Análisis Modal en Cavidades Tubulares Acústicas con ...

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INSTITUTO POLITÉCNICO

NACIONAL

SECCIÓN DE ESTUDIOS DE POSGRADO E INVESTIGACIÓN.

ESIME Zacatenco.

Análisis Modal en Cavidades Tubulares

Acústicas con Discontinuidades Utilizando el Método de Galerkin Híbrido.

TESIS que para obtener el grado de:

DOCTOR EN CIENCIAS

Con especialidad en Ingeniería Mecánica. Presenta: M.C. ITZALÁ RABADÁN MALDA Bajo la DIRECCIÓN del:

DR. JOSÉ ANGEL L. ORTEGA HERRERA.

2006

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RESUMEN.

El presente trabajo pretende aplicar los métodos variacionales al análisis de vi braciones en cavidades tubulares acústicas con discontinuidades, lo cual se hace en la presentación de cinco capítulos que son: ANTECEDENTES, ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES, ANÁLISIS MODAL CLÁSICO, MÉTODOS NUMÉRICOS VARIACIONALES y EL MÉTODO DE PETROV – GALERKIN – MEF.

En el capítulo denominado ANTECEDENTES se da una presentación general del panorama

actual de la acústica, desde la época de los griegos hasta nuestros días; así también se presenta la reseña de los principales desarrollos de la matem ática requerida por los investigadores de vibraciones, a fin de dar lugar a los avances en esa ciencia hasta el día de hoy. Finalmente se expone la relación inherente entre el científico interesado en la acústica musical y el fabricante de instrumentos musicales, llamado laudero.

El capítulo I, denominado ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES, presenta la

relación existente entre la acústica física y los instrumentos musicales, relación que da lugar al desarrollo de la llamada acústica musical, también se presenta un panorama general de los diferentes tipos de instrumentos musicales, haciendo énfasis en los instrumentos de viento, para terminar con la descripción del sujeto de estudio del presente trabajo: la flauta andina o quena.

Los métodos clásicos ut ilizados en el análisis de vibraciones en una dos y tres dimensiones

se presentan en el capítulo II, llamado ANÁLISIS MODAL CLÁSICO, apareciendo así el método de Fourier para el análisis en cuerdas y membranas rectangulares, mientras que el análisis de Bessel se presenta ejemplificado con el estudio de vibraciones en membranas circulares y tubos de sección transversal circular.

Tras el análisis clásico se presentan en el capitulo III, denominado MÉTODOS NUMÉRICOS

VARIACIONALES, distintos métodos con enfoque energético para el análisis de vibraciones acústicas, pretendiendo proponer aquel o aquellos que se presenten más amigable con la computadora, esto con el fin de lograr un ahorro de tiempo en las iteraciones generadas al estudiar los modos de vibración de cuerdas, placas, membranas y tubos, ya que en general la dificultad que presentan estos sistemas es el enorme número de frecuencias, fundamental y sobretonos (armónicos y no armónicos), a un mismo tiempo.

Por último, el capítulo IV, EL MÉTODO DE PETROV – GALERKIN – MEF, se expone el

método híbrido cuyas ventajas fueron consideradas para analizar específicamente los modos de vibrar de la flauta andina (quena). Primeramente se presenta el método, destacando dichas ventajas, para después, mediante ejemplos numéricos comprobar su utilidad y funcionamiento mediante el desarrollo de software de análisis, cuyos resultados se comparan con valores obtenidos experimentalmente a fin de comprobar la veracidad del método propuesto; llegando finalmente a las conclusiones y recomendaciones a futuro propuestas al concluir este apartado.

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ABSTRACT This work pretends to apply variacional methods to vibrations analysis into acoustic pipes

with discontinuities. This is making across five chapters calling: BACKGROUD (Antecedentes), MUSICAL INSTRUMENTS ACOUSTICS (Acústica de los Instrumentos Musicales), CLASSICAL MODAL ANALYSIS (Análisis Modal Clásico), VARIACIONAL NUMERIC METHODS (Métodos Numéricos Variacionales) and PETROV – GALERKIN – FEM METHOD (El Método de Petrov – Galerkin – MEF).

At background chapter a general panoramic about acoustics is shown, from Greeks until

today. A short history about mathematics required by vibrations’ researcher into development of acoustics’ science is exposed and finally, relation between people dedicated to acoustical investigation and people who make musical instruments or luthier.

Chapter I is called MUSICAL INSTRUMENTS ACOUSTICS and presents relations between

physical acoustics and musical instruments, it means musical acoustics principles. A general behavior about different kinds of musical instruments is shown, emphasize about woodwinds to finish with description about study subject of this work: Andine flute or quena.

Methods applied into classical mathematics for both of them one, two and three vibration

analysis, are showing at chapter II, calling CLASSICAL MODAL ANALYSIS. Here, Fourier’s method appears at the strings and rectangular membranes. Bessel analysis is applied for vibrations in both circular membranes and pipes with circular cross section.

After classical analysis different methods used actually for vibrations analysis, they are calling

energetics and are shown at chapter III, VARIACIONAL NUMERIC METHODS. Here, the friendliest with PC will be selected and proposed to generate a new methodology about modal analysis into both strings, plates, membranes and pipes, because the highest difficulty in this field is to determine a great number of frequency (fundamental and overtones) values, whose are present at the same time.

Finally, at chapter IV PETROV – GALERKIN – FEM METHOD, is exposed the hybrid method

whose advantages was considerate to analyze quena’s vibration modes. Initially is showed this method emphasized these advantages, later, through numerical examples its utility and functionality are checked in order to develop simulation software, whose results will be compared with experimental values. At last conclusions and future advices are presented at the end of this chapter.

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INDICE TEMA PÁGINA JUSTIFICACIÓN 9 OBJETIVOS 10 ANTECEDENTES 11 BREVE HISTORIA DEL DESARROLLO DE LA ACÚSTICA. 12 EULER LAGRANGE Y D’ALEMBERT. 15 DESARROLLO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL ANÁLISIS DE VIBRACIONES. 17

El método de las analogías dinámicas. 17 El método del Elemento Finito (FEM). 18 El método de los Elementos Frontera (BEM). 18 LA ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES 18 La acústica y la laudería. 19 CAPITULO I. ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES 21

1.1. INTRODUCCIÓN 22 1.2. ACÚSTICA MÚSICAL. 23 1.2.1. Instrumentos Musicales 25 1.4. LA QUENA 27 CAPÍTULO II. ANÁLISIS MODAL CLÁSICO 29

2.1. ANÁLISIS DE FOURIER 30 2.1.1. La Cuerda Vibrante. 36 2.1.2. Membranas Rectangulares . 40 2.2. ANÁLISIS DE BESSEL. 46 2.2.1. La Membrana Circular. 46 2.3. LA ECUACIÓN DE ONDA PARA TUBOS CILINDRICOS. 50 2.3.1. Ondas Cilíndricas. 50 2.3.2. La Ecuación de Onda en Coordenadas Cilíndricas. 50 CAPÍTULO III. MÉTODOS NUMERICOS VARIACIONALES 56

3.1. MÉTODO DE LAS ENERGÍAS. 57 3.1.1. Densidad de Energía en una Onda Libre Progresiva. 58 3.1.2. Flujo de Energía Sonora o Intensidad Acústica 59 3.2. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS MODAL DE MEMBRANAS ACÚSTICAS. 60

3.2.1. La Formulación Variacional. 60 3.2.2. La Formulación Matricial. 60 3.2.3. Algoritmo Computacional y Solución Numérica. 65 3.3. EL MÉTODO DE BUBNOV - GALERKIN. 66 3.3.1. El Método de Galerkin. 66 3.3.2. Construcción de las Funciones. 66 3.3.3. Condiciones de Frontera de Primera Clase. 66 3.3.4. Aplicaciones del Método de Galerkin. 70 CAPÍTULO IV. EL METODO DE PETROV-GALERKIN-MEF. 77

4.1. El Método Híbrido de Petrov-Galerkin-MEF. 78 4.2. El Sistema Acoplado Acústico-Estructural. 81 4.2.1. Sistema Acoplado Acústico-Estructural sin pérdidas. 81 4.2.2. Sistema Acoplado Acústico-Estructural con pérdidas. 83 4.3. Análisis Modal Computacional en Tubos Cilíndricos. 85 4.3.1. Análisis Modal en un Tubo Silenciador por MEF. 86 4.4. Análisis Modal Numérico en tubos cilíndricos con agujeros. 92

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4.5 Resultados Numéricos y Experimentales. 97 4.5.1. Caso experimental de la quena. 97 4.5.2. Resultados Numéricos. 100 4.5.3. Resultados Experimentales. 103 4.6. Conclusiones y Recomendaciones a Futuro. 115 Apéndice 1. Funciones de Bessel

118

Apéndice 2. La Formulación Variacional de Lagrange y el MEF 124

Apéndice 3. Escalas Musicales. 148

Apéndice 4. Software de simulación de modos de vibración en membranas

circulares. 150

Apéndice 5. El Método de Rayleigh – Ritz. 157

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ÍNDICE DE FIGURAS. FIGURA PÁGINA 1.1. División de la Acústica para su estudio. 19 1.2. Laudero o luthier en su taller. 19 1.3. Clasificación de instrumentos musicales. 20 1.4. Instrumentos latinoamericanos. 21 1.5. Modos de vibración de una cuerda. 22 1.6. Modos de vibración en un tubo abierto. 23 1.7. Quena. 24 2.1. Sistema vibrante elemental y gráfico con parámetros principales. 30 2.2. La cuerda vibrante. 32 2.3. Representación de la diferencial de una cuerda. 33 2.4. Elemento de una membrana vibrante. 41 2.5. Membrana rectangular. 42 2.6. Modos de vibración de una membrana rectangular. 45 2.7. Modos de vibración para una membrana circular. 49 2.8. Distribución de presión en un tubo regular abierto. 51 2.9. Dimensiones del tubo y ubicación respecto al eje z. 53 3.1. Región de contorno rectangular. 60 4.1. Tubo cilíndrico con sección transversal constante sin agujeros. 86 4.2. Tubo Cilíndrico homogéneo de sección transversal variable. 86 4.3. Modelo con elementos finitos para un tubo con geometría irregular. 87 4.4 Aproximación geométrica para elementos finitos. 87 4.5. Esquema del silenciador. 87 4.6. Coordenadas del silenciador. 88 4.7. Condiciones de frontera (esquema en dos dimensiones con simetría alrededor

del eje). 89

4.8. Modelo de elementos finitos. 89 4.9. Solución nodal distribución instantánea de presión, frecuencia a 800 Hz . 90 4.10. Gráfica presión vs. Distancia, frecuencia a 800 Hz . 91 4.11. Solución nodal distribución instantánea de presión, frecuencia a 1800 Hz. 91 4.12. Grafica presión vs. distancia a 1800 Hz . 92 4.13. Gráfica presión vs distancia a 390 Hz, para un sistema críticamente

amortiguado. 92

4.14. Cilindro delgado. 93 4.15. Modelo mallado del cilindro con elementos isoparamétricos cuadrangulares de

cuatro nodos 2D. 94

4.16 Tubo cilíndrico delgado con agujero lateral. 94 4.17. Circuito eléctrico análogo equivalente a un tubo cilíndrico con agujero lateral. 96 4.18. Quena. 97 4.19. Digitación básica de la quena. 98 4.20. Agujeros Tonales. 99 4.21. Vistas longitudinales de la quena: a) en planta y b) en corte. Dimensiones en

metros. 99

4. 22. Variaciones en la longitud efectiva de un tubo debidas a los agujeros tonales. 100 4.23. Montaje de equipo para la medición de las frecuencias de resonancia de la

quena. 101

Gráficos experimentales quena boliviana 104 Gráficos experimentales quena peruana 107 Gráficos experimentales quena mexicana 110

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JUSTIFICACIÓN.

En la acústica hay situaciones muy complicadas en las cuales las geometrías de las fronteras confinan a las ondas de presión sonora a una región limitada del espacio. Las propiedades de resonancia en tubos excitados por un extremo y cerrados por el otro, tienen una aplicación importante para la medición en laboratorio de las impedancias acústicas y propiedades de absorción de materiales; mientras que al estudiarse tubos excitados en un extremo y abiertos en el otro, se hallarán las características descriptivas del comportamiento de instrumentos musicales, conocidos como alientos, escapes de automóviles y sistemas de aire acondicionado entre otras muchas aplicaciones.

Por otro lado, el desarrollo de nuevos métodos matemáticos aplicados a la obtención de los

modos de vibración (análisis modal) en tubos es de gran interés, tanto para empresas como para universidades de todo el mundo, ya que estos elementos mecánicos tienen gran impacto en industrias tales como: la automotriz, fabricantes de instrumentos musicales, diseñadores y constructores de recintos acústicos, fabricantes y diseñadores de sistemas de aire acondicionado, diseñadoras de tuberías, y muchas más. Siendo en este aspecto necesario el desarrollo de investigación a fin de proporcionar los datos, y en su caso, los medios tanto de simulación, como de control automático para la manufactura e inclusive la predicción del comportamiento de elementos tubulares.

Es aquí donde los métodos variacionales pueden ofrecer ventajas sobre otros mas

convencionales, ya que los primeros proporcionan las herramientas necesarias para poder crear una interacción mas amistosa con los sistemas de software existentes, y de esta manera poder llegar a resultados en mucho menor tiempo sin perder exactitud de estos.

