Microsoft Word - SE-513-TRANSPORTE DE ENERGIA ELECTRICA.docx

2.2. FLUJO DE POTENCIAFlujo de potencia. Mtodos generales para clculos de la red. Flujo de potencia en una lnea corta de transmisin. Un procedimiento iterativo. Ecuaciones de flujo de potencia. Mtodo de Gauss y GaussSeidel. Mtodo de NewtonRaphson. Especificacin de la tensin del bus y regulacin. Programa de flujo de cargas

Repaso previo: Captulo anterior.

Contenido: Explicacin de los procedimientos de representacin y clculo por el mtodo por unidad.

Objetivo: Sabr aplicar los procedimientos de clculo del mtodo por unidad.

Bibliografa:

STEVENSON, William D. Anlisis de Sistemas Elctricos de Potencia. Ediciones del Castillo. WILHELMI, Jos Romn. Sistemas Elctricos de Potencia. E. T. S. Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos. Madrid.

ENRIQUEZ HARPER, Gilberto. Tcnicas Computacionales en Sistemas Elctricos de Potencia.Editorial Limusa

PARRA, Dr. Valentn. E. T. S. Ing. Industriales Madrid. MEDINA, Prf. E. U. P. Las Palmas.

Apuntes de clase.

2.2.1. FLUJO DE POTENCIAEl objetivo principal de un Sistema Elctrico de Potencia es satisfacer la demanda. Como consecuencia surge el problema de por donde debe hacerse la alimentacin e incluso prever cadas de tensin, regulacin de transformadores, inyeccin de potencia reactiva, ... .

Los estudios de flujo de potencia, ms normalmente llamados estudios de flujo de carga, son sumamente importantes para evaluar el funcionamiento de los sistemas de potencia, su control y planificacin para expansiones futuras. Un estudio de flujo de potencia define principalmente las potencias activa y reactiva y el vector de tensin en cada bus en el sistema, aunque mucha informacin adicional estar disponible en la salida por impresora del ordenador del estudio de flujo de potencia tpico.

Los principios en los estudios del flujo de potencia son fciles, pero un estudio relativo a un sistema del potencia real slo se puede llevar a cabo con un ordenador digital. Entonces la necesidad sistemtica de clculos numricos requiere que se ejecuten por medio de un procedimiento iterativo; dos de los normalmente ms usados son el mtodo GaussSeidel y el mtodo NewtonRaphson. Antes de considerar estos mtodos numricos, se ilustra el concepto del flujo de potencia para obtener las expresiones explcitas de la potencia que fluye en una lnea corta de transmisin.

Hay que reducir el nmero de posibilidades: Estudio de Flujo de Potencia.

Resultado:

1. Tensin y Potencia en todas las barras

2. Flujo de Potencia en todas las lneas.

Se precisa resolver un sistema que no es lineal ya que los valores de potencia proceden de dos factores, tensin e intensidad, y solo se conoce el producto. Basado en la filosofa de los sistemas lineales del anlisis de nudos, hecho en la asignatura de Circuitos, se trata de utilizar herramientas de clculo numrico que por procedimientos iterativos llegar a la solucin.

Desarrollo:

1. Mtodo de Anlisis nodal es el ms empleado.

2. Construir la Matriz de Admitancias de barras: YBUS.***Pi Qi Vi Yi1V1 Vi Yi 2V2 ... Vi YinVn 0i 1,2,..., n3. Ajustarse a los tipos de barras:

TipoDatoIncgnitaDenominacin

1|V|, [V]P, QBarra de referencia

2P, |V|, Qmax, QminQ, [V]Barra de tensin controlada

3P, Q|V|, [V]Barra de carga

4. Modelizacin de las lneas mediante su esquema en .

2.2.2. (REPASO) MTODOS GENERALES PARA CLCULO DE LA RED.En este captulo se desarrollan unos mtodos para la solucin general que estn pensados para la solucin por ordenador de los problemas sistemas de potencia. Se empieza con los teoremas bsicos de lneas.

2.2.2.1. TRANSFORMACIN DE LA FUENTELa fuente del voltaje de la figura (a), se transforma a la fuente de intensidad de Fig. 7l (a). 7l

(b) y viceversa, con tal de que

Is = Eg/Zp(7 1)

y

Zp=Zg(7.2)

(a)

(b) Fig. 7.1.

