Análisis de Fourier aplicado a Telecomunicaciones

Mag. Ing. Javier More

24 de abril de 2021

jmore@pucp.edu.pe

jmore@ieee.org

Objetivo: Al terminar la sesión, comprenderá el siguiente esquema

Datos binarios (tren de bits)

Mapper_1

Mapper_N

Mapper_2

Mapper_N-1

DAC

Tran

sfo

rmad

a R

ápid

a In

vers

a d

e Fo

uri

er

IFFT

(N P

un

tos)

…110000100100100

100100

000100

000000

100111

Si por ejemplo, se trabaja con 64-QAM: 6 bits por

símbolo.

Señal digital

Señal analógica

Por ejemplo: AWS

CPRI

𝐴1𝑒𝑗𝜃1

𝑓𝑁 = 𝑓1 + 𝑁 ∗ ∆𝑓

FH

Fuente: Elaboración propia usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]

Constellation Mapper

Señal RF𝐴2𝑒

𝑗𝜃2

𝐴𝑁−1𝑒𝑗𝜃𝑁−1

𝐴𝑁𝑒𝑗𝜃𝑁

Etapa de RF

Co

nve

rso

r d

e S

eri

ea

Par

ale

lo

IQ stream

𝑓𝑐

𝐸𝑛 4𝐺: ∆𝑓 = 15𝑘𝐻𝑧

𝑓1

𝑓𝑁

𝑓2

𝑓𝑁−1

BB Discreta

ℱ 𝑥(𝑘) = 𝑥(𝑛) =

𝑘=0

𝑁−1

𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁

∗𝑛

A

RRU

ANT

Co

nve

rso

r d

e P

aral

elo

a Se

rie

N Subportadoras: En 20 MHz, hay 1200 subportadoras

PROFESORES

Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)

LagrangeLaplace

Libro disponible en: https://archive.org/details/bub_gb_TDQJAAAAIAAJ/

1807/1808

• Procesamiento de imágenes

• Procesamiento de señales

• Medicina

• Economía - Finanzas

• TELECOMUNICACIONES

Ap

licac

ion

es:

Series y transformada de Fourier

Hay mucha bibliografía sobre el tema:

Para aplicación en telecomunicaciones, buscar bibliografía relacionada a

señales, comunicaciones

Señal senoidal

𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡 + 𝜃)

𝐴: 𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 (𝑉𝑜𝑙𝑡𝑖𝑜𝑠)

𝑓: 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 (𝐻𝑒𝑟𝑡𝑧)

𝜃: 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑎𝑠𝑒 (𝑅𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠)

𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑡)

𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(4𝜋𝑡)

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 1 𝐻𝑧

𝐹𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 2 𝐻𝑧

1 segundo

1 segundo

1 Hz = 1 oscilación por segundo

2 Hz = 2 oscilaciones por segundo

𝑓 =1

𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜=1

𝑇

T = 0.5s

T = 1s

𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜃)

𝜔 =2𝜋

𝑇= 2𝜋𝑓

𝑠 𝑡 = 𝐴 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)𝑆𝑖 𝜃 = 0

Equipamiento usado en Telecomunicaciones

𝑀𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

t

f

Osciloscopio Analizador de espectro

Fuente: Las fotos del Osciloscopio y del Analizador de espectro se obtuvieron de Google imágenes.

𝑀𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑓1 𝑓3 𝑓5 𝑓7 𝑓9 𝑓11 𝑓13 𝑓15 𝑓17 𝑓19

Oscilador: Generador de ondas electromagnéticas

A

B

El osciloscopio permite visualizar las señales en el mundo del tiempo

Ejemplo: Transmisión de señal AM

Tiempo

Frecuencia

Imagen AM: https://laser.physics.sunysb.edu/_doug/koch/787.jpg

Señal portadora: 11 kHz

Señal con la información:

1 kHz

Señal AM

El mundo de la frecuencia

Imagen de radio: https://www.flickr.com/photos/theslowlane/9104380056 Imagen de TV: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Televisi%C3%B3n_peque%C3%B1a_blanco_y_negro.JPG

92.5 MHz 485.1 MHz730 kHz

Serie de Fourier

𝑆 𝑡 =1

2𝑎0 +

𝑛=1

∞

𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔𝑡) + 𝑏𝑛 s𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡) 𝜔 =2𝜋

𝑇

𝑎0 =2

𝑇න−𝑇

𝑇

𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑎𝑛 =2

𝑇න−𝑇

𝑇

𝑠 𝑡 cos 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡 𝑏𝑛 =2

𝑇න−𝑇

𝑇

𝑠 𝑡 sen 𝑛𝜔𝑡 𝑑𝑡

Permite expresar una señal periódica como una suma de señales senos y cosenos:

𝑆 𝑡 =1

2𝑎0 + 𝑎1 cos(𝜔𝑡) + 𝑏1 s𝑒𝑛(𝜔𝑡) + 𝑎2 cos(2𝜔𝑡) + 𝑏2 s𝑒𝑛(2𝜔𝑡) + 𝑎3 cos(3𝜔𝑡) + 𝑏3 s𝑒𝑛(3𝜔𝑡)

Por ejemplo, si desarrollamos la serie hasta n = 3

Amplitudes de cada señal

2 veces la Frecuencia fundamental(2° armónico)

3 veces la Frecuencia fundamental(3° armónico)

Frecuencia fundamental(1° armónico)

DC

Ejemplo: Serie de Fourier de una onda cuadrada

T = 1sA = 2V

-A = -2V

tt=0

𝑆 𝑡 =4 ∗ 𝐴

𝜋s𝑒𝑛(𝜔𝑡) +

1

3s𝑒𝑛(3𝜔𝑡) +

1

5s𝑒𝑛(5𝜔𝑡) +

1

7s𝑒𝑛(7𝜔𝑡) + ⋯

Fácilmente se obtiene la serie de Fourier de una señal cuadrada:

𝑛 = 1 𝑛 = 5 𝑛 = 10

𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 + 3° + 5°+7°+9° 𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 + 3° + 5° + 7° + 9°+. . . +19°

Al ser una función impar, todas las componentes cosenoidales se hacen cero.

*Serie de Taylor*

1685 - 1731

Libro disponible en: https://books.google.co.ve/books?id=r-Gq9YyZYXYC

1712

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!

𝑥 − 𝑥02 +⋯+

𝑓 𝑛 𝑥0𝑛!

𝑥 − 𝑥0𝑛 + ℎ𝑛(𝑥)(𝑥 − 𝑥0)

𝑛+1 𝑓 𝑥 =

𝑛=0

𝑛𝑓 𝑛 𝑥0

𝑛!𝑥 − 𝑥0

𝑛

𝐬𝐢𝐧 𝒙 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!−𝑥7

7!+ ⋯+ (−1)𝑛

𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

𝐬𝐢𝐧 𝒙 =

𝑛=0

𝑛

(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

Caso especial de la serie de Taylor: Maclaurin (𝑥0 = 0)

Aprende más sobre Taylor: https://www.ugr.es/~acanada/docencia/matematicas/definitivoAlejandraTorresMartinezTFG.pdf

*Fórmula de Euler*

1707-1783

𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥

𝑒𝜋𝑖 + 1 = 0

𝒆𝒙 = 1 +𝑥

1!+𝑥2

2!−𝑥3

3!+ ⋯+

𝑥𝑛

𝑛!

𝐬𝐞𝐧𝒙 = 𝑥 −𝑥3

3!+𝑥5

5!−𝑥7

7!+ ⋯+ (−1)𝑛

𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 1 −𝑥2

2!+𝑥4

4!−𝑥6

6!+ ⋯+ −1 𝑛

𝑥2𝑛

2𝑛!

𝒆𝒙 =

𝑛=0

∞𝑥𝑛

𝑛!

