ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU · 2020-05-14 · 0 i (analiza kauzalnih signala i sistema) ft...
Transcript of ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU · 2020-05-14 · 0 i (analiza kauzalnih signala i sistema) ft...
ANALIZA SISTEMA U KOMPLEKSNOM DOMENU
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (LT)
LT je moćan alat za analizu i sintezu linearnih stacionarnih sistema.
Vrste LT: dvostrana i jednostrana
DVOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Dvostrana LT = granice su i (obrada signala, telekomunikacije, elektroenergetski sistemi)
Jednostrana LT = granice su 0 i (analiza kauzalnih signala i sistema)
f t original
s j kompleksna promenljiva
F s kompleksni lik
Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće kauzalne funkcije (funkcije koja traje za pozitivno vreme):
( ) ( )atf t e h t
t
1
t
1
0!!!!!
( ) ( )
)
0
(
0
00
1( ) ( ) ( )
1
t
at at st a s t a j t
t
t
t
j
t
a
t
t
F s e h t e h t e dt e dt ea s
e ea j
L
Ako je 0a onda je ( ) 0ae ,
( )0 1ae
01 1
( ) 11
F sa j a j s a
, 0a
Ako je 0a onda je ( )ae ,
( )0 1ae
11
( )F sa j
nedefinisano!!!
Oblast konvergencije LT: Re0a s aa
LAPLASOVA TRANSFORMACIJA TIPIČNIH FUNKCIJA 1. Jedinična impulsna funkcija
0( ) ( ) ( ) ( ) 1,( ) sts t e dt t e dt t dt st
L
( ) ( ) ,1t s s
( ) ( ) ,st st s
tt t e dt e e s
( ) ,st e s
2. Jedinična odskočna funkcija
0 0
( ) ( ) , R1
( e 0)st
st st
s
eH s h t e dt eh t
sdt s
s
L
( ) ( ) 1 , Re 0/h H s st s
3. Jedinična nagibna funkcija
0 00
2 2
0 0
0 0
0 0
2
0, 0 0
2
, 0
22
( ) ( )
0 0
( )
1R
10 0 , e
tst st
st st
t
t t
t tst st t j t t j t
t t
t t
t t
te eR s th t e dt te dt dt
s s
te e t e e e e
s s s s
e e e e
s s
t
s
r
ss ss
L
0
2( ) ( ) 1 , Re 0/r t R s ss
4. Eksponencijalna funkcija (videti prethodni primer)
( )
0
1, R( e) at st s a tat e e dt ee h t
s adt s a
L
5. Sinusna (kosinusna) funkcija
0 0
0 0
0 0
0
0
0
0 0
0 0
2 2
0
( ) cos ( ) cos ( )
cos
1
2
1 1
2 2
1 1 1
2
, Re 0
st
st
j t j t st
s j t s j t
F s t h t t h t e dt
t e dt
e e e dt
e dt e dt
s j s j
ss
s
L
0 0
0
1cos
2
j t j tt e e
( )f t ( ) ( )f tF s h t L Oblast konvergencije
( )t 1 s
( )h t 1
s Re 0s
( )r t 2
1
s Re 0s
ate
1
s a Re s a
0cos( )t 2 2
0
s
s Re 0s
DIJAGRAM NULA I POLOVA KOMPLEKSNOG LIKA LT
Za većinu realnih kontinualnih funkcija ( )f t , njihovi kompleksni likovi ( )F s mogu se
predstavi u sledećoj formi:
1 0
1 0
(s)( )
( )
m
m m
n
n n
B b s b s bF s
A s a s a s a
Nule kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )mB s :
1 00 0 , 1,) 2,. ,( m
m m ib s b s b s z i mB s
Polovi kompleksnog lika LT su koreni polinoma ( )nA s
1 00 0 , 1,) 2,. ,( n
n n ia s a s a s p i nA s
Napomena. Ukoliko su koreni polinoma kompleksni oni se javljaju u parovima sa
jednakim realnim delovima (,i jz a jb ili
,i jp a jb )
( )mB s , ( )nA s - polinomi kompleksne
promenljive s ,
n, m - su redovi polinoma
Vrednost funkcije u nuli ( )iF z :
Neka je , ( ) 0, ( ) 0i j n i m iz p A z B p . Tada važi:
( ) 0( ) 0
( ) ( )
m ii
n i n i
B zF z
A z A z , Nule se mogu nalaziti u oblast konvergencije LT
Vrednost funkcije u polu ( )iF p :
( ) ( )( )
( ) 0
m i m ii
n i
B p B pF p
A p , Polovi leže van oblasti konvergencije LT
Faktorizovani zapis
1 0 1 1
1 0
1 1
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( )
m
n
i
m m
m
m m i i
n nn
m n
i
i
i
i
iz zs sB s b s b s b
p
F sA s a s a s a
b
s s p
Ka
Primer: 2
2 8 2( 4) ( 4)( ) 2
8 12 2 6 2 6
s s sF s
s s s s s s
Dijagram nula i polova
S-ravan je ravan koju određuju realni i imaginarni deo kompleksne promenljive.
