ANEXO A: EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE FEMTOOLS 7.1. ANÁLISIS...

ACTUALIZACIÓN DE UN MODELO NUMÉRICO DE LA PASARELA DE LA CARTUJA A PARTIR DE DATOS EXPERIMENTALES PROYECTO FIN DE CARRERA

115

7. ANEXO A: EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE FEMTOOLS

7.1. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD DE UNA PLACA CUADRADA.

7.1.1. INTRODUCCIÓN

La estructura objeto de estudio es una placa delgada cuadrada de dimensiones 30 x 30 x 0,1 cm de acero. Se han considerado las siguientes propiedades para el acero: Módulo Elasticidad de Young E: 210 GPa Módulo de Poisson NU: 0.3 Densidad RHO: 7850 kg/m3 Para el modelo de elementos finitos se han utilizado elementos de placa lineales con 3 grados de libertad por nodo (elementos QUAD4): UZ, ROTX y ROTY.

Figura 153. Modelo de elementos finitos.

Se procede a realizar un análisis dinámico (análisis modal), donde se obtendrán las matrices de rigidez y de masa para el posterior cálculo de frecuencias y modos naturales. Se establece una frecuencia mínima de 10 Hz con el fin de filtrar los modos de sólido rígido porque se trata de un análisis con condiciones libre/libre.

7.1.2. ANÁLISIS

El procedimiento que se sigue es el siguiente:

- Introducción de datos FEM. - Análisis dinámico: cálculo de 6 modos naturales.


116

- Selección de parámetros. Los parámetros para el estudio de la sensibilidad son el espesor (H), la densidad (RHO) y el módulo de Young (E) de todos los elementos (parámetros locales).

- Selección de respuestas. - Cálculo de sensibilidades.

Se calcularán las sensibilidades diferenciales, que responden a la siguiente ecuación:

S=Sij=δRi

δPj

Ec. 37

Donde Ri y Pj son las respuestas y parámetros seleccionados respectivamente. Desde un punto de vista físico nos indica la variación de la respuesta i como consecuencia de la variación del parámetro j. Para los cálculos que a continuación se muestran se ha calculado la sensibilidad normalizada. En un análisis posterior se compararán las distintas formas de cálculo de la sensibilidad.

- Resultados. Las respuestas seleccionadas corresponden a las 4 primeras frecuencias. Los resultados: las frecuencias naturales y los modos de vibración obtenidos para cada una de estas frecuencias se muestran a continuación en la tabla Tabla 56 y en la Figura 154:

Modo Frecuencia [Hz] 1 74.601

2 108.569

3 134.542

4 339.184

5 352.328

6 385.291

Tabla 56. Frecuencias naturales.


117

Figura 154. Modos de vibración.

A continuación se muestra los valores de la sensibilidad, es decir, la medida en la que los 4 primeros modos de vibración se ven afectados por la variación de cada parámetro. Para el módulo de elasticidad de Young (E):


118

Figura 155. Análisis de sensibilidad para el módulo de Young.

Para el parámetro densidad (RHO):

Figura 156. Análisis de sensibilidad para el parámetro densidad (RHO).


119

Para el parámetro espesor (H):

Figura 157. Análisis de sensibilidad para el parámetro espesor (H).

Se puede observar que los valores de sensibilidad de los parámetros de espesor (H) pueden ser positivos o negativos, esto significa que en la variación sufrida por el parámetro se ha producido un aumento o reducción de la frecuencia (con respecto a la inicial). Todos los valores de sensibilidad para las modificaciones de E son positivos, mientras que todas las sensibilidades para las modificaciones de RHO son negativas. Para observar cómo afecta el parámetro sobre el conjunto de las frecuencias seleccionadas, en lugar de una en particular, se muestra la envolvente:


120

Figura 158. Análisis de sensibilidad para los distintos parámetros. Envolvente de las frecuencias.

En la siguiente figura se muestra la suma de sensibilidad, en forma de curva y de matriz, para todos los parámetros objetos de estudio. Se puede apreciar que existen tres grupos de parámetros con distinta repercusión sobre la respuesta.

Figura 159. Suma de sensibilidad de los parámetros de estudio en forma de curva (arriba) y en forma de matriz (abajo).

100 200 300 400-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Parameter

Normalized Sensitivity Envelope

1

23

4

Response

50 100 150 200 250 300 350 400

Parameter

1E-2

-2-1.5-1-0.500.511.52

1E-2

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2


121

7.1.3. COMPARACIÓN SENSIBILIDAD ABSOLUTA, RELATIVA, NORMALIZADA Y DENSIDAD NORMALIZADA.

Sensibilidad Absoluta (Sa) Se utiliza para parámetros locales. Tiene en cuenta las unidades utilizadas para la respuesta y el parámetro. No se puede utilizar para parámetros globales ya que un parámetro global puede contener parámetros con diferentes valores.

dR=Sa∙dP Ec. 38

Figura 160. Sensibilidad Absoluta.