𝐬𝐞𝐧𝒙 =

𝑛=0

∞

(−1)𝑛𝑥2𝑛+1

(2𝑛 + 1)!

𝐜𝐨𝐬 𝒙 =

𝑛=0

∞

(−1)𝑛𝑥2𝑛

2𝑛!

Se demuestra fácilmente con la serie de Taylor de cada expresión:

𝑥 = 𝜋Que pasa si:

.x

Im

Re

Cos x

Sen x

𝑒𝑖𝑥 = cos 𝑥 + 𝑖 sen 𝑥

1

i

Serie compleja de Fourier

𝑠 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑛𝑡𝑇

Usando las equivalencias del seno y coseno:

𝑐𝑛 =1

𝑇න0

𝑇

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑛𝑡

𝑇 𝑑𝑡𝑠 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡

sen 𝑥 =1

2𝑖(𝑒𝑖𝑥 − 𝑒−𝑖𝑥) cos 𝑥 =

1

2(𝑒𝑖𝑥 + 𝑒−𝑖𝑥)

Se demuestra fácilmente:

𝑐𝑛 =1

𝑇න0

𝑇

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡𝑑𝑡

Por ejemplo, si desarrollamos la serie hasta n = 3

𝑠 𝑡 = 𝑐1𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡+ 𝑐2𝑒

𝑗4𝜋𝑓𝑡 + 𝑐3𝑒𝑗6𝜋𝑓𝑡

Amplitud

Frecuencia

Transformada de Fourier

s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞

+∞

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡La transformada de Fourier de

una señal s(t):

A

Función pulso unitario: (función rectangular):

t𝒕𝟏 𝒕𝟐

s 𝑓 = න−𝑑2

𝑑2𝐴 ∗ 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 s 𝑓 = 𝐴

𝑒−𝑗𝜔𝑡

−𝑗𝜔−𝒅

𝟐

s 𝑓 = 𝐴𝑒−𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒

𝑗𝜔𝑑2

−𝑗𝜔

−𝒅

𝟐𝒅

𝟐

s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗sin(

𝜔𝑑2)

𝜔𝑑2

s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜔𝑑

2)

𝒅

𝟐

𝒅

s 𝑓 = 𝐴𝑒𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒

−𝑗𝜔𝑑2

𝑗𝜔s 𝑓 =

2𝐴

𝜔

𝑒𝑗𝜔𝑑2 − 𝑒

−𝑗𝜔𝑑2

2𝑗s 𝑓 =

2𝐴

𝜔sin(

𝜔𝑑

2)

s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (2𝜋𝑓𝑑

2)

s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑑)

s 𝑓 = 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑓 =sin 𝜋𝑓

𝜋𝑓

𝜔 = 2𝜋𝑓

Si, d=1 y A=1f

¿Existe la frecuencia negativa?

Transformada de Fourier de una señal coseno

𝑠 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑜𝑡)

TFt

f

Señal que oscila a una frecuencia 𝑓𝑜: Función delta de Dirac: 𝛿

−𝑓𝑜 𝑓𝑜

𝑠 𝑓 =1

2𝛿(𝑓 − 𝑓0) + 𝛿(𝑓 + 𝑓0)

Osciloscopio

Analizador de espectro

Fuente: Las fotos del Osciloscopio y del Analizador de espectro se obtuvieron de Google imágenes.

