Análisis de Modelos Matemáticos para el Dengue y el Zika

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Analisis de Modelos Matematicos para

el Dengue y el Zika

por

Angela Marıa Castaneda Oviedo

Trabajo de grado sometido como parte para completar el tıtulo de:

Matematico

en la Facultad de Ciencias

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Abril, 2019

Universidad de los Andes (http://uniandes.edu.co)

[email protected]

Facultad de Ciencias (http://ciencias.uniandes.edu.co)


Departamento de Matem\unhbox \voidb@x \bgroup \let \unhbox \voidb@x \setbox \@tempboxa \hbox a\global \mathchardef \accent@spacefactor \spacefactor \accent 19 a\egroup \spacefactor \accent@spacefactor \futurelet \@let@token ticas (http://matematicas.uniandes.edu.co)

Declaracion de Autorıa

Yo, Angela Marıa Castaneda Oviedo, declaro que este trabajo de grado titulado “ Anali-

sis de Modelos Matematicos para el Dengue y el Zika ” y el trabajo presentado en el son

mıos. Lo confirmo:

Este trabajo se realizo en su totalidad o principalmente durante una candidatura

para obtener un tıtulo de pregrado en esta Universidad.

Cuando alguna parte de este trabajo de grado se haya presentado previamente para

obtener un tıtulo o cualquier otra calificacion en esta universidad o en cualquier

otra institucion, esto se ha establecido claramente.

Donde he consultado el trabajo publicado de otros, esto siempre se atribuye cla-

ramente.

Donde he citado del trabajo de otros, siempre se proporciona la fuente. Con la

excepcion de tales citas, este trabajo de grado es completamente mi propio trabajo.

He reconocido todas las fuentes principales de ayuda.

Cuando el trabajo de grado se basa en un trabajo realizado por mı mismo en con-

junto con otros, he dejado en claro exactamente lo que otros hicieron y en lo que

yo mismo he contribuido.

Firmado: Angela Maria CASTANEDA OVIEDO

Fecha: Abril, 2019

Asesor: Jose Ricardo ARTEAGA BEJARANO

ii

UNIVERSIDAD DE LOS ANDES

Resumen

Facultad de Ciencias

Departamento de Matematicas

Matematico

por Angela Marıa Castaneda Oviedo

El presente trabajo consta fundamentalmente de dos partes: la primera parte es una

monografıa donde se recopilan los modelos matematicos basicos para estudiar enferme-

dades tropicales transmitidas por vectores, en particular, Dengue y Zika. En esta parte

se establecen los modelos matematicos bajo suposiciones mınimas que se deben tener

en cada estudio y ademas se hacen sendos analisis desde el punto de vista matematico.

La segunda parte, es un trabajo exploratorio-investigativo de mi autorıa: El estudio del

brote epidemico del Zika en Colombia que tuvo lugar entre 2015 y 2016. El objetivo de

este estudio es analizar la trayectoria de la enfermedad en Colombia e indagar un poco

acerca de sus posibles causas.

El capıtulo 1 es introductorio al tema de matematicas aplicadas a ciencias de la salud,

en particular a modelos matematicos en Epidemiologıa. En este tambien se explica de

forma mas detallada como esta compuesto el resto del documento. En el segundo capıtu-

lo se introduce el concepto del numero reproductivo basico R0, quiza el mas importante

aporte hasta el momento de las matematicas a modelos epidemiologicos. Adicionalmen-

te, se explica el metodo mas general para el calculo de R0 conocido como la matriz de

la proxima generacion (NGM).

En el capıtulo 3 se estudia un modelo propuesto en otro artıculo para el Dengue. Este

modelo sirve como base para formular el modelo del ZIKA debido a que la unica diferen-

cia es que el modelo del ZIKA involucra dos parametros adicionales: transmision sexual

y transmision vertical de madre a hijo. A este modelo se le calculan los equilibrios del

sistema, se estudia la estabilidad de los mismos y se hace un analisis de bifurcacion de

parametros.

Universidad de los Andes (http://uniandes.edu.co)


Departamento de Matem\unhbox \voidb@x \bgroup \let \unhbox \voidb@x \setbox \@tempboxa \hbox a\global \mathchardef \accent@spacefactor \spacefactor \accent 19 a\egroup \spacefactor \accent@spacefactor \futurelet \@let@token ticas (http://matematicas.uniandes.edu.co)

[email protected]

iii

En el capıtulo 4 se plantea y se hace el analisis de los equilibrios para el modelo del

ZIKA. En el quinto y ultimo capıtulo se hace un ajuste de los datos empıricos a un

modelo simple SIR para cada uno de los Departamentos y Municipios relevantes con el

fin de analizar la expansion de la epidemia y plantear las conjeturas antes mencionadas.

El resultado de este trabajo se plasma en dos conjeturas. La primera conjetura, como

aparecio el brote epidemico y la segunda como fue su dispersion. Para esto se usaron

los datos empıricos bajados de los reportes epidemiologicos semanales del Instituto Na-

cional de Salud, entidad adscrita al Ministerio de Salud y Proteccion Social de Colombia.

Despues del analisis de datos mencionados anteriormente se conjetura que la epidemia

del ZIKA tuvo sus primeros brotes en la zona atlantico-norte de Colombia y luego se

fue expandiendo a otros departamentos y municipios. La segunda hipotesis es que su

dispersion fue debido a la movilidad de personas y quiza por movimiento de mosquitos

llevando la infeccion transportados por el viento en poblaciones cercanas.

Agradecimientos

Agradezco a mi familia, que siempre han estado ahı para mı y a mi asesor por toda la

ayuda prestada y paciencia en la realizacion de esta tesis.

iv

Indice general

Declaracion de Autorıa I

Resumen I

Agradecimientos IV

Lista de Figuras VII

Lista de Tablas VIII

Abreviaciones IX

Sımbolos X

1. Introduccion 1

2. Numero Reproductivo Basico y Metodo de la matriz de la siguientegeneracion 4

2.1. Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2. Interpretacion de la idea detras del metodo de la matriz de la siguientegeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Identificacion de los compartimientos correspondientes a individuos infec-tados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Construccion del modelo equivalente discreto . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.5. Condiciones necesarias para aplicar el metodo de la matriz de la siguientegeneracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Modelo para la transmision del Dengue 12

3.1. Equilibrios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Equilibrio de la poblacion de mosquitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3. Analisis de estabilidad del equilibrio E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.4. Equilibrio endemico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.5. Analisis de la estabilidad del equilibrio E∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.6. Estudio de las bifurcaciones en el modelo del Dengue . . . . . . . . . . . . 23

3.7. Analisis del tipo de bifurcacion que presenta el sistema . . . . . . . . . . 27

3.8. Resumen del modelo del dengue y discusion sobre otros modelos y varia-ciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

v

Contenido vi

4. Modelo para la transmision del ZIKA 36

4.1. Modelo para el ZIKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2. Numero reproductivo basico R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5. Analisis de la epidemia del Zika del 2015-2016 en Colombia 41

5.1. Datos reales a partir de los Boletines epidemiologicos del Instituto Nacio-nal de Salud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5.2. Aproximacion al modelo propuesto para el Zika . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.3. Ajuste del modelo SIR a los datos reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

6. Conclusiones 48

A. Determinacion del equilibrio E1 50

B. Determinacion del numero reproductivo basico Q0 usando la matriz dela proxima generacion. 52

C. Analisis de la estabilidad de E1 54

D. Determinacion del equilibrio endemico 56

E. Determinacion del numero reproductivo basico R0 usando la matriz dela proxima generacion. 58

F. Analisis de la estabilidad de E∗ 60

G. Determinacion del equilibrio E∗ para el modelo del Zika 65

H. Determinacion del numero reproductivo basico R0 usando la matriz dela proxima generacion para el modelo del Zika 68

I. Analisis de la estabilidad de E∗ para el modelo del Zika 70

Bibliografıa 76

Indice de figuras

3.1. Diagrama de flujo: M = MS + MI , N = H + I + R . . . . . . . . . . . . . 15


3.3. Poblacion de mosquitos al variar Q0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4. Humanos infectados al variar R0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Superficie que relaciona Infectados con los parametros Q0 y R0 . . . . . . 27

3.6. Bifurcacion transcrıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


5.1. Avance de la enfermedad por departamentos . . . . . . . . . . . . . . . . 44






vii

Indice de cuadros

3.1. Variables de estado, parametros y constantes del modelo . . . . . . . . . . 14

3.2. Parametros estimados de la transmision de la enfermedad del Denguepara regiones donde la temperatura es de 30 C . . . . . . . . . . . . . . . 26

5.1. Problema de optimizacion donde y es el vector de los datos y y es elvector de los valores aproximados, obtenidos con el modelo SIR simuladoen MatLab. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

viii

Abreviaciones

WHO World Health Organization

INS Instituto Nacional de Salud

NGM Next Generation Matrix

ix

Sımbolos

γ tasa de recuperacion time−1

β parametro de infeccion ind−1 × time−1

R0 numero reproductivo basico adimensional

x

Capıtulo 1

Introduccion

Una epidemia es un brote repentino de una enfermedad que afecta a un porcentaje con-

siderable de una poblacion. En la historia de la humanidad, las epidemias han estado

continuamente presentes afectando de manera importante su desarrollo. Si se pudiera

predecir de manera acertada como funciona y se extiende una epidemia serıa mas factible

controlar sus efectos. Se han propuesto varios tipos de modelos matematicos intentado

ajustar el resultado de su aplicacion a lo observado en la propagacion de enfermedades

reales. La epidemiologıa es la ciencia que se encarga de generar los modelos que puedan

predecir la dinamica de las epidemias y que estos posean significado biologico.

Los primeros esfuerzos realizados para generar un modelo matematico que se ajuste ade-

cuadamente a las dinamicas de una epidemia se remontan a Kermack y McKendrick en

1926 [1], quienes propusieron un modelo donde se dividıa a la poblacion en varios tipos,

los cuales llamaron compartimientos, que interactuaban entre sı. Esta division por com-

partimientos asume que la poblacion puede ser partida en subpoblaciones homogeneas,

donde individuos en distintas subpoblaciones poseen diferencias cuantificables mientras

que individuos dentro de una misma subpoblacion son indistinguibles uno del otro [2].

Esta division en compartimientos con interacciones cuantificables entre ellos hace posi-

ble crear un sistema de ecuaciones diferenciales que describa enteramente las dinamicas

de la enfermedad. Es por esto que esta division en compartimientos se ha vuelto una

practica comun en epidemiologıa.

1

Modelos Matematicos para el Dengue y el Zika 2

Normalmente, al estudiar la dinamica de una epidemia, se divide a la poblacion de hu-

manos en susceptibles, o individuos en riesgo de contraer la enfermedad, e infectados,

individuos que se encuentran padeciendo la enfermedad . No obstante, si dicha enferme-

dad es causada por un virus en lugar de una bacteria se sabe que los individuos que se

recuperan de la misma ganan inmunidad contra ella, por lo que serıa erroneo clasificarlos

de nuevo como susceptibles a la enfermedad. Es por esto que en este caso debe crearse

un nuevo compartimiento donde se encuentren los individuos que han ganado inmuni-

dad contra la enfermedad. Esta division de la poblacion de humanos en Susceptibles(S),

Infectados(I) y Recuperados(R) es usualmente llamada SIR.

El numero reproductivo basico es el mayor aporte que se ha hecho en el campo de la

epidemiologıa. Este corresponde a una metrica la cual indica la cantidad promedio de

individuos que son infectados por otro individuo ya infectado al inicio de una epidemia.

En esta fase, se considera que la distribucion de la poblacion en susceptibles, infectados

y recuperados se mantiene constante y que por tanto el numero reproductivo basico

tambien lo hace. Esto implica que el numero de infectados al inicio de la epidemia cre-

cera de forma exponencial.

Si el numero reproductivo basico es superior a 1, el numero de infectados por la en-

fermedad crecera de forma indiscriminada por lo que se producira lo que comunmente

conocemos como epidemia. Si por el contrario el numero reproductivo basico es inferior

a 1, el numero de infectados decaera y la enfermedad se extinguira por si sola. Este con-

cepto de una metrica que es capaz de determinar cuando prospera la expansion de una

enfermedad fue inicialmente propuesto por George MacDonald [3], mientras estudiaba

y construıa modelos de la expansion de la malaria.

En este trabajo se busca estudiar a fondo algunos modelos matematicos propuestos en

el campo de la epidemiologıa. Para este fin se escogio estudiar las enfermedades del

Dengue y del Zika, enfermedades que guardan cierta similaridad por el hecho de que

son transmitidas por el mismo vector y por tanto pueden estudiarse en conjunto. Por un

lado, el Dengue es una enfermedad ampliamente estudiada y endemica en varias regiones

del mundo. Por otro lado, el Zika, si bien fue descubierto hace ya 70 anos ha ganado


especial atencion en los ultimos anos debido a los brotes recientes en paıses de America

Latina y a la correlacion de la enfermedad con el nacimiento de bebes con microcefalia.

