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Análisis de Imágenes Digitales

Filtros espaciales suavizantes

Dr. Wilfrido Gómez Flores

Introducción

paso bajo paso alto paso banda

rechaza banda

Filtrado es un concepto tomado del procesamiento en el dominio de la frecuencia.Se re�ere a pasar, modi�car o rechazar componentes de frecuencia especí�casde una imagen. Los grá�cos ilustran los diferentes tipos de �ltros existentes deacuerdo con las componentes de frecuencia que preservan.

1/31 Filtros espaciales suavizantes AID-03

Introducción

El �ltrado espacial modi�ca una imagen reemplazando el valor de cada píxelpor una función de los valores de el píxel y sus vecinos. Un �ltro espacial utilizauna ventana (máscara o kernel) que se desplaza píxel por píxel generando unaimagen �ltrada. El origen del �ltro se ubica sobre la coordenada (x, y) del píxelque será modi�cado. Un �ltro espacial puede ser lineal o no lineal.


Filtros lineales

Un �ltro lineal realiza una suma de productos entre una imagen f y una ventanade �ltro w. El tamaño de w (m × n) de�ne el vecindario y sus coe�cientesdeterminan la naturaleza del �ltro. En este ejemplo, el píxel modi�cado es

g(x, y) = w(−1,−1)f(x−1, y−1)+. . .+w(0, 0)f(x, y)+. . .+w(1, 1)f(x+1, y+1)


Filtros lineales

Paso bajo Paso alto Paso banda

Secciones transversales de �ltros espaciales lineales típicos. El �ltro paso bajosgeneralmente se usa para reducción de ruido, mientras que el �ltro paso alto esutilizado para detección de bordes. El �ltro paso banda comúnmente se utilizapara el realce de características como las texturas.


Filtros lineales

La convolución espacial es sinónimo de �ltrado lineal espacial:

w ∗ f(x, y) =

a∑s=−a

b∑t=−b

w(s, t)f(x− s, y − t) (1)

para x = 0, 1, . . . ,M − 1 y y = 0, 1, . . . , N − 1, y a = (m− 1)/2

y b = (n− 1)/2 asumiendo que m y n son enteros impares.

El signo menos alinea las coordenadas de f y w cuando una de

las funciones es rotada 180◦; por convención, w se rota.

Si w no se rota, se obtiene la correlación espacial :

w ∗◦f(x, y) =

a∑s=−a

b∑t=−b

w(s, t)f(x+ s, y + t) (2)

Si w es simétrico con respecto al origen, entonces convolución y

correlación obtienen el mismo resultado.5/31 Filtros espaciales suavizantes AID-03

Filtros lineales

La función f representa un impulso unitario discreto. Para evitar operacionesinde�nidas en los bordes de f , se realiza un zero-padding. La convolución generauna copia exacta de w sin rotar (respuesta al impulso), mientras que con lacorrelación se obtiene una copia de w rotada 180◦.


Filtros lineales

La convolución genera una copia exacta de w sin rotar.


Filtros lineales

La correlación genera una copia rotada 180◦ de w.


Filtros lineales

Algunas propiedades importantes de la convolución. La correlación solosatisface la propiedad distributiva.

Propiedad Expresión

Conmutativa f ∗ g = g ∗ fAsociativa f ∗ (g ∗ h) = (f ∗ g) ∗ hDistributiva f ∗ (g + h) = (f ∗ g) + (f ∗ h)


Filtros lineales

Convoluciones en secuencia: w = w1 ∗ w2 ∗ . . . ∗ wK .

Una ventana es separable si w = vwT , donde v y w son vectores

de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.

Si w puede descomponerse en dos ventanas tal que w = w1 ∗w2:

w∗f = (w1∗w2)∗f = (w2∗w1)∗f = w2∗(w1∗f) = (w1∗f)∗w2 (3)

Ventaja computacional de ventanas separables:

C =MNmn

MN(m+ n)=

mn

m+ n(4)

donde el numerador es el número de operaciones para una ventana

no separable, y el denominador para una ventana separable.