2.2.2.2. MATRIZ DE LA ADMITANCIA DEL BUSEl sistema de cuatro bus que corresponde al diagrama unifilar de la Fig. 7.1 (a) estara representado por la red de la Fig. 7.1 (b). En cuanto a los voltajes de los nodos V1, V2, V3 y V4 y las admitancias dadas, por la ley de intensidades de Kirchhoff implica:

I1 = V1 y10+ (V1V2) y12+ (V1 V3) y13

yii yki

yikykkI2 = V2 y20+ (V2 V1) y12+ (V2V3) y23+ (V2 V4) y24I3 = V3 . y30+ (V3 V1) y13+ (V3 V2) y23+ (V3 V4) y34, I4 = V4 y40+ (V4 V2) y24+ (V4 V3) y34

Fig. 72

Reestructurar estas ecuaciones y vuelve a escribir los en matriz forma, obtenemos: I1y10+ y12+ y13 y12 y130V1I2= y12y20+ y12+ y23+ y24y23y24V2I3 y13 y23y30+ y13+ y23+ y34y34V3

I40y24y34y40+ y24+y34V4Se escribe la ecuacin (2.2.2.2.) como I1

Y11

Y12

Y13

Y14 V1

I2 Y21

Y22

Y23

Y24 .V2

(74)I3

Y31

Y32

Y33

Y34 V3

donde:

Y11 = y10 + y12 + y13

Y22 = y20+ y12 + y23+ y24

Y33 = y30+ y13+ y23+ y34

I4

Y41

Y42

Y43

Y44 V4 Y44 = y40+ y24+ y34

Y12 = Y21 = y12Y13= Y31 = y13Y14 = Y41 = y14 = 0

Y23 = Y32=y23Y24 = Y42 =y24Y34 = Y43 =y34Cada admitancia Yii (i= 1, 2, 3, 4) se llama admitancia propia del nodo i y es igual a la suma algebraica de todas las admitancias que terminan en el nodo i.

Cada trmino de la matriz triangular Yik (i, k= 1, 2, 3, 4) se llama la admitancia mutua (o admitancia de transferencia) entre nodos i y k y es igual a la suma cambiada de signo de todo admitancias conectadas directamente entre esos nodos. Ms all, Yik = Yki.

Para una red general con N nodos la ley de intensidades de Kirchhoff en cuanto a lastensiones de nodo se escribe como:

I= Ybus V(7. 6)donde

YYY YY

YY ..YYYYbus Se llama la matriz del bus de la admitancia, y V e I son las matrices del voltaje de nodo y matrices de intensidad nodo, respectivamente.

En (7.6), el primer subndice en cada Y indica el nodo al que la intensidad est expresado, y el segundo subndice indica el nodo cuyo voltaje es responsable por un componente particular de la intensidad. Ms all, las admitancias a lo largo de los diagonales son las admitancias propias, y las admitancias del triangular son las admitancias mutuas. Se

deduce de (7.5) y (7.6) que la intensidad que entra en un nodo k es:

NIk Ykn Vnn1

(7.7)

Para un sistema grande las matrices de (7.3) y (7.6) serian de un orden grande. En tal caso las operaciones con las matrices son ms convenientes cuando las matrices se hayan dividido, o subdivido. Como un ejemplo, la matriz

a11a12a13

A =a21a22a23

a31a32a33

es dividida en cuatro submatrices tal ese

DEA

(7.9) FGdonde se define las submatrices por

D

a11

a12

E

a13a21F a31

a22a32

a23G a33

(7.10)

Se demuestra la multiplicacin de matrices con submatrices, que permite que A de (7.8) se pueda postmultiplicar por una matriz

b11b21HB

(7.11) ...

J b31Ejercicio. Hallar la matriz de impedancias Zbus del sistema de la figura, siendo los valores por unidad.

2.2.3.3. FLUJO DE POTENCIA EN UNA LNEA CORTA DE TRANSMISIN.Se considera la lnea corta de transmisin como se muestra en Fig. 8l (a) que tiene una resistencia despreciable y una reactancia de la serie en Ohmios jX por fase. Las tensiones por fase del extremo emisor y del receptor son Vs y Vr, respectivamente. Para determinar la potencia activa y reactiva enviada del extremo emisor al receptor, dado que Vs se desfasa con Vr un ngulo .