Dijagram nula i polova kompleksnog lika dobija se ucrtavanjem nula i polova u s-ravni pomoću simbola "o" i "x".
Leva poluravan s-ravni
Desna poluravan s-ravni
Imaginarna osa - granica između poluravni
„leva poluravan“
„desna poluravan“
x
x
x x
Primer. Odrediti Laplasovu transformaciju sledeće funkcije i nacrtati njene nule i polove
2 5t te h tf t e h t
Rešenje.
2 6( )
1 1,
2Re 2 Re
66
t tf t e h t e h t
s ss s
L L L
1
2
(s)2 8( ) ,
2 6Re max 2, 6
( )2
BsF s
s s A ss
nula: 1
1
(s) 2 8
4
0B s
z
polovi: 2
1 22 6
( ) ( ) 2 6 0
,
X s A s s s
p p
-2
-6
x x
Oblast konverg. LT
JEDNOSTRANA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA
Jednostrana Laplasova transformacija
(donja granica je 0t )
1
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
L
Napomena. Donja granica 0t omogućava da se obuhvate i uzmu u obzir početni uslovi funkcija.
Napomena. Ako funkcija ( )f t ne sadrži impulsnu funkciju
( )t u početnom trenutku, onda se donja granica 0t ,
može zameniti sa 0t ili 0t .
1
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
L
t
t
t
OSOBINE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Redni broj
f t , 0t F s
1. ( )af t ( )aF s
2. 1 2 3( ) ( ) ( ) ...f t f t f t 1 2 3( ) ( ) ( ) ...F s F s F s
3. ( )df t
dt 0 )( ()s fF s
Napomena. Uokvireni član ne postoji kod dvostrane LT.
4. 2
2
( )d f t
dt
2 )( )(0 )
(0sd
Ff
f sdt
s
5. ( )n
n
d f t
dt
1
11
(( )
0 )knn k
k
n
ks s
d fsF
dt
6. 0 0
( )
t t
nf t dt ( )n
F s
s, 0,1,2,...n
7. ( ) atf t e ( )F s a
8. ( )f t a ( )ase F s
9. ( )nt f t ( )
( 1)n
n
n
d F s
ds
10. 1 2 1 2
0
( ) ( )
t
f f f f t d 1 2( ) ( )F s F s Konvolucija funkcija 1f i 2f .
11. lim ( )t
f t
0
lim ( )s
sF s
Ograničenje: funkcija ( )sF s ne
sme imati polove u desnoj poluravni i na imaginarnoj osi.
12. 0
lim ( )t
f t
lim ( )s
sF s
Nema ograničenja u primeni.
TABILCA LAPLASOVE TRANSFORMACIJE
Redni broj
f t , 0t F s
1. ( )t 1
2. ( )h t 1
s
3. ( )h t , zakašnjanjena ( )h t 1 ses
4. ( ) ( )s t th t 2
1
s
5. 1
( 1)!
nt
n
, n je prirodan broj
1ns
6. ( ) ( )h t h t , pravougaoni impuls 1
(1 )se ss
7. ate , eksponencijalna funkcija 1
s a
8. 1
(1 )atea
1
( )s s a
9. atte 2
1
( )s a
10. 1
( 1)!
n att e
n
, n je prirodan broj
1
( )ns a
11. sin t 2 2s
12. cos t 2 2
s
s
13. 2
1(1 cos )t
2 2
1
( )s s
14. sinate t 2 2( )s a
15. cosate t 2 2( )
s a
s a
INVERZNA LAPLASOVA TRANSFORMACIJA (ILT)
( ) ( )f t F s direktna Laplasova transformacija
0
( ) ( ) ( ) stF s f t f t e dt
L
( ) ( )F s f t inverzna Laplasova transformacija
-1 1( ) ( ) ( )
2
j
st
j
f t F s F s e dsj
L
Zahteva integraciju kompleksne funkcije.
ILT se teško određuje na osnovu definicije.
METODE ZA IZRAČUNAVANJE INVERZNE JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJA
Za praktično određivanje inverzne Laplasove transformacija koristimo METODU RAZVOJA KOMPLEKSNOG LIKA FUNKCIJE NA PARCIJALNE RAZLOMKE.
Ova metoda može se primeniti samo kod signala čiji je kompleksni lik striktno racionalna funkcija, tj. predstavlja količnik dva polinoma sa realnim koeficijentima:
1 0 1
1 0
1
( )( )
( )( )
( )
m
m
m i
nn
n
i
i
isb
Ks b s bB s
F sA s a s a s a
s p
z
i to takva da je red polinoma u brojiocu striktno manji od reda polinoma u
imeniocu, m n .