Sensibilidad Relativa (Sr)

Independiente de las unidades del parámetro local o global. Es muy útil para comparar sensibilidades de diferentes parámetros de diferentes tipos.

dR=Sr∙dPP ∙100

Ec. 39

1

2

3

4

R e s p o n s e

5 0 1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

P a ra m e te r

1 E 3

-2

-1

0

1

2

3

4

1 E 3

-2

-1

0

1

2

3

4


122

Figura 161. Sensibilidad Relativa.

Sensibilidad Normalizada (Sn) Muestra el porcentaje de cambio en el valor de la respuesta para un cambio del 1% en el valor del parámetro. Ideal para comparar diferentes combinaciones de respuestas y parámetros.

dRR =Sn∙

dPP

Ec. 40

Figura 162. Sensibilidad Normalizada.

Sensibilidad de densidad normalizada (Sd)

Es la densidad normalizada entre el volumen del elemento. Ideal para casos donde la malla de elementos finitos es irregular con elementos de gran variación de tamaño.

1

2

3

4

R e s p o n s e

5 0 1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

P a ra m e te r

1 E -2

-5

-2 .5

0

2 .5

5

7 .5

1 E -2

-5

-2 .5

0

2 .5

5

7 .5

1

2

3

4

R e sp o n se

5 0 1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

P a ra m e te r

1 E -2

-2-1 .5-1-0 .500 .511 .52

1 E -2

-2

-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2


123

Figura 163. Sensibilidad de densidad normalizada.

7.1.4. CONCLUSIONES

El análisis de sensibilidad se utiliza para encontrar zonas sensibles en la estructura. De esta forma se encuentra el nivel de dependencia de los distintos parámetros sobre la respuesta. Esta información nos permite conocer los parámetros sobre los que actuar al realizar el model updating y encontrar maneras óptimas de cambiar la estructura para obtener ciertas frecuencias mínimas deseables.

1

2

3

4

R e sp o n se

5 0 1 0 01 5 02 0 02 5 03 0 03 5 04 0 0

P a ra m e te r

1 E 4

-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2

1 E 4

-1 .5

-1

-0 .5

0

0 .5

1

1 .5

2


124

7.2. MODAL UPDATING DE UN SISTEMA MASA-RESORTE


Se procede al ajuste del sistema masa-resorte que se muestra en figuras precedentes. Los elementos resorte en utilizados en FEMtools son elementos LINE2 tipo SPRING. Se emplea un modelo de dos dimensiones, con 10 puntos nodales y 9 elementos de resorte (Figura 164). Se utilizan seis tipos diferentes de resortes, las masas se concentran en 4 puntos, 3, 5, 6 y 8 (Tabla 57) y el sistema está rígidamente restringido en otros 4 nodos: 1,2, 9 y 10:

Figura 164. Modelo de elementos finitos: numeración de elementos (izqda.) y numeración de nodos (dcha.).

Las propiedades geométricas del resorte y masas concentradas tienen son definidas según la Tabla 57. Sólo las constantes del resorte Kx, Ky and Hz son relevantes para el problema plano.

Nº Resorte Kx Ky hz 1 1.0e3 1.0e8 1.0e8

2 1.0e8 1.0e8 1.0e8

3 1.0e5 1.0e3 1.0e4

4 1.0e5 1.6e2 1.5e3

5 1.0e5 1.2e2 1.0e4

6 1.0e5 1.5e2 1.0e4

Tabla 57. Propiedades de los resortes y las masas.

Nº masa Mx My 1 0.10 0.10

2 0.15 0.15

3 0.20 0.20

4 0.18 0.18


125

El objetivo del análisis es ajustar los valores de la rigidez del resorte con el fin de obtener las frecuencias de resonancia medidas experimentalmente: 10 Hz, 15 Hz, 20 Hz y 25 Hz. No es necesario un valor de frecuencia mínima porque el modelo está restringido, no presenta condiciones de contorno libres.

7.2.2. ANÁLISIS

Al hacer un análisis de sensibilidad incluyendo todos los posibles parámetros de rigidez del resorte e identificando los valores de coeficientes de sensibilidad más altos se ha llegado a la conclusión de seleccionar las siguientes respuestas: rigidez KX de los elementos 1, 2, 8 y 9 y la rigidez KY de los elementos 3, 4, 6 y 7 que suman un total de 8 parámetros seleccionados. En el apartado 7.2.3 se demostrará esta simplificación. Los coeficientes de sensibilidad se calculan utilizando las frecuencias y modos de vibración analíticos. Por lo tanto, se necesita una relación entre cada frecuencia de resonancia medida con cada modo analítico, es decir, una comparación.

La comparación de modos de vibración no puede ser automática ya que no contamos con los modos experimentales en la base de datos, sólo tenemos las frecuencias naturales. Se realizará manualmente, mediante emparejamiento secuencial o forzando dicha comparación. En este caso se ha utilizado el modo secuencial.

Con la comparación secuencial o forzada, durante la actualización del modelo, el orden de los modos de vibración no cambia. Si esta suposición no es aplicable al caso de estudio, entonces las alternativas disponibles son las siguientes:

- Después de cada bucle de iteración, verificar y si es necesario corregir la comparación. - Completar la base de datos simulados con datos de modos de vibración de modo que una

comparación se pueda llevar a cabo automáticamente a partir del análisis del MAC. El procedimiento de actualización se repetirá de forma automática en cada bucle de iteración.

