Pag 1

Análisis Matemático II

Apuntes complementarios de la teoría

Campos Escalares

Parte I

Repaso de conceptos Funciones reales de variable vectorial Límite. Continuidad Derivadas y diferenciales Derivadas de funciones compuestas Máximos y mínimos

Pag 2

Sección I Repaso de conceptos I.1 Números reales. La recta real Se supone conocido el conjunto de números reales y sus subconjuntos: Números naturales: 1, 2, 3, ….. se usan para contar. Un conjunto cuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia uno a uno con los números naturales se dice que es un conjunto numerable. Por ejemplo el conjunto de las letras del alfabeto castellano es un conjunto numerable. También es numerable el conjunto de todos los polígonos regulares, triángulo, cuadrado, pentágono, etc., aun cuando este conjunto tiene infinitos elementos. En este caso se dice que el conjunto es infinito numerable. El conjunto de los números naturales es un conjunto discreto porque entre dos elementos cualesquiera del conjunto hay una cantidad finita o limitada de elementos. Enteros negativos y el cero: …-3, -2, -1, 0 surgen para permitir la solución de ecuaciones tales como x + b = a donde a y b son números naturales cualesquiera. El conjunto de los números naturales, los enteros negativos y el cero conforman el subconjunto de los enteros, que también es un conjunto discreto. Números racionales; o fracciones tales como 2/3, -5/4, etc. surgen para permitir la solución de ecuaciones tales como b.x = a para a y b enteros cualesquiera con la condición b ≠ 0. Los números enteros son un subconjunto de los números racionales. La expresión decimal de un número racional puede tener una cantidad finita o infinita de cifras decimales. En este último caso las cifras se repiten periódicamente, p. ej 3/4 = 0.75

321111/99900 = 43221,322143243243,3 =L El conjunto de los números racionales es un conjunto denso, esto significa que entre dos números racionales cualesquiera hay infinitos números racionales. La demostración es sencilla: si a y b son dos números racionales diferentes entonces el promedio de los mismos (a + b)/2 es también un número racional cuyo valor está comprendido entre los valores de a y de b, esto es: siempre es posible encontrar un número racional entre dos números racionales dados. Pero a pesar de ser un conjunto denso se demuestra que el conjunto de los números racionales es un conjunto numerable. Los números racionales no agotan todos los números posibles ya que idealmente es posible construir un número con infinitas cifras decimales no periódicas, por ejemplo siguiendo alguna regla que rompe la periodicidad: 3,123123512355123555123555512355555…. Números irracionales: no pueden ser expresados como el cociente de dos enteros. Su expresión decimal tiene infinitas cifras decimales que no se repiten periódicamente. A tal categoría pertenecen los números √2, e, π, etc. Al igual que en el caso anterior, entre dos números irracionales cualesquiera hay infinitos números irracionales, pero este conjunto denso es infinito no numerable Recta real: los conjuntos de números racionales e irracionales conforman el conjunto de números reales que se denota con el símbolo R Los números reales se pueden representar gráficamente como puntos de una línea denominada eje real o recta real. Para eso es suficiente fijar sobre una recta un punto representando al cero y otro (generalmente a la derecha del anterior) representando el uno.

Pag 3

Con esta escala, y considerando que los negativos se representan a la izquierda del cero, es posible hacer corresponder a cada número real un punto de la recta y viceversa, a cada punto de la recta se le puede hacer corresponder un número, es decir que existe una correspondencia biunívoca entre los elementos de estos dos conjuntos por lo cual es equivalente mencionar números reales o puntos de la recta real. En realidad esto es así porque la recta real es una construcción matemática que se define como un conjunto de puntos tan denso como el conjunto de números reales. I.2 El plano y el espacio cartesianos Así como los puntos de una recta se pueden poner en correspondencia con los números reales, los puntos de un plano matemático se pueden poner en correspondencia biunívoca con pares ordenados o duplas de números reales (a1,b1), (a2,b2), (a3,b3), … . Para eso se construye un sistema de coordenadas cartesianas consistente en dos ejes reales que se cortan en el punto del plano denominado origen del sistema de coordenadas y al cual se le hace corresponder el par (0,0)

Los puntos del plano y las duplas ordenadas de números reales conforman conjuntos o espacios “bidimensionales” (luego se verá la razón de esta denominación) equivalentes que se denotan por R2. Los números de la dupla correspondiente a un punto dado se denominan coordenadas del punto: abcisa la primera componente del par y ordenada la segunda. De modo análogo, los puntos del espacio matemático se pueden poner en correspondencia biunívoca con ternas ordenadas de números reales (a1,b1,c1), (a2,b2,c2), (a3,b3,c3),…. . Para eso se construye un sistema de coordenadas cartesianas consistente en tres ejes reales que se cortan en el punto del plano denominado origen del sistema de coordenadas y al cual se le hace corresponder la terna (0,0,0)

o P1

x1

y1

Figura I.2

* 0

* 1

* 2

* -1

* -2

*

1/2 *

√2

Figura I.1

Pag 4

Los puntos del espacio y las ternas ordenadas de números reales conforman conjuntos o espacios “tridimensionales” (luego se verá la razón de esta denominación) equivalentes que se denotan por R3. Los números de la terna correspondiente a un punto dado se denominan coordenadas del punto: abcisa la primera componente de la terna, ordenada la segunda y cota la tercera. Lo que corresponde a plano y espacio cartesianos se puede generalizar a conjuntos ordenados o “n-uplas” de números reales: (a1,b1, c1,…n1), (a2,b2, c2,…n2), …., (aj,bj, cj,…nj), …. .A cada “n-upla” corresponde un punto P de un espacio de n dimensiones y viceversa. Cada punto está caracterizado por un grupo ordenado de n números reales que son sus coordenadas. Este concepto, que puede parecer de competencia exclusiva de la matemática pura, resulta sin embargo útil cuando se requieren más de tres variables para describir el estado de un sistema económico, termodinámico, mecánico, etc., cuando se considera que las variables pueden asumir cualquier valor real. I.3 Conjuntos de puntos en el plano Se acostumbra a definir la pertenencia de un punto (x,y) a un dado conjunto S con una expresión tal como las siguientes: S1 = {(x,y) / x2 + y2 ≤ 4} ; S2 = {(x,y) / y > x2} Estos conjuntos se pueden representar gráficamente en el plano xy como se muestra a continuación:

No todos los conjuntos pueden ser representados claramente aun cuando la expresión que los define no deje lugar a dudas. Por ejemplo si Q denota el conjunto de los números racionales, entonces el conjunto S3 = {(x,y) / xєQ , yєQ} no admite una representación clara. La representación gráfica en el plano de un conjunto dado puede ser también un arco de curva o una curva cerrada o una línea sin extremos, por ejemplo los siguientes: S31 = {(x,y) / y = x2 ; -2 ≤ x ≤ 2 } es un arco de parábola S32 = {(x,y) / x2 + y2 = 1} es una circunferencia (línea cerrada) S33 = {(x,y) / y = 3x + 5} es una recta (línea abierta)

2

2

x

y

x

y

S1

S2

Figura I.4

x1

y1

z1 P1

*

Figura I.3

Pag 5

δ-Entorno circular de un punto (x0,y0): se denomina así a un conjunto de puntos (x,y) que verifican la condición (x – x0)

2 + (y – y0)2 < δ2, donde δ > 0. Corresponde a los puntos de un

círculo de radio δ centrado en (x0,y0) que no incluye a la circunferencia límite pero sí incluye al punto (xo, yo) δ-Entorno reducido de un punto (x0,y0): es una vecindad del mismo que no lo incluye, es decir, un conjunto que verifica 0 < (x – x0)

2 + (y – y0)2 < δ2

Punto perteneciente a un conjunto S: un punto (x0,y0) pertenece a un conjunto S dado cuando se verifican para el mismo las reglas de pertenencia. Si las reglas de pertenencia no se verifican, entonces el punto no pertenece al conjunto. Se pueden distinguir, sin embargo, distintas categorías Punto interior de un conjunto S: un punto (x0,y0) es un punto interior del conjunto S si existe al menos un entorno del mismo que está completamente incluido en S. Esto significa que (x0,y0) está rodeado de puntos todos pertenecientes a S y que además el propio punto pertenece al conjunto. Punto exterior: un punto (x0,y0) es un punto exterior al conjunto S si existe al menos un entorno del mismo que no tiene puntos pertenecientes a S. El propio punto y sus vecinos no pertenecen al conjunto. Punto aislado: es un punto que pertenece al conjunto S, pero existe al menos un entorno reducido del mismo que no tiene ningún punto perteneciente a S Punto frontera : un punto (x0,y0) es un punto frontera del conjunto S si cualquier entorno del mismo incluye puntos que pertenecen al conjunto y puntos que no pertenecen. El punto frontera puede pertenecer o no al conjunto. Repasando los conjuntos que ya se han definido observamos que el conjunto S1 (figura I.4) tiene puntos interiores y puntos frontera que conforman la circunferencia de radio 2, y que también pertenecen al conjunto El conjunto S2, de la misma figura, tiene puntos interiores y puntos frontera que conforman la parábola y = x2 que no pertenecen al conjunto. En el caso de los conjuntos S31, S32 y S33, definidos anteriormente, todos los puntos son puntos frontera incluidos en el conjunto. En la figura que sigue se representa el conjunto : S4 = {(x,y) / x2 + y2 > 4 ^ x2 + y2 ≤ 9} y se indican los distintos tipos de puntos característicos.

Punto frontera perteneciente a S

Punto interior

Punto frontera no perteneciente a S

Puntos exteriores

S4 o

o

o

o

o

Figura I.5

Pag 6

Conjunto abierto de puntos: Un conjunto abierto de puntos es aquel cuyos puntos son todos puntos interiores. Esto corresponde a conjuntos que no tienen fronteras o las que tienen no están incluidas. El conjunto S2 (figura I.4) es, de acuerdo con esta definición, un conjunto abierto de puntos. Conjunto cerrado de puntos: En distintos textos se indica que un conjunto cerrado de puntos es aquel que incluye a todos los puntos interiores y a todos los puntos frontera. Es decir que un conjunto de puntos se considera cerrado cuando tiene fronteras y todas están incluidas en el conjunto. Esta definición se ajusta perfectamente al caso del conjunto S1 (figura I.4), y también al caso de los conjuntos S31 y S32. Pero se debe tener en cuenta que esta definición está pensada para conjuntos que están completamente rodeados por fronteras incluidas. Cuando se considera un conjunto similar al S2 pero con la frontera y = x2 incluida en el conjunto, tal como S6 = {(x,y) / y ≥ x2 }, no es posible clasificar a este conjunto como cerrado ya que se puede avanzar en algunas direcciones sin encontrar nunca un “cierre”. En este caso, y también en el caso de S4 (figura I.5), el conjunto no es abierto ni cerrado. El hecho de que un conjunto de puntos sea abierto o cerrado, que incluya o no a alguna de sus fronteras, tiene mucha importancia en la determinación de extremos absolutos en funciones de múltiples variables. Se suele denominar con el nombre de “Recinto” a un conjunto cerrado de puntos. Conjuntos conexos: Un conjunto conexo de puntos es aquel en el cual dos puntos cualesquiera del conjunto se pueden conectar mediante una línea curva o quebrada totalmente perteneciente al conjunto. Conjuntos simple y múltiplemente conexos: Un conjunto conexo es simplemente conexo si cualquier curva simple cerrada perteneciente al mismo se puede ir reduciendo hasta un punto de modo que pase siempre por puntos que pertenecen al conjunto. Esto significa que no hay huecos en el conjunto. En caso contrario el conjunto conexo se denomina múltiplemente conexo. Algunos autores resaltan un caso particular de conjunto simplemente conexo y al que denotan con el nombre de convexo: es aquel en el cual dos puntos cualesquiera del conjunto pueden conectarse mediante un segmento de recta totalmente perteneciente al mismo

Conjunto conexo Conjunto conexo Conjunto disconexo

Figura I.6

Pag 7

Todos los conceptos enunciados para conjuntos de puntos en un plano se pueden extender sin dificultad para el caso de conjuntos en el espacio, en este caso las fronteras (en general) son superficies cuya representación gráfica es objeto del próximo capítulo. Los conceptos lógicos y matemáticos, sin embargo, pueden ser extendidos a espacios Rn I.4 Espacios vectoriales Los puntos de un plano cartesiano o del espacio cartesiano se pueden considerar también en correspondencia con un vector cuyo origen está en el origen de coordenadas y su extremo es el punto dado. A cada punto corresponde un único vector y a cada vector corresponde un único punto. Las coordenadas del punto se interpretan como componentes del vector asociado. Este concepto se generaliza sin dificultad para el caso de más de tres variables. Es decir que en lugar de considerar al espacio como un conjunto de puntos, también se lo puede considerar como un conjunto de vectores, un espacio vectorial, cuya definición axiomática es la siguiente: Se denomina espacio vectorial V a un conjunto no vacío de elementos a, b, c, …. llamados vectores, donde están definidas dos operaciones: adición (+) y multiplicación por un escalar (* ) que satisfacen los siguientes axiomas Para todo (a, b, c) perteneciente a V y para todo (α, β) perteneciente a R

a. Ley de cierre bajo la adición a + b pertenece a V b. Ley de cierre bajo el producto α*a pertenece a V c. Conmutatividad a + b = b + a d. Asociatividad (a + b) + c = a + (b + c) e. Existencia del elemento neutro para la suma. Existe 0 perteneciente a V tal que

a + 0 = a f. Existencia del elemento opuesto. Existe (-a) perteneciente a V tal que a + (-a) = 0 g. Propiedad distributiva 1 α* (a + b) = α*a + α*b h. Propiedad distributiva 2 (α + β)*a = α*a + β*a i. El escalar 1 es neutro en el producto 1*a = a j. Propiedad asociativa del producto (α.β)*a = α*(β*a)

Ejemplos: Las “n-uplas” de números reales constituyen un espacio vectorial mediante la definición de la adición como (a1,b1, c1,…n1) + (a2,b2, c2,…n2) = (a1+a2,b1+b2, c1+c2,…n1+n2) y del producto por un escalar en la forma α*(a1,b1, c1,…n1) = (α.a1, α.b1, α.c1,… α.n1)

Simplemente conexo

doblemente conexo

triplemente conexo

Figura I.7

Pag 8

El conjunto de todas la matrices de m filas por n columnas, bajo las operaciones de adición y producto por un escalar definido para matrices también constituye un espacio vectorial El conjunto V(x) = {a0 + a1x +a2x

2 + ….. + anxn} donde los ai pertenecen a R y n pertenece a

naturales, es el conjunto de polinomios de hasta grado n en la variable x. Este conjunto constituye un espacio vectorial bajo las reglas conocidas de suma de polinomios y producto de un polinomio por un escalar. Se observa que la definición axiomática de vector incorpora, junto a flechas y segmentos orientados, otros elementos muy diferentes pero que comparten las mismas propiedades matemáticas, por ejemplo: Dado un espacio vectorial V = {a1, a2, a3, ……} un subconjunto de k vectores del mismo se dice que es linealmente independiente si entre ellos no existe ninguna relación de la forma α1*a1 + α2*a2 + α3*a3 + …. + αk*ak = 0 salvo la combinación trivial con todos los αi = 0 Un subconjunto de k vectores U = { u1, u2, u3, ……, uk} incluido en V constituye una base de V cuando:

- Los vectores u1, u2, u3, ……, uk son linealmente independientes - Cualquier vector v perteneciente a V puede ser obtenido o expresado como una

combinación lineal de los k vectores ui es decir v = α1*u1 + α2*u2 + …. + αk*uk En un espacio vectorial puede haber diferentes bases (infinitas) pero todas tienen la misma cantidad de elementos. Este número k, la cantidad de elementos de cualquiera de sus bases, constituye la dimensión del espacio y se escribe dim V = k y el espacio se denota también por R

k Si U = { u1, u2, u3, ……, uk} es una base de V entonces cualquier vector de V tiene una única representación en relación a esta base v = α1*u1 + α2*u2 + …. + αk*uk y los números αi constituyen las coordenadas del vector v en relación a la base U Teniendo en cuenta que estos conceptos pueden ser aplicados a otros espacios vectoriales, se volverá a insistir en los mismos sobre el final del curso, para el tema de funciones ortogonales. I.5 Funciones En el curso previo de análisis matemático fue estudiado y desarrollado el concepto de función. En una forma simple se puede decir que una función f asocia a cada elemento de un conjunto de partida A (denominado dominio de f) con uno y sólo uno de los elementos de un conjunto de llegada B (denominado imagen de f o imagen de A a través de la función f)

En el caso general A y B pueden ser conjuntos de cualquier naturaleza, sin embargo por su generalidad, es muy importante el caso en que A y B son

A

B

Figura I.8

Pag 9

subconjuntos del conjunto R de los números reales. En este caso, las funciones de R en R se denominan funciones reales de variable real. Se acostumbra a designar con la letra x a los elementos del conjunto de partida y con la letra y o bien con f(x) a los elementos del conjunto de llegada. Obsérvese que la función no es f(x). La función f puede ser entendida como una máquina que cuando recibe un elemento del conjunto de partida lo procesa de acuerdo con reglas inherentes a la misma y genera un único elemento y = f(x) del conjunto de llegada. El concepto de función puede ser extendido sin dificultad a los casos en que el conjunto de partida o dominio es un subconjunto de R

m y el conjunto de llegada o imagen es un subconjunto de R

n. Tenemos así los siguientes tipos básicos de funciones: a) m = 1, n > 1. Funciones vectoriales de variable real. El conjunto de partida es un subconjunto de los números reales. La variable independiente se denomina parámetro y se suele representar con las letras t, p, λ, etc. El conjunto de llegada es un espacio vectorial de dimensión n. El resultado de la función es un vector r(t) definido también por las ecuaciones paramétricas ┌ │x1 = f1(t) │x2 = f2(t) r(t) ┤x3 = f3(t) │……….. │xn = fn(t) └ ┌ x = x(t) En el caso particular de n = 2, las ecuaciones r (t) ┤ └ y = y(t) corresponden a una curva plana, p. ej., la trayectoria de un tiro oblicuo donde el parámetro t es el tiempo y el vector r(t) es el que va desde el origen de coordenadas a cada punto de la curva. Cualquier curva plana y = f(x) puede ser interpretada como una función de este tipo. Es suficiente con tomar a x como parámetro y se tiene

┌ x = x r(x) ┤

└ y = f(x) ┌ x = x(t) En el caso particular de n = 3, las ecuaciones r (t) ┤ y = y(t) └ z = z(t) corresponden a una curva alabeada en el espacio, como p. ej., la trayectoria del vuelo de un pájaro. Una recta en el espacio está definida por ecuaciones paramétricas de este tipo: ┌ x = x0 + α.t r (t) ┤ y = y0 + β.t └ z = z0 + γ.t donde P0 = (x0,y0,z0) es un punto conocido de la recta y (α,β,γ) son las componentes de un vector con la misma dirección de la recta

Pag 10

Aunque este tipo de funciones fue objeto de estudio en cursos previos, volveremos sobre las mismas en la introducción a integrales curvilíneas. b) m > 1, n = 1. Funciones reales de variable vectorial o campos escalares. El conjunto de partida es un espacio vectorial con m variables independientes mientras que el resultado de la función es un número real. Algunos ejemplos: Una función que describe la temperatura en cada punto de un ambiente T = f(x,y,z) La ley de estado de los gases ideales T = p.v/k con las variables independientes p y v La ecuación de un plano en el espacio z = ax + by + c . Paraboloide z = ax2 + by2 + c Una ecuación que describe una propiedad variable de un sólido particular p. ej. la densidad δ(x,y,z) = ax2 + by2 + cz2 El estudio de estas funciones ocupará la mitad del presente curso. c) m > 1, n > 1. Funciones vectoriales de variable vectorial o campos vectoriales. Tanto los elementos del conjunto de partida como los del conjunto de llegada son vectores. Cada una de las n componentes del vector de llegada es una función de las m componentes del vector de partida. Ejemplo de funciones de este tipo son: La velocidad de la corriente de agua en una sección transversal de un río o arroyo con un flujo estacionario v(x,y) = vx (x,y)i + vy(x,y)j + vz(x,y)k La fuerza gravitatoria ejercida por la tierra (masa M) sobre una partícula de masa m situada por encima de la superficie cuando el sistema de coordenadas se considera en el centro de la tierra F(x,y,z) = [-GMm/(x2 + y2 + z2)3/2].(xi + yj + zk) El estudio de estas funciones ocupará el tercer cuarto del presente curso. I.6 Ejercitación En los ejercicios 1 a 6 hacer un bosquejo del conjunto indicado, dar la ecuación de las fronteras o describirlas, e indicar si el conjunto es abierto, cerrado o ninguno de estos.