Finalmente, el análisis del comportamiento de los instrumentos musicales es un tema que en

muchos países del mundo acapara el interés de un gran número de investigadores, ya que se considera a la música como el primer arte que puede apreciar el ser humano, y siendo la música parte de la cultura de todos y cada uno de los pueblos que habitan la tierra, la caracterización de sus instrumentos, es decir el análisis objetivo de su comportamiento físico, representa un campo que en México debe desarrollarse a fin de conservar la riqueza musical con la que se cuenta. Cabe mencionar que aunque la quena no es de origen mexicano, si es un instrumento de viento que ha tenido una gran aceptación entre la población y entre los autores de música folclórica, con lo cual ha venido a transformarse de un instrumento andino a un instrumento latinoamericano, por lo que justifica la investigación acerca de su desempeño y calidad, a fin de poder insertarla dentro de los registros de los instrumentos reconocidos y aceptados en todo el mundo.

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OBJETIVOS. 1. Realizar el modelado matemático de los modos de vibración de tubos con

discontinuidades (agujeros), utilizando el método híbrido conocido como Método de Bubnov – Galerkin – FEM.

2. Demostrar que los métodos variacionales proporcionan un auxiliar muy

poderoso en el modelado de vibraciones mecánicas, siendo además una herramienta muy útil para crear ambientes más amigables en cuanto al manejo computacional de los datos.

3. Aplicar estos métodos de análisis de las vibraciones mecánicas en general a

tubos con geometrías regulares, irregulares y agujeros; y en particular a la quena (flauta andina).

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ANTECEDENTES BREVE HISTORIA DEL DESARROLLO DE LA ACÚSTICA. EULER, LAGRANGE Y D’ALEMBERT. DESARROLLO DE MODELOS MATEMÁTICOS PARA EL ANÁLISIS DE VIBRACIONES.

1. El método de las analogías dinámicas. 2. El método del Elemento Finito (FEM). 3. El método de los Elementos Frontera (BEM).

LA ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES.

1. La acústica y la laudería.

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ANTECEDENTES Breve historia del desarrollo de la acústica.

El oído, siendo el primero de los sentidos que se desarrolla y comienza a trabajar en el ser humano, ha sido desde siempre de gran interés no solo para los científicos sino para la gente en general. Explicarse el porqué de esto es en realidad sencillo, al evolucionar el homo sapiens desarrolló como principal sentido de percepción el de la vista, sin embargo, debía de alguna manera saber que sucedía a sus espaldas, es así que el sentido del oído se convierte en el segundo indispensable para su supervivencia; poco a poco este sentido cobró mayor importancia ya que, al igual que los otros, puede proporcionar otros satisfactores en la vida y desarrollo humanos, una parte importante de estos aspectos lo constituye el lenguaje, imposible de pensar si el oído no funcionara, además se tiene el disfrute de los sonidos, tanto naturales como los producidos por una composición musical.

La especulación de que el sonido es un fenómeno ondulatorio es debido a la observación de las ondas en el agua1. Esto fue enfatizado, por ejemplo por el filósofo griego Chrysippus (s. 240 a. C.), el arquitecto e ingeniero romano Vetruvius (s. 25 a.C.) y por el filósofo romano Boethius (A. D. 480 – 524). La interpretación de las ondas sonoras fue también consistente con la declaración de Aristóteles (384 – 322 a. C.) respecto a que el movimiento del aire es generado por una fuente, “impeliendo al aire de manera tal que este lo hará con aire adyacente, para que el sonido viaje inalterado en calidad tan lejos como el disturbio del aire le permita alcanzar”.

A continuación se da un resumen de los avances que esta ciencia ha tenido desde que se concibió como tal:

Siglo XI

Claudio Ptolomeo Séneca reúne todos los conocimientos existentes sobre esta ciencia en la obra titulada “Armónicos”.

1636 Marin Mersenne (a menudo nombrado como “el padre de la acústica”) determinó la frecuencia de las distintas notas, descubriendo que las cuerdas al vibrar dan armónicos superiores al fundamental. En la misma época, Pierre Gassens observó que la velocidad de propagación de los sonidos es siempre la misma, con independencia de la intensidad y del timbre de los mismos.

1638 Galileo Galilei demuestra que el tono depende de la frecuencia de las oscilaciones que originan los sonidos, de la masa del cuerpo vibrante, así como de la longitud y de la tensión a la que está sometido. En la segunda mitad de este siglo, se aclararon los conocimientos sobre las ondas sonoras y su propagación, aportando importantes trabajos sobre este tema Newton, Huygens, así como otros eminentes investigadores de la época.

1640 Robert Boyle demuestra que la presencia del aire es necesaria tanto para la producción

1 Allan D. Pierce. The Wave Theory of Sound. Excepts from chapter 1 of Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications. Publicado por la Acoustical Society of América. http.//asa.aip.org/pierce.html

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como para la propagación del sonido. Siglo XVIII

En la Academia Francesa se determina la medida de la velocidad del sonido en el aire.

1736 L. Euler publica un análisis matemático mediante el cual se propone crear música. 1807 T. Young registró las vibraciones de los sólidos, así como las de las cuerdas vibrantes,

determinando con anticipación el principio del fonógrafo, que permitía medir las frecuencias de las vibraciones de los cuerpos sonoros.

1819 Cagniar de la Tour inventó un sistema mediante el cual se podía medir directamente el número de vibraciones de diferentes sonidos, que en su forma actual se debe a los trabajos de Seebek (1841) y Köening (1867).

1827 Wheanstone inventa el kaleidófono que permitía estudiar por procedimientos ópticos los movimientos vibratorios; contribuyeron al desarrollo de este método: Lissajous, Biot y Kundt entre otros muchos investigadores.

1857 E. Scott descubrió el fonoautógrafo que consistía en un brazo terminado en un diafragma, donde por medio de un medidor de nivel , mediante un punzón que se movía al unísono del diafragma registraba el movimiento de vaivén en una superficie; este fue el primer empleo de un diafragma para recoger el sonido.

1859 El Gobierno Francés da la primera norma sobre el tono siendo esta de 435 Hz a 20ºC. 1860 V. Regnault determinó la velocidad del sonido por procedimientos eléctricos. 1862 R. Köening presentó una colección de fonogramas que perfeccionaban el trabajo de Scott. 1867 R. Köening construyó un tonómetro con una gama de 16 Hz a 90 KHz y empleó su equipo

para determinar los límites de la audición en el aire. Helmholtz demostró que si la frecuencia de un sonido es muy baja, la frecuencia fundamental puede resultar inaudible por sí misma, mientras que los armónicos se escuchan distintamente.

1882 Rayleigh presentó un nuevo instrumento de precisión que permitía medir la resistencia de una onda sonora.

1876 Alexander Graham Bell es premiado con la patente norteamericana número 174465 por la invención del teléfono. El invento de Bell empleaba un mecanismo de armadura a manera de “parlante” que permitía escuchar al acercarlo al oído.

1877 Thomas Alva Edison inventa el fonógrafo. Las vibraciones mecánicas grabadas en surcos por un estilete eran convertidas a sonido en la reproducción. Una bocina proveía un cierto grado de amplificación acústica tanto en la grabación como en la reproducción.

1898 Wallace C. Sabine, profesor en Harvard establece la primera fórmula para calcular el tiempo de reverberación de recintos acústicos.

1900 Se construye el primer recinto acústico aplicando el método de Sabine . Dicho espacio fue el New Boston Music may.

1904 John A. Flemming inventa la “Válvula de Flemming” por inserción de un segundo electrodo en el bulbo de luz de Edison. La corriente eléctrica fluye solo en un sentido y el rectificador de tubo de vacío (bulbo rectificador) había nacido.

1906 Lee De Forest inserta un tercer electrodo entre los filamentos y la placa de la válvula de Fleming e inventa el “audión”, conocido hoy en día como triodo amplificador de tubo de vacío (bulbo triodo amplificador). Nace entonces la era de la electrónica y durante medio siglo estará dominada por los tubos de vacío o bulbos.

1919 A. G. Webster publica una descripción matemática del comportamiento de las bocinas, la cual fue ampliamente aceptada y dio a conocer la ecuación de Webster para bocinas.

1925 Rice y Kellog, dos ingenieros del Laboratorio de Investigación de General Electric, publican la primera descripción de la unidad motora de un altavoz de bobina móvil. Ellos oyeron y probaron sus unidades de 6’’ como un radiador directo en un bafle dipolo simple notando que “un bafle de 2 pies cuadrados parece ser el adecuado”. La unidad motora para altavoz dinámico de Rice y Kellog se convirtió en el modelo básico para todos los altavoces usados en la actualidad.

1927 Los Estudios Warner Brothers filman “El cantante de Jazz” protagonizada por Al Jolson. Esta primera película con sonido revoluciona la industria del cine, la cual, ahora en expansión, requiere altavoces y amplificadores para todas sus salas de exhibición. Grandes

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sistemas de altavoces alimentados por modestos altavoces de bulbos vienen a establecerse firmemente como la norma para el sonido en salas de exhibición de filmes.

1929 Waterfall W., Watson Floyd R. y Knudsen Vern O. y un grupo de 40 científicos e ingenieros fundan la Sociedad Acústica de América (ASA por sus siglas en inglés).

1943 Harry F. Olson de los laboratorios de RCA publica el libro “Analogías Dinámicas” donde describe el método de Analogías dinámicas para el análisis de sistemas mecánicos, eléctricos y acústicos. El de Olson es un riguroso método científico aplicable a sistemas electroacústicos, tal como un altavoz, los cuales son modelados y después transformados en su circuito eléctrico equivalente, pudiéndose aplicar entonces un método de análisis de circuitos eléctricos para explicar el comportamiento de los sistemas electroacústicos en la más familiar estructura de circuitos eléctricos. El trabajo de Olson en analogías marcó el principio del análisis de altavoces por medio de la aplicación de los métodos de modelado mediante analogías.

1947 Brattain, Bardeen y Shockley inventan el transistor en los laboratorios Bell. 1948 El disco LP de 33 1/3 es introducido en el mercado, marcando el fin de la era del fonógrafo

puramente mecano-acústico. La era de la alta fidelidad comenzaba... pero aún de modo simple (mono aural).

1954 Edgar Villchur describe por primera vez la operación del “Altavoz de suspensión acústica” donde la extensión de bajas frecuencias se entiende por la aplicación de un nuevo enfoque para los sistemas de cajas cerradas compactas.

1955 Acoustic Research, la compañía que dirige Villchur, introduce el modelo AR-1W de altavoz de baja frecuencia, el cual emplea el principio de suspensión acústica donde el aire encerrado se convierte en la suspensión del sistema.

1958 Es introducido en el mercado el disco LP estéreo. Se introduce entonces el concepto de alta fidelidad (Hi-Fi), requiriéndose entonces el uso de dos altavoces para un completo disfrute del sonido estereofónico.

1961 Neville Thiele publica “Altavoces en cajas abiertas” en los compendios de la IRE - Australia, pero el trabajo no es debidamente notificado. En este trabajo Thiele observó que el circuito análogo para una caja acústica abierta es equivalente a un filtro pasa altas de cuarto orden. Este documento junto con la Tabla de Thiele para cajas abiertas proporciona una invaluable referencia para los diseñadores en todo el mundo.

1962 J. R. Ashley publica su documento “En la respuesta transitoria de la red de cruce ideal” donde ofrece un análisis acerca de los problemas concernientes a los acoplamientos de las salidas individuales de un altavoz de graves (woofer) y uno de agudos (tweeter). Este papel establece un punto de inicio para los análisis posteriores de los circuitos separadores de frecuencias (crossover) por Small, Linkwitz, Leach, etc.

1971 El documento de 1961 publicado por Thiele es reimpreso en la revista de la Sociedad de Ingeniería de Audio (AES por sus siglas en inglés) gracias al reconocimiento de su importancia por el investigador en altavoces el Dr. Ashley

1972 Richard Small somete su disertación doctoral en los sistemas de altavoces de radiación directa y luego procede a publicar una elegante serie de artículos cubriendo el análisis de sistemas de altavoces en cajas abiertas y cerradas utilizando el método de analogías, donde él expande y clarifica el trabajo de Thiele.

1979 Laurie R. Fincham presenta en la 63ª convención de la AES un documento titulado “Una cámara pasabanda para altavoz”, en el cual describe un bafle de doble cavidad en el cual el altavoz es colocado dentro de la caja en una partición entre una cámara cerrada y una abierta. El paso de banda total a la salida del radiador se da desde un respiradero o un radiador pasivo en el frente de la cámara.

1981 Las empresas Sony y Phillips establecen el formato de Disco Compacto (CD). 1989 Surgen los primeros programas de simulación de altavoces para computadora personal. 1997 Sony introduce al mercado el Disco Versátil Digital (DVD).

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En cuanto a la parte matemática de la teoría de propagación del sonido, esta comienza con

Isaac Newton (1642 – 1727), en cuyo Principia (1686) incluye una interpretación mecánica del sonido como siendo “pulsos de presión” transmitidos a través de partículas adyacentes en un fluido.

Los progresos más sustanciales hacia el desarrollo de la teoría de la propagación del sonido descansan en conceptos físicos y matemáticos más firmes, que fueron establecidos durante el siglo XVIII por Euler (1707 – 1783), Lagrange (1736 – 1813) y d’Alembert (1717 –1783). Durante esta época, la física “continua” o teoría de campos comenzó a recibir una estructura matemática definitiva. Aunque las teorías propuestas para el sonido durante el siglo XVIII quedaron incompletas desde muchos puntos de vista, muchas teorías modernas pueden ser consideradas en la mayoría de los casos como refinamientos de las desarrolladas por Euler y sus contemporáneos.