Adicionalmente, el Zika es el primer virus del que se tiene registro que es transmisible

tanto por un vector como por contacto sexual directo entre humanos.

Para la enfermedad del Dengue se estudia a fondo un modelo matematico propuesto

en otro estudio en el cual se considera no solo al Dengue sino tambien a la poblacion

de mosquitos en si como una enfermedad. Para este modelo se hallan sus equilibrios,

su numero reproductivo basico y se estudia en que casos los equilibrios del sistema son

estables. Posteriormente, y con el fin de utilizar el modelo del Dengue para estudiar el

Zika, se le hace un ajuste a este modelo con el fin de incluir transmision directa entre

personas atribuida a la transmision por vıa sexual. A este modelo tambien se le hallan

sus equilibrios, su numero reproductivo basico y se estudia en que casos los equilibrios

del sistema son estables.

Seguido a estos se hace un resumen de otros modelos, ya sin entrar mucho en rigurosidad

matematica, que se han planteado con el fin de estudiar las enfermedades del Dengue y el

Zika, que preguntas han planteado o intentado resolver y como podrıa complementarse

este estudio a partir de los mismos en un futuro.

Adicionalmente, y con el fin de seguir estudiando la enfermedad del Zika, se tomaron

datos del Instituto Nacional de Salud de Colombia (SIVIGILA) [4] referentes a la ex-

pansion de la enfermedad del Zika en el brote de 2016 y con base a ellos se muestra en

un mapa de Colombia como se fue expandiendo la enfermedad.

Se plantea entonces la pregunta: ¿como fue la expansion del Zika en Colombia, en cuales

ciudades del paıs se presentaron puntos de acumulacion de la enfermedad y que tan rapi-

do se expandio la epidemia? Para responder a esta pregunta se determinara el numero

reproductivo basico en cada una de estas ciudades usando un ajuste de los datos empıri-

cos recopilados de los informes semanales del Instituto Nacional de Salud (INS).

Capıtulo 2

Numero Reproductivo Basico y

Metodo de la matriz de la

siguiente generacion

El numero reproductivo basico es la metrica mas importante en el campo de la epide-

miologıa. Este se define como el numero promedio de individuos que infecta el paciente

cero de la enfermedad. La mayorıa de epidemias aparecen repentinamente, crecen has-

ta cierto punto y posteriormente se extinguen sin afectar a una parte de la poblacion.

Adicionalmente, al inicio de una epidemia, el sistema se encuentra relativamente cerca

al equilibrio libre de enfermedad, por lo que puede suponerse que el numero de nuevos

infectados que produce un infectado se mantiene constante y el parametro R0 puede

seguirse usando. Se sabe que el numero de infectados crece exponencialmente al inicio

de una epidemia y que el parametro R0 indica si la epidemia es sostenible en el tiempo y

la enfermedad alcanza un equilibrio endemico o por el contrario se extingue sin mayores

repercusiones.

El numero reproductivo basico R0 es muy importante en el analisis de la expansion de

una epidemia y teniendo en cuenta el mismo pueden establecerse estrategias de control

enfocadas a mitigar la misma. Para calcular R0 se realiza un analisis del sistema de

ecuaciones propuesto y se concluye cuantos infectados producira un individuo infectado

cerca del equilibrio libre de enfermedad. Este analisis puede realizarse a simple vista y

4


obtener un valor de R0 cuando el numero de compartimientos correspondientes a indi-

viduos infectados es pequeno. No obstante, cuando la poblacion es heterogenea y existe

un gran numero de compartimientos correspondientes a individuos infectados, es mucho

mas complejo identificar el parametro R0 para establecer si la epidemia prospera o no.

El metodo de la Matriz de la siguiente generacion se propuso inicialmente en 1990 [5] y

fue usado para estudiar un modelo de enfermedades de transmision sexual. En este se

planteo una forma sencilla para determinar el numero reproductivo basico R0 a partir

de la construccion de una matriz A que en su entrada aij indica el numero de infectados

de tipo i que produce un individuo ya infectado de tipo j. Posteriormente, esta idea fue

retomada y se listaron condiciones para aplicar el metodo y se demostro que cuando se

cumplen dichas condiciones el parametro R0 efectivamente indica el crecimiento de la

epidemia al inicio de la misma dependiendo de si es o no superior a 1 [2] .

Adicionalmente, se han derivado metodos alternativos, pero equivalentes, al metodo ori-

ginal de la Matriz de la siguiente generacion. Estos metodos consisten en reducir el

sistema original a uno mas pequeno que otorgue el mismo valor de R0, con el fin de

reducir tiempos al analizar el sistema y al resolverlo. Estos metodos se llaman NGM de

gran dominio y de pequeno dominio y fueron descritos en [6]. Este metodo se ha perfec-

cionado hoy en dıa hasta ser un metodo programable que calcula el parametro R0 para

cualquier sistema de ecuaciones donde se indique que compartimientos corresponden a

individuos infectados y cuales entradas indican la generacion de nuevos infectados en la

poblacion [6] .

2.1. Conceptos preliminares

Sea M una matriz. Se define σ(M) como el conjunto de los valores propios de M . A

partir de esto se definen:

La cota espectral de M como

s(M) = Re(λ) : λ ∈ σ(M)


El radio espectral de A como

ρ(M) = |λ| : λ ∈ σ(M)

En el modelaje de poblaciones se utilizan dos tipos de sistemas de ecuaciones: continuos

y discretos. Los sistemas estudiados en el analisis del Dengue y el Zika realizado en este

documento corresponden a sistemas de ecuaciones continuos.

Los sistemas de ecuaciones diferenciales continuos son de la forma:

x = F (x)

Para sistemas de ecuaciones diferenciales continuos se tiene el siguiente teorema

de estabilidad:

Theorem 2.1. Sea x0 un equilibrio del sistema, es decir F (x0) = 0 y sea u = Au

la linealizacion del sistema alrededor del punto x0. Entonces el equilibrio x0 es

localmente asintoticamente estable si y solo si todos los valores propios de la matriz

A poseen parte real negativa, o lo que es lo mismo el equilibrio x0 es localmente

asintoticamente estable si y solo si s(A) < 0.

Los sistemas de ecuaciones lineales discretos son de la forma:

xn+1 = F (xn)

Para este tipo de sistemas se tiene el siguiente teorema de estabilidad:

Theorem 2.2. Sea x0 un equilibrio del sistema, es decir F (x0) = x0 y sea ˙un+1 =

Bun la linealizacion del sistema alrededor del punto x0. Entonces el equilibrio x0

es localmente asintoticamente estable si y solo si todos los valores propios de la

matriz A poseen valor absoluto menor a 1, o lo que es lo mismo el equilibrio x0 es

localmente asintoticamente estable si y solo si ρ(A) < 1. [7]


2.2. Interpretacion de la idea detras del metodo de la ma-

triz de la siguiente generacion

Ya se dijo que con el fin de modelar la expansion de una enfermedad se debe proponer

un modelo que separe a la poblacion en compartimientos y que resuma la interaccion

entre los mismos a traves de un sistema de ecuaciones diferenciales. Los sistemas de

ecuaciones estudiados aca unicamente corresponden a sistemas de ecuaciones continuos.

La idea general detras del metodo de la matriz de la siguiente generacion es transfor-

mar el sistema de ecuaciones continuo x = F (x) en un sistema de ecuaciones discreto

xn+1 = F (xn). Esto se hace para poder aplicar el teorema 2.2 en lugar del teorema 2.1,

ya que es mucho mas sencillo calcular el radio espectral de una matriz en lugar de su cota

espectral. Por tanto, en el metodo de la matriz de la siguiente generacion se crea un siste-

ma de ecuaciones discreto a partir del sistema original, el cual es mas sencillo de estudiar.

No obstante, demostrar que dos sistemas de ecuaciones uno continuo y otro discreto

son equivalentes es casi imposible. Por lo cual lo que se hace es demostrar que ambos

sistemas poseen el equilibrio 0 y que la matriz de linealizacion A en el sistema continuo

y la matriz de linealizacion B en el sistema discreto cumplen:

signo(s(A)) = signo(ρ(B)− 1)

2.3. Identificacion de los compartimientos correspondien-

tes a individuos infectados

Lo primero que se debe hacer es considerar el sistema [X,Y] donde X representa los

compartimientos infecciosos y Y representa los compartimientos libres de enfermedad.

Se debe considerar tambien un equilibrio libre de enfermedad (0, y0) tal que este sea

localmente asintoticamente estable dentro del sistema [0,Y]. Teniendo esto en cuenta se

linealiza alrededor del equilibrio (0, y0) con lo cual se obtienen la siguiente matriz:


J =

∂xi∂xj∂xi∂yj

∂yi∂xj

∂yi∂yj

(0, y0) =

J11 J12

J21 J22

La matriz J11 = ∂xi∂xj

(0, y0) corresponde a la derivada de los parametros de la enfer-

medad en las variables relacionadas a la enfermedad. Por tanto se le va a llamar TI .

La matriz J12 = ∂xi∂yj

(0, y0) corresponde a la derivada de los parametros de la

enfermedad en las variables no relacionadas a la enfermedad y debido a que se

asumio que TI(0, y) = 0∀y ⇒ ∂Ti∂yj

(0, y0) = 0⇒ ∂xi∂yj

(0, y0) = 0⇒ J12 = 0

La matriz J22 = ∂yi∂yj

(0, y0) corresponde a la derivada de los parametros de la enfer-

medad en las variables relacionadas a la enfermedad evaluada en un equilibrio libre

de enfermedad y por tanto se le llama la matriz ecologica comunmente denotada

C [8]. Puesto que esta matriz de derivadas esta evaluada en (0, y0) y como ya se

dijo este equilibrio es localmente asintoticamente estable dentro del sistema [0,Y]

se tiene que todos los valores propios de esta matriz poseen parte real negativa.

Teniendo en cuenta la linealizacion alrededor del equilibrio (0, y0) queda:

J =

∂xi∂xj∂xi∂yj

∂yi∂xj

∂yi∂yj

(0, y0) =

J11 J12

J21 J22

=

TI 0

J21 C

Puesto que el determinante de una matriz triangular inferior por bloques es igual a la

multiplicacion de los determinantes de los bloques se tiene que:

det

TI − λIx 0

J21 C − λIy

= det (TI − λIx) (C − λIy)

Y por tanto los valores propios de J corresponden a la union de los valores propios de TI

y C. Puesto que ya se tiene que todos los valores propios de C poseen parte real negativa


la estabilidad del sistema esta enteramente determinada por la matriz TI (Teorema 2.1).

Ası si los todos los valores propios de TI poseen parte real negativa entonces se tiene que

el equilibrio libre de enfermedad es localmente asintoticamente estable no solo en [0,Y]

sino tambien en [X,Y].

2.4. Construccion del modelo equivalente discreto

Por lo anterior se tiene que para determinar la estabilidad del equilibrio (0, y0) basta

que todos los valores propios de TI posean parte real negativa. Por tanto el sistema que

se esta analizando es:

Y = TIY

La idea general del metodo de la Matriz de la siguiente generacion es, como ya se

dijo, construir un sistema de ecuaciones discreto equivalente al sistema continuo original

alrededor del equilibrio libre de enfermedad (0, y0). Para esto se calcula una matriz K

cuya entrada (i,j) indique el numero promedio de individuos en el compartimiento yj

que infecta una persona en el compartimiento yi . El sistema discreto estara entonces

determinado por:

Yn+1 = KYn

Para calcular la matriz K se toma el producto de la duracion del periodo infeccioso de

un individuo en el compartimiento xj y se multiplica por la tasa a la cual este infecta a

otros individuos en el compartimiento xi [7].

Para lograr esto se divide la matriz TI en las matrices F y V donde F denota la tasa a la

cual se infectan los individuos 1 y V denota la tasa a la cual ocurren las demas dinamicas

de la poblacion como son el avance de la enfermedad, la recuperacion de la misma y la

muerte [6]. Se sabe que F representa la tasa a la cual un individuo en el compartimiento

1F denota la tasa a la cual los individuos entran a su primer estado infeccioso o los nacimientosepidemiologicos, es decir que si un individuo pasa de un estado de la enfermedad a otro mas avanzadoesto no cuenta como un nacimiento epidemiologico sino como un avance de la enfermedad por lo que seregistra en V y no en F


xj infecta a otros individuos en el compartimiento xi, y se quiere mostrar que la duracion

del periodo infeccioso de un individuo en el compartimiento xj esta determinada por la

matriz V −1. De esta forma la matriz K estara determinada por FV −1.