U slučaju kada je m n potrebno je najpre podeliti polinome u brojiocu i
imeniocu.
Pri tome se dobija konstanta i ostatak deljenja, koji kada se podeli imeniocem, daje količnik u obliku striktne racionalne funkcije.
Za ovako dobijeni količnik se potom primenjuje metoda razvoja kompleksnog lika.
Nadalje pretpostavljamo da je kompleksni lik ( )F s striktno racionalna funkcija.
Razlikujemo četiri karakteristična slučaja:
1. Svi polovi ( )F s su realni i prosti
2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, dok su ostali realni i prosti
3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne polove
4. Funkcija ( )F s ima višestruke konjugovano kompleksne polove (ne radi se).
1. Svi polovi funkcije ( )F s su realni i prosti
Pretpostavka: 1 0 1
n
n na s a s a s p s p
Razvoj funkcije
1 0 1
1 1
( )( )
( )
m
m n
n n
b s b s b KKB sF s
A s s p s p s p s p
Koeficijenti
( )
, 1,2, ,( )
i
i i
s p
B sK s p i n
A s
Inverzija
-1
1
( ) ( ) i
np t
i
i
F s f t K e
L
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
23 4 7( )
1 5 8
s sF s
s s s
realni i prosti polovi: 1 2 31, 5, 8p p p
Rešenje: 31 2( )1 5 8
KK KF s
s s s
2
1 1
1
3 4 7 31 ( )
5 8 14s
s
s sK s F s
s s
2
2 5
5
3 4 7 315 ( )
1 8 6s
s
s sK s F s
s s
2
3 8
8
3 4 7 1678 ( )
1 5 21s
s
s sK s F s
s s
5 83 31 167( )
14 6 21
t t tf t e e e
2. Postoje konjugovano kompleksni polovi, dok su ostali realni i prosti
Pretpostavka:
*
1 0 1 1 3
n
n n
konjugovani
a s a s a s p s p s p s p
1p j , *
2 1p p j konjugovano kompleksni polovi,
43 , , ..., npp p su realni i prosti
I NAČIN (preko sinusa i kosinusa)
Razvoj funkcije
1 0
*
1 1 3
3
3
*
1 1
*
3
1
3
1
( )( )
( )
m
m
n
n
n
n
n
b s b s bB sF
K K
s p s p
a
sA s s p s p
Kjb a jb
s j s
s p s p
K K
s p s p
K
pj s s p
1
*
2 1
1
*
2 1
,
,
,
p j
p p j
K a jb
K K a jb
Koeficijenti 1
1 1 2 1
),
(
( )s p
a b a bB s
K s p j K K jA s
,
( )
, 3,4, ,( )
i
i i
s p
B sK s p i n
A s
Kompleksna funkcija
2 2
3 3
2 2( )
n ni i
i ii i
a s bK Ka jb a jbF s
s j s j s s s ss
2 22 2
3
( ) 2 2n
i
i i
s KF s a b
s ss s
Inverzija:
-1
3
( ) ( ) 2 cos 2 sin i
ns tt t
i
i
F s f t e t e eb t Ka
L
II NAČIN (preko jednog kosinusa)
*
1
*
1
3
3
1
1
( )( )
( )
n
n
K KB sF
K K
s pp ss
A s sp s p
*1 1 1 1 1
1 1
1
* -1 *
1 1 1 1 1
arg (arg )( )
1 1
(arg )
1
1 1
*
1 1
*
1 1
2Re
2Re 2Re
2 Re
2 cos arg
p t p t p t p t p t
j K j K tj t t
j K tt
t
K e K e K e K e K e
K e
e
K K
s p
e K e e
K e
K e K
s
t
p
L
2 2
1 1, arg argb
K a jb a b K a jb arctga
Inverzija:
-1
1 1
3
( ) 2 cos arg i
ns tt
i
i
F s K e t K K e
L
* 2Re{ }z z z
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
2
3 7)
32 32(
s sF
ss
ss
Rešenje:
2
2
1,3 32 2 1 10s j jss ps ,
3 3p , 4 3p
* 31 41
31 1 4( )( ) ( ) ( 3) ( 3 )1 1
pp pp
KK K KF
sjs
s s sj
, *
2 1K K
1
1
3 7( 1 )
( 1 ) ( 1 ) 3 3
19 42
1
19 42
17 70 1700
s j
sK s j
s j s j s s
jj a jb
19
170
42
170
a
b
1
1
2 1
19 42
170 170K K a jb j
3 3 2
3
3 7 13 ( )
152 2 3s
s
sK s F s
s s s
4 3 2
3
3 7 83 ( )
512 2 3s
s
sK s F s
s s s
I način
4
3
3 3
3
1 1
3
( ) 2 cos 2 sin
1 82 cos 2 sin
15 51
19 42 1 8c
1
o
19 42
170 7
s sin85 85 15 51
01 1
is tt t
i
i
t t t t
t t t t
f t e t e t K ea b
e t e t e e
e t e t e e
II način:
4
-1
1 1
3
( ) 2 cos arg is tt
i
i
F s K e t K K e
L
2 2
1 1, arg argb
K a jb a b K a jb arctga
1, 1 , 0
,19 42
170 17a b ,
2 2
1
19 42
170 170K
1
19
19 19170arg arg42 42 42
170
K a jb arctg arctg arctg
2 2
-1 3 319 42 19 1 8( ) ( ) 2 cos
170 170 42 15 51
t t tf t F s e t arctg e e
L
3. Funkcija ( )F s ima višestruke realne korene
Pretpostavka: 3
1 10 4n n
n sa s ps a a sp ps
1 2 3p p p - realan pol višestrukosti 3
4p , … , np - realni i jednostruki polovi
Razvoj funkcije
1
1
1311 12
3 2
11
0
4
1
3
4
4
( )
n
n
n
m
m
s p ss p
KK K
s ps p s p
p
KK
s p s p
b s b s bF s
Pravilo: 1
-1 1{ }
( ) ( 1)!