Ejemplo de Transformada de Fourier de una señal de audio

A E I O U

http://www.domingo-roman.net/vocales_esp_caract_acustica.html

Ejemplo de analizador de espectro en BNL (5 GHz)

El equipo calcula la Transformada de Fourier de todas las señales en el rango de 4920-5960 MHz

Transformada de Fourier y Transformada inversa de Fourier

s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞

+∞

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡

s 𝑡 = TIF 𝑠(𝑓) = ℱ 𝑠(𝑓) =1

2𝜋න−∞

+∞

𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓

TF

TIF

s 𝑓s 𝑡

s 𝑓 s 𝑡

Dominio del Tiempo

Dominio del Tiempo

Dominio de la frecuencia

Dominio de la frecuencia

Tran

sfo

rmad

a d

e

Fou

rier

(TF

)

Tran

sfo

rmad

a In

vers

ad

e F

ou

rier

(TI

F)

Relación entre la Serie de Fourier y la Transformada de Fourier

s 𝑓 = TF 𝑠(𝑡) = න−∞

+∞

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡

La transformada de Fourier de una señal s(t):

𝑠 𝑡 =

𝑛=1

∞

𝑐𝑛𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡

La serie de Fourier de una señal s(t):

𝑐𝑛 =1

𝑇න0

𝑇

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑛𝑡𝑑𝑡

s 𝑡 = TIF 𝑠(𝑓) =1

2𝜋න−∞

+∞

𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓

La transformada inversa de Fourier de una señal s(t):

Ondas discretas

Periodo de muestreo Espacio entre una muestra y otra 𝐹𝑠 =1

𝑇𝑠Frecuencia de muestreo

𝑠 𝑡 𝑥 𝑛 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑛 ∈ ℤ𝑡 = 𝑛𝑇𝑠

𝑠 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡)

𝑁 = 8

𝑁 = 16 𝑁 = 32

𝑁 = 64 𝑁 = 128

𝑇𝑠

El mundo continuo y discreto

Transformada Discreta de Fourier (DFT)

ℱ 𝑠(𝑡) = න−∞

+∞

𝑠 𝑡 𝑒−𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑡 𝑥 𝑘 = ℱ 𝑥 𝑛 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑥 𝑛 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁

∗𝑛

Señal continua Señal discreta

Transformada de “N” puntos

ℱ{s 𝑓 } =1

2𝜋න−∞

+∞

𝑠 𝑓 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑡𝑑𝑓 𝑥 𝑛 = ℱ 𝑥 𝑘 =1

𝑛∗

𝑘=0

𝑁−1

𝑥 𝑘 𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁 ∗𝑛

Transformada de Fourier (FT)

Transformada Discreta Inversa de Fourier (DIFT)Transformada Inversa de Fourier (IFT)

Mundo de señales continuas Mundo de señales discretas: Usado en los sistemas digitales

Transformada discreta de Fourier (DFT)

ℱ 𝑥(𝑛) = 𝑥(𝑘) =

𝑛=0

𝑁−1

𝑥(𝑛)𝑤𝑘𝑛𝑤 = 𝑒

−𝑗2𝜋𝑁

Tiene un alto “costo computacional”: No resulta aplicable para sistemas de telecomunicaciones en tiempo real

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 = 𝑁2𝑆𝑒 𝑒𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑘: 𝐷𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑘 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑘 = 𝑁 − 1

𝑥 𝑘 = 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑥 𝑘 = ℱ 𝑥 𝑛 =

𝑛=0

𝑁−1

𝑥 𝑛 𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑁

∗𝑛

𝑥 𝑛 = 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑛 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑁 = 𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑠(𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 2: 𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗. , 𝟒𝟎𝟗𝟔 𝑒𝑛 4𝐺/5𝐺) 𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐷𝐹𝑇 = 40962 = 16,777,216

𝐶𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝐹𝐹𝑇 = 4096 ∗ 𝑙𝑜𝑔2(4096) = 49,152

Transformada rápida de Fourier (FFT) - 1965

John Wilder Tukey

1915-2000

James William Cooley

1926-2016

Paper disponible en: https://www.ams.org/journals/mcom/1965-19-090/S0025-5718-1965-0178586-1/S0025-5718-1965-0178586-1.pdfAprende más sobre John Tukey: https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Tukey/Aprende más sobre James Cooley: https://history.computer.org/pioneers/cooley.html

Inventó el término bit en 1947 (Bell)