Para ver que V −1 representa el tiempo promedio que duran los individuos infectados en

cada periodo infeccioso basta con notar que al hacer F = 0, es decir al suponer que no

se producen nuevas infecciones, se tiene el sistema:

x′ = −V x x(0) = x0

cuya solucion es e−V t y para calcular el valor esperado del mismo basta con integrar de

0 a Infinito. De esta forma:

∫∞0 e−V tx0 = V −1x0

Y por tanto suponiendo que la tasa a la que se producen nuevas infecciones se mantiene

constante a pesar del tiempo que los individuos llevan en cada estado infeccioso, se

tiene que el numero promedio de infecciones secundarias producidas por un individuo se

encuentra determinado por:

∫∞0 Fe−V tx0 = FV −1x0 = Kx0

Esta es la explicacion de la idea detras de la construccion matriz de la proxima genera-

cion [7].

2.5. Condiciones necesarias para aplicar el metodo de la

matriz de la siguiente generacion

Ya se describio de forma general las ideas que llevaron al planteamiento del metodo de

la matriz de la proxima generacion. No obstante, el hecho de que:



debe demostrarse matematicamente.

Existe una serie de condiciones que deben cumplir las matrices F y V para que pueda

aplicarse el metodo de la matriz de la siguiente generacion. Estas son:

La matriz V puede dividirse en V + y V − donde estas representan sus entradas

positivas y negativas respectivamente. Ası V = V + − V −.

(A1) Para x >= 0 se tiene que F, V +, V − > 0

(A2) Si xi = 0 entonces V −i = 0. (Esto quiere decir que si no existen infectados

en el compartimiento i entonces no puede haber infectados que abandonen ese

compartimiento ya sea porque se mueren o porque pasan a otro).

(A3) Fi = 0 en todos los compartimientos libres de enfermedad. (Esto es obvio ya

que F representa los nuevos casos de la enfermedad)

(A4) Si x = 0 entonces F, V +, V − = 0. (Esto traduce que al estar dentro del sistema

libre de enfermedad, es imposible que la enfermedad aparezca repentinamente)

(A5) Todos los valores propios de V y J22 poseen parte real negativa.

Esta demostrado que cuando se cumplen estas condiciones [2] [6] se tiene que:


⇒ γ < 0 ↔ R0 < 1.

y por tanto la estabilidad del sistema se encuentra determinada por el numero repro-

ductivo basico.

Capıtulo 3

Modelo para la transmision del

Dengue

El virus del dengue es transmitido por el mosquito Aedes aegypti. Existen 4 serotipos

de este virus que pueden infectar a los humanos y se sabe que cuando un individuo se

recupera de la infeccion de uno de estos serotipos gana inmunidad contra el mismo pero

no contra los demas. El analisis realizado en este documento corresponde a las dinamicas

de transmision de un unico serotipo del dengue.

Un mosquito adquiere el virus cuando pica a un humano infectado, despues de lo cual

el virus se replica en el cuerpo del mosquito y llega hasta sus glandulas salivales. Una

vez pasa este periodo de incubacion en el cuerpo del mosquito este se vuelve capaz de

transmitir la enfermedad, por lo cual un humano susceptible adquiere la enfermedad al

ser picado por el mismo. Una vez el virus entra al cuerpo del humano se requiere de un

periodo de incubacion en su cuerpo para que el virus llegue a su sangre y dicho humano

sea capaz de transmitir el virus a mosquitos susceptibles. Se ha estimado que el periodo

de incubacion de la enfermedad en el cuerpo del mosquito es de 4 a 6 dıas y que el

periodo de incubacion de la enfermedad en el cuerpo del humano es de 3 a 12 dıas [9].

Se sabe que los humanos se recuperan del virus y adquieren inmunidad contra el mismo.

No obstante, debido al corto periodo de vida de los mosquitos estos nunca se recuperan

12


de este [10]. Para estudiar la transmision del Dengue se escogio utilizar el modelo pro-

puesto en [11]. Este modelo incluye la expansion del dengue en las variables de tiempo y

espacio. No obstante, vamos a restringir el analisis unicamente a las variables relativas

al tiempo. De esta forma se estara analizando como ocurre la expansion del dengue en

una region determinada y relativamente pequena.

El modelo propuesto en [11] es de tipo SIR como ya se explico al inicio. Se utiliza

la division usual de Susceptibles(S), Infectados(I) y Recuperados(R) en humanos. Los

mosquitos al igual que los humanos deben separarse en compartimientos. Si bien el

mosquito pasa durante 4 etapas durante su vida, las cuales son:

Huevo → Larva → Pupa → Mosquito adulto

Las 3 primeras etapas en la vida del mosquito corresponden a estados acuaticos en los

cuales el mosquito no adquiere la enfermedad. Por tanto, para efectos del estudio de las

dinamicas de la enfermedad, estos 3 estados se agrupan en una unica fase acuatica (A)

que de aquı en adelante se llamara larvas como un abuso de notacion. Los mosquitos

en estado adultos si son capaces de adquirir la enfermedad, por lo que estos se dividen

en mosquitos susceptibles MS y mosquitos infectados MI . Si bien en los mosquitos las

hembras adultas son las unicas capaces de transmitir la enfermedad, para efectos del

modelo se asumira que unicamente se estan teniendo en cuenta las hembras adultas,

ası como estas son las unicas de producir huevos.

Con el fin de modelar las relaciones entre las clases o compartimientos del modelo se

hace uso de los siguientes parametros:

Se hacen las siguientes suposiciones con el fin de modelar la interaccion normal entre

especies en ausencia de la enfermedad:

Para la poblacion de humanos se asume una tasa de nacimiento µH y una tasa

de mortalidad igual para cada compartimiento. Se asume que todos os humanos

nacen susceptibles a la enfermedad.


Cuadro 3.1: Variables de estado, parametros y constantes del modelo

Variables Interpretacion Unidades

A(t) Poblacion de mosquitos en estado acuatico (huevos, larvas y pupas)

MS(t) Poblacion de mosquitos susceptibles

MI(t) Poblacion de mosquitos infectados

H(t) Poblacion de humanos susceptibles

I(t) Poblacion de humanos infectados

R(t) Poblacion de humanos recuperadosParametros Relativos a la poblacion de humanos Unidades

µH Mortalidad natural del humano y tasa de reclutamiento days−1

σ Recuperacion de los humanos de la enfermedad days−1

Parametros Relativos a la poblacion de mosquitos Unidades

r Crecimiento intrınseco (tasa de oviposicion de A. Aegyti) days−1

γ Transformacion de mosquitos de estado acuatico a estado adulto days−1

µ1 Mortalidad de los mosquitos adultos days−1

µ2 Mortalidad de los mosquitos en estado acuatico days−1

k1 Capacidad de carga para los mosquitos adultos mosquitosk2 Capacidad de carga para los mosquitos en estado acuatico mosquitos

Parametros Relativos a la transmision de la enfermedad Unidades

β1 Transmision de la enfermedad del mosquito debido al humano days−1 × humano−1

β2 Transmision de la enfermedad del humano debido al mosquito days−1 ×mosquito−1

Para la poblacion de mosquitos se asume una tasa de mortalidad µ1 para los

mosquitos adultos y una tasa de mortalidad µ2 para los mosquitos en estado larva.

Se asume que todos los mosquitos en estado larva se convierten en adultos suscep-

tibles a una tasa γ. No obstante debido a la capacidad de carga del sistema relativa

a los mosquitos adultos k1, la cantidad de larvas que se convierten en mosquitos se

debe multiplicar por 1−Mk1

. Por tanto γA(1− Mk1

) larvas se convierten en mosquitos.

Esto se hace con el fin de colocar una limitante al numero de mosquitos adultos y

ya que de lo contrario se tendrıa que el numero de mosquitos adultos puede crecer

infinitamente, lo cual carece de sentido biologico.

Se asume que las hembras mosquito adultas depositan huevos a una tasa de r. No

obstante debido a la capacidad de carga del sistema relativa a los mosquitos en

estado acuatico k2, la cantidad de larvas que efectivamente nacen se debe multi-

plicar por 1 − Ak2

. Esto se hace con el fin de colocar una limitante al numero de

larvas y ya que de lo contrario se tendrıa que el numero de larvas puede crecer

infinitamente, lo cual carece de sentido biologico.

Y se hacen las siguientes suposiciones relativas a la enfermedad:


Las dinamicas de transmision de la enfermedad se modelan teniendo en cuenta

la ley de masas segun la cual la transmision de la enfermedad es proporcional al

numero de infectados multiplicado por el numero de susceptibles.

El coeficiente de transmision β1 mide la tasa efectiva de transmision de la en-

fermedad al haber contacto entre mosquito susceptible y humano infectado. Por

tanto, segun la ley de accion de masas la cantidad de mosquitos que pasan a ser

infectados es de β1MSI.

El coeficiente de transmision β2 mide la tasa efectiva de transmision de la enferme-

dad al haber contacto entre mosquito infectado y humano susceptible. Por tanto,

segun la ley de accion de masas la cantidad de humanos que pasan a ser infectados

es de β2SMI .

Todas estas dinamicas se resumen en el diagrama de la figura 3.1.

Figura 3.1: Diagrama de flujo: M = MS + MI , N = H + I + R

Que da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:


dMS

dt= γA

(1− M

k1

)− µ1MS − β1MS I

dMI

dt= −µ1MI + β1MsI

dA

dt= r

(1− A

k2

)M − µ2A− γA

dS

dt= µHN − µH S − β2SMI

dI

dt= β2SMI − σI − µH I

dR

dt= σI − µHR

(3.1)

El modelo descrito anteriormente se normaliza con el fin de obtener un modelo mucho

mas simplificado y replicable a otras poblaciones. Puesto que N = S+I+R y en nuestro

modelo N = S + I + R = 0 se tiene que N es una constante. Por tanto se realiza el

siguiente cambio de variables:

MS = MSk1

MI = MIk1

A = Ak2

H = SN

I = IN

R = RN

k = k1k2

ν = νr

(rD

) 12 γ = γ

r µ1 = µ1r

µ2 = µ2r β1 = β1N

r β2 = β2k1r µH = µH

r σ = σr

Este modelo ya normalizado se resume en el diagrama de la figura 3.2.



Lo que da lugar al nuevo sistema de ecuaciones:

dMS

dt=γ

kA (1−M)− µ1MS − β1MSI

dMI


dA

dt= k (1−A)M − µ2A− γA

dH

dt= µH − µHH − β2HMI

dI

dt= β2HMI − σI − µHI

dR

dt= σI − µHR

(3.2)

Ahora, puesto que H + I + R = 1 se tiene que una de estas 3 variables puede omitirse

al estudiar el modelo. Es por esto que, descartando la variable R, el sistema queda :


dMS

dt=γ


dMI


dA


dH

dt= µH − µHH − β2HMI

dI

dt= β2HMI − σI − µHI

(3.3)

Teniendo en cuenta este nuevo sistema de ecuaciones se hallan los equilibrios del sistema.

3.1. Equilibrios

El primer equilibrio que se identifica es el trivial el cual resulta de tomar

E0 = (Ms,Mi, A,H, I) = (0, 0, 0, 1, 0)

En este equilibrio todas las variables son 0 excepto por la poblacion de humanos que

es igual a 1 (recuerde que el sistema esta normalizado) y en este la tasa de natalidad

equivale a la tasa de mortandad que es igual a µH .

Con el fin de identificar el resto de los equilibrios, se considero a la poblacion de mos-

quitos como una primera enfermedad y al dengue como una segunda enfermedad que

unicamente puede prosperar si lo hace la primera [11]. Para verificar que el dengue no

puede prosperar sin mosquitos se igualan las variables A , MS y MI a 0. En este punto

la ecuacion diferencial asociada a I se convierte en:

∂I∂t = −(σ + µH)I

por lo que el unico equilibrio posible de la misma es I = 0.


De la misma forma se tiene que si el sistema se encuentra libre de enfermedad, es decir

si I = 0 y MI = 0 entonces I = 0 y MI = 0 por lo que el sistema permanece libre de

enfermedad.

Por tanto inicialmente se calcularan los equilibrios asociados a la primera enfermedad,

es decir a la poblacion de mosquitos y teniendo en cuenta los resultados se calcularan

los equilibrios de la segunda enfermedad que es el dengue.

3.2. Equilibrio de la poblacion de mosquitos

Como ya se dijo se busca calcular los equilibrios donde la primera enfermedad esta pre-

sente pero la segunda no existe. Por tanto se toma: E1 = (Ms,Mi, A,H, I) = (m∗, 0, a∗, 1, 0)

y se despejan a y m. Se obtienen los siguientes valores:

a =k(1−Q−1

0 )k+µ2+γ

m =γ(1−Q−1

0 )(γ+kµ1)

Q0 = γ(µ2+γ)µ1

donde Q0 representa el numero reproductivo basico asociado a la poblacion de mosqui-

tos, por lo que poblacion de mosquitos prospera cuando Q0 > 1. El despeje de estos

valores puede leerse en el Apendice A.

Los valores anteriores Q0 , a y m coinciden con los valores obtenidos en [11] al hallar los

equilibrios de su modelo. No obstante, al utilizar el metodo de la matriz de la proxima

generacion se obtiene:

Q0 = 2

√γ

(µ2+γ)µ1


El respectivo calculo se muestra en el Apendice B.