EULER, LAGRANGE Y D’ALEMBERT.

Leonhard Euler es considerado el escritor más prolífico de todos los tiempos, nacido en

Basilea, Suiza el 15 de abril de 1707, este hombre hizo grandes contribuciones a la geometría, el cálculo y la teoría de los números; introdujo las funciones beta y gamma, así como factores de integración para ecuaciones diferenciales. A Euler se debe la notación f(x) para una función (1734), e para la base de los logaritmos naturales(1727), i para la raíz cuadrada de –1 (1777), π para pi, Σ para la sumatoria (1755), la notación para las diferencias finitas ∆y y ∆2y y muchas otras.

Euler estudió, entre muchas otras cosas, mecánica del medio continuo, teoría lunar con

Clairaut, elasticidad, acústica, la teoría ondulatoria de la luz, hidráulica y música. A él se le atribuye la fundación de la mecánica analítica, especialmente en su Teoría del movimiento de los cuerpos rígidos (1765).

En 1755 Euler publicó Institutiones calculi differentialis la cual comienza con un estudio del

calculo de las diferencias finitas; trabajo en el que hizo una investigación detallada de cómo se comporta la diferenciación bajo sustituciones.

Los problemas en fisicomatemáticas condujeron a Euler a un extenso estudio de las

ecuaciones diferenciales. Él consideró ecuaciones lineales con coeficientes constantes, ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes variables, soluciones con series de potencias, para ecuaciones diferenciales, un método de variación de constantes, factores integrantes, un método de soluciones aproximadas y mucho más. Cuando consideró las membranas vibrantes, Euler fue guiado a la ecuación de Bessel, la cual el resolvió introduciendo las funciones de Bessel.

En 1736 Euler publicó Mechanica la cual proveía un mayor avance en el estudio de la

mecánica y en 1765 un trabajo mucho mayor titulado Theoria motus corporum solidorum en el cual, motivado por el problema de presesión de los equinoccios, el descompone el movimiento de un sólido en un movimiento rectilíneo y un movimiento rotacional, considerando los ángulos de Euler y los problemas rotacionales. En 1740 comienza su propio estudio del cálculo de variaciones publicando su trabajo titulado Methodus inveniendi lineas curvas.

Euler también incursiono en el mundo de la teoría de la música, en particular con Tentamen novae theoriae musicae en 1739, en la cual él trato de hacer música “partiendo de las matemáticas y deduciendo de manera ordenada, mediante los principios adecuados, todo lo cual puede hacer las uniones y mezclas apropiadas de tonos agradables ”. De cualquier manera de acuerdo con él el trabajo fue “para músicos muy avanzados en sus matemáticas y para matemáticos muy musicales”.

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Joseph – Louis Lagrange nació en Italia el 25 de enero de 1736, en 1756 le envió a Euler los resultados que el había obtenido en la aplicación del cálculo variacional a la mecánica; resultados que coincidieron con los obtenidos por Euler, por lo cual este último lo reconoció como “un insigne joven matemático” . En un trabajo publicado en la revista científica Mélanges de Turín presentó en los fundamentos de dinámica un punto de vista basado en el desarrollo del principio de la mínima acción y en la energía cinética.

En esa revista también hizo un estudio mayor de la propagación del sonido, haciendo

importantes contribuciones a la teoría de las cuerdas vibrantes. Él tuvo que estudiar extensivamente acerca de este tema y claramente tuvo que profundizar en los trabajos de Newton, Bernoulli, Taylor, Euler y d’Alembert. Lagrange usó un modelo discreto de masa para su cuerda vibrante, el cual consistía de n masas unidas por cuerdas sin peso. Él resolvió el sistema resultante de n + 1 ecuaciones diferenciales, después hizo tender n a infinito para llegar a la misma solución funcional que Euler había obtenido.

En papeles publicados en el tercer volumen de la misma Mélanges de Turín , Lagrange

estudió la integración de ecuaciones diferenciales y propuso varias aplicaciones a tópicos como mecánica de fluidos (donde el introdujo la función Lagrangiana) y la aplicación de sus métodos en el estudió de las órbitas de Júpiter y Saturno.

Jean le Rond d’Alembert nació en París, Francia el 17 de noviembre de 1717, fue

considerado por Bufón como la quintaesencia del conocimiento humano por sus colaboraciones a la Enciclopedia Francesa, sin embargo en los medios científicos de la época d’Alembert fue conocido por “cerrar su mente a la posibilidad de que él pudiese equivocarse”.

Las contribuciones de este matemático a la física son muy grandes, sin embargo se

caracterizan por su falta de pruebas experimentales, ya que como el mismo decía “...d’Alembert es un matemático, no un físico, y el cree que la mecánica es en mucho una parte de las matemáticas, como la geometría o el álgebra. La mecánica racional es una ciencia basada en simples principios necesarios a partir de los cuales cualquier fenómeno particular puede ser deducido por rigurosos métodos matemáticos... d’Alembert piensa que la mecánica debe ser hecha dentro de un sistema completamente de racionalización matemática” . D’Alembert estableció su posición, él claramente creía que la mecánica se basa en principios metafísicos y no en evidencia experimental.

En 1744 d’Alembert aplica sus resultados al equilibrio y movimiento de fluidos y publica

Traité de l’equilibre et du mouvement des fluides. Este trabajo proporciona un tratamiento alternativo al publicado por Daniel Bernoulli para fluidos.

Él fue también un pionero en el estudio de las ecuaciones diferenciales parciales así como

de su uso en la física. El año de 1747 fue uno muy importante para d’Alembert, ya que un segundo trabajo muy

importante apareció ese año, su artículo concerniente a las cuerdas vibrantes. El artículo contiene la primera impresión de la ecuación de onda, pero nuevamente dicho escrito sufre del defecto de que d’Alembert utiliza simplificaciones, matemáticamente agradables, de ciertas condiciones de frontera, lo cual conduce a resultados que no concordaron con la observación.

En la década de 1750 d’Alembert encuentra reticencias de muchas organizaciones científicas

para publicar sus trabajos en matemáticas, por lo cual opta por coleccionarlos y publicarlos posteriormente como Opuscules mathématique que apareció en ocho volúmenes entre 1761 y 1780.

En un artículo titulado Differentiel en el volumen 4 de la Encyclopédie escrito en 1754

sugería una firme fundamentación a la teoría de límites. El fue el primero en comprender la importancia de las funciones y, en este artículo, el definió la derivada de una función como el límite de un cociente de incrementos. Sus ideas en límites lo condujeron a la prueba para convergencia,

17

conocida hoy en día como la prueba del radio de d’Alembert, lo cual aparece en el volumen 5 de Opuscules mathématique.

DESARROLLO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE INTERÉS PARA EL ANÁLISIS DE VIBRACIONES.

Las ecuaciones de la mecánica de los fluidos, de las cuales pueden ser derivadas las ecuaciones de la acústica, son en general sumamente complicadas. Sin embargo, al considerar que muchos fenómenos acústicos envuelven perturbaciones muy pequeñas, es posible hacer simplificaciones muy significativas a esas ecuaciones de los fluidos y linealizarlas, resultando entonces las ec uaciones de la acústica lineal, y de entre todas ellas la más importante es la ecuación de onda2.

Como se mencionó, desde la época de los griegos el estudio de los fenómenos acústicos ha

sido uno de los muchos objetos de atención de la comunidad científica, dándose un gran desarrollo de métodos matemáticos para su análisis sobre todo en los siglos XIX y XX. Así entonces encontramos los más famosos trabajos bajo las autorías de grandes matemáticos como Euler, Lagrange, D’Alembert, quienes fueron los pioneros en la aplicación formal de los métodos matemáticos al estudio de la acústica, dando pie con esto a otros análisis tan importantes como los de Fourier y Bessel, cuyos métodos son enseñados hoy en día por la formación de ingenieros y especialistas en acústica.

1. El método de las Analogías Dinámicas.

Una gran parte de análisis en la ingeniería tiene que ver con sistemas vibrantes, de entre todos ellos el ejemplo más común, y también el más profundamente explorado, es el de un circuito eléctrico. Las ecuaciones de la teoría de los circuitos pueden deducirse a partir de la teoría dinámica de Maxwell, en la cual las corrientes juegan el papel de las velocidades. Las expresiones para las energías cinética y potencial y la disipación muestran que las ecuaciones de la red son deducibles a partir de las ecuaciones generales dinámicas; en otras palabras un circuito eléctrico puede ser considerado como un sistema vibrante. Todo esto sugiere analogías entre circuitos eléctricos y otros sistemas dinámicos como, por ejemplo sistemas vibrantes mecánicos y acústicos3.

Es muy importante recordar siempre que matemáticamente los elementos de una red

eléctrica son los mismos coeficientes en las ecuaciones diferenciales que describen a la red, de la misma manera que los coeficientes en las ecuaciones diferenciales de un sistema mecánico o acústico pueden ser vistos como elementos mecánicos o acústicos. La Ley de Kirchoff relativa a las fuerzas electromotrices, juega el mismo papel para el establecimiento de las ecuaciones eléctricas que el principio de D’Alembert juega en la obtención de las ecuaciones mecánicas y acústicas; Esto quiere decir que cualquier sistema eléctrico, mecánico o acústico, puede ser considerado como una combinación de elementos eléctricos, mecánicos o acústicos, por lo tanto, cualquier sistema mecánico o acústico que pueda ser reducido a una red eléctrica puede ser solucionado aplicando la teoría de los circuitos.

El método de las analogías dinámicas parte precisamente del principio mencionado anteriormente y propone un camino por medio del cual se puedan resolver los problemas que

2 Malcolm J. Crocker. Handbook of Acoustics. John Wiley & Sons. New York.1998. 3 Harry F. Olson. Acoustical Engineering. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. USA. 1960.

18

presentan los sistemas mecánicos y acústicos mediante la realización de un diagrama esquemático en el cual se utilicen tanto los símbolos como las reglas de solución proporcionados por la teoría de los circuitos. Mediante la esquematización del problema se pretende primero facilitar la visualización del problema, que muchas veces es difícil de lograr debido a que se presentan sistemas de ecuaciones diferenciales muy complicados; en segundo lugar, al dibujar el diagrama esquemático es mucho más fácil establecer las ecuaciones diferenciales que representan el comportamiento de cada uno de los elementos que componen el sistema por simple inspección.

2. El Método del Elemento Finito (FEM).

Los métodos tradicionales, tales como los de Fourier, Bessel y las analogías dinámicas presentan un alto grado de dificultad cuando se deben considerar cuerpos o espacios acústicos de geometría irregular; sin embargo existen otros métodos matemáticos aplicables a su solución. En la actualidad existe un gran número de maneras para formular modelos numéricos aproximados para un sistema continuo, algunas se basan en la aproximación de la ecuación diferencial parcial que gobierna al sistema, para nuestro caso la ecuación de onda, hallándose entre ellas: el método de las diferencias finitas, el método de los residuos ponderados, el método de los elementos finitos, el método de Galerkin, el método de los elementos frontera y más.

Esencialmente, una superficie o un volumen complejos puede ser formados por el ensamble de un número de pequeños elementos de geometría más simple y menos grados de libertad, esto es lo que hace básicamente el método de los elementos finitos; las geometrías mas complejas requerirán un mayor número de elementos. En acústica, el número de elementos depende también del rango de frecuencia de interés, ya que usualmente la dimensión mínima de un elemento no debe ser menor que media longitud de onda, entonces para frecuencias muy altas, cuya longitud de onda es muy pequeña, tal vez el FEM no sea el método más adecuado.

3. El Método de los Elementos Frontera (BEM).

Este método es una técnica numérica para calcular el sonido radiado por un cuerpo vibrante o bien para predecir el campo sonoro dentro de una cavidad. El BEM puede también ser usado para determinar la dispersión sonora provocada por un objeto o también predecir el comportamiento de silenciadores. El BEM se ha convertido en una técnica numérica para modelado acústico muy popular en la industria, su mayor ventaja es que únicamente requiere modelar la superficie del cuerpo vibrante con una malla de elementos. Proporcionando como datos del problema un mallado de la superficie, la componente de velocidad normal a la superficie, la densidad del medio de transmisión, la velocidad del sonido en dicho medio y la frecuencia, las soluciones obtenidas por este método incluyen la distribución de presión sonora en la superficie del cuerpo y otros puntos en el campo sonoro, la intensidad y potencia sonoras.

LA ACÚSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES.

En México la acústica es, prácticamente, un área desconocida ya que normalmente suele

confundirse a esta ciencia, al grado de minimizarla como únicamente el manejo de una consola de mezcla, o bien el uso de equipos de audio, es decir ni siquiera se le considera un área de estudio; sin embargo la acústica a nivel mundial va adquiriendo más importancia día con día, no solo en el área de grabación y reproducción de audio, sino en muchas otras en las cuales se divide para facilitar su estudio. En la figura 1.1 se muestra la subdivisión de la acústica para su estudio, aquí es fácil observar que esta cubre todos los aspectos que involucran vibraciones mecánicas, tanto

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audibles (sonido) como inaudibles (infrasonido y ultrasonido). En esa figura podemos ver como se tiene una primera subdivisión llevada a cabo de acuerdo a los rangos de frecuencias considerados, determinándose así la ACÚSTICA DEL INFRASONIDO que es aquella que estudia las vibraciones con frecuencias muy bajas, es decir por debajo de los 20 Hertz (Hz) o vibraciones por segundo; la ACÚSTICA DEL SONIDO, se encarga del estudio de las vibraciones audibles, que son aquellas cuya frecuencia de vibración se halla comprendida dentro del rango que abarca desde 20 Hz hasta 20 KHz; y finalmente se tiene la ACÚSTICA DEL ULTRASONIDO que estudia los fenómenos producidos por frecuencias por arriba del rango audible, es decir valores de frecuencia mayores a los 20 KHz. A continuación se da una breve descripción de las áreas en las que se subdividen las tres anteriores.

