a como a ~b .
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R3
El área del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b enR3 es
Área = ‖~a× ~b‖ .
D/ Comprobar, con un cálculo sencillo, que
‖~a× ~b‖2 = ‖~a‖2 ‖~b‖2 − (< ~a, ~b >)2 . �
Ejercicio 13. Comprueba que esta fórmula produce el mismoresultado que la usada en el ejercicio 12.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 49: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/49.jpg)
Prueba que el producto vectorial ~a× ~b es un vectorperpendicular tanto a ~a como a ~b .
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R3
El área del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b enR3 es
Área = ‖~a× ~b‖ .
D/ Comprobar, con un cálculo sencillo, que
‖~a× ~b‖2 = ‖~a‖2 ‖~b‖2 − (< ~a, ~b >)2 . �
Ejercicio 13. Comprueba que esta fórmula produce el mismoresultado que la usada en el ejercicio 12.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 50: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/50.jpg)
Prueba que el producto vectorial ~a× ~b es un vectorperpendicular tanto a ~a como a ~b .
ÁREA DE UN PARALELOGRAMO EN R3
El área del paralelogramo generado por los vectores ~a y ~b enR3 es
Área = ‖~a× ~b‖ .
D/ Comprobar, con un cálculo sencillo, que
‖~a× ~b‖2 = ‖~a‖2 ‖~b‖2 − (< ~a, ~b >)2 . �
Ejercicio 13. Comprueba que esta fórmula produce el mismoresultado que la usada en el ejercicio 12.
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 51: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/51.jpg)
VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO EN R3
El volumen del paralelepípedo generado por los vectores~a = (a1,a2,a3), ~b = (a1,b2,b3) y ~c = (c1, c2, c3) en R3 puedecalcularse con la fórmula
Volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ .
Ejercicio 14. Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(2,0,1)
r2 : (x , y , z) = (0,1,1) + s(1,3,−1)
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica
![Page 52: Analítica en el espacio](https://reader038.fdocumento.com/reader038/viewer/2022103003/55c9ff7cbb61eb90358b4741/html5/thumbnails/52.jpg)
VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO EN R3
El volumen del paralelepípedo generado por los vectores~a = (a1,a2,a3), ~b = (a1,b2,b3) y ~c = (c1, c2, c3) en R3 puedecalcularse con la fórmula
Volumen =
∣∣∣∣∣∣det
a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣ .
Ejercicio 14. Hallar la distancia entre las rectas de ecuaciones
r1 : (x , y , z) = (1,0,1) + t(2,0,1)
r2 : (x , y , z) = (0,1,1) + s(1,3,−1)
Eugenio Hernández 3.2. Geometría analítica