Estos distintos valores de Q0 se obtienen ya que al utilizar el metodo de la matriz de la

proxima generacion se considera que el mosquito produce γ(µ2+γ)µ1

larvas, las cuales se

convertiran en mosquitos al cabo de una generacion, por lo que para que un mosquito

hembra adulto produzca γ(µ2+γ)µ1

mosquitos hembra adultos se requieren no una sino

dos generaciones [12]. Maidana sin embargo considera a este proceso como una unica

generacion, por lo que obtiene el mismo numero reproductivo basico al cuadrado.

Puesto que Q0 indica la capacidad de la especie para prosperar en el lugar, es comun

llamarlo numero reproductivo basico [11]. Al estudiar la existencia del equilibrio de la

poblacion de mosquitos y su estabilidad esto no representa mayor problema ya que:

Q0 > 1 ←→ Q20 > 1

No obstante, al comparar los numeros reproductivos basicos de una epidemia en distintos

estudios, es importante asegurarse de que los resultados han sido calculados siguiendo

el mismo metodo.

3.3. Analisis de estabilidad del equilibrio E1

En el equilibrio E1 = (Ms,Mi, A,H, I) = (m, 0, a, 1, 0) se tiene que:

a =k(1−Q−1

0 )k+µ2+γ

m =γ(1−Q−1

0 )(γ+kµ1)

los cuales representan poblaciones, por lo que si fueran negativos carecerıan de sentido

biologico. Es por esto que el equilibrio E1 unicamente existe si Q0 > 1.

No obstante, si Q0 > 1 se espera no solamente que E1 exista sino tambien que sea estable

y que E0 pase a ser inestable. Esto con el fin de que el sistema posea sentido biologico


y modele adecuadamente el comportamiento de una epidemia. En el Apendice C se

demuestra la estabilidad de E1 cuando Q0 > 1.

3.4. Equilibrio endemico

Del sistema de ecuaciones 3.3 se tiene:

dMSdt + dMI

dt = γkA (1−M)− µ1M

dAdt = k (1−A)M − µ2A− γA

por lo que el valor de la poblacion de larvas y el valor de la poblacion total de mos-

quitos no se veran afectados al introducir la enfermedad al sistema. Por tanto se toma:

E∗ = (M∗S ,M∗I , A

∗, H∗, I∗) = (m− t, t, a, s, w) donde m y a son constantes y t, s y w

son variables.

Al despejar se obtiene:

w = µ1µH(R0−1)β1µH+β1β2m

t = µH(1−s)β2s

s = 1− (µH+σ)wµH

=⇒ M∗S = m−M∗I M∗I = (1−H∗)µHβ2H∗ A∗ = a

H∗ = 1− (µH+σ)I∗

µHI∗ = µ1µH(R0−1)

(β1µH+β1β2m) R0 = β1β2mµ1(µH+σ)

donde R0 representa el numero reproductivo basico asociado a la enfermedad del dengue,

por lo que la enfermedad prospera cuando R0 > 1. El despeje de estos valores puede

leerse en el Apendice D.

No obstante, al utilizar el metodo de la matriz de la proxima generacion se obtiene:

R0 = 2

√β1β2m

µ1(µH+σ)


El respectivo calculo se muestra en el Apendice E.

Estos distintos valores de R0 se obtienen ya que al utilizar el metodo de la matriz de

la proxima generacion se considera que el humano infecta al mosquito y posteriormente

este infecta a mas humanos. Por tanto, para que un humano infectado infecte a otros

β1β2mµ1(µH+σ) humanos se requieren no una sino dos generaciones [12] . Maidana sin embargo

considera a este proceso como una unica generacion, por lo que obtiene el mismo numero

reproductivo basico al cuadrado.

Al estudiar la existencia del equilibrio endemico y su estabilidad esto no representa

mayor problema ya que:

R0 > 1 ←→ R20 > 1

No obstante, al comparar los numeros reproductivos basicos de una epidemia en distintos

estudios, es importante asegurarse de que los resultados han sido calculados siguiendo

el mismo metodo.

3.5. Analisis de la estabilidad del equilibrio E∗

En el equilibrio E∗ = (Ms,Mi, A,H, I) se tiene que:

MS = m−MI MI = (1−H)µHβ2H

A = a

H = (µH+σ)IµH

I = µ1µH(R0−1)(β1µH+β1β2m)

los cuales representan poblaciones, por lo que si fueran negativos carecerıan de sentido

biologico. Es por esto que el equilibrio E∗ unicamente existe si R0 > 1.


No obstante, si R0 > 1se espera no solamente que E∗ exista sino que sea asintoticamente

estable y que E1 pase de ser estable a inestable . Esto con el fin de que el sistema posea

sentido biologico y modele adecuadamente el comportamiento de una epidemia. En el

Apendice F se demuestra la estabilidad de E∗ cuando R0 > 1.

3.6. Estudio de las bifurcaciones en el modelo del Dengue

Segun el analisis realizado anteriormente:

E0 es estable siempre que Q0 < 1.

E1 existe siempre que Q0 > 1 y cuando existe este es estable dentro del sistema

libre de enfermedad.

Como ya se mostro la enfermedad del dengue no puede prosperar si la poblacion de

mosquitos tampoco prospera. Por tanto si Q0 < 1 no tiene sentido hablar del equilibrio

E∗ ni del parametro R0 que indica su estabilidad. Por tanto:

Cuando se consideran los estados relativos a la enfermedad se tiene que para que

E1 sea estable no basta con que Q0 > 1 sino que tambien se requiere que R0 < 1.

El equilibrio E∗ es estable siempre que Q0 > 1 y R0 > 1.

Cuando Q0 < 1 no tiene sentido hablar del equilibrio E∗ ya que la enfermedad no

puede prosperar sin los mosquitos.

Lo anterior ya se comprobo de forma matematica en los apendices. Teniendo esto en

cuenta se realizara una simulacion numerica de las bifurcaciones del sistema y se ve-

rificara lo anterior. Se graficara el numero de infectados de cada enfermedad al variar

los parametros Q0 y R0. Para realizar las graficas respectivas es necesario dar valor a

los parametros del sistema. Se toman entonces los parametros de la tabla ?? los cuales


corresponden a estimaciones de los mismos cuando la temperatura del ambiente es de

30 C [13] .

Puesto que la primera enfermedad corresponde a la poblacion de mosquitos, el numero

de infectados corresponde a su poblacion. Se puede tomar el parametro de la poblacion

de mosquitos adultos m o el parametro de la poblacion de larvas de mosquitos a para es-

tudiar la bifurcacion del sistema. No obstante, se tomara el parametro m correspondiente

a los mosquitos adultos ya que estos son los que transmiten la segunda enfermedad, y

seran de utilidad en el analisis de la bifurcacion del dengue.

m =γ(1−Q−1

0 )(γ+kµ1)

Teniendo en cuenta esta formula se reemplazan las variables γ, k y µ1 por los valores

de la tabla ?? y el parametro Q0 se varıa entre 0 y 10 en pasos de 0, 1 . El resultado se

muestra en la figura 3.3.

Para la segunda enfermedad que es el Dengue se tiene en cuenta el numero de humanos

infectados por la enfermedad denotado por I. La formula de I es:

I∗ = µ1µH(R0−1)(β1µH+β1β2m) R0 =

( β1β2mµ1(µH+σ)

)No obstante, de los parametros que componen a R0 se tiene que µ1, µH y σ tienden

a ser constantes mientras que β1 y β2 si pueden controlarse y por tanto variarse. No

es correcto entonces variar R0 y mantener como constantes las otras apariciones de los

parametros β1 y β2. Por tanto la formula de I se va a reemplazar por

I∗ = µ1µH(R0−1)(β1µH+R0µ1(µH+σ))

la cual es equivalente a la anterior formula pero refleja acertadamente la variacion de los

parametros β1 y β2. El parametro R0 se varıa entre 0 y 10 en pasos de 0, 1. El resultado


se muestra en la figura 3.4.

Si se quiere analizar la bifurcacion al integrar los parametros Q0 y R0 debe tenerse en

cuenta los puntos mencionados al inicio de esta seccion. Se sabe entonces que el numero

de infectados I se estabiliza en 0 cuando Q0 < 1 y cuando R0 < 1, pero cuando Q0 > 1

y R0 > 1 el numero de infectados I se modela por:

I∗ = µ1µH(R0−1)(β1µH+R0µ1(µH+σ))

La grafica resultante se muestra en la figura 3.5.

Figura 3.3: Poblacion de mosquitos al variar Q0


Figura 3.4: Humanos infectados al variar R0

k1 = 25 Capacidad de carga para la poblacion de mosquitos adultos

k2 = 100 Capacidad de carga para la poblacion de mosquitos en estado acuatico

k = k1/k2

r = 10 Tasa de oviposicion diaria

µ1 = 1/35 Tiempo estimado de supervivencia para los mosquitos adultos = 35 dıas

µ2 = 1/18 Tiempo estimado de supervivencia para las larvas de mosquitos = 18 dıas

µ1 = µ1/r

µ2 = µ2/r

β1 = 0,0033 Tasa de contagio diaria de la enfermedad de humanos infectados a mosquitos susceptibles

β2 = 0,0025 Tasa de contagio diaria de la enfermedad de mosquitos infectados a humanos susceptibles

σ = 1/7 Periodo infeccioso 7 dıas

β1 = β1/r

β2 = β2/r

σ = σ/r

µH = 1/60 Esperanza de vida en humanos 60 anos

γ = 1/5 Duracion promedio de la fase acuatica en los mosquitos

γ = γ/r

µH = µH/r

Cuadro 3.2: Parametros estimados de la transmision de la enfermedad del Denguepara regiones donde la temperatura es de 30 C


Figura 3.5: Superficie que relaciona Infectados con los parametros Q0 y R0

3.7. Analisis del tipo de bifurcacion que presenta el siste-

ma

Como ya se mostro el sistema presenta bifucaciones tanto al comparar la poblacion de

mosquitos con Q0 como al comparar el numero de humanos infectados con R0. Este tipo

de bifurcacion presentado se llama bifurcacion transcrıtica. Con el fin de analizar mas

a fondo la razon de este tipo de bifurcacion en el sistema se enuncia un teorema [14]

que permite clasificar algunos tipos de bifurcaciones y explica como se comportan los

equilibrios incluso cuando estos son negativos y carecen de significado biologico.

Theorem 3.1. Considere un sistema general de ecuaciones diferenciales ordinarias con

un parametro φ y tal que:

dxdt = f(x, φ) f : Rn x R→ Rn y f ∈ C2(Rn x R)

Asuma que 0 es un equilibrio del sistema y que se tiene:

f(0, φ) = 0 ∀φ


Adicionalmente se cumplen las siguientes dos condiciones:

A1: A = Dxf(0, 0) = ( ∂fi∂xj(0, 0)) es la matriz de linealizacion del sistema alrededor del

equilibrio 0 con φ evaluada en 0. 0 es uno de los valores propios de A y el resto de sus

valores propios poseen parte real negativa.

A2: La matriz A posee un valor propio derecho no-negativo w y un valor propio iz-

quierdo no-negativo v correspondientes al valor propio 0.

Sea f = (f1, ..., fn) y sea:

a =∑n

k,i,j=1 vkwiwj∂2fk∂xi∂xj

(0, 0)

b =∑n

k,i=1 vkwi∂2fk∂xi∂φ

(0, 0)

El comportamiento del sistema alrededor del equilibrio 0 esta enteramente determinado

por los parametros a y b. [14]

1. Si a > 0 y b > 0 se tiene:

a) Cuando φ < 0 con |φ| << 1 ⇒ 0 es localmente asintoticamente estable y

existe un equilibrio inestable positivo.

b) Cuando 0 < φ << 1 ⇒ 0 es inestable y existe un equilibrio negativo local y

asintoticamente estable.

2. Si a < 0 y b < 0 se tiene:

a) Cuando φ < 0 con |φ| << 1⇒ 0 es inestable.

b) Cuando 0 < φ << 1 ⇒ 0 es localmente asintoticamente estable y existe un

equilibrio inestable positivo.

3. Si a > 0 y b < 0 se tiene:


a) Cuando φ < 0 con |φ| << 1 ⇒ 0 es inestable y existe un equilibrio negativo

asintoticamente estable.

b) Cuando 0 < φ << 1⇒ 0 es asintoticamente estable y (existe un) aparece un

equilibrio inestable negativo.

4. Si a < 0 y b > 0 se tiene:

a) Cuando φ cambia de negativo a positivo, 0 pasa de ser estable a ser inestable.

Respectivamente, un equilibrio negativo inestable se convierte en positivo y

localmente asintoticamente estable.

Ya se vio que la estabilidad de los equilibrios depende de los parametros Q0 y R0 en el

sentido de que E0 es estable si y solo si Q0 < 1 ; E1 es estable si y solo si Q0 > 1 y

R0 < 1; y E∗ es estable si y solo si Q0 > 1 y R0 > 1. Esto quiere decir que en Q0 = 1 y

R0 = 1 existen bifurcaciones de los equilibrios del sistema.