A continuación, se lleva a cabo el análisis de sensibilidad y se calculan las sensibilidades normalizadas con las respuestas y los parámetros previamente seleccionados. Al no tener dimensiones se pueden comparar para diferentes tipos de parámetro y respuesta.


126

La matriz de sensibilidad y la curva suma (suma de las sensibilidades de todas las respuestas) se muestran a continuación. Se puede apreciar que los valores de sensibilidad de los parámetros del 5 al 8, que corresponden con los parámetros KY, son muy inferiores a los valores de los parámetros del 1 al 4, que corresponden con los parámetros KX.

Figura 165. Matriz de Sensibilidad.

Figura 166. Curva suma de Sensibilidad.

El valor CCABS, función que representa la tasa de variación entre los errores de dos iteraciones consecutivas, se reduce principalmente en las 2 primeras iteraciones (Figura 167). El valor converge rápidamente a cero. La actualización se ha configurado para que las iteraciones se detengan cuando la función objetivo alcance el 1% o cuando se completen 5 iteraciones. En este caso sólo tres iteraciones se requieren para reducir la función objetivo CABS de +/ -22% a +/- 0.66% como se puede apreciar en la siguiente figura. Por lo que se obtiene la casi completa convergencia para las cuatro frecuencias de resonancia.

1

2

3

4

R e s p o n se

1 2 3 4 5 6 7 8

P a ra m e te r

0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

1 2 3 4 5 6 7 8 0

0.1

0.2

0.3

0.4

Parameter

Normalized Sensitivity Envelope


127

Figura 167. Función CCABS y modificación del parámetro.

7.2.3. DEMOSTRACIÓN DE LA SELECCIÓN DE PARÁMETROS

Según se han definido en FEMtools, los parámetros del 1 al 9 corresponden a las rigideces en el eje x (kx) de los nueve elementos, y del parámetro 10 al 18 a las rigideces en el eje y (ky) de estos mismos nueve elementos. Se muestra a continuación la matriz de sensibilidad:

Figura 168. Matriz de sensibilidad.

0 1 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Iteration

Correlation CCABS (%)

1 2 3 4 5 6 7 8

0

100

200

Parameter

Parameter Modification (%) Envelope

12

34

Response

2 4 6 8 10 12 14 16 18

Parameter

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

kx ky


128

Se puede apreciar que los parámetros sensibles son corresponden a las rigideces kx de los elementos 1, 2, 8 y 9 y las rigideces ky de 3, 4, 6 y 7, que son los que se escogieron para realizar la actualización del modelo. Destacar que la sensibilidad de kx es mayor que ky.

Para mostrar cómo afecta la elección de parámetros a la convergencia se presenta a continuación la convergencia cuando se adoptan como parámetros kx y ky de los elementos 3, 4, 6, y 7:

Figura 169. Función CCABS para parámetros kx y ky de los elementos 3, 4, 6 y 7 (arriba) y para los parámetros kx de los

elementos 1, 2, 8 y 9 y los ky de 3, 4, 6 y 7 (abajo).

Se puede apreciar cómo ha empeorado dicha convergencia respecto a los resultados obtenidos cuando se seleccionaron los parámetros más sensibles.

7.2.1. CONCLUSIONES

La actualización de los valores de las rigideces del resorte para obtener los valores deseados de frecuencias naturales ha sido satisfactoria usando sólo 3 iteraciones. Esto es debido al suficiente nivel de sensibilidad de los parámetros seleccionados y al número limitado de sólo 4 respuestas de referencia.

0 1 2 3 4 50

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Iteration


0 1 20

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

Iteration



129

7.3. ACTUALIZACIÓN DEL MODELO DE LA ESTRUCTURA DE UNA ANTENA


Estudio modal de la estructura soporte de una antena con el fin de encontrar un modelo de elementos finitos que pueda predecir las 12 primeras formas modales y las frecuencias de resonancia correspondientes. La estructura consta de una columna rígida central con dos plataformas. Estas plataformas están equipadas para soportar diferentes tipos de antenas. En el modelo de elementos finitos (Figura 170), se han utilizado elementos lineales beam con tres grados de libertad por nodo. Todas las masas, incluyendo las antenas y la estructura de apoyo se agrupan en los nodos del modelo de elementos finitos. El modelado de esta estructura plantea problemas específicos. Las secciones de la columna central y de las plataformas son completamente diferentes. Por otra parte, las conexiones son rígidas. En el modelo de elementos finitos, algunos elementos beam se encuentran en zonas que en la estructura real son parte de la columna central. Estas áreas están marcadas en la Figura 170. La antena flexible que se encuentra en la parte superior, se fija mediante refuerzos y tiene una sección variable. En el modelo de elementos finitos, se utilizan elementos beam con sección transversal constante para modelar el soporte y la antena situada en la parte superior.

Figura 170. Numeración de elementos del modelo de elementos finitos.