1. S = {(x,y) є R2 : 2 ≤ x ≤ 4; 1 ≤ y ≤ 5} 2. S = {(x,y) є R2 : x2 + y2 < 4}

3. S = {(x,y) є R2 : 0 < x2 + y2 ≤ 4}

4. S = {(x,y) є R2 : 1 < x ≤ 4}

5. S = {(x,y) є R2 : x = 0; y = 1/n con n є N}

6. S = {(x,y) є R2 : 0 ≤ y –x2 + 2x; 2 ≤ y}

Pag 11

En los ejercicios 7 a 9 hallar, cuando sea posible, un punto exterior y un punto interior al conjunto dado. Analizar si el conjunto es conexo.

7. S = {(x,y) є R2 : xy ≥ 1} 8. S = {(x,y) є R2 : x + y = 1}

9. S = {(x,y) є R2 : (y – x2 + 2)(y + x2 – 4) > 0}

10. Definir un conjunto conexo cuyos puntos sean todos puntos frontera.

11. Definir un conjunto que sea doblemente conexo.

Pag 12

Sección II Funciones reales de variable vectorial II.1 Funciones de dos o más variables independientes Ya se ha visto que el conjunto de “n-uplas” de números reales conforman un espacio vectorial que denotamos por R

n, y que es equivalente a un espacio de puntos o de vectores donde los conjuntos (x1,x2,…,xn) representan las coordenadas de los puntos o las componentes de los vectores en relación a un dado sistema de referencia, de manera que cada elemento del conjunto puede ser también referenciado como un punto P, o como un vector p. Si D es un conjunto incluido en R

n, toda relación f que hace corresponder a cada elemento de D uno y solo un número real f : D → R es una función real de n variables independientes también denominada función real de variable vectorial, función de punto o campo escalar y que se suele escribir como z = f(x1,x2,…,xn) o bien z = f(P) y también z = f(p) El conjunto D, también denominado conjunto de partida, es el dominio de la función. A cada elemento de D (punto o vector) corresponde un número real que se denomina imagen de ese punto a través de la función f. Todas las imágenes de los puntos del dominio conforman un conjunto de números reales que es el conjunto imagen, rango o recorrido de la función. El caso más sencillo es el de funciones de dos variables independientes que se ve a continuación, pero las propiedades de las mismas y los conceptos principales se pueden extender sin dificultad al caso de funciones de tres o más variables. II.2 Funciones reales de dos variables independientes Las funciones de dos variables se expresan usualmente como z = f(x,y) donde f indica la serie de operaciones a que deben someterse las componentes del par (x,y) para obtener el resultado

z, por ejemplo: z = 4x2 + y2 + 3; z = ln(4 – x2 – y2); x.yz = ; etc.

El conjunto de todos los pares (x,y) que reemplazados en la definición de la función dan por resultado un número real para z, conforman un conjunto que se denomina campo de definición o dominio natural de la función. El dominio natural de z = 4x2 + y2 + 3 es todo el plano R

2 que es un conjunto simplemente conexo y abierto. El dominio natural de z = ln(4 – x2 – y2) es el conjunto D = {(x,y) / x2 + y2 < 4} porque sólo dan resultado real los logaritmos naturales de números positivos. Este conjunto, que también es simplemente conexo y abierto, se representa en la figura II.1(a)

El dominio natural de la función x.yz = es el conjunto D = {(x,y) / x.y ≥ 0}, está

conformado por el primer y tercer cuadrante del plano xy incluyendo a los ejes coordenados, ya que las raíces pares de números negativos no dan un resultado real. Este conjunto se representa en la figura II.1(b)

Pag 13

El dominio de una función puede restringirse a un subconjunto del dominio natural, ya sea porque la naturaleza del problema que involucra a la función así lo exige, o porque existen otros condicionamientos, o porque se pretende estudiar la función en determinado subconjunto. Por ejemplo, si z = 10 / (x2 + y2 + 1) representa la temperatura en cada punto (x,y) de una placa plana material, el campo de definición es todo el plano, pero si la placa es un círculo de radio a entonces el dominio debe restringirse a ese círculo ya que no tiene sentido la temperatura de la placa en puntos exteriores a la misma. II.3 Representación gráfica de la función de dos variables El conjunto de los puntos cuyas coordenadas son (x,y,f(x,y)) conforman, por lo general, una superficie en el espacio tridimensional que puede ser representada gráficamente utilizando la técnica de la perspectiva. En las figuras siguientes se puede observar la representación gráfica de las funciones básicas de dos variables. planos: la ecuación general de un plano es Ax + By + Cz = D donde A, B, C, D son números reales no todos nulos. Salvo que sean planos paralelos a los planos xz o yz, siempre se puede despejar z = ax + by + c

planos paralelos a los planos coordenados: z = 2; y = 2; x = 2 (figura II.2 a,b.c)

x

y

2

2

x

y

(a) (b) Figura II.1

x x

x

y y

z z

z 2

2

2

(a) (b) (c)

Figura II.2 Planos paralelos a los planos coordenados

Pag 14

planos inclinados respecto de los tres ejes: z = 3x + 2y; z = -3x - 2y + 6 Una forma simple para efectuar la representación gráfica (y casi obligada cuando el punto (0,0,0) pertenece al plano), se tiene trazando las rectas que son intersección de plano dado con los planos coordenados xz (y = 0) e yz (x = 0). En el caso de z = 3x + 2y estas rectas son z = 3x (en el plano xz) y z = 2y (en el plano yz), todos los segmentos que tienen sus extremos en puntos de estas rectas pertenecen al plano dado. Ver figura II.3(a). En otros casos, como en z = -3x - 2y + 6, se puede simplificar la representación gráfica determinando la intersección del plano dado con los ejes coordenados (x0,0,0); (0,y0,0) y (0,0,z0). El triángulo determinado por estos tres puntos pertenece al plano dado. En el caso de la función dada se observa que estos puntos son: (2,0,0), (0,3,0) y (0,0,6). Ver figura II.3(b)

Superficies cilíndricas: cuando en la expresión de la función falta una de las variables, esto podría dibujarse como una curva en el plano de las dos variables que figuran en la ecuación, es decir para el valor cero de la variable faltante. Pero como la relación es válida para cualquier valor de la variable faltante, entonces la superficie está conformada por las infinitas curvas que se obtienen deslizando la primera en forma paralela al eje de la variable faltante. En la figura siguiente se muestran tres superficies de este tipo. El ejemplo es válido para planos que son paralelos a uno de los ejes coordenados.

(a) 2

x-4z = (b) cos(y)x = (c) 2

yz =

figura II.4 Superficies cilíndricas

(a) (b)

Figura II.3 Planos inclinados

x x

z z

y y

(0,0,6)

(0,3,0)

(2,0,0)

z=2y

z=3x

z = 3x + 2y z = -3x - 2y + 6

Pag 15

superficies de revolución: toda función de la forma z = f(x2 + y2) tiene la particularidad de que es una función constante para todos los puntos (x,y) que están a una misma distancia del eje z. En efecto, si caracterizamos esa distancia con la variable r, entonces x2 + y2 = r2 y resulta z = f(r2). La superficie se puede obtener trazando en el plano yz la curva que resulta de poner x = 0 en la función y luego haciendo rotar esta curva alrededor del eje z. Algunos ejemplos son z = x2 + y2; z = cos (x2 + y2); z = ln(x2 + y2); etc. En la figura siguiente se han graficado las dos primeras funciones indicadas (a) z = x2 + y2 (b) z = cos(x2 + y2)

Figura II.5 Superficies de revolución

superficies cuádricas: estas corresponden a ecuaciones de la forma Ax2 + By2 + Cz2 + D = 0 de las cuales se puede despejar a una de la variables como dos funciones opuestas de las restantes:

22

by

ax

1c.z

±

±±= y 22

by

ax

1c.z

±

±±−= la utilización de los signos ±

dentro del integrando indica que se deberá usar uno u otro dependiendo de los signos de A, B, C y D en la ecuación original. Estas superficies son simétricas respecto de los planos coordenados y del origen de coordenadas También son superficies cuádricas las que corresponden a ecuaciones de la forma Ax2 + By2 + Cz = 0, en las que z está claramente definida como una función implícita de x e y que se puede despejar directamente : z = ax2 + by2. Estas superficies son simétricas respecto de los planos coordenados pero no respecto del origen de coordenadas Las ecuaciones y gráficas de los tipos generales de cuádricas se ven a continuación.

elipsoide: 1cz

by

ax

222

=

+

+

Cuando los semiejes a, b y c son iguales a = b = c = R se tiene un caso particular que corresponde a una superficie esférica de radio R: x2 + y2 + z2 = R2

hiperboloide de una hoja: 1cz

by

ax

222

=

−

+

hiperboloide de dos hojas: 1cz

by

ax

222

=

+

−

−

Pag 16

cono elíptico: 0cz

by

ax

222

=

−

+

paraboloide elíptico: 22

by

ax

z

+

=

paraboloide hiperbólico: 22

by

ax

z

−

=

elipsoide hiperboloide de una hoja hiperboloide de dos hojas

cono elíptico paraboloide elíptico paraboloide hiperbólico (silla de montar)

Figura II.6

Líneas de contorno. Curvas de nivel: estas curvas ofrecen otro modo representar una superficie alabeada en el espacio tridimensional mediante un mapa plano. La intersección de la superficie z = f(x,y) con un plano paralelo al plano xy, es decir z = k, donde k pertenece al rango de f(x,y), es una curva en el espacio denominada línea de contorno y conformada por el conjunto de puntos que satisface simultáneamente las ecuaciones ┌ z = f(x,y) └ z = k La proyección de las curvas de contorno sobre el plano xy son las curvas de nivel, dadas por las ecuaciones f(x,y) = k . Cada curva de nivel es el subconjunto de puntos del dominio de la función para los cuales la función es constante. Mediante el estudio de las curvas de nivel se puede tener una idea bastante clara de la forma de la superficie: puntos más elevados o más sumidos, pendientes más pronunciadas, suaves o abruptas; pero para esto es imprescindible que cada curva tenga indicado el nivel al que

Pag 17

corresponde. Algunos autores se refieren en forma indistinta al conjunto de curvas como curvas de nivel, curvas de contorno o mapa de contorno. En la figura siguiente se muestran las curvas de nivel correspondientes a un paraboloide de revolución. superficie líneas de contorno curvas de nivel

Figura II.7

Las funciones de tres o más variables independientes no admiten una representación gráfica en el plano. En el caso de tres variables, w = f(x,y,z), los conjuntos de puntos (x,y,z) para los cuales el valor de la función es constante, responden a la ecuación f(x,y,z) = k, que define a una de las variables como función implícita de las otras dos y se puede representar como una superficie en el espacio denominada superficie de nivel. II.4 Ejercitación

1. Para la función yyxy)f(x, 2 += determinar cada valor:

a) f(2,1) b) f(3,0) c) f(1,4) d) f(a,a4) e) f(1/x,x4) f) f(2,-4) g) ¿cuál es el dominio natural de la función?

2. Para la función g(x,y,z) = x2sen(yz) determinar cada valor

a) g(1,π,2) b) g(2,1,π/6) c) g(4,2,π/4) d) g(π,π,π)

3. Determinar F(g(t), h(t)) si F(x,y) = x2.y, g(t) = t.cost y h(t) = sec2t En los ejercicios 4 a 8 bosquejar la gráfica de la función propuesta 4. f(x,y) = 6 5. f(x,y) = 6 – x – 2y

6. 22 y-x-16y)f(x, =

7. f(x,y) = 3 – x2 – y2

Pag 18

8. ( )22 yx-ey)f(x, +=

En los ejercicios 9 a 11, bosquejar las curvas de nivel z = k para los valores de k indicados

9. z = ½ (x2 + y2) k = 0; 2; 8 10. z = x2/y k = -4; -1; 0; 1; 4

11. 2

2

yxyx

z++= k = 0; 1; 2; 4

12. Sea 1yx

xy)T(x,

22

2

++= la temperatura en un punto (x,y) del plano. Trazar las

curvas isotermas correspondientes a los valores T = 1/10; 1/5; 1/2; 0

En los ejercicios 13 a 15, describir geométricamente el dominio natural de la función de tres variables indicada

13. 16-zyxz)y,f(x, 222 ++=

14. 222 144z-9y-16x-144z)y,f(x, =

15. f(x,y,z) = ln(x2 + y2 + z2)

16. Dada la función yx

xyy)f(x,

+= bosquejar en un mismo gráfico el dominio natural y

las curvas de nivel que pasan por los puntos (1,-2) y (3,-4)

Pag 19

Sección III Límite. Continuidad III.1 Concepto de Límite en funciones de varias variables Sea f(x,y) una función con dominio D, y sea (a,b) un punto interior o un punto frontera de D. Se dice que f(x,y) tiene el límite L cuando (x,y) tiende a (a, b), y se escribe:

Ly)f(x,limb)(a,y)(x,

=→

, si para cada ε positivo y tan pequeño como se quiera, existe un δ-entorno

reducido del punto (a,b), 0 < (x-a)2 + (y-b)2 < δ2, tal que │f(x,y) - L│ < ε para todo (x,y) que pertenece a D y está incluido en ese entorno. En el caso general de funciones de n variables independientes, se considera una función f(P) con dominio nRD ⊆ y un punto Q, que es un punto interior o un punto frontera de D (significa que Q puede pertenecer o no a D, pero que cualquier entorno reducido de Q incluye puntos de D). Se dice que f(P) tiene límite L cuando P tiende a Q, y se escribe L f(P)lim

QP=

→, si para

cualquier ε positivo y tan pequeño como se quiera, se puede hallar un δ también positivo, tal que se puede mantener la relación │f(P) - L│ < ε para todo P perteneciente a D cuya distancia, al punto Q es menor que δ pero no nula, es decir 0 < │PQ│< δ Este límite se denomina doble o simultáneo, ya que implica una aproximación de todas las variables independientes a las coordenadas del punto Q. Es importante tener en cuenta las siguientes consideraciones:

El valor de la función en el punto Q no interesa. La función podría incluso no estar definida en el punto. Lo que interesa es el comportamiento de la función f(P) a medida que P se aproxima a Q. Para estudiar este comportamiento se pueden utilizar distintas trayectorias de aproximación hacia el punto Q que deben estar incluidas en el dominio de la función. Las trayectorias usuales son rectas o parábolas. Por ejemplo, en el caso de dos variables: y-b=m(x-a), y-b= k(x-a)2 o bien (x-a)=k(y-b)2 Si el límite existe debe ser único. Si por alguna de esas trayectorias el límite no existe o para distintas trayectorias da valores diferentes entonces el límite simultáneo no existe. Por esta razón, el estudio por diferentes trayectorias es utilizado fundamentalmente para demostrar la inexistencia del límite y no para su determinación.

Las funciones polinómicas, como por ejemplo, f(x,y) = ax3 + bx2y + cxy2 + dy3 + e tienen límite en cualquier punto del plano y ese límite coincide con el valor de la función en el punto. De las funciones racionales f(x,y) = p(x,y)/q(x,y), donde p y q son polinomios, se puede asegurar que tienen límite, excepto para los puntos donde el denominador se anula, ahí puede ser que el límite exista o no.

Pag 20

Limites iterados o reiterados: Para el caso de dos variables se calculan del modo siguiente:

=

→≠→y)f(x,limlimL

bya,xax1

=

→≠→y)f(x,limlimL

axb,yby2

Si ambos límites existen y también existe el límite doble o simultáneo L, entonces se verifica que L1 = L2 = L Si los límites iterados existen y son distintos, entonces el límite simultáneo no existe. Si los límites iterados existen y son iguales o si alguno de ellos no existe, entonces no se puede afirmar nada acerca de la existencia del límite simultáneo.

Ejemplo 1: Calcular el límite, si existe, de f(x,y) = (x2 – y2) /(x + y) cuando (x,y) tiende a (0,0). Desarrollando la diferencia de cuadrados del numerador y teniendo en cuenta que el término (x + y) es tan pequeño como se quiera pero no nulo, y que por lo tanto puede simplificarse, se llega al límite de una función polinómica

0 y -xlimyx

y)-y)(x(xlim

yxyx

lim((0.0)y)(x,)(0,0y)x,(

22

(0,0)y)(x,==

++=

+−

→→→

Ejemplo 2: Demostrar que no existe el límite de f(x,y) = (x2 – y2) / (x2 + y2) cuando (x, y) → (0,0). Calculamos los límites iterados

10x0x

limyxyx

limlimL 2

2

0x22

22

0y0,x0x1 =

+−=

+−=

→→≠→ 1

y0y0

limyxyx

limlimL 2

2

0x22

22

0x0,y0y2 −=

+−=

+−=

→→≠→

Los límites iterados existen pero son distintos, por lo tanto el límite simultáneo no existe Ejemplo 3: Demostrar que no existe el límite de f(x,y) = sen(x.y)/(x2 + y2) para (x,y) → (0,0) Se verifica que los límites iterados son iguales: L1 = L2 = 0, pero esto no es garantía de la existencia del límite simultáneo. Utilizando una aproximación por rectas y = mx se tiene:

22

2

0x222

2

0x0x(0,0)y)(x, m1m

mx)sen(mx

limm1

m)m(1x

)sen(mxlimmx)f(x,limy)f(x,lim

+=

+=

+==

→→→→

El límite doble o simultáneo no existe ya que la función tiende a un valor que depende de la inclinación de la recta utilizada. III.2 Continuidad en un punto Decir que una función f(P) es continua en un punto Po de su dominio, significa que cuanto más se aproxima P a Po por cualquier trayectoria del dominio de la función, tanto más se aproxima f(P) a f(Po). En lenguaje matemático esto puede expresarse por: f(Po)f(P) Lim

PoP=

→

. La función está definida en Po . El límite de la función cuando P tiende a Po por cualquier trayectoria incluida en el

dominio de la función existe . El límite es igual a f(Po)

Pag 21

III.3 Continuidad en un conjunto Una función es continua en un conjunto S, cuando es continua en cada uno de los puntos del conjunto. Por supuesto que si el conjunto S no está completamente incluido en el dominio natural de la función, entonces no será continua en S.

Así, considerando la función yxy)f(x, 2 += se puede afirmar que no es continua en todo el

plano, porque hay puntos del mismo donde no está definida. Es continua en todos los puntos del dominio natural D = {(x,y): x2 + y ≥ 0} incluyendo los puntos de la frontera, y entonces es continua en cualquier otro conjunto S que esté completamente incluido en D. Se ha visto anteriormente que la función f(x,y) = (x2 – y2) / (x2 + y2) no es continua en (0,0) porque no existe el límite cuando (x,y) tiende a (0,0), pero es sencillo probar que la función es continua en el conjunto S = {(x,y): x2 + y2 > 0} III.4 Teoremas sobre continuidad de funciones compuestas: si g(P) es una función de n variables continua en Po y f(u) es una función de una variable que es continua en uo = g(Po), entonces la función compuesta de n variables F(P) = f(g(P)) es continua en Po. Por ejemplo sea g(P) = x2 + y2 que es continua en todo R2 y sea f(u) = 1/u, que es continua para todo u excepto u = 0. El teorema implica que la función 1/( x2 + y2) es continua en todo R2 excepto el origen de coordenadas (donde u = 0), pero cuidado que, aunque en este caso es evidente, no niega la continuidad en este punto, sólo afirma la continuidad en el resto de los puntos. Otro ejemplo: sea g(P) = xy continua en todo el plano y f(u) = sen(u) también continua para todo u. Entonces la función F(x,y) = sen(xy) es continua en todo el plano.