n at
n
t e
s a n
L
1 1 1
11 12 13
4
21( )
2i
np tp t p t p t
i
i
f t K e K e K e K et t
Koeficijenti (za višestrukost 3)
1
11 1
31 ( )
0! ( )s p
B sK s p
A s
,
1
12 1
31 ( )
1! ( )s p
d B sK s p
ds A s
1
2
1 1
3
3 2
1 ( )
2! ( )s p
d B sK s p
ds A s
Opšta formula (za višestrukost )
1
1
1 ( ), 1,2, ,
1 ! ( )i
j
ij ij
s p
d B sK s p j
j ds A s
Inverzija
1 1 1
11 12 13
4
21( )
2i
np tp t p t p t
i
i
f t K e K e K e K et t
Primer. Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:
3
4 9( )
2 3
sF s
s s
Rešenje:
1311 12 4
3 2( )
2 32 2
KK K KF s
s ss s
3
112
2
4 92 ( ) 1
3ss
sK s F s
s
3
12 2
22
32 ( ) 3
3ss
dK s F s
ds s
2
3
13 2
2
12 ( ) 3
2s
dK s F s
ds
4 33
3
4 93 ( ) 3
2s
s
sK s F s
s
3 2
1 3 3 3( )
2 32 2F s
s ss s
2 2 2 2 31( ) 3 3 3
2
t t t tf t t e te e e
PRIMENA JEDNOSTRANE LAPLASOVE TRANSFORMACIJE NA REŠAVANJE LINEARNIH DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA SA KONSTANTNIM KOEFICIJENTIMA
Odrediti opšte rešenje diferencijalne jednačine
0 0
( ) ( )k kn m
k kk kk k
d y t d u ta b
dt dt
Rešenje: Primenjujemo jednostranu Laplasovu transformaciju.
0 0
( ) ( )/
k kn m
k kk kk k
d y t d u ta b
dt dt
L
Pravilo:
1 2 (1) ( 2) ( 1)(0 ) (0( ) (0 ) (0 )(
))k
k
k kk k kd f ts f s f sfs F
ts f
d
Dobija se algebarska jednačina
(n 1)POLINOM KOJI ZAVISI OD POČETNIH
USLOVA (0 )
1
0
(
0
, , 0 )
( ) ( ) ( )n m
k k
k n k
k k
f f
a s Y s R s b s U s
1
0 0
( (( )) )n m
k k
nk k
k k
UY s a s b s ss R
0
00
0 0
1( ) ( ) ( )( )( )
P
mk
k
kPn n
k k
k k
k k
Y Y
b s
Y Rs Y s Y s
a s s
sU s
a
0( ) ( ) ( )PY s Y s Y s
1
0 0( ) ( )P Py t Y s Y s y t y t L
( )PY s - rešenje usled pobude
0 ( )Y s - rešenje usled početnih
uslova
OPŠTI POSTUPAK ODREĐIVANJA ODZIVA SISTEMA PRIMENOM LT
Diferencijalna jednačina
ODZIV y(t)
Algebarska jednačina
Rešenje Y(s)
Primer. Odrediti odziv sistema
2
2
( ) ( )7 12 ( ) ( ), (0) 2, (0) 4
d y t dy ty t u t y y
dt dt
( ) 2 ( )tu t e h t
Rešenje.
