ANÁLISIS DE LA VARIANZA CON VARIOS FACTORES

1.- Introducción ................................................................................................................................ 2 2.- Diseños simples y diseños factoriales ......................................................................................... 2 3.- Interacción entre factores ........................................................................................................... 5 4.- Aplicación práctica. Cálculo manual ............................................................................................ 8 5.- Aplicación práctica. SPSS ...........................................................................................................14

Carlos Camacho Universidad de Sevilla

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ANALISIS DE LA VARIANZA CON VARIOS FACTORES 1.- Introducción En el tema anterior desarrollábamos una prueba -el análisis de la varianza para un factor- que nos permitía estudiar la relación entre una variable cualitativa de k categorías y otra cuantitativa. En el presente capitulo ampliaremos este tipo de análisis en el sentido de que estudiaremos la relación entre dos variables cualitativas y una variable cuantitativa. El análisis que desarrollaremos se denomina análisis de la varianza para planes factoriales con dos factores, y entran dentro del amplio apartado que constituyen los diseños factoriales. 2.- Diseños simples y diseños factoriales Se entienden por diseños simples aquellos diseños en los cuales solo se estudia la influencia de una única variable independiente sobre la variable dependiente, que en psicología es la conducta. Este es el caso de los diseños hasta ahora estudiados. Por ejemplo, influencia de la motivación sobre el rendimiento. Aquí la única variable independiente es la motivación. Este tipo de diseños se denominan también diseños clásicos por ser los únicos utilizados durante un cierto periodo histórico. Los diseños factoriales se caracterizan por estudiar el efecto de varias variables independientes -factores-, conjunta y simultáneamente sobre la ·conducta. Este sería el caso, por ejemplo, si deseáramos averiguar el efecto que sobre el rendimiento tuviera, no sólo la motivación sino también la personalidad. El rendimiento, como se sabe, sería el aspecto de la conducta que desearíamos estudiar, es decir la variable dependiente. Y tendríamos dos variables cuyo efecto sobre la conducta estaríamos interesados: la motivación y la personalidad. Esta serían las variables independientes. Los diseños factoriales presentan notables ventajas respecto a los diseños clásicos. Estas ventajas pueden resumirse en los siguientes puntos: a.- Mejor ajuste con la realidad del fenómeno b.- Exigencia de un menor número de individuos c.- Permite conocer la interacción entre los factores Pasemos a desarrollar más explícitamente cada uno de estos puntos.

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a.- Mejor ajuste con la realidad del fenómeno Los experimentos clásicos sólo permiten detectar la influencia de una única variable independiente sobre la conducta. Y es un hecho bien conocido que la complejidad de la conducta se debe a la existencia de múltiples factores de variación que inciden sobre ella. Elijamos el ejemplo anterior. Supongamos que nos interesa exclusivamente el efecto de la inteligencia sobre el rendimiento. Estamos de acuerdo en que la inteligencia es un factor relevante. Y cualquier estudio que nos permita conocer la incidencia de este factor es válido. Pero una investigación de estas características sería insuficiente e imprecisa. Sobre la conducta, sobre el rendimiento en este caso, influyen multitud de (actores además de la inteligencia, tales como la motivación, personalidad, hábitos de estudio memoria… etc. Y la resultante de una combinación especial de todos ellos es lo que nos dará lugar a un determinado rendimiento. Pero de por sí, exclusivamente uno solo de ellos es incapaz de explicar la conducta. En la medida que la conducta es una respuesta global ante un conjunto de factores, convienen contemplar el mayor número de ellos. Precisamente este mayor rango de variables en la respuesta conductual es lo que contemplan los diseños factoriales en relación a la parcial y delimitada de los diseños simples. Así pues, como la realidad de la conducta es multifactorial son los diseños factoriales procedimientos más adecuados para el estudio de la misma. b.- Necesidad de un menor número de individuos. Efectivamente, los diseños factoriales, para una misma potencia estadística exigen menor número de individuos que un diseño clásico análogo. Y este número es inversamente proporcional al número de factores considerados. Alta Baja _______________ 20 20 40 _______________ Supongamos ahora que nos interesa el efecto de la personalidad sobre el rendimiento. Aquí distinguiremos dos niveles también: extrovertidos e introvertidos. Los datos quedarían de la siguiente forma:

Extrovertidos Introvertidos _____________________________

20 20 40

_____________________________

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Sin embargo desde la aplicación de un diseño factorial podemos estudiar la influencia de ambos factores simultánea y conjuntamente en una única experiencia y el número de individuos necesarios sería exactamente la mitad: Extrovertidos Introvertidos _____________________________ Alta 10 10 20 Baja 10 10 20 _____________________________ 20 20 40 Efectivamente, comprobaremos que el número de individuos por nivel en cada uno de los factores es de 20; la misma cantidad que en los anteriores diseños clásicos. Ello significa que la potencia estadística es la misma, con la ventaja adicional de que hemos necesitado tan solo 40 individuos. Por otro lado, ha habido una economía de tiempo y de esfuerzo, puesto que sólo ha sido realizado un sólo experimento, frente a los dos necesarios en un diseño clásico. c.- Conocimiento de la interacción entre los factores Los diseños factoriales permiten conocer no solamente el efecto por separado de cada uno de los factores, sino además la posible interacción entre ellos. Se dice que existe interacción cuando el efecto de un factor sobre la variable dependiente depende de los niveles que adopte el otro factor. Continuemos con el ejemplo en el que estudiábamos el posible efecto de la motivación y la personalidad sobre el rendimiento. Diremos que no existe interacción entre motivación y personalidad cuando el efecto de la motivación sobre la conducta es siempre el mismo sea cual fuere los niveles que adopte la variable personalidad, y viceversa. En otras palabras, no existe interacción si, por ejemplo, los motivados obtienen siempre el mismo rendimiento sean extrovertidos o introvertidos, y si lo mismo ocurre con los no-motivados. Por el contrario, existe interacción entre motivación y personalidad cuando el efecto de la motivación sobre la conducta depende de los niveles que adopte el factor personalidad, o lo que es lo mismo el efecto de la personalidad en la conducta viene condicionado por el valor que adopte la motivación. Hablaríamos de interacción si, por ejemplo, los extrovertidos obtuvieran un mayor rendimiento al ser motivados, mientras que los introvertidos disminuyeran en sus puntuaciones.

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3.- Interacción entre factores Desarrollando el ejemplo que estamos tratando, veamos los diferentes casos de interacción que pueden presentársenos: a.- No influencia de ninguno de los factores. No interacción Esto significa que todos los individuos obtienen siempre la misma puntuación sean extrovertidos o no, motivados o no. En la siguiente tabla vienen indicados (datos ficticios) las puntuaciones que los sujetos han obtenido en un test de rendimiento: Extrovertidos Introvertidos _____________________________ Alta 17 17 Baja 17 17 _____________________________ 20 20 Todos los sujetos han obtenido, por término medio, 17 puntos. Representemos estos datos sobre un sistema de ejes cartesianos. Sobre el eje de las ordenadas colocaremos las puntuaciones en dicho test, y sobre el eje de la, abscisas los dos niveles de motivación: alta y baja. Utilizaremos dos tipos de líneas: una correspondiente a extrovertidos y otra correspondiente a introvertidos. En este caso, al ser todos los promedios iguales, ambas rectas se superponen. El gráfico sería el siguiente: 35 30 25 Extro. 20 15 10 Intro 5

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b.- Influencia de la personalidad pero no de la motivación. No interacción En este caso hay diferencia entre los sujetos extrovertidos e introvertidos, pero no existe entre los motivados y no motivados. Los datos y el grafico correspondiente serán: Extro. Intro. 35 _____________ 30 Intro 25 Alta 20 30 20 Extro 15 Baja 20 30 10 ______________ 5 Baja Alta Ambas rectas son paralelas al eje de las abscisas, lo que significa que no afecta la motivación. Por otro lado, son paralelas entre sí, lo que demuestra un efecto de la personalidad. Esta distancia de 10 puntos es precisamente la diferencia entre extrovertidos e introvertidos. c.- Influencia de la motivación pero no de la personalidad. No interacción En este caso, hay diferencia en lo que respecta a rendimiento entre sujetos motivados y no motivados, pero no entre extrovertidos e introvertidos. Los datos quedarían reflejados de la siguiente manera: Extro. Intro. 35 _____________ 30 Intro 25 Alta 20 20 20 Extro 15 Baja 10 10 10 ______________ 5 Baja Alta