Si la función u = φ (x,y) es continua en (a,b), siendo uo = φ (a,b), y la función v = ψ(x,y) es continua en (a,b), siendo vo = ψ(a,b). Dada la función f(u,v) continua en (uo,vo) se puede afirmar que la función compuesta F(x,y) = f(φ(x,y),ψ(x,y)) es continua en (a,b). Por ejemplo sea φ(x,y) = sen (xy) continua en todo R2, sea ψ(x,y) = x + y también continua en todo R2 y f (u,v) = u/v continua para todo (u,v) excepto v = 0. El teorema implica que F(x,y) = (sen(xy))/(x+y) es continua en todo R2 excepto el origen de coordenadas, pero cuidado que no niega la continuidad en ese punto, sólo afirma la continuidad en los restantes. Este teorema se puede extender sin dificultad al caso de más de dos variables independientes. Si una función f(x,y) es continua en (xo,yo), entonces la función de una variable f (x,yo) es continua en xo y la función de una variable f(xo,y) es continua en yo. Esta propiedad se extiende a todos los puntos (x,y) donde la función es continua. Sin embargo la propiedad recíproca no es válida, una función puede ser continua respecto de x (con y constante), puede ser continua respecto de y (con x constante), pero no ser continua respecto de (x,y). Por ejemplo dada la siguiente función partida; ┌ 0 si (x,y) = (0,0) f(x,y) ┤ └ (x + y)2/(x - y) si (x,y) ≠ (0,0) se observa que f(x,0) es continua en x = 0 porque 0)0,0()0,(lim

0==

→fxf

x

del mismo modo se observa que f(0,y) es continua en y = 0 porque 0)0,0(),0(lim0

==→

fyfy

Pag 22

Sin embargo la función f(x,y) no es continua en (0,0). Para probar que el límite no existe se considera una trayectoria y = g(x) = x/(1+ mx ) con m ≠ 0 .

( )m4

mx)m(1x2mxx

lim

mx1x

-x

mx1x

x

limg(x))f(x,limy)f(x,lim 2

22

0x

2

0x0x(0,0)y)(x,=

++=

+

++

==→→→→

III.5 Superficies correspondientes a funciones continuas Si una función z = f(x,y) es continua en un recinto esto significa que la superficie que la representa por encima de ese recinto “se puede recorrer sin necesidad de dar saltos” para pasar de un punto a otro. III.6 Ejercitación En los ejercicios 1 a 4 determinar el límite indicado o demostrar que no existe 1. ( )32

(1,3)y)(x,xy-y3xlim

→ 2. ( )[ ]xy/3sen-(xy)xcoslim

2

)(2,y)(x, π→

3. 22

22

(0,0)y)(x, 3y3x)ysen(x

lim ++

→ 4.

44

22

(0,0)y)(x, y-xyx

lim+

→

En los ejercicios 5 a 9 definir el conjunto donde la función dada es continua

5. 1yx5-xyx

y)f(x, 22

3

+++= 6. )y-x-ln(1y)f(x, 22= 7. -1/222 )y-x-(4y)f(x, =

8. 2

22

x-yy3xyx

y)f(x,++= 9. 1y-xy)f(x, +=

10. Demostrar que no existe 22

(0,0)y)(x, yxxy

lim +→

11. Demostrar que no existe 24

2

(0,0)y)(x, yxyx

lim +→ (usar trayectorias de aproximación parabólicas)

12. Demostrar que 0yx

xylim 22

2

(0,0)y)(x,=

+→

13. Determinar g(x) para que la siguiente función partida sea continua en todo el plano

2y-x4y-x

y)f(x,22

= cuando x ≠ 2y pero f(x,y) = g(x) cuando x = 2y

Pag 23

14. Cada una de las funciones indicadas toma el valor que se deduce de su expresión cuando (x,y) ≠ (0,0) pero se le asigna el valor 0 en (x,y) = (0,0). ¿Cuáles son continuas en (0,0) y cuáles son discontinuas en ese punto?

a) 22 yx

xyy)f(x,

+= b)

22 yxxy

y)f(x,+

= c) 22

7/3

yxx

y)f(x,+

=

d) 22

22

yxy-x

xyy)f(x,+

= e) 42

22

yxyx

y)f(x,+

= f) 42

2

yxxy

y)f(x,+

=

Pag 24

Sección IV Derivadas y diferenciales IV.1 Derivadas parciales Derivada parcial respecto de x Sea f(x,y) una función con dominio D. Para cada punto P(x,y) perteneciente a D existe un valor de la función. Los tres valores (x,y,f(x,y)) pueden ser interpretados como las coordenadas de un punto en R3. Si f(x,y) es continua en un subconjunto S incluido en D, entonces los puntos (x,y,f(x,y)) pueden ser representados gráficamente en S como una superficie uniforme cuya proyección (sombra) sobre el plano xy es justamente el subconjunto S.

Si consideramos solamente los puntos (x,y) para los cuales y = y0, es decir los puntos (x,y0) del dominio, entonces la función es z = f(x,y0), una función de la variable “x” únicamente que puede ser representada como una curva plana en R3 cuyos puntos satisfacen simultáneamente las ecuaciones ┌ z = f(x,y) └ y = y0 y que, gráficamente, se interpreta como la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano y = y0.

Dado que f(x,y0) es una función de una variable, “x” en este caso, es posible calcular su derivada en un punto x0. Esta derivada se denomina derivada parcial de f(x,y) en el punto (x0,y0) y, de acuerdo con la definición, es:

x)y,f(x-)yx,f(x

lim)y,x(fxf 0000

0x00x

)yoxo,( ∆∆+==

∂∂

→∆

Así, dada f(x,y) = 3x2y + xy2 es f(x,y0) = 3x2y0 + xy0

2 para calcular la derivada parcial respecto de x aplicamos las reglas conocidas de derivación para funciones de una variable

resultando: 200

)yox,(

y6xyxf +=

∂∂

y entonces fx(x0,y0)= 6x0y0 + y02

La derivada parcial respecto de x de una función f(x,y) es también una función de las mismas variables, fx(x,y), que se calcula considerando que en f(x,y) “y” es una constante, que la única variable independiente es “x”, y aplicando las reglas de derivación para funciones de una variable.

Así resulta para la función f(x,y) = 3x2y+xy2 que ∂f/∂x = fx(x,y) = 6xy + y2

Pag 25

Derivada parcial respecto de y De modo análogo, si se consideran solamente los puntos (x,y) para los cuales x = x0, es decir los puntos (x0,y) del dominio, entonces la función es z = f(x0,y), una función de la variable “y” únicamente que puede ser representada como una curva plana en R3 cuyos puntos satisfacen simultáneamente las ecuaciones ┌ z = f(x,y) └ x = x0 y que, gráficamente, se interpreta como la intersección de la superficie z = f(x,y) con el plano x = x0.

Dado que f(x0,y) es una función de una variable, “y” en este caso, es posible calcular su derivada en un punto y0. Esta derivada se denomina derivada parcial de f(x,y) en el punto (x0,y0) y, de acuerdo con la definición, es

y)y,f(x-y)y,f(x

lim)y,x(fyf 0000

0y00y

)yoxo,(∆∆+==

∂∂

→∆

Así, dada f(x,y) = 3x2y + xy2 es f(x0,y) = 3x0

2y + x0y2 para calcular la derivada parcial

respecto de y aplicamos las reglas conocidas de derivación para funciones de una variable

resultando: y2x3xyf

020

y)(xo,

+=

∂∂

y entonces fy(x0,y0)= 3x02 + 2x0y0

La derivada parcial respecto de y de una función f(x,y) es también una función de las mismas variables, fy(x,y), que se calcula considerando que en f(x,y) “x” es una constante, que la única variable independiente es “y”, y aplicando las reglas de derivación para funciones de una variable. Así resulta para la función f(x,y) = 3x2y+xy2 que ∂f/∂y = fy(x,y) = 3x2 + 2xy

Interpretación geométrica de las derivadas parciales Al igual que en el caso de funciones de una variable, fx (x0,y0) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f(x,y0) en el punto x0 como se puede observar en la figura. Los puntos de esta recta son los que verifican simultáneamente las ecuaciones ┌ z – z0 = fx(x0,y0).(x - x0) └ y = y0 Para obtener las ecuaciones paramétricas de esa recta tangente paralela al plano xz elegimos como parámetro t = x - x0 con lo cual resultan las siguientes ecuaciones:

Pag 26

┌ x = x0 + t

┤ y = y0 └ z = f(x0,y0) + fx(x0,y0).t

Análogamente, fy (x0,y0) es la pendiente de la recta tangente a la curva z = f(x0,y) en el punto y0 como se puede observar en la figura. Los puntos de esta recta son los que verifican simultáneamente las ecuaciones ┌ z – z0 = fy(x0,y0).(y - y0) └ x = x0 Para obtener las ecuaciones paramétricas de esa recta tangente paralela al plano yz elegimos como parámetro t = y - y0 con lo

cual resultan las siguientes ecuaciones : ┌ x = x0

┤ y = y0 + t └ z = f(x0,y0) + fy(x0,y0).t Una simple interpretación física Sea un volumen V de un gas encerrado en un cilindro que está tapado por un émbolo de peso despreciable. Si el comportamiento del gas se aproxima al de los gases ideales y hay n moles del mismo dentro del cilindro, entonces p.V = n.R.T donde R es la constante de Raoult: R = 8.31 J/K.mol n es la cantidad de moles, constante dado que se considera que no hay escape ni incorporación de gas en el cilindro V es el volumen medido en m3 p es la presión en el seno del gas. pa es la presión atmosférica media = 1,013.105Pa T es la temperatura absoluta del gas medida en K Si el émbolo, de peso despreciable, puede desplazarse libremente entonces, dadas las condiciones antes mencionadas, debe ser p = pa y la ecuación de estado del gas encerrado es pa.V = nRT. La derivada parcial del volumen respecto de la temperatura, con presión constante es ∂V/∂T│p=pa= n.R/pa . Este número indica la razón de cambio del volumen respecto de la temperatura cuando la presión es constante e igual a pa .

Supóngase ahora que se traba o inmoviliza el émbolo cuando el volumen del gas alcanza un dado valor Vo. La ecuación de estado del gas a partir de ese momento es entonces p.Vo = nRT. La derivada parcial de la presión respecto de la temperatura con volumen constante es ∂p/∂T│V = V0 = nR/Vo. Este número indica la razón de cambio de la presión respecto de la temperatura cuando el volumen es constante.

Pag 27

Derivadas parciales en funciones de tres o más variables independientes El concepto de derivada parcial se extiende sin dificultad funciones de más de dos variables independientes. Así, para el caso de tres variables es

x)z,yf(x,-)z,yx,f(x

lim)z,yx,(fxf 0000

0x00x

)zoyo,x,( ∆∆+==

∂∂

→∆

y en forma análoga para las otras dos derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Por lo general las derivadas parciales de una función f(x,y) son también funciones de las mismas variables independientes y, como tales, admiten a su vez derivadas parciales que se denominan derivadas parciales segundas, terceras, y así sucesivamente. La notación para las derivadas de orden superior y la forma en que crece la cantidad posible de derivadas a medida que aumenta el orden de derivación se ve a continuación: ┌ ∂3f/∂x3 = fxxx ┌ ∂2f/∂x2 = fxx ┤ │ └ ∂3f/∂x2∂y = fxxy ┌ ∂f/∂x = fx ┤ │ │ ┌ ∂3f/∂x∂y∂x = fxyx │ └ ∂2f/∂x∂y = fxy ┤ │ └ ∂3f/∂x∂y2 = fxyy f(x,y) ┤ │ ┌ ∂3f/∂y∂x2 = fyxx │ ┌ ∂2f/∂y∂x = fyx ┤ │ │ └ ∂3f/∂y∂x∂y = fyxy └ ∂f/∂y = fy ┤ │ ┌ ∂3f/∂y2∂x = fyyx └ ∂2f/∂y2 = fyy ┤ └ ∂3f/∂y3 = fyyy Por supuesto que algunas funciones tienen derivadas nulas para algún orden de derivación. Por ejemplo f(x,y) = 2x + 3y tiene primeras derivadas constantes y segundas derivadas nulas. Pero aún en el caso de funciones continuamente derivables, no todas las derivadas de orden n son distintas entre sí. Así por ejemplo si f(x,y) = (x + 2y)-1 resulta fx = -( x + 2y)-2 fxx = 2( x + 2y)-3 fxy = 4( x + 2y)-3 fy = -2( x + 2y)-2 fyy = 8( x + 2y)-3 fyx = 4( x + 2y)-3 Se observa que las derivadas segundas fxy y fyx , denominadas derivadas segundas cruzadas o mixtas, son iguales. Este resultado no es casual sino que se da siempre bajo las condiciones expresadas en el siguiente teorema Teorema de Schwartz: Si las derivadas fxy y fyx son continuas en un conjunto abierto S, entonces son iguales en cada punto de S El teorema, bajo las condiciones exigidas, implica la igualdad de todas las derivadas mixtas ∂nf/∂xm∂yn-m sin importar el orden en que se calculan las derivadas sucesivas. También es válido para el caso de funciones de más de dos variables independientes, es decir que, por

Pag 28

ejemplo, son iguales todas las derivadas mixtas ∂nf/∂xp∂yq∂zn-p-q de una función de tres variables. IV.2 Diferenciabilidad Aproximación lineal en funciones de una variable Sea f(x) una función de una variable real que es derivable en en un punto x0 y en un entorno del mismo. Por el teorema del valor medio es ∆f = f´(x0 + θ.∆x). ∆x donde θ es un número comprendido entre 0 y 1 Dado que se supuso f(x) derivable en un intervalo abierto que incluye a x0, f´(x) es continua en ese intervalo entonces la diferencia f´(x0 + θ.∆x) - f´(x0) = ε(∆x) es un infinitésimo para ∆x tendiendo a cero. De aquí podemos despejar f´(x0 + θ.∆x) = f´(x0) + ε(∆x) y reemplazarlo en la expresión anterior ∆f = f´(x0).∆x + ε(∆x) .∆x El segundo miembro del incremento consta de dos partes. La segunda parte es un infinitésimo de orden superior al primero; significa que a medida que ∆x tiende a cero se hace despreciable frente al primero. La primera parte es la parte principal del incremento y se denomina diferencial de la función y se escribe df = f´(x0).dx. El incremento de la variable independiente se escribe indistintamente dx o ∆x , ya que la diferencial de una variable independiente coincide con su incremento. Lo anterior indica que en un pequeño entorno de x0, el incremento de la función puede ser aproximado por su diferencial ∆f ≈ df = f´(x0).∆x Como así también la función misma puede ser aproximada por una función lineal f(x) ≈ f(x0) + f´(x0).(x – x0) que es la recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto x0. Aproximación lineal en funciones de dos variables. Diferenciabilidad En consonancia con lo anterior, se dice que una función de dos variables es diferenciable en el punto (x0,y0) de su dominio, cuando su incremento a partir de ese punto puede expresarse “fundamentalmente” como una combinación lineal de los incrementos de las variables independientes, es decir cuando: ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y0) = A.∆x + B.∆y + ε1(∆x, ∆y). ∆x + ε2(∆x, ∆y). ∆y donde A y B son constantes, ε1(∆x, ∆y) y ε2(∆x, ∆y) son infinitésimos para (∆x, ∆y) tendiendo a (0,0). Si una función es diferenciable en un punto (x0, y0) entonces es continua en ese punto En efecto, a partir de la definición de diferenciabilidad es inmediato que

)y,f(x y)f(x,lim 00)y,(xy)(x, 00

=→

, el límite existe y es igual al valor de la función en el punto.

La propiedad recíproca no siempre es verdadera, una función puede ser continua en un punto y no ser diferenciable en ese punto. Si una función es diferenciable en un punto (x0, y0) entonces tiene derivadas parciales

Pag 29

En efecto, al considerar solamente los los puntos (x,y) para los cuales y = y0; ∆y = 0, el incremento de la función es f(x0 + ∆x, y0) - f(x0,y0) = A.∆x + ε1(∆x). ∆x

( ) Ax)(lim A x

)y,f(x - )yx,f(xlimy,xf 1

0x

0000

0x00x =∆+=

∆∆+=

→∆→∆ε

De modo análogo resulta fy(x0,y0) = B El valor de la función puede ser expresado entonces en la siguiente forma f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f(x0, y0) + fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y + ε1(∆x, ∆y) ∆x + ε2(∆x, ∆y)∆y Plano tangente Si una función es diferenciable en un punto (x0,y0) significa que puede ser aproximada en un entorno del punto por una función lineal f(x,y) ≈ f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x – x0) + fy(x0,y0) (y –y0). La función z = f(x0,y0) + fx(x0,y0)(x – x0) + fy(x0,y0)(y –y0) corresponde a un plano cuya cota z0, en el punto (x0,y0) coincide con el valor de la función en ese punto. Este es el plano tangente a la superficie f(x,y) en el punto (x0, y0, f(x0, y0)) Diferencial total de una función Si f(x,y) es diferenciable en (x0, y0) entonces su incremento puede expresarse mediante ∆f = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y + ε1(∆x, ∆y) ∆x + ε2(∆x, ∆y)∆y A medida que ∆x y ∆y tienden a cero, los términos que contienen a los infinitésimos ε1 y ε2 se hacen despreciables frente a los términos que contienen a las derivadas parciales, de aquí que el incremento de la función en un entorno pequeño del punto se puede aproximar por ∆f ≈ fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y El segundo miembro se denomina diferencial total de la función y se acostumbra a expresarlo poniendo las diferenciales de las variables independientes df = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy A continuación se ve un teorema que indica las condiciones que garantizan la diferenciabilidad de una función en un punto. Teorema IV.2 A:

Una función f(x,y) continua y con derivadas parciales primeras continuas en el punto (x0, y0) y en un entorno del mismo, es diferenciable en ese punto: El incremento de la función cuando se pasa del punto (x0, y0) a otro punto próximo (x0 + ∆x, y0 + ∆y) es ∆f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y0) Este pasaje puede hacerse por cualquiera de los caminos que conducen del punto de partida al punto final. Una posibilidad es la trayectoria en dos etapas: (x0, y0) → (x0, y0 + ∆y) y luego (x0, y0 + ∆y) →(x0 + ∆x, y0 + ∆y) El incremento de la función en la primera etapa es: ∆1f = f(x0, y0 + ∆y) - f(x0, y0) En la segunda etapa es: ∆2f = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y0 + ∆y) Dado que se ha supuesto que f(x,y) es continua en un entorno que incluye a estos puntos debe ser: ∆f = ∆2f + ∆1f

Pag 30

∆f = [f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) - f(x0, y0 + ∆y)] + [f(x0, y0 + ∆y) - f(x0, y0)] Por aplicación del teorema del valor medio se tiene: ∆f = fx(x0 + θ1∆x, y0 + ∆y)∆x + fy(x0, y0 + θ2∆y)∆y Como se ha supuesto la continuidad de las derivadas parciales es: fx(x0 + θ1∆x, y0 + ∆y) = fx(x0, y0) + ε1(∆x, ∆y) fy(x0, y0 + θ2∆y) = fy(x0, y0) + ε2(∆x, ∆y) Al reemplazar estos valores en la expresión anterior queda ∆f = fx(x0, y0)∆x + fy(x0, y0)∆y + ε1(∆x, ∆y) ∆x + ε2(∆x, ∆y)∆y Por lo tanto f(x,y) es diferenciable en el punto dado.

