Análisis en la variación de esfuerzos efectivos para ...
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Análisis en la variación de esfuerzos
efectivos para distintas geometrías de
taludes por efectos de �ltraciones de agua
por
Sebastián Camacho Orozco
Andrés Francisco Garzón González
Trabajo de grado presentado a la
Facultad de Ingeniería
Departamento de Ingeniería Civil
Ponti�cia Universidad Javeriana
como requisito parcial para optar al título de
Ingenieros Civiles
Bogotá, Colombia, Diciembre 9 de 2014.
Aprobado por
Doctor Alfonso Mariano Ramos Cañón.
Instituto Geofísico Ponti�cia Universidad Javeriana.
Asesor 1
Doctor Jorge Alberto Escobar Vargas.
Departamento de Ingeniería Civil Ponti�cia Universidad Javeriana.
Asesor 2
Joan Manuel Larrahondo
Departamento de Ingeniería Civil Ponti�cia Universidad Javeriana.
Jurado 1
Camilo Torres
Departamento de Ingeniería Civil Ponti�cia Universidad Javeriana.
Jurado 2
Aprobado en Bogotá, el día 01 de Diciembre de 2014.
Prefacio de los autores
El presente trabajo de grado desarrolla un aporte en el área de la geotecnia y en la
modelación de los elementos �nitos en el software Abaqus para mostrar varios factores o
pesos geomorfológicos que condicionan la susceptibilidad a deslizamientos en taludes.
Queremos agradecer a los doctores Alfonso Mariano Ramos Cañón y Jorge Alberto Es-
cobar Vargas por el tiempo dedicado y sus aportes para la realización del presente trabajo.
Además a todos los ingenieros y profesores que aportaron en nosotros un grano de arena
para nuestra continua formación moral y profesional.
Finalmente, queremos dedicar este trabajo a nuestros padres, familiares y a Dios por la
con�anza y el apoyo incondicional brindado en esta etapa de nuestras vidas.
Sebastián Camacho Orozco & Andrés Francisco Garzón González.
Índice general
1. Introducción 1
1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Descripción del documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Herramientas computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Marco de referencia 4
2.1. Marco teórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.2. Elastoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3. Flujo en medio poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4. Suelos saturados y parcialmente saturados . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2. Marco de antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Modelación computacional 35
3.1. Condiciones de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.1. Geometría. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.1.2. Cargas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2. Propiedades del modelo constitutivo elasto plástico. . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Modelo succión-humedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4.1. Control del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.2. Re�namiento de enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.4.3. Veri�cación del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Resultados 49
4.1. Esfuerzos totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2. Esfuerzos efectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.2.1. Variación de los contornos de los esfuerzos efectivos . . . . . . . . . . 52
4.2.2. Indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones . . . . . . 65
iv
Índice general v
5. Análisis y discusiones de resultados 74
5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones por corte . . . . . . 74
5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones . 76
5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento 81
6. Conclusiones 85
7. Resumen y perspectivas 87
7.1. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.2. Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Bibliography 89
Índice de �guras
2.1. Estado de esfuerzos tridimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Super�cie de �uencia Von Mises-Tresca. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. Endurecimiento y ablandamiento en la super�cie de �uencia. . . . . . . . . . 9
2.4. Tipos de relación de esfuerzo-deformación en modelos elasto-plásticos. . . . 9
2.5. Criterio de falla de Mohr Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6. Super�cie de �uencia del modelo constitutivo Mohr Coulomb en el software
Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7. (a) Plano Meridional (b) Plano Desviador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8. Ensayo edométrico realizado en el software Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9. Plano Meridional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.10. Super�cie del potencial plástico del modelo constitutivo Mohr Coulomb en
el software Abaqus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11. Control de la excentricidad desviadora (e) en el plano Desviador. . . . . . . 18
2.12. Variación de la presión de con�namiento (Ensayo triaxial). . . . . . . . . . . 19
2.13. Evolución de la cohesión de material en un ensayo elemental tipo edométrico. 20
2.14. Opción para insertar varias cohesiones en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . 20
2.15. Variación de la deformación plástica en un ensayo elemental tipo edométrico. 21
2.16. Opción para insertar varias deformaciones plásticas para el endurecimiento
isotrópico en modelo Morh Coulomb en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.17. Flujo estacionario no viscoso e incompresible. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.18. De�nición de pérdida de cabeza y gradiente hidráulico. . . . . . . . . . . . . 24
2.19. Zona de suelos saturados y parcialmente saturados. . . . . . . . . . . . . . . 26
2.20. Curva característica de succión en el suelo donde se encuentra las diferentes
etapas de saturación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.21. Efecto de la histéresis por procesos de humedecimiento y secado. . . . . . . 30
2.22. (a) Esquema conceptual de la histéresis en la curva característica, (b) Efecto
del ángulo de contacto, y (c) Efecto ink bottle como mecánismo potencial de
la histéresis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.23. Esfuerzos que actúan en la fase sólida y líquida en un suelo saturado. . . . . 31
vi
Índice de �guras vii
2.24. Variación en planta (A) Curvaturas convexas, divergencia del �ujo y (B)
Curvaturas cóncavas, convergencia del �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.25. Nueve posibles formas de taludes en tres dimensiones. . . . . . . . . . . . . 33
2.26. Vectores de fuerza en (A) Per�l recto; (B) Per�l convexo; (C) Per�l cóncavo;
(D) Per�l convexo-cóncavo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1. Nueve posibles combinaciones de geoformas en taludes de tres dimensiones. 35
3.2. Dimensiones de�nidas del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.3. Análisis paramétrico en las longitudes de la corona y pata del talud. . . . . 37
3.4. Condiciones iniciales del talud en Abaqus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5. Comparación de los esfuerzos iniciales obtenidos por Abaqus con la literatura. 39
3.6. Condiciones de frontera del �ujo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7. Curva característica en estado de humedecimiento según Van Genuchten
(1980)s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8. Mapa conceptual para la conformación del enmallado. . . . . . . . . . . . . 42
3.9. Formas de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.10. Técnicas de enmallado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.11. Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla gruesa. . . . . . . . . . . 44
3.12. Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla re�nada . . . . . . . . . . 44
3.13. Opciones de tendencia en el re�namiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.14. Criterio de tamaño y forma de los elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.15. Metodología de diseño del enmallado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.16. Malla de�nitiva en el modelo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.17. Datos estadísticos del criterio de selección de la malla en el modelo 1. . . . . 48
4.1. Ubicación de las líneas de análsis en la componente (Y)) . . . . . . . . . . . 49
4.2. Distribución de esfuerzos totales bajo la corona del talud en el plano (XY)
(profundidad 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3. Distribución de esfuerzos totales en pendiente del talud en el plano (XY)
(profundidad 2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.4. Contornos de los esfuerzos totales geostáticos (σ22) . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5. Distribución del nivel de saturación en modelos rectos en planta. . . . . . . 53
4.6. Distribución del máximo esfuerzo efectivos en modelos rectos en planta. . . 54
4.7. Distribución del nivel de saturación en modelos convexos en planta. . . . . . 54
4.8. Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos convexos en
planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.9. Distribución del nivel de saturación en modelos cóncavos en planta. . . . . . 55
4.10. Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos cóncavos en
planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
viii Índice de �guras
4.11. Comportamiento de las direcciones de las líneas de �ujo en distintas geofor-
mas en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.12. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación recta
en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.13. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación con-
vexa en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.14. Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación cón-
cava en planta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.15. Localización de las líneas de análisis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.16. Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ11 en la super-
�cie de la cara y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.17. Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ22 en la super-
�cie de la cara y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.18. Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ33 en la super-
�cie de la cara y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.19. Variación de las deformaciones máximas axiales ε en la super�cie de la cara
y pata del talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.20. Variación de las presiones de poros uw en la super�cie de la cara y pata del
talud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.21. Ubicación de las líneas de análisis respecto la profundidad (componente (Y)) 63
4.22. Distribución de los esfuerzos cortantes (τ12) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.23. Distribución de deformaciones cortantes (ε12) . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.24. Escarpes en modelos concavos (modelo 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.25. áreas de los contornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.26. Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones en cada modelo 67
4.27. Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2 de los modelos. 69
4.28. Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos efectivos máximos σ′maxde los modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.29. Histogramas de análisis de frecuencia de deformaciones axiales máximas εmaxde los modelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.1. Variación porcentual de los esfuerzos máximos al corte (τ12). . . . . . . . . . 75
5.2. Variación porcentual de las deformaciones cortantes (ε12). . . . . . . . . . . 76
5.3. Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos (σ′max) (kPa). . . . 78
5.4. Variación porcentual de los esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) . . . . . . . . . . 79
5.5. Variación porcentual de ladeformación axial máxima (εmax). . . . . . . . . . 79
5.6. Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos(σ′max) (kPa) calcu-
lado por medio del análisis de frecuencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Índice de tablas
3.1. Dimensiones de�nidas del talud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2. Propiedades índices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Parámetros de resistencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.4. Parámetros de van Genuchten de una arena limosa. . . . . . . . . . . . . . . 41
3.5. Valores de la curva característica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6. Valores de la curva característica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1. Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones . . . . . . . . . 67
4.2. Parámetros estadísticos en el esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) . . . . . . . . . 73
4.3. Parámetros estadísticos en el esfuerzos efectivo máximo (kPa) . . . . . . . . 73
4.4. Parámetros estadísticos en la deformación máxima axial (%) . . . . . . . . 73
5.1. Valores de esfuerzos cortantes (τ12) con su respectiva variación porcentual
hallados por los contornos de esfuerzo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5.2. Valores de deformaciones cortantes ε12 con su respectiva variación porcentual
hallados por los contornos de deformación. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
5.3. Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación
porcentual hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo. 77
5.4. Valores de esfuerzos Von Mises (J2) con su respectiva variación porcentual
hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo. . . . . . 77
5.5. Valores deformación axial máxima (εmax) con su respectiva variación por-
centual hallados por medio de los indicadores de concentración de deformación. 78
5.6. Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación
porcentual hallados por medio del análisis de frecuencia. . . . . . . . . . . . 80
5.7. Valores de estabilidad del factor geomorfológico en taludes de dos dimensiones 81
5.8. Valores de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12). . . . . . 82
5.9. Valores de estabilidad en términos de deformaciones cortantes (ε12) . . . . . 82
5.10. Valores de estabilidad en términos esfuerzos efectivos máximos (σ′max). . . . 83
5.11. Valores de estabilidad en términos del esfuerzo Von Mises (J2) . . . . . . . . 83
5.12. Valores de estabilidad en términos de deformación axial máxima (εmax). . . 83
ix
Índice de tablas
5.13. Valores propuestos de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12). 84
1
Capítulo 1
Introducción
Los continuos deslizamientos dejan importantes pérdidas económicas, vidas humanas y
daños en la infraestructura impidiendo el desarrollo de una región. En Colombia, las zo-
nas más propensas a deslizamientos se encuentran en la cadena montañosa de la cordillera
de los Andes debido a sus condiciones topográ�cas, geológicas e hidrológicas (Boroschek
and Domb, 2007). Estos deslizamientos ocupan el 16% de la super�cie nacional, es decir
19'137,239 hectáreas aproximadamente (Mantilla et al., 2001). Cabe resaltar que en los úl-
timos 30 años se han registrado cerca de 28.258 muertes y más de 2,300 millones de dólares
en pérdidas a causa de estos eventos (Cardona et al., 2004). Para mitigar los deslizamientos,
se debe partir de la interpretación y el conocimiento de los factores geológicos, geotécnicos,
geomorfológicos e hidrogeológicos de la zona de estudio con el �n de relacionarlos con las
causas que contribuyen y detonan el movimiento, dando como resultado la identi�cación
del mecanismo de falla asociado a unas consecuencias del evento (Rodríguez, 2014).
Varios autores han investigado cómo la geomorfología condiciona la estabilidad de los
taludes. Reid and Iverson (1992) establecen varias condiciones de frontera en taludes de dos
dimensiones donde se a�rma la in�uencia de la geomorfología en la respuesta hidrológica
y la variación de los esfuerzos efectivos en el cuerpo del talud, mostrando la concentración
de líneas de corriente y de esfuerzos para diferentes tipos de geoformas propuestas en el
artículo de Dietrich and Perron (2006).
Las investigaciones sobre los factores asociados a las condiciones geomorfológicas co-
mo describe Carvajal (2004), se dividen en tres términos: morfogenéticos, morfométricos y
morfodinámicos.
El presente trabajo contribuye al entendimiento de la in�uencia de la geomorfología en
la estabilidad de un talud, con el �n de observar las variaciones de los esfuerzos efectivos
1
Capítulo 1. Introducción
en 9 distintas geometrías combinando su vista en planta y per�l en tres dimensiones de
una manera morfométrica estandarizando medidas de altura, curvatura, longitud, forma y
pendiente en cada una de las distintas geometrías (Carvajal, 2004) a través de un análisis
de elementos �nitos.
Para llevarlo a cabo, el trabajo está dividido en dos partes. La primera parte es la
conformación de los taludes en su condición geostática seleccionando parámetros de re-
sistencia y propiedades indicativas del suelo que especi�can su peso unitario, relación de
vacíos, saturación y porosidad. Además, unas condiciones de drenaje bajo un coe�ciente
de permeabilidad especí�co y posicionamiento del nivel freático (Carvajal, 2004). Para ello
se de�ne un modelo constitutivo elasto-plástico (propuesto por Mohr-Coulomb) que per-
mita relacionar esfuerzos y deformaciones tanto plásticas como elásticas. La segunda parte
consiste en la modelación con presencia del nivel freático en cada talud, por medio de las
ecuaciones de Darcy y Bernoulli para observar la incidencia de la geometría del talud res-
pecto a la variación de esfuerzos, los cuales dependen de la trayectoria del �ujo de agua en
el cuerpo del talud.
1.1. Objetivos
General
Determinar la in�uencia de la geometría de un talud en la generación de esfuerzos
efectivos debido a la �ltración.
Especí�cos
Calcular las distribuciones de esfuerzos totales en el cuerpo del talud para cada geo-
metría.
Calcular la distribución de presión de poros en el cuerpo del talud con cada geometría.
1.2. Descripción del documento
El presente trabajo de grado está constituido por 7 capítulos que logran abordar la
problemática cumpliendo con los objetivos propuestos.
El primer capítulo presenta la introducción del problema abordando la importancia del
proyecto, el segundo capítulo contiene la teoría y las formulaciones matemáticas utilizadas
en el trabajo explicando el modelo constitutivo, la teoría de la elasticidad y la plasticidad.
Por último, la teoría acerca del �ujo en medios porosos teniendo en cuenta suelos saturados
2
1.3. Herramientas computacionales
y parcialmente saturados.
En el capítulo 4 se describe el procedimiento que se llevo a cabo para conformar los
taludes en tres dimensiones en el programa Abaqus y las consideraciones que se tuvieron
en cuenta.
Los últimos capítulos presentan los resultados obtenidos, los análisis y discusiones del
trabajo llegando a unas conclusiones y perspectivas del trabajo.
1.3. Herramientas computacionales
Para el desarrollo del presente trabajo se utilizó el software Abaqus CAE (siendo CAE
acrónimo de Complete Abaqus Environment), el cual utiliza el método de elementos �nitos
que permite la aproximación de soluciones de problemas físicos partiendo de un modelo
constitutivo. En este caso se seleccionó un modelo constitutivo elasto-plástico.
Para la realización del preprocesamiento se de�ne la condiciones de contorno de las 9
geometrías, conformación del enmallado y la asignación de las propiedades de la modelación
constitutiva. El postprocesamiento es la visualización de los resultados a través de contornos
o isolíneas que representan el estado de esfuerzos y deformaciones del talud.