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d.- Influencia de ambos factores. No interacción Tanto 1a motivación como la personalidad influyen en el rendimiento. No existe interacción porque la motivación afecta por igual a los extrovertidos e introvertidos. Extro. Intro. 35 _____________ 30 Intro 25 Alta 30 25 20 Extro 15 Baja 20 15 10 ______________ 5 Baja Alta Ambas rectas son paralelas entre sí, lo que significa que hay influencia de la personalidad, pero ausencia de interacción entre los factores. La pendiente de ambas rectas con el eje de las abscisas indica una influencia de la motivación. e.- Influencia de ambos factores. Sí interacción Este es el caso más interesante. Significa, no solamente que los factores tienen un efecto sobre la conducta, sino que, además, el efecto de cada uno de los factores es distinto según los niveles que estemos tratando del otro factor. Veamos las siguientes puntuaciones: Extro. Intro. 35 Extro. _____________ 30 25 Alta 30 15 20 Intro. 15 Baja 20 25 10 ______________ 5 Baja Alta

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De los resultados obtenidos se desprende que la motivación no ha afectado por igual a los extrovertidos que a los introvertidos. Los extrovertidos han mejorado de rendimiento al aumentar la motivación. Por el contrario, los introvertidos han disminuido su rendimiento con un incremento de la motivación. Esto viene expresado claramente en el gráfico. La línea de los extrovertidos es ascendente, mientras que la de los introvertidos es descendente. En consecuencia, ambas rectas se cortan. El hecho de que las rectas, o sus prolongaciones se corten en algún punto es indicativo de la existencia de interacción. Existe influencia de la motivación porque ambas rectas no son paralelas al eje de las abscisas, y existe influencia de la personalidad porque ambas rectas no se superponen. 4.- Aplicación práctica. Cálculo manual Deseamos estudiar la influencia que dos factores: motivación y personalidad puedan ejercer sobre el rendimiento escolar. En el factor motivación hemos distinguido dos niveles: baja y alta motivación. En el factor personalidad hemos distinguido otros dos niveles: extrovertidos e introvertidos. Los datos vienen presentados en la siguiente tabla:

Extrovertido Introvertido

_______________________________________ Baja Alta Baja Alta

_______________________________________

10 15 16 17 6 13 15 16 8 16 18 15 5 10 10 12 7 12 10 10

7 9 12 11 ________________________________________

Se trata de un plan factorial de 2 x 2 con 6 repeticiones. Dos niveles presenta el factor motivación, y otros dos el factor personalidad, lo que nos proporciona un total de 2 x 2 = 4 grupos. En cada grupo existen 6 observaciones. La lógica del análisis es la misma que la del tema anterior del ANOVA con un factor. En este caso tenemos 2 factores, pero seguiremos un procedimiento equivalente. Igual que en el ANOVA realizaremos una prueba genérica (ómnibus), para ver si hay alguna diferencia entre los grupos. En este caso, nos olvidamos de los factores subyacentes y hacemos una comparación de las medias de los 4 grupos, que resultan de las distintas combinaciones de factores. Si las medias son todas iguales (a nivel poblacional) está claro que no influye ninguno de los factores. A este respecto tenemos las siguientes medias:

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𝑋�1 =756

= 12.5

𝑋�2 =436

= 7.17

𝑋�1 =816

= 13.5

𝑋�1 =816

= 13.5

Y la media total:

𝑋�𝑡 =12.5 + 7.17 + 13.5 + 13.5

4= 11.67

Sabemos que podemos hacer la siguiente descomposición en el ANOVA:

��𝑋𝑖𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�2 =��𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�

2 + ��𝑋𝑖𝑖 − 𝑋�𝑖�2

𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑐𝑡𝑆𝑡 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑑𝑒𝑒𝑡𝑒𝑐𝑆𝑑𝑆 + 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑛𝑐 𝑑𝑒𝑒𝑡𝑒𝑐𝑆𝑑𝑆

La suma de cuadrados explicada, como se sabe, es la debida a los tratamientos o intergrupo, y la no explicada, es la que no conocemos que es justamente la debida al azar, aleatoria, residual, error …, etc (dependiendo del contexto de investigación donde nos encontremos). En base a esta igualdad es más sencillo calcular primeramente la suma de cuadrados total y explicada, y más adelante la no explicada, como diferencia entre ellas. En relación a la suma de cuadrados total:

��𝑋𝑖𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�2 = (10− 11.67)2 + (6 − 11.67)2 + … + (10− 11.67)2 + (11− 11.67)2 = 315.33

Obsérvese que hemos sumado los 24 sujetos de los 4 grupos. En relación a la suma de cuadrados explicada o intergrupo: ��𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�

2 = (12.5 − 11.67)2 + … + (7.17 − 11.67)2 + … + (13.5− 11.67)2 + … + (13.5 − 11.67)2 = 166

Aquí también hemos sumado los 24 individuos, pero considerando que los 6 sujetos de cada grupo tienen las misma medias, tanto de su grupo como la total. Es equivalente a esta otra expresión conocida:

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𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 = 𝑛�(𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡)2𝑘

𝑖=1

Donde multiplicamos por 6 la suma de cuadrados de las medias. Hay que tener en cuenta que es la suma de cuadrados explicada por todos los sujetos. Y ahora, la suma de cuadrados no explicada o intragrupo sería la diferencia entre la suma de cuadrados total e intergrupo: 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑐𝑆𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 = 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑡𝑐𝑡𝑆𝑡 − 𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑑𝑑 𝑐𝑆𝑆𝑑𝑐𝑆𝑑𝑐𝑐 𝑒𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐

��𝑋𝑖𝑖 − 𝑋�𝑖�

2 = ��𝑋𝑖𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�2 −��𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡�

2 = 315.33− 166 = 149.33

Y con estos datos podremos configurar la siguiente tabla:

Como siempre, podemos recurrir a las tablas:

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Así:

𝐹(3,20,0.05) = 3.10 Como el valor obtenido es 7.41 > 3.10, rechazaríamos la Ho con un riesgo máximo de 0.05. Por tanto, podemos concluir con este margen de error que existe diferencia entre estos 4 grupos.4 También si queremos ser más exactos, recurriremos a tablas estadísticas on line:

Donde la probabilidad de equivocarnos p = 0.0016 ya es más exacta. Sabemos que hay diferencia en esos 4 grupos. La cuestión ahora es detectar el factor o factores que lo ocasionan. En este sentido, se supone que la variabilidad que los sujetos presentan en sus puntuaciones es debida a tres posibles componentes: a) motivación, b) personalidad y c) interacción entre motivación y personalidad. Para conocer el efecto principal de la motivación calcularemos la suma de cuadrados intergrupo debida a esta variable. En este sentido tenemos dos grupos: extrovertidos e introvertidos cada grupo constituido por 12 sujetos. Así:

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Extrovertido Introvertido _______________________________________

10 15 16 17

6 13 15 16 8 16 18 15 5 10 10 12 7 12 10 10

7 9 12 11 ________________________________________

Cuyas medias son:

𝑋�𝐸 =13012

= 9.83 𝑋�𝐼 =16212

= 13.5 Y la media total:

𝑋�𝑇 =28024

= 11.67 Y la suma de cuadrados intergrupo debida a la personalidad:

𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 𝑒𝑑𝑐𝑐. = 𝑛�(𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡)2𝑡

𝑖=1

= 12 ∗ (9.83 − 11.67)2 + 12 ∗ (13.50 − 11.67)2 = 80.67

En relación a la motivación, tenemos igualmente dos grupos: Baja Alta

_______________________________________

10 16 15 17 6 15 13 16 8 18 16 15 5 10 10 12 7 10 12 10

7 12 9 11 ________________________________________

Cuyas medias (y media total) son:

𝑋�𝐵 =15612

= 13 𝑋�𝐴 =12412

= 10.33 𝑋�𝑡 =28024

= 11.67

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Y la suma de cuadrados intergrupo debida a la motivación

𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 𝑆𝑐𝑡. = 𝑛�(𝑋�𝑖 − 𝑋�𝑡)2𝑡

𝑖=1

= 12 ∗ (13 − 11.67)2 + 12 ∗ (10.33 − 11.67)2 = 42.67

Tenemos la suma de cuadrados intergrupo debida a la personalidad y la motivación. También conocemos la suma de cuadrados intregrupo total, que vale 166. Por tanto la suma de cuadrados intergrupo debida a la interacción Motivación * Personalidad:

𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 (𝑆𝑐𝑡 ∗ 𝑒𝑑𝑐𝑐. ) = 𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 𝑡𝑐𝑡𝑆𝑡 − 𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 𝑒𝑑𝑐.−𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 𝑆𝑐𝑡.

Por tanto:

𝑆.𝐶. 𝐼𝑛𝑡𝑑𝑐𝐼𝑐𝑆𝑒𝑐 (𝑆𝑐𝑡 ∗ 𝑒𝑑𝑐𝑐. ) = 166 − 80.67− 42.67 = 42.67

Y con estos datos configuraremos la siguiente tabla, que no es más que la anterior del análisis de la varianza en la que hemos desglosado la fuente de variación intergrupo. De hecho, en las salidas del SPSS sólo sale una tabla equivalente a ésta, aunque en nuestro caso, por razones didácticas hemos realizado ambas:

Dividiendo por sus grados de libertad correspondiente obtenemos las distintas varianzas intergrupo. La comparación de cada una de estas varianzas con la varianza intragrupo (error, residual, azar …) nos indicará en su cociente si la varianza asociada a los distintos factores supera l debida al azar, y en consecuencia si el factor en cuestión es significativo. Procedamos con las tablas. Todos los factores tienen los mismos grados de libertad, luego el valor de referencia que nos indica el límite de la aceptación de la Ho nula será:

F(1,20, 0.05) = 4.35 Por tanto:

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Si recurrimos a las tablas estadísticas on line:

5.- Aplicación práctica. SPSS Retomemos el ejemplo anterior. A efecto de que los datos puedan ser procesados por el SPSS hemos de ajustarlo al formato propio de este programa, donde los sujetos son las filas y las columnas las variables. Así tendremos 24 filas correspondientes a los 24 sujetos (6 sujetos por 4 tratamientos) y 3 columnas que hacen referencia a las 3 variables (Motivación, Personalidad y Rendimiento). Codificamos 0 para motivación baja y 1 para motivación alta. Igualmente 0 para extrovertidos y 1 para introvertidos. De esta forma:

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Vamos a:

Rellenamos este primer cuadro de diálogo:

Haciendo clic en Aceptar tenemos ya lo siguiente:

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Por el momento nos interesa las filas correspondientes a Personalidad, Motivación Personalidad*Motivación, Error y Total corregido. Se observa que la suma de cuadrados de los distintos factores más el Error nos da la suma de cuadrados total (eliminamos del modelo la variabilidad de la Intersección (no interceptación) que no proporciona información relevante). Tenemos que la varianza debida a la Personalidad es 10.804 veces superior a la del Error, lo que nos da una significación de 0.004. Lo mismo con la Motivación y la Interacción, que son 5.714 veces superiores al Error, con una significación de 0.027. Así pues, influyen ambos factores y además existe interacción. Obsérvese que si sumamos el total de la variabilidad explicada por el modelo (42.667+42.667+80.667 = 166) y lo dividimos entre la variabilidad total (315.333) obtendremos 0.526 que es la proporción de variabilidad explicada por dicho modelo (o R cuadrado). Si queremos más información podemos recurrir a descriptivos:

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Obtenemos este descriptivo general:

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Para hacernos una idea más clara del efecto de interacción recurriremos a los gráficos:

Obtendremos:

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Se observa que los extrovertidos reaccionan fuertemente a la motivación, lo que no ocurre en absoluto con los introvertidos.