Debido a que ambas bifurcaciones parecen comportarse de manera similar, unicamente

se aplicara el anterior teorema al sistema libre de enfermedad ( es decir al que considera

a la poblacion de mosquitos como una enfermedad y no toma al dengue en cuenta) para

determinar el tipo de bifurcacion de este sistema.

Note que el teorema 3.1 requiere de un equilibrio 0 y de un parametro libre φ, el cual se

evalua en 0. No obstante, este equilibrio 0 no se refiere a un vector 0 como tal sino que es

simplemente un simbolismo. Por tanto se tomara a E0 como el equilibrio 0 y a Q0 como

el parametro que varia y para el cual no importa su valor, E0 sigue siendo un equilibrio.

Puesto que se va a analizar el comportamiento de los equilibrios en Q0 = 1 puede to-

marse a φ como Q0−1 y de esta forma puede aplicarse el teorema para φ = 0⇒ Q0 = 1.

Antes que nada deben comprobarse las condiciones del teorema:

A1: Para comprobar que 0 es un valor propio de la matriz de linealizacion alrededor

del equilibrio E0 cuando Q0 = 1 se calcula la matriz jacobiana asociada al sistema de


ecuaciones.

T =

−γkA− µ1 − β1I −γ

kAγk (1−M) 0 −β1MS

β1I −µ1 0 0 β1MS

k(1−A) k(1−A) −kM − (µ2 + γ) 0 0

0 −β2H 0 −β2MI − µH 0

0 β2H 0 β2MI −(σ + µH)

y se evalua en E0 = (0, 0, 0, 1, 0) obteniendo:

T =

−µ1 0 γk 0 0

0 −µ1 0 0 0

k k −(µ2 + γ) 0 0

0 −β2 0 −µH 0

0 β2 0 0 −(σ + µH)

Puesto que Q0 = γµ1(µ2+γ)

= 1⇒ es posible realizar el siguiente reemplazo: µ1 = γ(µ2+γ)

y la matriz queda:

T =

− γ(µ2+γ)

0 γk 0 0

0 − γ(µ2+γ)

0 0 0

k k −(µ2 + γ) 0 0

0 −β2 0 −µH 0

0 β2 0 0 −(σ + µH)

cuyos valores propios son:

0

−γ2+2γµ2+µ22+γγ+µ2

− γγ+µ2

−µH

−(σ + µH)


Como se puede ver 0 es un valor propio y los demas valores propios son todos reales y

ademas negativos por lo que se cumple la condicion A1 del teorema.

A2: Para verificar esta condicion se procede a hallar los vectores propios por izquierda

y por derecha asociados a la matriz T.

Para los vectores propios por derecha:

Tw =

− γ(µ2+γ)

0 γk 0 0

0 − γ(µ2+γ)

0 0 0

k k −(µ2 + γ) 0 0

0 −β2 0 −µH 0

0 β2 0 0 −(σ + µH)

w1

w2

w3

w4

w5

= 0⇒

− γ

(µ2+γ)w1 + γ

kw3

− γ(µ2+γ)

w2

kw2 + kw2 − (µ2 + γ)w3 − w2β2 − w4µH

w2β2 − (σ + µH)w5

=

0

0

0

0

0

Dejando todo en terminos de w3 se tiene que:

w1

w2

w3

w4

w5

= w3

µ2+γk

0

1

0

0

Para los vectores propios por izquierda:


vT =[v1 v2 v3 v4 v5

]

− γ(µ2+γ)

0 γk 0 0

0 − γ(µ2+γ)

0 0 0

k k −(µ2 + γ) 0 0

0 −β2 0 −µH 0

0 β2 0 0 −(σ + µH)

=

0⇒

[− γ

(µ2+γ)v1 + kv3 − γ

(µ2+γ)v2 + kv3 − β2v4 + β2v5

γkv1 − (µ2 + γ)v3 −µHv4 −(σ + µH)v5

]=[

0 0 0 0 0]

Dejando todo en terminos de v3 se tiene que:

v1

v2

v3

v4

v5

= v3

(µ2+γ)kγ

(µ2+γ)kγ

1

0

0

= v3

(µ2+γ)kγ

1

1

γ(µ2+γ)k

0

0

Puesto que no importa los vectores que se usen al hallar a y b , ya que el signo de a

y b permanecera constante siempre y cuando los vectores v y w sean no-negativos, se

toman:

v =

1

1

γ(µ2+γ)k

0

0

y w =

µ2+γk

0

1

0

0

y con estos vectores se procede a calcular a y b.

a =∑n

k,i,j=1 vkwiwj∂2fk∂xi∂xj

(0, 0) = 2v1w1w3∂2f1∂x1∂x3

(0, 0) + 2v3w1w3∂2f1∂x1∂x3

(0, 0)

= 2µ2+γk (−γk ) + 2 γ

(µ2+γ)kµ2+γk (−k) < 0

⇒ a < 0


Antes de calcular b se debe recordar que φ = Q0− 1 y que derivar respecto a φ equivale

a derivar respecto a Q0. Ahora Q0 = γµ1(µ2+γ)

por lo que las variables γ, µ1 y µ2 estan

relacionadas con Q0 pero las demas no lo estan.

Como Q0 = γµ1(µ2+γ)

se tiene que:

∂Q0

∂γ = µ1µ2(µ1(µ2+γ))2

∂Q0

∂µ1= −γ

µ21(µ2+γ)∂Q0

∂(µ2+γ)= −γ

(µ1(µ2+γ))2

Pero como Q0 = γµ1(µ2+γ)

= 1 lo anterior se simplifica a

∂Q0

∂γ = µ1µ2γ2

∂Q0

∂µ1= −1

µ1∂Q0

∂(µ2+γ)= −1

(µ2+γ)

Por lo que:

∂γ∂Q0

= γ2

µ1µ2∂µ1∂Q0

= −µ1 ∂(µ2+γ)∂Q0

= −(µ2 + γ)

Teniendo esto en cuenta ya es posible calcular b.

b =∑n

k,i=1 vkwi∂2fk∂xi∂φ

(0, 0) = v1w1∂2f1

∂x1∂Q0(0, 0) + v1w3

∂2f1∂x3∂Q0

(0, 0) + v3w3∂2f3

∂x3∂Q0(0, 0)

= v1w1∂−µ1∂Q0

+ v1w3∂ γk

∂Q0+ v3w3

∂−(µ2+γ)∂Q0

= v1w1µ1 + v1w3γ2

µ1µ2k+ v3w3(µ2 + γ) > 0

⇒ b > 0

Figura 3.6: Bifurcacion transcrıtica


Teniendo en cuenta los signos obtenidos de a y b se tiene que segun el teorema 3.1 la

bifurcacion es de tipo 4) y por tanto cuando Q0 pasa de ser menor a 0 a ser mayor a

0 (o lo que es lo mismo φ pasa de ser negativo a positivo) el equilibrio E0 deja de ser

estable y un equilibrio negativo inestable (que no se habıa considerado antes ya que al

se negativo carece de sentido biologico) se convierte en un equilibrio positivo localmente

asintoticamente estable. Dicha bifurcacion se muestra en la figura ??

Se ha comprobado entonces que la bifurcacion correspondiente a la poblacion de mos-

quitos m al variar el parametro Q0 es de tipo transcrıtica. Se sospecha que la bifurcacion

correspondiente al numero de humanos infectados I al variar el parametro R0 es tambien

una bifurcacion transcrıtica.

3.8. Resumen del modelo del dengue y discusion sobre

otros modelos y variaciones

De esta forma para la primera enfermedad el equilibrio libre de enfermedad es E0 y el

equilibrio endemico es E1, mientras que para la segunda el equilibrio libre de enfermedad

es E1 y el equilibrio endemico es E∗.

Es por esto que en [11] se calculan en esencia dos numeros reproductivos basicos, uno

para cada enfermedad. El correspondiente a la primera es Q0 y al ser el numero repro-

ductivo basico donde la enfermedad es la poblacion de mosquitos en si, es de esperar que

este indique la capacidad que tienen los mosquitos de prosperar en un lugar determina-

do. A este parametro Q0 se le llama parametro ecologico. Para la segunda enfermedad el

numero reproductivo basico se llama R0 e indica si se produce una epidemia de dengue

en la poblacion.

Note que adicionalmente Q0 indica la cantidad de mosquitos hembra adultos que pro-

duce un mosquito hembra adulto al cabo de una generacion cuando la poblacion de

mosquitos aun es considerablemente pequena, y que R0 indica la cantidad de personas

que infecta un individuo infectado al inicio de la epidemia.


En la mayorıa de modelos epidemiologicos, el analisis de los mismos gira en torno al

comportamiento de dos equilibrios epidemiologicos: el equilibrio libre de enfermedad, en

el cual no existen individuos infectados y el equilibrio endemico en el cual el numero de

individuos infectados permanece constante, y por cada individuo que se recupera de la

enfermedad hay otro que se infecta.

Si bien el objetivo inicial de este estudio era estudiar la enfermedad del Zika y como se

expandio en Colombia durante la epidemia de 2015, la informacion que se cuenta sobre

el Zika es bastante limitada cuando se le compara con la enfermedad del Dengue. Esto

debido a que se han producido muchos mas brotes de Dengue que de Zika y por tanto

se cuentan con muchos mas datos y estudios acerca de la enfermedad.

No obstante, al ser enfermedades transmitidas por vectores y en este caso por el mismo

vector, es posible utilizar los estudios y resultados de la enfermedad del Dengue y apli-

carlos a la enfermedad del Zika. Obviamente se requieren hacer ajustes a los modelos y

a los estimados de los parametros pero por el momento es la mejor informacion que se

tiene. Ejemplos de artıculos que han utilizado datos de la enfermedad del Dengue y los

han usado con el fin de modelar la enfermedad del Zika son [15], [16] y [17].

Capıtulo 4

Modelo para la transmision del

ZIKA

La enfermedad del Zika posee un comportamiento similar al del dengue en el sentido

de que ambas enfermedades son transmitidas por el mismo vector: el mosquito Aedes

aegypti. No obstante, el Zika es la primera enfermedad de la cual se tiene registro que

es transmisible tanto a traves de un vector como por vıa sexual.

Por tanto, si bien es posible utilizar los modelos matematicos del Dengue con el fin de

estudiar las dinamicas de transmision del Zika, es necesario realizar un ajuste a los mis-

mos que incluya la transmision de la enfermedad por vıa sexual.

Puesto que la enfermedad del Zika es transmitida por el mismo vector que el Dengue,

no es necesario modificar las ecuaciones ni los parametros que describen las dinamicas

de la poblacion del mosquito. Esto deja intactas las ecuaciones de A, MS y MI y los

parametros referentes a la poblacion del mosquito. De la misma forma, se supondra que

las probabilidades de transmision entre vector infectado y humano susceptible y entre

vector susceptible y humano infectado son las mismas tanto para la enfermedad del

Dengue como para el Zika. Esto mantiene intactos los parametros β1 y β2. Por tanto

todos los parametros del modelo se mantienen.

36


4.1. Modelo para el ZIKA

Para anadir la trasmision sexual al modelo se agrega un parametro β3 al mismo, que

modela la transmision de la enfermedad de humanos susceptibles a humanos infecta-

dos por vıa contacto sexual. Esto modifica el diagrama normalizado del dengue que se

muestra en la figura 3.2 y lo convierte en el diagrama que se muestra en la figura 4.1


el cual da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:

dMS

dt=γ


dMI


dA


dH

dt= µH − µHH − β2HMI − β3HI

dI

dt= β2HMI + β3HI − σI − µHI

(4.1)

4.2. Numero reproductivo basico R0

Ahora, para calcular el numero reproductivo basico R0 se siguen dos procedimientos:


El primero y el mas sencillo es simplemente sumar el numero reproductivo basico

asociado a la transmision por el mosquito y el numero reproductivo basico asociado

a la transmision sexual.

R0−total−1 = R0−vector +R0−sexo

R0−total−1 =√

β1β2HMS

µ1∗(σ+µH) + β3Hσ+µH

Esta aproximacion no es del todo valida ya que se estan contabilizando dos veces

los casos de personas que se contagian al mismo tiempo por medio de vector y por

vıa sexual.Como no es posible ver a simple vista como se relacionan entre sı ambas

formas de contagio de la enfermedad, la mejor forma de calcular el parametro R0

en este caso es por medio del metodo de la matriz de la siguiente generacion.