3
Capítulo 2
Marco de referencia
2.1. Marco teórico
Los modelos constitutivos son formulaciones matemáticas que buscan explicar diferen-
tes procesos físicos como los esfuerzos y las deformaciones que se presentan en la mecánica
de materiales. Por ejemplo, los geomateriales que están sometidos a cargas y descargas por
causa de excavaciones, cargas repetidas de trá�co, por procesos constructivos y en la esta-
bilidad de taludes causando esfuerzos y deformaciones inelásticas y anisotrópicas en el suelo.
Para explicar el comportamiento de los materiales se han creado distintass relaciones
constitutivas que intentan aproximarse al comportamiento real del suelo como la elasticidad,
la plasticidad, la elasto plasticidad y la visco elasticidad. En este proyecto se seleccionó un
modelo elasto-plástico Mohr Coulomb implementado en un análisis de elementos �nitos en
el software Abaqus CAE (Simulia, 2002).
2.1.1. Elasticidad
La elasticidad perfecta está asociada a la recuperación de la forma inicial en que se
encuentra un material después de ser sometido a esfuerzos a tensión y compresión. Las in-
vestigaciones sobre la teoría de la elasticidad se desarrollan por la ley que aportó el cientí�co
Robert Hooke siendo uno de los pioneros en observar y analizar el comportamiento elástico
de los materiales. Hooke sometió un resorte a distintas fuerzas axiales que generaban un
desplazamiento y así, observó que los desplazamientos son directamente proporcionales a
las fuerzas sometidas generando una relación lineal entre ellos.
Los esfuerzos y deformaciones para aplicaciones geotécnicas se deben establecer por
medio de tensores que representan el estado de esfuerzos y deformaciones del material en sus
tres direcciones. La ecuación 2.1 es el tensor de esfuerzos que expresa los esfuerzos normales,
4
2.1. Marco teórico
es decir los aplicados perpendicularmente en cada una de las caras del paralelepípedo. Los
esfuerzos cortantes son los esfuerzos aplicados tangencialmente en cada una de las caras
del paralelepípedo como se observa en la Figura 2.1 (Helwany, 2007), (Starovoitov and
Naghiyev, 2012).
σ11 τ12 τ13
τ21 σ22 τ23
τ31 τ32 σ33
(2.1)
Figura 2.1: Estado de esfuerzos tridimensional.(Helwany, 2007)
Se considera el geomaterial con un comportamiento lineal elástico e isotrópico. La re-
lación esfuerzo-deformación está de�nida por el módulo de Elasticidad (E ), la relación de
Poisson (ν) y el módulo de Cortante (G) para esfuerzos axiales (σ) y cortantes (τ) someti-
dos en el cuerpo, donde el módulo Cortante (G) está en función de (E ) y (ν) de�nida como
(2G = E/(1 + ν)) y se observa en la ecuación 2.2 (Helwany, 2007):
ε11
ε22
ε33
ε12
ε13
ε23
=
1/E −ν/E −ν/E 0 0 0
−ν/E 1/E −ν/E 0 0 0
−ν/E −ν/E 1/E 0 0 0
0 0 0 1/2G 0 0
0 0 0 0 1/2G 0
0 0 0 0 0 1/2G
·
σ11
σ22
σ33
τ12
τ13
τ23
(2.2)
5
Capítulo 2. Marco de referencia
2.1.2. Elastoplasticidad
Cuando un material está sometido a una carga y sus deformaciones son recuperables,
se considera que el material se encuentra en su rango elástico. Por otro lado, sí las defor-
maciones son irreversibles y permanentes, el material se encuentra en su rango plástico. La
ley de Hooke no permite estimar dichas deformaciones plásticas (Helwany, 2007). Para ello,
es necesario utilizar la teoría de la plasticidad y modelos elasto-plásticos formulados en la
mecánica del medio continuo. Los modelos elasto-plásticos se centran en tres formulaciones
para relacionar esfuerzos y deformaciones tanto elásticas como plásticas.
Ley de �uencia: Establece un criterio para de�nir el estado elástico o plástico en
que se encuentra el material por medio de una función, la cual está de�nida por los
estados e invariantes de esfuerzos.
Ley de �ujo: Establece la magnitud y dirección de las deformaciones en una plas-
ticidad asociada y no asociada. Lo anterior indica normalidad o no normalidad, res-
pectivamente.
Ley de endurecimiento: De�ne el comportamiento ductil o frágil del material al
momento de un incremento de carga.
Según la ley de �uencia, todo estado de esfuerzos de una masa de suelo se encuentra dentro
o sobre una super�cie llamada la Super�cie de Fluencia. La super�cie se representa con los
esfuerzos principales del tensor de esfuerzos (σI , σII , σIII). Cuando los estados de esfuerzos
principales están dentro de la super�cie sin tocarla, el material se encuentra en su rango
elástico, en cambio si algún estado de esfuerzo está sobre la super�cie de �uencia, el material
tiende a �uir generando deformaciones plásticas. En la Figura 2.2 se puede observar que
el estado de esfuerzos en el punto (P* ) está en su rango elástico, en cambio el punto (P)
está en su rango plástico.
Figura 2.2: Super�cie de �uencia Von Mises-Tresca.(Ramos, 2014)
6
2.1. Marco teórico
Las super�cies de �uencia son formulaciones matemáticas que varían dependiendo el
modelo constitutivo estudiado. Estas formulaciones están en función de los estados de es-
fuerzos, como lo es la función de �uencia del criterio de falla Mohr Coulomb (Pietruszczak,
2010) que sale en la ecuación 2.3.
F =1
2· (σ1 − σ3) +
1
2(σ1 + σ3) · sinφ− c · cosφ (2.3)
donde
c = Cohesión del material.
φ = Ángulo de fricción del material.
σ3= Esfuerzo principal mayor.
σ1= Esfuerzo principal menor.
La función de �uencia da un resultado numérico, el cual de�ne, si el material está en
su estado elástico o plástico. Cuando la función es menor a cero, indica que el material se
encuentra en un rango elástico como se observa en la ecuación 2.4 y si es igual a cero,
indica que el material está en su rango plástico presente en la ecuación 2.5.
F (σij) < 0 (2.4)
F (σij) = 0 (2.5)
El tensor de esfuerzos se puede descomponer en dos partes: el tensor desviador (Sij), el
cual está ubicado en la línea NP de la super�cie de �uencia de la Figura 2.2 representado
de forma tensorial en la ecuación 2.6 y el tensor hidrostático, donde (p) es el esfuerzo
hidrostático presentado en la ecuación 2.6 (Helwany, 2007). Estas variables son importantes
en la mecánica del medio continuo ya que por un lado, el tensor desviador es aquel que
le permite al material �uir de un estado elástico a plástico. El esfuerzo hidrostático (p)
es conocido como la presión de con�namiento en que está sometido el material. La línea
ON de la Figura 2.2 es el eje hidrostático de la Super�cie de Fluencia el cual indica una
igualdad de los esfuerzos principales.σ11 τ12 τ13
τ21 σ22 τ23
τ31 τ32 σ33
=
S11 τ12 τ13
τ21 S22 τ23
τ31 τ32 S33
+
p 0 0
0 p 0
0 0 p
(2.6)
7
Capítulo 2. Marco de referencia
donde
p =J13
=σ11 + σ22 + σ33
3(2.7)
Las super�cies de �uencia se encuentran también en función de invariantes de esfuerzos,
donde los esfuerzos no varían al momento de un cambio de base en estado de esfuerzos.
Existen tres invariantes de esfuerzos (I1,I2,I3) que están en las ecuaciones 2.8, 2.9 y 2.10
respectivamente y otras tres, llamadas invariantes desviadoras (J1,J2,J3) que están en las
ecuaciones 2.11, 2.12 y 2.13 respectivamente (Helwany, 2007).
I1 = σ11 + σ22 + σ33 (2.8)
[I2
]=
[S11 τ12
τ21 S22
]+
[S22 τ23
τ32 S33
]+
[S11 τ13
τ31 S33
](2.9)
[I3
]=
σ11 τ12 τ13
τ21 σ22 τ23
τ31 τ32 σ33
(2.10)
J1 = I1 (2.11)
J2 =1
2· (I21 − 2I2) (2.12)
J3 =1
3· (I31 − 3I1I2 + 3I3) (2.13)
Por medio de las invariantes de esfuerzos se permite conformar super�cies de �uencia
que puedan aumentar o disminuir su forma. En un modelo elasto-plástico perfecto cuando
el estado de esfuerzos se encuentra sobre la super�cie, se genera �ujo y deformaciones
plásticas, pero la super�cie no evoluciona como se observa en la Figura 2.4, grá�ca B. En
un modelo elasto-plástico el cual le permita al material endurecerse y ablandarse por medio
de una ley de endurecimiento logrando un aumento y disminución en la forma, como se
observa en la Figura 2.4, grá�cas C y D. El modelo constitutivo utilizado en este proyecto
genera un endurecimiento isotrópico, es decir que en cualquier punto, la super�cie aumenta
en una misma proporción. En la Figura 2.3 se observa cómo evoluciona y disminuye la
super�cie de �uencia.
8
2.1. Marco teórico
Figura 2.3: Endurecimiento y ablandamiento en la super�cie de �uencia.(Minna, 2009)
Figura 2.4: Tipos de relación de esfuerzo-deformación en modelos elasto-plásticos.(Minna, 2009)
En términos de deformaciones, existen tensores de deformaciones e invariantes de de-
formación. El tensor de deformaciones se compone de deformaciones axiales (ε11, ε22, ε33),
y cortantes (ε12, ε21, ε31). Las deformaciones volumétricas (εv) son la suma de las defor-
maciones axiales (Helwany, 2007). Las deformaciones elásticas y plásticas en un modelo
elasto-plástico, están formuladas de manera incremental (ε̇) con el �n de aproximarse a un
comportamiento no lineal como se muestra en la Figura 2.4 y en la ecuación 2.15.
ε11 ε12 ε13
ε21 ε22 ε23
ε31 ε32 ε33
=
E11 ε12 ε13
ε21 E22 ε23
ε31 ε32 E33
+
εv/3 0 0
0 εv/3 0
0 0 εv/3
(2.14)
ε̇ = ε̇e + ε̇p (2.15)
9
Capítulo 2. Marco de referencia
La ley de �ujo en la teoría de la plasticidad ocurre al momento en que los estados
de esfuerzo se localizan sobre la super�cie de �uencia. Por medio de la ecuación 2.16 se
proporciona la magnitud y la dirección de los incrementos en las deformaciones plásticas
causadas por los incrementos de esfuerzos (Helwany, 2007).
ε̇p = λ · ∂G∂σ
(2.16)
El multiplicador plástico (λ), de�ne la magnitud de las deformaciones plásticas y el tipo
de comportamiento del material que de�ne, sí λ = 0, se establece un comportamiento neta-
mente elástico y para λ >0, se establece un comportamiento plástico (Leal et al., 2009). El
gradiente de la función (G) y el tensor de esfuerzos de�ne la dirección de las deformaciones
plásticas, donde la función (G) conforma una nueva super�cie, llamada potencial plástico.
Cuando la super�cie de �uencia y el potencial plástico son iguales, se genera una plasti-
cidad asociada estableciendo la ley de normalidad donde la dirección de las deformaciones
plásticas son normales a la super�cie de potencial plástico (Rodríguez, 2014).
En la ecuación 2.17 se de�ne la función del potencial plástico en un modelo constitutivo
Mohr Coulomb en una plasticidad no asociada (Leal et al., 2009).
G =1
2· (σ1 − σ3) +
1
2· (σ1 − σ3) · sinψ (2.17)
donde
ψ= Ángulo de dilatancia.
σ3= Esfuerzo principal mayor.
σ1= Esfuerzo principal menor.
2.1.2.1. Elastoplasticidad (Mohr Coulomb - Abaqus CAE)
El criterio de falla de Mohr Coulomb es un modelo constitutivo elasto-plástico el cual
está controlado por las leyes de �uencia, �ujo y endurecimiento.
Las formulaciones matemáticas del modelo constitutivo Mohr Coulomb están condicio-
nadas por las variables de estado, las cuales dependen del estado de esfuerzos y deformacio-
nes del material y los parámetros de estado. En este caso las variables de estado equivalen
a los esfuerzos principales y los parámetros a la cohesión (c) y el ángulo de fricción interno
del material (φ) (Ramos, 2014). Dichos parámetros y variables de estado logran conformar
una línea recta llamada la envolvente de �uencia en el plano (τ−σ), la cual es tangente al
10
2.1. Marco teórico
circulo de Mohr, como se evidencia en la Figura 2.5. Todo estado de esfuerzos tiende a
�uir de un estado elástico a uno plástico al momento que se encuentre sobre la envolvente
de �uencia, la cual representa la super�cie de �uencia vista en un plano (τ -σ) (Simulia,
2002). La formulación matemática de la envolvente de �uencia esta dada por la ecuación
2.18. De la ecuación 2.19 a la 2.24 se logra conformar la ecuación general del criterio de
falla Mohr Coulomb, presente en la ecuación 2.25 (Prada Sarmiento, 2013).
τ = c+ σn · tanφ (2.18)
donde
c= Cohesión del material.
τ= Esfuerzo Cortante.
σn = Esfuerzo normal.
φ = Ángulo de fricción.
Figura 2.5: Criterio de falla de Mohr Coulomb(NPTEL, 2000)
sinφ =R
(c · cotφ+ P )(2.19)
donde
P =(σ1 + σ3)
2(2.20)
11
Capítulo 2. Marco de referencia
R =(σ1 − σ3)
2(2.21)
se despeja la variable R (radio del circulo de Mohr).
R =c · cosφ
sinφ· sinφ+ p · sinφ (2.22)
R = c · cosφ+ p · sinφ (2.23)
La ecuación queda en términos de los esfuerzos principales.
(σ1 − σ3)2
= c · cosφ+(σ1 + σ3)
2· sinφ (2.24)
formando la ecuación general del criterio de falla Mohr coulomb.
[σmax − σmin
2]− [
σmax − σmin2
] · sin(φ)− c · cos(φ) = 0 (2.25)
El modelo constitutivo Mohr Coulomb que implementa el programa Abaqus tiene algu-
nos requerimientos y características que son importantes al momento de estudiar y utilizar
el modelo frente algún problema geotécnico (Hibbit, 1996). Estas características son:
Solo considera cargas monotónicas.
Los esfuerzos y deformaciones no dependen del tiempo.
El modelo tiene un rango netamente elástico, donde las deformaciones son recupera-
bles y un rango plástico, donde las deformaciones no son recuperables.
El material estudiado debe ser isotrópico.
La plasticidad también puede estar in�uenciada del esfuerzo medio del tensor de
esfuerzos.
El material se endurece y se ablanda isotrópicamente. El modelo no utiliza una ecua-
ción que controle el endurecimiento del material, sino que esta es controlada por el
usuario al asignarle la evolución de la cohesión con la deformación plástica.
El modelo tiene una plasticidad no asociada, donde la función de �uencia (F ) no es
igual a la función del potencial plástico (G).
La cohesión tiene dos funciones, la primera en la función de �uencia donde es el pará-
metro de resistencia del material, conocido por el modelo constitutivo Mohr Coulomb
12
2.1. Marco teórico
tradicional. La segunda en la función del potencial plástico, donde controla el esfuer-
zo de �uencia al momento que se genera deformaciones plásticas llamado (Cohesion
yield stress).
La formulación del criterio de falla de Mohr Coulomb que desarrolla Abaqus está en
función de tres invariantes de esfuerzos y parámetros de estado presentes en la ecuación
2.26. La ley de �uencia del modelo Mohr Coulomb está asociada a la función de �uencia,
conformando una super�cie de �uencia ubicada en las coordenadas Haigh-Westergaard, es
decir en términos de los esfuerzos principales como se muestra en la Figura 2.6. En la
Figura 2.7 se observa la envolvente de �uencia de Mohr Coulomb en el Plano Meridional
y la super�cie de �uencia en el Plano Desviador, donde la forma hexagonal de la super�cie
depende principalmente del ángulo de fricción (Hibbit, 1996).