Zonas problemáticas

Restricción de rigidez


130

Para el análisis modal experimental la estructura se ha empotrado rígidamente la base de la columna central, aunque esto es con toda seguridad una sobreestimación. Por otra parte, las masas de las antenas y estructuras de apoyo se suponen conocidas. El modelo FE ha sido diseñado sólo para predecir 12 modos de vibración con un mínimo de elementos. Sin embargo, existen serias dudas sobre las estimaciones de las propiedades de rigidez equivalente a utilizar para los elementos beam en la base de la estructura y en las zonas que conectan las plataformas a la columna central. Con los datos experimentales, se comprueba la validez del modelo inicial de elementos finitos. Posteriormente, las propiedades de rigidez de las vigas se ajustan automáticamente a fin de mejorar la correlación con los datos experimentales.

7.3.2. ANÁLISIS DINÁMICO

Se obtienen las matrices de rigidez (K) y de masa (M) seguido de un análisis de valores propios para extraer las primeros 12 modos de vibración de la estructura. La estructura está restringida por lo que no se requiere un valor mínimo para la frecuencia.


131

Figura 171. Modos y frecuencias naturales.

7.3.3. ANÁLISIS DE CORRELACIÓN

Se muestran a continuación los datos experimentales y analíticos antes de la actualización:

Modo EMA [Hz] FEA [Hz] 1 18.05 18.38

2 21.85 20.50

3 32.66 33.95

4 37.71 36.97

5 40.01 39.02

6 43.74 44.41

7 45.09 44.55

8 49.72 47.88

9 55.06 50.99


132

Modo EMA [Hz] FEA [Hz] 10 68.69 68.41

11 72.51 77.44

12 80.31 90.20

Tabla 58. Frecuencias de resonancia antes de la actualización. EMA = Experimental modal analysis, FEA = Finite elements analysis.

La comparación entre los resultados del análisis modal analíticos y experimentales muestra diferencias importantes para las frecuencias de resonancia. No es seguro que los modos de vibración aparezcan en el mismo orden en la base de datos analíticos y experimentales. Esto es apreciable en mayor medida en el rango entre 30 Hz y 50 Hz que incluye muchos modos.

7.3.4. COMPARACIÓN DE NODOS DEL MODELO Y LOCALIZACIONES EXPERIMENTALES.

La correlación entre los resultados analíticos y experimentales se basa en los desplazamientos modales en los grados de libertad que son comunes a ambas bases de datos. Con este fin, se requiere asignar a la ubicación de los transductores de medida, ubicaciones de los nodos del modelo de elementos finitos. En la Figura 172, se muestran los puntos donde se han obtenido los datos experimentales y los nodos que corresponden a dichos puntos.

Figura 172. Localización de las parejas punto-nodo.


133

7.3.5. CORRELACIÓN MODAL: COMPARACIÓN DE MODOS DE VIBRACIÓN EXPERIMENTAL Y ANALÍTICO

El MAC se utiliza como criterio de decisión para hacer de forma automática la comparación. En caso de que no haya parejas nodo-punto la comparación se realiza por separado, como una operación implícita de cálculo del MAC. A su vez, el cálculo del MAC es una operación implícita para la comparación automático de modos (Figura 173). El mayor valor de MAC entre dos modos de

vibración establecerá una relación entre estos modos de vibración. Se permite un valor mínimo del MAC del 20%. Por debajo de este valor, la comparación se considera no válida.

Figura 173. MAC antes de la actualización.

La Figura 174 muestra una imagen superpuesta de la comparación de los modos de vibración. Sin embargo, algunos modos no aparecen en el mismo orden en la base de datos analíticos que en la de datos experimentales. Por ejemplo, el modo de vibración 12, según los cálculos del modelo de elementos finitos, es el primer modo de flexión local de la antena flexible que se encuentra en la plataforma superior. Sin embargo, este mismo modo de vibración se midió como el modo 10 en una frecuencia de resonancia (68,69 Hz) que es significativamente más bajo que el calculado (90,20 Hz).

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Diferencia [%] MAC [%]

1 18.38 1 18.05 1.82 96.3

2 20.50 2 21.85 -6.18 96.0

3 33.95 3 32.66 3.94 60.2

4 36.97 4 37.71 -1.96 38.7

24

68

1012

FEA

24 6 8

10 12

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100


134

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Diferencia [%] MAC [%] 5 39.02 5 40.01 -2.47 73.2

6 44.41 6 43.74 1.54 46.7

7 44.55 8 49.72 -10.40 83.8

8 47.88 7 45.09 6.18 22.8

9 51.00 9 55.06 -7.38 92.1

10 68.41 11 72.51 -5.65 90.9

11 77.44 12 80.31 -3.58 94.9

12 90.20 10 68.69 31.31 99.9

Tabla 59. Comparación de frecuencias experimentales y analíticas.


135

Figura 174. Comparación modos analíticos y experimentales.

Un modelo, ya sea de elementos finitos o experimental, se caracteriza por sus respuestas estructurales. Para el análisis de correlación, las respuestas más fiables son las frecuencias de resonancia. Estos valores dependen de las propiedades de rigidez y masa de la estructura y pueden ser fácilmente obtenidos tanto analíticamente como experimentalmente. Las frecuencias se utilizan para las siguientes aplicaciones: Análisis de correlación entre la respuesta experimental y su homóloga analítica. Análisis de sensibilidad para determinar la sensibilidad de las respuestas seleccionadas en

los cambios de los parámetros. Modal Updating iterativo. Se basa en el análisis de correlación y de sensibilidad y por lo

tanto requiere que se definan las respuestas. En este caso se seleccionaron las 12 primeras frecuencias naturales.

