UNIVERSIDAD TÉCNICA DEL NORTE

TEMA: SUPERFICIES CUADRATICAS

SUPERFICIES CUADRATICAS

Todos nos preguntaremos cuales son las graficas en el espacio de una ecuación cartesiana de segundo grado en tres variables

Donde los coeficientes son constantes reales y A, B, C, D, E, y F, no son todos cero. Es de esperarse que la grafica de una ecuación tal tenga alguna relación con las secciones cónicas

Se dice que la grafica de una ecuación cartesiana de segundo grado en tres variables es una superficie cuadrática. Estudiaremos las ecuaciones en términos de ejes apropiadamente escogidos y de constantes positivas a, b, y c. Los ejes se elegirán para que no haya términos en xy, xz, o yz en las ecuaciones.

ELIPSOIDE: Las intersecciones con los ejes x, y, z, son respectivamente +-a, +-b, y

+-c. La intersección de esta superficie con cada uno de los planos coordenados es una elipse o una circunferencia.

Si dos de los números a, b o c son iguales, entonces la superficie es un esferoide. Si los tres números son iguales entonces la superficie es una esfera.

HIPERBOLOIDE DE UNA RAMA

La superficie tiene secciones transversales en planos paralelos al plano xy que son elipse, o si a=b, son circunferencias. Las secciones transversales en planos paralelos a los otros planos cartesianos son hipérbolas. Si a=b, se puede pensar que la superficie es generada por la rotación de una hipérbola alrededor d la recta que contiene a su eje conjugado. La expresión ”de una rama” se refiere a que la superficie es conexa, o que es de un solo pedazo. Por lo tanto la hiperboloide de una rama es una superficie doblemente reglada.

HIPERBOLOIDE DE DOS RAMAS

La sección transversal de esta superficie en un plano xy es una elipse, o una circunferencia si Z2 > c2

o un punto si Z2 = c2 y es un conjunto vacio si Z2 <c2 Las secciones transversales en planos paralelos a los otros planos cartesianos son hipérbolas. Si a=b, se puede pensar que la superficie se genera haciendo girar a una hipérbola alrededor de su eje principal. Se dice ”de dos ramas” puesto que la superficie consta de dos conjuntos conexos pero que no se conectan el uno con el otro

PARABOLOIDE ELIPTICO

Para esta superficie una sección transversal en un plano paralelo a, pero encima de, el plano xy es una elipse, o, si a=b, es una circunferencia. La sección transversal en el plano xy es simplemente el origen. Las secciones transversales en planos paralelos a otros dos planos cartesianos son parábolas. Si a=b, se puede pensar que la superficie se genera haciendo girar a una parábola alrededor de su eje.

PARABOLOIDE HIPERBOLICO

Es una superficie en forma de una silla de montar, puesto que se parece a ese objeto en que las secciones transversales que son parábola tienen orientaciones opuestas; la sección sobre el plano yz se abre hacia arriba, y la sección sobre el plano xy se abre hacia abajo.

La traza de esta superficie en el plano xy es un par de rectas que pasan por el origen, ero cualquier otra sección transversal en el plano paralelo al xy es una hipérbola. Si el plano esta por encima del plano xy la sección trasversal es una hipérbola con eje principal paralelo al y. Y si esta por debajo su eje principal es paralelo al eje x.

EJEMPLO:

SOLUCIÓN

Hallar la ecuación de la esfera con su centro en el punto (-2,1-3) y de radio 4.

Sustituyendo en

Sustituyendo en:

Desarrollando y reduciendo términos ,

Hallar las coordenadas del centro y el radio de la esfera

15

Sumando y restando términos para que la ecuación adopte la forma:

Resulta: +9

Quedaría: El centro de la esfera es el

(3,-2, ) y su radio

Hallar la naturaleza de la cuadrática cuya ecuación es:

13

13+11=24

Se trata de un hiperboloide de una hoja con centro en el punto (-1,2,2) .