Análisis, matrices, programación lineal y probabilidad · 2015-02-19 · Colegio Portocarrero....

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015.

Departamento de matemáticas.

Análisis, matrices, programación lineal y probabilidad

Problema 1:

Se considera la curva de ecuación cartesiana y = x2 + 8x, calcular las coordenadas del punto

en el que la recta tangente a la curva es paralela a la recta y = 2x

Problema 2:

Una fábrica tiene tres cadenas de producción, A, B y C. La cadena A fabrica el 50 % del total de los coches producidos; la B, el 30 %, y la C, el resto. La probabilidad de que un coche resulte defectuoso es: en la cadena A, 1/2, en la B, 1/4, y en la C, 1/6. Calcule razonadamente: a) La probabilidad de que un coche sea defectuoso y haya sido fabricado por la cadena A.

b) La probabilidad de que un coche sea defectuoso. c) Si un coche no es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la cadena C?

Problema 3:

Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):

¿Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido?

Problema 4:

Representa gráficamente la función f(x) = x3 – 3x

2 + 4 estudiando: intervalos de crecimiento y

decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión.

Problema 5:

Sean las matrices:

Halla el producto de A por B

Problema 6:

En una factoría, se desean producir al menos 4 unidades del producto B. Cada unidad de producto B ocupa un metro cúbico de espacio de almacenamiento, lo mismo que cada unidad de producto A. Tan solo disponemos de un almacén con capacidad de 20 metros cúbicos. Juan se encarga de una fase de la producción y Pedro de otra fase de la producción. Cada unidad de A requiere 4 horas de trabajo de Juan y 2 horas de trabajo de Pedro. Cada unidad B requiere 1 hora de trabajo de Juan y 3 horas de trabajo de Pedro. Juan debe trabajar al menos 32 horas y Pedro al menos 36 horas. Cada unidad de producto de A produce un beneficio de



25 euros y cada unidad de B produce un beneficio de 20 euros. Utilizando técnicas de programación lineal, calcula el número de unidades de producto A y de producto B que permiten obtener mayores beneficios, así como el beneficio máximo que se puede conseguir.

Problema 7:

Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) ¿Qué medidas debe tener la caja?

b) ¿Qué volumen tendrá?

Problema 8:

Se considera la función f(x) = ax3 + b • ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los

valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1

Problema 9:

En un instituto hay 250 alumnos cursando estudios de Bachillerato, 110 de ellos son alumnos de segundo curso. El director pregunta a todos si están de acuerdo en realizar una determinada actividad cultural. Obtiene respuesta (afirmativa o negativa) de los 250 alumnos. Un 30 % de los alumnos de primer curso le contestaron que están de acuerdo y un 40 % de alumnos de segundo curso le contestan que no están de acuerdo. Si seleccionamos al azar un alumno entre los 250 determinar, justificando la respuesta: a) La probabilidad de que sea un alumno de segundo curso de los que están de acuerdo en realizar la actividad cultural b) La probabilidad de que sea un alumno de los que no están de acuerdo en realizar la actividad cultural c) Sabiendo que el alumno seleccionado pertenece al primer curso, la probabilidad de que sea de los que están a favor de realizar la actividad cultural

Problema 10:

Sea la función

a) ¿Existe algún valor del parámetro a para el que f(x) sea continua en x = 0?

b) Para a = 2 comprueba si x = 1/2 es asíntota vertical de f(x)

Problema 11:

Halla los intervalos de monotonía y los extremos relativos de la función definida por

g(x) = x3 – 3x

2 + 7. Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica.

Problema 12:

Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. ¿Es cierta la igualdad (A + B)(A – B) = A2 – B

2?

Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo si es falso.



Problema 13:

En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: • Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros

• Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros

¿Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? ¿Cuál es el importe de la venta?

Problema 14:

Se considera la función . Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión.