Diferenciabilidad en un conjunto La función f(x, y) es diferenciable en un conjunto abierto R si es diferenciable en cada punto de ese conjunto Expresiones vectoriales La expresión que da el valor de la función en un entorno del punto donde es diferenciable se puede simplificar y ganar en generalidad utilizando expresiones vectoriales Si se considera que p0 es el vector de componentes (x0, y0), h es el vector de componentes (∆x, ∆y) y ε(h) es el vector de componentes (ε1(h), ε2(h)) se puede escribir f(p0 + h) = f(p0) + (fx(p0) , fy(p0))·h + ε(h)·h El vector (fx(p0) , fy(p0)) = fx(p0)i + fy(p0)j se denomina vector gradiente de la función f(p) evaluado en el punto p0, se escribe ( )0pf∇ y es el resultado de aplicar el operador vectorial

∨∨

∂∂+

∂∂=∇ j

yi

x a la función f(p)

Considerando el vector gradiente, el incremento de la función en un punto p de su dominio donde es diferenciable es

hhhpphp ⋅+⋅∇+=+ )( )f()f() f( εεεε y la diferencial total de la función es

)f(df hp ⋅∇= Estas expresiones pueden extenderse sin dificultad al caso de funciones de más de dos variables independientes. Ejemplo de aplicación

Estimar el volumen de cobre necesario para construir una caja cerrada de cobre en forma de prisma recto con aristas x = 30 cm, y = 40 cm, z = 60 cm cuyas paredes tienen 1 mm de espesor. El volumen de la caja es V(x,y,z) = xyz. Si las aristas aumentan en las cantidades ∆x, ∆y, ∆z el volumen aumenta una cantidad ∆V y si ∆x = ∆y = ∆z = 0,2cm entonces ∆V coincide con el volumen ocupado por las paredes de cobre. En lugar de calcular ∆V, lo aproximamos por su diferencial: dV = yz∆x + xz∆y + xy∆z reemplazando los valores resulta

Pag 31

dV = (40.60.0,2 + 30.60.0,2 + 30.40.0,2) cm3 = 1080 cm3 Sólo con fines de comparación se calcula el valor real ∆V = (30.40.60 – 29,8.39,8.59,8) cm3 = 1075 cm3 El valor aproximado, dV, difiere del valor real tan sólo en 0,48%

Si bien el gradiente es un vector cuyas componentes son las derivadas parciales, es usual considerar que el gradiente en un punto existe, no por la mera existencia de las derivadas parciales en el punto, sino por la diferenciabilidad de la función en el punto. El concepto de diferenciabilidad permite aproximar la función f(p) en un entorno de un punto p0 mediante una función lineal z(p) tal que z(p0) = f(p0) = z0 esta función se puede expresar como )ppp 00 - ()f(z- z 0 ⋅∇=

En el caso de una función de dos variables esta función lineal corresponde a un plano que es tangente a la superficie f(x,y) en el punto (x0, y0, f(x0, y0)) y cuya ecuación es: z – z0 = fx(x0, y0).(x – x0) + fy(x0, y0).(y – y0), donde z0 = f(x0, y0) Ejemplo

Determinar la ecuación del plano tangente a la superficie z = x2 + y2 en el punto (1, 2, 5) fx = 2x fx(1, 2) = 2 fy = 2y fy(1, 2) = 4 La ecuación del plano tangente es entonces z – 5 = 2(x – 1) + 4(y – 2) o bien 2x + 4y – z = 5

IV.3 Derivadas direccionales Sea f(p) una función que es continua en p0 y consideremos la diferencia entre el valor de la función en un punto p, cercano a p0 y el valor de la función en p0 tal que p – p0 = h ∆f = f(p0 + h) – f(p0)

Esta expresión es válida para cualquier h. Pero ahora consideremos solamente los puntos p que están alejados respecto de p0 en la dirección y sentido de un dado versor ∨uuuu. Estos puntos están sobre el semieje con origen en p0

que tiene la dirección y sentido de ∨uuuu. Es evidente

entonces que se puede expresar ∨

== uuuuh- 0pph , donde h

es un número positivo ya que es el módulo del vector h.

Para estos puntos es )f(- )hf(∆f 00 pp∨

+= uuuu

Si ahora dividimos ambos miembros por el modulo de h resulta

h)f(-)hf(

hf 00 pp

∨+=∆ uuuu

x

y

po p

h

u

Pag 32

Este cociente incremental representa la razón media de cambio de la función entre el punto p0

y el punto p que está alejado una distancia h de p0 en la dirección del versor ∨uuuu.

El límite del cociente incremental para h tendiendo a cero, si existe, se denomina derivada

direccional de la función f(p) en el punto p0 y en la dirección del versor ∨uuuu.

h)f(-)hf(

lim)f(pD0h

0u00 pp

∨

→

+= uuuu y representa la razón de cambio de la función f(p) en el punto

p0 respecto de la distancia, en la dirección y sentido de ∨uuuu

Teorema IV.3 A

Si f(p) es diferenciable en p entonces tiene una derivada direccional en la dirección del

vector unitario ∨uuuu y su valor es

∨⋅∇= uuuu)f( )f(Du pp

Si f(p) es diferenciable en p, su incremento cuando ∨

= uuuuhh se puede expresar como

)(h)(h)(h)f()f(- )hf(∆f∨∨∨∨

⋅+⋅∇=+= uuuuuuuuεεεεuuuuuuuu ppp Entonces

∨∨∨∨

→

∨

→⋅∇=⋅+⋅∇=+= uuuuuuuuuuuuεεεεuuuuuuuu

)pf())(h)pf(limh

)pf(-)hpf(limf(p)D

0h0hu (

Interpretación geométrica de la derivada direccional en funciones de dos variables

La derivada direccional Duf(p0) es la pendiente de la recta tangente a la curva que es intersección de la superficie z = f(p) con un plano paralelo al eje z cuya traza en xy es una recta que pasa por p0 y tiene la dirección del versor u Duf(p0) es la tangente trigonométrica del ángulo α que forma la recta tangente con el semieje de origen en p0 y dirección de u Un vector paralelo a la recta tangente es v = u + u Duf(x0, y0)k =

uxi + uyj + Duf(x0, y0)k Las ecuaciones paramétricas de esta recta son entonces: ┌ x = x0 + ux.t

│ y = y0 + uy.t └ z = f(x0, y0) + Duf(x0, y0).t

Razón máxima de cambio de una función en un punto Dada una función f(p) en un punto p0 donde es diferenciable, se trata de determinar la dirección en que la función crece más rápidamente. Para una función de dos variables significa encontrar la dirección en la que la superficie es más empinada o tiene mayor pendiente y es equivalente a determinar la dirección en que es máxima la derivada direccional en p0

cosθ)f(θcos)f(u)f()f(pD 0u 000 ppp ∇=∇=∇⋅=∨uuuu , donde θ es el ángulo que forma el vector

gradiente con el versor u

Pag 33

Dado que cosθ es máximo cuando θ = 0 y mínimo cuando θ = π, la derivada direccional máxima en un punto se da en la dirección del vector gradiente en ese punto y su valor es

)f( 0p∇

La derivada direccional mínima en un punto se da en la dirección opuesta a la del vector gradiente y su valor es - )f( 0p∇

En las direcciones perpendiculares al vector gradiente es θ = π/2 y θ = 3π/2 resulta cosθ = 0 y por lo tanto la derivada en esas direcciones es nula. En el caso de dos variables el gradiente es fxi + fyj , y un vector en cada una de las dos direcciones perpendiculares se puede obtener haciendo el producto vectorial (fxi + fyj + 0k)x(0i + 0j ± 1k) Relación entre el vector gradiente y las curvas de nivel El gradiente de una función de dos variables evaluado en un punto del dominio donde la función es diferenciable, es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. Sea f(p) una función de dos variables y f(p) = f(p0) la ecuación de la curva de nivel que pasa por el punto p0. Sea p1 otro punto de la curva de nivel cercano a p0 y h = p1 – p0 Dado que ambos puntos están sobre la misma curva de nivel es ∆f = f(p0 + h) – f(p0) = 0 Como se ha supuesto que la función es diferenciable en p0 se puede decir que

0)( )f(f =⋅+⋅∇=∆ hhhp0 εεεε es decir hhhp0 ⋅=⋅∇ )(- )f( εεεε

A medida que p1 se acerca a p0 y el módulo de h disminuye, el término que contiene al infinitésimo tiende a cero más rápido que h. Entonces, para mantener la igualdad, debe suceder lo mismo con el término que contiene al gradiente, es decir que el producto escalar

hp0 ⋅∇ )f( tiende a cero más rápido que h.

Esto sólo es posible si h tiende a ser perpendicular al gradiente en el punto. Pero además h tiende a ser tangente a la curva de nivel porque es el vector entre dos puntos muy próximos de la misma. Se comprueba entonces que el gradiente evaluado en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto. El razonamiento empleado es válido para funciones de más de dos variables. Así el gradiente de una función de tres variables evaluado en un punto donde la función es diferenciable, es perpendicular a la superficie de nivel que pasa por el punto.

Pag 34

IV.4 Ejercitación En los ejercicios 1 a 8 determinar las derivadas parciales primeras de la función dada

1. f(x, y) = (2x – y)4

2. f(x, y) = (x2 – y2)/xy

3. f(x, y) = eysenx

4. f(x, y) = (x2 – y2)1/2

5. f(x, y) = e-xy

6. f(x, y) = arctan(4x – 7y)

7. f(x,y) = ycos(x2 + y2)

8. f(x, y) = 2sen(x)cos(y) En los ejercicios 9 y 10 verificar que fxy = fyx

9. f(x, y) = 2x2y3 – x3y5 10. f(x, y) = 3e2xcosy

11. Si F(x, y) = (2x – y)/xy calcular Fx(3, -2) y Fy(3, -2)

12. Si f(x, y) = arctan(y2/x) calcular fx(√5, -2) y fy(√5, -2)

13. Calcular la pendiente de la tangente a la curva que es intersección de la superficie

36z = 4x2 + 9y2 con el plano x = 3 en el punto (3, 2, 2)

14. Calcular la pendiente de la tangente a la curva que es intersección de la superficie

36 -y99x2z 22 += con el plano y = 1 en el punto (2, 1, 3/2)

15. El volumen V de un cilindro circular recto está dado por V = πr2h, donde r es el radio

y h es la altura. Si h se mantiene fijo en h = 10 pulgadas, determinar la razón de cambio del volumen respecto del radio cuando r = 6 pulgadas.

16. La ley del gas ideal indica que en estado de equilibrio termodinámico, la presión, el

volumen y la temperatura absoluta del gas verifican la ecuación de estado pV = kT, donde k es una constante. Determinar la razón de cambio de la presión (libras/pulgada cuadrada) respecto de la temperatura cuando esta es de 300ºK si el volumen se mantiene fijo en 100 pulgadas cúbicas.

17. Una abeja volaba hacia abajo a lo largo de la curva dada como intersección de

z = x4 + xy3 + 12 con el plano x = 1. En el punto (1, -2, 5) salió por la recta tangente.¿En que punto tocó la abeja el plano xy?

Pag 35

En los ejercicios 18 a 22 determinar el gradiente de la función dada

18. f(x, y) = x2y + 3xy 19. f(x, y) = xexy

20. f(x, y) = x2y/(x + y)

21. f(x, y, z) = (x2 + y2 + z2)1/2

22. f(x, y, z) = x2yex-z

En los problemas 23 y 24 determinar el gradiente de la función dada en el punto Po indicado y luego determinar la ecuación del plano tangente en Po

23. f(x, y) = x2y – xy2 Po = (-2, 3) 24. f(x, y) = cos(πx)sen(πy) + sen(2πy) Po = (-1, ½)

25. Determinar la ecuación del “hiperplano” tangente a f(x, y, z) = 3x2 – 2y2 + xz2 en el

punto Po = (1, 2, -1)

26. dadas f(x,y) y g(x,y) demostrar que 2ggf-fg

gf ∇∇=

∇

27. Determinar todos los puntos (x,y) en que la gráfica de z = x2 – 6x + 2y3 – 10y + 2xy

tiene un plano tangente paralelo al plano xy

28. Demostrar que el plano tangente a la gráfica de z = 1/xy en un punto (x0, y0) del dominio es x/x0 + y/y0 + x0y0z = 3

29. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta tangente a la superficie z = y + x3y

en el punto (2, 1, 9), cuya proyección sobre el plano xy es: a) paralela al eje x b) paralela al eje y c) paralela a la recta y = 2x

30. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta “Si existen

y son distintas de cero las derivadas parciales de f(x, y) en (a, b) entonces f(x, y) es diferenciable en (a, b)”

31. Para calcular el volumen de un cilindro se mide su radio r = 6 cm y su altura 10 cm.

Estimar mediante diferenciales el máximo error absoluto si el radio y la altura se miden con una precisión de ± 0,1 cm y se considera despreciable el error que se comete por redondear al número π = 3,1416. Demostrar que, considerando el error de redondeo, la estimación del error relativo está dada por ∆V/V = ∆π/π + 2∆r/r + ∆h/h

Pag 36

En los ejercicios 32 a 35 determinar la derivada direccional de la función en el punto P y en la dirección de a

32. f(x, y) = x2y P = (1, 2) a = 3i – 4j 33. f(x, y) = 2x2 + xy – y2 P = (3, -2) a = i – j

34. f(x, y) = exseny P = (0, π/4) a = i + √3j

35. f(x, y, z) = x3y- y2z2 P = (-2, 1, 3) a = i -2j + 2k

En los ejercicios 36 y 37 determinar un vector unitario en la dirección en que la función crece más rápidamente en P y la razón de cambio en esa dirección

36. f(x, y) = x3 – y5 P = (2, -1) 37. f(x, y, z) = x2yz P = (1, -1, 2)

38. Determinar la dirección en que f(x, y) = 1 – x2 - y2 decrece más rápido en P = (1, -2)

39. La temperatura en (x,y,z) de una bola con centro en el origen de coordenadas está dada

por T(x,y,z) = 200/(5 + x2 + y2 + z2) a) Por simple inspección encontrar el punto más caliente b) Determinar un vector que apunte en la dirección de mayor crecimiento de

temperatura en el punto (1,-1,1) c) Decidir si ese vector apunta hacia el origen (radial entrante)

40. Determinar el gradiente de f(x,y,z) = sen[(x2 + y2 + z2)1/2] y muestre que siempre es

radial saliente o radial entrante 41. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en el punto (x,y) es f(x,y). Un

montañista en P nota que la pendiente en la dirección Este es -1/4 y en la dirección Norte es -1/2 ¿En qué dirección debe moverse para el más rápido descenso?

42. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en (x,y) es 100/)y2-(x 22

3000e + El eje x apunta hacia el Este, el eje y apunta hacia el Norte . Un montañista que está directamente sobre (10,10) se mueve hacia el Norte. ¿Asciende o desciende y con qué pendiente?

43. La temperatura del aire en (x,y,z) está dada por T = 80/(x2 + y2 + z2 + 2). Una abeja

vuela alejándose del punto más caliente en el origen siguiendo una trayectoria espiral tal que su vector de posición en cada instante es r (t) = tcos(πt)i + tsen(πt)j + tk . Determinar la razón de cambio de la temperatura que debe percibir la abeja en t = 1 y en cada caso: a) Respecto de la distancia que va recorriendo b) respecto del tiempo

44. Decir si es verdadero o falso el siguiente enunciado y justificar la respuesta: “Si f(x,y)

es diferenciable en (a,b) y grad(f(a,b)) es distinto de cero, entonces no existe en (a,b) una derivada direccional nula”.

Pag 37

45. ¿Hay alguna dirección para la cual la razón de cambio de f(x,y) = 2x2 + y3 en el punto

(1,1) sea igual a 7? Justificar la respuesta.

Pag 38

y x t

Sección V Derivadas de funciones compuestas y de funciones implícitas V.1 Derivada de funciones compuestas. Regla de la cadena La regla de la cadena es el conjunto de procedimientos que permiten obtener las derivadas de funciones compuestas. Caso de funciones de una variable Sea y = f(x) una función de la variable x que a su vez es función de otra variable t, es decir y = f(x) pero x = x(t) , por lo tanto, y = f(x(t)).

La dependencia de las variables se indica en el diagrama de la figura, denominado diagrama funcional: cada variable está ligada mediante una flecha con aquella de la cual tiene dependencia directa.

Si f(x) es diferenciable para un dado valor x0, entonces su incremento cuando cambia x se

puede expresar como xxdx

xdfy ∆

∆+=∆ )()(

10 ε , donde ε1(∆x) es un infinitésimo para ∆x → 0

Si x(t) es diferenciable en t = t0, siendo x0 = x(t0), entonces su incremento cuando t cambia se

puede expresar como ttdt

tdxx ∆

∆+=∆ )()(

20 ε , donde ε2(∆t) es un infinitésimo para ∆t → 0

Reemplazando esta última expresión en la precedente y dividiendo por ∆t se tiene:

∆+

∆+=∆∆

)()(

)()(

20

10 t

dt

tdxx

dx

xdf

t

y εε

Si ahora se calcula el límite del cociente incremental para ∆t → 0, resulta que ε2(∆t) → 0. Dado que x(t) es continua en x0 por ser derivable en ese punto, ∆x → 0 y por lo tanto ε1(∆x) → 0

El resultado es que dt

tdx

dx

xdf

dt

tdy

t

yt

)()()(lim 000

0⋅==

∆∆

→∆

Entonces, para cualquier punto x donde x(t) y f(x) son derivables resulta: dy/dt =(dy/dx).(dx/dt) Esta regla ya es conocida desde los cursos previos de cálculo. Si se desea calcular la derivada de la función y = esenx , se considera la variable u = senx, de este modo y = eu pero u = senx ambas funciones derivables. dy/dx = (dy/du).(du/dx) = eu.cosx = esenx.cosx Otro ejemplo: Suponga que la presión atmosférica a una altura h sobre el nivel del mar está dada por p = 1,013.105e-h/10000, donde h está en metros y la presión en pascales. Un automóvil está en una carretera de montaña a 3000 metros de altura subiendo una cuesta con tal velocidad que su altura sobre el nivel del mar aumenta razón de 4m/s. ¿Cuál es la razón de cambio de la presión respecto del tiempo que percibe el conductor en ese momento? dp/dt = [dp/dh]dh/dt = -10,13e-h/10000.dh/dt = -10,13e-3000/10000.4 = 30 Pa/s

Pag 39

z

x

y

t

A

B

zx

y α

Observar que en este caso no es conocida la función h(t) pero sí el valor de su derivada en el instante dado, lo cual permite responder la cuestión Caso de funciones de más de una variable Sea z = f(x,y) donde x e y son funciones de otra variable t, es decir x = x(t) ; y = y(t). Esto se puede interpretar geométricamente como la intersección de la superficie z = f(x,y) con la superficie cilíndrica de generatrices paralelas al eje z cuya directriz es la curva plana de ecuaciones paramétricas ┌ x = x(t)

└ y = y(t) El resultado es una curva en el espacio tridimensional con ecuaciones ┌ x = x(t) ┤ y = y(t) └ z = f(x(t),y(t))

La figura muestra el diagrama funcional correspondiente: cada variable está ligada mediante una flecha con aquella de la cual tiene dependencia directa

Si t varía, entonces varían x(t) e y(t) y por lo tanto varía f(x,y).

Si x(t) es derivable para t = t0 y es x0 = x(t0), entonces ttdt

dxx ∆

∆+=∆ )(3ε

Si y(t) es derivable para t = t0 y es y0 = y(t0), entonces ttdt

dyy ∆

∆+=∆ )(4ε

Si z = f(x,y) es diferenciable en (x0,y0), entonces

yyxy

fxyx

x

fz ∆⋅

∆∆+

∂∂+∆⋅

∆∆+∂∂=∆ ),(),( 21 εε

Reemplazando en esta última las dos expresiones anteriores y dividiendo por ∆t queda:

∆+⋅

∆∆+

∂∂+

∆+⋅

∆∆+∂∂=

∆∆

)(),()(),( 4231 tdt

dyyx

y

ft

dt

dxyx

x

f

t

z εεεε

Al calcular el límite para ∆t → 0 resulta:

dt

dy

y

f

dt

dx

x

f

dt

dz

t

zt

⋅∂∂+⋅

∂∂==

∆∆

→∆ 0lim en todo punto (x,y) donde las funciones son diferenciables

Ejemplo de aplicación Dos carreteras rectilíneas se cruzan formando un ángulo de 60º. En un instante dado hay un automóvil A que está en una de las carreteras a 100m del cruce y se aleja del cruce con una velocidad que, en ese momento es de 100 Km/h. Sobre la otra carretera, un automóvil B está también a 100m del cruce y alejándose del mismo con una velocidad de 140 km/h.¿Cuál es en ese momento la razón de cambio respecto del tiempo de la distancia entre los dos autos?