Usando el metodo de la matriz de la siguiente generacion ( en el Apendice H )

se obtiene:

R0−total−2 =R0−sexo+

2√

(R0−sexo)2+4(R0−vector)2

2

R0−total−2 =

β3σ+MH

+ 2

√(β3

σ+MH

)2+4

β1β2HMSµ1∗(σ+µH )

2

Si bien la primera aproximacion no es del todo valida, esta no es completamente inutil,

ya que esta representa una cota del valor real del numero reproductivo basico R0. Esto

ya que:

4R0−vectorR0−sexo ≥ 0

⇒ R20−sexo + 4R0−vectorR0−sexo + 4R2

0−vector ≥ R20−sexo + 4R2

0−vector

⇒ (R0−sexo + 2R0−vector)2 ≥ R2

0−sexo + 4R20−vector

⇒ 2R0−sexo + 2R0−vector ≥ R0−sexo + 2

√R2

0−sexo + 4R20−vector

⇒ R0−sexo +R0−vector ≥R0−sexo+ 2

√R2

0−sexo+4R20−vector

2

⇒ R0−total−1 ≥ R0−total−2

Ahora cuando R0−sexo = 0 o cuando R0−vector = 0 se tiene que: R0−total−1 = R0−total−2


Entonces R0−sexoR0−vector

≈ 0 implica R0−total−1 ≈ R0−total−2

Puesto que en ningun sitio del mundo en donde el mosquito Aedes Aegypti no sea

endemico ha ocurrido una epidemia de Zika, se sabe que el R0−sexo asociado al Zika es

menor a 1 mientras que en varios lugares del mundo ocurre que R0−vector es mayor a 1.

Se cree incluso que la proporcion entre R0−sexo y R0−vector es de 1 a 20. Por tanto, a

pesar de que el valor real del numero reproductivo basico es R0−total−2, no serıa erroneo

utilizar la aproximacion R0−total−1.

Otra aproximacion de R0 se obtiene al tratar de establecer condiciones para las cuales

R0 > 1. Tomando como referencia R0−total−2 se tiene:

R0−total−2 > 1 ↔ R0−sexo+ 2√R2

0−sexo+4R20−vector

2 > 1

↔ 2

√R2

0−sexo + 4R20−vector > 2−R0−sexo ↔ R2

0−sexo + 4R20−vector >

(2−R0−sexo)2

↔ R20−sexo+4R2

0−vector > 4−4R0−sexo+R20−sexo ↔ 4R2

0−vector > 4−4R0−sexo

↔ R20−vector +R0−sexo > 1

Por tanto la condicion de R0−total−2 > 1 puede reemplazarse por R20−vector+R0−sexo > 1.

Por tanto a pesar de que R20−vector + R0−sexo no corresponda a ningun numero repro-

ductivo basico este puede tomarse como:

R0−total−3 = R20−vector +R0−sexo

Para efectos del analisis de estabilidad de los equilibrios.

Se obtiene el siguiente equilibrio endemico:


w =−((σ+µH)µ1(R0−sexo+R2

0−vector)+µHβ1(1−R0−sexo))

2(R0−sexoβ1(σ+µH)

)+

√((σ+µH)µ1(R0−sexo+R2

0−vector)+µHβ1(1−R0−sexo))2−4(R0−sexoβ1(σ+µH)

)(µ1µH [1−R0−sexo−R2

0−vector])


)Los calculos del mismo pueden revisarse en el apendice G.

Capıtulo 5

Analisis de la epidemia del Zika

del 2015-2016 en Colombia

5.1. Datos reales a partir de los Boletines epidemiologicos

del Instituto Nacional de Salud

Para analizar la evolucion de la epidemia del Zika en Colombia en 2015-2016 se van a

tomar datos reales de infectados por la enfermedad. Estos se obtienen de los Boletines

Epidemiologicos semanales del SIVIGILA (Instituto Nacional de Salud) [4] . Estos datos

corresponden a infectados totales por la enfermedad hasta el momento en cada depar-

tamento de Colombia y en algunos departamentos los datos de la capital se registraron

por separado.

Puesto que se tienen en cada region el acumulado de infectados hasta el momento y

nos interesa el numero de enfermos nuevos por semana, para obtener el dato de nuevos

enfermos en la semana n se deben restar los datos de enfermos acumulados en la semana

n y n− 1.

41


5.2. Aproximacion al modelo propuesto para el Zika

Ya se explico el modelo de la enfermedad del Zika y este es el que deberıa usarse para

ajustar los parametros del mismo a los datos reales de la enfermedad. No obstante este

modelo es bastante complejo y para llevarlo a cabo hacen falta datos esenciales como

el numero de mosquitos inicial en cada region. Es por esto que en lugar de ajustar el

modelo del Zika a los datos reales se tomara una aproximacion del mismo para ajustar

a los datos reales. Esta aproximacion sera el modelo SIR.

Por lo tanto, usaremos un modelo sin mosquitos, sin dinamicas vitales y solo dejamos

contactos entre los humanos. Esto no significa que estamos teniendo en cuenta unicamen-

te transmision sexual, significa simplemente que haremos de cuenta que es una epidemia

que ocurrio en una poblacion (la colombiana) y que nos interesa solo ver la dinamica

de propagacion de la enfermedad entre los diferentes municipios pero no la propagacion

del ZIKA como tal entre los humanos. Es decir, supondremos que tenemos unos datos

de una enfermedad la cual sabemos que se trasmite de un humano a otro y en la cual

no consideramos el como fue el proceso. Es decir, los mosquitos no nos interesan.

No serıa la primera vez que se usen modelos simples como SIR o SEIR como aproxima-

ciones a modelos de enfermedades trasmitidas por vectores. En el estudio de AIK[18] se

uso el modelo SIR para investigar si la dinamica de esta enfermedad virulenta, ZIKA,

podrıa alcanzar niveles pandemicos y podrıa erradicarse si fuese el caso. DANTAS[19]

tambien uso otro modelo simple como SEIR para responder preguntas sobre la epidemia

del ZIKA acontecida en Brasil en el 2015 y [20] de nuevo utilizo el modelo SIR para

responder preguntas relacionadas a la transmision vertical del ZIKA.


5.3. Ajuste del modelo SIR a los datos reales

El modelo SIR es el siguiente:

S ′ = −β S I

S ′ = β S I − γI

S ′ = γI

(5.1)

Para cada region, se buscan valores de β y γ cuya solucion del sistema anterior minimice

el error del mismo. El error se calcula como la suma de los cuadrados de la diferencia

entre los valores reales (los registrados en cada region) y los valores resultantes de las

ecuaciones diferenciales. Se tiene entonces el siguiente problema de optimizacion:

mınpϕ(p) =

1

N

N∑i=1

(y1i − y1i

)2+(y2i − y2i

)2+(y3i − y3i

)2(MSE) (5.2)

donde

sımbolo interpretacion

y = (y1, y2, y3) = (S, I,R)

p = (p1, p2) = (β, γ)

Cuadro 5.1: Problema de optimizacion donde y es el vector de los datos y y es elvector de los valores aproximados, obtenidos con el modelo SIR simulado en MatLab.

Note que sabemos solamente la segunda componente y2 = I del vector y. El valor de γ

define en este modelo los valores de R y esto implica los valores de S.

Para resolver este problema de optimizacion en cada region se utiliza el metodo de

Levenberg-Marquardt el cual ya esta previamente implementado en matlab mediante la

funcion nlinfit(). Haciendo uso de esta funcion se obtienen los siguientes resultados:


Figura 5.1: Avance de la enfermedad por departamentos




Si bien se tienen datos de 37 lugares distintos, solo se grafican 16 de estos. Ajustando el

modelo SIR a los datos reales de cada region podemos obtener los parametros β y γ de

los cuales se puede obtener R0 para cada region de Colombia.

Ademas, tomando el pico de la epidemia en cada lugar se puede estimar cuando fue el

comienzo de la misma en cada region. Teniendo esto en cuenta podemos estimar como

fue el avance de la enfermedad por las distintas regiones de Colombia y obtener conclu-

siones sobre la misma.

Se cree que la epidemia comenzo en Bolivar, ya que una vez la OMS alerto sobre la

epidemia mundial de ZIka se llevaron a cabo pruebas en el paıs y los primeros resultados

positivos se obtuvieron en el departamento de Bolivar. No obstante, Santa Marta es la

region donde primero se alcanza el pico de la epidemia, lo que hace que posiblemente

esta zona fuera el inicio de la epidemia. Lo que si es seguro a partir de las graficas es

que la epidemia se origino en la Costa Caribe.


De estas graficas se puede ver que la epidemia comenzo en la costa Caribe, rapidamente

se propago al area insular, luego paso al area andina, luego paso al area pacıfica y final-

mente llego a los llanos en donde la epidemia no fue significativa. Los 5 departamentos

mas afectados por la epidemia (en porcentaje de poblacion) fueron: Arauca, Casanare,

Norte de Santander, San Andres y Valle del Cauca.

Se intento identificar un patron de desplazamiento de la enfermedad dentro del paıs pero

esto no fue posible. Se grafico el desplazamiento de la enfermedad de un departamento a

otro vecino suponiendo que si en un departamento A se dio el pico de la epidemia antes

que en su vecino B entonces A habıa contagiado a B y esto se representaba mediante

una flecha que salıa desde A hacia B. Dicho mapa se muestra en la figura 5.6


Capıtulo 6

Conclusiones

1. Para estudiar una enfermedad en epidemiologıa es comun dividir a la poblacion en

compartimientos y asumir que si bien individuos de distintos compartimientos po-

seen dinamicas diferentes, individuos de un mismo compartimiento se comportan

exactamente igual. Esto permite establecer relaciones entre los mismos y escribir-

las en forma de ecuaciones diferenciales.

2. El numero reproductivo basico R0 es hasta ahora el mas importante aporte hasta

el momento de las matematicas a modelos epidemiologicos. Este indica cuando una

enfermedad prospera y se convierte en epidemia o cuando se extingue sin afectar

a una gran parte de la poblacion.

3. Para estimar el numero reproductivo basico de un modelo existe un metodo lla-

mado metodo de la matriz de la siguiente generacion. Este corresponde en esencia

al radio espectral de la matriz de linealizacion en el equilibrio libre de enfermedad.

De esta forma si es menor a 1 el equilibrio es estable.

4. El algoritmo de la matriz de la proxima generacion puede usarse para otros fines

diferentes al calculo del numero reproductivo basico. Por ejemplo, en este trabajo

se muestra el uso de este algoritmo para el calculo del parametro ecologico intro-

ducido por Maidana, quien lo uso para verificar que condiciones debıan cumplir

48


los parametros de la poblacion de mosquitos para que la misma prosperase.

5. El numero reproductivo basico R0 determina no solamente el hecho de que la en-

fermedad prospere o no, sino que la estabilidad de los equilibrios del sistema esta

fuertemente ligado al mismo, tanto que en algunos modelos (como los estudiados

en este trabajo) alrededor de R0 = 1 se presenta una bifurcacion en los equilibrios

del sistema.

6. Las ecuaciones usadas para modelar una enfermedad suministran informacion im-

portante de la misma cuando sus parametros se ajustan a datos empıricos.

Apendice A

Determinacion del equilibrio E1

Reemplazando

E1 = (Ms,Mi, A,H, I) = (m, 0, a, 1, 0)

en el sistema de ecuaciones 3.3 se tiene que las derivadas de MI , I y H son iguales

a 0. Las derivadas de los parametros restantes se igualan a 0 para obtener ecuaciones

relevantes en el despeje de a y m. Se tiene:

γka (1−m)− µ1m = 0

k (1− a)m− µ2a− γa = 0

simplificando

γ

ka−m(

γ

ka+ µ1) = 0

k (1− a)m− µ2a− γa = 0

(A.1)

De la segunda ecuacion se obtiene:

m = (µ2+γ)ak(1−a)

50


y reemplazando esto en la primera ecuacion

γka−

(µ2+γ)ak(1−a)

γka+ µ1) = 0

Puesto que a 6= 0 es posible dividir en a, por lo que al multiplicar por k(1−a)a se obtiene:

γ(1− a)− (µ2 + γ)(γka+ µ1) = 0 ⇒ γ − (µ2 + γ)µ1 = aγ(1 + µ2+γ

k

)⇒ k(γ−(µ2+γ)µ1)

γ(k+µ2+γ)= a ⇒ a =

k(1− (µ2+γ)µ1γ

)

k+µ2+γ⇒ a =

k(1−Q−10 )

k+µ2+γ

Adicionalmente:

m = (µ2+γ)k

a1−a = (µ2+γ)

kk(γ−(µ2+γ)µ1)

γ(k+µ2+γ)−k(γ−(µ2+γ)µ1) = (µ2+γ)k

k(γ−(µ2+γ)µ1)(µ2+γ)(γ+kµ1)

= (γ−(µ2+γ)µ1)(γ+kµ1)

⇒ m =γ(1− (µ2+γ)µ1

γ)

(γ+kµ1)⇒ m =

γ(1−Q−10 )

(γ+kµ1)

Puesto que el termino(

1− (µ2+γ)µ1γ

)aparece en ambas expresiones se tiene que para que

a y m sean positivos se requiere que:(

1 > (µ2+γ)µ1γ

)o lo que es lo mismo

(γ

(µ2+γ)µ1> 1)

.