( ) 7 ( ) 12 ( ) 2 ( ) /ty t y t y t e h t L
2 2 1( ) (0 ) (0 ) 7 ( ) (0 ) 12 ( )
1s Y s sy y sY s y Y s
s s
2 3 2
( ) 7 ( ) 12 ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )1
ss Y s sY s Y s sy y y
s s
1
2
( )
3 27 12) ( ) (0 ) 7 (0 ) (0 )
1R s
ss s Y s sy y y
s s
2 2
ODZIVUSLED POBUDE ODZIV USLED POČETNIH USL A
0
OV
3 2( )
2 10( )
3 2
1 2 7 2 4( )
7
1 3 34
1 1
4
2 7 2
P
sY s
s
s s sY s
sY s
s s s
s s
s
s s
ss
Ukupni odziv:
0
3 22 12 13 2( )( )
1 3 4( )P
B ss s sY s
s s s s A sY sY s
1 2 3 40 0, 1, 3, 4,B s p p p p
( )1 3 4
A B C DY s
s s s s
3 2
0
2 12 13 2 1
1 3 4 6s
s s sA s
s s s s
3 2
1
2 12 13 2 11
1 3 4 6s
s s sB s
s s s s
3 2
3
2 12 13 2 173
1 3 4 6s
s s sC s
s s s s
3 2
4
2 12 13 2 74
1 3 4 6s
s s sD s
s s s s
3 41( ) 1 17 7 ( )
6
t t ty t e e e h t
FUNKCIJA PRENOSA LINEARNIH STACIONARNIH SISTEMA
DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO IMPULSNOG ODZIVA SISTEMA
( )( ) ( )( ) ( )g t g tu uy d tt
/ L
( ) (( ) ( ) )() ) ( )( Uu g tt u G sy g t tt s L LL L
( ) ( ) ( )Y s G s U s
( )G s - Laplasova transformacija jediničnog impulsnog odziva sistema.
Lineran, kontinualan, stacionarn SISO sistem sa impulsnim odzivom ( )g t
Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao Laplasov lik impulsnog odziva ( )g t sistema
( ) ( ) stG s g t e dt
Ukoliko je sistem kauzalan onda se prethodna definicija funkcije prenosa može zameniti sa
0
( ) ( ) stG s g t e dt
Funkcija prenosa predstavlja model sistema u kompleksnom domenu.
Poznajući funkciju prenosa možemo jednostavno odrediti odziv sistema na proizvoljnu pobudu:
( ) ( ) ( )Y s G s U s
DEFINICIJA FUNKCIJE PRENOSA PREKO ULAZNO-IZLAZNIH VELIČINA SISTEMA
Primenom LT na diferencijalnu jednačinu sistema sa nultim početnim uslovima:
-1
-1 1 0-1
-1
-1 0
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
n n
nn n
m m
m mm
d y t d y t dy ta a a y t
dt dt dt
d u t d u tb b b u t
dt dt
/ L
dobija se algebarska jednačina:
1 1
1 1 0 1 1 0( ) ( )n n m m
n m ms a s a s a Y s b s b s b s b U s
Definišimo loličnik:
1
1 1 0
1
1 1 0
( ),
( )
m m
m m
n n
n
b s b s b s bY sG s n m
U s s a s a s a
Definicija. Funkcija prenosa linearnog, stacionarnog sistema definiše se kao odnos Laplasove transformacije izlazne i ulazne veličine, uz pretpostavku da su svi početni uslovi jednaki nuli.
KARAKTERISTIČNI POLINOM SISTEMA. RED SISTEMA
Funkcija prenosa sistema:
1
1 1 0
1
1 1 0
( )
( )
m m
m m m
n n
n n
b s b s b s b B sG s
s a s a s a A s
Karakteristični polinom sistema:
1
1 1 0
0
( ) ( ) , 1n
n n k
n n k n
k
f s A s s a s a s a a s a
Red sistema = n
NULE I POLOVI FUNKCIJE PRENOSA
1
1 1 0 0 1
1
1 1 0
0 1
( )
( )
( )
mms
m m k
m m k i
n nn nsn
ik
k i
isb sb s b s b s b
G ss a s a s a
pa s s
K
z
K - faktor pojačanja sistema
is z i is p - faktori polinoma u brojiocu i imeniocu funkcije prenosa
Nule prenosne funkcije ( iz ) odgovaraju korenima polinoma u brojiocu funkcije
prenosa.
1
1 1 0
0 1
( ) 0mm
m m s
m m k
k i
ib s b s b s b b s s z
Polovi funkcije prenosa ( ip ) odgovaraju korenima polinoma u imeniocu funkcije
prenosa.
1
1 1 0
0 1
( )i
nnn n s
n k
k i
s a s a s a a s ps
UTICAJ SKRAĆIVANJA NULA I POLOVA SISTEMA NA NJEGOVO PONAŠANJE
Skraćivanje parova jednakih nula i polova je moguće ukoliko su oni locirani u levoj poluravni s-ravni.
Primer.