7.3.6. COEFICIENTES DE CORRELACIÓN

La selección de la respuesta de referencia permite el cálculo de los coeficientes de correlación. Estos coeficientes son indicativos de cómo de cerca están las dos bases modales. En la fase de actualización del modelo estos coeficientes de correlación se reducirán al mínimo y se utiliza como criterio de correlación.


136

7.3.7. SELECCIÓN DE PARÁMETROS

Se requiere la selección de los parámetros físicos del modelo de elementos finitos para realizar los siguientes análisis:

Análisis de sensibilidad para determinar la sensibilidad de respuesta a los cambios de los parámetros seleccionados.

Modelo iterativo de actualización para ajustar el conjunto de parámetros físicos con el fin de satisfacer un criterio de correlación dado.

Los parámetros seleccionados son propiedades físicas del modelo de elementos finitos. Puede estar relacionado con la masa, rigidez o propiedades de amortiguación de los elementos finitos. Los parámetros pueden ser definidos a nivel local o global. Se considera que el modelado de la rigidez inicial es pobre para los elementos conectados a la columna central. Con el fin de permitir la modificación de las propiedades de rigidez de los elementos, los momentos de inercia Iz de todos los elementos se han seleccionados como parámetros.

7.3.8. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

El análisis de sensibilidad es la técnica con la que, mediante la derivación de funciones de respuestas estructurales con los parámetros del modelo físico de elementos finitos, se puede:

Identificar las áreas sensibles e insensibles de la estructura para una respuesta dada y tipo de parámetro.

Verificar si los parámetros seleccionados permiten modificar la respuesta estructural, es decir, si la estructura es lo suficientemente sensible para la modificación de parámetros.

7.3.9. FE MODELO DE ACTUALIZACIÓN

Cuando los resultados del análisis analítico y experimental no coinciden, esto puede deberse a valores erróneos en las estimaciones de parámetros utilizados en el modelo de elementos finitos. La


137

corrección manual de los valores de los parámetros, mediante ensayo y error, es inviable para modelos complejos de elementos finitos con muchos parámetros. Entonces hay que basarse en procedimientos automatizados, como el método de actualización del modelo que se utiliza en FEMtools. En este caso, se utilizan un máximo de 5 iteraciones para actualizar el modelo de elementos finitos de la estructura.

7.3.10. POST-PROCESO

Los resultados del modelo de actualización se pueden evaluar en términos de:

Criterios de correlación.

Matriz después de la actualización de MAC.

Características de convergencia.

Modificación de parámetros. El valor CCAB se reduce de manera importante durante las tres primeras iteraciones. A partir de esta iteración, el valor converge lentamente a cero (Figura 175). El valor medio de MAC ha aumentado y hay menos correlación cruzada entre los modos de vibración que antes de actualizar (Figura 176). Los cambios de los parámetros van desde -50% a 100% (Figura 178).

Figura 175. Función CCABS.

0 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

7

Iteration



138

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Error [%] MAC 1 18.03 1 18.05 -0.12 94.9

2 21.81 2 21.85 -0.20 95.8

3 32.75 3 32.66 0.26 89.8

4 37.55 4 37.71 -0.42 58.7

5 40.01 5 40.01 0.01 80.8

6 43.47 6 43.74 -0.62 94.2

7 45.37 7 45.09 0.62 90.3

8 49.69 8 49.72 -0.05 98.5

9 55.05 9 55.06 -0.01 97.2

10 68.69 10 68.69 -0.01 99.7

11 72.73 11 72.51 0.30 72.7

12 80.32 12 80.31 0.02 95.6

Tabla 60. Frecuencias naturales analíticas y experimentales.

Figura 176. Matriz MAC después de la actualización.

La matriz de sensibilidad:


24

68

1012

FEA

24

68

1012

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100

24

68

1012

Response

5 10 15 20 25 30 35

Parameter

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35


139

Modificación de parámetros:

Figura 178. Modificación de parámetros.

7.3.11. CONCLUSIONES

Una vez completado el procedimiento de actualización, el resultado es una modificación de las propiedades del modelo de elementos finitos. El procedimiento de actualización ha puesto de manifiesto algunos errores:

La rigidez que se utilizó inicialmente para modelar las conexiones entre partes con diferentes secciones tiene que ser incrementada en la parte izquierda del modelo de elementos finitos. Destacar que la carga de masa en el modelo de elementos finitos no es simétrica.

La rigidez en la base de la columna central tiene que ser reducida. Esto se debe a las restricciones rígidas que se han utilizado. Sin embargo, las condiciones de contorno no fueron seleccionadas como la actualización de los parámetros para este ejemplo. Por lo tanto, el programa no tiene la libertad de modificar las condiciones de contorno.

La rigidez en la base de la antena flexible de la parte superior tiene que ser reducida. Las estimaciones iniciales dieron lugar a una rigidez que era demasiado elevada para modelar correctamente la antena y las fijaciones.