Por tanto Maidana concluye que el numero reproductivo basico que indica si la poblacion

de mosquitos prospera es:

Q0 = γ(µ2+γ)µ1

Apendice B

Determinacion del numero

reproductivo basico Q0 usando la

matriz de la proxima generacion.

Para calcular Q0 se usara la aproximacion de la matriz de la siguiente generacion dada

por [6] y se tratara a la expansion de los mosquitos como a la expansion de una enferme-

dad en sı. Al inicio de la misma no es posible que existan mosquitos ni en fase larva ni en

fase adulta (Si en un principio no hay adultos es imposible que existan larvas y viceversa,

por lo que el unico punto de partida coherente es que no existan ni larvas ni mosquitos

adultos ), por lo que Q0 debera calcularse teniendo en cuenta el equilibrio E0. Por tanto:

F =

γk (1−M)A

k(1−A)M

V =

µ1M

(µ2 + γ)A

y linealizando se tiene:

F =

−γkA −γ

k (1−M)

k(1−A)H −kM

V =

µ1 0

0 µ2 + γ

52


→ K = FV −1 =

− γkA

µ1

− γk(1−M)

µ2+γ

k(1−A)Hµ1

−kMµ2+γ

y reemplazando en el equilibrio E0 se tiene:

→ K = FV −1 =

0 − γk(µ2+γ)

kµ1

0

Obteniendo el mayor valor propio de la matriz se obtiene:

Q0 = 2

√γ

µ1(µ2+γ)

La existencia del equilibrio E1 depende de que Q0 sea mayor a 1.

Apendice C

Analisis de la estabilidad de E1

Para realizar este analisis unicamente son relevantes las ecuaciones correpondientes a las

variables MS , A y H. Por tanto el sistema de ecuaciones a analizar es:

dMdt = γ


dAdt = k (1−A)M − µ2A− γA

dHdt = µH − µHH − β2HMI

Pero puesto que una de estas ecuaciones es redundante se usan:

dM

dt=γ

kA (1−M)− µ1M

dA


(C.1)

Ya se vio que el equilibrio endemico existe unicamente cuando Q0 > 1. Se va a demos-

trar que esta condicion es no solo necesaria sino que tambien es suficiente para que el

equilibrio E1 sea estable. Para esto se linealiza el sistema 3.3 alrededor del equilibrio E1.

T =

−γkA− µ1

γk

k(1−A) −km− µ2 − γ

54


Se va a demostrar que todos los valores propios de esta matriz poseen parte real negativa.

Para esto se toma la matriz

(T − λI) =

−γkA− µ1 − λ

γk

k(1−A) −km− µ2 − γ − λ

Reemplazando km+ µ2 + γ = kma queda:

(T − λI) =

−γkA− µ1 − λ

γk

k(1−A) −kma − λ

de lo cual resulta la ecuacion caracterıstica.

λ2 + λ(kma + γka+ µ1) + γm+ µ1km

a − γ(1− a)

Reemplazando µ1kma = γ(1−m) queda:

λ2 + λ(kma + γka+ µ1) + γm+ γ(1−m)− γ(1− a) = λ2 + λ(kma + γ

ka+ µ1) + γa

Que al ser un polinomio de grado 2 con entradas positivas se tiene que sus raıces poseen

parte real negativa.

Apendice D

Determinacion del equilibrio

endemico

Con el fin de hallar el equilibrio endemico se reemplaza

E∗ = (M∗S ,M∗I , A

∗, H∗, I∗) = (m− t, t, a, s, w)

en el sistema 3.3 y se igualan todas las derivadas a 0. Las ecuaciones MI , H y I son

relevantes para el despeje. De estas se tiene:

−µ1t+ β1(m− t)w = 0

µH − µHs− β2st = 0

β2st− σw − µHw = 0

Reordenando:

t(µ1 + β1w) = β1mw

µH(1− s) = β2st

β2st = w(σ + µH)

de la primera ecuacion de D se tiene:

56


t = β1mw(µ1+β1w)

Igualando las ultimas dos ecuaciones de D se tiene:

µH(1− s) = β2st = w(σ + µH)

⇒ s = 1− w(σ+µH)µH

t = µH(1−s)β2s

t = w(σ+µH)β2s

Y de lo anterior se tiene:

β1mw(µ1+β1w)

= t = w(σ+µH)β2s

De donde se despeja w:

β1mw(µ1+β1w)

= w(σ+µH)β2s

⇒ β1m(µ1+β1w)

= (σ+µH)β2s

⇒ β1β2ms = (σ + µH)(µ1 + β1w)

⇒ β1β2m(µH−w(σ+µH)µH

) = (σ + µH)(µ1 + β1w)

⇒ w(σ + µH)(β1µH + β1β2m) = µH (β1β2m− µ1(σ + µH))

⇒ w(β1µH + β1β2m) = µH(β1β2m−µ1(σ+µH))(σ+µH) = µ1µH

(β1β2m

µ1(σ+µH) − 1)

= µ1µH(R0 − 1)

⇒ w = µ1µH(R0−1)β1µH+β1β2m

donde R0 = β1β2mµ1(σ+µH)

Apendice E


reproductivo basico R0 usando la

matriz de la proxima generacion.

Ahora con el fin de que la enfermedad del dengue prospere se requiere que el numero de

enfermos crezca en el inicio de la misma. Para esto se calcula R0 conocido comunmente

como numero reproductivo basico, el cual indica el numero de enfermos producidos por

un enfermo al inicio de una epidemia. Si R0 > 1 entonces se produce la epidemia.

F =

β1MSI

β2HMI

V =

µ1MI

σI + µHI

y linealizando nos queda:

F =

0 β1MS

β2H 0

V =

µ1 0

0 σ + µH

→ K = FV −1 =

0 β1MSσ+µH

β2Hµ1

0

y reemplazando en el equilibrio E1 se tiene:

58


→ K = FV −1 =

0 β1mσ+µH

β2µ1

0

Obteniendo el mayor valor propio de la matriz se obtiene:

R0 =√

β1β2HMS

µ1∗(σ+µH)

La existencia del equilibrio E2 depende de que R0 sea mayor a 1.

Apendice F

Analisis de la estabilidad de E∗

Ya se vio que el equilibrio endemico existe unicamente cuando R0 > 1. Se va a demos-


equilibrio E∗ sea estable.

Para esto se linealiza el sistema 3.3 y se obtiene la siguiente matriz :

T =



β1I −µ1 0 0 β1MS

k(1−A) k(1−A) −kM − (µ2 + γ) 0 0

0 −β2H 0 −β2MI − µH 0

0 β2H 0 β2MI −(σ + µH)

Esta se evalua en el equilibrio E∗ = (M∗S ,M∗I , A

∗, H∗, I∗) = (m− t, t, a, s, w) obteniendo:

T =

−γka− µ1 − β1w −γ

kaγk (1−m) 0 −β1(m− t)

β1w −µ1 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −km− (µ2 + γ) 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH 0

0 β2s 0 β2t −(σ + µH)

Usando las ecuaciones A.1 y simplificando:

60


γka = m(γka+ µ1) ⇒ mµ1

a = γk (1−m)

k (1− a)m = a(µ2 + γ) ⇒ km = a(km+ µ2 + γ)

Se tiene:

T =


kamµ1a 0 −β1(m− t)

β1w −µ1 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −kma 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH 0

0 β2s 0 β2t −(σ + µH)

NOTA: Las ecuaciones A.1 aun pueden usarse ya que si bien corresponden al sistema de

ecuaciones 3.2 estas tambien pueden obtenerse de MS +MI y de A del sistema 3.3.


Para esto se halla la ecuacion caracterıstica de la matriz T , hallando el determinante de

(T − λI).

(T − λI) =

−γka− µ1 − β1w − λ −γ


β1w −µ1 − λ 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −kma − λ 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH − λ 0

0 β2s 0 β2t −(σ + µH)− λ

Con el fin de simplificar el calculo del determinante la matriz se multiplica por las ma-

trices elementales:

1 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 −1 1

1 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

(T − λI)

1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1


obteniendo:

=

0 −γka− µ1 − λ

mµ1a 0 0

µ1 + λ+ β1w −µ1 − λ 0 0 β1(m− t)

0 k(1− a) −kma − λ 0 0

0 0 0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

−β2s β2s 0 β2t+ µH + λ 0

Posteriormente se intercambian las columnas 1 y 3 de la matriz y seguido a esto se inter-

cambian las filas 2 y 3. Esta operacion no afecta el determinante y por tanto tampoco

afecta la ecuacion caracterıstica.

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ 0 0 0

−kma − λ k(1− a) 0 0 0

0 −µ1 − λ µ1 + λ+ β1w 0 β1(m− t)

0 0 0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

0 β2s −β2s β2t+ µH + λ 0

la matriz obtenida es una matriz triangular inferior por bloques, por lo que su determi-

nante es igual a:

det

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ

−kma − λ k(1− a)

det(

µ1 + λ+ β1w 0 β1(m− t)

0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

−β2s β2t+ µH + λ 0

El primer polinomio corresponde a un polinomio de grado 2 cuyas entradas son todas

positivas. Por tanto todas sus raıces poseen parte real negativa.

det

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ

−kma − λ k(1− a)

) = (λ2 + λ(γka+ µ1 + kma ) + km(γk ) + µ1


El segundo polinomio es:

(λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH)− (β1(m− t))(β2s)(λ+ µH)

= (λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH) + (β1β2st− β1β2sm)(λ+ µH)

Del apendice D se tiene que:

β1β2ms = (σ + µH)(µ1 + β1w)

por lo que el segundo polinomio se convierte en:

(λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH) +(β1β2st− (σ + µH)(µ1 + β1w)

)(λ+ µH)

Expandiendo este polinomio se obtiene:

λ3 + λ2(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH

)+λ((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH) + β1β2st

)+((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH

)

Se quiere demostrar que las raıces de esta ecuacion poseen parte real negativa. Para

verificar esto se aplicara el criterio de Routh-Hurwitz.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

s3 1((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH) + β1β2st

)s2

(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH

) ((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH

)s1 y

s0((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH

)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣donde y =

(µ1+β1w+σ+µH+β2t+µH

)((µ1+β1w)(β2t+µH)+(σ+µH)(β2t+µH)+β1β2st

)−((µ1+β1w)(σ+µH)β2t+β1β2stµH

)(µ1+β1w+σ+µH+β2t+µH

)Para obtener unicamente valores positivos en la primera columna se requiere que y sea

positivo. Puesto que el denominador es una suma de terminos positivos este es positivo.

Y expandiendo el numerador se tiene:


(µ1 + β1w+ σ+ µH + β2t+ µH

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ+ µH)(β2t+ µH) + β1β2st

)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH

)

=(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH)

)+(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH

)(β1β2st

)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH

)

=(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH)

)+(µ1 + β1w + σ + µH + β2t

)(β1β2st

)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t

)

=((µ1 + β1w) + (σ + µH) + (β2t+ µH)

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH)

)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t

)+(µ1 + β1w + σ + µH + β2t

)(β1β2st

)

=((µ1 + β1w) + (σ + µH) + (β2t+ µH)

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(µH)

)+((µ1 + β1w) + (σ + µH) + (β2t+ µH)

)((σ + µH)(β2t)

)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t

)+(µ1 + β1w + σ + µH + β2t

)(β1β2st

)

=((µ1 + β1w) + (σ + µH) + (β2t+ µH)

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(µH)

)+((σ + µH) + (β2t+ µH)

)((σ + µH)(β2t)

)+(µ1 + β1w + σ + µH + β2t

)(β1β2st

)por lo que el numerador tambien es una suma de terminos positivos y por tanto y es

positivo.

Puesto que en el proceso de Routh-Hurwitz se obtienen unicamente valores positivos en

la primer columna, se tiene que ambos polinomios poseen unicamente valores propios

con parte real negativa. Por tanto el equilibrio E∗ es estable.