15 ( 10)( )
sG s
( 1) ( 10)s s 1
15( )
( 1)( 20)( 20)G s
s ss
- Nakon izvršenog skraćivanja nule i pola, broj polova redukovanog modela sistema
1( )G s je umanjen za 1 u odnosu na originalnog modela sistema ( )G s .
- Red modela redukovanog sistema 1( )G s je smanjen za 1 (smanjuje se i broj početnih
uslova redukovanog modela).
- Odziv originalnog i redukovanog sistema na istu pobudu je isti.
- Međutim, odzive usled početnih uslova nema smisla porediti, pošto početni uslovi originalnog i redukovanog sistema više nisu isti.
PREDSTAVLJANJE POLOVA U KOMPLEKSNOJ RAVNI
Par konjugovano kompleksnih korena:
1,2
j
np j e ,
2 2
1,2
1,2arg ( / )
np
p arctg
1,2
1
jj
n n
j j j
n n
p e e
e e e
identitet: cos( ) sin( )je j
1,2 cos( ) sin( )
cos sin
n
n n
p j
j
smena: cos
2
1,2 1n np j
X
X
„s-ravan“
Položaja polova (X) u kompleksnoj ravni u zavisnosti od za konstantno n
X
X
X
X X
X
X
X X X X X
Smer porasta
Smer porasta
Smer opadanja X
X
X
X
X
X
X X
X
X
Smer opadanja
X
X
X
X
X
X X X X X X X
za 0 ( / 2 ) polovi su levo od Im-ose za 0 ( / 2 ) - polovi su desno od Im –ose
za 0 ( 0 ) polovi se nalaze na Im-osi
FUNKCIJE PRENOSA NEKIH SISTEMA Čisto transportno kašnjenje
( ) ( ) ( ) ( ) ,( )s sy t u t Y s U s G s see
Diferencijator
( )( ) ( ) ( ) ( ,)
dy ty t Y s sU G ss s
dts
m > n ne može se fizički realizovati !
( )1
sG s
Ts
realni diferencijator n = m
Integrator
1
( ) ( ) ( ) ( ) , Re 01
( )
t
y t u t dt GY s Us
ss
s s
ULOGA PRENOSNE FUNKCIJE U ODREĐIVANJU ODZIVA SISTEMA
1. Odrediti Laplasov lik ulaznog signala
( )U s u t L
2. Odrediti odziv sistema u obliku
Y s G s U s
3. Naći inverznu Laplasovu transformaciju
1 1( ) ( ) ( ) ( )y t Y s G s U s L L
POVEZIVANJE SISTEMA
ELEMENTARNE TRANSFORMACIJE BLOKOVA
1. Paralelna veza dva sistema
1 1
1 2
1 2 1
( )
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ) )(
U U G s
Y Y
Y S G s U s G G ss U s U sG s
2. Redna veza dva sistema
1
2
2
12 1
( )
2( ) ( ) ( ) ( ) (( ) ( ))
U G s
U
Y Y
Y S G s G s U s U sG s G s
( )y t
3. Povratna sprega
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( )
( )
1 ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
G s
E s R s H s Y s
Y S G s E s G s R s G s H s Y s
Y S
G s
G s H s
G s H s G s R s
Y s R s
Funkcija spregnutog prenosa
( )
( )1 ( ) ( )
S
G sW s
G s H s
Funkcija povratnog prenosa
( ) ( )W s G s H s
PRAVILA ALGEBRE FUNKCIJA PRENOSA
Redna veza
Paralelna veza
Povratna
sprega
Premeštanje
bloka H iz
povratne
grane
Premeštanje
bloka H iz
direktne
grane
Premeštanje
tačke
račvanja
ispred
bloka G1
Premeštanje
tačke
račvanja
iza
bloka G2
Premeštanje
diskrimina-tora
ispred bloka
G1
Premeštanje
diskrimina-tora
iza bloka G2
Primer. Odrediti funkciju prenosa sistema sa slike:
a) primenom algebre blok dijagrama,
b) analitički
Rešenje. a) Čvor između blokova G3 i G4 može se premestiti iza bloka G4
Funkcija prenosa sistema iznosi
1 2 3 4
3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3
( )( )
( ) 1
G G G GY sG s
U s G G H G G H G G G G H
b) Analitički
4 3 2 1 3 2 4 1
1 2 3 4 3 2 3 4
( ) /Y s G G G G U H Y H Y G H Y
G G G G U H Y G G G
2
4
YH
G3 4 1
1 2 3 4 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 1
G G H Y
G G G G U G G G G H Y G G H Y G G H Y
3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3
1 2 3 4
( ) 1Y s G G H G G H G G G G H
G G G G U
1 2 3 4
3 4 1 2 3 2 1 2 3 4 3
( )( )
( )
1
Y sG s
U s
G G G G
G G H G G H G G G G H
FUNKCIJA PRENOSA MULTIVARIJABILNIH SISTEMA
Posmatra se linearan, stacionaran sistem sa r ulaza i m izlaza, prikazan na slici
Sistem je linearan teorema superpozicije
1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ir rY s G s U s G s U s G s U s
0,
( )( )
( )
iij
j U k jk
Y sG s
U s
1 11 1 1
1
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
r
m m mr r
Y s G s G s U s
Y s G s G s U s
( ) ( ) ( )Y s G s U s
Matrica G s - matrica funkcija prenosa multivarijabilnog sistema
dim G s r p
broj vrsta G s = broj izlaza sistema
broj kolona G s = broj ulaza sistema
Primer. Odrediti matricu funkcija prenosa multivarijabilnog sistema prikazanog na slici pomoću: a) algebre blok dijagrama, b) analitički.
