ANEXO V.MÉTODO DE RUNGE-KUTTA.
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8/6/2019 ANEXO V.MTODO DE RUNGE-KUTTA.
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ANEXO V.
Mtodo de Runge-Kutta para Ecuaciones Diferenciales.
Uno de los mtodos ms utilizados para resolver numricamente problemas deecuaciones diferenciales ordinarias con condiciones iniciales es el mtodo
de Runge- Kutta de cuarto orden, el cual proporciona un pequeo margen de
error con respecto a la solucin real del problema y es fcilmente programable
en un software para realizar las iteraciones necesarias.
El mtodo de Runge-Kutta se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales de la
forma:
Y es sumamente til para casos en los que la solucin no puede hallarse por los
mtodos convencionales (como separacin de variables). Hay variaciones en el
mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden pero el ms utilizado es el mtodo en el
cual se elige un tamao de paso h y un nmero mximo de iteraciones n tal que
y se realiza la iteracin
Para i = 0,, n-1 . La solucin se da a lo largo del intervalo (t o , t o + h n ).
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El algoritmo para el mtodo de Runge-Kutta de cuarto orden en seudo cdigo es
el siguiente:
INICIO
INPUT : Nmero de iteraciones n (o tamao de paso h), punto inicial del
intervalo a (punto final del intervalo b), condicin inicial y (t 0 ) = y 0 .
OUTPUT (t, y)
PARA
OUTPUT (t, y)
FIN PARA
FIN
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Un software apropiado y muy til adems de fcil de programar es Matlab , con
el cual resolveremos el siguiente ejemplo: Resolver numricamente con 100 iteraciones en el intervalo [1, 100]
la ecuacin diferencial con condiciones iniciales dada a continuacin:
Solucin: Es claro que la ecuacin diferencial dada no tiene una solucin
analtica exacta ya que al realizar separacin de variables nos encontramos con
una funcin que no posee antiderivada. Entonces tenemos que
Un algoritmo en Matlab para realizar la iteracin es el siguiente:
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La grfica del resultado que entrega el programa es la siguiente:
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Resolver la ecuacin diferencial.
con el mtodo de Runge-Kutta de 4 orden con h = 0.5 en el intervalo [0, 20] y
comparar con la solucin exacta
Solucin: Para hallar la solucin numrica por el mtodo de Runge-Kutta
de cuarto orden se elabor un algoritmo en Matlab que grafica la
solucin numrica en rojo marcando los puntos con asteriscos y unindolos por
medio de rectas y en la misma pantalla grafica la solucin exacta en azul.
El programa tambin entrega una tabla que tiene el valor de t en la primera
columna, el valor
y* de la aproximacin hallada numricamente en la segunda columna, el valor
de y exacto en la tercera columna, y el error absoluto | y-y*|. Todo lo anterior en
el intervalo [ 0, 20 ].
El algoritmo en lenguaje Matlab es el siguiente:
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Se tiene entonces:
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Puede observarse en la grfica que la aproximacin realizada por el mtodo de
Runge-Kutta es muy cercana al valor exacto de la solucin, lo cual puede
confirmarse con la vista de los errores absolutos, siendo el mayor error
del orden de 10-3 e igual a cero luego de t =13.5 , es decir, la aproximacin
numrica
es igual a la solucin real en esos casos.
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