Problema 15:

La función f(t), 0 ≤ t ≤ 10, en la que el tiempo t está expresado en años, representa los beneficios de una empresa (en cientos de miles de euros) entre los años 1990 (t = 0) y 2000 (t = 10)

¿Es continua esta función? ¿Es derivable?

Problema 16:

Un estudio hecho en un cierto IES, en el que se imparte ESO y Bachillerato se recogieron los siguientes datos: • El 60 % de los alumnos son mujeres. • El 15 % de los hombres estudian en Bachillerato. • El 20 % de las mujeres estudian Bachillerato. • El 30 % de las mujeres que estudian Bachillerato eligen una opción de letras. a) Calcula la probabilidad de que un alumno del IES, elegido al azar, sea mujer, estudie Bachillerato y curse una opción de letras. b) ¿Qué porcentaje del alumnado estudia Bachillerato?

c) ¿Qué porcentaje de estudiantes de Bachillerato son hombres?

Problema 17:

Se considera la curva de ecuación . Calcula sus asíntotas.

Problema 18:

¿Qué se puede decir de la gráfica de una función f(x) si se sabe que f’(1) = 0, f’’(1) < 0, f’(3) = 0 y f’’(3) > 0?



Problema 19:

Sea

a) Calcula A2 y expresa el resultado en función de la matriz identidad.

b) Utiliza la relación hallada con la matriz identidad para calcular A2005

Problema 20:

Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiera 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si sólo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide justificando la respuesta. ¿Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? ¿Cuál será el valor de dichos beneficios máximos?

Problema 21:

La función f definida por f(x) = x3 + ax

2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto

(–1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando a, b y c).

Problema 22:

Calcula y simplifica la derivada de la función

Problema 23:

En una clase de segundo de Bachillerato compuesta por el 55 % de chicos y el resto de chicas, practica el balonmano el 40 % de los chicos y una de cada cuatro chicas. Si elegimos al azar un alumno de la clase: a) ¿Cuál es la probabilidad de que practique balonmano?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que practique balonmano y sea chica?

c) Si resulta que no practica balonmano, ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

Problema 24:

Se considera la función . Calcula sus asíntotas.

Problema 25:

Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = –0,01x

2 + 5x + 2500, siendo x la cantidad que se invierta.

a) ¿Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros?



b) ¿Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima?

c) Calcula esa rentabilidad máxima.

Problema 26:

Sea la matriz

Problema 27:

Resuelve las siguientes cuestiones

a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:

x ≥ 3(y – 3); 2x + 3y ≤ 36; x ≤ 15; x ≥ 0; y ≥ 0

b) Calcula los vértices del recinto. c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza.

Problema 28:

En una factoría la función de costes es C(x) = x3 – 3ln x, donde x > 0 es el número de toneladas

que se producen. a) Calcula el coste mínimo, si existe, y el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho coste. b) Si la función de ingresos es I (x) = x

3 + 12x, escribe la función de beneficios.

c) Calcula los intervalos en los que la función de beneficios es creciente o decreciente y di si existe beneficio máximo y en caso afirmativo el número de toneladas que se han de producir para alcanzar dicho beneficio.

Problema 29:

Sea la función f definida por

a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f

b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1

Problema 30:

De un estudio sobre accidentes de tráfico de dedujeron los siguientes datos: En el 23 % de los casos no se llevaba puesto el cinturón de seguridad, en el 65 % no se respetaron los límites de velocidad permitidos y en el 30 % de los casos se cumplían ambas normas, es decir, llevaban puesto el cinturón y respetaban los límites de velocidad. a) Calcule la probabilidad de que, en un accidente de tráfico, no se haya cumplido alguna de las dos normas. b) Razona si son independientes los sucesos “llevar puesto el cinturón” y “respetar los límites de velocidad”.