a) Algebra blok dijagrama
Prema definiciji matrica funkcija prenosa će biti u obliku
1
1 11 12
2
( )( ) ( ) ( )
( )
U sY s W s W s
U s
,
0,
( )( )
( )
iij
j U k jk
Y sW s
U s
11 3 411
21 2 3 4 1 2 3 4
( )( ) ( ) ( )( )
( )1 1
U sG s G s G sG sY
U sG G G G G G G G
2
1
111
1
112
2
0
0
( )( )
( )
( )( )
( )
U
U
Y sW s
U s
Y sW s
U s
b) Analitički
1 1 1 3 Y G U G X
4 2 2 1 X G U G Y - pomoćni signal
1 1 1 3 4 2 2 1Y G U G G U G Y
1 1 1 1 3 4 2 1 2 3 4 1Y GU G G G U G G G G Y
1 1 2 3 4 1 1 1 3 4 21Y G G G G GU G G G U
1 3 411 1 2 11 1 12 2
1 2 3 4 1 2 3 41 1
G G GGY U U W U W U
G G G G G G G G
ZAVISNOST ODZIVA SISTEMA OD RASPOREDA POLOVA I NULA SISTEMA
SISTEMA II REDA BEZ KONAČNIH NULA
Funkcija prenosa sistema II reda:
2
2 2( )
2 n
n
n
G ss s
Polovi funkcije prenosa:
2
1,2 1n np j
Nule funkcije prenosa:
ne postoje
X
X
Odskočni odziv sistema II reda sa konjugovano kompleksnim polovima:
-1 2
2
1( ) ( ) 1 sin 1 ( ), cos
1
nt
n
es t G s h t
s
L
UTICAJ NULE NA ODSKOČNI ODZIV SISTEMA
Sistemu drugog reda dodajemo jednu nulu –z:
2
2
2( ) ( ) ( )(
1)
2
n
n
z
n
Gs z
Gss s
ss z
sz
sz z
G G s
1 1 11 1 1( ) ( ) ( ) () )
1(
1z z
ds
zG s G s s ts t G
s st
s z ds
t
L L L
dodavanje nule ( ) ( ) ( )1
( )Z
zsd
t s ts sd
tt
tz
1. Uticaj izvoda /d dt
( ) / 0ds t dt )( ) (zs st t
2. Uticaj nule z :
1
zz
)( ) (zs st t
Uticaj nule je zanemarljiv u stacionarnom stanju!
Nula utiče na rad sistema samo u prelaznom režim tako što:
- ubrzava rad sistema, - povećava njegov preskok.
Uticaj nule postaje manji ukoliko je ona
udaljenija od imaginarne ose.
Uticaj nule bliske imaginarnoj osi se ne može zanemariti
Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi tri različita sistema, bez nule i sa konačnim nulama 1, 5z z .
2
4( )
2 4W s
s s
,
2
14( )
2 4W s
s
s
s
,
2
0.8( )
2 4
5W
ss
s s
Bez nule
Sa nulom
Sa nulom
-1 -5
Odskočni odziv sistema
vreme
Dodatna nula:
1. ubrzava odziv sistema
2. povećava preskok
SISTEM NEMINIMALNE FAZE
To su sistemi koji imaju nulu u desnoj poluravni s-ravni.
Posledica: javlja se PODBAČAJ u odskočnom odzivu. Primer. Na slici su prikazani odskočni odzivi sistema funkcije prenosa:
2
4 1( )
2 4
sG s
s s
1 0z (leva poluravan)
i sistem neminimalne faze funkcije prenosa:
2
4 1( )
2 4
sG s
s s
1 0z (desna poluravan)
Sistem neminimalne faze (podbačaj)
Odskočni odziv sistema
vreme
UTICAJ POLA NA ODSKOČNI ODZIV SISTEMA
Sistemu drugog reda dodajemo jedan –p:
1 2
4( )
2 4G s
s s
2 2
4( )
2( ) 4s ps
s s
pG
.