La distancia entre los dos vehículos en ese instante es z. Por el teorema del coseno es z2 = x2 + y2 – 2xycos(α). Aplicando la regla de la cadena resulta

Pag 40

z

x

y

r

s

z

x

y

( ) ( )

−+−−+

=dt

dyxy

dt

dxyx

xyyxdt

dz)cos()cos(

)cos(2

122

ααα

Reemplazando los valores para ese instante: x = y = 0,1Km, dx/dt = 100km/h, dy/dt = 140Km/h, cos(α) = 1/2 Resulta la razón de cambio de z respecto de t igual a dz/dt = 120 Km/h Otro caso con funciones de dos variables Sea f(x,y) una función de las variables x e y donde x = x(r,s) e y = y(r,s)

En la figura se nuestra el diagrama funcional correspondiente. En este caso, en lugar de trabajar con los incrementos, se consideran solamente las diferenciales, teniendo en mente que cuando los incrementos de las variables independientes tienden

a cero, los infinitésimos εi también tienden a cero si las funciones son diferenciables en el punto que se considera. Si el valor de las variables r y s se modifica, entonces también se modifica el valor de x e y. Si estas son funciones diferenciables de r y s se puede considerar que

dss

ydr

r

ydyds

s

xdr

r

xdx

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

De igual modo, al modificarse los valores de x e y se modifica el valor de z, y si esta es una función diferenciable de x e y se puede expresar:

dyy

fdx

x

fdz

∂∂+

∂∂=

Combinando esta expresión con las dos anteriores se tiene:

dss

zdr

r

zBdsAdrds

s

y

y

f

s

x

x

fdr

r

y

y

f

r

x

x

fdz

∂∂+

∂∂=+=

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

La diferencial de z se puede expresar como una combinación lineal de las diferenciales dr y ds. Pero es sabido que cuando es así, las constantes son las derivadas parciales de la función en el punto donde se evalúa la diferencial, es decir:

r

y

y

f

r

x

x

f

r

z

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

s

y

y

f

s

x

x

f

s

z

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

Regla general El procedimiento para determinar las derivadas de las funciones compuestas se basa en un diagrama funcional en el cual cada variable está ligada mediante una flecha con cada una de las otras variables de la cuales depende directamente. La derivada de una variable respecto de otra es la suma de tantos términos como caminos diferentes, en la dirección de las flechas, conducen de la primera variable a la segunda. Cada término representa entonces un camino y es el producto de tantos factores como flechas tiene ese camino. Cada flecha representa un factor que es igual a la derivada de la variable que está en su origen, respecto de la variable que está en su extremo. Sea por ejemplo z = f(x,y) donde y = y(x)

En este caso es dx

dy

y

f

x

f

dx

dz ⋅∂∂+

∂∂=

Pag 41

V.2 Funciones implícitas y sus derivadas Sea la ecuación de n + 1 incógnitas F(x1,x2, …., xn,y) = 0 (5.2.1) En algunos casos, una ecuación de este tipo define a una de las incógnitas como una función implícita de las restantes, por ejemplo y = f(x1,x2, …., xn), no importa si la variable y puede o no ser despejada para que quede la función en forma explícita. Así, la ecuación F(x,y) = 3x2 – y = 0 define a y como función de x que se puede poner inmediatamente en forma explícita y = 3x2. Pero la ecuación F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 + 1 = 0 no define a z como función de x e y porque no existe ninguna terna (x,y,z) que satisfaga la ecuación. Para analizar en qué condiciones la ecuación (5.2.1) define a una de las incógnitas como función implícita de las restantes, se construye la función w = F(x1,x2, …., xn,y) que tendrá cierto dominio D. Si el valor cero está en el rango o recorrido de la función, quiere decir que existe un subconjunto S de puntos (x1,x2, …., xn,y), incluido en D para los cuales se verifica que w = F(x1,x2, …., xn,y) = 0 Todos los puntos de este conjunto S satisfacen entonces la ecuación (5.2.1) Se puede decir entonces que y es una función, en sentido amplio, de las restantes variables, ya que se puede establecer una relación entre (x1,x2, …., xn) y el valor de y que falta para que la ecuación se verifique. Sin embargo interesa saber qué otras condiciones son necesarias para que y sea una función diferenciable y cómo calcular sus derivadas. Observar que si w es una función de dos variables w = F(x,y) entonces el conjunto S es el conjunto de todos los puntos (x,y) de la curva de nivel cero de la función. Si se trata de una función de tres variables w = F(x,y,z), el conjunto S es el conjunto de todos los puntos (x,y,z) de la superficie de nivel cero de la función. Si la función w = F(x1,x2, …., xn,y) es diferenciable en los puntos de S o en una parte, para esos puntos se puede decir que :

dyy

Fdx

x

Fdx

x

Fdx

x

FdFdw n

n ∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂== L2

21

1

Si se admiten sólo las variaciones de los puntos (x1,x2, …., xn,y) tales que (x1+dx1, x2+dx2, …., xn+dxn, y+dy) sean también puntos de S, entonces, dado que para todos los puntos es w = 0, constante, debe ser dw = dF = 0

022

11

=∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂

dyy

Fdx

x

Fdx

x

Fdx

x

Fn

n

L (5.2.2)

En esta expresión, las diferenciales no pueden ser todas fijadas arbitrariamente. En los puntos donde

0≠∂∂

y

F se pueden elegir arbitrariamente todas las dxi, pero para que se verifique la expresión anterior

debe ser n

n dxyF

xFdx

yF

xFdx

yF

xFdy

∂∂∂∂−

∂∂∂∂−

∂∂∂∂−= L2

21

1 (5.2.3)

Si en esos puntos la diferencial dy puede ser expresada como una combinación lineal de las dxi, significa que y es una función diferenciable de las variables xi, y = f(x1,x2, …., xn),

Pag 42

siendo sus derivadas parciales primeras los coeficientes de la combinación lineal, es decir

yF

xF

x

y i

i ∂∂∂∂−=

∂∂

En resumen, una ecuación F(x1,x2, …., xn,y) = 0 define a y como función implícita de las restantes variables cuando se dan las siguientes condiciones:

a) Existe un conjunto S de puntos (x1,x2, …., xn,y) que satisfacen la ecuación b) La función w = F(x1,x2, …., xn,y) es diferenciable en S o en un subconjunto c) La derivada parcial de F respecto de y no es nula en los puntos considerados o en un

subconjunto En los puntos que cumplen las anteriores condiciones es y = f(x1,x2, …., xn) y sus derivadas parciales primeras se calculan mediante las expresiones vistas anteriormente. Ejemplo: Dada la ecuación 3xy2 + 2xy – 3x + y – 3 = 0, que define a y como función implícita de x,

determinar dy/dx en el punto (1,1) 9

2126

323

)1,1(

2

−=

⇒

++−+−=

∂∂∂∂−=

dx

dy

xxy

yy

yF

xF

dx

dy

Cuando la ecuación es F(x,y) = 0, la función implícita y = f(x), ya sea que se pueda expresar en esta forma explícita o no, es la función que corresponde a la curva de nivel cero de w = F(x,y) Cuando la ecuación es F(x,y,z) = 0, la función implícita z = f(x,y), ya sea que se pueda expresar en esta forma explícita o no, corresponde a la superficie de nivel cero de w = F(x,y,z). La misma interpretación vale para funciones de más de tres variables Relación entre grad F(p) y la función implícita definida por F(p) = 0 Si se considera al vector p como el vector posición del punto (x1,x2, …., xn,y) en el espacio Rn+1, una función de n +1 variables es w = F(p). La ecuación F(p) = 0 define a una de las componentes del vector, por ejemplo la componente y, como una función implícita de las restantes xi, bajo las condiciones anteriormente analizadas. Si en el punto p + k = (x1+∆x1, x2+∆x2, …., xn+∆xn, y+∆y) también se satisface la ecuación F(p + k) = 0, significa que ambos puntos, p y p+k pertenecen a la gráfica de la función. El vector k tiene su origen y su extremo en puntos de esa gráfica. Por supuesto los ∆xi pueden fijarse arbitrariamente pero no así ∆y, ya que y es una función de las xi En el caso de dos variables, p = (x,y), la gráfica de la función implícita F(x,y) =0 es una curva plana. El vector k = (∆x,∆y) tiene su origen y su extremo en puntos de esa gráfica. En el caso de tres variables, p = (x,y,z), la gráfica de la función implícita F(x,y,z) = 0 es una superficie alabeada. el vector k = (∆x,∆y,∆z) tiene su origen y su extremo en esa superficie. Cuando los incrementos son pequeños, es posible reemplazar ∆y ≈ dy, es decir por el incremento de una función lineal (recta tangente, plano tangente, etc) que aproxima a la función en el punto. Es decir que reemplazamos al vector k por el vector h = (dx1, dx2, …. , dxn, dy) que tiene su origen y su extremo en la gráfica de la función de aproximación, y como esta es una función lineal, todo el vector está en esa gráfica. En funciones de dos variables, el vector (dx, dy) “está” en la recta tangente a la gráfica de la función implícita F(x, y) = 0. (tiene la misma dirección que esa recta).

Pag 43

En funciones de tres variables, el vector (dx, dy, dz) “está” en el plano tangente a la gráfica de la función implícita F(x, y, z) = 0. (tiene una dirección paralela a ese plano). La expresión 5.2.2 puede entonces ser interpretada como un producto escalar:

0)(22

11

=⋅∇=∂∂+

∂∂++

∂∂+

∂∂ hhhhppppFdy

y

Fdx

x

Fdx

x

Fdx

x

Fn

n

L

El hecho de que el producto escalar sea nulo, indica que el gradiente de F(p) es perpendicular al vector h, en otras palabras el gradiente de F(p) en un punto es perpendicular a la gráfica de la función implícita F(p) = 0 en ese punto Ejemplo 1 Sea F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 - a2 El vector gradF = 2xi + 2yj + 2zk es perpendicular a la superficie de la función implícita definida por x2 + y2 + z2 - a2 = 0, que es una superficie esférica de radio a centrada en el origen de coordenadas. Ejemplo 2 Si se quiere un vector perpendicular a la gráfica de una función de dos variables z = f(x,y), se construye una función de tres variables F(x,y,z) = z – f(x,y) El vector gradF = -fxi – fyj + k es perpendicular a la gráfica de la función implícita definida por z – f(x,y) = 0, es decir z = f(x,y) Encontrar un vector perpendicular a la gráfica del paraboloide z = 1 - x2 - y2 en (1,2) Se construye la función de tres variables F(x,y,z) = x2 + y2 + z - 1 gradF(x,y,z) = 2xi + 2yj + k , el vector pedido es gradF(1,2,-4) = 2i + 4j + k Recta normal y plano tangente a una superficie En los ejemplos anteriores se ha visto que cuando z es una función implícita definida por la ecuación F(x,y,z) = 0, el gradiente de la función de tres variables w = F(x,y,z) calculado en un punto, es perpendicular a la gráfica de la función implícita y por lo tanto es paralelo a la recta normal a superficie en ese punto. gradF(x0, y0, z0) = Fx(x0, y0, z0)i + Fx(x0, y0, z0)j + Fx(x0, y0, z0)k Las ecuaciones paramétricas de la recta normal son entonces: ┌ x = x0 + λ.Fx(x0, y0, z0)

┤ y = y0 + λ.Fy(x0, y0, z0) └ z = z0 + λ.Fz(x0, y0, z0)

Dado que el vector gradiente calculado en el punto p0 = (x0, y0, z0) es perpendicular a la superficie en el punto, es también perpendicular al plano tangente a la superficie en ese punto. Si p = (x, y, z) es otro punto cualquiera del plano tangente, entonces el vector p - p0 tiene dirección paralela al plano y debe ser nulo el producto escalar (p - p0).gradF(p0), es decir: (x - x0).Fx(x0, y0, z0) + (y - y0).Fy(x0, y0, z0) + (z - z0).Fz(x0, y0, z0) = 0 Esta es la ecuación del plano tangente.

Pag 44

Ejemplo 3 Determinar las ecuaciones de la recta normal y del plano tangente a la gráfica de z = 1 - x2 - y2 en (1, 1, -1). Se construye la función de tres variables F(x,y,z) = x2 + y2 + z – 1 y se calculan las componentes del vector gradiente Fx(x,y,z) = 2x Fx(1,1,-1) = 2 Fy(x,y,z) = 2y Fy(1,1,-1) = 2 Fz(x,y,z) = 1 Fz(1,1,-1) = 1 Las ecuaciones de la recta normal son: ┌ x = 1 + 2λ

┤ y = 1 + 2λ └ z = -1 + λ

La ecuación del plano tangente es: 2(x - 1) + 2(y - 1) + (z + 1) = 0 o también 2x + 2y + z = 3 V.3 Aproximaciones Diferenciales sucesivas Se ha visto en una sección anterior, que el incremento de una función f(p), en la vecindad de un punto p0, donde la función es diferenciable, se puede aproximar por su diferencial total:

hpphp 000 ⋅∇=≈−+= )f(df)f()f(∆f , lo que significa aproximar la función por medio de otra

función lineal que, en el caso de dos variables es el plano tangente a la superficie z = f(x,y). En el caso de dos variables df = fx(x0,y0).∆x + fy(x0,y0).∆y . Es posible considerar esta

expresión como la aplicación del operador diferencial

⋅

∂∂+⋅

∂∂= ∆y

y∆x

x(Dif) sobre la

función f(x,y) y luego evaluar las derivadas en el punto (x0,y0), es decir, se calcula en forma genérica df = (Dif)f(x,y) y sobre el resultado se hace (x,y) = (x0,y0): esto, aunque no es completamente correcto, suele escribirse df = (Dif)f(x0,y0). la diferencial calculada en un punto genérico df = fx(x,y).∆x + fy(x,y).∆y , para valores fijos de los incrementos es también una función de las variables x e y que admite a su vez ser diferenciada. El resultado es la diferencial segunda de la función que, de acuerdo con las reglas de derivación de funciones compuestas es: d2f = fxx∆x2 + fxy∆x∆y + fyx∆y∆x + fyy∆y2 Considerando la igualdad de las derivadas cruzadas se tiene d2f = fxx∆x2 + 2fxy∆x∆y + fyy∆y2 Esta expresión tiene cierta similitud con el desarrollo del cuadrado de un binomio, que es más evidente si se escribe cambiando la expresión de las derivadas:

( ) y)f(x,Dif∆yy

f∆x

x

f∆y

y

f∆x∆y

yx

f2∆x

x

ffd (2)

(2)

22

222

2

22 =

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂∂+

∂∂=

El exponente simbólico (2) en los dos últimos términos indica que al desarrollar el cuadrado del binomio se debe considerar como exponente para los incrementos pero como orden de derivación para las derivadas. Esta expresión es válida para las diferenciales de cualquier orden si esta diferencial existe, es decir, si las derivadas de orden n existen y son continuas en un punto (x,y) y en una vecindad del mismo, entonces existe en ese punto dnf = (Dif) (n)f(x,y)

Pag 45

Aproximación de una función por un polinomio. Fórmula de Taylor La aproximación del incremento de la función en un punto por su diferencial equivale a la aproximación por un polinomio de primer grado en las variables ∆x, ∆y. Pero si la función admite derivadas continuas de orden superior es posible efectuar una aproximación más precisa a través de polinomios de mayor grado. Sea f(x,y) una función que admite derivadas de orden n en un conjunto que incluye a los puntos (a, b), (a+h, b+k) y a los puntos del segmento de recta entre ambos.

Las coordenadas de los puntos (x,y) de este segmentos se pueden expresar por las ecuaciones paramétricas indicadas para el intervalo [0,1] del parámetro. Para estos puntos la función es f(x, y) = f( a + ht, b +kt) = φ (t) y se puede desarrollar mediante la fórmula de MacLaurin:

1)!(n(θθt).

Tdonde,Tn!(0).t

2!(0).t

1!(0).t

(0)(t)1n1)(n

nn

n(n)2

+=+++

′′+

′=−

++ϕϕϕϕϕϕ LL

El desarrollo para t = 1 es

1)!(n(θθ

Tdonde,Tn!(0)

2!(0)

1!(0)

(0)(1)1)(n

nn

(n)

+=+++

′′+

′=−

+ϕϕϕϕϕϕ LL

En la expresión anterior es φ (1) = f(a+h, b+k) y φ(0) = f(a, b) y de acuerdo con las reglas de derivación de funciones compuestas, las derivadas de φ(t) en t = 0 son: dφ/dt = fx(a,b).x´(0) + fy(a,b).y´(0) = fx(a,b).h + fy(a,b).k d2φ/dt2 = fxx(a,b).(x´(0))2 + fxy(a,b).x´(0).y´(0) + fx(a,b).x¨(0) + fyx(a,b). x´(0).y´(0) + fyy(a,b). (y´(0))2 + fy(a,b).y¨(0) = fxx(a,b).h2 + 2fxy(a,b).h.k + fyy(a,b). k2 Si se considera h = ∆x y k = ∆y, se observa que dφ/dt = (Dif)f(a,b) = df es la diferencial primera de la función en el punto (a, b). Igualmente es d2φ/dt2 = (Dif)(2)f(a,b) = d2f . Esto también vale para las otra derivadas dnφ/dtn = (Dif)(n)f(a,b) = dnf Reemplazando en la expresión de MacLaurin para φ(t) resulta el polinomio de Taylor para la función de dos variables:

n

n

1

(m)

T b)f(a,∆yy

∆xxm!

1b)f(a,∆y)b∆x,f(a∆f +

∂∂+

∂∂=−++= ∑

Una aproximación al valor del incremento se obtiene despreciando el término Tn:

b)f(a,∆yy

∆xxm!

1fd

n!1

fd2!1

df∆f(m)n

1

n2 ∑

∂∂+

∂∂=+++≈ LL

a a+h x

y

b+k

b

x = a + ht

y = b + kt 0 < t < 1

Pag 46

V.4 Ejercitación En los ejercicios 1 a 3 determinar dw/dt mediante la regla de la cadena y expresar el resultado en términos de t 1. w = x2y3; x = t3; y = t2 2. w = exseny + eysenx; x = 3t; y = 2t 3. w = xy + yz + xz; x = t2; y = 1 – t2; z = 1 – t En los ejercicios 4 a 6 determinar tw ∂∂ usando la regla de la cadena y expresar el resultado en términos de s y t 4. w = x2y; x = st; y = s – t

5. 22 yxew += ; x = s.sen(t); y = t.sen(s)

6. w = (x2 + x2 + x2)1/2; x = cos(st); y = sen(st); z = s2t 7. Dadas z = x2y; x = 2t + s; y = 1 – st2; determinar ( ) ( )2,1, =

∂∂ts

tz

8. Dadas w = u2 – u.tan(v); u = x; v = πx; determinar

4/1=xdxdw

9. Un determinado árbol tiene su tronco con forma de cilindro circular recto de 20

pulgadas de radio y 400 pulgadas de altura. Si por la edad que tiene, se sabe que el radio aumenta a razón de 1/2 pulgada/año y la altura a razón de 8 pulgadas/año, ¿qué tan rápido está aumentando su volumen?

10. Desde un depósito cae arena en forma regular a la tierra formando un cono circular de

volumen creciente. Determinar la cantidad de arena por unidad de tiempo (cm3/s) que está cayendo cuando la altura del cono es de 20 cm y aumenta a razón de 0.5 cm/s, mientras que el diámetro de la base es de 60 cm y aumenta a razón de 1,5 cm/s.

11. Si T = f(x, y, z, w) siendo x, y, z, w funciones de dos variables s, t; escribir una regla

de la cadena para sT ∂∂ 12. La ecuación de onda de la física es la ecuación diferencial a derivadas parciales

22222 xycty ∂∂=∂∂ , mostrar que si f() y g() son funciones cualesquiera, dos veces diferenciables, entonces y(x, t) = f(x + ct) + g(x – ct) satisface la ecuación. Considerar y = f(u) + g(v) donde u = x + ct; v = x – ct

13. Sea ∫=)(

)(

)()(th

tg

duuftY donde f(u) es continua y h(t), g(t) son derivables. Mostrar que

Y´(t) = f(h(t)).h´(t) – f(g(t)). g´(t)

Pag 47

14. Dada h(u) = u2 donde u = f(x,y) es una función diferenciable, escribir las derivadas hxx, hxy y hyy en términos de f((x,y) y de sus derivadas fx, fy, fxx, fxy y fyy

En los ejercicios 15 y 16 las ecuaciones definen a y como función implícita de x. Determinar dy/dx en cada caso. 15. x3 + 2x2y – y3 = 0 16. xseny + ycosx = 0 17. Dada la ecuación 3x2z + y3 – xyz3, determinar xz ∂∂ En los ejercicios 18 a 21 determinar la ecuación del plano tangente a la superficie dada en el punto indicado 18. x2 + y2 + z2 = 16 Po = (2, 3, √3) 19. x2 - y2 + z2 + 1 = 0 Po = (1, 3, √7) 20. x2 + y2 - 4z = 0 Po = (2, 2, 2) 21. z = 2e3ycos(2x) Po = (π/3, 0, -1) 22. Determinar todos los puntos sobre la superficie z = x2 – 2xy – y2 – 8x + 4y, donde el

plano tangente es horizontal (paralelo al plano xy) 23. Mostrar que las superficies definidas por x2 + 4y + z2 = 0 y x2 + y2 + z2 - 6z + 7 =

0 son tangentes en (0, -1, 2); es decir, tienen el mismo plano tangente en ese punto. 24. Determinar un punto sobre la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 12 donde el plano tangente

es perpendicular a la recta con ecuaciones paramétricas x = 1 + t; y = 3 + 4t; z = 2 – 3t

25. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta que es tangente, en (1, 2, 2), a la

curva intersección de la superficie f(x, y, z) = 9x2 + 4y2 + 4z2 – 41 = 0 con la superficie g(x, y, z) = 2x2 - y2 + 3z2 – 10 = 0 . La recta pedida pertenece a los planos tangentes de ambas superficies y es, por lo tanto, perpendicular a los gradientes de las funciones en el punto.