♦ Prospección geofísica. Trata específicamente con las ondas de choque generadas por

explosiones provocadas para la localización de yacimientos minerales, petrolíferos y acuíferos. ♦ Sismología. Es aquella que se encarga del estudio de las vibraciones provocadas por los

deslizamientos de las placas tectónicas. ♦ Análisis y control de ruido y vibraciones. Estudia las causas y los efectos del fenómeno

conocido como ruido, ya sea audible o no. Ocupándose de hallar las soluciones tanto en la fuente como en los medios de transmisión y en los receptores de dicho fenómeno acústico.

♦ Electroacústica. Trata especialmente del diseño de los transductores electromecánicos, de las técnicas de conversión mutua de la energía eléctrica en energía mecánica y en energía acústica y de los sistemas de registro y reproducción de sonido.

♦ Acústica arquitectónica. Trata específicamente de la absorción y aislamiento sonoro de los edificios, de la prevención del eco y de la reverberación controlada en los auditorios y salas de música, así como de las condiciones existentes en los espacios abiertos a fin de convertirlos en espacios acústicos como teatros, audioramas y escenarios al aire libre.

♦ Acústica fisiológica. Se encarga del estudio del oído y el aparato fonador desde el punto de vista de su comportamiento físico.

♦ Acústica musical. Estudia las leyes de las combinaciones armónicas de las vibraciones sonoras producidas por generadores mecánicos, eléctricos y electrónicos.

♦ Psicoacústica. Estudia las respuestas del ser humano al estímulo sonoro. ♦ Lingüística y fonética. Estudian la estructuración del lenguaje, las formantes del sonido y la

producción de la palabra mediante sintetizadores (vocoder). ♦ Acústica subacuática. Estudia los usos de las ondas sonoras en el agua para la transmisión

de información. ♦ Acústica del ultrasonido. Trata las aplicaciones de los ultrasonidos en distintas áreas del

conocimiento humano, tales como la medicina, las ingenierías química, metalúrgica, sanitaria, mecánica, electrónica, etc.

♦ PROSPECCIÓN GEOFÍSICA. INFRASONIDO ♦ SISMOLOGÍA. (f < 20 Hz) ♦ ANÁLISIS Y CONTROL DE RUIDO. ♦ ELECTROACÚSTICA. ♦ ACÚSTICA ARQUITECTÓNICA. SONIDO ♦ ACÚSTICA FISIOLÓGICA. (20Hz ≤ f ≤ 20 KHz) ♦ ACÚSTICA MUSICAL. ♦ PSICOACÚSTICA ♦ LINGÜÍSTICA Y FONÉTICA. ♦ ACÚSTICA SUBÁCUATICA. ULTRASONIDO (f > 20 KHz) ♦ACÚSTICA DEL ULTRASONIDO.

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Figura 1.1. División de la Acústica para su estudio.

1. La acústica y la laudería.

Aunque la creación de los instrumentos musicales puede remontarse a épocas muy remotas,

el desarrollo del estudio de la acústica de los instrumentos musicales es una ciencia relativamente joven; Los primeros trabajos con aplicación directa a los instrumentos de viento fueron elaborados por Weber (1830), Helmholtz (1954) y Bouasse y Fouchée (1930).

El arte de la fabricación de instrumentos musicales se lleva a cabo, generalmente, solo con

conocimientos empíricos adquiridos de padre a hijo, de maestro a aprendiz, de generación en generación, perfeccionando así las técnicas de construcción, pero también “llevándose el secreto a la tumba” por lo que a partir del siglo XIX no se notan grandes cambios en dichos diseños.

En el pasado prácticamente no existía asociación alguna entre el fabricante y el estudioso de

la física de los instrumentos musicales. Sin embargo a través del tiempo, las grandes compañías manufactureras comenzaron a emplear científicos con el propósito de desarrollar nuevos y mejores instrumentos musicales así como también técnicas de evaluación que aprovechasen el desarrollo tecnológico existente. Así pues, solo hasta a partir de unos cuantos años atrás la teoría acústica de los instrumentos musicales ha tenido un gran desarrollo, ofreciendo potencialmente un mayor nivel a los procesos de diseño.

En este punto, es muy importante hacer hincapié en que el desarrollo de los avances

teóricos requieren de un trabajo estrechamente ligado entre los científicos, ingenieros, lauderos (artesanos fabricantes de instrumentos musicales) y músicos, ya que son estos últimos dos, los que ayudarán en la comprobación o refutación de los modelos teóricos, al proporcionar los conocimientos prácticos aplicados a la evaluación de los instrumentos elaborados .

REFERENCIAS.

1. Harry F. Olson. Acoustical Engineering . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. USA. 1960.

2. Allan D. Pierce. The Wave Theory of Sound. Excepts from chapter 1 of Acoustics: An

Introduction to Its Physical Principles and Applications. Publicado por la Acoustical Society of América. http.//asa.aip.org/pierce.html

3. Manuel Recuero López. Estudios y Controles para Grabación Sonora. Ed. Instituto

Politécnico Nacional. México. 1991.

4. Malcolm J. Crocker. Handbook of Acoustics. John Wiley & Sons. New York.1998.

5. José Mompín Poblet. Manual de Alta Fidelidad y Sonido Profesional. Ed. Marcombo. España. 1984.

21

CAPÍTULO I ACUSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES

1.1. INTRODUCCIÓN. 1.2. ACÚSTICA MUSICAL.

1.2.1. Instrumentos Musicales. 1.3. AERÓFONOS.

1.3.1. Maderas. 1.3.2. Metales.

1.4. LA QUENA.

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CAPITULO I. ACUSTICA DE LOS INSTRUMENTOS MUSICALES. 1.1. INTRODUCCIÓN.

En México la acústica es, prácticamente, un área desconocida ya que normalmente suele confundirse a esta ciencia, al grado de minimizarla como únicamente el manejo de una consola de mezcla, o bien el uso de equipos de audio, es decir ni siquiera se le considera un área de estudio; sin embargo la acústica a nivel mundial va adquiriendo más importancia día con día, no solo en el área de grabación y reproducción de audio, sino en muchas otras en las cuales se divide para facilitar su estudio. En la figura 1.1 se muestra la subdivisión de la acústica para su estudio, aquí es fácil observar que esta cubre todos los aspectos que involucran vibraciones mecánicas, tanto audibles (sonido) como inaudibles (infrasonido y ultrasonido). En esa figura podemos ver como se tiene una primera subdivisión llevada a cabo de acuerdo a los rangos de frecuencias considerados, determinándose así la ACÚSTICA DEL INFRASONIDO que es aquella que estudia las vibraciones con frecuencias muy bajas, es decir por debajo de los 20 Hertz (Hz) o vibraciones por segundo; la ACÚSTICA DEL SONIDO, se encarga del estudio de las vibraciones audibles, que son aquellas cuya frecuencia de vibración se halla comprendida dentro del rango que abarca desde 20 Hz hasta 20 KHz; y finalmente se tiene la ACÚSTICA DEL ULTRASONIDO que estudia los fenómenos producidos por frecuencias por arriba del rango audible, es decir valores de frecuencia mayores a los 20 KHz. A continuación se da una breve descripción de las áreas en las que se subdividen las tres anteriores.

♦ Prospección geofísica. Trata específicamente con las ondas de choque generadas por

explosiones provocadas para la localización de yacimientos minerales, petrolíferos y acuíferos. ♦ Sismología. Es aquella que se encarga del estudio de las vibraciones provocadas por los

deslizamientos de las placas tectónicas. ♦ Análisis y control de ruido y vibraciones. Estudia las causas y los efectos del fenómeno

conocido como ruido, ya sea audible o no. Ocupándose de hallar las soluciones tanto en la fuente como en los medios de transmisión y en los receptores de dicho fenómeno acústico.

♦ Electroacústica 4. Trata especialmente del diseño de los transductores electromecánicos, de

las técnicas de conversión mutua de la energía eléctrica en energía mecánica y en energía acústica y de los sistemas de registro y reproducción de sonido.

♦ Acústica arquitectónica. Trata específicamente de la absorción y aislamiento sonoro de los

edificios, de la prevención del eco y de la reverberación controlada en los auditorios y salas de música, así como de las condiciones existentes en los espacios abiertos a fin de convertirlos en espacios acústicos como teatros, audioramas y escenarios al aire libre.

♦ Acústica fisiológica. Se encarga del estudio del oído y el aparato fonador desde el punto de

vista de su comportamiento físico. ♦ Acústica musical. Estudia las leyes de las combinaciones armónicas de las vibraciones

sonoras producidas por generadores mecánicos, eléctricos y electrónicos. ♦ Psicoacústica. Estudia las respuestas del ser humano al estímulo sonoro.

4 J. MOMPIN. MANUAL DE ALTA FIDELIDAD T SONIDO PROFESIONAL

23

♦ Lingüística y fonética. Estudian la estructuración del lenguaje, las formantes del sonido y la producción de la palabra mediante sintetizadores (vocoder).

♦ Acústica subacuática. Estudia los usos de las ondas sonoras en el agua para la transmisión

de información. ♦ Acústica del ultrasonido. Trata las aplicaciones de los ultrasonidos en distintas áreas del

conocimiento humano, tales como la medicina, las ingenierías química, metalúrgica, sanitaria, mecánica, electrónica, etc.

♦ PROSPECCIÓN GEOFÍSICA. INFRASONIDO ♦ SISMOLOGÍA. (f < 20 Hz) ♦ ANÁLISIS Y CONTROL DE RUIDO. ♦ ELECTROACÚSTICA. ♦ ACÚSTICA ARQUITECTÓNICA. SONIDO ♦ ACÚSTICA FISIOLÓGICA. (20Hz ≤ f ≤ 20 KHz) ♦ ACÚSTICA MUSICAL. ♦ PSICOACÚSTICA ♦ LINGÜÍSTICA Y FONÉTICA. ♦ ACÚSTICA SUBÁCUATICA. ULTRASONIDO (f > 20 KHz) ♦ACÚSTICA DEL ULTRASONIDO.

Figura 1.1. División de la Acústica para su estudio.

1.2. ACÚSTICA MUSICAL.

El arte de la fabricación de instrumentos musicales se lleva a cabo, generalmente, solo con conocimientos empíricos adquiridos de padre a hijo, de maestro a aprendiz, de generación en generación, perfeccionando así las técnicas de construcción, pero también “llevándose el secreto a la tumba” por lo que a partir del siglo XIX no se notan grandes cambios en dichos diseños.

En el pasado prácticamente no existía asociación alguna entre

el fabricante y el estudioso de la física de los instrumentos musicales. Sin embargo a través del tiempo, las grandes compañías manufactureras comenzaron a emplear científicos con el propósito de desarrollar nuevos y mejores instrumentos musicales así como también técnicas de evaluación que aprovechasen el desarrollo tecnológico existente. Así pues, solo hasta a partir de unos cuantos años atrás la teoría acústica de los instrumentos musicales ha tenido un gran desarrollo, ofreciendo potencialmente un mayor nivel a los procesos de diseño.

Figura 1.2. Laudero o luthier en

su taller. En este punto, es muy importante hacer hincapié en que el desarrollo de los avances

teóricos requieren de un trabajo estrechamente ligado entre los científicos, ingenieros, lauderos

24

(artesanos fabricantes de instrumentos musicales) y músicos, ya que son estos últimos dos, los que ayudarán en la comprobación o refutación de los modelos teóricos, al proporcionar los conocimientos prácticos aplicados a la evaluación de los instrumentos elaborados.

1.2.1. Instrumentos Musicales.

Figura 1.3. Clasificación de instrumentos musicales.

Aunque la creación de los instrumentos musicales puede remontarse a épocas muy remotas,

el desarrollo del estudio de la acústica de los instrumentos musicales es una ciencia relativamente joven; Los primeros trabajos con aplicación directa a los instrumentos de viento fueron elaborados por Weber (1830), Helmholtz (1954) y Bouasse y Fouchée (1930)5.

Actualmente los instrumentos musicales (Fig. 1.3.) se clasifican en:

• Instrumentos de cuerdas o cordófonos. • Instrumentos de percusión o membranófonos. • Instrumentos de viento o aerófonos.

En Latinoamérica la fusión de culturas dio lugar al enriquecimiento de las artes y con ello de la música, lo cual obviamente conlleva la fabricación de instrumentos musicales; en Sudamérica y particularmente en la región andina, nace un tipo de instrumentación muy característico, el cual se conserva hasta nuestros días, instrumentos como el bombo, el erque, el charango, la ocarina y la quena definen en buena parte el sonido de los ritmos andinos (Figura 1.4).

5 Scavone G. P. An Acoustic Analysis of Single-reed Woodwind Instruments with an Emphasis on Design and Performance Issues and Digital Waveguide Modeling Techniques.