Odskočni odzivi ovih sistema:
1 1 2 2
1 4 1 2( ) ( )
( 2 4) 2 4
sS s G s
s s s s s s s
2 2 22
1 4 1( ) ( )
2 4s 2( ) 4
As BS s G s
s s s ss s ps s
p C
p
2 2
2 22
2 2, ,
2 4 2 4
4
2 4
p p pC
p pA B
p p p p
Kada p
2
2
21
2 4p
p pA
p p
2
2
22
2 4p
pB
p p
2
40
2 4p
Cp p
2 12
1 2( ) ( )
2 4
0sS s S s
s s s s p
1 2
1 2( )
2 4
sS s
s s s
Uticaj polova koji su jako udaljeni od imaginarne ose na ponašanje sistema se može zanemariti.
Pol blizak imaginarnoj osi značajno utiče na ponašanje sistema.
Primer.
1 2
2 25
( )
4( )
2 4
4( ) , 1,
2 4
G
p
s
s
s s
G s ps s
p
Sa dodatnim polom -1
Sa dodatnim polom -5
Bez dodatnog pola
-1 -5
Odskočni odziv sistema
vreme
Dodatni pol:
1. usporava odziv sistema,
2. smanjuje vrednost preskoka.
UTICAJ POLOŽAJA POLOVA SISTEMA II REDA NA NJEGOV IMPULSNI ODZIV Impulsni odziv sistema II reda
2
2
2
-1 -1 2
2 2 2 2
2
2
11
( ) sin 12 ( ) (1 ) 1
nn
t
n
n
n n
n
n
n
n
eg t t
s s s
L L
IMPULSNI ODZIVI ( )g t SISTEMA II REDA ZA RAZLIČITE POLOŽAJE POLOVA SISTEMA
Oscilacije sa
rastućim amplitudama
X X X X
X X X X
X X X X
Oscilacije sa opadajućim
amplitudama
Aperiodični opadajući odziv
Aperiodični rastući odziv
Konstantni odziv
Oscilacije sa konstantnim amplitudama
21n
POLOVI I NULE ČIJI SE UTICAJ NA PRELAZNI PROCES MOŽE ZANEMARITI
Dominantni polovi - par konjugovano kompleksnih polova *,d ds s koji su najbliži
imaginarnoj osi u s-ravni sa realnim delom:
Re d ds
Polovi koji se mogu zanemariti – polovi is sa velikom negativnim realnim delom
koji je bar 6 puta veći po modulu od realnog dela dominantnih polova d :
Re 6i ds
Dominantni polovi
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Polovi koji se mogu zanemariti
Dipol – Predstavlja jedan par koga čine pol i nula čije su vrednosti jednake.
- Uticaj dipola na odziv je neznatan ukoliko se oni nalaze u levoj poluravni s-ravni.
- Dipoli u funkciji prenosa se mogu „skratiti“ samo ako se nalaze u levoj poluravni.
- Pol i nula sa približno jednakim vrednostima mogu se smatrati približnim dipolom.
X X
Dipol: skraćivanje pola i nule
X
Približni dipol: približno skraćivanje pola i nule
X X
X
Primer.
214
(2
)4
s sG s
,
1,2 1 3p j , (0) 1G
2
418( )
4G s
s
4.5s 12
)2 4
(s
G ss
1,2 1 3p j , 3 4.5p , 1 4z , (0) 1G
2
3
38( )
10
04 1G
ss
s
2 4 9.5s s 1
2)
2 4(
sG s
s
(0) 1G
*
*
o
*
Približno skraćivanje pola i nule
Odskočni odziv sistema za G1, G2 i G3
vreme
Napomena. Skraćivanje pola i nule može se izvesti samo ukoliko su prethodno ispunjeni sledeći uslovi:
1. Skraćeni pol mora biti lociran u levoj poluravni.
2. Za određivanje odziva usled pobude sasvim je svejedno da li je izvršeno skraćivanje pola i nule u funkciji prenosa.
3. Za određivanje odziva usled početnih uslova treba koristiti „neskraćenu“ funkciju prenosa iz koje se može rekonstruisati diferencijalna jednačina na osnovu koje se može odrediti odziv usled početnih uslova.
PREDNOSTI I OGRANIČENJA FUNKCIJE PRENOSA KAO MODELA SISTEMA
Prednosti:
1. Ne zavisi od oblika ulaznog signala.
2. U potpunosti opisuje U/I transformacije linearnih stacionarnih sistema.
3. Pogodne su za opisivanje složenih sistema koji sadrže podsisteme.
4. Iz funkcije prenosa mogu se dobiti tzv. frekventni modeli sistema.
Ograničenja:
1. Definiše se samo za linearne stacionarne sisteme.
2. Daje ulazno/izlaznu zavisnost i ne pruža nikakvu informaciju o unutrašnjoj strukturi i ponašanju sistema.
3. Funkcija prenosa ne uzima u obzir početne uslove sistema.