26. El radio y la altura de un cono circular recto se miden con errores menores o iguales a

2% y 3% respectivamente. Usar diferenciales para estimar el error porcentual máximo en el volumen calculado si los valores medidos son r y h. (Volumen del cono V = πr2h/3)

27. Cuando se mide el peso de un objeto de volumen V y densidad media absoluta δ en el

seno de un fluido de densidad absoluta δF, lo que en realidad se mide es P`= δ.V.g - δFVg . Cuando el fluido es el aire, el segundo término es despreciable frente al primero, y se puede considerar que el peso medido en el aire es A = δ.V.g, pero si el peso se mide con el objeto sumergido en agua el resultado es B = δ.V.g – δAVg. De estas dos expresiones se puede obtener la densidad relativa del cuerpo respecto al agua δ/δA = A/(A – B). Si se ha medido A = 36 lb y B = 20 lb con un posible error de medición de 0,02 lb en cada caso, determinar el máximo error que se comete al calcular la densidad relativa.

Pag 48

28. Para la función f(x, y) = ln(x2 + y2) estimar el incremento al pasar del punto (2, 2) al

punto (2.2, 2.2) usando a) la aproximación de Taylor de primer orden b) la aproximación de Taylor de segundo orden c) La calculadora para calcular ∆f directamente

Pag 49

Sección VI Máximos y mínimos VI.1 Extremos en funciones de múltiples variables Extremos globales o absolutos Sea f(p) una función de las variables x1,x2,…..xn definida en un conjunto D que puede ser su dominio natural o un subconjunto del mismo impuesto por algún condicionamiento. f(p0) es un máximo global o absoluto de la función si f(p0) ≥ f(p) para todo p en D. f(p0) es un mínimo global o absoluto de la función si f(p0) ≤ f(p) para todo p en D. Ambos valores se denominan extremos absolutos o globales de la función en D. Sea f(x,y) = x2 + y2 en su dominio natural R2, es evidente, a partir de la definición, que f(0,0) es un mínimo global ya que f(0,0) = 0 ≤ x2 + y2 para cualquier (x,y). Pero la función no tiene un máximo global, ya que no existe f(a,b) = a2 + b2 ≥ x2 + y2 para todo (x,y) en R2. Extremos locales o relativos f(p0) es un máximo relativo o local si existe un entorno de p0 donde f(p0) ≥ f(p) para todo p de dicho entorno que pertenece a D. f(p0) es un mínimo relativo o local si existe un entorno de p0 donde f(p0) ≤ f(p) para todo p de dicho entorno que pertenece a D. En lo sucesivo se tendrán en cuenta funciones continuas y, aunque no siempre sobre conjuntos cerrados, es importante tener presente el siguiente teorema. Teorema sobre la existencia de extremos Si f(p) es un función continua en un conjunto cerrado y acotado D, entonces f(p) alcanza un valor máximo global y un valor mínimo global en dicho conjunto. Puntos críticos Se denominan puntos críticos a aquellos puntos p donde es posible que f(p) sea un extremo. Si f(p) es continua en D se pueden considerar tres tipos de puntos en el conjunto:

a) Puntos interiores donde f(p) es diferenciable. Los puntos de este tipo que verifican las condiciones necesarias para la existencia de extremos se denominan puntos estacionarios. Los extremos que se alcanzan en estos puntos se suelen denominar extremos libres.

b) Puntos frontera incluidos en D. Para determinar los puntos críticos sólo se deben considerar los valores que toma la función cuando las variables independientes están en la frontera del conjunto. Los extremos que se alcanzan en estos puntos se denominan extremos condicionados o vinculados.

c) Puntos singulares, estos son puntos interiores donde la función no es diferenciable. Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos libres Si f(p) es diferenciable en p0 y f(p0) es un extremo local entonces gradf(p0) = 0 En el caso de dos variables, si f(x0,y0) es un extremo significa que f(x0,y0) - f(x,y) tiene signo constante (positivo, o negativo, con eventuales ceros) en un entorno de ese punto. Si se consideran los puntos del entorno para los cuales y = y0, significa que f(x0,y0) - f(x,y0) tiene signo constante, es decir que hay un extremo de la función φ(x) = f(x,y0) y por lo tanto debe ser φ´(x0) = fx(x0,y0) = 0.

Pag 50

Del mismo modo, considerando solo los puntos (x0, y) del entorno se demuestra que debe ser fy(x0,y0) = 0. En general, para el caso de n variables, el incremento de la función en un punto donde es diferenciable se puede poner hhεhpphp 000 ⋅+⋅∇=−+= )()f()f()f(∆f . Si el gradiente de la

función no es nulo entonces, cuando el módulo de h es muy pequeño hhεhp0 ⋅>>⋅∇ )()f(

Quiere decir que el signo de ∆f está determinado por el signo de hp0 ⋅∇ )f( . Pero este signo se

puede cambiar invirtiendo la dirección de h. De ahí que si hay un extremo en p0 debe ser 0p0 )f( =∇ . Esta es una condición necesaria, no

siempre suficiente, ya que el signo de ∆f depende entonces de ε(h).h, es decir, del comportamiento de ε(h) Por ejemplo, si se considera f(x,y) = x.y, resulta gradf(0.0) = 0, lo cual permite considerar a (0,0) como punto crítico, sin embargo el signo de ∆f = f(x,y) – f(0,0) = x.y no es constante en un entorno de (0,0) . Este tipo de punto se denomina punto silla El punto p0 donde grad(f(p0)) = 0 es un punto crítico denominado punto estacionario, donde es probable que f(p0) sea un extremo. Para determinar las condiciones suficientes para la existencia de extremos en funciones de dos variables, se puede considerar la aproximación de la función por un polinomio de Taylor de segundo grado: ∆f ≈ fx(x0.y0).∆x + fy(x0.y0).∆y + 1/2(fxx(x0.y0).∆x2 + 2fxy(x0.y0).∆x∆y + fyy(x0.y0).∆y2) Si el punto (x0.y0) es un punto estacionario las primeras derivadas son nulas, entonces 2∆f ≈ fxx(x0.y0).∆x2 + 2fxy(x0.y0).∆x∆y + fyy(x0.y0).∆y2 Suponiendo que ∆y ≠ 0 y poniendo ∆x/∆y = δ es 2∆f ≈ ∆y2[f xx(x0.y0).δ2 + 2fxy(x0.y0).δ + fyy(x0.y0)] signo(∆f) = signo [fxx(x0.y0).δ2 + 2fxy(x0.y0).δ + fyy(x0.y0)] Es posible factorear el polinomio del segundo miembro, para lo cual es necesario calcular las raíces: δ1,2 = -fxy ± (f2xy – fxxfxy)

1/2 y entonces es signo(∆f) = signo [fxx(δ - δ1).(δ - δ2)] El término f2xy – fxxfxy es el discriminante de la ecuación de segundo grado y suele representarse con la letra D, también con la letra H porque es el resultado del opuesto del

determinante denominado Hessiano: yyyx

xyxx

ff

ffH = con lo cual δ1,2 = -fxy ± (-H)1/2

Los casos posibles son; a) H = 0: una raíz doble igual a -fxy. Significa que signo(∆f) = signo[fxx (δ +fxy)

2]. Parece como si el signo fuese constante, pero para los valores de δ = -fxy, el signo del incremento queda determinado por el resto del polinomio de Taylor y no es posible decidir si hay o no hay un extremo sin una investigación ulterior.

b) H < 0: dos raíces reales, a y b, signo(∆f) = signo[fxx (δ - a)(δ - b)]. Se observa que el signo cambia según δ esté en el intervalo [a,b] o fuera de él. Este es entonces un punto silla.

c) H > 0: dos raíces complejas conjugadas: δ1 = -fxy + iK, δ1 = -fxy – iK, entonces , signo(∆f) = signo[fxx (δ +fxy – iK)(δ + fxy + iK)] = signo [fxx ((δ +fxy)

2 + K2)]. El signo es constante e igual al signo de fxx. Aquí hay un mínimo si fxx > 0 y un máximo si fxx < 0

Pag 51

Se puede resumir entonces con lo siguiente: Dada la función f(x,y), la condición suficiente para que en un punto estacionario (x0,y0), donde las primeras derivadas se anulan, haya un extremo local es que el Hessiano calculado en el punto sea mayor que cero: H = fxx.fyy –f2xy > 0. Mínimo local si fxx > 0. Máximo local si fxx < 0 Si H < 0 se trata de un punto silla. Si H = 0 se requiere una investigación por otro método para determinar si hay o no hay extremo local en el punto. Puntos críticos en las fronteras Los extremos en la frontera se conocen también con el nombre de extremos condicionados o extremos vinculados porque, p. ej. en el caso de funciones de dos variables el valor de la función depende de los valores (x,y) donde y guarda una relación con x. Esto es así ya que las fronteras son curvas planas como las indicadas en los siguientes esquemas en las que y es función de x o bien ambas son funciones del mismo parámetro

En el caso de la primera figura, el valor de la función en los puntos de la frontera es f(x,y) = f(x(t),y(t)) = φ(t). Los puntos críticos en esta frontera son entonces los que corresponden a una función de una variable, aquellos donde φ`(t) = 0. Si el punto corresponde o no a un extremo y el tipo del mismo se conoce analizando el signo de φ¨(t). En el caso de la segunda figura hay más de un par de ecuaciones paramétricas que describen la frontera. Los puntos críticos se deben buscar en cada una de ellas por separado, es decir puntos críticos en f(x,y) = f(x1(t),y1(t)) = φ1(t) y puntos crítico en f(x,y) = f(x2(t),y2(t)) = φ2(t). Atención: los puntos A y B donde estas líneas terminan deben ser considerados también puntos críticos, ya que son puntos singulares. En funciones de tres variables las fronteras pueden ser puntos, o pueden ser líneas con un conjunto de tres ecuaciones paramétricas, o pueden ser superficies que son funciones de dos variables. El tratamiento sigue los lineamientos indicados para funciones de dos variables. Puntos singulares Los puntos singulares aislados se deben considerar como puntos críticos. Sin embargo, cuando los puntos singulares conforman una línea o una superficie, deben tratarse del mismo modo que los puntos frontera. Aclaración Cuando se trata de encontrar extremos absolutos en un conjunto cerrado, no es necesario evaluar si en cada punto crítico hay un máximo o un mínimo local. Es suficiente comparar el valor de f(p) en los distintos puntos críticos encontrados, sin exceptuar ninguno. Cuando se trata de un conjunto que no es abierto ni cerrado, es más difícil evaluar si hay extremos globales. Es necesario no sólo el valor de la función en los puntos críticos sino

D x = x(t) y = y(t)

x

y

x

y x = x1(t) y = y1(t)

x = x2(t) y = y2(t)

D

A

B

Pag 52

también el análisis del valor de f(p) cuando p tiende hacia las regiones sin fronteras incluidas en D Ejemplo 1 Para la función dada, encontrar los puntos (x,y) donde hay extremos locales, dar su valor e indicar si se trata de un máximo o de un mínimo: f(x,y) = (x2 + y2)3/2 El dominio de la función es R2 que es un conjunto abierto y sin fronteras. La función es diferenciable en todo su dominio, de manera que los únicos puntos críticos son los puntos estacionarios, donde se anulan las derivadas primeras. fx = 3x(x2 + y2)1/2 = 0 fy = 3y(x2 + y2)1/2 = 0 El único punto donde se verifican simultáneamente ambas ecuaciones es P0 = (0,0) Para saber si se trata de un máximo o de un mínimo se puede evaluar la diferencia f(0,0) – f(x,y) = -(x2 + y2)3/2 . Para (x,y) ≠ (0,0) esta diferencia es siempre un número negativo, es decir que f(0,0) < f(x,y) para todo (x,y) en el dominio. De manera que f(0,0) = 0 es un mínimo global o absoluto. Ejemplo 2 Para la función dada, encontrar los puntos (x,y) donde hay extremos locales, dar su valor e indicar si se trata de un máximo o de un mínimo: f(x,y) = x3 + xy + y3 El dominio de la función es R2 que es un conjunto abierto y sin fronteras. La función es diferenciable en todo su dominio, de manera que los únicos puntos críticos son los puntos estacionarios, donde se anulan las derivadas primeras. fx = 3x2 + y = 0 fy = 3y2 + x = 0 De la primera ecuación se despeja y = -3x2 que se reemplaza en la segunda 27x4 + x = 0 → x.(27x3 + 1) = 0 . Las soluciones reales son x = 0 , x = -1/3 a las que corresponden y = 0 e y = -1/3. Los puntos críticos son entonces P0 = (0,0) y P1 = (-1/3,-1/3). Para saber si hay extremos en esos puntos se aplica el criterio de las segundas derivadas fxx = 6x → fxx(P0) = 0; fxx(P1) = -2 fyy = 6y → fyy(P0) = 0; fyy(P1) = -2 fxy = 1 H(P0) = -1, no hay extremo, se trata de un punto silla H(P1) = 3, en este punto hay un extremo y se trata de un máximo local por ser fxx < 0 Entonces hay un máximo local en P1 = (-1/3,-1/3), el valor del extremo es f(P1) = 1/27 Es fácil advertir que no se trata de un máximo global ya que por ejemplo si se mantiene y = 0, se obtienen valores mucho mayores de la función haciendo variar x Ejemplo 3 Encontrar los extremos absolutos y los puntos donde ocurren, para la función f(x,y) = (x + y)2 + (1 – x2 – y2)1/2 El dominio de la función es el conjunto D = {(x,y): x2 + y2 ≤ 1}, son los puntos del círculo de radio 1 centrado en el origen, incluyendo a la circunferencia límite. Se trata de un conjunto cerrado en el cual la función alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluto.

Pag 53

Los puntos críticos pueden ser puntos interiores o puntos de la frontera Puntos estacionarios: En estos puntos se anulan las derivadas parciales primeras fx = 2(x + y) - x(1 – x2 – y2)-1/2 = 0 fy = 2(x + y) - y(1 – x2 – y2)-1/2 = 0 , si se restan las dos ecuaciones se obtiene la siguiente (x - y) (1 – x2 – y2)-1/2 = 0, que se verifica para x = y. Reemplazando esta condición en la ecuación de fx se sigue: 4x - x(1 – 2x2 )-1/2 = 0 → x[4 - (1 – 2x2 )-1/2] = 0 que se verifica para x = y = 0 y también para x = y = ±(15/32)1/2, los puntos estacionarios son entonces P0 = (0,0); P1 = ((15/32)1/2, (15/32)1/2) y P2 = (-(15/32)1/2, -(15/32)1/2) todos puntos interiores. Puntos críticos en la frontera La frontera es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen. Una línea continua y suave que se puede expresar mediante un único par de ecuaciones paramétricas x = 1.cost; y = 1.sent; para t comprendido en el intervalo [0, 2π) Reemplazando estas expresiones en f(x,y) se tienen los valores de la función sobre la frontera en términos del parámetro t, es decir f(t) = (cost + sent)2 + (1- cos2t – sen2t)1/2 = 1 + 2sent.cost Los puntos críticos son aquellos donde se anula la derivada primera: f´(t) = 2(cos2t – sen2t) = 2(1 - sen2t – sen2t) = 2(1 – 2sen2t) = 0 → sent = ±√2/2 Esta condición se cumple para t = π/4, t = 3π/4, t = 5π/4 y t = 7π/4, que corresponde a los puntos P3 = (√2/2, √2/2); P4 = (-√2/2, √2/2); P5 = (-√2/2, -√2/2) y P6 = (√2/2, -√2/2) Determinación de los extremos Para saber donde se dan los extremos, se evalúa la función en cada uno de los puntos críticos. f(0,0) = 1 f((15/32)1/2, (15/32)1/2) = 17/8 f(-(15/32)1/2, -(15/32)1/2) = 17/8 f(√2/2, √2/2) = 2 f(-√2/2, √2/2) = 0 f(-√2/2, -√2/2) = 2 f(√2/2, -√2/2) = 0 El valor máximo que alcanza la función es 17/8 y el valor mínimo es cero. Ejemplo 4 Encontrar los extremos globales y los puntos donde ocurren, de la función f(x,y) = 10 – x2 – y2 en el conjunto D = {(x,y): (x/3)2 + (y/2)2 ≤ 1} La función f(x,y) está definida en todo R2, sin embargo se impone una condición que restringe el dominio natural al conjunto cerrado de puntos cuya frontera es la elipse de semiejes 3 y 2. Al igual que en el ejemplo anterior, se determinan los puntos estacionarios y luego los puntos críticos en la frontera. Puntos estacionarios: En estos puntos se anulan las derivadas parciales primeras fx = -2x = 0 y fy = -2y = 0 El único punto estacionario es P0 = (0,0) Puntos críticos en la frontera La frontera es la elipse de semiejes 3 y 2, una línea continua y suave que se puede expresar mediante un único par de ecuaciones paramétricas x = 3cost; y = 2sent para t comprendido en el intervalo [0, 2π). Se pueden reemplazar estas funciones en f(x,y) para obtener una función de t y luego su derivada primera, o se puede determinar la derivada mediante la regla de la cadena:

Pag 54

a

a

-a

-a

f´(t) = fx.x´(t) + fy.y´(t) = 6xsent – 4ycost, pero finalmente es necesario reemplazar x e y en esta f´(t) = 18sentcost – 8sentcost = 10sentcost = 0 Esta expresión se verifica cuando es nulo sent o cuando es nulo cost, es decir para t = 0, π/2, π, 3π/2 que corresponde a los puntos P1 = (3,0); P2 = (0,2); P3 = (-3,0) y P0 = (0,-2) Determinación de los extremos Se evalúa la función en cada uno de los puntos críticos. f(0,0) = 10 f(3,0) = f(-3,0) = 1 f(0,2) = f(0,-2) = 6 El máximo absoluto es 10 y el mínimo absoluto es 1 Ejemplo 5 Encontrar los extremos globales y los puntos donde ocurren, de la función f(x,y) = x3 – 4xy2 en el conjunto de puntos cuya frontera incluida es el triángulo de vértices (a, a), (a, -a) y (-a, 0) La función f(x,y) está definida en todo R2, sin embargo se impone una condición que restringe el dominio natural a un conjunto cerrado de puntos. Al igual que en el ejemplo anterior, se determinan los puntos estacionarios y luego los puntos críticos en la frontera. Puntos estacionarios: En estos puntos se anulan las derivadas parciales primeras fx = 3x2 – 4y2 = 0 fy = -8xy = 0 El único punto estacionario es P0 = (0,0) Puntos críticos en la frontera La frontera es el contorno del triángulo mostrado en la figura. Las ecuaciones de las líneas son x = a; y = (x+a)/2; y = -(x+a)/2.