Aerófonos

Cordófonos

Percusiones

25

Figura1.4. Instrumentos latinoamericanos. INSTRUMENTOS DE CUERDA.

Este tipo de instrumentos también llamados cordófonos, se hallan presentes en casi todas las culturas del mundo, con cientos de formas y miles de sonidos generados, han acompañado al ser humano a través de su historia, desde la época antigua hasta los modernos movimientos musicales.

Entre los más populares encontramos al violín, la guitarra y el piano, cada uno de los cuales

presentan diferentes características no solo en su construcción sino en la manera en la que las cuerdas son excitadas.

Las cuerdas utilizadas en instrumentos musicales pueden ser accionadas de distintas

maneras:

1. RASGADAS. Esta forma de excitación se da cuando jalamos la cuerda, ya sea utilizando los dedos de la mano o bien una laminilla metálica o plástica llamada “uña o plumilla”, lo cual produce que la cuerda así accionada tienda a recuperar su posición de equilibrio generando de esta manera una vibración; ejemplos de instrumentos tocados de esta manera son: la guitarra acústica y eléctrica, el bajo eléctrico, el banjo, el cuatro y el charango.

2. FROTADAS. En este caso la cuerda se jala continua y rápidamente mediante la utilización de una tira de cuero, sostenida en un bastidor llamado “arco”, con lo cual se provoca una serie de vibraciones que, aunque con intensidad menor, tienen una duración mayor que las

26

producidas en las cuerdas rasgadas. Ejemplos de instrumentos de cuerdas arqueadas o frotadas son: el violín, las violas, los chelos y los contrabajos.

3. PERCUTIDAS. En este caso la cuerda es golpeada por la cabeza de un pequeño martillo tal y como se logra el sonido en el piano.

Ahora bien, cuando una cuerda es excitada, ya sea frotada, rasgada o percutida, la vibración

resultante puede ser considerada como una combinación de los modos de vibración o resonancia; por ejemplo si la cuerda es excitada en su centro, la resultante será la suma de la frecuencia fundamental y los armónicos impares6.

En la figura 1.5 se muestra cómo los modos asociados con los armónicos impares, cuando

cada uno se presenta en la proporción adecuada, puede sumarse en cada instante de tiempo para dar la forma inicial de la cuerda; los modos 3, 7, 11, etc., deben ser opuestos a los modos 1, 3, 5, etc., a fin de obtener un máximo en el centro.

Figura 1.5. Modos de vibración de una cuerda.

1.3. AEROFONOS.

6 Rossing T. D. The Science of Sound. pp. 194.

Modo 1 f1

Modo 2 f2

Modo 3 f3

27

Básicamente estos instrumentos son aquellos en los cuales el generador de sonido es una columna de aire encerrada dentro de un tubo.

Figura 1.6. Modos de vibración en un tubo abierto.

1.4. LA QUENA.

En América se tiene una gran tradición en cuanto a la construcción de instrumentos de

viento o aerófonos, hallándose a lo largo y ancho del continente una gran variedad de diseños y por tanto sonidos que en algunos casos se han conservado intactos desde épocas precolombinas; ejemplo de ello son las chirimías, flautas y ocarinas. Particularmente en Sudamérica nace un tipo de música característico de aquella región al combinarse las culturas europeas con la americana, dando lugar a la música andina, en la cual una flauta de carrizo de sonido melancólico llamada quena tiene un lugar de honor.

La quena es un instrumento musical de origen sudamericano (la región andina para ser más

exactos), en Perú, Bolivia y Chile principalmente se halla una amplia variedad de composiciones musicales en las cuales la quena juega un papel primordial.

Este instrumento musical consta de un cuerpo tubular recto, generalmente hecho de carrizo, con seis perforaciones al frente y una posterior (ver figura 1.7).

Para los músicos que desean utilizarlas, estos instrumentos musicales representan una gran

dificultad, ya que no están temperados (afinados a una escala temperada), de acuerdo con opiniones recogidas entre ellos “cada quena suena diferente”, y como son instrumentos que no permiten afinación in situ, entonces cuando estas deben acoplarse a un conjunto musical, será necesario contar con una cantidad de ellas suficiente como para atinar en la afinación.

28

Figura 1.7. Quena. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.

6. Harry F. Olson. Acoustical Engineering . D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. USA. 1960.

7. Allan D. Pierce. The Wave Theory of Sound. Excepts from chapter 1 of Acoustics: An

Introduction to Its Physical Principles and Applications. Publicado por la Acoustical Society of América. http.//asa.aip.org/pierce.html

8. Manuel Recuero López. Estudios y Controles para Grabación Sonora. Ed. Instituto

Politécnico Nacional. México. 1991.

9. Malcolm J. Crocker. Handbook of Acoustics. John Wiley & Sons. New York.1998.

10.José Mompín Poblet. Manual de Alta Fidelidad y Sonido Profesional . Ed. Marcombo. España. 1984.

11.Gary Paul Scavone. An Acoustic Analysis of Single-reed Woodwind Instruments with

an Emphasis on Design and Performance Issues and Digital Waveguide Modeling Techniques. A dissertation Submitted to the department of music and the committee on graduate studies of Stanford University. Tesis Doctoral. USA. Marzo 1997.

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CAPÍTULO II ANÁLISIS MODAL CLÁSICO INDICE 2.1. ANÁLISIS DE FOURIER. 1.4.1. La Cuerda Vibrante. 1.4.2. Membranas Rectangulares. 2.2. ANÁLISIS DE BESSEL. 2.2.1. La Membrana Circular. 2.3. LA ECUACIÓN DE ONDA PARA TUBOS CILINDRICOS. 2.3.1. Ondas Cilíndricas. 2.3.2. La Ecuación de Onda en Coordenadas Cilíndricas.

CAPÍTULO II. ANÁLISIS MODAL CLÁSICO. 2.1. ANÁLISIS DE FOURIER.

2.1.1. La Ecuación Diferencial Parcial de la Cuerda Vibrante.

30

Como se vio en el capítulo anterior, el estudio de las vibraciones ha sido y sigue siendo de gran interés para los científicos de todo el mundo, por esto es que el análisis de los elementos acústicos así como nuevas aplicaciones para ellos, tiene gran vigencia en nuestros tiempos. La propuesta de métodos que faciliten el análisis de los efectos que las vibraciones provocan es bienvenida, ya que podrá siempre ser aplicada al diseño y mejoramiento de la instrumentación actual. Sin embargo como también se mencionó, en la actualidad se trabaja realmente en propuestas de optimización de los métodos inventados durante el siglo XVIII y hasta la primera mitad del siglo XX. Así pues, en este capítulo se presentarán los métodos de Fourier y de Bessel para la solución de la ecuación de onda en una, dos y tres dimensiones, es decir, aplicables a todos los elementos acústicos.

Pero, antes de continuar, recordemos algunos conceptos que pueden sernos útiles más adelante: Los sistemas que poseen masa y elasticidad están en capacidad de ejecutar un movimiento relativo. Si el movimiento de estos sistemas se repite después de un intervalo de tiempo dado, este tipo de movimiento periódico se denomina vibración. El sistema mostrado en la figura 2.1. (a), es la más simple ejemplificación de un sistema vibrante.

A

F = - sx

t (seg)

x

(a) (b)

Figura 2.1. Sistema vibrante elemental y gráfico con parámetros principales.

Si la masa m, sujeta al resorte y restringida paralelamente a él, se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta, la masa vibrará y una medición puede mostrar que el desplazamiento de la partícula de su posición de equilibrio es una función senoidal del tiempo (fig. 2.1.(b)). A las vibraciones senoidales de este tipo se les llama vibraciones armónicas simples. Dos ejemplos serían los diapasones y los diafragmas de altavoces, que están construidos de tal manera que, a bajas frecuencias, se mueven como unidades.

Las únicas restricciones que se imponen a las ecuaciones del movimiento de un oscilador

armónico simple son:

(a) Que la fuerza restauradora sea directamente proporcional al desplazamiento (Ley de Hooke); y

(b) Que no haya pérdidas que atenúen el movimiento. Cuando se aplican estas restricciones, la frecuencia de vibración es independiente de la

amplitud y el movimiento es armónico simple. Así pues, volviendo a la figura 2.1.(a), expresando a la fuerza restauradora F por medio de

la ecuación: F = - sx (2.1)

Donde:

m

λ

T

31

F - Fuerza de restauración en Newtons (N) s - Elasticidad o constante elástica del resorte en N/m. x - Desplazamiento en metros (m) de la masa m en kilogramos (Kg).

El signo negativo indica que la fuerza es opuesta al desplazamiento. Ahora bien, la masa m responderá a la fuerza aplicada de acuerdo con la segunda Ley de

Newton de manera que:

2

2

dtxd

mF = (2.2)

donde: 2

2

dt

xd - aceleración de la masa en m/s2

Cuando el sistema se encuentra en equilibrio, la suma de las fuerzas actuantes debe ser

cero, esto es:

02

2

=+ sxdt

xdm o bien: 0

2

2

=+ xms

dt

xd (2.3)

como s y m son positivos, entonces podemos definir una constante:

ms

=0ω (2.4)

que convierte a la ecuación 2.3 en:

0202

2

=+ xdt

xdω (2.5)

Un método de solución para esta ecuación diferencial consiste en suponer una solución de

la forma: x = A1 cosγ t (2.6)

al diferenciar y sustituir en (2.5), se muestra que esta expresión es una solución si γ = ω0. De igual manera, se puede demostrar que:

x = A2senω0 t , es también es una solución. Y la solución general es la suma de estas dos soluciones particulares, es decir:

x = A1cosω0t + A2senω0t (2.7) donde A1 y A2 son constantes arbitrarias y el parámetro ω0 es la frecuencia angular en radianes por segundo (rad/s). Puesto que hay 2π radianes en un ciclo, la frecuencia f0 en hertz (Hz) está relacionada con la frecuencia angular por:

πω2

00 =f (2.8)

En consecuencia, la frecuencia de la vibración de un oscilador armónico simple es:

32

π20ms

f = Hay que observar que la frecuencia disminuye, ya sea aumentando la rigidez (inversa

de la elasticidad s) del resorte o bien disminuyendo la masa. Y de esta manera, el periodo T de una vibración completa queda expresado por:

0

1f

T = (2.9)

Por otra parte, quizás el fenómeno físico más idóneo para iniciar el estudio de las vibraciones, corresponda al estudio de las vibraciones de una cuerda de longitud l sujeta en sus extremos y suficientemente elástica, cuando estas oscilaciones son con relación a su posición de equilibrio. Para esto, vamos a suponer que la distribución de masa es lineal y contínua y que la tensión a que está sujeta la cuerda es una función puntual para cada instante t. De acuerdo con la figura 2.2. se tiene un sistema coordenado y un tramo diferencial de la cuerda.

En cada instante 0 < t < : la posición de la cuerda estará dada por las coordenadas paramétricas y dinámicas en el sistema coordenado xy como:

( )( )

==

=tsyytsxx

,,

γ (2.10)

Figura 2.2. La cuerda vibrante. De esta manera, podemos expresar las condiciones iniciales en que se encuentra la cuerda,

es decir, antes de que se inicie el movimiento:

( ) ssx =0, ; ( ) ( )sfsy =0, (2.11)

( ), 0 0x

st

∂=

∂ ; ( ) ( )sgs

ty

=∂∂

0,

Con relación a la masa de la porción diferencial de la cuerda entre s, s+∆s, será:

( )∫∆+ ss

s

dssρ (2.12)

y la fuerza actuando externamente sobre esta masa en la dirección y en el punto s en t, será F(s,t). Si T(s,t) expresa la tensión a que esta sujeta la cuerda en el punto [x(s,t), y(s,t)], la tensión en los

l s s + ∆ s

y

x

33

extremos del arco diferencial de la cuerda en el instante t será: T(s, t), T(s+∆s, t), como lo muestra la figura (2.3) que representa al diferencial de la cuerda dγ(s, t ).

Si

∂∂

∂∂

=∂∂

sy

sx

s,

γ, entonces:

22

∂∂+

∂∂=

∂∂

sy

sx

sγ

es el vector tangente ( )tst ,ˆ a la curva en

[x(s, t), y(s, t)].

Y el unitario será:

( )

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=2222

,,ˆ

sy

sx

sy

sy

sx

sx

tst (2.13)

( )yb s,ts

δδ

−

Figura 2.3. Representación de la diferencial de una cuerda. De esta manera la tensión T(s, t) puede ser determinada en la dirección de x y de y para

obtener el balance de fuerzas actuando en el diferencial dγ(s, t) de masa ( )∫∆+ ss

s

dssρ de la cuerda:

( ) ( )( )∫

∆+

∂

∂=

∂∂

+

∂∂

∂∂

−

∂∂

+

∂∂

∂∂

∆+ ss

s

dst

xs

sy

sx

sx

tsT

sy

sx

sx

tssT

2

2

2222

,,ρ (2.14)

Derivando, se tiene: ( ) ( )

( ) ( )2

2

22

,,

,

t

tsxs

sy

sx

stsx

tsT

s ∂

∂=

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

ρ (2.15)

[x(s+∆ s, t), y(s+∆ s, t)]

dγ(s, t)

∆x(s, t) ∆y(s, t)

γ (s, t) = [x(s, t), y(s, t)] T(s, t)

T(s+∆ s, t)

34

Ahora bien, si consideramos que existe una fuerza de amortiguamiento que se opone al movimiento transversal del tramo diferencial de la cuerda dγ(s, t), o sea en la dirección y (s, t) y esta

es proporcional a la velocidad de ella en (s, t), ( )t

tsyb

∂∂ ,

, se obtiene el balance de fuerzas en la

dirección y(s, t):

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )tsFs

ttsy

bt

tsys

sy

sx

tssy

tsT

s,

,,,,

2

2

22ρρ −

∂∂

+∂

∂=

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

(2.16)

Por otro lado si T(s, t) expresa la tensión de la cuerda en el punto s en el instante t, y

definimos por e: ( ) ( )1

,1,

22

−∂

∂=−

∂∂

+

∂∂

=s

tssy

sx

tseγ

, se puede definir como la función de

elasticidad a L(e , s); también podemos observar que x (s, 0) = s; y(s, 0) = 0 es una posición de equilibrio y que estas condiciones satisfacen a (2.15) y (2.16) cuando F (s, t), resultando que

( ) 00, =∂∂

sst

y por lo tanto T(s, 0) = T0 = constante.

