Angulo Doble

1IDENTIDADES DEL NGULO MITAD

Por degradacin:

2Sen2 = 1 - Cosx

2Cos2 = 1 + Cosx

Despejando:

Sen =

Cos =

Tg =

NOTA:

El signo + o - va a depender del cuadrante del ngulo

FRMULAS RACIONALIZADAS

Tg = Cscx - Ctgx =

Ctg = Cscx - Ctgx =

Ejemplo:Calcular Sen2230'

Resolucin:

Sen2230' = Sen

Sen2230'=

Sen2230' = =

Sen2230' =

PROPIEDAD

*

*

IDENTIDADES DEL NGULO TRIPLE

Sabemos : Sen(A + B) = SenACosB + SenBCosA

Sea : A = 2x; B = x reemplazando :

Sen(2x + x) = Sen2xCosx + SenxCos2x Sen3x = 2SenxCosx.Cosx + Senx(1 - 2Sen2x)

Sen3x = 2Senx(1 -Sen2x) + Senx(1 -2Sen2x)

Reduciendo :

Sen3x = 3Senx - 4Sen3x

En forma anloga :

Cos3x = 4Cos3x - 3Cosx

Tg3x =

FRMULAS ESPECIALES

Sen3x = Sen(2Cos2x + 1)

Athonx2#custom

2Cos3x = Cosx(2Cos2x - 1)

Tg3x =

Ejemplo : Si Sen2x = Cos3x

donde : 0 < x < 90, calcular : Senx

Resolucin :

2SenxCosx = Cosx(2Cos2x - 1) 2Senx = 2(1 - 2Sen2x) - 1 4Sen2x - 2Senx - 1 = 0Resolviendo : Senx =

por s complementarios

2x + 3x = 90 x = 18 Sen18 =

1 8

7 2

5 - 1

1 0 + 2 5

4

3 6

5 + 1

1 0 - 2 5

5 4

4

PROPIEDADES

1. SenxSen(60 - x)Sen(60 + x) =

CosxCos(60 -x) Cos(60 + x) =

TgxTg(60 - x)Tg(60 + x) = Tg3x

2. Tgx + Tg(x - 120) + Tg(x + 120) = 3Tg3x

Athonx2#custom

101. Si: 90 < x < 180y Cos2x = 49/81, calcular el valor de Cos

A) -4/7 B) -3/7 C) 1/3D) 3/7 E) 4/7

02. Si se tiene que III cuadrante y adems:

Tg = , calcule el valor de:

E = 1 +

A) 5 B) 4 C) 3D) 2 E) 1

03. Si se tiene que: Cscx = 3 + Ctgx, calcule un valorde:

Tg

A) -2 B) +4 C) -1D) +2 E) 2 +3

04. Reducir la expresin:

S = Tgx + Csc(1 - Secx)

A) Tgx B) Ctg(x/2) C) CtgxD) Tg(x/2) E) Sen2x


E = 2Csc20 + Csc40 + Csc80 - Ctg20

A) Tg20 B) Tg10 C) Ctg20D) Ctg10 E) Csc10

06. Simplificar la expresin:

A) Sen2x B) Cos2x C) Tg2xD) Sec2x E) Csc2x

07. Simplificar:

A) 1 B) -1 C) CscxD) Secx E) Cosx

08. Simplificar la expresin:E = Cosx(Tgx/2 + 2Csc2x.[1-Cosx])

A) Senx B) Cosx C) TgxD) Sen2x E) Cos2x


A) Senx B) Cosx C) TgxD) Secx E) Cscx

10. Simplificar la expresin:

M = Secx - Tg

A) -Senx B) -Cosx C) -TgxD) -Ctgx E) -Secx

11. Determine la sumatoria de los n primerostrminos de la serie:

M = Cscx + Csc2x + Csc4x + ........

A) Ctg - Ctg2nx B) Ctg - Ctg2n+1x

C) Ctg - Ctg2n-1x D) Ctg + Ctg2nx

E) Ctg + Ctg2n+1x

12. Encontrar las races de la ecuacin:x2 - 2xCsc + 1 = 0

A) Tg ; Ctg B) Csc ; Ctg

C) 2Csc ; 2Ctg D) Csc ; 2Csc

E) Sec ; Csc

Athonx2#custom

213. Calcular el valor de:

A) B)C) D)E)

14. Si:F(x) = (4Cos24x - 3)Sen7xCos7x

hallar: F(5)A) 1 B) 1/2 C) 1/4D) 1/8 E) 1/16

15. Hallar el mayor valor de x si:

A) n B) 2n C) 3nD) n/3 E) n/2

16. Si: Cosx - Senx = 2/3calcular: Sen3x

A) 21/27 B) 20/27 C) 3/8D) 23/27 E) 7/17

17. Calcule el valor de:E = Sen35Sen55(1 - 4Sen220)

A) 1/2 B) 1/3 C) 1/4D) /2 E) 3/4

18. Del grfico mostrado calcule x

x

4

8

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

19. Calcule Cos2x de la igualdad:

A) 1/3 B) 1/2 C) 2/3D) 3/4 E) 3/7

20. Del grfico mostrado calcule 27h

h3

2 2

B

C

AO

D

E

A) 184 B) 164 C) 124D) 154 E) 144

TAREATAREA

21. Simplificar:

A) B) C) 2Ctg

D) Ctg E)

22. Si se cumple que: Csc2x = Cosx + Ctg2xcalcular: E = (1 + Cos2x)(3 + Cos2x)

A) +1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

23. Si:CscA + CscB + CscC = CtgA + CtgB + CtgC

hallar:

A) 1 B) 2 C) 3D) 1/2 E) 1/3

24. Si se tiene que: 2 < x < 3, reducir laexpresin:

A) - Senx B) - Cosx C) - /2SenxD) - /2Cosx E) Senx/2

Athonx2#custom

325. Determine TgTg si se tiene que:

2SenSen2Tg( - ) = Sen3

A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) 5

26. Dada la igualdad:

calcule el valor de: E = 2 + a Tg20

A) +1 B) +3 C) +5D) +7 E) +9

27. Calcule el mnimo valor positivo de:

A) 2 /3 B) /3 C) 4 /3D) 5 /3 E) 2

28. Calcular m: Ctg18 = mCtg36

A) B) C)D) E) 1

29. Hallar el valor de m, para que la siguienteigualdad:

sea una identidad

A) /8 B) /4 C) 3 /2D) 3 /4 E) 2 /3

30. Calcular el valor de

A) 10 B) 15 C) 20D) 25 E) 30

Athonx2#custom

Angulo Doble

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