Se buscan puntos críticos sobre cada una de estas líneas y sólo se

tienen en cuenta si pertenecen al correspondiente lado del triángulo. Finalmente se agregan los vértices como puntos críticos, ya que son puntos singulares de la frontera. a) Puntos críticos en la línea x = a

f(a,y) = φ(y) = a3 -4ay2 φ´(y) = 0 → -8ay = 0 → y = 0 El único punto crítico sobre esta línea es P1 = (a,0)

b) Puntos críticos en la línea y = (x+a)/2 f(x,y(x)) = φ(x) = x3 – x(x + a)2 = -2ax2 – a2x φ´(x) = 0 → -4ax – a2 = 0 → x = -a/4 El único punto crítico sobre esta línea es P2 = (-a/4,3a/8)

c) Puntos críticos en la línea y = -(x+a)/2 f(x,y(x)) = φ(x) = x3 – x(x + a)2 = -2ax2 – a2x φ´(x) = 0 → -4ax – a2 = 0 → x = -a/4 El único punto crítico sobre esta línea es P3 = (-a/4,-3a/8)

Puntos singulares Son los vértices del triangulo P4 = (a,a); P5 = (a,-a) y P6 = (-a,0);

Pag 55

Determinación de los extremos Se evalúa la función en cada uno de los puntos críticos. f(0,0) = 0 f(a,0) = a3 f(-a/4,3a/8) = a3/8 f(-a/4,-3a/8) = a3/8 f(a,a) = -3a3 f(a,-a) = -3a3 f(-a,0) = -a3 El máximo global es f(a,0) = a3. El mínimo global es f(a,a) = f(a,-a) = -3a3 Ejemplo 6 Determinar la distancia mínima entre el punto P0 = (1,1,0) y la superficie z = x2 + y2 El cuadrado de la distancia entre el punto P0 y cualquier otro punto P = (x,y,z) del espacio es d2 = f(x,y,z) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (z – 0)2 cuyo dominio es el espacio R3. Pero si se pretende encontrar la distancia del punto a la superficie, debe restringirse el dominio al subconjunto de puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z - x2 - y2 = 0. Todos estos puntos constituyen una frontera, de manera que no se deben buscar puntos estacionarios en f(x,y,z) sino puntos críticos en esta frontera. Para eso se reemplaza la ecuación de la frontera en f(x,y,z). f(x,y,z(x,y)) = φ(x,y) = (x – 1)2 + (y – 1)2 + (x2 + y2)2 Esta función está definida en todo R2, así que los únicos puntos críticos son los puntos estacionarios. φx = 2(x – 1) + 4x(x2 + y2) = 2x[1 + 2(x2 + y2)] – 2 = 0 φy = 2(y – 1) + 4y(x2 + y2) = 2y[1 + 2(x2 + y2)] – 2 = 0 Puesto que el término entre corchetes nunca puede ser nulo se pueden dividir ambas ecuaciones por ese término y queda x = y = [1 + 2(x2 + y2)]-1. Reemplazando y = x en cualquiera de las ecuaciones resulta 4x3 + x – 1 = 0 que tiene una única raíz real en x = ½. El único punto crítico es entonces P0 = (1/2,1/2,1/2) Para determinar si hay extremo y el tipo del mismo, se aplica el criterio de las derivadas segundas: φxx = 2 + 4(x2 + y2) + 8x2 φxx (1/2,1/2) = 6 φxy = 8xy φxy (1/2,1/2) = 2 φyy = 2 + 4(x2 + y2) + 8y2 φyy (1/2,1/2) = 6 H(1/2,1/2) = 36 – 4 = 32. Se trata de un mínimo local y su valor es f(1/2,1/2,1/2) = 3/4, la distancia mínima es entonces √3/2 Dado que el conjunto donde se está tratando de determinar un extremo absoluto no es un conjunto cerrado, antes de decidir que el valor calculado es un mínimo absoluto se debe examinar la función para ver si es posible que pueda adoptar valores menores en puntos alejados hacia las regiones sin fronteras. En este caso esas regiones son las lejanas del origen de coordenadas y se observa que f(x,y,z) toma valores cada vez mayores cuanto más alejados se consideren los puntos. VI.2 Método de los multiplicadores de Lagrange Este método se aplica para la determinación de puntos críticos de una función f(p) sobre la que se impone una restricción, condición o vinculación dada en forma de una ecuación G(p) = 0. Los extremos de f(p) con esta imposición se denominan extremos con restricción, extremos vinculados o condicionados

Pag 56

La restricción puede ser una imposición natural, por ejemplo cuando el dominio natural de f(p) tiene alguna frontera incluida; en ese caso se deben determinar extremos de f(p) sobre los puntos de la frontera que satisfacen una función implícita G(p) = 0. Es el caso del ejemplo 3 del párrafo anterior en la determinación de puntos críticos en la frontera. En otros casos la restricción no es natural sino que es una condición impuesta por alguna necesidad específica. Es el caso del ejemplo 6 donde se desea encontrar la mínima distancia f(x,y,z) de un punto dado a otros del espacio pero con la condición de que estos verifiquen la función implícita G(x,y,x) = 0 correspondiente a una determinada superficie. La base del método se puede interpretar fácilmente en el caso de funciones de dos variables. Sea z = f(x,y) una función de dos variables. Sea G(x,y) = 0 una ecuación en x e y que define a una de las variables como función implícita de la otra. Se trata de determinar los extremos que alcanza z = f(x,y) en el conjunto de puntos que satisfacen la ecuación G(x,y) = 0 La función z = f(x,y) puede representarse como una superficie en el espacio La ecuación G(x,y) = 0 también puede representarse como una superficie cilíndrica en el espacio cuya generatriz es la curva que representa a la función implícita G(x,y) = 0 en el plano xy Se trata de determinar extremos sobre los valores de z correspondientes a la intersección de ambas superficies. En las figuras siguientes se puede observar que en los puntos críticos (x0,y0), donde es posible que haya un extremo de z, la curva G(x,y) = 0 es tangente a la curva de nivel f(x,y ) = f(x0,y0)

En la primera figura, la gráfica de G(x,y) = 0 es una curva que es tangente a dos curvas de nivel de f(x,y). En esos puntos f(x,y) alcanza valores extremos. En la segunda figura, la gráfica de f(x,y) es una curva tangente a una de las curvas de nivel de f(x,y) en un punto donde f(x,y) alcanza un valor extremo. Por lo estudiado anteriormente es sabido que el vector gradf(x,y) en un punto es perpendicular a la curva de nivel que pasa por ese punto, y además el vector gradG(x,y) es perpendicular a la gráfica de la función implícita definida por G(x,y) = 0. Se concluye entonces que en esos puntos de tangencia ambos vectores son colineales, es decir gradf(x0,y0) = λgradG(x0,y0) donde λ es un número real.

Pag 57

Sin embargo esta condición, que aparece como necesaria para la existencia de un extremo, no siempre es suficiente. En la siguiente figura se puede observar que la gráfica de G(x,y) = 0 es tangente a una curva de nivel pero finalmente la atraviesa con el resultado de que no hay un extremo en el punto de tangencia.

Teorema: Determinación de puntos críticos en extremos vinculados. Método de Lagrange Los puntos en los cuales es posible que f(p) sujeta a la restricción G(p) = 0 sea un extremo, satisfacen el sistema de ecuaciones 0)G(y)G(λ)f( =∇=∇ ppp Supongamos que p0 es un punto crítico y que tanto f(p) como G(p) son diferenciables en ese punto, entonces:

nn

22

11

dxxf

dxxf

dxxf

df∂∂++

∂∂+

∂∂= L

0dxxG

dxxG

dxxG

dG nn

22

11

=∂∂++

∂∂+

∂∂= L

Si la ecuación G(p) = 0 define a xn como función de las restantes variables en p0, entonces es posible despejar dxn de la segunda ecuación y reemplazarla en la primera expresión:

∂∂++

∂∂+

∂∂

∂∂∂∂−

∂∂++

∂∂+

∂∂= −

−−

−1n

1n21n

n1n

1n2

21

1

dxx

G

x

G

x

G

xG

xfdx

x

fdx

x

fdx

x

fdf LL

quedaxG

λxf

decires,xGxf

λPoniendonnn

n

∂∂=

∂∂

∂∂∂∂=

1n1n1n

222

111

dxxG

λx

fdx

xG

λxf

dxxG

λxf

df −−−

∂∂−

∂∂++

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂= L

Si existe un extremo de f(p) en p0 debe ser df = 0, pero dado que las variables x1,x2,…,xn-1 son independientes, sus diferenciales son arbitrarios y entonces deben ser nulos los coeficientes de las diferenciales, es decir:

λdedefiniciónlaporn i paray también 1,-na1iparaxG

λxf

ii

==∂∂=

∂∂

Estas n ecuaciones, junto con la restricción G(p) = 0 permiten resolver las coordenadas x1,x2,…,xn-1 de los puntos críticos y el valor de λ para cada uno de ellos. Nota: Si los puntos que satisfacen la restricción conforman un conjunto cerrado, entonces en uno o más de los puntos críticos determinados por el método de Lagrange la función alcanza un

Pag 58

máximo global y en otros un mínimo global. Los extremos se determinan comparando los valores que toma la función en los puntos críticos. Si la restricción tiene a su vez una frontera, natural o impuesta por las condiciones del problema, esa frontera debe ser investigada en busca de posibles puntos críticos. Si la frontera consiste en puntos aislados (puntos singulares), estos se considerar directamente como puntos críticos. Si el conjunto que satisface la restricción no es cerrado, entonces se debe analizar la existencia de extremo en el punto crítico determinado por el método de Lagrange aplicando la definición, es decir comparando el valor que toma la función en el punto crítico con los valores que toma en un entorno del mismo. Ejemplo 7 Aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange para determinar los extremos de f(x,y) = y2 – x2 sobre la elipse x2/4 + y2 =1. se trata entonces de determinar los extremos de f(x,y) = = y2 – x2 con la restricción o condición G(x,y) = x2/4 + y2 -1 = 0 Los puntos que satisfacen la restricción conforman un conjunto cerrado, de manera que f(x,y) alcanza un máximo global y un mínimo global. Los puntos críticos son los que satisfacen el sistema de ecuaciones: -2x = λx/2 → -x(1 + λ/4) = 0 2y = 2λy → y(1 - λ) = 0 x2/4 – y2 -1 = 0 La primera ecuación tiene como solución x = 0 o bien λ = -4 Con x = 0, de la restricción resulta y2 = 1. Con λ = -4, de la segunda ecuación es , y = 0, de la restricción x = ±2 Puntos críticos son entonces: P0 = (0,1); P1 = (0,-1); P2 = (2,0) y P3 = (-2,0) Los valores de la función en estos puntos es: f(0,1) = f(0,-1) = 1 Máximo global f(2,0) = f(-2,0) = -4 Mínimo global Ejemplo 8 Determinar el área máxima de un rectángulo cuya diagonal es el número positivo d Considerando un rectángulo cuya base y altura son los números positivos x ≥ 0 e y ≥ 0, el área está dada por f(x,y) = xy. Por el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la diagonal es x2 + y2 que debe ser igual a d2 De manera que el problema consiste en encontrar el máximo de f(x,y) = xy con la restricción o condición G(x,y) = x2 + y2 - d2 = 0 con x ≥ 0 e y ≥ 0 Observar que los puntos que satisfacen la restricción conforman un conjunto cerrado que, gráficamente, es la parte de la circunferencia de radio d centrada en el origen que está en el primer cuadrante. Esta restricción tiene frontera en los puntos (0,d) y (d,0) que deben ser incluidos como puntos críticos. Además de esos puntos singulares, se agregan como puntos críticos los que satisfacen el siguiente sistema de ecuaciones: y = 2λx x = 2λy x2 + y2 - d2 = 0 Reemplazando la primera ecuación en la segunda resulta x = 4λ2x → x(1 - 4λ2) = 0 Las soluciones posibles son x = 0 o bien λ = ±1/2, que se analizan por separado.

Pag 59

x = 0 reemplazado en la primera ecuación determina y = 0, pero estos valores no satisfacen la restricción, de manera que (0,0) no es un punto crítico. λ = -1/2 reemplazado en la primera determina que y = -x, es decir un valor positivo y otro negativo que tampoco satisfacen la restricción. λ = 1/2 reemplazado en la primera determina que y = x. Reemplazando esta igualdad en la restricción se obtiene y = x = d√2/2; El único punto crítico sobre la restricción es (d√2/2, d√2/2). A este se agregan los dos puntos críticos singulares y se evalúa la función en cada uno: f(0,d) = f(d,0) = 0 es el mínimo global el área alcanza un mínimo igual a cero, en el restante f(d√2/2, d√2/2) = d2/2 es el máximo global. Conclusión: el área máxima es d2/2 y ocurre cuando la base y la altura son iguales a d√2/2 Ejemplo 9 Determinar el mínimo de f(x,y,z) = 3x + 2y + z + 5 sujeto a la restricción G(x,y,z) = 9x2 + 4y2 – z = 0 Los puntos que satisfacen la restricción son los que corresponden a la superficie de un paraboloide elíptico. Esta es una superficie abierta y entonces el conjunto de esos puntos no es cerrado. Los puntos críticos son los que satisfacen el sistema de ecuaciones:

3 = 18λx 2 = 8λy 1 = -λ 9x2 + 4y2 – z = 0

Reemplazando el valor λ = -1 en las dos primeras ecuaciones, se obtiene x = -1/6, y = -1/4. Cuando se ponen estos valores en la restricción se obtiene z = 1/2 El único punto crítico es (-1/6,-1/4,1/2) y el valor de la función en ese punto es f(-1/6,-1/4,1/2) = 9/2. Para determinar si en ese punto crítico hay o no un extremo y el tipo del mismo, se pueden seguir dos caminos: 1) Analizar el signo de ∆f en un entorno del punto crítico

∆f = 3(-1/6 + ∆x) + 2(-1/4 + ∆y) + 1/2 + ∆z + 5 – [3(-1/6) + 2(-1/4) + 1/2 + 5] = ∆f = 3∆x + 2∆y + ∆z El valor de ∆z se puede obtener de la ecuación de la restricción: ∆z = 9(-1/6 + ∆x)2 + 4(-1/4 + ∆y)2 – [9(-1/6)2 + 4(-1/4)2] = -3∆x - 2∆y + 9∆x2 + 4∆y2 Cuando se reemplaza ∆z en la expresión de ∆f se obtiene ∆f = 9∆x2 + 4∆y2 ≥ 0 El incremento de la función es positivo en un entorno de cualquier tamaño. Se puede afirmar entonces que la función alcanza en ese punto un mínimo global

2) Aplicar el criterio de las derivadas segundas Dado que G(x,y,z) = 0 define a z como una función implícita de x e y, z = g(x,y), resulta que f es una función compuesta f(x,y,g(x,y)) =φ(x,y). Las derivadas de esta función son: φx = fx + fz.gx = 3 + 18x → φxx = 18; φxy = 0 φy = fy + fz.gy = 2 + 8y → φyy = 8; φyx = 0 H = φxxφyy - φxy

2 = 144 > 0 Se puede afirmar que hay un extremo y que se trata de un mínimo local.

Aplicación de múltiples restricciones simultáneas sobre una función Cuando se deben determinar los extremos de una función f(p) sobre la que se imponen simultáneamente las restricciones G1(p) = 0, G2(p) = 0, …., Gn(p) = 0, donde n es menor o

Pag 60

igual a la cantidad de variables independientes, también se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange. En efecto, se demuestra que en los puntos donde ocurren extremos el gradiente de la función es una combinación lineal de los gradientes de las restricciones. Esta condición permite construir un sistema de ecuaciones para resolver las coordenadas del punto crítico y los coeficientes de la combinación lineal:

)(Gλ)(Gλ)(Gλ)f( nn2211 pppp ∇++∇+∇=∇ L G1(p) = 0

G2(p) = 0 ……….

Gn(p) = 0 Ejemplo 10 Determinar los extremos de f(x,y,z) = x + 2y + 3z sobre los puntos de la elipse dada como intersección del cilindro x2 + y2 = 2 con el plano y + z = 1 Para eso debemos determinar los puntos críticos de f(x,y,z) sujeta a las restricciones G(x,y,z) = x2 + y2 – 2 = 0 y H(x,y,z) = y + z – 1 = 0 De la condición z)y,H(x,µz)y,G(x,λz)y,f(x, ∇+∇=∇ se obtienen las ecuaciones fx = λGx + µHx fy = λGy + µHy fz = λGz + µHz que juntamente con las ecuaciones de las restricciones permiten resolver las coordenadas del punto crítico y los coeficientes λ y µ. Para las funciones dadas el sistema de ecuaciones es: 1 = 2λx 2 = 2λy + µ 3 = µ x2 + y2 – 2 = 0 y + z – 1 = 0 Reemplazando µ = 3 en la segunda ecuación se obtiene y = -1/(2λ) De la primera se obtiene x = 1/(2λ) Por la segunda restricción se obtiene z = 1 + 1/(2λ) Sólo falta resolver λ para tener las coordenadas de los puntos críticos Reemplazando x e y en la primera restricción: 1/(4λ2) + 1/(4λ2) = 2 → 8λ2 = 2 → λ =±1/2 El valor positivo da el punto crítico P0 = (1,-1,2) El valor negativo da el punto crítico P1 = (-1,1,0) Dado que los puntos que satisfacen ambas restricciones conforman un conjunto cerrado. Se puede afirmar que la función alcanza un máximo global y un mínimo global en el conjunto. Estos valores son: f(1,-1,2) = 5 máximo global f(-1,1,0) = 1 mínimo global VI.3 Ejercitación En los ejercicios 1 a 5 determinar todos los puntos críticos e indicar cuáles de ellos corresponden a máximos locales y cuáles a mínimos locales.

1. f(x,y) = x2 + 4y2 - 4x 2. f(x,y) = 2x4 – x2 + 3y2

Pag 61

3. f(x,y) = xy

4. f(x,y) = xy + 2/x + 4/y

5. f(x,y) = cosx + cosy + cos(x + y) ; 0 < x < π/2; 0 < y < π/2

En los problemas 6 y 7 determinar el valor máximo global y el valor mínimo global de f(x,y) en el conjunto dado e indicar los puntos donde ocurren

6. f(x,y) = 3x + 4y; S = {(x,y): 0 ≤ x ≤ 1, -1 ≤ y ≤ 1} 7. f(x,y) = x2 – y2 + 1 S = {(x,y): x2 + y2 ≤ 1}

8. Expresar un dado número N, positivo, como la suma de tres números positivos, de

modo que el producto de esos tres números sea máximo

9. Determinar la forma (dimensiones) de una caja rectangular cerrada de volumen V0 con área de la superficie mínima

10. Un tanque metálico rectangular sin tapa debe contener 256 litros de líquido. ¿Cuáles

son las dimensiones del tanque que requieren menos material para su construcción?

11. Determinar el vector tridimensional de módulo 9 tal que la suma de sus componentes sea un máximo.

12. Se construye una canaleta doblando hacia arriba dod franjas iguales, una a cada lado

de una larga chapa metálica de 12 pulgadas de ancho. La sección de la canaleta queda como un trapecio sin base mayor. Determinar el ancho los lados y los ángulos en la base para obtener la mayor capacidad de carga.

13. Determinar los valores máximo y mínimo que alcanza z = y2 – x2 sobre el interior y el

contorno del triángulo con vértices (0,0); (1,2) y (2,-2)

14. Demostrar que f(x,y) = (y2 + x2)1/2 alcanza un mínimo global en el origen de coordenadas

15. Determinar el conjunto de puntos en los que la derivada direccional de la función

f(x,y) = e-u con u = x2 + y2, alcanza el valor máximo en el dominio de la función. ¿Cuál es el valor y qué se puede decir acerca de la dirección?

En los ejercicios que siguen usar el método de los multiplicadores de Lagrange para resolver

16. Determinar el mínimo valor que alcanza f(x,y) = x2 + y2 sujeta a la restricción g(x,y) = xy – 3 = 0

17. Determinar el máximo valor que alcanza f(x,y) = 4x2 – 4xy + y2 sujeta a la restricción

g(x,y) = x2 + y2 – 1 = 0

Pag 62

18. Determinar el mínimo valor que alcanza f(x,y,z) = x2 + y2 + z2 sujeta a la restricción g(x,y,z) = x + 3y – 2z - 12 = 0

19. Determinar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa cuya superficie tiene un

área de 48 cm2 y su volumen es máximo.

20. Determinar la mínima distancia entre el origen de coordenadas y el plano x + 3y – 2z = 4

21. El costo por m2 del material para el fondo de una caja rectangular es el triple de lo que

cuesta, por m2, el material para los laterales y la tapa. Determinar la máxima capacidad que puede tener tal caja si la cantidad total de dinero disponible para el material es 12 pesos y el material para el fondo cuesta 0,60 pesos/m2

22. Determinar el máximo volumen de una caja rectangular cerrada con caras paralelas a

los planos coordenados, inscripta en el elipsoide (x/a)2 + (y/b)2 + (z/c)2 = 1

23. Determinar la distancia mínima del origen de coordenadas a la superficie z = (x2y + 16)1/2 En este ejercicio, la ecuación de la restricción es una superficie que no es completamente abierta. Tiene una frontera dada por la condición x2y + 16 ≥ 0. En los puntos de esta frontera es z = 0. Primero determinar puntos críticos de f(x,y,z) con la restricción dada, luego agregar los puntos críticos de f(x,y,0) con la restricción x2y + 16 = 0

Pag 63

21

4

1

5

x

y Conjunto cerrado con las fronteras siguientes x = 2 con 1 ≤ y ≤ 5 x = 4 con 1 ≤ y ≤ 5 y = 1 con 2 ≤ x ≤ 4 y = 5 con 2 ≤ x ≤ 4

1 2

x

y

2 Conjunto abierto con frontera en la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 4

3 4 y

x 2

El conjunto no es abierto ni cerrado. Una frontera es la circunferencia x2 + y2 = 4 y la otra el punto (0,0)

y

x

El conjunto no es abierto ni cerrado. Una frontera es la recta x = 1, la otra es la recta x = 4

Sección VII Respuestas sobre la ejercitación de la Parte I Respuesta a los ejercicios de Sección I1

5 6

7 8 9

(2,2) punto interior No hay puntos interiores (0,5) punto interior (0,0) punto exterior (0.0) punto exterior (0,0) punto exterior (1,1) punto frontera (0,1) punto frontera (0,-2) punto frontera El conjunto no es conexo El conjunto es conexo El conjunto no es conexo

10. Una línea continua en R2 o una superficie sin huecos en R3. Por ejemplo S = {(x,y) є R2: x2 + y2 = 4 } 11. Por ejemplo S = {(x,y) є R2: 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 }

El conjunto está conformado por los puntos aislados (0,1/n). Todos los puntos son frontera. El conjunto no es abierto ni cerrado.