Las frecuencias resultantes se asemejan más a los valores experimentales y los modos de vibración aparecen ahora en el mismo orden en la base de datos analíticos y experimentales.

Reducción de la rigidez

Reducción de la rigidez

Aumento de la rigidez


140

7.3.12. VARIACIÓN EN LA ELECCIÓN DE LOS PARÁMETROS

A continuación, se repite el modelo de actualización con el módulo de Young como parámetros locales y se compararan los resultados con el modelo de actualización utilizando como parámetros IZ.

Tabla 61. Modificación de Parámetros locales E.


La comparación de modos y matriz MAC que se obtiene son las siguientes:

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Error [%] MAC 1 1 18.03 1 18.05 -0.12

2 2 21.81 2 21.85 -0.19

3 3 32.74 3 32.66 0.25

4 4 37.55 4 37.71 -0.41

0 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

7

Iteration



141

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Error [%] MAC 5 5 40.02 5 40.01 0.01

6 6 43.42 6 43.74 -0.74

7 7 45.42 7 45.09 0.74

8 8 49.70 8 49.72 -0.05

9 9 55.05 9 55.06 -0.01

10 10 68.69 10 68.69 -0.01

11 11 72.72 11 72.51 0.29

12 12 80.32 12 80.31 0.01

Tabla 62. Comparación de frecuencias experimentales y analíticas.

Figura 180. Matriz MAC tras la actualización.

Mediante la utilización de estos nuevos parámetros (módulo de Young de cada uno de los elementos) se obtienen resultados muy similares a los obtenidos con la actualización de las inercias de los elementos pudiéndose aplicar las mismas conclusiones obtenidas anteriormente. Se repite el modelo de actualización con una serie de parámetros globales (IZ) en lugar de los parámetros locales. Un parámetro global se puede seleccionar en función del tipo de elemento de la geometría.

24

68

1012

FEA

24

68

1012

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100


142

Parámetro Elemento Valor inicial Valor Actual Diferencia [%] IZ 1 +2.0700E-005 +1.3535E-005 -3.4612E+001

IZ 2 +3.3640E-007 +4.5588E-007 +3.5518E+001

IZ 3 +1.1830E-007 +1.2478E-007 +5.4762E+000

IZ 4 +1.6820E-007 +1.5099E-007 -1.0234E+001

IZ 5 +1.8670E-009 +2.2602E-009 +2.1061E+001

IZ 6 +2.3000E-006 +2.2934E-006 -2.8671E-001

IZ 7 +3.0670E-005 +3.0984E-005 +1.0250E+000

IZ 8 +2.1180E-008 +1.2258E-008 -4.2126E+001

IZ 9 +3.3640E-007 +3.0573E-007 -9.1159E+000

IZ 10 +2.1180E-008 +2.9157E-008 +3.7664E+001

Tabla 63. Modificación de parámetros Iz tras la actualización.

Y esta misma modificación de parámetros sobre la estructura:

Figura 181. Modificación de los parámetros.

Tabla 64. Comparación de frecuencias.

0 1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

6

7

Iteration



143

La comparación de modos y MAC que se obtiene en este caso se presenta a continuación:


2 21.91 2 21.85 0.26 96.8

3 32.99 3 32.66 1.01 95.3

4 37.65 4 37.71 -0.16 55.4

5 39.84 5 40.01 -0.43 82.1

6 43.57 6 43.74 -0.39 82.9

7 45.29 7 45.09 0.45 83.8

8 49.56 8 49.72 -0.31 98.0

9 54.86 9 55.06 -0.37 96.7

10 68.69 10 68.69 0.01 99.8

11 71.89 11 72.51 -0.86 75.2

12 81.76 12 80.31 1.80 95.9


Figura 182. Matriz MAC tras la actualización.

24

68

1012

FEA

2 4 6 8 10 12

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100


144


Esta última actualización, aun presentando valores MAC altos y errores en las frecuencias pequeños, la convergencia es ligeramente peor que cuando se utilizó los parámetros locales IZ. Además se obtienen aumentos y disminuciones de rigidez en otras zonas distintas a las que obtuvimos anteriormente.

7.4. MODELO ACTUALIZADO DE PLACAS ATORNILLADAS.


Se actualiza el modelo de elementos finitos de una estructura de placas atornilladas. La estructura consta de tres placas que están unidas entre sí, cada placa tiene un espesor diferente. El modelo de elementos finitos consta de 162 elementos QUAD4 y 201 nodos (Figura 184).

Figura 184. Modelo de elementos finitos.

24

68

1012

Response

24

68

10

Parameter

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5


145

Los tornillos se modelan como elementos resorte. Las estimaciones iniciales del valor de la rigidez del resorte conlleva que algunas frecuencias de resonancia de la estructura estén sobreestimadas o subestimadas. El modelado de las placas es bastante bueno, aunque hay algunas dudas sobre la densidad de la malla en la zona del corte, especialmente para predecir correctamente los modos de torsión.