F = Rmc · q − p · tanφ− c (2.26)
donde
F = Función de �uencia .
Rmc = Es una medida de la forma de la super�cie que está en función de ángulo de
Lode (θ) y el ángulo de fricción interno del material (φ) que está en la ecuación 2.27.
q = Es la segunda invariante de esfuerzos, donde Abaqus la nombra como el esfuerzo
equivalente Von Mises presente en la ecuación 2.31.
p = Esfuerzo hidrostático siendo la primera invariante de esfuerzos que esta en la
ecuación 2.29.
c = Cohesión del material.
φ = Ángulo de fricción interno del material.
Rmc(θ, φ) =1
(√
3 · cosφ)· sin(θ +
Π
3) +
1
3· cos(θ +
Π
3) · tanφ (2.27)
cos(3θ) =r3
q3(2.28)
donde
θ = Es el ángulo entre la trayectoria de esfuerzos del material y el esfuerzo principal
presente en la ecuación 2.28.
r = Es la tercera invariante de esfuerzos presente en la ecuación 2.32.
13
Capítulo 2. Marco de referencia
p =−(σ11 + σ22 + σ33)
3(2.29)
La invariante de esfuerzo equivalente Von Mises (q) y la tercera invariante (r), están
en función del esfuerzo desviador (Sij). En la ecuación 2.30 se expresa las variables en
términos de los tensores de esfuerzos.
σ = S− pI (2.30)
q =
√9
2· (S : S) (2.31)
r = [9
2· (S · S : S)]
13 (2.32)
Figura 2.6: Super�cie de �uencia del modelo constitutivo Mohr Coulomb en el softwareAbaqus.
Este modelo constitutivo se caracteriza por tener una plasticidad no asociada donde no
hay una igualdad entre la función de �uencia (F ) y del potencial plástico (G). La función
14
2.1. Marco teórico
Figura 2.7: (a) Plano Meridional (b) Plano Desviador.Hibbit (1996)
del potencial plástico de la ecuación 2.33 de�ne la dirección de las deformaciones plásticas
que son perpendiculares a la super�cie del potencial plástico como se observa en la Figura
2.10.
G =√
(E · c2 · tanψ))2 + (Rmw · q)− p · tanψ (2.33)
donde
E= Es la excentricidad meridional la cual controla la forma de la función (G) en el
plano meridional (Rwm-q) y se aproxima a la línea asintótica que se observa en la
Figura 2.9. El software Abaqus de�ne por defecto el parámetro (E=0.1). El plano me-
ridional representa un corte de la super�cie del potencial plástico, donde la dirección
de las deformaciones plásticas están perpendicular a la super�cie.
c2= Es la cohesión que controla el punto de �ujo del material (Cohesión yield Stress).
En la Figura 2.8 se observa una relación de esfuerzo-deformación de un ensayo elemen-
tal edométrico realizado en Abaqus. Se compararon diferentes simulaciones variando
la cohesión (sólo se insertó una sóla cohesión en cada simulación), para observar cómo
in�uía el esfuerzo de �uencia con diferente cohesión, donde se evidencia un aumento
del punto de �uencia a mayor magnitud de la cohesión. Este es un ensayo por de-
formación controlada y los parámetros de material fueron los siguientes (Helwany,
2007):( σ22 y ε22 es el esfuerzo y deformación vertical en la dirección y)
Carga 2.5% de deformación (0.0025 m)
Módulo de Elasticidad = 30000 kPa
Módulo de Poisson = 0.333
φ = 30◦
15
Capítulo 2. Marco de referencia
ψ = 5◦
Cohesion yield stress (Primer ensayo) = 5 kPa
Cohesion yield stress (Segundo ensayo) = 25 kPa
Cohesion yield stress (Tercer ensayo) = 50 kPa
Cohesion yield stress (Cuarto ensayo) = 100 kPa
0
50
100
150
200
250
300
350
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
σ22
[Kpa
]
ε22[%]
c = 5 kPac = 25 kPac = 50 kPa c = 100 kPa
Figura 2.8: Ensayo edométrico realizado en el software Abaqus.
ψ = Es el ángulo de dilatancia, el cual relaciona la tasa de deformación volumétrica y
cortante en el rango plástico, diferente al ángulo de fricción debido a que se selecciona
la regla �ujo no asociada (Houlsby, 1991).
Rmw = Es la función elíptica presentada por (Menetrey and Willam, 1995) que brinda
la forma cóncava a la función del potencial plástico por medio del ángulo del Lode (θ)
y la variable (e), llamada excentricidad desviadora. La variable (e) permite suavizar
la función que rige la supericie de potencial plástico de la Figura 2.11.
e =(3− sinφ)
(3 + sinφ)(2.34)
Rmc[Π
3, φ] =
(3− sinφ)
(6 · cosφ)(2.35)
16
2.1. Marco teórico
Rmw =(4(1− e2) · (cos θ)2 + (2e− 1)2))
(2(1− e2) · (cos θ) + (2e− 1) ·√
(4(1− e2) · (cos θ)2 + (5e2 − 4e)))·Rmc(
Π
3, φ)
(2.36)
Figura 2.9: Plano Meridional.(Hibbit, 1996)
Figura 2.10: Super�cie del potencial plástico del modelo constitutivo Mohr Coulomb en elsoftware Abaqus
17
Capítulo 2. Marco de referencia
Figura 2.11: Control de la excentricidad desviadora (e) en el plano Desviador.Hibbit (1996)
La ley de endurecimiento del modelo es controlado por el parámetro de la cohesión, la
presión de con�namiento y el nivel de carga del ensayo.
En un ensayo elemental triaxial realizado en el software Abaqus se observa cómo in-
�uye la presión de con�namiento (σ11) en el endurecimiento del material estableciendo 3
presiones de con�namiento (100 - 200 - 300 kPa). Con una presión de con�namiento de 300
kPa, el material llega a un esfuerzo máximo de 800 kPa llegando a un estado crítico a una
deformación de 10.5% en comparación con las otras curvas, presentando un ablandamiento
en el material como se observa 2.12. Se realizaron 3 ensayos triaxiales con las siguientes
condiciones y parámetros del material:
Carga 10% de deformación (0.01 m)
Módulo de Elasticidad = 30000 kPa
Módulo de Poisson = 0.333
φ = 25◦
ψ = 5◦
Cohesión = 35 kPa
Presión de con�namiento (σ1) (Primer ensayo) = 100 kPa
Presión de con�namiento (σ1) (Segundo ensayo) = 200 kPa
Presión de con�namiento (σ1) (Tercer ensayo) = 300 kPa
18
2.1. Marco teórico
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
0 0.015 0.03 0.045 0.06 0.075 0.09 0.105
σ22
[kP
a]
ε22[%]
σ11 kPaσ11 kPaσ11 kPa
Figura 2.12: Variación de la presión de con�namiento (Ensayo triaxial).
También se realizó un ensayo elemental tipo edométrico en Abaqus donde se evaluó la
evolución del la cohesión para observar cómo se endurecía el material. Cuando el usuario
le inserta una sola cohesión, el comportamiento mecánico del material es elasto-plástico
perfecto. Por otro lado, si el usuario le inserta dos o más cohesiones al material como se
presenta en la Figura 2.14, donde se observa un endurecimiento, el cual está condicionado
principalmente por la cohesión y no por una ecuación que controle el tamaño de la super�cie.
En el ensayo edométrico se establecieron las siguientes propiedades y parámetros del
material:
Carga 2.5% de deformación (0.0025 m)
Módulo de Elasticidad = 30000 kPa
Módulo de Poisson = 0.333
φ = 30◦
ψ = 5◦
Cohesion yield stress (primer ensayo) = 25 kPa
Cohesion yield stress (segundo ensayo) = 25 - 27 kPa
Cohesion yield stress (tercer ensayo) = 25 - 30 kPa
19
Capítulo 2. Marco de referencia
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
σ22
[kP
a]
ε22[%]
c = 25 kPac = 25−27 kPac = 25−30 kPa
Figura 2.13: Evolución de la cohesión de material en un ensayo elemental tipo edométrico.
Figura 2.14: Opción para insertar varias cohesiones en Abaqus.
La deformación plástica es la segunda variable que inserta el usuario para de�nir un
endurecimiento (Abs Plastic Strain). Cuando se de�ne solo una cohesión, la deformación
plástica es inicialmente cero donde el material llega a un punto de �uencia sin generar
deformaciones plásticas. Cuando se inserta una segunda cohesión, ya la deformación plástica
20
2.1. Marco teórico
no es cero, el usuario debe insertar un porcentaje de deformación plástica el cual depende
del nivel de carga y los parámetros del material como se ve en la Figura 2.16. Al variar la
deformación plástica observando la Figura 2.15 se puede concluir:
Con una deformación plástica de 10% y un carga que proporciona 2.5% de defor-
mación (Ensayo con deformación controlada), el material no falla con el nivel de car-
ga programada evidenciando un material dúctil proporcionando altas deformaciones
plásticas.
Con una deformación plástica menor al 7% y una carga que proporciona 2.5% de
deformación (Ensayo con deformación controlada), el material falla llegando al estado
crítico observando un comportamiento frágil.
0
20
40
60
80
100
120
0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03
σ22
[kP
a]
ε22[%]
ε22 = 10 %ε22 = 5 %
ε22 = 2.5 %
Figura 2.15: Variación de la deformación plástica en un ensayo elemental tipo edométrico.
El endurecimiento y ablandamiento del material depende principalmente de la cohesión,
la presión de con�namiento y el nivel de carga del ensayo. Los parámetros de resistencia y
la presión de con�namiento controlan el esfuerzo al que puede llegar el material generando
deformaciones plásticas. El parámetro controla el porcentaje de deformación plástica que
llega el material dependiendo el nivel de carga establecida.
21
Capítulo 2. Marco de referencia
Figura 2.16: Opción para insertar varias deformaciones plásticas para el endurecimientoisotrópico en modelo Morh Coulomb en Abaqus.
2.1.3. Flujo en medio poroso
Para determinar la in�uencia de la geometría respecto la variación de los esfuerzos efec-
tivos debido a la �ltración de agua, es necesario conocer los principios físicos del �ujo de
agua en un medio poroso en su estado saturado y parcialmente saturado.
El �ujo de agua a través de un medio poroso consiste en la facilidad de �ltración y tra-
yectoria del �uido a través de un medio, que según las propiedades del medio tanto físicas
como geométricas conllevan a unos comportamientos en la dirección y distribución de las
líneas del �ujo. Para ello, se debe tener en cuenta los siguientes conceptos:
Permeabilidad y �ltración
La permeabilidad y la �ltración dependen de la porosidad del suelo que permite deter-
minar la tasa de �ltración del �ujo. Además, debe existir una diferencia de energías de la
lámina de agua entre dos puntos en el volumen de control para que el �ujo �uya. La per-
meabilidad del suelo se mide a partir de una constante de permeabilidad (K ) para calcular
a qué tasa de velocidad se �ltra el �ujo en el medio poroso (Helwany, 2007).
22
2.1. Marco teórico
Ecuación de Bernoulli
Esta ecuación permite calcular la cabeza total de energía (h) en un determinado punto.
La cabeza total es la suma de los tres siguientes términos, todos en unidades de longitud
(Helwany, 2007):
Cabeza de presión (hp)= Es la relación de la presión del agua (u) y el peso unitario
del agua (γw).
Cabeza de elevación (he)= Es la altura desde un punto de referencia o datum.
Cabeza de velocidad (hv)= Es la energía que está dada por v2/2g donde v es la
velocidad con la que pasa el �ujo a través del suelo y g es la magnitud de la aceleración
de la gravedad.
h = hp + he + hv =u
γw+ ZA +
v2
2g(2.37)
La ecuación 2.37 se cumple para estados de �ujo estacionarios no viscosos e incompre-
sibles. En la Figura 2.17 se explica de manera ilustrativa el concepto de la ecuación de
Bernoulli:
Figura 2.17: Flujo estacionario no viscoso e incompresible.
El �ujo del agua a través del suelo tiene velocidades muy pequeñas, por lo tanto el
término de la velocidad se considera cero y la ecuación de Bernoulli se reduce a:
h = hp + he =u
γw+ ZA (2.38)
23
Capítulo 2. Marco de referencia
Gradiente Hidráulico
Para que se presente �ltración del �ujo a través del suelo es necesario que exista una
diferencia de altura de lámina de agua entre el punto de inicio y el �nal del volumen de
control. Por ende, en términos de energías, la cabeza inicial en la sección aguas arriba debe
ser mayor a la que se presenta en la sección de aguas abajo. La diferencia de energías es la
pérdida de la cabeza total (∆h) entre dos secciones que hacen parte del dominio del sistema
llamado gradiente hidráulico (i), es decir la pérdida de energía de cabeza total por unidad
de longitud y su magnitud es adimensional (Helwany, 2007).
Figura 2.18: De�nición de pérdida de cabeza y gradiente hidráulico.(Helwany, 2007)
En la Figura 2.18 se presenta una explicación ilustrativa de lo que signi�ca el gradiente
hidráulico. Se observa una presa que contiene un embalse aguas arriba en la sección A
del volumen de control que tiene un determinado dominio de longitud (LAB). El nivel de
energía aguas abajo en la sección B es menor a la de la sección A debido a las pérdidas
de energías ocacionadas por el coe�ciente de permeabilidad en la trayectoria del �ujo por
debajo de la presa. Por consiguiente, el gradiente hidráulico está dado por las pérdidas
de energía (∆h) que se presentan a lo largo del dominio (LA−B) y matemáticamente se
representa como (Helwany, 2007):
iA−B =(uA/γw + ZA)− (uB/γw + ZB)
LA−B(2.39)
24
2.1. Marco teórico
Ley de Darcy
Con la Ley de Darcy se calcula la velocidad con la que se �ltra el agua a través del
suelo, debido a bajas velocidades �uye en estado un laminar (Helwany, 2007).
Darcy propuso que la velocidad con que �uye un �ujo es directamente proporcional
al gradiente hidráulico, por lo tanto la constante que permite relacionar la velocidad y el
gradiente hidráulico es el coe�ciente de permeabilidad (K ), que es afectado por la gradación
de las partículas presentes en el suelo (Helwany, 2007) y se representa en la siguiente
ecuación:
Q = K · iA−B ·A (2.40)
donde
Q= Es el caudal del �ujo a través del medio poroso.
iA−B= El gradiente hidráulico.
A= Es el área de la sección transversal por donde pasa el �ujo.
2.1.4. Suelos saturados y parcialmente saturados
Hoy en día existe un buen entendimiento en el comportamiento de los suelos saturados
implementados en modelos constitutivos que permiten relacionar estados de esfuerzo y de-
formación. A diferencia de los suelos parcialmente saturados donde hay mayor escazes en
su entendimiento (Barrera Bucio et al., 2002).
El descubrimiento hecho por Terzagui sobre la ley de esfuerzos efectivos permiten ex-
plicar el comportamiento de los suelos saturados. Existen un sinfín de condiciones en las
que el suelo no alcanza la saturación dando comportamientos que están relacionados con el
grado de saturación y esfuerzos de succión (Barrera Bucio et al., 2002).