Algoritmo utilizado para comunicaciones en tiempo real

Ejemplo 01: FFT e IFFT

Ejemplo 02: Limpieza de señal en un sistema de TX digital

Señal de entrada

Ruido

+ FFT Filtrado IFFT

Resultado: Señal de salida

Mundo del tiempo

“Mundo de la frecuencia”

Mundo del tiempo

Ejemplo 02 (Parte 01): Generar una señal en tiempo discreto

Se obtiene la gráfica en el tiempo (discreto):

Ejemplo 02 (Parte 02): Cálculo de la FFT

50𝐻𝑧

100𝐻𝑧

200𝐻𝑧

Se obtiene la gráfica en frecuencia

Ejemplo 02 (Parte 03): Recuperación de la señal con la IFFT

Formación de las subportadoras OFDM

න0

𝑇

𝑓1 𝑡 ∗ 𝑓2 𝑡 𝑑𝑡 = 02 funciones son ORTOGONALES en un intervalo [0, T] si:

0 T

Co

nve

rso

r d

e Se

rie

a P

aral

elo

𝐴1𝑒𝑗2𝜋𝑓1𝑡

𝐴2𝑒𝑗2𝜋𝑓2𝑡

𝐴𝑁𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑁𝑡

+Flujo de bits

𝑥(𝑛) =

𝑘=0

𝑁−1

𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁

∗𝑛

𝑥(𝑛) =

𝑘=0

𝑁−1

𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑘∗𝑛

IFFT

“i”-ésima señal OFDM

X

Dominio del Tiempo Dominio de la Frecuencia

“i”-ésima señal OFDM

Información del Símbolo

Tiempo de Símbolo

Fuente: Adaptado de “Introduction to LTE”, Qualcomm.

Permite ahorro de Hardware Revisar una patente relacionada: https://patentimages.storage.googleapis.com/05/a3/f0/7688767a3d24d0/US20080205351A1.pdf

𝑓 → 12 𝑠𝑢𝑏𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑑𝑒 15 𝑘𝐻𝑧 = 180 𝑘𝐻𝑧

t →

7 s

ímb

olo

sO

FDM

= 0

.5 m

s

𝐷𝑢𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛𝑑𝑒𝒔í𝒎

𝒃𝒐𝒍𝒐

=𝑇 𝑠 0

0

1

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

Conversor de Serie a Paralelo

Bits de ingreso

𝑇 𝑠Toda la matriz FxT: 12 SC*7Ts = 1 Bloque de Recurso (PRB)

Elaboración Ing. Javier More.

Si el tiempo de la ventana (Ts) disminuye, se requiere incrementar el ancho de banda de la subportadoraA

t𝒕𝟏 𝒕𝟐

−𝒅

𝟐𝒅

𝟐𝒅 = 𝑻𝒔

s 𝑓 = 𝑑𝐴 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑑) s 𝑓 = 𝑇𝑠 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝑐 (𝜋𝑓𝑇𝑠)𝑠𝑖 𝐴 = 1 𝑦 𝑑 = 𝑇𝑠

Regla: A menor tiempo de símbolo (Ts), se requiere mayor ancho de banda de la subportadora

𝐴𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑏𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 = 1/𝑇𝑠

Esquema simplificado de la etapa de TX OFDM

Datos binarios (tren de bits)

Mapper_1

Mapper_N

Mapper_2

Mapper_N-1

DAC

Tran

sfo

rmad

a R

ápid

a In

vers

a d

e Fo

uri

er

IFFT

(N P

un

tos)

…110000100100100

100100

000100

000000

100111

Si por ejemplo, se trabaja con 64-QAM: 6 bits por

símbolo.