Ahora bien: e = 0; L(e, s) = L(0, s) = T(s, 0) = T0, la tensión T(s, t) puede ser determinada de

las funciones x(s, t), y(s, t) mediante las expresiones:

122

−

∂∂+

∂∂=

sy

sx

e

(2.17) L(e, s)= T(s t)

Ya que (2.15) y (2.16) constituyen un sistema acoplado de dos ecuaciones diferenciales parciales en las incógnitas x(s, t), y(s, t ) y además las siguientes condiciones de frontera:

x(0, t) = 0 ; x (l, t) = l (2.18)

y(0, t) = 0 ; y(l, t ) = 0 y las condiciones iniciales: x(s, 0) = s ; y(s, 0) = 0

( ) 00, =∂∂

stx

(2.19)

( ) 00, =∂∂

sty

35

hacen de este problema (2.15), (2.16) bajo (2.18) y (2.19) un problema sumamente difícil de

resolver, deberemos hacer ciertas suposiciones a fin de simplificarlo. En efecto, si ( ) 0, ≠∂∂

tssx

la

cuerda jamás sería vertical y además s será función de x y de t. Si:

y = v(x, t); sx

xsy

∂∂

∂∂=

∂∂ ν

; tt

xxt

y∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂ νν

;2

2

2

222

2

2

2

2

2t

xxtt

xtxt

x

xt

y

∂

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂

∂ νννν

; que substituidas en la expresión (2.16) dan:

( )tsFtt

xx

bt

xxtt

xtxt

x

x

sy

sx

xsx

T

s,2

2

2

2

222

2

2

22ρ

ννννννρ

ν

−

∂∂

+∂∂

∂∂

+

∂

∂∂∂

+∂

∂+

∂∂

∂∂∂

+

∂∂

∂

∂=

∂∂

+

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

(2.20) De esta manera, expandiendo (2.20) y utilizando las expresiones (2.17), resulta:

( )( ) t

bxt

xbF

ttxtx

xtx

sx

eseL

∂∂+

∂∂

∂∂+−=

∂∂−

∂∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

+ννρνρνρνρ

2

22

2

222

21

, (2.21)

Esta última ecuación es más simple que la (2.16), pero los coeficientes son variables y

dependen de

∂∂sx

, y de e. Con el fin de eliminar este problema supondremos que la pendiente

0≈∂∂xv

, que 0≈∂∂

tx

, y 01 ≈−∂∂

sx

luego x = s.

De esta manera,( )

( ) 011, 2

0

≈−

∂∂

+ sx

TeseL

, ( )( ) 1

2

0−

∂∂

sx

tx

T ρρρ

y son despreciables relativas a 1.

Entonces la ecuación 2.21 quedará como:

( ) ( ) ( )txxtu

xxu

Ttu

b ,F2 2

2

2

2

0 ρρ −=∂∂

−∂∂

+∂∂

(2.22)

satisfaciendo las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

( ) )(0, xfxu = ( ) 0,0 =tu

(2.23) (2.24)

( ) ( )xgxtu

=∂∂

0, ( ) 0, =tlu

las condiciones (2.24) son denominadas condiciones de frontera homogéneas .

36

Por último, si ( ) ( )xxc

ρ0T

= la ecuación (2.22) queda:

( )txFtu

ctu

bxu

,1

2 2

2

22

2

=∂∂

−∂∂

−∂∂

(2.25)

Denominada la ecuación de la cuerda vibrante. 2.1.2 Solución Analítica de la Ecuación de la Onda .

A fin de resolver la ecuación diferencial no homogénea (2.25):

( )txFtu

ctu

bxu

,1

2 2

2

22

2

=∂∂

−∂∂

−∂∂

cuyas condiciones iniciales y de frontera, (2.23) y (2.24), son:

( ) )(0, xfxu = ( ) 0,0 =tu (2.26) (2.27)

( ) ( )xgxtu

=∂∂

0, ( ) 0, =tlu

Procederemos primero a resolverla para el caso homogéneo, ya que esto nos ayudará a determinar las frecuencias naturales del sistema; o sea el caso no forzado ni amortiguado. En efecto, sea la ecuación homogénea:

01

2 2

2

22

2=

∂∂

−∂∂

−∂∂

tu

ctu

bxu

(2.28)

la cual será resuelta mediante el método de Fourier o de separación de variables.

Suponiendo que la función u(x, t) = X(x)T(t) por sustitución directa en (2.28) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01

2 2 =−− tTxXc

tTxbXtTxX &&&&&

de donde resulta:

( )( )

( ) ( )

( ) ktT

tTbtTc

xXxX

=

+

=

&&&&& 2

12

(2.29)

donde k puede ser mayor, menor o igual a cero. Los signos de k / 0 están descartados, debido a que para el primer caso, las soluciones X(x ), T(t) son hiperbólicas y para el segundo X(x ) es lineal, de manera que la solución física del problema es cuando k < 0. En efecto: ( ) ( ) 0=− xkXxX&& (2.30)

( ) ( ) ( ) 0222

=−+ tTkctTbctT &&&

37

de donde se obtienen los polinomios característicos en m, n respectivamente: m2 – k = 0 (2.31)

02 222 =++ kcnbcn

de donde se obtienen: km ±=2,1 ; para ( )ckcbbckccbbcn +±−=+±−= 222422

2,1 2442

como la solución T(t) debe ser periódica: b2c2 + k < 0, o sea |k | > b2c2. Así pues, las soluciones quedan:

( ) xkixki eCeCxX −+= 21 (2.32)

( ) ( ) ( )

+=+= −−−−+− iRtiRtbttiRbtiRb eCeCeeCeCtT 4343 donde: kcbcR += 22

por lo tanto la solución u(x, t) queda como:

( ) ( )( ) btbtiRtiRtxkixkieiDsenRtRtCxkiBsenxkAeeCeCeCeCtxu

−−−−++=

+

+= coscos, 4321

(2.33)

donde las constantes A, B, C y D pueden ser calculadas a partir de las condiciones iniciales y de frontera del problema. En efecto, de (2.24): u(0, t) = AT(t ) = 0; como T(t ) ≠ 0, se tiene que A = 0, por lo que u(x, t) queda como: ( ) ( ) ( )tTxkiBsentxu =, ; ( ) ( ) ( ) 0, == tTlkiBsentlu

debido a que B ≠ 0, T(t) ≠ 0, necesariamente ( ) 0=lksen . De aquí que esta ecuación tenga una infinidad de soluciones que son:

2

22

ln

kl

nknlk

πππ =∴=⇒=

y así, la solución u(x, t) dependerá de n, o sea un(x, t):

( ) [ ] btnnnnnn etRiDtRCx

ln

iBtxu −+

= sencossen,

π (2.34)

donde: 2

2222

+=+=

ln

cbkcbRnπ

Con el fin de determinar las constantes Cn y Dn, recurrimos a las condiciones iniciales del

problema (2.23).

( ) ( )xfxun =0, ; ( ) ( )xgxt

un =∂

∂0,

38

donde facilitaremos el cálculo asumiendo que g(x) ≡ 0; es decir parte del reposo.

( ) [ ] [ ] btnnnnnn

btnnnnn

n etcsRiDtsenRCRxl

nseniBetsenRiDtRCx

ln

senibBtxt

u −− +−

++

=

∂∂ ππ

cos,

(2.35) que al ser valuada en t = 0, dará:

( ) 0, =

−

=

∂∂

xl

nsenRDBx

ln

senCibBtxt

unnnnn

n ππ (2.36)

o sea:

( ) 0sen =

− x

ln

RDBCibB nnnnnπ

como: 0sen ≠

x

lnπ

y los Bn ≠ 0

entonces: ibCn – DnRn = 0 y: n

nn R

ibCD = .

De donde finalmente:

( ) btn

nnnn

btn

n

nnnnn etR

Rb

tRxl

nCiBetR

RC

btRCxl

niBtxu −−

−

=

−

= sencossensencossen,

ππ

(2.37)

Para cada n = 1, 2, 3, ...; un(x, t) es solución de la ecuación homogénea y podemos prescindir de i. Además la secuencia ( ) txun , de funciones es infinita y acotada, luego ella es convergente, de

manera que la serie ( )∑∞

=0

,n

n txu converge a una función uδ(x, t) que también es solución de la

ecuación diferencial (principio de superposición para el caso infinito). Por último:

( ) ∑∞

=

−

−

=

0sencossen,

n

btn

nnn etR

Rb

tRxl

nbtxu

πδ (2.38)

representa la solución de la ecuación homogénea (2.29).

La ecuación (2.22), para el caso homogéneo tiene la solución (2.38). Veremos que el caso no homogéneo puede resolverse mediante el método de Fourier cuando la fuerza externa F(x, t) tiene la misma frecuencia que el de la solución del caso homogéneo:

( ) bt

nn

nnn etR

Rb

tRxl

nbtxu −

∞

=∑

−

=

1sencossen,

πδ

que puede ser supuesta desarrollada en serie con coeficientes dinámicos bn(t):

39

( ) ( )∑∞

=

=1

sen,n

n xl

ntbtxu

πδ (2.39)

y ( ) ( )∑∞

=

=

1

sen,n

n xl

nttxF

πβ (2.40)

Substituyendo (2.39) y (2.40) directamente en (2.22), tenemos:

( )∑∞

=

=

∂∂

1

cosn

n xl

nl

ntb

xu ππδ ; ( )∑

∞

=

−=

∂

∂

1

2

2

2

nn x

ln

senl

ntb

x

u ππδ

( )∑∞

=

′=∂

∂

1nn x

ln

sentbt

u πδ ; ( )∑∞

=

′′=∂

∂

12

2

nn x

ln

sentbt

u πδ

de esta manera la ecuación diferencial queda:

( ) ( ) ( ) ( )∑∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

=

′′−

′−

−

11 12

1

2

sensen1

sen2senn

nn n

nn

nn xl

ntx

ln

tbc

xl

ntbbx

ln

ln

tbπ

βππππ

de donde se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=≡

+

+′′+′′1

2

20sen2

1

nnnnn x

ln

tl

ntbtbbtb

cπ

βπ

(2.41)

Como las funciones constituyen una base para representar las funciones impares en serie de Fourier, con coeficientes: n = 1, 2, 3,... para:

( ) ( ) ( ) ( ) 02 22

2 ≡+

+′+′′ tctb

lcn

tbbctb nnnn βπ

(2.42)

(2.42) representa un sistema infinito de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden, el cual tiene solución única para cada n = 1, 2, 3, ..., cuando se conoce: bn(0), n = 1, 2, 3, ...; los cuales pueden ser determinados a partir de la condición inicial (2.23) del problema:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

K,3,2,10

20

100,

=

∫

=

∑∞

==

=

n

ld

ln

senflnb

nxfx

ln

sennbxu

ζζπ

ζ

πδ

Los términos βn(t) son determinados de la función F(x, t): ( ) ( )∫

=

l

n dl

ntF

lt

0

sen,2

ζζπ

ζβ para

n = 1, 2, 3, ... Finalmente la solución u(x, t) reconocida como la solución monocromática de (2.22) es:

( ) ( )∑∞

=

=1

sen,n

n dxxl

ntbtxu

π y los bn(t) fueron determinados del sistema (2.42).

40

1.4.3. Análisis de Fourier Bidimensional.

Es importante antes que nada, decir que el análisis que se presentará es válido tanto para membranas como placas, ya que la diferencia entre ellas es que el parámetro que rige a las primeras es la tensión a la que sea sometida, mientras que la segunda tendrá como factor determinante de su comportamiento a la rigidez.

Las membranas tienen en acústica un gran campo de aplicación; gracias a las propiedades

que presentan las vemos aplicadas en un gran número de dispositivos tales como: instrumentos musicales, altavoces, micrófonos, cajas acústicas (bafles) y filtros, entre otros.

Así pues, el estudio de este tipo de elementos, básicamente la forma en que vibran, nos

permite modificar diseños, de manera que tengamos un mayor aprovechamiento de cada una de las características analizadas.

Ahora bien, el análisis de membranas es un estudio de modos de vibración en dos

dimensiones, las cuales se referirán a los sistemas coordenados que convengan de acuerdo con la forma de la membrana, es decir, las membranas rectangulares se referirán al sistema cartesiano, mientras que las membranas circulares quedarán definidas por las coordenadas polares, considerando siempre que la membrana, en ambos casos, está fija en su frontera.