Antes de 1965 se realizaron investigaciones con el �n de observar la validez de los esfuer-
zos efectivos en suelos no saturados (Barrera Bucio et al., 2002) que referencia a (Bishop,
1959 y Aitchison, 1960). Entre 1965 a 1987, se consideró usar dos variables de estado de
esfuerzo. La primera es el esfuerzo neto (esfuerzo total menos presión de poros de aire) y la
segunda el esfuerzo de succión (presión de aire de poros menos la presión de agua de poros)
(Barrera Bucio et al., 2002) que referencia a (Matyas y Radhakrisnha, 1968 y Fredlund,
1979). "Desde 1987, se ha investigado el comportamiento en los suelos no saturados en tér-
minos del estado crítico y trataton de investigar el límite elástico de los suelos no saturados
25
Capítulo 2. Marco de referencia
cuando el suelo es sometido a un ciclo de carga y descarga" (Barrera Bucio et al., 2002)
que referencia a (Alonso, et al 1990). Consecuencia a que se comience a enlazar el com-
portamiento del cambio de volumen y esfuerzo cortante debido a cambios en los grados de
saturación del suelo desarrollados en modelos elasto-plásticos (Barrera Bucio et al., 2002).
2.1.4.1. Suelos parcialmente saturados
Los suelos parcialmente saturados se caracterizan por tener presiones negativas debido a
la presión que ejerce el agua en los poros dependiendo del grado de saturación que contenga
el suelo. Estas condiciones de suelo están conformadas por cuatro fases (Fredlund, 2000):
Sólida.
Líquida.
Gaseosa.
Zona de dos fases o membrana contráctil.
Figura 2.19: Zona de suelos saturados y parcialmente saturados.(Meza Ochoa, 2012)
En la Figura 2.19 se presentan los estados del suelo dependiendo de las fases menciona-
das anteriormente. Los estados de los suelos que se encuentran por debajo del nivel freático
se consideran saturados, es decir que los espacios vacíos están ocupados completamente
de agua. De acuerdo a las leyes de la hidráulica, el agua en los poros se encuentra una
presión positiva de igual magnitud en todas las direcciones conocida como presión de poros
26
2.1. Marco teórico
(Meza Ochoa, 2012).
"Los suelos que se encuentran por encima del nivel freático pueden estar en estado seco
o parcialmente saturado. La zona de suelo seco se encuentra más cerca de la super�cie del
terreno y la mayor parte de sus vacíos están llenos de aire con la posible existencia de una
fase líquida pero en estado discontinuo, el grado de saturación del suelo seco es del 0%"
(Meza Ochoa, 2012).
Los suelos que están cercanos al nivel freático se localizan en la franja capilar que se
caracterizan por contener una gran cantidad de agua en sus vacíos, con la posibilidad de
encontrarse una fase gaseosa en estado discontinuo con presencia de burbujas de aire gene-
rando un grado de saturación cercano al 100%. El agua ocupada en los vacíos se encuentra
a presión negativa y se rige el proceso de la capilaridad permitiendo que el líquido ascienda
en contra de la gravedad. Esta altura depende de la tensión super�cial debido al desbalance
de fuerzas intermoleculares del líquido en la capa contráctil por la fuerza de adhesión entre
el líquido y el material de contacto, conformando así la franja capilar (Meza Ochoa, 2012).
Entre la zona del suelo seco y la franja capilar existe una zona intermedia llamada
capa contráctil que corresponde al suelo parcialmente saturado donde el agua y el aire
ocupan los poros. El grado de saturación se encuentra entre el 20% y el 80% y su presión
de poros es negativa debido a la diferencia de presión entre la zona de dos fases, es decir
la presión de agua y aire en los poros (Meza Ochoa, 2012) que referencia a (Fredlund, 2000).
El comportamiento en la zona contráctil es controlada bajo la relación del esfuerzo de
succión con el contenido volumétrico de agua representada por la curva característica o
curva de retención de humedad (Meza Ochoa, 2012).
Curva Característica o Curva de Retención de humedad
La curva característica de succión es importante en el estudio de los suelos parcialmente
saturados en distintos campos de la ciencia del suelo como en la física, la agronomía y la
agricultura (Fredlund, 2000).
La forma de la curva característica se debe a la interacción del suelo y el agua que
depende de la distribución y el tamaño de los poros que hagan parte de la matriz del suelo
(Fredlund and Xing, 1994). Generalmente, se cuanti�ca en términos de la humedad gravi-
métrica (w) que es la relación de la masa del agua y el suelo y el grado de saturación (Sr)
o la humedad volumétrica (θ) que indica el porcentaje de vacíos llenos con agua (Fredlund
27
Capítulo 2. Marco de referencia
and Xing, 1994).
Figura 2.20: Curva característica de succión en el suelo donde se encuentra las diferentesetapas de saturación
Meza Ochoa (2012)
La Figura 2.20 relaciona la succión matricial y el contenido volumétrico de agua del
suelo en escala logarítmica y aritmética respectivamente. Como se puede observar, se mues-
tran las etapas de saturación cuando un suelo inicialmente seco comienza a saturarse por
la entrada de agua en los poros, disminuyendo el esfuerzo de succión (Fredlund, 2000) las
cuales son:
Etapa residual de saturación.
Etapa de transición.
Etapa de efecto de Borde.
La etapa de saturación residual corresponde al contenido de agua donde la fase líquida
deja de ser continua y los poros están ocupados principalmente por aire. La etapa de tran-
sición presenta el aumento de contenido de agua disminuyéndose el contenido de aire en los
poros donde se encuentra la zona de dos fases o zona contráctil. El cambio de pendiente
indica el paso a la etapa de borde donde se da la salida total de aire en los poros, alcanzando
28
2.1. Marco teórico
su saturación (Meza Ochoa, 2012).
Existen ecuaciones analíticas que relacionan el contenido volumétrico de agua con la
succión logrando conformar la curva característica. Las ecuaciones están en función de
parámetros, los cuales dependen de la gradación y clasi�cación textural del suelo. En este
trabajo se empleó la ecuación formulada por van Genuchten, donde el software Abaqus
permite insertar la curva de retención de humedad por medio la opción Sorption - Tabular.
El software de�ne el grado de saturación o desecación en función de la succión por medio de
una tabulación (Simulia, 2002). La ecuación de van Genuchten se presenta a continuación:
Θ = [1
1 + (ρψ)n]m (2.41)
Θ =(θ − θr)(θs − θr)
= [1
1 + (αψm)n]m (2.42)
donde
Θ= Es el contenido normalizado de agua y es adimencional.
θs y θr= Es el contenido saturado y residual volumétrico de agua respectivamente,
ambos adimensionales.
(ρ = a, n,m), son distintos parámetros del suelo que dependen directamente de la
forma de la gradación clasi�cación textural del suelo.
(m = 1− 1n), donde (0 < m > 1).
ψ= Es la succión de agua en el suelo en kPa.
El suelo está en procesos constantes de humedecimiento y secado debido a las variacio-
nes hidrológicas presentes en su entorno, generando curvas características de secado y de
humedecimiento, las cuales son distintas debido al proceso de histéresis como se observa
en la Figura 2.21. La curva de secado se produce por el efecto de la succión produciendo
un grado de desaturación, en cambio la curva de humedecimiento humecta gradualmente
el suelo. La curva de secado y humedecimiento di�eren por tener distintas magnitudes de
succión a mismos grados de saturación por el proceso de histéresis (Tuller and Or, 2004).
29
Capítulo 2. Marco de referencia
Figura 2.21: Efecto de la histéresis por procesos de humedecimiento y secado.
Proceso de histéresis
La histéresis en la curva característica está relacionada por las siguientes causas que se
presentan en la Figura 2.22:
Figura 2.22: (a) Esquema conceptual de la histéresis en la curva característica, (b) Efectodel ángulo de contacto, y (c) Efecto ink bottle como mecánismo potencial de la histéresis.
(Tuller and Or, 2004)
30
2.1. Marco teórico
Efecto ink bottle: Los procesos de humedecimiento y secado controlan los ángulos
de los meniscos capilares en los poros, causando diferentes grados de saturación como
se observa en la Figura 2.22 indicador c) (Albers, 2014).
Efecto gota de lluvia: Es el ángulo de contacto entre el agua y la textura del suelo
que in�uye en la forma de la gota variando el procedimiento de humedecimiento y
secado en la Figura 2.22 indicador b) (Albers, 2014).
2.1.4.2. Suelos saturados
Las zonas tropicales se caracterizan por tener altos porcentajes de saturación y de hume-
dad ocasionando suelos saturados con niveles freáticos en la super�cie. Los suelos saturados
tienen dos fases, la primera fase es la sólida que está compuesta por los granos de la matriz
del suelo y la segunda fase es la líquida que es la presión intersticial de agua. Terzaghi (1936)
propuso el principio de los esfuerzos efectivos de�nidos como la diferencia de los esfuerzos
totales y la presión del agua, considerándola en un estado estacionario (Illa Camós et al.,
2009).
Para demostrar el principio de los esfuerzos efectivos en suelos saturados presente en
la Figura 2.23, Terzaghi (1936) considera una masa de suelo donde actúan los esfuerzos
principales (σ11,σ22,σ33) (Xu and Xie, 2011). Partiendo de un corte transversal de un plano
con un área (A) compuesta por la fase sólida del suelo representada en el área (As,i) y la
fase líquida representada en el área (Aw). En la fase sólida actúan los esfuerzos principales
(σs,j) y en la fase líquida actúa la presión de poros (uw) (Xu and Xie, 2011). Estas se
relacionan en la ecuación 2.43:
Figura 2.23: Esfuerzos que actúan en la fase sólida y líquida en un suelo saturado.(Xu and Xie, 2011)
31
Capítulo 2. Marco de referencia
σA =∑
(σs,i − uw)As,i + uw(ΣAs,i+Aw) (2.43)
como (ΣAs,i +Aw = A), la ecuación 2.43 queda:
σ =
∑(σs,i − uw)As,i
A+ uw (2.44)
de�niendo los esfuerzos efectivos (σ′):
σ′ =
∑(σs,i − uw)As,i
A(2.45)
entonces el esfuerzo total es:
σ = σ′ + uw (2.46)
2.2. Marco de antecedentes
Los estudios realizados respecto a la in�uencia de la geomorfología en un talud, se han
basado en análisis cualitativos describiendo la trayectoria de las líneas de �ujo de agua
causantes de la variación en los esfuerzos efectivos debido a contornos que varían en planta
o en per�l.
Uno de los estudios son los realizados por Anderson and Kemp (1987) y Collison (1996),
los cuales modelaron la respuesta hidrológica considerando presiones de poros positivas y
negativas debido a la in�ltración con el �n de relacionarlos con movimientos super�ciales
en distintas variaciones de la geoforma del talud en per�l.
Leopold and Leopold (1995) menciona la in�uencia de los contornos curvos en los talu-
des, donde contornos convexos vistos en planta generan trayectorias de �ujo sobre el talud
de manera divergente a medida que el �ujo avanza sobre el cuerpo como se observa en la
Figura 2.24 indicador A, argumentando que la presión de poros no afecta de manera signi-
�cativa los esfuerzos efectivos. En cambio, en contornos cóncavos vistos en planta las líneas
de �ujo convergen a medida que avanzan por el cuerpo del talud causando una concentra-
ción como se presencia en la Figura 2.24 indicador B, generando el aumento de la presión
de poros haciéndolos más susceptibles a fallar por corte. Además, las concentraciones de
las líneas de �ujo causan mayor erosión.
Leopold and Leopold (1995), además propone nueve tipos de geometrías en tres dimen-
siones que varían tanto en per�l como en planta con la combinación de contornos rectos,
convexos y cóncavos como se muestran en la Figura 2.25. Estas geometrías se forman a par-
32
2.2. Marco de antecedentes
Figura 2.24: Variación en planta (A) Curvaturas convexas, divergencia del �ujo y (B) Cur-vaturas cóncavas, convergencia del �ujo.
(?)
tir de movimientos del terreno o por procesos de meteorización. Los taludes con geoforma
convexa se forman por reptación. Las geoformas cóncavas se forman debido a deslizamientos
antecedentes y procesos erosivos.
Figura 2.25: Nueve posibles formas de taludes en tres dimensiones.(Wysocki et al., 2000)
Iverson and Reid (1992) evalúan la trayectoria de �ujo y la variación de esfuerzos efec-
tivos en distintos escenarios de taludes con distintas propiedades físicas como la pendiente,
la litología, la porosidad, la relación de Poisson, la permeabilidad y la geoforma en per�l
donde utilizaron códigos por elementos �nitos en dos dimensiones basados en principios
físicos elásticos y elasto-plásticos para calcular esfuerzos efectivos bajo el principio de falla
Mohr Coulomb in�uenciados por el �ujo en per�les rectos, cóncavos, convexos y la transi-
33
Capítulo 2. Marco de referencia
ción entre cóncavos y convexos.
En la Figura 2.26 se presentan los resultados donde la geoforma recta (A) presenta un
comportamiento constante en la dirección de las líneas de �ujo en toda la super�cie, mien-
tras que en la geoforma convexa y cóncava (geoforma B y C, respectivamente) presentan
alta concentración de líneas de �ujo en la pata del talud (Reid and Iverson, 1992).
Figura 2.26: Vectores de fuerza en (A) Per�l recto; (B) Per�l convexo; (C) Per�l cóncavo;(D) Per�l convexo-cóncavo.
(Reid and Iverson, 1992)
Por último, Brunsden (1999) invita a tener en cuenta el factor geomorfológico en tres
dimensiones uniendo contornos tanto en planta como per�l para la realización de modelos
de taludes para observar con mayor detalle la in�uencia del �ujo en el tensor de esfuerzos.
34
Capítulo 3
Modelación computacional
Con el �n de conocer la variación de los esfuerzos efectivos en distintas geometrías de
taludes, se utilizó el software Abaqus donde se realizó un análisis por elementos �nitos para
poder interpretar y observar la in�uencia de la geomorfología en el estado de esfuerzos y
deformaciónes en taludes de tres dimensiones. Se simularon 18 modelos de taludes con las 9
geoformas establecidas por ?. Los primeros 9 modelos se analizaron en términos de esfuerzos
totales y los otros 9 en términos de esfuerzos efectivos. En la Figura 3.1 se observan las 9
geoformas analizadas:
Figura 3.1: Nueve posibles combinaciones de geoformas en taludes de tres dimensiones.
35
Capítulo 3. Modelación computacional
3.1. Condiciones de contorno
3.1.1. Geometría.
En la Figura 3.2 se representan las dimensiones de�nidas para los 18 modelos, donde
se varió la forma en planta y per�l de cada uno de los modelos presentes en la Figura 3.1:
Figura 3.2: Dimensiones de�nidas del talud.
Tabla 3.1: Dimensiones de�nidas del talud
H (m) y (m) x (m) β (◦) Fc Fp25 6.75 45 26.56 1.8 1.6
La altura del talud se de�nió según Jiménez Téllez and Viáfara Morales (2011) y Ho
(2014) donde establecían alturas entre 15 y 30 metros. Se seleccionó un ángulo de incli-
nación β del terreno dependiendo el material utilizado, en este caso un suelo arenoso con
contenido de limos. Keller and Sherar (2003) propone rangos de pendientes dependiendo la
litología del talud.
La distancia entre el centro de la elipse y el centro de la profundidad del talud presente
en la Figura 3.2 es de�nida por la constante (y) donde se estableció una concavidad
pronunciada para observar la in�uencia de la geoforma en cada talud. Los parámetros que
dimensionan la corona y la pata del talud se hallaron por medio de un análisis paramétrico
variando el largo de las dos distancias por medio de los factores Fc y Fp respectivamente,
hasta el punto en que los estados de esfuerzos no fueran afectados por las restricciones
laterales en los costados del talud en la componente X. En la Figura 3.3 se observa la
in�uencia de la distancia de la corona y la pata del talud en el esfuerzo cortante evaluado
36
3.1. Condiciones de contorno
en el plano XY según la Figura 3.2, con el �n de de�nir la dimensión adecuada a la
geometría.
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 5 10 15 20 25 30
Pro
fund
idad
[m]
τ12 [Kpa]
0.6H0.8H
H1.2H1.4H1.6H1.8H
2H
(a) Corona del talud.
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40P
rofu
ndid
ad [m
]
τ12 [Kpa]
0.4H0.6H0.8H
H1.2H1.4H1.6H
(b) Pata del talud.