Señal digital

Señal analógica

Por ejemplo: 2100 MHz

CPRI

𝐴1𝑒𝑗𝜃1

𝑓𝑁 = 𝑓1 + 𝑁 ∗ ∆𝑓

FH

Fuente: Elaboración Ing. Javier More usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]

Constellation Mapper

Señal RF𝐴2𝑒

𝑗𝜃2

𝐴𝑁−1𝑒𝑗𝜃𝑁−1

𝐴𝑁𝑒𝑗𝜃𝑁

Etapa de RF

Co

nve

rso

r d

e S

eri

ea

Par

ale

lo

IQ stream

𝑓𝑐

𝐸𝑛 4𝐺: ∆𝑓 = 15𝑘𝐻𝑧

𝑓1

𝑓𝑁

𝑓2

𝑓𝑁−1

BB Discreta

ℱ 𝑥(𝑘) = 𝑥(𝑛) =

𝑘=0

𝑁−1

𝑥(𝑘)𝑒𝑗2𝜋𝑘𝑁

∗𝑛

A

RRU

ANT

Co

nve

rso

r d

e P

aral

elo

a Se

rie

N Subportadoras: En 20 MHz, hay 1200 subportadoras

Fuente: Elaboración Ing. Javier More usando información de [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13] y [14]

Ejemplo de señal LTE y 5G en el analizador de espectro de Matlab

LTE @ BW = 20 MHz 5G @ BW = 100 MHz

Bibliografía[1] O’Neil, Peter. “Matemáticas avanzadas para Ingeniería”.https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/191346/tema2.transf_fourier_v29may2009-2742.pdf

[2] Bonafonte, Antonio. “Señales y Sistemas I. Transformada de Fourier.”https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/191346/tema2.transf_fourier_v29may2009-2742.pdf

[3] Trinidad, Flor. “Transformada de Fourier y su aplicación en procesamiento digital de imágenes”:https://www.fcfm.buap.mx/assets/docs/docencia/tesis/ma/FlorAngelicaTrinidadTorres.pdf

[4] De la Fraga, Luis Gerardo. “La Transformada Discreta de Fourier y la Transformada Rápida de Fourier”.http://cs.cinvestav.mx/~fraga/Cursos/PDI/tdf.pdf

[5] Carlson. “COMMUNICATION SYSTEMS: An Introduction to Signals and Noise in Electrical Communication”

[6] Delmade, Amol. “Performance Analysis of Analog IF over Fiber Fronthaul link with 4G & 5G Co-existence”https://www.researchgate.net/publication/323226935_Performance_Analysis_of_Analog_IF_Over_Fiber_Fronthaul_Link_With_4G_and_5G_Coexistence

[7] M.Gopu. “Multicarrier modulation with OFDM for 4G networks”http://www.ijsrp.org/research_paper_jun2012/ijsrp-June-2012-72.pdf

[8] S. B. Weinstein. “The history of orthogonal frequency-division multiplexing [History of Communications]”https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=5307460

[9] Xie, Jiamin. “A constant envelope variation of OFDM waveform”https://www.researchgate.net/publication/321576662_A_constant_envelope_variation_of_OFDM_waveform

[10] Makni, Mariem. “Heterogeneous Multi-Core Architecture for a 4G Communication in High-Speed Railway”https://www.researchgate.net/publication/287996248_Heterogeneous_Multi-Core_Architecture_for_a_4G_Communication_in_High-Speed_Railway

[11] Rohde-Schwarz. “CPRI RE Testing-Application Note”https://cdn.rohde-schwarz.com/pws/dl_downloads/dl_application/application_notes/1gp78/1GP78_1E_CPRI_RE_Testing.pdf.

[12] MIT. “Principals of Digital Communications”https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-450-principles-of-digital-communications-i-fall-2006/lecture-notes/

[13] CPRI. “Common Public Radio Interface”http://www.cpri.info/downloads/eCPRI_Presentation_for_CPRI_Server_2018_06_22.pdf

[14] Equicom. “Understanding the Basics of CPRI Fronthaul Technology”http://www.equicom.hu/wp-content/uploads/EXFO_anote310_Understanding-Basics-CPRI-Fronthaul-Technology_en.pdf

Gracias24 de abril de 2021

jmore@pucp.edu.pe

jmore@ieee.org