angulo solido

educativo: física y matemática Germán A. Arias

El ángulo sólido Ω

Antes que nada, recordemos que un ángulo plano mide la abertura entre dos líneas, o semirrectas, que se interceptan. Dichas líneas constituyen los lados del ángulo y, al punto donde se interceptan estas líneas, se le llama vértice del ángulo. Los ángulos, pueden medirse ya sea en grados o en radianes. Sin embargo, nos referiremos solamente a la medida de un ángulo en radianes, ya que es este concepto, extendido a tres dimensiones, lo que nos permitirá definir lo que es un ángulo sólido.

Recordemos, entonces, que para medir un ángulo en radianes, debemos trazar un arco de circunferencia entre los lados del ángulo. De tal forma que el centro de la circunferencia utilizada para trazar dicho arco se encuentre en el vértice del ángulo a medir. La medida del ángulo en radianes, se define entonces como

= s / r

donde , representa el ángulo medido, s a la longitud del arco de circunferencia trazado, y r al radio de la circunferencia utilizada para trazar el arco. De lo anterior se ve que un radián se define como el ángulo subtendido por un arco de circunferencia cuya longitud es igual a la del radio de la circunferencia, de tal forma que s / r = 1.

Puede comprobarse fácilmente que, sin importar la magnitud del radio de la circunferencia utilizada, se

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obtendrá siempre la misma medida para el ángulo.

Es decir, que de la figura anterior,

= s1 / r1 = s2 / r2 = s3 / r3

Extendiendo ahora este concepto a tres dimensiones, definimos el ángulo sólido como

= S / r2

donde S es el área interceptada por la superficie del cono, que describe o genera el ángulo sólido, sobre una esfera de radio r, con centro en el vértice del ángulo sólido.

De forma similar a lo que sucede en el caso de ángulos planos, no importa el radio de la esfera interceptada por el cono, el ángulo sólido medido será siempre el mismo. Obsérvese, además, que el





ángulo sólido también es adimensional, puesto que se obtiene al dividir un área (longitud al cuadrado) entre el radio de la esfera al cuadrado (nuevamente longitud al cuadrado).

El ángulo sólido se utiliza frecuentemente en la demostración y aplicación del teorema de Gauss, en electrostática. En este caso, generalmente se utiliza para encontrar el flujo eléctrico a través de un área determinada, no necesariamente la superficie de una esfera. Para comprender esto, nótese que un ángulo sólido puede representar tanto el área interceptada en la superficie de una esfera, como un área interceptada en cualquier otra superficie.

Además, hay que mencionar que el cono generado por el ángulo sólido no necesariamente debe ser un cono circular, puede ser un cono de forma más general. De esta forma, se pueden abarcar diversas superficies y encontrar el ángulo sólido por medio de integración. Puesto que una diferencial de área de dicha superficie irregular, al ser tan pequeña, puede considerarse como una diferencial de área de la superficie de una esfera. Así, sumando los ángulos sólidos de todas estas diferenciales de área se puede obtener el ángulo sólido total.





Por último, mencionemos que, usualmente, el ángulo sólido (también conocido como ángulo poliedro) se mide en estereorradianes. Definiéndose 1 estereorradián como el ángulo sólido que determina sobre la superficie de una esfera un área equivalente a la de un cuadrado de lado igual al radio de la esfera.




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