Figura 3.3: Análisis paramétrico en las longitudes de la corona y pata del talud.
Se escogió un rango de factores Fc y Fp como se muestra en la Figura 3.3 para variar
la dimensión H de la corona y la pata del talud con el �n de lograr una convergencia en la
variación de los esfuerzos cortantes τ12 respecto la profundidad (componente Y) del talud.
Se de�nieron factores de 1.8 para la corona y 1.6 para la pata del talud donde se presenta
la convergencia.
3.1.2. Cargas
3.1.2.1. Condición geostática.
La condición de reposo está formulada por las ecuaciones de equilibrio las cuales están
gobernadas bajo las fuerzas de cuerpo ejercidas por la acción de la gravedad, en donde no
existen desplazamientos laterales en el suelo permitiendo una condición inicial de esfuerzos
al momento de analizar un problema geotécnico.
La condición inicial de esfuerzos es obtenida bajo la relación de esfuerzos y deforma-
ciones desarrollada en un análisis de elementos �nitos, a diferencia de la condición incial
de esfuerzos obtenida por el coe�ciente de presión de tierras en reposo (K0) calculado por
medio de ecuaciones empíricas. El coe�ciente de presión de tierras en reposo (K0) depende
37
Capítulo 3. Modelación computacional
principalmente de la historia de carga y los parámetros de estado del suelo como la rela-
ción de vacíos, la densidad relativa y el contenido de humedad (Michalowski, 2005). Jaky
(1944) propone una ecuación empírica para determinar el coe�ciente de presión de tierras
en reposo en un terreno sin inclinación (ecuación 3.1). Por otra parte Kézdi (1979) sugirió
modi�car la ecuación de Jaky (1944) para ajustarla a terrenos inclinados (ecuación 3.2),
donde (β) es el ángulo de inclinación del talud.
K0 = 1− sinφ (3.1)
K0 =1− sinφ
1 + sinβ(3.2)
El software Abaqus establece la condición geostática en el módulo de cargas llamada
Geostatic, donde el usuario introduce la fuerza gravitacional a la geometría establecida. La
condición inicial de esfuerzos dependerá del peso unitario del material y la geometría del
talud. En términos de condiciones de frontera se estableció una restricción en los desplaza-
mientos de los nodos en la componente (X) para las caras frontales, en la componente (Y)
para la base del talud y en la componente (Z) para las caras laterales como se observa en
la Figura 3.4.
(a) Geometría inicial. (b) Condición inicial de esfuerzos geostáticos.
Figura 3.4: Condiciones iniciales del talud en Abaqus.
Para mostrar la condición inicial de esfuerzos geostáticos en cada talud, se presenta la
relación entre la profundidad y el esfuerzo horizontal en la componente (X) y (Z) (σ11,σ33).
Por lo anterior, se comparó con los estados de esfuerzos iniciales determinados por las
ecuaciones empíricas propuestas por (Jaky, 1944) y (Kézdi, 1979), con el �n de observar
la diferencia entre el coe�ciente de presión de tierras determinado por Abaqus y por las
ecuaciones empíricas. Se analizaron los estados de esfuerzos iniciales en la corona y cara del
talud.
38
3.1. Condiciones de contorno
Se concluye que las dos curvas con y sin inclinación del terreno, el esfuerzo horizontal en
la componente (X) (σ11) se aproxima a la curva teórica determinada por las ecuaciones
empíricas en comparación del esfuerzo horizontal en la componente (Z) (σ33). Los esfuerzos
horizontales teóricos se determinaron por medio de la ecuación 3.3 y el modelo analizado
fue el número dos según la Figura 3.1.
σh = k0 · σv (3.3)
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
−50 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo horizontal [kPa]
σ11 (Abaqus)σ33 (Abaqus)
σh (teórico)
(a) Esfuerzos horizontales (σ11 σ33) sin inclinación.
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo horizontal [kPa]
σ11 (Abaqus)σ33 (Abaqus)
σh (teórico)
(b) Esfuerzos horizontales (σ11 σ33) con inclinación.
Figura 3.5: Comparación de los esfuerzos iniciales obtenidos por Abaqus con la literatura.
3.1.2.2. Condición de �ujo.
Los taludes conformados tienen dos interfaces, la primera es la zona de saturación par-
cial arriba del nivel freático condicionado por la curva característica del suelo explicada en
el capítulo 2 de la sección 2.1.4.1 en el marco de referencia. Los parámetros para la elabo-
ración de la curva característica se explican en la sección 3.3. Una segunda zona saturada
donde el �ujo está regido por la ley de Darcy.
Para lograr la conformación de las líneas de �ujo a lo largo del talud, en el módulo cargas
(Soil) se estableció dos alturas piezométricas en los costados frontales del plano (YZ) del
talud generando una diferencia de energías. De esta forma se establece �ujo estacionario en
el cuerpo del talud. En la Figura 3.6 se observa el escenario de las condiciones de frontera
39
Capítulo 3. Modelación computacional
para simular el �ujo a lo largo de la componente (X) del talud.
Figura 3.6: Condiciones de frontera del �ujo.
3.2. Propiedades del modelo constitutivo elasto plástico.
En torno a la explicación del marco teórico acerca del modelo constitutivo elasto plás-
tico se seleccionaron propiedades físicas, mecánicas e hidráulicas de un suelo arenoso con
contenidos de limos con el �n de tener un suelo de alta permeabilidad para disminuir el
tiempo computacional en la modelación del �ujo y un suelo cohesivo donde la cohesión
controla el endurecimiento del material.
En el módulo de propiedades del software, el usuario de�ne la densidad del material
(opción General - Density), los parámetros elásticos y plásticos (opción Mechanical - Elas-
ticity - Plasticity Mohr Coulomb) y �nalmente las propiedades hidráulicas (opción Pore
�uid - Permeability - Sorption).
Las propiedades índices y parámetros de resistencia del suelo homogéneo fueron esta-
blecidas por medio de fuentes bibliográ�cas. Las propiedades índices se de�nieron con base
a valores típicos de propiedades mecánicas para arenas limosas propuestos por Norm (1975)
y Puri et al. (1994), presentes en la Tabla 3.2. El peso unitario seco (γd) y el grado de
saturación inicial del suelo (Sr) se calcularon por medio de las ecuaciones de relaciones de
fase presentes en las ecuaciones 3.4 y 3.5.
Tabla 3.2: Propiedades índices
γ (kN/m3) γd (kN/m3) Contenido de humedad (w) (%) Relación de vacíos (e)19 15.8 20 0.85
Grado de saturación (Sr) Permeabilidad (k)(m/s) Gravedad especí�ca (Gs)62.8% 0.0001 2.67
40
3.3. Modelo succión-humedad
γd =γ
1 + w(3.4)
Sr =w ·Gse
(3.5)
Asimismo se de�nieron los parámetros del modelo constitutivo elasto-plástico de Morh
Coulomb con base a valores típicos de arenas limosa (Bowles, 1988), (Norm, 1975) y (Puri
et al., 1994) como se observa en la Tabla 3.3:
Tabla 3.3: Parámetros de resistencia.
Ángulo de fricción (φ◦) Ángulo de dilatancia (ψ◦) Cohesión (kPa)34 5 25
3.3. Modelo succión-humedad
Para establecer la condición de saturación parcial se construyó la curva característica con
la ecuación análítica propuesta por Van Genuchten (1980) (ecuación 2.41). Los parámetros
que constituyen la ecuación de Van Genuchten se establecieron para rangos de parámetros
de una arena limosa (Yang and You, 2013). En la Tabla 3.5 se presenta los valores que se
tomaron para establecer la condición de saturación parcial.
Tabla 3.4: Parámetros de van Genuchten de una arena limosa.
ρ (m−1) m n3.1 1.27 0.213
Tabla 3.5: Valores de la curva característica.
Succión (kPa) Grado de saturación1000 0.114500 0.137100 0.2120 1
41
Capítulo 3. Modelación computacional
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0 300 600 900 1200 1500
Gra
do d
e sa
tura
ción
Succión [Kpa]
Figura 3.7: Curva característica en estado de humedecimiento según Van Genuchten (1980)s.
3.4. Enmallado
Los elementos �nitos son métodos numéricos (FEM) para la solución de problemas in-
genieriles que por medio de ecuaciones algebraicas y diferenciales operan principios físicos
de equilibrio de fuerzas, leyes de la termodinámica, la conservación de la masa y la energía.
El concepto físico en la interpretación del método se basa en la subdivisión del modelo
matemático en elementos continuos unidos por nodos para conformar mallas que dependen
principalmente de la geometría establecida (Xu, 2008). En la Figura 3.8 se presenta el
procedimiento utilizado para la conformación del enmallado en cada uno de los modelos:
Figura 3.8: Mapa conceptual para la conformación del enmallado.
42
3.4. Enmallado
3.4.1. Control del enmallado
Se seleccionó una forma triangular (tetraedros 3D) en el elemento y una técnica libre
debido a la complejidad de la geometría, evidenciando concavidades que no se adaptaban
a las formas cuadradas ni técnicas estructuradas. En las Figuras 3.9 y 3.10 se observa
los tipos de formas ((a) 2D y (b) 3D) de los elementos y un ejemplo de la aplicación entre
la técnicas nombradas en la Figura 3.8. La asignación del tipo de elemento depende del
problema planteado, en este caso se seleccionó el elemento (Stress 3D) para el análisis
en términos de esfuerzos totales y en esfuerzos efectivos se seleccionó el elemento (Pore
�uid/Stress).
(a) 1D Y 2D. (b) 3D.
Figura 3.9: Formas de los elementos.(Simulia, 2002)
(a) Libre (b) Estructurada. (c) Geometrías circulares.
Figura 3.10: Técnicas de enmallado.(Simulia, 2002)
43
Capítulo 3. Modelación computacional
3.4.2. Re�namiento de enmallado
El re�namiento en el enmallado logra una mayor interpolación de los resultados gene-
rando isolíneas adaptables y re�nadas a la geometría. En las Figuras 3.11 y 3.12 se observa
la diferencia de la tendencia de las isolíneas de los esfuerzos cortantes entre una malla gruesa
y una re�nada, evidenciando la calidad en los resultados en las mallas re�nadas.
Figura 3.11: Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla gruesa.
Figura 3.12: Isolíneas de esfuerzos cortantes (τ12) en una malla re�nada
En las zonas de mayor interés como la cara del talud (vista en planta el plano (XZ)) se
discretizó la distancia entre nodos proporcionando un mayor re�namiento. Es recomenda-
ble re�nar las zonas de interés y no de un mismo tamaño en toda la geometría, debido al
tiempo y memoria computacional que el procedimiento requiere.
El software Abaqus re�na por medio de particiones en la geometría o condiciones en los
números de nodos y elementos ubicados en los bordes de la geometría como se observa en
la Figura 3.13 (tendencia doble, simple y constante):
44
3.4. Enmallado
Figura 3.13: Opciones de tendencia en el re�namiento(Simulia, 2002)
3.4.3. Veri�cación del enmallado
La calidad en los resultados no solo depende del re�namiento de la malla, si no tam-
bién de la forma, angularidad y adaptabilidad del elemento a la geometría. El software con
la opción (Verify mesh) veri�ca la forma y el tamaño de los elementos a través de datos
estadísticos mostrando el porcentaje de elementos que no cumplen con las condiciones de
tamaño y angularidad impuestas por el usuario.
La prueba de veri�cación en Abaqus está divida en la forma (Shape metrics) y tamaño
(Size metrics) del elemento. En la forma se veri�can varios aspectos, el primero son los
ángulos máximos y mínimos entre nodos los cuales son introducidos por el usuario. Es ideal
tener ángulos mayores de 90◦ en elementos cuadrados y ángulos de 60◦ en elementos trian-
gulares, aunque en geometrías irregulares no es sencillo que cumpla en todos sus elementos
(Escobar, 2014). La segunda veri�cación es la forma ideal del elemento al adaptarse a la
geometría, hallando un factor de forma (Shape factor), el cual funciona en elementos trian-
gulares donde se relaciona el área o volumen del elemento diseñado con respecto a un área
o volumen de un triángulo equilátero. Entre más cercana es la relación a uno, la forma es
óptima a la geometría (Simulia, 2002).
La última veri�cación de la forma es la relación entre el largo y ancho del elemento. Esta
indica la proporción entre la aristas del elemento. Es recomendable no utilizar elementos
esbeltos con relaciones mayores a 10 como se presenta en la Figura 3.14 (Xu, 2008). En la
Tabla 3.6 se observa los límites de los factores que inciden en la calidad de la forma del
elemento propuestos en el manual de Abaqus (Simulia, 2002).
45
Capítulo 3. Modelación computacional
Figura 3.14: Criterio de tamaño y forma de los elementos.(Xu, 2008)
En cuanto al tamaño del elemento se veri�ca la longitud de sus bordes, siendo importante
en la distribución de los elementos para lograr un acoplamiento entre la malla y la geometría.
En el manual de Abaqus de�nen un factor (Geometric deviation factor), el cual establece
sí algún elemento no está acoplado a la geometría (Simulia, 2002).
Tabla 3.6: Valores de la curva característica
Criterio de selección Cuadriláteros Triángulo Hexaedros TetraedrosFactor de forma - 0.01 - 0.0001
Ángulo mínimo (◦) 10 5 10 5Ángulo máximo (◦) 160 170 160 170Relación entre aristas 10 10 10 10
El diseño del enmallado para las 9 geometrías propuestas fue el siguiente:
Los segmentos de color rojo representan las dimensiones de la geometría.
Las �echas de color blanco ilustran la tendencia simple y doble de las distancias entre
los nodos en dirección a la �echa.
Los segmentos de color naranja y negro representan una tendencia constante.
Las zonas de mayor re�namiento se localizan en la cara del talud en el plano (XZ) y a
lo largo de la variación del nivel freático, con el �n de obtener resultados de calidad. Para
garantizar que se cumplieron los criterios de selección de los elementos, se presenta los datos
estádisticos del modelo 1 en la Figura 3.17.
46
3.4. Enmallado
Figura 3.15: Metodología de diseño del enmallado
Figura 3.16: Malla de�nitiva en el modelo 1
47
Capítulo 3. Modelación computacional
Figura 3.17: Datos estadísticos del criterio de selección de la malla en el modelo 1.
La Figura 3.17 indica el porcentaje de nodos que no cumplen con los criterios de
selección para elementos tetraédricos presentes en la Tabla 3.6, mostrando que el 0% de
los nodos no cumplen con ángulos menores de 15◦, el 0% a ángulos mayores de 100◦, el 0%
a la relación entre aristas menores de 10 y el 0% menores a 0.0001 de 328,601 elementos
que componen el modelo.
48
Capítulo 4
Resultados
4.1. Esfuerzos totales
En términos de esfuerzos totales se evaluó la in�uencia de la geometría en el estado
inicial de esfuerzos en cada talud. Se estudió la relación de esfuerzos contra profundidad en
la componente (Y) en dos zonas establecidas (profundidad uno - profundidad dos) (Figura
4.1). Con el objeto de evidenciar la variablidad de los esfuerzos debido a la pendiente del
talud.
Sin duda existe una diferencia en la distribución de los esfuerzos geostáticos en la profun-
didad de cada geometría. En la profundidad uno se evidencia la relación que existe entre la
geometría del talud y la tendencia de la curva de los esfuerzos geostáticos (Figuras 4.2 y
4.3). En la profundidad 1 los modelos 4, 5 y 6 (Figuras 3.1 sección y 3.1) presentan una
distribución en los esfuerzos con una tendencia de forma convexa. Los modelos 7, 8 9 gene-
ran una distribución de esfuerzos con tendencias cóncavas y los modelos 1, 2, 3 presentan
tendencias rectas. En cambio, en la profundidad dos no se logra observar dicha tendencia
posiblemente por causa de la rotación de los esfuerzos debido al cambio de pendiente.