El conjunto no es abierto ni cerrado. Las fronteras son las ramas de la parábola y+1 = (x-1)2 con y ≥ 2 y el segmento de la recta y = 2 con 1-√3 ≤ x ≤ 1+√3

Pag 64

Respuesta a los ejercicios de Sección II 1 a) 5 b) 0 c) 6 d) a6 + a2 e) 2x2 f) no definida g) El semiplano correspondiente a y ≥ 0 2 a) 0 b) 2 c) 16 d) ≈ -4,2469 3. F(g(t),h(t)) = t2 4 5 6 7 8

9 10 11

12

13. D = {(x,y,z) є R3: x2 + y2 + z2 ≥ 16}

Es el conjunto de puntos que están fuera de la esfera de radio 4 centrada en el origen de coordenadas y que incluyen a los puntos de la superficie esférica

14. D = {(x,y,z) є R3: 16x2 + 9y2 + 144z2 ≤ 144} → D = {(x,y,z) ε R3: (x/3)2 + (y/4)2 + z2 ≤ 1 }

Es el conjunto de puntos que están dentro del elipsoide de semiejes (3, 4,1) incluyendo los puntos de la superficie del elipsoide.

Pag 65

15. D = {(x,y,z) є R3: x2 + y2 + z2 > 0} Está conformado por todos los puntos de R3 excepto el origen de coordenadas (0,0,0)

16.

El dominio es todo el plano excepto la recta y = -x D = {(x,y)εR2: y ≠ -x} El nivel que corresponde al punto (1, -2) es k = 2. La curva de nivel es y = 2x/(x-2) El nivel que corresponde al punto (3, -4) es k = 12. La curva es y = 12x/(x – 12)

Respuesta a los ejercicios de Sección III 1. Dado que es una función polinómica continua en todo R2, tiene límite en todo punto y el límite coincide con el valor de la función en el punto -18xy-yx3lim

32

(1,3)y)(x,=

→

2. Dado que es una función continua en todo R2, tiene límite en todo punto y ese límite coincide con el valor de la función en

el punto. ( )23

2xy/3sen -)xy(2cosxlim )(2,y)x,

−=→ π

3. 31

usen(u)

lim31

3y3x)ysen(x

lim0u

22

22

(0,0)y)(x,==

++

→→

4. 22(0,0)y)(x,44

22

(0,0)y)(x, y-x1

limy-xyx

lim→→

=+ la función tiende a ∞, el límite no existe.

5. R2 6. S{(x,y) : x2 + y2 < 1} 7. S{(x,y) : x2 + y2 < 4} 8. S{(x,y) : y ≠ x2 } 9. S{(x,y) : y ≤ x + 1}

10. Usando trayectorias de aproximación y = mx resulta 222

2

0x m1m

(mx)xmx

lim +=

+→

11. Usando trayectorias de aproximación y = ax2 resulta 2424

4

0x a1a

xaxax

lim +=

+→

12.

+

⋅

=

+ →→→1y

x

1limxlim

yxxy

lim 2(0,0)y)(x,0x

22

2

(0,0)y)(x,

El primer límite es cero. El denominador de la segunda expresión es siempre un numero positivo ya que (x/y)2 puede tender a cero o a un número finito, o a infinito, dependiendo de las velocidades relativas de x e y en aproximarse al (0,0). De manera que el segundo límite es un número comprendido entre uno y cero. El resultado es entonces cero. 13. Debe ser g(x)y)f(x,lim

x/2y=

→ entonces g(x) = 2x

14. a) La función es continua en (0,0). Para probarlo, escribir f(x,y) = xy(x2 + y2)-1/2 = ±(1/x2 + 1/y2)-1/2 y considerar el límite.

Pag 66

b) La función no es continua en (0,0). Ver ejercicio 10 c) La función es continua en (0,0). Para calcular el límite considerar que x7/3 = x1/3.x2 y aplicar el razonamiento del ejercicio 12 d) La función es continua en (0,0). Aplicar la propiedad distributiva de manera que la función dada quede expresada como la diferencia de dos funciones, cada una de las cuales tiene límite cero. e) La función es continua en (0,0). Aplicar un razonamiento similar al del ejercicio 12 para determinar el límite f) La función no es continua en (0,0). Ver ejercicio 11

Respuesta a los ejercicios de Sección I.4 1. fx(x,y) = 8(2x – y)3 fy(x,y) = -4(2x – y)3 2. fx(x,y) = (x2 + y2)/(x2y) fy(x,y) = -(x2 + y2)/(xy2) 3. fx(x,y) = eycos(x) fy(x,y) = eysen(x) 4. fx(x,y) = x(x2 - y2)-1/2 fy(x,y) = -y(x2 - y2)-1/2 5. fx(x,y) = –ye-xy fy(x,y) = –xe-xy 6. fx(x,y) = 4/[(4x -7y)2 + 1] fy(x,y) = -7/ [(4x -7y)2 + 1] 7. fx(x,y) = -2xysen(x2 + y2) fy(x,y) = cos(x2 + y2) - 2y2sen(x2 + y2) 8. fx(x,y) = 2cos(x)cos(y) fy(x,y) = -2sen(x)sen(y) 9. fxy = fyx = 12xy2 -15x2y4 10. fxy = fyx = -6e2xsen(y) 11. Fx(3,-2) = 1/9 Fy(3,-2) = -1/2 12. fx(√5,2) = -4/21 fy(√5,2) = -4√5/21 13. fy(3,2) = 1 14. fx(2,1) = 3 15. Vr(6,10) = 120π pulgadas cúbicas 16. pT(100,300) = k/100 17. La pendiente de la recta tangente es fy(1,-2) = 12 La ecuación de esa recta es {z - 5 = 12(y + 2); x = 1} En el plano xy es z = 0 , entonces el punto es (1, -29/12, 0) 18. grad(f) = (2xy + 3y)i + (x2 + 3x)j 19. grad(f) = exy[(1 + xy)i + x2j ] 20. grad(f) = x(x + y)-2[y(x + 2y)i + x2j ] 21. grad(f) = (x2 + y2 + z2)-1/2[xi + yj + zk] 22. grad(f) = xex –z[y(2 + x)i + xj - xyk] 23. grad(f)Po = -21i + 16j 21x – 16y + z = -60 24. grad(f)Po = -2πj 2πy + z = π – 1

Pag 67

25. 7x – 8y – 2z –w + 3 = 0 26. ( )

∇−∇=

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂=

∇ gffg

gy

g

x

gf

y

f

x

fg

gg

f

yg

f

xg

f22

11 jjjjiiiijjjjiiiijjjjiiii

27. La ecuación del plano tangente en el punto (x0,y0,f(x0,y0)) es z - f(x0,y0) = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0). Si el plano es paralelo al plano xy (horizontal) es z = f(x0,y0) = constante. Para que esto se cumpla en cualquier valor de (x,y) debe verificarse simultáneamente fx(x0,y0) = 0 y fy(x0,y0) = 0 fx(x0,y0) = 2x0 – 6 + 2y0 = 0 fy(x0,y0) = 6y0

2 – 10 + 2x0 = 0 Estas condiciones se cumplen en los puntos (2,1) y (11/3, -2/3), que son los puntos donde el plano tangente es horizontal. 28. Como en el ejercicio anterior, el plano tangente en (x0,y0,f(x0,y0)) es z – f(x0,y0) = fx(x0,y0)(x - x0) + fy(x0,y0)(y - y0) z – 1/x0y0 = -y0( x0y0)

-2(x - x0) - x0( x0y0)-2 (y - y0) => x0y0z - 1 = -x/x0 + 1 -y/y0 + 1 => x/x0 +y/y0 + x0y0z = 3

29. El plano tangente a la superficie en (2,1,9) tiene la ecuación z – 9 = 12(x – 2) + 9(y - 1) a) La recta es la intersección del plano tangente con el plano y = 1. Tomando como parámetro x – 2 = t, las ecuaciones paramétricas de la recta son ( x = 2 + t ; y = 1 ; z = 9 + 12t ) b) La recta es la intersección del plano tangente con el plano x = 2. Tomando como parámetro y – 1 = t, las ecuaciones paramétricas de la recta son ( x = 2 ; y = 1 + t ; z = 9 + 9t ) c) La recta es la intersección de plano tangente con el plano y – 1 = 2(x – 2). Tomando como parámetro x – 2 = t, las ecuaciones paramétricas de la recta son ( x = 2 + t ; y = 1 + 2t ; z = 9 + 30t ) 30. Falso. Es necesario, además, que las derivadas sean continuas en el punto (a,b) y en un entorno del mismo. 31. El volumen del cilindro es V = πr2h. Si el radio y la altura sufren una variación ∆r y ∆h respectivamente, el volumen sufrirá una variación ∆V que se puede aproximar por su diferencial: ∆V ≈ dV = 2πrh∆r + πr2∆h. Este es el error que se comete al calcular el volumen si r fue medido con un error ∆r y h fue medido con un error ∆h. En este problema, el error ∆V es máximo cuando ∆r = ∆h = 0,1 cm y es ∆V = 15,6π cm3 Cuando el error por el redondeo de π no puede ser despreciado, entonces ∆V ≈ dV = r2h∆π + 2πrh∆r + πr2∆h El error relativo ∆V/V = (r2h∆π + 2πrh∆r + πr2∆h)/ πr2h = ∆π/π + 2∆r/r + ∆h/h 32. 8/5 33. 3/2√2 34. ¼(√2 + √6) 35. 52/3 36. u = (12i – 5j )/13 Duf(2,-1) = 13 37. u = (-4i + 2j –k)/√21 Duf(1, -1,2) = √21 38. La dirección es la de un vector opuesto al gradiente en el punto. Un vector unitario es u = (i – 2j )/√5 39. a) El punto más caliente está en el origen de coordenadas (0,0,0) b) El vector gradiente en el punto grad(T)(1,-1,1) = 25/4(-i + j - k) c) El vector apunta hacia el origen porque sus componentes son proporcionales a las componentes del vector posición del punto pero con signo contrario. 40. grad(f) = (x2 + y2 + z2)-1/2.cos[(x2 + y2 + z2)1/2].(xi + yj + zk). Las componentes del vector gradiente son proporcionales a las coordenadas del punto donde se calcula. Esto indica que su dirección es radial. Cuando la constante de proporcionalidad es positiva, es radial saliente. En caso contrario es radial entrante. 41. Poniendo el eje y en la dirección Norte y el eje x en la dirección Este, lo que nota el montañista es que fx = -1/4 y fy = -1/2. El vector gradiente en el punto es –i/4 – j /2 e indica la dirección de ascenso más empinado. La dirección de más rápido descenso es la opuesta: i/4 + j /2. El ángulo que forma este vector con los puntos cardinales es N26,57ºE, 42. grad(f)(10,10) = -600e-3(i + 2j ), dirección del movimiento u = j Duf(10,10) = -1200e-3 desciende con una pendiente de -1200e-3 43. Para t = 1 la abeja está en el punto (-1,0, 1). El gradiente de temperatura en ese punto es grad(T)(-1,0,1) = 10(i – k). Si el vector r(t) da la posición de la abeja en cada instante, entonces el vector r´ (t) = dr /dt, da la velocidad de la abeja y la dirección del movimiento en cada instante. Para t = 1 es r´ (1) = -i – πj + k. Un vector unitario en la dirección del movimiento es u = r´ (1)/│ r´(1)│= (π2 + 2)-1/2[-i – πj + k]

Pag 68

a) La derivada direccional en la dirección del movimiento, es la percepción que tiene la abeja sobre la razón de cambio de la temperatura respecto de la distancia que recorre. Cuando t = 1 vale Du(T) = grad(T).u = -20(π2 + 2)-1/2

b) Hay dos formas de evaluar la razón de cambio de la temperatura con respecto al tiempo desde el punto de vista de la abeja. La primera es simple; consiste en reemplazar en la función T(x,y z) a las variables x = tcos(πt), y = tsen(πt), z = t. Con esto se consigue una función que da la temperatura en los puntos por donde pasa la abeja en función del tiempo T(t) = 40/(t2 + 1). La razón de cambio pedida es dT/dt para t = 1 y es dT/dt = -20. El segundo modo es el siguiente: cuando la abeja avanza un dr = r´ (t)dt la temperatura cambia una cantidad ∆T ≈ dT = grad(T).dr , Es decir dT = grad(T).r` (t)dt, entonces dT/dt = grad(T).r´ (t) = 10(i – k).( -i – πj + k) = -20

44. Falso. Existen todas las derivadas direccionales dadas por Duf = │grad(f)│cosθ donde θ es el ángulo entre el vector gradiente y el versor que indica la dirección. Cuando la dirección es perpendicular al vector gradiente, la derivada direccional es nula.

45. La derivada direccional máxima en ese punto es igual al modulo del gradiente en ese punto. Para el caso dado vale √20. Por lo tanto no hay ninguna dirección para la cual la derivada direccional sea igual a 7

Respuesta a los ejercicios de Sección I.5 1. dw/dt = 12t11 2. dw/dt = e3t[3sen(2t) + 2cos(2t)] + e2t[3cos(3t) + 2sen(2t)] 3. dw/dt = -4t3 + 2t – 1 4. ( )3t2ststω 2 −=∂∂

5. ( ) (s)sent(t)senst)f(s,donde(s)2tsent)sen(t)cos(2setω 222222t)f(s, +=+=∂∂

6. ( ) 2/1244 ts1tstω−+=∂∂ 7. -160

8. -1/2(1 + π) 9. 11200π pulgadas3/año

10. 650π cm3/s 11. s

w

w

T

s

z

z

T

s

y

y

T

s

x

x

T

s

T

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

12. Considerar y = f(u) + g(v) donde u = x + ct y v = x – ct. Aplicar la regla de la cadena para calcular las derivadas parciales primeras de y respecto de x y de t. Estas derivadas son funciones de f´(u) y g´(v). aplicar nuevamente la regla de la cadena para calcular las derivadas segundas respecto de x y de t. Verificar que se cumple la igualdad indicada en la ecuación de onda 13. Si F(u) es la primitiva de f(u), es decir dF(u)/du = f(u), entonces Y(t) = F(h(t)) – F(g(t)). Aplicar la regla de la cadena para calcular Y´(t) 14. hxx = 2fx

2 + 2f.fxx hxy = hyx = 2fx.fy + 2f.fxy hyy = 2fy2 + 2f.fyy

15. dy/dx = - (3x2 + 4xy)/(2x2 – 3y2) 16. dy/dx = (ysenx – seny)/(xcosy + cosx) 17. ( ) ( )223 3xyz3x6xzyzxz −−=∂∂ 18. 16z33y2x =++

19. x – 3y + √7.z = -1 20. x + y –z = 2 21. 1/332πz3yx32 −=++

22. P = (3, -1, -14) 23. Si F(x,yz) = 0 es la primera función implícita y G(x,y,z) = 0 es la segunda, grad(F) es perpendicular al plano tangente a la superficie correspondiente a la primera función y grad(G) es perpendicular al plano tangente a la superficie correspondiente a la segunda expresión. Si es grad(F) = λ.grad(G), los vectores son colineales y los planos tangentes son paralelos, pero como tienen un punto común, los planos son coincidentes. Ambas superficies tienen el mismo plano tangente, por lo tanto son tangentes entre sí. 24. El gradiente de la función implícita F(x,y,z) = 0 es perpendicular a la superficie representada por esa función. Si la recta es perpendicular a la superficie en un punto dado (aún cuando este punto no pertenezca a la recta), el vector director de la recta debe ser proporcional al gradiente de F en ese punto. El problema se reduce entonces a encontrar los puntos de la superficie en los que el gradiente de la función es proporcional al vector director de la recta.

Pag 69

25. Un vector que tiene la dirección de la recta pedida es el producto vectorial de los gradientes de ambas funciones en el punto. x = 1 + 32t y = 2 – 19t z = 2 – 17t 26. dV/V = 7% 27. │∆δr│ ≤ 4,375.10-3 28. a) 0,20000 b) 0,19000 c) 0,19062

Respuesta a los ejercicios de Sección I.6 1. Punto crítico (2,0) f(2,0) es mínimo local

2. Puntos críticos (0,0); (1/2, 0) y (-1/2,0) (0,0) punto silla, f(1/2, 0) = f(-1/2, 0) = -1/8 mínimo local

3. Punto crítico (0,0) se trata de un punto silla 4. Punto crítico (1,2) f(1,2) = 6 es un mínimo local 5. No hay puntos críticos 6. f(0,-1) = -4 mínimo global; f(1,1) = 7 máximo global 7. f(0,1) = f(0,-1) = 0 mínimo global; f(1,0) = f(-1,0) = 2 máximo global 8. Los tres números iguales a N/3 9. Las aristas de la caja miden a = b = c = (V0)

1/3. 10. Largo = ancho = 80cm, altura = 40cm, S = 19200cm2 11. El vector es 3√3(i + j + k) 12. Base = 4; laterales = 4; ángulo de los laterales con la base = 120º 13. f(1,2) = 3 valor máximo global; f(8/5,-2/5) = -12/5 valor mínimo global 14. Se trata de un punto singular ya que la función no tiene derivadas en el punto (0,0). La demostración es en base a la

definición: ∆f = f(x,y) – f(0,0) = (x2 + y2)1/2 ≥ 0 para todo (x,y) en el dominio de la función. 15. El conjunto es S = {(x,y): x2 + y2 = 1/2}. El valor de la derivada direccional máxima es e-1/2√2 y se da en la dirección

radial entrante. 16. Mínimo f(√3,√3) = f(-√3,-√3) = 6 17. Máximo f(2√5/5, -√5/5) = f(-2√5/5, √5/5) = 5 18. Mínimo f(6/7,18/7,-12/7) = 72/7 19. Ancho = largo = 4cm, altura = 2cm 20. Distancia mínima d = (8/7)1/2 21. Capacidad máxima (10√15)/9. Dimensiones: ancho = largo = (√15)/3, altura = (2√15)/3 22. Volumen máximo (8abc)/3√3 23. La superficie z = (x2y + 16) es la frontera de la función d2 = f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. Se determinan los puntos críticos de

f(x,y,z) con la restricción g(x,y,z) = (x2y + 16) – z = 0. Con esto se consiguen los puntos críticos P0 = (0,0,4), P1 = (-1, √2, √14) y P2 = (-1, -√2, √14). Sin embargo la superficie que actúa como frontera para f(x,y,z) no es abierta ni cerrada. Tiene una frontera en x2y + 16 = 0 que no la cierra completamente. De manera que resta buscar puntos críticos con dos restricciones: g(x,y,z) = (x2y + 16) – z = 0 además de h(x,y,z) = x2y + 16 = 0. Dado que la última restricción implica que z = 0, se puede reducir la segunda parte del ejercicio a buscar puntos críticos de la función f(x,y,0) con la restricción h(x,y,z). Esto da como puntos críticos P3 = (2√2, -2,0) y P4 = (-2√2, -2,0). El valor mínimo de la distancia se da en estos dos últimos puntos y su valor es d = 2√3. Para asegurar que corresponde a un mínimo global se debe analizar que sucede con f(x,y,z) cuando (x,y) tiende a regiones abiertas de la superficie, es decir cuando (x,y) → (0,±∞) ; (x,y) → (±∞,0) y (x,y) → (±∞,∞)