Filtros lineales suavizantes

Los �ltros suavizantes son utilizados para reducir ruido y borrar

detalles irrelevantes en una imagen.

La suma de los coe�cientes de la ventana debe ser la unidad para

evitar introducir un sesgo en el �ltrado.

El �ltro paso bajos más simple calcula la media de los vecinos de

el píxel f(x, y):

g(x, y) =

∑(s,t)∈w

f(s, t)∑(s,t)∈w

w(s, t)(5)

y se denomina �ltro promedio o �ltro de caja.



La ventana de un �ltro promedio se implementa como:

w =1

mn

1 2 ··· m

1 1 · · · 1 1

1 1 · · · 1 2

......

. . ....

...

1 1 · · · 1 n

(6)

Forma separable: w = vwT donde

v =1

m· [1, 1, . . . , 1]T y w =

1

n· [1, 1, . . . , 1]T

son vectores de tamaño m× 1 y n× 1, respectivamente.



(a) (b)

(c) (d)

(a) Imagen original de 500 × 500. Resultados del �ltro paso bajo promedio detamaño: (b) 5× 5, (c) 11× 11, y (d) 21× 21.



Una alternativa al �ltro promedio es el �ltro de media geométrica:

g(x, y) =

∏(s,t)∈w

f(s, t)

1mn

(7)

= exp

∑(s,t)∈w

log f(s, t)

1mn

(8)

Por conveniencia, la imagen f debe estar en el rango (0, 1] para

evitar sumas muy grandes.

Tiene mejor desempeño que el �ltro promedio en la preservación

de detalles �nos de los objetos.



(a) Imagen original con ruido Gaussiano. (b) Filtro promedio de tamaño 3 × 3.(c) Filtro de media geométrica de tamaño 3× 3.



El �ltro Gaussiano es un �ltro isotrópico, esto es, su respuesta es

independiente de la orientación:

w(s, t) =1

k· exp

(−s

2 + t2

2σ2

),

s = − (m−1)2 , . . . , (m−1)2

t = − (n−1)2 , . . . , (n−1)2

(9)

donde σ2 es la varianza y k es la suma de todos los coe�cientes

en la ventana que garantiza∑

(s,t)∈w w(s, t) = 1.

Forma separable:

w(r) =1

k· exp

(− r2

2σ2

)(10)



0

2

3

10-3

2

4

1 30 21-1

6

0-2 -1-3 -2-3

03

2

2 3

4

10-3

1 2

6

0 1

8

0-1-1-2 -2

-3 -3

Original Filtro promedio Filtro Gaussiano

Desempeños del �ltro promedio versus �ltro Gaussiano.



Efecto del tamaño del �ltro Gaussiano m×m y el valor de σ.


Filtros con estadísticos de orden

Filtros con estadísticos de orden � basados en el ordenamiento de

los píxeles contenidos en una región w.

Suavizado � el valor del píxel central en w se reemplaza por un valor

determinado por el resultado del ordenamiento: mínimo, máximo,

mediana, etc.

Filtro de mediana � reemplaza el valor del píxel central por el valor

de la mediana del vecindario (percentil 50):

g(x, y) = mediana(s,t)∈w

{f(s, t)} (11)

donde w es una ventana de tamaño m× n.



(a) (b)

El �ltro de mediana es particularmente efectivo cuando el patrón de ruido consistede componentes atípicas (ruido impulsivo) y se desea preservar la agudeza de losbordes. En la mitad izquierda: (a) ruido sal y pimienta, y (b) ruido Gaussiano, yen la mitad derecha efecto de una ventana de tamaño 3× 3.



El �ltro de mediana híbrido obtiene información de diferentes direc-

ciones espaciales: D�diagonal, R�vertical y horizontal, y C�central.

El píxel central se remplaza con la mediana de las medianas de cada

dirección:

g(x, y) = mediana {mediana(D),mediana(R),C} (12)


Filtros con estadísticos de ordenR

uid

o s

al y p

imie

nta

Filtro mediana 5x5 Filtro mediana hibrido 5x5

Ru

ido

Ga

ussia

no

El �ltro mediana híbrido preserva mejor la agudeza de los objetos.