Figura 4.1: Ubicación de las líneas de análsis en la componente (Y))
En la Figura 4.2 los esfuerzos σ22 y σ33 evidencian la in�uencia de la variación de las
geoformas en per�l repecto a los esfuerzos, más no in�uye su variación en planta ya que para
49
Capítulo 4. Resultados
mismas variaciones de geoformas en per�l (recto, convexo, cóncavo) se presentan igualdades
en los esfuerzos (σ22 y σ33) a una misma profunidad. En cambio, para σ11 (Figura 4.2)
los modelos con misma geoforma en per�l se observa que cierta profunidad no se evidencia
una igualdad en los esfuerzos.
−50
−40
−30
−20
−10
0
−100 0 100 200 300 400
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ11 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) σ11
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
−100 0 100 200 300 400 500
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ33 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) σ33
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 150 300 450 600 750 900 1050
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ22 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(c) σ22
Figura 4.2: Distribución de esfuerzos totales bajo la corona del talud en el plano (XY)(profundidad 1)
50
4.1. Esfuerzos totales
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
−100 0 100 200 300 400
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ11 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) σ11
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 100 200 300 400 500
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ33 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) σ33
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
Pro
fund
idad
[m]
Esfuerzo σ22 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(c) σ22
Figura 4.3: Distribución de esfuerzos totales en pendiente del talud en el plano (XY) (pro-fundidad 2)
En la Figura 4.4 se ilustra la variación de los contornos que representan la condición
inicial de esfuerzos en los modelos 1, 5 y 9. Donde se evidencia la in�uencia de la geometría
en la dirección de los contornos condicionando la orientación de los estados de esfuerzos
del talud, siendo los modelos 1 y 2, dos veces mayores en la magnitud de esfuerzos (σ22)
51
Capítulo 4. Resultados
respecto el modelo 9.
La Figura 4.4 presenta la convención de esfuerzos a compresión con signo negativo. En
este trabajo de investigación, en la parte de análisis se decidió cambiar la convención donde
signos negativos representan esfuerzos a tensión y signos posivos a compresión.
(a) Modelo 1 (b) Modelo 5
(c) Modelo 9
Figura 4.4: Contornos de los esfuerzos totales geostáticos (σ22)
4.2. Esfuerzos efectivos
Para analizar la variación de esfuerzos y deformaciones debido a la morfometría del
talud se realizaron 3 tipos de resultados:
Variación de los contornos en planta y per�l de los esfuerzos efectivos y grados de
saturación.
Variación del tensor de esfuerzos y deformaciones en diferentes zonas del talud.
Cálculo de indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones.
4.2.1. Variación de los contornos de los esfuerzos efectivos
En la variación de los contornos se desea mostrar la distribución del tensor de esfuerzos,
los esfuerzos máximos efectivos de lo esfuerzos principales, la deformación máxima y los
grados de saturación en planta y per�l de los nueve modelos.
En los modelos 1, 2 y 3 con misma geoforma recta en planta se presenta saturación antes de
llegar a la pata, comprendiendo un volumen considerable afectando los esfuerzos efectivos
por causa de las condiciones de frontera establecidas en la Figura 3.6 y por la continuidad
52
4.2. Esfuerzos efectivos
uniforme a lo largo de la componente (Z) (Figura 4.5). En las zonas de saturación se re�ejan
los menores esfuerzos efectivos principales hasta el punto de presentar tensión (Figura 4.6).
Para los modelos 4, 5 y 6 con misma geoforma convexa en planta se presenta saturación
en los extremos y saturación parcial en la parte interna en el plano (XZ) del talud. La va-
riación del grado de saturación tiende a una forma divergente a lo largo de la componente
(Z) hasta llegar a saturarse (Figura 4.7). En el plano (XZ) los esfuerzos efectivos a tensión
conforman un área mínima en los extremos del talud (Figura 4.8).
Para los modelos 7, 8 y 9 con misma geoforma cóncava en planta se presenta de manera
distinta a los modelos 4, 5 y 6. La saturación se genera en el interior y la saturación parcial
en la parte exterior en el plano (XZ) del talud. La variación del grado de saturación tiende
a una forma convergente a lo largo de la componente (Z) hasta llegar a saturarse (Figura
4.9). En el plano (XZ) los esfuerzos efectivos a tensión conforman un área signi�cativa en
en el interior del talud (Figura 4.10).
(a) Modelo 1 (b) Modelo 2
(c) Modelo 3
Figura 4.5: Distribución del nivel de saturación en modelos rectos en planta.
53
Capítulo 4. Resultados
(a) Modelo 1 (b) Modelo 2
(c) Modelo 3
Figura 4.6: Distribución del máximo esfuerzo efectivos en modelos rectos en planta.
(a) Modelo 4 (b) Modelo 5
(c) Modelo 6
Figura 4.7: Distribución del nivel de saturación en modelos convexos en planta.
54
4.2. Esfuerzos efectivos
(a) Modelo 4 (b) Modelo 5
(c) Modelo 6
Figura 4.8: Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos convexos enplanta.
(a) Modelo 7 (b) Modelo 8
(c) Modelo 9
Figura 4.9: Distribución del nivel de saturación en modelos cóncavos en planta.
55
Capítulo 4. Resultados
(a) Modelo 7 (b) Modelo 8
(c) Modelo 9
Figura 4.10: Distribución del máximo esfuerzo efectivos principal en modelos cóncavos enplanta.
La distribución del nivel de saturación dependen de la dirección de la trayectoria del
�ujo de agua generadas por la variación de las geoformas en planta. Las geoformas rectas
en planta causan direcciones de �ujo paralelas con la componente (X), las formas convexas
obligan a tomar direcciones divergentes impidiendo la concentración de las líneas de �ujo y
las cóncavas hacen tomar direcciones convergentes causando la concentración de las líneas
de �ujo generando un comportamiento a tensión de los esfuerzos efectivos como se presenta
en la Figura 4.11.
Figura 4.11: Comportamiento de las direcciones de las líneas de �ujo en distintas geoformasen planta.
56
4.2. Esfuerzos efectivos
La distribución de esfuerzos cortantes (τ12) se evalúa en la vista per�l en la cara lateral
del plano (XY), observando gran in�uencia de la geometría en la concentración de esfuerzos
cortantes.
Los modelos 2, 5 y 8 son más susceptibles a la falla por corte debido a que presentan
per�les convexos por la presencia de concentraciones de esfuerzos cortantes en la pata
del talud. En las formas cóncavas como los modelos 3 y 6 no se concentran los esfuerzos
cortantes en el soporte del talud a excepción del modelo 9 que presenta concentraciones
de esfuerzo en la parte superior e inferior de la cara y pata del talud respectivamente ya
que este tipo de per�les representan un talud deslizado, presentando disminución en la
concentración de esfuerzos cortantes del talud como se muestran en las Figuras 4.12, 4.13
y 4.14. En términos de ordenes de magnitud, las concentraciones de esfuerzos cortantes
en los modelos convexos en per�l son aproximadamente 2.5 veces más susceptibles a fallar
por corte con relación a los modelos cóncavos por causa de la concentración de esfuerzos
en la pata del talud y modelos 1, 4 y 7 con geoformas rectas en per�l tienden a ser más
susceptibles a la falla que los modelos cóncavos.
(a) Modelo 1 (b) Modelo 2
(c) Modelo 3
Figura 4.12: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación rectaen planta.
57
Capítulo 4. Resultados
(a) Modelo 4 (b) Modelo 5
(c) Modelo 6
Figura 4.13: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación con-vexa en planta.
(a) Modelo 7 (b) Modelo 8
(c) Modelo 9
Figura 4.14: Distribución de las concentraciones de esfuerzos cortantes con variación cóncavaen planta.
La representación del tensor de esfuerzos en cada talud se realizó por medio de los es-
tados de esfuerzos y deformaciones frente líneas de análisis ubicadas en el extremo y centro
de cada talud como se observa en la Figura 4.15. La ubicación de las líneas de análisis se
58
4.2. Esfuerzos efectivos
de�nieron con base en la variación que se presenta en los esfuerzos debido a la divergencia y
convergencia del régimen de �ujo en cada tipo de variación de geoformas en planta eviden-
ciados en la Figura 4.11. En las dos líneas de análisis de�nidas se analizaron los esfuerzos
principales (σ11, σ22, σ33), deformaciones máximas y la distribución de presiones de poros.
Figura 4.15: Localización de las líneas de análisis
En la variación del estado de esfuerzos efectivos y deformaciones máximas a lo largo
de la línea del centro del talud (Figura 4.15), los modelos 7, 8 y 9 con variación cóncava
en planta presentan una disminución en los esfuerzos efectivos por causa de la saturación,
consecuencia de la concentración del �ujo en la pata del talud. A diferencia de los modelos
4, 5 y 6 con variación convexa en planta que presentan un aumento del esfuerzo efectivo
consecuencia del estado parcialmente saturado ocasionado por la divergencia de las líneas
de �ujo presentes en las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 indicadores (a).
En la línea del extremo del talud (Figura 4.15) se generan aumentos de los esfuerzos
principales efectivos en los modelos 7, 8 y 9 con geoforma cóncava en planta por causa del
efecto de la concentración del agua en el interior de la pata del talud y una disminución
de los esfuerzos efectivos. Los modelos 4, 5 y 6 con variación convexa en planta presentan
disminución de los esfuerzos efectivos debido a la divergencia de líneas de �ujo presentes
en las Figuras 4.16, 4.17 y 4.18 indicadores (b).
Los modelos 1, 2 y 3 con geoformas rectas en planta están en estado saturado debido
que las direcciones de �ujo son paralelas a lo largo de la componente (X) en toda la zona
de la pata del talud como se observa en la Figura 4.11 ocasionando comportamientos a
tensión de los esfuerzos efectivos principales en las líneas de análisis exterior y central en
la super�cie del talud (Figura 4.15).
59
Capítulo 4. Resultados
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
σ11
[Kpa
]
Línea de análisis (centro)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Línea de análisis en el centro del talud
−40
−20
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100σ 1
1 [K
pa]
Línea de análisis (extremo)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Línea de análisis en el extremo del talud
Figura 4.16: Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ11 en la super�ciede la cara y pata del talud.
−40−30−20−10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100 110 120 130
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
σ 22
[Kpa
]
Línea de análisis (centro)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Línea de análisis en el centro del talud
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
σ 22
[Kpa
]
Línea de análisis (extremo)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Línea de análisis en el extremo del talud
Figura 4.17: Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ22 en la super�ciede la cara y pata del talud.
60
4.2. Esfuerzos efectivos
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
σ 33
[Kpa
]
Línea de análisis (centro)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Línea de análisis en el centro del talud
−40
−30
−20
−10
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100σ 3
3 [K
pa]
Línea de análisis (extremo)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Línea de análisis en el extremo del talud
Figura 4.18: Variación de los esfuerzos efectivos principales horizontales σ33 en la super�ciede la cara y pata del talud.
Las deformaciones máximas axiales se presentaron en los modelos 2 y 8 en la zona de
estudio de�nida (inicio el pata del talud), proporcionando deformaciones del orden del 3 al
5% aproximadamente (Figura 4.19). El modelo 2 con forma recta en per�l y convexa en
planta no presentan variación en las deformaciones axiales máximas para los dos escenarios
(línea centro extremo). El modelo 8 con forma cóncava en per�l y convexa en planta presenta
hasta 11 veces más la variabilidad de la deformación máxima en la línea de análisis central
respecto la línea exterior y en el modelo 2 con forma recta en per�l y convexa en planta
hasta 1.5 veces más en la línea exterior con relación a la línea central.
61
Capítulo 4. Resultados
−0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
εm
ax
Línea de análisis (centro)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Línea de análisis en el centro del talud
−0.005
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.055
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 ε
max
Línea de análisis (extremo)
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Línea de análisis en el extremo del talud
Figura 4.19: Variación de las deformaciones máximas axiales ε en la super�cie de la cara ypata del talud.
Las zonas con bajos esfuerzos principales efectivos coinciden con el aumento de las pre-
siones de poros como se observa en la Figura 4.20. En los modelos 7, 8 y 9 con geoforma
cóncava en planta no hay presencia de �ujo en la línea de análisis exterior, en cambio en la
línea de análisis central se evidencia un aumento en la presiones de poros por la concentra-
ción de líneas de �ujo. En los modelos 4, 5 y 6 con geoforma convexa en planta se presenta
lo contrario, en la línea de análisis central no hay presencia de �ujo y en la línea de análisis
exterior hay un aumento en la presión de poros.
62
4.2. Esfuerzos efectivos
−280
−240
−200
−160
−120
−80
−40
0
40
80
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Pre
sión
de
poro
s [K
pa]
Línea de análisis (centro)
Modelos 1Modelos 2Modelos 3Modelos 4Modelos 5Modelos 6Modelos 7Modelos 8Modelos 9
(a) Línea de análisis en el centro del talud
−220
−200
−180
−160
−140
−120
−100
−80
−60
−40
−20
0
20
40
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100P
resi
ón d
e po
ros
[Kpa
]Línea de análisis (extremo)
Modelos 1Modelos 2Modelos 3Modelos 4Modelos 5Modelos 6Modelos 7Modelos 8Modelos 9
(b) Línea de análisis en el extremo del talud
Figura 4.20: Variación de las presiones de poros uw en la super�cie de la cara y pata deltalud.
Para analizar los esfuerzos y deformaciones por corte (τ12) en cada una de la geometrías
se realizaron líneas de análisis relacionando la profundidad respecto a esfuerzos deforma-
ciones por corte de�niendo dos profundidades como se observa en la Figura 4.21 con el �n
de observar su variabilidad en cada una de las geometrías.
Figura 4.21: Ubicación de las líneas de análisis respecto la profundidad (componente (Y))
Los modelos 2, 5 y 8 con contornos cóncavos en per�l presentan los mayores esfuerzos
cortantes en la pata del talud evidenciando esfuerzos al corte (τ12) hasta 14 veces mayo-
res a los esfuerzos cortantes presentes en la parte superior de la corona (Figura 4.22). A
comparación de modelos 3, 6 y 9 con contornos convexos en per�l se experimentan mayores
63
Capítulo 4. Resultados
esfuerzos cortantes en la parte superior del talud evidenciando esfuerzos al corte (τ12) hasta
6 veces más en comparación a los esfuerzos cortantes presentes en la pata del talud (Figura
4.22).
Asimismo se realizaron grá�cas de deformación por corte (ε12) en las profundidades
de�nidas de la Figura 4.21 presentando variabilidad de hasta 80 veces mayores como en el
modelo 2 Figura 4.23. Donde los modelos convexos en per�l sufren mayores deformaciones
en la profunidad uno, en cambio en la profundidad dos se presentan las mayores deforma-
ciones en modelos cóncavos.
Los mayores esfuerzos cortantes y deformaciones por corte se establecen en las geome-
trías con transiciones de concavidad en la parte superior de la cara del talud del orden de
43.22 kPa y 0.7% respectivamente representando un escarpe como se observa en la Figura
4.24.
−25
−20
−15
−10
−5
0
−10 0 10 20 30 40 50 60 70 80
Pro
fund
idad
[m]
τ12 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Profundidad unos lo largo de la pata del talud.
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 35
Pro
fund
idad
[m]
τ12 [Kpa]
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Profundidad dos a lo lardo de la corona del talud.
Figura 4.22: Distribución de los esfuerzos cortantes (τ12)
64
4.2. Esfuerzos efectivos
−25
−20
−15
−10
−5
0
−0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Pro
fund
idad
[m]
ε12
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(a) Profundidad unos lo largo de la pata del talud.