7.4.2. ANÁLISIS DINÁMICO

En primer lugar, se calculan las matrices estructurales. FEMTOOLS permite diferentes formulaciones para los elementos del tipo 2D plate y shell. En este caso se utiliza la formulación para el elemento QUAD4 de Nastran. El siguiente paso consiste en calcular los modos normales de la estructura. La estructura no está restringida en su movimiento como sólido rígido (análisis libre / libre) por lo que no es necesario definir un valor para la frecuencia mínima.

7.4.3. ANÁLISIS PRETEST

Consiste en identificar la localización óptima para excitar los modos de interés e identificar la localización óptima para los transductores. Localización óptima de la excitación: La estructura se ha excitado en dirección z. La localización óptima es aquella con altos valores NMD (Normalized Modal Displacements), la Figura 185 muestra estas localizaciones: las 2 esquinas libres de la placa superior.

Figura 185. Valores NMD.


146

Localizaciones óptimas del transductor: El objetivo es escoger un número mínimo de puntos de medida pero evitando el aliasing espacial. Dichas localizaciones deben tener altos valores medios de NMD o alto peso. Si los tres nodos de esquina libres de la parte superior son seleccionados como localizaciones candidatas, entonces el MAC entre todos los FEM y el modelo truncado a esos 3 nodos muestran una matriz suficientemente diagonal (ver Figura 186). Esto significa que las mediciones de la respuesta en la dirección z en esas tres localizaciones son suficientes para identificar los 5 primeros modos de la estructura y utilizarlos para la correlación modal y actualización del modelo.

Figura 186. Comprobación del aliasing espacial.

Es necesaria una transformación para adaptar el modelo de prueba con el modelo de elementos finitos. Las dimensiones de los dos modelos son diferentes. El modelo de los elementos placa se modela en el plano medio de cada placa, mientras que los lugares de medición se encuentran en las superficies externas (Figura 187).

Figura 187. Modelo de elementos finitos y modelo experimental.

12

34

5

FEA

12

34

5

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100


147

7.4.4. CORRELACIÓN MODAL

Debido a que la geometrías del modelo y del ensayo son diferentes, el valor de la tolerancia por defecto que se utiliza para la comparación de nodos-puntos debe ser aumentada. De lo contrario, no se encontrarán pares de punto-nodo. Este valor de tolerancia es la distancia alrededor de cada nodo en la que el programa buscará el punto más cercano. Posteriormente se utiliza la comparación automática para encontrar los correspondientes modos de vibración en el modelo y en la base de datos experimentales. La Figura 188 muestra las 5 primeras comparaciones.

Figura 188. Comparación de modos.

7.4.5. ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD

Los tipos de parámetros más adecuados para la actualización de este modelo son los coeficientes de rigidez de los elementos resorte que simulan los pernos. Otros coeficientes de rigidez como KX, KZ y HY no se incluyen porque en un análisis más amplio de sensibilidad, como se demostrará más adelante, las frecuencias de resonancia son insensibles a las modificaciones de estos coeficientes. La matriz de sensibilidad en la Figura 189 muestra que incluso con la selección de parámetros actuales, el modo 2 es relativamente insensible a cambios de rigidez del resorte en comparación con los otros modos. Por lo tanto, cabe esperar que la actualización usando estos parámetros no reducirá la mayor parte del error en la frecuencia de resonancia 2.


148


7.4.6. ACTUALIZACIÓN DEL MODELO

Con la selección actual de los parámetros y de las respuestas, se inicia el procedimiento automatizado de actualización. Después de 9 iteraciones, la función objetivo CCABS se reduce del 8% al 2,5%. Este resultado se muestra en la Figura 190. La Figura 191 muestra la ubicación y la magnitud de las reducciones de la rigidez de los resortes que se obtienen. La mayor reducción se da en las esquinas.

Aunque el valor CCABS se redujo a menos del 3%, esto es un valor medio. El error relativo en la segunda frecuencia de resonancia es todavía superior al 8%, mientras que todas las otras frecuencias se reducen (Tabla 66). Esto se debe a la baja sensibilidad del segundo modo para los

cambios de rigidez en el resorte. Por lo tanto, en una segunda fase, se actualizarán los espesores de placa locales.


12

34

5

Response

5 10 15 20 25 30 35 40

Parameter

1E-2

0

1

2

3

4

5

1E-2

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 90

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Iteration



149


FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Error [%] MAC 1 45.59 1 44.43 2.60 97.3

2 183.73 2 169.99 8.08 96.8

3 264.37 3 265.04 -0.25 95.9

4 278.45 4 279.94 -0.53 97.6

5 353.22 5 350.54 0.76 95.9


Para la segunda fase se actualizan los espesores. La convergencia es ahora casi completa después de 5 iteraciones (Figura 192). Ahora se da una convergencia completa en todas las frecuencias. Los cambios locales de espesor han variado hasta en un 20% (Figura 193). Se aprecia principalmente la reducción del espesor en la placa superior, sobre todo cerca del corte. Esto indica que se requiere más flexibilidad en esta zona, lo que podría estar relacionado con la densidad de la malla que se utiliza. Especialmente esto afecta a los modos de torsión. El aumento de espesor del 20% en la parte inferior de la placa lateral se debe a un alto coeficiente de sensibilidad que se observó en este elemento para el modo 4. Esto no tiene mucho sentido físico porque las correcciones rigidez en esta zona ya están hechas en la primera fase (rigidez del resorte).