La potencia compleja S, en voltiamperios, se da en general por:

S= P+ j Q = V I* (VA)(8.1)

donde I* es el complejo conjugado de I. As, en una base del por fase, el extremo del emisor tiene:

Ss = Ps + j Qs = Vs I* (VA)(8.2) De Fig. 81 (a), se da I por

I 1jX

VS VR o bien:

I * 1 jX

V *

VR

(8.3)

Sustituyendo (8.3) en (8.2) sale:

SS

VS jX

V *

V *

(8.4)

Ahora, del diagrama vectorial de Fig. 81 (b),

VR = |VR|[0] as VR = VR*yDe (8.4) vuelve

VS = |VS|[]

S VS

2 V V

e j

VR VS

sen j VS

2 V V

cos

S jXXXFinalmente, desde Ss = Ps + j Qs, escribiramos

V V P

RS SXy

sen

(8.5)

Q VS

2 V V

cos

(8.6)

SXSemejantemente, al extremo de la recepcin que se tiene: SR = PR + j QR = VR I*

Procedimiento como sobre el que se obtiene:

V V P

RS RXY

sen

(8.7)

QR

VR VS

cos VRX

(8.8)

De este simple ejemplo se derivan varias conclusiones significantes. Primero, la transferencia de potencia real depende slo en el ngulo , que se sabe como el ngulo de la potencia, y no en las magnitudes relativas del extremo emisor y voltajes del extremo receptor (diferente el caso de un sistema del cc). Adems, la transferencia potencia vara aproximadamente con

el cuadrado del voltaje. El mximo potencia transferida ocurre cuando = 90 y

PPVR VS

(8.9)R.max

S .max XFinalmente, de (8.6) y (8.8), est claro esta potencia reactiva fluir en la direccin del ms bajo voltaje. Si el sistema opera con 0, entonces fluye la potencia reactiva media encima

de la lnea esQ 1 Q

Q VS

VR

(8.10)

med2SR2 XEsta ecuacin muestra la fuerte dependencia de la potencia reactiva fluye con la diferencia del voltaje.

En este punto se ha abandonado la prdida en la lnea: I2R. Si ahora se asume que R es la

resistencia de la lnea por fase, entonces la prdida de la lnea es:

Plinea I R

(8.11)

De (8.2), tenemos

y

As,

I * P jQ VI P jQ V *

I .I *

I P

Q 22Vy (8.11) resulta

P P

Q2R

(8.12)

linea2VIndicando que ambas potencias real y reactiva contribuyen a las prdidas de la lnea. As, es importante reducir el flujo de la potencia reactiva para disminuir las prdidas de la lnea.

2.2.4. UN PROCEDIMIENTO ITERATIVOSe puede obtener una expresin analtica para el flujo de potencia en un caso ideal; sin embargo, en un sistema de potencia real, las soluciones explcitas analticas no son claras por las fluctuaciones de la carga en los buses y porque no se sabe el voltaje del extremo receptor.

Entonces, se deben usar mtodos numricos para resolver con cantidades desconocidas generalmente utilizando un procedimiento del iterativo.

La figura 82 muestra un sistema de dos buses, con la potencia real representada por flechas continuas y la potencia reactiva por flechas a trazos. Las ecuaciones que gobiernan elsistema son (por fase base)

S2 = V2 I* V1= V2+ ZL I

Con los smbolos definidos en Fig. 82. Resolviendo por V2 y eliminando I de estas

ecuaciones, se obtiene:

*

V2 V1 - ZL I V1 - ZL*2

(8.13)

Se resuelve (8.13) iterativamente, asumiendo un valor por V2 y lo llamamos V2(0). Se sustituye en el miembro de la derecha de (8.13) y resuelve por V2, calculando el nuevo valor

(1)

(1)de V2, se obtiene en esta primera iteracin, V2

. Se sustituye entonces (V2(2)

)* en elmiembro de la derecha de (8.13) y obtiene un nuevo valor V2

. Este procedimiento se repitehasta que converge y alcance la precisin. El proceso iterativo usa la ecuacin general, o algoritmo,

*V ( k ) V - Z2

(8.14)