−50
−45
−40
−35
−30
−25
−20
−15
−10
−5
0
−0.004 −0.002 0 0.002 0.004 0.006P
rofu
ndid
ad [m
] ε12
Modelo 1Modelo 2Modelo 3Modelo 4Modelo 5Modelo 6Modelo 7Modelo 8Modelo 9
(b) Profundidad unos lo largo de la corona del talud.
Figura 4.23: Distribución de deformaciones cortantes (ε12)
(a) Esfuerzos cortantes (τ12) (b) Deformaciones cortantes (ε12)
Figura 4.24: Escarpes en modelos concavos (modelo 6)
4.2.2. Indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones
A través de un análisis cuantitativo se hallaron indicadores de concentraciones de es-
fuerzos Von Mises (J2), esfuerzos efectivos y deformaciones máximas en la zona de estudio
del talud (Figura 4.15) por medio de una relación de áreas que conforman los contornos
65
Capítulo 4. Resultados
de esfuerzos y una análisis de frecuencias. Los indicadores representan todo el tensor de
esfuerzos y deformaciones presentando diferencias entre los modelos con el �n de establecer
un grado de suceptibilidad en el factor de geomorfológico del talud.
Se realizó una relación de áreas de los contornos para hallar un esfuerzo y deformación
equivalente o un indicador de de esfuerzos, el cual represente el tensor de esfuerzos y defor-
maciones en la cara y pata del talud (Figura 4.15). Se calcularon las áreas de los contornos
de cada uno de los modelos (Figura 4.25) aplicando las ecuaciones 4.1 y 4.2 . En la Tabla
4.1 se observa los indicadores de concentración de esfuerzos en cada geometría. En la Figu-
ra 4.26 se representa la in�uencia de la geometría en cada unas de las variables analizadas
(esfuerzos efectivos, esfuerzos Von Mises y deformaciones máximas).
σeq =∑i=1
ai,σ · σi,atotal
(4.1)
εeq =∑i=1
ai,σ · εiatotal
(4.2)
donde
ai: El área de los contornos.
σi: Esfuerzo máximo y mínimo que establece cada contorno.
εi: Deformación máxima que establece cada contorno.
atotal: Área total de todos de los contornos de la zona de estudio.
σeq: Indicador de concentración de esfuerzos Von mises y esfuerzos efectivos.
εeq: Indicador de concentración de deformaciones.
(a) Contorno del esfuerzos máximo en Abaqus (b) Área del contorno color amarillo claro
Figura 4.25: áreas de los contornos
66
4.2. Esfuerzos efectivos
Tabla 4.1: Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones
Modelos Esfuerzo desviador (J2) (kPa) Esfuerzo efectivo (kPa) Deformación máxima (%)1 58.221 -7.385 0.6912 49.141 2.119 1.6083 41.160 -17.013 1.1284 73.600 20.810 0.1575 81.400 24.026 2.4646 79.923 17.680 0.1727 72.268 -0.058 2.9968 0.513 0.231 0.6789 74.117 -8.279 0.893
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−20
0
20
40
60
80
100
Modelo
Esf
uerz
o (K
Pa)
1 2 3 4 5 6 7 8 90
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Def
orm
ació
n (%
)
Esfuerzo efectivo mínimoEsfuerzo Von Mises
Deformación máxima
Figura 4.26: Indicadores de concentraciones de esfuerzos y deformaciones en cada modelo
Para la realización de los indicadores de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2, esfuerzos
efectivos máximos σ′max y deformaciones axiales máximas εmax se hizo la recolección de
datos en toda la super�cie de la cara y pata del talud de cada uno de los modelos con el
�n de de observar los rangos más frecuentes de cada indicador en la super�cie del talud.
Las consideraciones tomadas en cuenta para la realización de los histogramas del análisis
de frecuencia fueron:
67
Capítulo 4. Resultados
Para de�nir el número de las marcas de clase de cada indicador se utilizó la siguiente
ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):
nc = 1 + 3,3 · log10(n) (4.3)
donde
nc, es el número de marcas de clases. n, es el número de datos obtenidos en la super�cie
del talud de cada indicador.
Para el rango existente entre las marcas de clase (nc) de cada indicador se utilizó la
siguiente ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):
lnc =(max(indicador)−min(indicador))
nc(4.4)
donde
lnc, es el rango entre marcas de clase de cada indicardor. max y min, es el dato mayor
y menor de todos los datos obtenidos por indicador respectivamente.
La frecuencia relativa que es el porcentaje de los números existentes entre marcas
de clases por el número total de los datos de la serie de indicadores. La sumatoria
de todas las frecuencias relativas obtenidas debe ser igual a 1. Se utilizó la siguiente
ecuación (Kottegoda and Rosso, 1997):
fnci =ndatosnci
n(4.5)
donde
fnci, es frecuencia relativa para cada marca de clase. ndatosnci, es el número de datos
presentes en la marca de clase nci.
A continuación se presentan en las Figuras 4.27, 4.28 y 4.29 todos los resultados
obtenidos del análisis de frecuencia de los modelos por cada indicador (esfuerzos Von Mises
J2, esfuerzos efectivos máximos σ′max y deformaciones axiales máximas εmax):
68
4.2. Esfuerzos efectivos
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−14
.542 0
14.5
42
29.0
84
43.6
26
58.1
68
72.7
1
87.2
51
101.
793
116.
335
130.
877
145.
419
Modelo 1
Modelo 4
Modelo 7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
(a) Modelos 1, 4 y 7.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−18
.227 0
18.2
27
36.4
54
54.6
81
72.9
08
91.1
35
109.
362
127.
589
145.
816
164.
043
182.
27
Modelo 2
Modelo 5
Modelo 8
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(b) Modelos 2, 5 y 8.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−16
.582 0
16.5
82
33.1
65
49.7
47
66.3
29
82.9
12
99.4
94
116.
077
132.
659
149.
241
165.
824
Modelo 3
Modelo 6
Modelo 9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
(c) Modelos 3, 6 y 9.
Figura 4.27: Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos Von Mises J2 de los modelos.
69
Capítulo 4. Resultados
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−7.
978 0
7.97
8
15.9
55
23.9
33
31.9
11
39.8
89
47.8
66
55.8
44
63.8
22
71.8
79.7
77
Modelo 1
Modelo 4
Modelo 7
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(a) Modelos 1, 4 y 7.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−9.
44 0
9.44
18.8
79
28.3
19
37.7
59
47.1
99
56.6
38
66.0
78
75.5
18
84.9
58
94.3
97
Modelo 2
Modelo 5
Modelo 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
(b) Modelos 2, 5 y 8.
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
Fre
cuen
cia
rela
tiva
−7.
747 0
7.74
7
15.4
93
23.2
4
30.9
87
38.7
33
46.4
8
54.2
26
61.9
73
69.7
2
77.4
66
Modelo 3
Modelo 6
Modelo 9
0.00
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
(c) Modelos 3, 6 y 9.
Figura 4.28: Histogramas de análisis de frecuencia de esfuerzos efectivos máximos σ′max delos modelos.
70
4.2. Esfuerzos efectivos
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fre
cuen
cia
rela
tiva
0
0.29
4
0.58
8
0.88
3
1.17
7
1.47
1
1.76
5
2.05
9
2.35
4
2.64
8
2.94
2
3.23
6
Modelo 1
Modelo 4
Modelo 7
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
(a) Modelos 1, 4 y 7.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Fre
cuen
cia
rela
tiva
0
0.29
4
0.58
8
0.88
3
1.17
7
1.47
1
1.76
5
2.05
9
2.35
4
2.64
8
2.94
2
3.23
6
Modelo 2
Modelo 5
Modelo 8
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
(b) Modelos 2, 5 y 8.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Fre
cuen
cia
rela
tiva
0
0.29
4
0.58
8
0.88
3
1.17
7
1.47
1
1.76
5
2.05
9
2.35
4
2.64
8
2.94
2
3.23
6
Modelo 3
Modelo 6
Modelo 9
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
(c) Modelos 3, 6 y 9.
Figura 4.29: Histogramas de análisis de frecuencia de deformaciones axiales máximas εmaxde los modelos.
71
Capítulo 4. Resultados
También se realizó el cálculo de los siguientes parámetros estadísticos de los datos
obtenidos de los indicadores de esfuerzos Von Mises J2, esfuerzos efectivos máximos σ′maxy deformaciones axiales máximas εmax presentes en las Tablas 4.2, 4.3 y 4.4 asumiendo
normalidad el objetivo de:
Primer momento (Media µ): Muestra la tendencia central de la distribución donde
xi es cada uno de los valores obtenidos con el �n de conocer la el valor del indicador
promedio que tiene la super�cie de cada modelo y se calcula de la siguiente manera
(Kottegoda and Rosso, 1997):
µ =1
n·n∑xi (4.6)
Mediana: Permite conocer el número central del tamaño de la muestra obtenidos de
cada indicador. Se obtiene con la organización de los datos de forma descendente con
el objetivo de ubicar la posición central del número total de datos teniendo en cuenta
que si el tamaño de números de datos es impar, se toma el valor central pero si es par
se toman las dos posiciones centrales y se dividen entre dos (Kottegoda and Rosso,
1997).
Desviación estándar Sx: Permite conocer la desviación existente entre los datos ob-
tenidos por indicador respecto su media y se calcula con la siguiente ecuación (Kot-
tegoda and Rosso, 1997):
Sx =
√1
n·n∑
(xi − µ)2 (4.7)
Coe�ciente de variación V : Tiene el �n de conocer que tan diferentes están los valores
sobre la super�cie del talud para cada indicador. Su cálculo es la relación entre de
desviación estándar Sx y la media µ arrojando un porcentaje entre estos.
Sx =
√1
n·n∑
(xi − µ)2 (4.8)
72
4.2. Esfuerzos efectivos
Tabla 4.2: Parámetros estadísticos en el esfuerzos Von Mises (J2) (kPa)
Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 29.982 18.532 85.534 0.390 22.662 0.7552 33.985 31.495 87.438 2.892 19.347 0.5693 26.046 18.358 87.680 0.870 21.687 0.8324 65.696 67.795 124.304 10.837 35.402 0.5395 71.309 78.864 201.507 4.219 39.767 0.5576 72.562 75.205 121.790 10.057 29.490 0.4067 53.170 28.555 160.352 6.9644 44.146 0.8308 74.137 47.146 184.619 1.010 56.112 0.7569 79.210 58.205 183.213 0.8066 54.035 0.682
Tabla 4.3: Parámetros estadísticos en el esfuerzos efectivo máximo (kPa)
Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 -4.140 -8.713 26.866 -36.890 20.634 4.9842 4.502 3.982 35.726 -35.852 24.026 5.3363 -5.948 -9.283 31.150 -36.694 21.947 3.6894 24.926 28.856 50.864 -19.081 14.341 0.5755 27.277 30.967 67.189 -19.096 16.154 0.5926 23.207 28.071 48.484 -18.638 14.670 0.6327 10.144 13.320 41.013 -34.049 17.440 1.7198 17.461 20.803 44.147 -36.647 17.976 1.0299 3.097 2.095 37.836 -36.728 19.266 6.219
Tabla 4.4: Parámetros estadísticos en la deformación máxima axial (%)
Modelos Media Mediana Máximo Mínimo Desviación estándar Coe�ciente de variación1 0.619 0.785 3.236 0.003 0.636 1.0272 0.603 0.095 7.390 0.002 0.951 1.5763 0.542 0.488 1.630 0.004 0.536 0.9874 0.1466 0.128 1.050 0.047 0.175 1.1955 0.193 0.154 2.210 0.081 0.274 1.4186 0.157 0.136 0.605 0.0507 0.127 0.8127 0.419 0.090 2.996 0.0295 0.564 1.3458 0.513 0.231 5.633 0.064 0.722 1.4059 0.801 0.674 2.916 0.005 0.698 0.870
73
Capítulo 5
Análisis y discusiones de resultados
Este capítulo presenta el análisis y discusión de los resultados obtenidos del post-
procesamiento por medio de elementos �nitos. Se analizó la variación porcentual de los
esfuerzos y deformaciones en la cara y pata del talud Figura 4.15. Los contornos en los
esfuerzos y deformaciones por corte (τ12, ε12) se analizaron por medio de diagramas de
barras, los indicadores de concentración de esfuerzo en el procedmiento de los esfuerzos
equivalentes por medio de relaciones de áreas se analizaron las variables de esfuerzos efec-
tivos máximos (σ′mximo), el esfuerzo Von Mises (j2) y las deformaciones axiales máximas
por medio de diagramas de barras en cada una de las geometrías. En el análisis de fre-
cuencia de los indicadores se analizaron por medio de histogramas con base a un análisis
estadísticos con el �n de observar la variación porcentual en cada una de las variables. Por
último se proponen valores de estabilidad para calcular grados de susceptibilidad debido al
factor geomorfológico. Se calcularon por medio de la variación porcentual presentadas en
los histogramas y diagramas de barras.
5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones
por corte
Partiendo de los contornos que están en las Figuras 4.12, 4.13 y 4.14 del capítulo
4. Se presentan los esfuerzos máximos cortantes y la variación porcentual que existe entre
cada uno de los modelos (Tabla 5.1) y en la grá�ca de la Figura 5.1, considerando que el
esfuerzo máximo entre todos los modelos es del 100%. Se observa que los modelos convexos
en planta y per�l son el doble de susceptibles a fallar por corte, donde el modelo 2 alcanza
a presentar una variación porcentual en esfuerzos cortantes analizado en el plano (XY).
En la Tabla 5.2 se presenta los valores de las variaciones de las deformaciones por
corte evaluadas en el plano (XY) de los 9 modelos. De manera ilustrativa se representa
74
5.1. Variación de los contornos de esfuerzos y deformaciones por corte
el diagrama de barras en la Figura 5.2 donde se evidencia nuevamente gran variación de
las deformaciones en modelos con geometría convexa en per�l y planta (modelos 2 y 8),
logrando evidenciar una relación entre esfuerzos y deformaciones por corte.
Tabla 5.1: Valores de esfuerzos cortantes (τ12) con su respectiva variación porcentual halla-dos por los contornos de esfuerzo.
Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos cortantes(kPa) Variación porcentual1. Recto-Recto 50.630 56.4%2. Recto-Convexo 89.790 100.0%3. Recto-Cóncavo 33.010 36.8%4. Convexo-Recto 43.830 48.8%5. Convexo-Convexo 87.140 97.0%6. Convexo-Cóncavo 43.220 48.1%7. Cóncavo-Recto 42.200 47.0%8. Cóncavo-Convexo 84.670 94.3%9. Cóncavo-Cóncavo 36.220 40.3%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Esf
uerz
os a
l cor
te τ
12 [%
]
020
4060
8010
0
Figura 5.1: Variación porcentual de los esfuerzos máximos al corte (τ12).
75
Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados
Tabla 5.2: Valores de deformaciones cortantes ε12 con su respectiva variación porcentualhallados por los contornos de deformación.
Modelo (Planta-Per�l) Deformaciones cortantes ε12 (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto 3.06 33.3%2. Recto-Convexo 9.17 100.0%3. Recto-Cóncavo 0.86 9.3%4. Convexo-Recto 0.91 9.9%5. Convexo-Convexo 2.51 27.4%6. Convexo-Cóncavo 0.62 6.8%7. Cóncavo-Recto 4.46 48.6%8. Cóncavo-Convexo 7.51 89.9%9. Cóncavo-Cóncavo 2.17 23.7%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Def
orm
ació
n al
cor
te ε
12 [%
]
020
4060
8010
0
Figura 5.2: Variación porcentual de las deformaciones cortantes (ε12).
5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuer-
zos y deformaciones
En las Tablas ( 5.3, 5.4 y 5.5) y Figuras ( 5.3, 5.4 y 5.5) se presentan la variación por-
centual de los indicadores de concentración de esfuerzos (esfuerzo efectivo máximo, esfuerzo
Von Mises y deformaciones máximas) calculados por el procedimiento de las relaciones de
76
5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones
áreas explicado en el capítulo anterior. En términos de esfuerzos efectivos se observa la
gran variación porcentual en los modelos rectos y cóncavos en per�l, debido a las zonas
de convergencia del �ujo donde disminuyen los esfuerzos efectivos. En modelos convexos se
presenta un bajo porcentaje por causa del efecto de divergencia del �ujo.