La Tabla 67 confirma que la correlación modal es perfecta para los cinco modos de interés después

de las dos fases de la actualización.


150

Figura 192. Convergencia para la actualización de la curva de rigidez del resorte local y espesor local.


Figura 194. Matriz MAC después de la actualización.

0 1 2 3 4 5 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

Iteration


12

34

5

FEA

12

34

5

EMA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100


151


2 170.01 2 169.99 0.01 97.2

3 265.22 3 265.04 0.07 96.9

4 279.58 4 279.94 -0.13 97.1

5 350.66 5 350.54 0.03 96.6


7.4.7. CONCLUSIONES

La correlación en términos de frecuencias de resonancia es muy satisfactoria después de 9 iteraciones actualizando la rigideces del resorte (local). La correlación de los modos de vibración ha mejorado con todos los valores MAC + /- 90%. Sin embargo la velocidad de convergencia es lenta. Por otro lado, la convergencia completa puede ser obtenida mediante la actualización de los espesores de chapa locales. Los resultados actualizados indican que las rigideces de los resortes deben ser ajustadas, sobre todo en las esquinas. Además, los ajustes del espesor de la placa indican que la malla necesita ser refinada en la zona cerca del corte, introduciendo cierta flexibilidad de torsión.

7.4.8. DEMOSTRACIÓN DE LA SELECCIÓN DE PARÁMETROS

A continuación se demuestra que la rigidez del resorte que KX, KZ y HY no son parámetros eficientes para la actualización (cuando se usa los primeros 5 frecuencias de resonancia como las respuestas).


152


La numeración de parámetros es la siguiente: los parámetros del 1 al 14 corresponden a la rigidez Kx, los parámetros del 14 al 28 corresponden a la rigidez Ky, los parámetros del 29 al 42 corresponden a la rigidez Kz, los parámetros del 43 al 56 corresponden a la rigidez Hx, los parámetros del 57 al 70 corresponden a la rigidez Hy, los parámetros del 71 al 84 corresponden a la rigidez Hz. Como se puede apreciar en la figura anterior los únicos valores sensibles son los correspondientes a las rigideces Kx, Kz y al Hy. Mostrándose una mayor sensibilidad para los parámetros Hy.

7.4.9. VARIACIÓN EN LA ELECCIÓN DE PARÁMETROS

A continuación se analizan y se comparan los resultados de actualizar los valores de los parámetros locales de rigidez (k) o de los espesores (h). Para el parámetro K:

Figura 196. Modificaciones del parámetro.

12

34

5

Response

10 20 30 40 50 60 70 80

Parameter

1E-2

0

1

2

3

4

5

1E-2

0

1

2

3

4

5


153

Figura 197. Envolvente de las curvas de modificaciones de parámetros.

FEA Frecuencia [Hz] EMA Frecuencia [Hz] Error [%] MAC

1 45.59 1 44.43 2.60 97.3

2 183.73 2 169.99 8.08 96.8

3 264.37 3 265.04 -0.25 95.9

4 278.45 4 279.94 -0.53 97.6

5 353.22 5 350.54 0.76 95.9


Figura 198. Matriz MAC.


1 0 2 0 3 0 4 0

- 6 0 0

- 5 0 0

- 4 0 0

- 3 0 0

- 2 0 0

- 1 0 0

0

P a r a m e t e r

P a r a m e t e r M o d i f i c a t io n ( % ) E n v e lo p e

12

34

5

FE A

12

34

5

E M A

0

2 5

5 0

7 5

1 0 0

0

2 5

5 0

7 5

1 0 0

12

34

5

R e sp o n se

5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 4 0

P a ra m e te r

1 E -2

0

1

2

3

4

5

1 E -2

0

1

2

3

4

5


154

Donde se aprecia el error del 8 % en el modo número 2 debido a la poca sensibilidad de este modo con estos parámetros. Para el parámetro h:

Figura 200. Modificación de parámetros representado en la curva suma (arriba) y sobre el modelo (abajo).


2 170.10 2 169.99 0.06 97.3

3 265.09 3 265.04 0.02 89.3

4 279.37 4 279.94 -0.21 87.3

5 351.31 5 350.54 0.22 91.5


2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0

- 1 0 0

- 8 0

- 6 0

- 4 0

- 2 0

0

2 0

4 0

P a r a m e t e r

P a r a m e t e r M o d i f i c a t i o n ( % ) E n v e lo p e


155

Figura 201. Matriz MAC.


Consiguiéndose de esta forma un error menor en las frecuencias. Además se obtienen al igual que en el caso anterior valores altos de MAC.

12

34

5

FEA

12

34

5

E MA

0

25

50

75

100

0

25

50

75

100

12

34

5

R esponse

20 40 60 80 100120140160

Parameter

-0 .05

0

0 .05

0 .1

0 .15

-0 .05

0

0.05

0.1

0.15

ANEXO A: EJEMPLOS DE UTILIZACIÓN DE FEMTOOLS 7.1. ANÁLISIS...

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