Primeramente supondremos a la membrana como ideal, esto es, un cuerpo sumamente delgado y uniforme con rigidez despreciable, que es perfectamente elástica sin amortiguamiento y que vibra con desplazamientos de amplitud pequeños. Definiendo a:

ρs como la densidad superficial de la membrana (masa por unidad de área) (Kg/m2) y T como la tensión en la membrana por unidad de longitud (N/m), de tal manera que el material

en lados opuestos de un segmento de línea de longitud dl tenderá a apartarse con una fuerza Tdl. La tensión se supone uniformemente distribuida a través de la membrana.

En coordenadas cartesianas, el desplazamiento transversal de un punto se expresa por:

z = z(x, y, t ). Entonces, la fuerza que actúa sobre un elemento desplazado de superficie rectangular de área ds = dxdy es la suma de fuerzas transversales netas que actúan en las orillas paralelas a los ejes x y y. Observando el incremento de área mostrado en la figura 2.2. y considerando el desplazamiento en y como la fuerza transversal que actúa en un segmento de la membrana, la fuerza neta que actúa en el elemento dxdy debido al par de tensiones Tdx es:

dxdyy

zT

yz

yz

Tdxxdyy

2

2

∂

∂=

∂∂

−

∂∂

+

y aquella debida al par de tensiones Tdy es: dxdyx

zT

xz

xz

Tdyxdxx

2

2

∂

∂=

∂∂

−

∂∂

+

.

Igualando la suma de estos dos términos al producto de la masa del elemento ρ sdxdz por su

aceleración ∂ 2y/∂ t2 se obtiene:

2

2

2

2

2

2

tz

dxdydxdyy

zx

zT s

∂∂

=

∂∂

+∂∂

ρ (2.43)

41

o 2

2

22

2

2

2 1tz

cyz

xz

∂∂

=∂∂

+∂∂

(2.44)

Donde: s

Tc

ρ= (2.45)

Entonces, la ecuación de onda bidimensional expresada en coordenadas cartesianas queda:

2

2

22 1

t

z

cz

∂

∂=∇ (2.46)

Tdy

(x+dx, y) (x+dx, y+dy)

Tdx dx Tdx dy (x, y) (x+dx, y)

Tdy

Figura 2.4. Elemento de una membrana vibrante.

donde:

2∇ es el operador Laplaciano bidimensional. Esta es la forma adecuada para membranas rectangulares.

Más adelante se demuestra que en coordenadas polares el Laplaciano se expresa:

2

2

22

22 111

θ∂∂

+∂

+∂∂

=∇rrrr

para x = r senθ y y = r cosθ (2.47)

Substituyendo en (2.46):

2

2

22

2

22

2 111

t

z

c

z

rrz

rr

z

∂

∂=

∂

∂+

∂∂

+∂

∂

θ (2.48)

que es la ecuación apropiada para las vibraciones transversales de una membrana circular. 1.4.4. Análisis de Fourier.

Membranas Rectangulares

42

Para determinar la ecuación diferencial parcial que gobierna la vibración de una membrana

rectangular consideraremos: 2R⊂Ω como la membrana; ρ(s) como la densidad de la masa (masa por unidad de área); y T la tensión distribuida uniformemente en la membrana. Como se mencionó en el punto anterior, para membranas rectangulares, Ω deberá ser representado en coordenadas cartesianas, para lo cual supondremos Ω en el plano x-y, y los desplazamientos que sufren los puntos (x, y) serán a lo largo de z = u(x, y), tal como lo muestra la figura 2.5, donde el borde de la membrana Ω∂ está constituido por: byaxbyaxbyxyax ≤≤==≤≤≤≤==≤≤ 0;;;0;0;0;0;0 , el cual está considerado como fijo. La ecuación diferencial que rige el movimiento vibratorio de la membrana Ω es:

( ) ( ) ( )2

2

22

2

2

2 ,,1,,,,t

tyxucy

tyxux

tyxu∂

∂=∂

∂+∂

∂ (2.49)

donde:

( )sT

cσ

= es considerada como constante en el interior de la membrana Ω y

u(x, y, t) satisface las siguientes condiciones de frontera homogéneas: u(0, y, t) = 0 ; 0 ≤ y ≤ b ; t > 0 u(0, y, t) = 0 ; 0 ≤ y ≤ b ; t > 0 (2.50) u(0, y, t) = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; t > 0 u(0, y, t) = 0 ; 0 ≤ x ≤ a ; t > 0 z b y a x

Figura 2.5. Membrana rectangular.

La membrana en tiempo inicial t = 0 tiene un desplazamiento y velocidad inicial llamadas condiciones iniciales del problema:

U(x,y,0) = h0(x,y) ; 0 < x < a ; 0 < y < b ; ( )

00,, =

∂∂

tyxu

(2.51)

La solución de la ecuación (2.49) bajo (2.50) y (2.51), es determinada por el método de

Fourier, también llamado “de separación de variables”, es decir U(x, y, t) será supuesta como: U(x, y, t) = X(x )Y(y )T(t) (2.52)

Sustituyendo directamente (2.52) en (2.49) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTyyxXc

tTyYxXtTyYxX &&&&&&2

1=+

43

de donde se tiene: ( )( )

( )( )

( )( )tTtT

cyYyY

xXxX &&&&&&

2

1=+ (2.53)

Para que (2.53) sea válida para todo x, y, t , debemos tener: ( )( )

2α−=xXxX&&

; ( )( )

2β−=yYyY&&

;

por lo tanto: ( )( ) ( )222 βα +−= ctTtT&&

, de donde se obtiene: ( ) ( ) ( ) 0222 =++ tTctT βα&& o bien

( ) ( ) 02 =+ tTtT γ&& con γ2 = c2(α2 + β2). De esta manera la ecuación (2.49), mediante este método, se ha reducido a un sistema de

tres ecuaciones diferenciales ordinarias: ( ) ( ) 02 =+ xXxX α&& (2.54)

( ) ( ) 02 =+ yYyY β&& (2.55)

( ) ( ) 02 =+ tTtT γ&& (2.56) resolviendo para (2.54), (2.55) y (2.56) se tiene:

022 =+αλ donde: λ = ± iα (2.57)

022 =+ βµ donde: µ = ± iβ (2.58)

022 =+ γη donde: η = ± iγ (2.59) De esta manera, la solución u(x, y, t) queda:

( ) ( )( )( )( )( )( )tiCtCyiCyCxiCxC

eBeAeBeAeBeAtyxu titiyiyixixi

γγββαα

γγββαα

sencossencossencos

,,

654321

332211

+++=

=+++= −−−

(2.60)

A fin de obtener las constantes C1, C2, C3, C4, C5 y C6 consideraremos las condiciones

iniciales y de frontera. Como las soluciones X(x ), T(t) ≠s 0, para todo x, t, se concluye que: C3 = 0. Y de la condición de frontera u(0, y, t ) = 0 se tiene que:

( ) [ ] 0sencossen,,0 6541 =+= tiCtCyiCCtyu γγβ

Como C4 ≠ 0, senβ y. T(t) ≠s 0, para todo y, t, se concluye que C1 = 0. Así la solución u(x,y,t) quedará:

( ) ( ) ( )[ ]tiCtCyCxCtyxu γγβα sencossensen,, 6542 +−=

Ahora bien, para determinar a C5 y C6, consideramos las condiciones iniciales del problema, es decir, que parte del reposo, a partir de una configuración dada h0(x, y) = u(x, y, 0)

( ) ( ) ( ) 0,, 6420 =−=∂∂

= CysenxsenCCtyxtu

t βα

44

Como C2, C4, sen(αx), sen(βy) ≠s 0 para todo x, y, debemos tener que C6 = 0, así u(x, y, t) finalmente debe tener la forma:

( ) ( ) ( ) ( )tyxBtyxu nmnm γβα cossensen,, ,, = (2.61)

Donde el coeficiente B m,n ha absorbido a los coeficientes C2, C4 y C5 consideraremos. Um,n (x, y, t) es reconocida como el mn-ésimo modo de vibración de la membrana Ω .

Por último, para determinar los valores α y β utilizamos las dos últimas condiciones de frontera: u(a, y, t) = 0; u(x, b, t) = 0: ( ) ( ) ( ) ( ) 0cossensen,, , == tyaBtyau nm γβα

Por las mismas razones expuestas anteriormente: sen(αa) = 0, así: αa = mπ ∴ a

mπα = y de:

u(x, b, t), obtenemos: b

nπβ = ; de manera que um,n(x, y, t) se expresará:

( ) ctb

n

a

my

bn

xa

mBtyxu nmnm

+

=

2

2

2

2

,, cossensen,, πππ

(2.62)

los um,n constituyen una secuencia infinita de modos de vibrar, cuya amplitud Bm,n es determinada de la condición inicial h0(x, y ):

( ) ( )yxhyb

nx

am

Byxu nmnm ,sensen0,, 0,, =

=

ππ

(2.63)

( )∫ ∫

=

b a

nm ddb

na

mh

abB

0 00, sensen,

4ηςη

πς

πης m, n = 1, 2, 3,...

esta secuencia um,n es una secuencia infinita y acotada de funciones en x, y, t, luego ella es

convergente a una función límite. La serie de las um,n(x, y, t), ( )∑ ∑∞

=

∞

=1 1, ,,

n mnm tyxu converge uniforme y

absolutamente a un único modo de vibrar u(x, y, t ) definido como:

( ) ∑ ∑∞

=

∞

=

+

=

1 12

2

2

2

, cossensen,,n m

nm ctb

n

a

my

bn

xa

mBtyxu π

ππ (2.64)

que es la solución de la ecuación (2.49) bajo (2.50) y (2.51). 1ª OBSERVACION. X(x), Y(y) y T(t) son funciones periódicas, pero esto no asegura que um,n(x,y,t ) = X(x)Y(y)T(t) sea periódica, ya que la función u(x, y, t) será periódica siempre y cuando:

2

2

2

2

2

2

2

2

b

n

a

m

b

n

a

mc

s+=+

ρT

sea un entero, para que la función cos(πγm,n t) sea periódica. Es decir,

nms b

nam

,2

2

2

2γ

ρ=

+T

sea entero. La frecuencia de la vibración fm,n viene dada por:

+===

2

2

2

2,,

, 21

22 b

n

a

mf

s

nmnmnm ρπ

πγ

π

ω T ; m, n = 1,2, 3,...

45

2ª OBSERVACION. Es interesante hacer ver que se pueden tener frecuencias fm,n iguales para m y n distintas, y diferentes modos de vibrar, tómese el caso de la membrana cuadrada: b = a.

nmmn

snm

fnma

cf

nmac

a

n

a

mf

,22

,

222

2

2

2

,

2

221 2

1

=+=

+=+

=

ρT

cuyas amplitudes Bm,n = Bn,m; Sin embargo: um,n ≠ un,m. 3ª OBSERVACION. En la figura 2.6 se pueden observar distintos modos de vibración en una membrana rectangular para diferentes valores de m y n. y x m = 1 ; n = 1 m = 2 ; n = 1

m = 1 ; n = 2 m = 2 ; n = 2

Figura 2.6. Modos de vibración de una membrana rectangular.

1.5. ANÁLISIS DE BESSEL. 2.2.1. Membranas Circulares.

La ecuación de la membrana vibrante para el caso de membranas circulares es obtenida determinando el operador de Laplace 2∇ en coordenadas polares: x = x(r,θ) = r cosθ; y = y(r, θ) = r senθ, 0 ≤ r ≤ a; 0 ≤ θ ≤ 2π.

Así, transformando la ecuación de la onda del caso de la membrana rectangular, en el caso de la membrana circular tenemos:

46

2

2

22

2

22

2 111tu

cu

rru

rru

∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

θ (2.65)

cuyas condiciones de frontera e iniciales son: u(a, θ, t) = 0 ; 0 ≤ θ ≤ 2π ; 0 ≤ t ≤ ∞ (2.66)

u(r, θ, 0) = h0(r, θ) ; ( ) 00,, =∂∂

θrtu

(2.67)

Procediendo de igual manera que en el caso de la membrana rectangular, utilizando el

método de separación de variables, supondremos que u(r, θ, t) = R(r)Θ(θ )T(t) (2.68) Derivando y sustituyendo directamente en (2.65) se tiene:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTrRr

tTrRr

tTrRtTrRc

θθθθ Θ+Θ+Θ=Θ &&&&&&&22

111 (2.68)’

que multiplicado por ( ) ( ) ( )tTrR θΘ1

se tiene:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )θθ

ΘΘ

++=&&&&&&&

22111

rrRrR

rrRrR

tTtT

c (2.69)

Asumiendo que la función T(t) debe ser periódica, la expresión que define la ecuación

diferencial en t, debe ser negativa, digamos: -λ2. Así ( )( )

22

1 λ−=tT

tT

c

&& (2.70)

De donde obtenemos: ( ) ( ) 022 =+ tTctT λ&& ; para la expresión diferencial en r y θ se tiene:

( )( )

( )( )

( )( )

22

11λ

θθ

−=ΘΘ

++&&&&&

rrRrR

rrRrR

(2.71)

multiplicando por r2 tenemos:

( )( )

( )( )

( )( )

222r

rRrR

rrRrR

r λθθ

−=ΘΘ

++&&&&&

y del hecho de que Θ(θ) debe ser periódica:

( )( )

( )( ) ( ) 2222 µθλ =Θ−=++ rrRrR

rrRrR

r&&&

(2.72)

de donde se obtienen las ecuaciones en r y en θ:

( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =−++ rRrRrrRrrRr µλ&&&

( ) ( ) 02

=Θ+Θ θµθ&& De esta manera tenemos el sistema de tres ecuaciones diferenciales ordinarias en r, θ y t,

respectivamente:

47

( ) 0222

22 2

=−++ RrdrdR

rdr

Rdr µλ (2.73)

( ) 02

2

2

=Θ+Θ

θµθd

d (2.74)

( ) ( ) 0222

2

=+ tTcdt

tTdλ (2.75)

La ecuación (2.73) es llamada la ecuación diferencial de Bessel de orden µ, con parámetro

λ, la que en realidad viene dada por:

( )( )

( )( ) ( ) 0

222

2

22 =

−++ rRr

rdrdR

rrd

rRdr λµλ

λλ

λ

λ

y cuya solución viene expresada por la función de Bessel Jn(λr) de primera clase definida como:

( ) ( ) ( ) ( )( )∑

∞

=+

+

++Γ−==

02

2

1!21

kkn

knk

nknk

rrJrR

λλλ (2.76)

donde: Γ(n+k+1) es la función gamma.