En los esfuerzos de Von Mises los modelos que varían su forma en planta (modelos 4, 5, 6,
7, 8, 9) presentan las mayores variaciones en comparación de los modelos rectos en planta
(modelos 1, 2, 3).
La mayor variación en las deformaciones axiales se presenta nuevamente en el modelo 5
con geoforma cóncava en planta y per�l como se evidenció en los resultados de las líneas
de análisis en la Figura 4.19.
Tabla 5.3: Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación por-centual hallados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo.
Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos efectivos máximos (σmax) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto -7.39 85.0%2. Recto-Convexo 2.12 70.6%3. Recto-Cóncavo -17.01 100%4. Convexo-Recto 20.81 41.9%5. Convexo-Convexo 24.03 36.9%6. Convexo-Cóncavo 17.68 46.7%7. Cóncavo-Recto -0.06 73.9%8. Cóncavo-Convexo 8.56 60.7%9. Cóncavo-Cóncavo -8.28 86.6%
Tabla 5.4: Valores de esfuerzos Von Mises (J2) con su respectiva variación porcentual ha-llados por medio de los indicadores de concentración de esfuerzo.
Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto 58.22 71.5%2. Recto-Convexo 49.14 60.4%3. Recto-Cóncavo 41.16 50.6%4. Convexo-Recto 73.60 90.4%5. Convexo-Convexo 81.40 100%6. Convexo-Cóncavo 79.92 98.2%7. Cóncavo-Recto 72.27 88.8%8. Cóncavo-Convexo 72.91 90.8%9. Cóncavo-Cóncavo 74.12 91.1%
77
Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados
Tabla 5.5: Valores deformación axial máxima (εmax) con su respectiva variación porcentualhallados por medio de los indicadores de concentración de deformación.
Modelo (Planta-Per�l) Deformación axial máxima (εmax)% Variación porcentual%1. Recto-Recto 0.01 28.1%2. Recto-Convexo 0.02 65.3%3. Recto-Cóncavo 0.01 45.8%4. Convexo-Recto 0.002 6.4%5. Convexo-Convexo 0.02 100%6. Convexo-Cóncavo 0.002 7.0%7. Cóncavo-Recto 0.01 27.5%8. Cóncavo-Convexo 0.01 32.9%9. Cóncavo-Cóncavo 0.01 36.6%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Indi
cado
res
de e
sfue
rzos
efe
ctiv
os m
ínim
os
σ"m
in [%
]
020
4060
8010
0
Figura 5.3: Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos (σ′max) (kPa).
78
5.2. Variación de los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Indi
cado
res
de e
sfue
rzos
des
viad
ores
Von
Mis
es J
2 [%
]
020
4060
8010
0
Figura 5.4: Variación porcentual de los esfuerzos Von Mises (J2) (kPa) .
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Indi
cado
res
de d
efor
mac
ione
s m
áxim
as ε
max
[%]
020
4060
8010
0
Figura 5.5: Variación porcentual de ladeformación axial máxima (εmax).
79
Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados
Las variaciones porcentuales en el análisis de frecuencias son cercanas a las calculadas
por las relaciones de área, lo cual genera comportamientos similares de los taludes en las
diferentes condiciones analizadas. En la Tabla 5.6 y Figura 5.6 se observa resultados
similares en comparación de la Tabla 5.3 y Figura 5.3 calculados por las relaciones de
área.
Tabla 5.6: Valores de esfuerzos efectivos máximos (σ′max) con su respectiva variación por-centual hallados por medio del análisis de frecuencia.
Modelo (Planta-Per�l) Esfuerzos efectivos máximos (σmax) (kPa) Variación porcentual%1. Recto-Recto -4.14 97.0%2. Recto-Convexo 4.50 82.7%3. Recto-Cóncavo -5.95 100.0%4. Convexo-Recto 24.93 49.0%5. Convexo-Convexo 27.28 45.1%6. Convexo-Cóncavo 23.21 51.8%7. Cóncavo-Recto 10.14 73.4%8. Cóncavo-Convexo 17.46 61.3%9. Cóncavo-Cóncavo 3.10 85.1%
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Modelos
Aná
lisis
de
frec
uenc
ia d
e es
fuer
zos
efec
tivos
mín
imos
σ"
min [%
]
020
4060
8010
0
Figura 5.6: Variación porcentual de los esfuerzos efectivos máximos(σ′max) (kPa) calculadopor medio del análisis de frecuencia.
80
5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento
5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad fren-
te a deslizamiento
El primer acercamiento para estudiar la amenaza en una zona vulnerable por causa de
un evento amenazante se lleva a cabo en el cálculo de grados de susceptibilidad del terreno.
El mapa de amenaza de la ciudad de Bogotá se realizó por medio de la técnica de mapeo
llamada sistema semicuantitativo de estabilidad (SES) siguiendo las etapas presentadas a
continuación (INGEOCIM, 1998):
Identi�cación de la zona de estudio.
Implementación modelo de evaluación.
Evaluación de susceptibilidad.
Evaluación de agentes detonantes.
Evaluación de amenaza por movimientos en masa.
En la etapa de evaluación de la susceptibilidad se tiene en cuenta los factores asocidados
a la estabilidad del terreno divididos en factores condicionantes, contribuyentes y detonan-
tes al movimiento. El documento INGEOCIM (1998) evaluó los grados de susceptibilidad
frente a deslizamientos de�niendo parámetros de análisis en términos de litología, geomor-
fología y hidrologeología de diferentes localidades de la ciudad de Bogotá.
El sistema semicuantitativo de estabilidad (SES) implementado en el mapa de amenaza
de Bogotá evaluó el factor geomorfológico teniendo en cuenta la pendiente promedio y
la forma del talud en un per�l longitudinal. En la Tabla 5.7 se presentan los valores
de estabilidad propuestos por INGEOCIM (1998) de�nidos por medio de metodologías
heurísticas para calcular grados de susceptibilidad debido a la geomorfología, donde la
suma ponderada de los valores representa el grado de susceptibilidad del terreno.
Tabla 5.7: Valores de estabilidad del factor geomorfológico en taludes de dos dimensiones
Forma en per�l longitudinal Valor de estabilidadConvexo 26Rectilíneo 25Cóncavo 22
Este trabajo de investigación propone valores de estabilidad cuantitativos de diferentes
taludes que varían su geoforma en planta y per�l. Los valores se calcularon por medio de
un análisis por elementos �nitos y una relación constitutiva elasto-plástica acoplado con
81
Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados
�ujo. Se calcularon valores de estabilidad por diferentes procedimientos para analizar la
variación de los esfuerzos debido a la geomorfología. La primera es el análisis de la varia-
ción de los esfuerzos efectivos por medio de los contornos o isolíneas. La segunda es por
medio de indicadores de esfuerzos que representan el tensor de esfuerzos. La escala propues-
ta para los valores de estabilidad es de 0 a 1, donde 1 se considera una mayor susceptibilidad.
Se seleccionaron los valores porcentuales de los diferentes análisis realizados en la sec-
ciones 5.1 y 5.2. En las siguientes tablas se presentan los valores de estabilidad propuestos
para los dos análisis realizados. Se propusieron valores de estabilidad en función de los es-
fuerzos (esfuerzos cortantes, deformaciones cortantes, esfuerzos efectivos máximos, esfuerzos
Von Mises y deformaciones axiales máximas.
Tabla 5.8: Valores de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12).
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.5642. Recto-Convexo 1.0003. Recto-Cóncavo 0.3684. Convexo-Recto 0.4885. Convexo-Convexo 0.9706. Convexo-Cóncavo 0.4817. Cóncavo-Recto 0.4708. Cóncavo-Convexo 0.9439. Cóncavo-Cóncavo 0.403
Tabla 5.9: Valores de estabilidad en términos de deformaciones cortantes (ε12) .
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.3332. Recto-Convexo 1.0003. Recto-Cóncavo 0.934. Convexo-Recto 0.995. Convexo-Convexo 0.2746. Convexo-Cóncavo 0.687. Cóncavo-Recto 0.4868. Cóncavo-Convexo 0.8999. Cóncavo-Cóncavo 0.237
82
5.3. Valores de estabilidad para grados de susceptibilidad frente a deslizamiento
Tabla 5.10: Valores de estabilidad en términos esfuerzos efectivos máximos (σ′max).
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.8502. Recto-Convexo 0.7063. Recto-Cóncavo 1.0004. Convexo-Recto 0.4195. Convexo-Convexo 0.3696. Convexo-Cóncavo 0.4677. Cóncavo-Recto 0.7398. Cóncavo-Convexo 0.6079. Cóncavo-Cóncavo 0.866
Tabla 5.11: Valores de estabilidad en términos del esfuerzo Von Mises (J2)
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.7152. Recto-Convexo 0.6043. Recto-Cóncavo 0.5064. Convexo-Recto 0.9045. Convexo-Convexo 1.0006. Convexo-Cóncavo 0.9827. Cóncavo-Recto 0.8888. Cóncavo-Convexo 0.9089. Cóncavo-Cóncavo 0.911
Tabla 5.12: Valores de estabilidad en términos de deformación axial máxima (εmax).
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.2812. Recto-Convexo 0.6533. Recto-Cóncavo 0.4584. Convexo-Recto 0.645. Convexo-Convexo 1.0006. Convexo-Cóncavo 0.707. Cóncavo-Recto 0.2758. Cóncavo-Convexo 0.3299. Cóncavo-Cóncavo 0.366
83
Capítulo 5. Análisis y discusiones de resultados
Con los valores de estabilidad mostrados entre las Tablas 5.8- 5.12 donde muestran todos
los parámetros asociados a los comportamientos físicos de cada geomorfología de talud, se
decidió proponer como únicos valores de estabilidad los presentes en la tabla 5.8 debido
que los esfuerzos cortantes (τ12) son los que condicionan a tener mayor susceptibilidad a
fallar presentándose en la siguiente Tabla 5.13:
Tabla 5.13: Valores propuestos de estabilidad en términos de los esfuerzos cortantes (τ12).
Modelo (Planta-Per�l) Valores de estabilidad1. Recto-Recto 0.5642. Recto-Convexo 1.0003. Recto-Cóncavo 0.3684. Convexo-Recto 0.4885. Convexo-Convexo 0.9706. Convexo-Cóncavo 0.4817. Cóncavo-Recto 0.4708. Cóncavo-Convexo 0.9439. Cóncavo-Cóncavo 0.403
Para �nalizar, se observa una relación entre la metodología semicuantitativa propuesto
por INGEOCIM (1998) y el análisis cuantitativo por medio de elementos �nitos donde las
geoformas con per�l convexo presentan altos valores de estabilidad generando más suscep-
tibilidad al movimiento. La diferencia entre la metodología semicuantitativa propuesto por
INGEOCIM (1998) y el análisis cuantitativo por medio de elementos �nitos son que las
geoformas con per�l recto tienen valores de susceptibilidad cercanos a las geoformas en
per�l convexo, acercándose más a los valores de estabilidad con per�l cóncavo.
84
Capítulo 6
Conclusiones
A partir de los resultados obtenidos, se pueden derivar las siguientes conclusiones:
Considerando los diferentes resultados obtenidos se identi�caron dos condiciones crí-
ticas en el análisis del problema. La disminución de los esfuerzos efectivos principales
y el aumento en la concentración de esfuerzos cortantes. Dando como resultado ma-
yores susceptibilidades en las geoformas convexas en fallar por corte. En cambio, en
geoformas con contornos cóncavos y rectos se evidencia una pérdida súbita de los
esfuerzos efectivos debido a la concentración causada por la convergencia de las líneas
del �ujo de agua.
Las geoformas que presentan transiciones de concavidades como en planta o per�l pre-
sentan altas concentraciones de esfuerzos cortantes en la pata del talud ocasionando
un aumento en la susceptibilidad de posibles fallas progresivas.
Los resultados de los indicadores obtenidos por el método de las relaciones de área
tienen como ventaja la no dependencia del re�namiento de la malla debido a que la
formulación matemática calcula el centroide del indicador.
La transición de concavidades de las geoformas en planta son considerados los modelos
más susceptibles frente algún tipo de movimiento, donde la transición de la forma
convexa en per�l y cóncava en planta experimenta altas concentraciones de esfuerzos
cortantes y disminución de los esfuerzos efectivos, presentando las dos condiciones
críticas establecidas. Por otro lado la forma cóncava en per�l y convexa en planta
presenta los menores esfuerzos efectivos principales.
Los indicadores de concentración de esfuerzos y deformaciones re�ejan la in�uencia
marcada del factor geomorfológico en el nivel de susceptibilidad del talud. Permitiendo
de�nir valores de estabilidad de esfuerzos y deformaciones en las diferentes geoformas,
85
Capítulo 6. Conclusiones
con el �n de poder elaborar mapas de susceptibilidad con metodologías válidas y
objetivas.
Los valores de estabilidad propuestos se calcularon por medio de un análisis en elemen-
tos �nitos, el cual permite utilizar modelos constitutivos elasto-plásticos y modelos
de �ujo con el �n de análizar la in�uencia del factor geomorfológico en el tensor de
esfuerzos y deformaciones en cada geoforma de taludes.
86
Capítulo 7
Resumen y perspectivas
7.1. Resumen
Con el trabajo presentado se logró entender la in�uencia del factor geomorfológico en
la respuesta hidrológica en 9 distintas formas de taludes de tres dimensiones, analizan-
do el tensor de esfuerzos y deformaciones en un modelo constitutivo elasto-plástico Mohr
Coulomb. Se empleó el software Abaqus que emplea el método de elementos de �nitos para
analizar la variación de los esfuerzos efectivos debido a los efectos de la �ltración de agua,
con el �n de calcular indicadores de esfuerzos Von Mises, esfuerzos efectivos máximos y de-
formaciones axiales máximas en la super�cie comprendida entre la cara y la pata del talud
los cuales pueden aportar al momento de la asignación de factores o pesos para calcular la
susceptibilidad del factor geomorfológico de un talud.
7.2. Perspectivas
Varias preguntas quedan abiertas tras la �nalización de esta investigación donde se de-
jaron de tener en cuenta varias consideraciones importantes en la estabilidad del talud.
La consideración de la estrati�cación y el �ujo transitorio condicionan el estado de es-
fuerzos y deformaciones. Referente a lo anterior cabe preguntarse cuánto cambiarían los
pesos del factor geomorfológico respecto el estado de esfuerzos y deformaciones en cada
geometría teniendo en cuenta una estrati�cación y el �ujo transitorio. ¾Se llegaría a resul-
tados lógicos y convincentes como los obtenidos en el presente trabajo, teniendo en cuenta
dichas consideraciones?.
Los valores de estabilidad propuestos podrían acoplarse en un diseño probabilístico de la
susceptibilidad disminuyendo la incertidumbre con la que hoy en día se calculan. El cálculo
87
Capítulo 7. Resumen y perspectivas
de nuevos valores de estabilidad para zonas claves que determinen un comportamiento
crítico in�uyendo en la susceptibilidad del talud, podrían agregarse nuevas restricciones o
proponer nuevas metodologías en que puedan usarse y así tener mayor con�abilidad para
elaboración de mapas de susceptibilidad. Por último, qué tanto afectaría los resultados, sí
no se consideran restricciones laterales en cualquier plano de las caras del talud, como se
realizó en el presente trabajo. Todas las consideraciones y preguntas por resolver se de-
berían tener en cuenta en su continuidad para tener mayor entendimiento en la incidencia
de la �ltración de agua en el tensor de esfuerzos debido a geoformas del talud.
88
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