Problema 31:



La temperatura (en °C) de un objeto viene dada por la función

donde t es el tiempo en horas. Calcula la temperatura inicial, la temperatura cinco horas más tarde y la temperatura que puede alcanzar el objeto si se deja transcurrir mucho tiempo.

Problema 32:

Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = – 4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 6 es horizontal. b) Para a = 1 y b = –1

• Razona cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales.

• Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x)

Problema 33:

Sean las matrices

Determina x para que A • B = I2

Problema 34:

Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste.

Problema 35:

El beneficio en euros por kilogramo de un alimento perecedero se estima que viene dado por la función B(x) = 4x – 2x

2 – 0,68 donde x es el precio en euros de cada kilogramo del alimento.

a) ¿Entre qué precios por kilogramo se obtienen beneficios?

b) ¿A qué precio se obtiene el máximo beneficio?

c) Si en un comercio se tienen 1000 kilogramos de ese alimento ¿Qué beneficio máximo puede obtener?



Soluciones

Problema 1:

La pendiente de la recta tangente tiene que ser 2 por ser paralela a la recta y = 2x

Como la pendiente de la recta tangente viene dada por la derivada de la función:

y’ = 2x + 8 2x + 8 = 2 2x = – 6 x = – 3 y = (–3)2 + 8(–3) = 9 – 24 = – 15

El punto es P(– 3, –15)

Problema 2:

D = “coche defectuoso”

Árbol de probabilidades

a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total P(D) = P(A) • P(D/A) + P(B) • P(D/B) + P(C) • P(D/C) =

= 0,5 • 1/2 + 0,3 • 1/4 + 0,2 • 1/6 = 0,36

c) Se aplica el teorema de Bayes

Problema 3:

La función R(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su dominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador es distinto de cero para todo x ≥ 600, se estudia el caso en x = 600

Para que sea continua en

Se estudian los límites laterales:

no es continua en x = 600

Problema 4:

Máximos y mínimos

f’(x) = 3x2 – 6x 3x

2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples.



f(0) = 4, A(0, 4)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0)

f”(2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento

f’(1) = – 3 < 0 (–)

Punto de inflexión

f”(x) = 6x – 6 6x – 6 = 0 x = 1

f(1) = 2, C(1, 2)

f’”(x) = 6

f”’(1) = 6 ≠ 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f”(0) = – 6 < 0 (–)

Problema 5:

Problema 6:

a) Tabla con los datos del problema.

Producto A Producto B Restricciones

Nº de unidades x y x ≥ 0; y ≥ 4

Limitación de espacio x y x + y ≤ 20

Nº de horas de trabajo de Juan 4x y 4x + y ≥ 32

Nº de horas de trabajo de Pedro 2x 3y 2x + 3y ≥ 36

Beneficios 25x 20y f(x, y) = 25x + 20y Máximo

b) Región factible.



c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(12, 4); B(16, 4); C(4, 16); D(6, 8). El máximo es f(16, 4) = 480 euros

d) La solución óptima es B(16, 4), es decir, x = 16 unidades del producto A e y = 4 unidades del producto B. Beneficios = 480 euros

Problema 7:

a) Datos, incógnita y dibujo.

Función que hay que maximizar es: f(x, y) = 2x

2y

sujeta a la restricción: 3x + y = 1 y = 1 – 3x

Se escribe la función con una sola variable

f(x) = 2x2(1 – 3x) = 2x

2 – 6x

3

Se calculan los máximos y los mínimos

f’(x) = 4x – 18x2; 4x – 18x

2 = 0 x = 2/9, x = 0 (x = 0 no tiene sentido)

Se comprueba en la 2ª derivada

f’’(x) = 4 – 36x f’’(2/9) = – 4 < 0 (–) Para x = 2/9 se alcanza el máximo. Solución

Para x = 2/9 , y = 1/3, se tiene que las dimensiones de la caja son 2/9 m de ancho, 4/9 m de largo y 1/3 m de alto.

b) El volumen será:

Problema 8:

f(1) = 2 a • 13 + b • ln 1 = 2 a • 1 + b • 0 = 2 a = 2

f’(x) = 3ax2 + b/x, como f’(1) = 0 3a • 1

2 + b/1 = 0 3a + b = 0 b = – 3a b = – 6

Problema 9:

Se resuelve mediante una tabla de contingencia: A = “están de acuerdo”; NA = “no están de acuerdo”

A = Están de acuerdo No están de acuerdo Total

1º Curso 0,3 • 140 = 42 98 140

2º Curso 66 0,4 • 110 = 44 110



Total 108 142 250

a)

b)

c)

Problema 10:

a) La función f(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su subdominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador depende del parámetro a, se estudia el caso en x = 0

Para que sea continua en

Se estudian los límites laterales:

Para a = 1/2, la función es continua en x = 0

b)

Problema 11:

Máximos y mínimos

f’(x) = 3x2 – 6x 3x

2 – 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples.

f(0) = 7, A(0, 7)

f”(x) = 6x – 6

f”(0) = – 6 < 0 A(0, 7) Máximo relativo. f(2) = 3, B(2, 3)

f”(2) = 6 > 0 B(2, 3) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento

f’(1) = – 3 < 0 (–)



Problema 12:

Es falso, contraejemplo

Problema 13:


Caja tipo 1 Caja tipo 2 Restricciones

Nº de cajas x y x ≥ 0; y ≥ 0

Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y ≤ 24

Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y ≤ 15

Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6y Máximo


c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(120, 0); B(105, 15); C(0, 50). El máximo es f(105, 15) = 510 euros

d) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingresos = 510euros

Problema 14:

f(1/2) = – 0,53 A(1/2, – 0,53)

f’’’ (1/2) = 24 ≠ 0 A(1/2, – 0,53) es punto de inflexión. x = 1 f’’(1) = 7 > 0

Problema 15:

Los únicos puntos problemáticos son t = 2 y t = 6

Continuidad para t = 2

Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función.



Derivabilidad para t = 2

Para que sea derivable en t = 2, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(2–) = f’(2

+) La función es derivable en t = 2

Continuidad para t = 6


Derivabilidad para t = 6

Para que sea derivable en t = 6, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(6–) ≠ f’(6

+) La función no es derivable en t = 6

Problema 16:

M = “ser mujer”, H = “ser hombre”, L = “elegir opción de letras”


a) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta

b) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total P(B) = P(M) • P(B/M) + P(H) • P(B/H) = 0,6 • 0,2 + 0,4 • 0,15 = 0,18 = 18%




Problema 17:

Asíntotas verticales: no tiene

Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división

y se obtiene la asíntota oblicua: y = x

Problema 18:

Podemos afirmar: a) En x = 1 tiene un máximo relativo porque se anula la primera derivada y es

cóncava porque f”(1) < 0

b) En x = 3 tiene un mínimo relativo porque se anula la primera derivada y es

convexa porque f”(3) > 0

Problema 19:

a)

b) Si A2 = – I2, entonces A

3 = A • (–I2) = – A; A

4 = – I2 • (–I2) = I2 la matriz A es cíclica de

orden 4. Dividiendo 2005 entre 4 queda de resto 1 A2005

= A1 = A

Problema 20:


Microp. A Microp. B Restricciones

Nº microprocesadores x y x ≥ 0; y ≥ 0

Fabricación 3x 2y 3x + 2y ≤ 240

Montaje 2x 4y 2x + 4y ≤ 240

Beneficios 160x 190y f(x, y) = 160x + 190y Máximo


c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(80, 0); B(60, 30); C(0, 60). El máximo es f(60, 30) = 15300 euros

d) La solución óptima es B(60, 30), es decir, x = 60 microprocesadores del tipo A e y = 30 microprocesadores del tipo B. Beneficios = 15300 euros



Problema 21:

Como f(– 1) = 0 – 1 + a – b + c = 0 (1)

f’(0) = 0 f’(x) = 3x2 + 2ax + b b = 0 (2)

f(0) = 4 c = 4 (3)

Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene:

Problema 22:

Es la derivada de un cociente:

Problema 23:

BM = “practica balonmano”

NBM = “no practica balonmano”


a) Se aplica la regla de la suma o de probabilidad total P(BM) = 0,55 • 0,4 + 0,45 • 0,25 = 0,3325

b) Se aplica la regla del producto o de probabilidad compuesta


Problema 24:

Es la hipérbola trasladada 1 unidad hacia arriba y 2 unidades hacia la derecha. Luego:



Asíntota vertical: x = 2

Asíntota horizontal: y = 1

Asíntota oblicua: no tiene

Problema 25:

a) R(1000) = – 0,01 • 10002 + 5 • 1000 + 2500 = – 2500 euros, pierde dinero.

b) R’(x) = – 0,02x + 5 – 0,02x + 5 = 0 x = 250

R(250) = 3125, A(250, 3125)

R”(x) = – 0,02; R”(250) = – 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros

Problema 26:

Problema 27:

a) Región factible.

b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3)

c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC

Problema 28:

a)

C’(x) = 0 3x3 – 3 = 0 x = 1 C(1) = 1; A(1, 1)

C’’(1) = 9 > 0 A(1, 1) es un mínimo relativo. Para x = 1 tonelada, se alcanza el coste mínimo que es 1



b) La función beneficios es B(x) = I(x) – C(x) = 12 x + 3ln x

c)

B’(x) = 0 12x + 3 = 0 x = – 1/4

No tiene sentido porque x debe ser mayor que cero.

B’(x) > 0 para todo x > 0. Luego la función beneficio es creciente

Problema 29:

a) Continuidad

La función está definida por una función racional y una polinómica que no tienen puntos de discontinuidad en sus dominios de definición. El único punto problemático es x = 0


Derivabilidad

Para que sea derivable en x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales.

f’(0–) ≠ f’(0

+) La función no es derivable en x = 0

b) Ecuación de la recta tangente:

Ecuación punto pendiente: y – f(a) = f’(a)(x – a)

x = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 P(1, 2)

f’(x) = 2x + 1 f’(1) = 2 • 1 + 1 = 3

y – 2 = 3(x – 1) y – 2 = 3x – 3 y = 3x – 1

Problema 30:

Se aplican las propiedades de la probabilidad y la probabilidad condicionada. Diagrama de Venn

Problema 31:



f(0) = 8 °C

f(5) = 17,25 °C

Problema 32:

que nunca se anula, por tanto no tiene puntos de inflexión. Curvatura: f”(0) = 2 > 0 (+)

Problema 33:

Se calcula A • B y se igualan los términos con los de I2

Problema 34:




Crudo ligero Crudo pesado Restricciones

Nº de barriles x y x ≥ 0; y ≥ 0

Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y ≥ 26300

Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y ≥ 40600

Gasoil 0,2x 0,5y 0,2x + 0,5y ≥ 29500

Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimo


c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, 263000). El mínimo es f(90000, 23000) = 7795000 euros

d) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = 90000 barriles de crudo ligero e y = 23000 euros barriles de crudo pesado. Coste = 7795000 euros

Problema 35:

a) La función beneficio viene dada por una parábola que tiene un máximo. Produce beneficios cuando B(x) > 0. B(x) = 0 4x – 2x

2 – 0,68 = 0 x = 0,19, x = 1,81. En el intervalo (0,19;

1,81) es donde se obtienen beneficios. b) El beneficio máximo se obtiene en el vértice

Para x = 1 euro/kg se obtiene el máximo beneficio de 1,32 euros

(El resultado también se puede obtener resolviendo B’(x) = 0)

c) 1000 • 1,32 = 1320 euros

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