21L V ( k 1) *

2.2.5. ECUACIONES DE FLUJO DE POTENCIALa matriz del bus de admitancias es til en un acercamiento sistemtico a la solucin de problemas del flujo de potencia. Antes de discutir este acercamiento, necesitamos definir los nudos o buses especiales siguientes:

1. Un bus de la carga es un bus en que se conocen las potencias activa y reactiva.

2. Un bus de referencia o generador es un bus en que se conocen el mdulo de la tensin y el ngulo.

3. Un bus de tensin controlada es un bus en que se conocen el mdulo de la tensin y se especifica, el rango de tensin mxima y mnima.

Por conveniencia se escoge V[]= 1[0] por unidad.

De (7.5), se escribe el ksimo (de N) la intensidad del nudo como

NI k Ykn Vnn 1

(8.15)

que se escribe tambin como

N

(8.16)I k Ykk Vk Ykn Vnn 1

n k

Resolver la Vk resulta:I kVk Y

1 Ykn VnY

(8.17)

kkkk n 1 n k

Ahora, desde

* (8.18)Vk I k

Pk jQkTenemos

I Pk jQkVkFinalmente, (8.17) y (8.19) da, para N nudos,

(8.19)

V 1

Pk jQY V

(8.20)

k Y

k*kn n kk k

n 1n k

Para k= 1, 2, ... N

Este sistema de N ecuaciones constituyen las ecuaciones del flujo de potencia.

2.2.6. MTODOS DE GAUSS Y GAUSSSEIDELLos mtodos de Gauss y de GaussSeidel son procedimientos iterativos para resolver simultneamente ecuaciones no lineales. Ilustramos el mtodo Gauss con el ejemplo siguiente.

Tanto Gauss como GaussSeidel implican la formulacin: x = F(x) y la formula iterativa

x(n+1 = F(x(n)

En Gauss se calculan los nuevos valores de x(n+1 a partir de los x(n obtenida en la iteracin anterior

En GaussSeidel, los valores obtenidos son utilizados inmediatamente despus de haber sido calculados aunque no haya terminado la iteracin en curso (mayor rapidez).

EJEMPLO: Resolver las variables x y en el sistema:

y 3x+ 1.9 = 0 y+ x2 1.8 = 0

Resolver con el mtodo de Gauss, se vuelven a escribir las ecuaciones dadas como x = y/3 + 0,633

y = 1.8 x2Ahora hacemos una suposicin inicial de x0 = 1 y y0 = 1, actualiza x con el subndice (1), y actualiza y con el subndice (2).

Es decir, computamos

x1 = y0/3+ 0.633 = 1/3+ 0.633 = 0,9663 y1 = 1.8 x2 = 1.8 1= 0,8

En iteraciones subsiguientes computamos, ms generalmente,

xn+l = yn/3+ 0,633(1)

y

yn+l = 1.8xn2(2)

Despus de varias iteraciones se obtienen x= 0,938 y, y= 0,917. Con ms iteraciones se llegara a los resultados exactos: x = 0,93926 e y = 0.9178. Sin embargo, se debe sealar que una "suposicin desafortunada" de los valores iniciales (tal como x0= y0= 100) hara que la solucin diverge.

Si estbamos usando el mtodo GaussSeidel en el ejemplo precedente, se usara todava la

ecuacin (1) para calcular Xn+l, pero se usara entonces la Xn+l, para encontrar Yn+l en lugar de

(1) y (2), el algoritmo por el mtodo GaussSeidel estara xn+l = yn/3+ 0,633

yn+l = 1.8 xn+12extrapolando los resultados, encontramos que el algoritmo GaussSeidel para las ecuaciones del flujo de potencia (8.20) esV (i 1)

1 P

jQ

Y V (i )

(8.21)

k Y

k(i ) *

kn nPara k= 2, 3, ... N

kk Vk

n 1n kTener en cuenta que V1, en (8.21) se especifica, que se empiezan los clculos con el nudo 2. Utilizando el factor de aceleracin : Vi[k+1] = Vi[k]+ Vi[k+1].( = 1.4 , 1.6)

S

*

S

R

R

S

R

S

R

S

2

2

2

2

2

2

2

S

V

2

S

2

N

k*

N

V

N

k