Apendice G

Determinacion del equilibrio E∗

para el modelo del Zika

Con el fin de hallar el equilibrio endemico se reemplaza

E∗ = (M∗S ,M∗I , A

∗, H∗, I∗) = (m− t, t, a, s, w)

en el sistema 4.1 y se igualan todas las derivadas a 0. Las ecuaciones MI , H y I son

relevantes para el despeje. De estas se tiene:

−µ1t+ β1(m− t)w = 0

µH − µHs− β2st− β3sw = 0

β2st− σw − µHw + β3sw = 0

Reemplazando la segunda ecuacion por la suma de ella y la tercera:

−µ1t+ β1(m− t)w = 0

µH − µHs− σw − µHw = 0

β2st− σw − µHw + β3sw = 0

Reordenando:

65


t(µ1 + β1w) = β1mw

µH(1− s) = w(σ + µH)

β2st = w(σ + µH − β3s)

Reordenando:

t = β1mw(µ1+β1w)

s = 1− w(σ+µH)µH

t = w(σ+µH−β3s)β2s

Que se reduce a:

w(σ+µH−β3s)β2s

= β1mw(µ1+β1w)


⇒ (µ1 + β1w)w(σ + µH − β3s) = β2sβ1mw s = 1− w(σ+µH)µH

⇒ (µ1 + β1w)(σ + µH − β3s) = β2sβ1m s = 1− w(σ+µH)µH

⇒ (µ1 + β1w)(σ + µH)− β3s(µ1 + β1w) = β2sβ1m s = 1− w(σ+µH)µH

⇒ (µ1 + β1w)(σ + µH) = s(β2β1m+ β3(µ1 + β1w)

)s = 1− w(σ+µH)

µH

⇒ s = (µ1+β1w)(σ+µH)(β2β1m+β3(µ1+β1w))


⇒ (µ1+β1w)(σ+µH)(β2β1m+β3(µ1+β1w))

= 1− w(σ+µH)µH

De donde se despeja w:

(µ1+β1w)(σ+µH)(β2β1m+β3(µ1+β1w))

= 1− w(σ+µH)µH

⇒ (µ1+β1w)(σ+µH)(β2β1m+β3(µ1+β1w))

= µH−w(σ+µH)µH

⇒ µH(µ1 + β1w)(σ + µH) = (β2β1m+ β3(µ1 + β1w))(µH − w(σ + µH))


⇒ w2(β1β3(σ + µH)

)+ w

((σ + µH)(β3µ1 + β1β2m+ µHβ1)− β1β3µH

)+µH

(µ1(σ + µH − β3)− β1β2m

)= 0

Esta es una ecuacion cuadratica de la forma aw2 + bw + c = 0 donde

a =(β1β3(σ + µH)

)b =

((σ + µH)(β3µ1 + β1β2m+ µHβ1)− β1β3µH

)c = µH

(µ1(σ + µH − β3)− β1β2m

)Con el fin de simplificar estas ecuaciones se divide entonces la ecuacion cuadratica aw2+

bw + c = 0 por (σ + µH) y se nota que:

a1 = a(σ+µH) =

(R0−sexoβ1(σ + µH)

)b1 = b

(σ+µH) =((σ + µH)µ1(R0−sexo +R2

0−vector) + µHβ1(1−R0−sexo))

c1 = c(σ+µH) =

(µ1µH [1−R0−sexo −R2

0−vector])

Con el fin de obtener un resultado para w se supone que:

w =−b1+√b21−4a1c12a1

w =−((σ+µH)µ1(R0−sexo+R2

0−vector)+µHβ1(1−R0−sexo))


)+

√((σ+µH)µ1(R0−sexo+R2

0−vector)+µHβ1(1−R0−sexo))2−4(R0−sexoβ1(σ+µH)

)(µ1µH [1−R0−sexo−R2

0−vector])


)

Apendice H


reproductivo basico R0 usando la

matriz de la proxima generacion


Antes de proceder a hallar el numero reproductivo basico relativo al Zika se van a cal-

cular los numeros reproductivos basicos del sistema cuando solamente se considera la

transmision de la enfermedad por medio de un vector y cuando solamente se considera

la transmision de la enfermedad por vıa sexual.

El numero reproductivo basico correspondiente a la transmision de la enfermedad por

medio de un vector ya se calculo en el Apendice E y es igual a:

R0−vector =√

β1β2HMS

µ1∗(σ+µH)

El numero reproductivo basico correspondiente a la transmision de la enfermedad por

vıa sexual se calcula teniendo en cuenta unicamente el parametro β3 que se anadio. Por

tanto:

F =

0

β3HI

V =

µ1MI

σI + µHI

68



F =

0 0

0 β3H

V =

µ1 0

0 σ + µH

→ K = FV −1 =

0 0

0 β3Hσ+µH

La ecuacion caracterıstica queda:

λ(λ− β3Hσ+µH

) ⇒ R0−sexo = β3Hσ+µH

Ahora, el numero reproductivo basico relativo al Zika

F =

β1MSI

β2HMI + β3HI

V =

µ1MI

σI + µHI


F =

0 β1MS

β2H β3H

V =

µ1 0

0 σ + µH

→ K = FV −1 =

0 β1MSσ+µH

β2Hµ1

β3Hσ+µH

La ecuacion caracterıstica queda:

λ2 − β3σ+MH

λ− β1β2HMS

µ1∗(σ+µH) ⇒ R0−total =

β3σ+MH

+ 2

√(β3

σ+MH

)2+4

β1β2HMSµ1∗(σ+µH )

2

Se nota entonces la relacion entre el R0−total correspondiente al Zika y el R0−vector y

R0−sexo correspondientes a los dos medios de transmision separados.

R0−total =R0−sexo+

2√

(R0−sexo)2+4(R0−vector)2

2

Apendice I

Analisis de la estabilidad de E∗


Ya se vio que el equilibrio endemico existe unicamente cuando R0 > 1. Se va a demos-


equilibrio E∗ sea estable.

Para esto se linealiza el sistema 3.3 y se obtiene la siguiente matriz :

T =



β1I −µ1 0 0 β1MS

k(1−A) k(1−A) −kM − (µ2 + γ) 0 0

0 −β2H 0 −β2MI − µH − β3I −β3H

0 β2H 0 β2MI + β3I −(σ + µH) + β3H

Esta se evalua en el equilibrio E∗ = (M∗S ,M∗I , A

∗, H∗, I∗) = (m− t, t, a, s, w) obteniendo:

70


T =


kaγk (1−m) 0 −β1(m− t)

β1w −µ1 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −km− (µ2 + γ) 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH − β3w −β3s

0 β2s 0 β2t+ β3w −(σ + µH) + β3s

Usando las ecuaciones A.1 y simplificando:

γka = m(γka+ µ1) ⇒ mµ1

a = γk (1−m)

k (1− a)m = a(µ2 + γ) ⇒ km = a(km+ µ2 + γ)

Se tiene:

T =



β1w −µ1 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −kma 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH − β3w −β3s

0 β2s 0 β2t+ β3w −(σ + µH) + β3s

NOTA: Las ecuaciones A.1 aun pueden usarse ya que si bien corresponden al sistema de

ecuaciones 3.2 estas tambien pueden obtenerse de MS +MI y de A del sistema 4.1.


Para esto se halla la ecuacion caracterıstica de la matriz T , hallando el determinante de

(T − λI).

−γka− µ1 − β1w − λ −γ


β1w −µ1 − λ 0 0 β1(m− t)

k(1− a) k(1− a) −kma − λ 0 0

0 −β2s 0 −β2t− µH − β3w − λ −β3s

0 β2s 0 β2t+ β3w −(σ + µH) + β3s− λ


Con el fin de simplificar el calculo del determinante la matriz se multiplica por las ma-

trices elementales:

1 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 −1 1

1 1 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

(T − λI)

1 0 0 0 0

−1 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 1

0 0 0 0 1

obteniendo:

=

0 −γka− µ1 − λ

mµ1a 0 0

µ1 + λ+ β1w −µ1 − λ 0 0 β1(m− t)

0 k(1− a) −kma − λ 0 0

0 0 0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

−β2s β2s 0 β2t+ µH + β3w + λ β3s

Posteriormente se intercambian las columnas 1 y 3 de la matriz y seguido a esto se inter-

cambian las filas 2 y 3. Esta operacion no afecta el determinante y por tanto tampoco

afecta la ecuacion caracterıstica.

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ 0 0 0

−kma − λ k(1− a) 0 0 0

0 −µ1 − λ µ1 + λ+ β1w 0 β1(m− t)

0 0 0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

0 β2s −β2s β2t+ µH + β3w + λ β3s

la matriz obtenida es una matriz triangular inferior por bloques, por lo que su determi-

nante es igual a:


det

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ

−kma − λ k(1− a)

det(

µ1 + λ+ β1w 0 β1(m− t)

0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

−β2s β2t+ µH + β3w + λ β3s

El primer polinomio corresponde a un polinomio de grado 2 cuyas entradas son todas

positivas. Por tanto todas sus raıces poseen parte real negativa.

det

mµ1a −γ

ka− µ1 − λ

−kma − λ k(1− a)

) = (λ2 + λ(γka+ µ1 + kma ) + km(γk ) + µ1

Este primer polinomio coincide con el primer polinomio del Apendice F por lo que no

es necesario verificar de nuevo que todas sus raıces poseen parte real negativa.

El segundo polinomio es:

det(µ1 + λ+ β1w 0 β1(m− t)

0 −µH − λ −(σ + µH)− λ

−β2s β2t+ µH + β3w + λ β3s

= (λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH)− (β1(m− t))(β2s)(λ+ µH) + (λ+ µ1 +

β1w)(β3w(λ+ σ + µH)− β3s(λ+ µH)

)= (λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH) + (β1β2st− β1β2sm)(λ+ µH) + (λ+ µ1 +

β1w)(β3w(λ+ σ + µH)− β3s(λ+ µH)

)

Del apendice G se tiene que:

β1β2ms = (σ + µH − β3s)(µ1 + β1w)

por lo que el segundo polinomio se convierte en:

= (λ+ µ1 + β1w)(λ+ σ + µH)(λ+ β2t+ µH) + (β1β2st− (σ + µH − β3s)(µ1 +

β1w))(λ+ µH) + (λ+ µ1 + β1w)(β3w(λ+ σ + µH)− β3s(λ+ µH)

)


Expandiendo este polinomio se obtiene:

λ3 + λ2(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH + β3w − β3s

)+λ((µ1+β1w)(β2t+µH)+(σ+µH)(β2t+µH)+β1β2st+β3w(σ+µH+µ1+β1w)−β3sµH

)+((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w)

)

Se quiere demostrar que las raıces de esta ecuacion poseen parte real negativa. Para

verificar esto se aplicara el criterio de Routh-Hurwitz.

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

s3 1((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+ µH) + β1β2st+ β3w(σ + µH + µ1 + β1w)− β3sµH

)s2

(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH + β3w − β3s

) ((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w)

)s1 y

s0((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+ β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w)

)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Para obtener unicamente valores positivos en la primera columna se requiere que y sea

positivo. Puesto que el denominador es una suma de terminos positivos este es positivo.

Y expandiendo el numerador se tiene:

(µ1 + β1w + σ + µH + β2t+ µH + β3w − β3s

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + (σ + µH)(β2t+

µH) + β1β2st+ β3w(σ + µH + µ1 + β1w)− β3sµH)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+

β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w))

=(µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + β2t(σ + µH) + µH(σ +

µH) + β1β2st+ β3w(σ + µH + µ1 + β1w)− β3sµH)−((µ1 + β1w)(σ + µH)β2t+

β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w))

=(µ1 +β1w+β2t+µH +β3w+η

)((µ1 +β1w)(β2t+µH)+β2t(σ+µH)+µHη+β1β2st+

β3w(σ+µH+µ1+β1w))−((µ1+β1w)(σ+µH)β2t+β1β2stµH+β3w(σ+µH)(µ1+β1w)

)=(µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + µHη + β1β2st+ β3w(σ +

µH + µ1 + β1w))

+(µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η

)(β2t(σ + µH))−

((µ1 + β1w)(σ +

µH)β2t+ β1β2stµH + β3w(σ + µH)(µ1 + β1w))


=(µ1 +β1w+β2t+µH +β3w+η

)((µ1 +β1w)(β2t+µH)+µHη+β1β2st+β3w(σ+µH +

µ1 +β1w))

+(β2t+µH +β3w+η

)(β2t(σ+µH))−

(β1β2stµH +β3w(σ+µH)(µ1 +β1w)

)=(µ1+β1w+β2t+µH+β3w+η

)((µ1+β1w)(β2t+µH)+µHη+β1β2st+β3w(µ1+β1w)

)+(

β2t+µH + β3w+ η)(β3w(σ+µH

)+(β2t+µH + β3w+ η

)(β2t(σ+µH))−

(β1β2stµH

)=(µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + µHη + β3w(µ1 + β1w)

)+(

µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η)(β1β2st

)+(β2t+ µH + β3w + η

)(β3w(σ + µH

)+(

β2t+ µH + β3w + η)(β2t(σ + µH))−

(β1β2stµH

)=(µ1 + β1w + β2t+ µH + β3w + η

)((µ1 + β1w)(β2t+ µH) + µHη + β3w(µ1 + β1w)

)+(

µ1 + β1w + β2t+ β3w + η)(β1β2st

)+(β2t+ µH + β3w + η

)(β3w(σ + µH

)+(β2t+

µH + β3w + η)(β2t(σ + µH))

por lo que el numerador tambien es una suma de terminos positivos y por tanto y es

positivo.

Puesto que en el proceso de Routh-Hurwitz se obtienen unicamente valores positivos en

la primer columna, se tiene que ambos polinomios poseen unicamente valores propios

con parte real negativa. Por tanto el equilibrio E∗ es estable.

Bibliografıa

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[2] P. van der Driessche and James Watmough. Reproduction numbers and sub-

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Análisis de Modelos Matemáticos para el Dengue y el Zika

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