Filtro de difusión

Cuando existen componentes de ruido en diferentes escalas, un

solo �ltro puede no ser efectivo.

Se puede utilizar un banco de �ltros Gaussianos con σ creciente

aplicados sucesivamente a la imagen (scale-space).

Imagen ruidosa


Filtro de difusión

Imagen ruidosa Un solo filtro Banco de filtros

Izquierda: imagen contaminada con ruido Gaussiano. Centro: imagen �ltrada conun solo �ltro Gaussiano con σ = 5, aun se mantienen componentes ruidosas.Derecha: imagen �ltrada con un banco �ltros Gaussiano con σ = [1, 1.5, . . . , 5],aunque se logra reducir el ruido la imagen se ha perdido agudeza en los detalles.


Filtro de difusión

Aplicar sucesivamente �ltros Gaussianos equivale a resolver la

ecuación de difusión lineal:I(x, y, 0)= I0(x, y)

∂I(x,y,t)∂t = ∇2I(x, y, t)

(13)

donde ∇2I = ∇ · ∇I es el operador Laplaciano.

En física: la temperatura de un cuerpo se tiende a uniformizar a

medida que pasa el tiempo.

En imágenes: los niveles de intensidad tienden a ser uniformes

dentro de regiones homogéneas.


Filtro de difusión

Discretización de (13) para cuatro vecinos:

It+1i,j = Iti,j + 1

4 [∇NI +∇SI +∇W I +∇EI]ti,j (14)

donde ∇ indica gradiente de la imagen I en las direcciones N (arri-

ba), S(abajo), W (izquierda) y E (derecha):

∇NI = Ii−1,j − Ii,j ∇EI = Ii,j+1 − Ii,j∇SI = Ii+1,j − Ii,j ∇W I = Ii,j−1 − Ii,j


Filtro de difusión anisotrópico

Problema � cuando t→∞, se reduce más ruido aunque la ima-

gen se distorsiona por `emborronamiento'.

Solución � detener la difusión en los bordes de los objetos para

evitar emborronarlos:

∂I(x, y, t)

∂t= ∇ · [g (∇I)∇I] (15)

donde g(·) es una función de conducción:

g (∇I) =1

1 +(|∇I|2κ2

) (16)

donde κ es una constante que controla la extensión de la difusión.

g → 0 sobre los bordes y g → 1 en regiones homogéneas.



Discretizando (15) se obtiene el �ltro de difusión anisotrópico:

It+1i,j = Iti,j + λ [gN · ∇NI + gS · ∇SI + gW · ∇W I + gE · ∇EI]ti,j

(17)

dondegN = g (∇NI) gE = g (∇EI)

gS = g (∇SI) gW = g (∇W I)



Comparativo de imágenes con ruido Gaussiano e imágenes �ltradas con difusiónanisotrópico: κ = 2, λ = 0.1 y tmax = 300.


Medidas de desempeño

La estimación de la potencia de ruido cuanti�ca la degradación de

una imagen original con respecto a su versión contaminada.

El desempeño de un �ltro se puede medir en términos de la esti-

mación de la potencia de ruido en decibelios:

PSNR = 10 · log10

max (f(x, y))2

1MN

M−1∑x=0

N−1∑y=0

[f(x, y)− g(x, y)]2

(18)

SNR = 10 · log10

M−1∑x=0

N−1∑y=0

f(x, y)2

M−1∑x=0

N−1∑y=0

[f(x, y)− g(x, y)]2

(19)

donde f es la imagen de referencia y g es la imagen degradada.


Medidas de desempeño

La cantidad de ruido también se puede medir como el error que se

introduce a la imagen original:

MSE =1

MN

M−1∑x=0

N−1∑y=0

[f(x, y)− g(x, y)]2

(20)

MAE =1

MN

M−1∑x=0

N−1∑y=0

|f(x, y)− g(x, y)| (21)

(a) (b) (c)

(a) Imagen referencia, (b) imagen ruidosa: 17 dB/23 dB/302/13 y (c) imagen�ltrada: 22 dB/28 dB/96/6 (SNR/PSNR/MSE/MAE).


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