Resolviendo (2.74) y (2.75) obtenemos las soluciones:

( ) θµθµθ seniBA 11 cos +=Θ ; ( ) ( ) ( )ctseniBctAtT λλ 22 cos += de donde se obtiene:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ctiBctAiBArJtru n λλµθµθλθ sencossencos,, 2211 ++= (2.77) de la condición de frontera u(a, θ, t) = 0, se tiene: Jn(λa)Θ(θ)T(t) = 0; como: Θ(θ) ≠ 0, T(t) ≠ 0, se tiene que: Jn(λa) = 0, resultando que:

( ) ( ) ( )( )∑

∞

=+

+

=++Γ

−=0

2

2

01!2

1k

kn

knk

nknk

aaJ

λλ (2.78)

de donde se obtiene que Jn(λa) tiene una infinidad de raíces Jn(λi a) = 0, i = 1, 2, 3,… para cada valor de n.

De esta manera u(r, θ, t) quedará:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞

=

∞

=

+Θ=1 0

22 cos,,i n

in ctseniBctArJtru λλθλθ (2.79)

A fin de determinar las constantes A1, B1, A2, B2, consideraremos a las condiciones iniciales

del problema:

48

( ) ( ) ( )[ ]∑∑∞

=

∞

=

+−Θ=∂

∂

1 022 cos

,,

i niiin tiBtsenArJ

ttru

λλλθλθ

que evaluada en t = 0 resulta:

( ) ( ) ( )∑∑∞

=

∞

=

=Θ=∂

∂

1 02 0

0,,

i nin BrJi

tru

λθλθ

(2.80)

Como: Jn(λia) = 0, Θ(θ) ≠ 0, λ ≠ 0, se deduce que B2 = 0. Así u(r, θ, t) se expresa:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∑ ∑∑∞

=

∞

=

∞

=

∞

=

+=Θ=1 0 1 0

112 coscoscos,,i n i n

iiniin ctseniBArJtrJAtru λµθµθλλθλθ (2.81)

como para cada n, Jn(λa) = 0 tiene una infinidad de raíces, λi, cos(λct) tiene una infinidad de

oscilaciones, donde: s

inincρ

λλ T= ; i = 1, 2, 3, ...; y un n dado.

Así podemos expresar como: a

Nin

*=λ ; donde N* es algún número y la frecuencia angular

viene dada por:

sin a

Nρ

ωT*

= (2.82)

Finalmente, recordando que ω = 2π f :

sin

Ta

Nf

ρπ2*

= (2.83)

donde f representa a la frecuencia lineal.

En la figura 2.7(a) se muestran los diámetros nodales, que son líneas en las cuales el

movimiento es nulo, la figura 2.7(b) muestra estos mismos modos de vibración pero vistos en un corte transversal, a fin de visualizar mejor las deformaciones que sufre la membrana debidas a las vibraciones simétricas generadas en ella; finalmente en la figura 2.7 (c) se encuentran dibujados los círculos nodales, es decir donde la función de Bessel J0(λia) = 0; siendo todo lo anterior para una membrana circular cuyo borde se encuentra fijo.

n = 0 n = 1 n = 2

49

(a). Diámetros nodales para los primeros tres valores de n.

(b). Primeros tres modos de vibración (vistos en corte). λ - 1er cero λ - 2º cero λ - 3er cero

(c). Círculos nodales de la función J0 (λia) = 0

Figura 2.7. Modos de vibración para una membrana circular. 1.6. LA ECUACIÓN DE LA ONDA PARA TUBOS CILINDRICOS 1.6.1. Ondas Cilíndricas.

Las aplicaciones de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas conllevan a la solución de muchos problemas de interés en la acústica. Solo por citar algunos ejemplos mencionaremos la vibración y radiación sonora de submarinos y fuselaje de aviones y na ves espaciales donde además es importante considerar tanto el dominio exterior como el interior; La localización de fallas en sistemas de tuberías o el control de ruido en ductos circulares, así como el análisis modal de instrumentos de viento hallan un uso extensivo de la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas.

2.3.2 La Ecuación de Onda en Coordenadas Cilíndricas.

50

Dado que la ecuación de la onda para el caso forzado y amortiguado en coordenadas

cilíndricas viene dada por:

( ) ( ) ( )tzrftu

ctzr

tu

btzru ,,,1

,,,,,, 2

2

22 θθθ +

∂∂

=∂∂

+∇ (2.84)

cuya solución ha sido previamente obtenida para los casos de la cuerda y de la membrana vibrantes. A continuación se presenta la solución de esta ecuación para hallar las frecuencias naturales de vibración en dominios tubulares continuos. De esta manera la ecuación (2.84) queda:

( ) 2

2

22 1

,,,tu

ctzru

∂∂

=∇ θ en Ω × I (2.85)

donde:

( ) lzartzr <<≤≤<≤=Ω 0;20;0,,, πθθ e [ )∞= ,0tI es el dominio del tiempo. Las condiciones de frontera del problema son:

( ) 1,0,, ptru =−∇ θ que es la presión de entrada (2.86)

( ) ( )∞−=−∇ ppktlru 2,,,θ (2.87)

donde p2 es la presión de salida del aire y p8 es la presión del aire del medio ambiente (figura 2.8).

La superficie del tubo que será considerada parte del dominio Ω es S2, que es aquella que se halla en la parte interior del tubo, esto debido a que todo el aire es arrastrado en el volumen interno del tubo al ser impulsado por la presión ejercida por p1, por lo que las condiciones iniciales del problema son:

( ) 00,,, =zrp θ ; ( ) 00,,, =∂∂

zrtp

θ

considerando que originalmente el tubo está sin presión p, entonces no hay velocidad inicial.

Así entonces, el problema es determinar las frecuencias naturales de vibración de un tubo cilíndrico continuo, sujeto a la presión ejercida sobre la embocadura o frontera inicial del tubo y la condición de frontera a la salida del tubo, bajo las condiciones iniciales dadas.

La ecuación en forma explícita viene dada por:

2

2

22

2

2

2

22

2 111

t

u

cz

uu

rru

rr

u

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂

θ (2.88)

la cual puede ser resuelta utilizando el método de separación de variables, asumiendo que la solución puede ser expresada como:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZrRtzru θθ Θ=,,, (2.89)

51

Figura 2.8. Distribución de presión en un tubo regular abierto. Sustituyendo (2.89) en (2.88) se obtiene:

2

2

22

22

22

2 111

dt

TdZR

cT

dz

ZdRZT

dd

Rr

ZTdrdR

rZT

dr

RdΘ=Θ+

Θ+Θ+Θ

θ (2.90)

cuyo factor integrante es u1 de donde resulta:

2

2

22

2

2

2

22

2 11111

dt

Td

Tcdz

ZdZd

d

rdrdR

rRdr

RdR

=+Θ

Θ++

θ (2.91)

Ahora bien, del hecho de que el sistema físico es periódico en t:

22

2

2

1k

dt

Td

Tc−= (2.92)

de donde se tiene:

0222

2

=+ Tkcdt

Td (2.93)

entonces, la ecuación (2.91 ) puede escribirse:

22

22

2

2

22

2 1111zk

dzZd

Zk

dd

rdrdR

rRdrRd

R=−=+

ΘΘ

++θ

(2.94)

de donde tenemos:

222

2

22

2 111kk

d

d

rdrdR

rRdr

RdR z −=

Θ

Θ++

θ (2.95)

022

2

=+ Zkdz

Zdz (2.96)

p1

S2 p2

S1

p∞

52

( ) 2222

2

2

22 1rkk

d

ddrdR

rRr

dr

RdRr

z −=Θ

Θ++

θ (2.97)

( ) 22

2222

2

22 1n

d

drkk

drdR

rRr

dr

RdRr

z =Θ

Θ−=−++

θ (2.98)

de donde se obtiene la ecuación en Θ:

022

2

=Θ+Θ

nd

d

θ (2.99)

y la ecuación en r:

( )[ ] 022222

22 =−−++ Rnrkk

drdR

rdr

Rdr z (2.100)

que en función de k y r queda:

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 02222

22 =−++ rkRnrk

drrkdR

rkdr

rkRdrk rr

rr

rr (2.101)

la cual es llamada ecuación de Bessel de orden n, en la variable k rr, y cuya solución viene dada por:

( ) ( ) ( )( )∑

=−

+

++Γ−=

n

kkn

knrk

rnknk

rkrkJ

02

2

1!21 (2.102)

denominada la función de Bessel de primera especie, y:

( ) ( ) ( ) ( )[ ]rkJrkJnnsen

rkY rnrnrn −= ππ

cos1

(2.103)

conocida como función de Bessel de segunda especie, ambas funciones son soluciones de la ecuación de Bessel y son linealmente independientes.

S2 a

S1

S3

l

z

53

Figura 2.9. Dimensiones del tubo y ubicación respecto al eje z.

Dando por solución R(k rr) completa a la ecuación de Bessel de orden n:

( ) ( ) ( )rkYRrkJRrkR rnrnr 21 += (2.104)

Considerando las funciones de Hankel, definidas por:

( ) ( ) ( ) ( )rkiYrkJrkH rnrnrn +=1 (2.105)

( ) ( ) ( ) ( )rkiYrkJrkH rnrnrn −=2 (2.106) donde ( ) ( )rkH rn

1 representa una onda divergente y ( )( )rkH rn2 a una onda convergente, de manera

que:

( ) ( )

∝

−−

42

1 2π

π

π

nrl

rn er

rkH (2.107)

( ) ( )

∝

−−−

42

2 2ππ

π

nrl

rn er

rkH (2.108)

de forma que la solución general de la ecuación de Bessel de orden n de la onda viajera tanto para atrás como hacia delante en el tiempo es:

( ) ( ) ( ) ( )( )rkHRrkHRrkR rnrnr2

21

1 += (2.109) y así la solución completa a la ecuación de onda en coordenadas cilíndricas vendrá dada por el producto de las soluciones R(k rr), Θ(θ), Z(z) y T(t), es decir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tTzZrkRtzru r θθ Θ=,,, donde T(t), Z(z) y Θ(θ ) son soluciones de las ecuaciones (2.93), (2.96) y (2.99) respectivamente y cuyas expresiones vienen dadas de:

( ) ikctikct eCeCtT −+= 21 (2.110)

( ) czikczik zz eCeCzZ −+= 43 (2.111)

( ) θθθ mm eCeC −+=Θ 65 (2.112)

54

y C1, C2, C3, C4, C5 y C6 son las constantes que serán calculadas a partir de las condiciones iniciales y de frontera que presente cada problema.

Ø REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. 1. Kinsler, Frey & Coppens. “Fundamentals of Acoustics”. 4th Edition. John Wiley& Sons, Inc.

USA. 2000. 2. Beranek, Leo L. “Acoustics” 1993 Edition. Ed. Acoustical Society of America. N.Y.,

USA.1996. 3. Scavone, Gary Paul. “An Acoustic Analysis of Single-Reed Woodwind Instruments with

an Emphasis on Design and Performance Issues and Digital Waveguides Modeling Techniques”. Tesis Doctoral. Universidad Stanford. Ca. USA. 1997.

4. Williams, Earl G. “Fourier Acoustics. Sound radiation and Nearfield Acoustical

Holography”. Ed. Academic Press. San Diego, Ca. USA. 1997. 5. Crocker, Malcolm J. “Handbook of Acoustics”. Ed. John Wiley & Sons. USA. 1998. 6. Olson, Harry F. “Acoustical Engineering”. Ed. John Wiley. USA. 1998. 7. Castro, Alfonso. Goldberg Saul H. “Ecuaciones Diferenciales Parciales”. Ed. Ediciones 1er

Coloquio Del Cinvestav. 1979. 8. Churchill, Ruel V. “Fourier Series And Boundary Value Problems”. Ed. Mc Graw-Hill Book

Co. Kogakucha. 1963. Cap. 7. 9. Kevorkian, J. “Partial Differential Equations. Analytical Solution Techniques”. Ed.

Wadworth Brooks Cole Advanced Books and Software. 1990. Cap. 3. 10. Powers, David L. “Boundary Value Problems”. Ed. Harcourt Brace Jovanovih College

Publishers. Cap. 3. 1972. 11. Sneddon, Ian. “Elements Of Partial Differential Equations”. Ed. Mc Graw-Hill

Kogakusha.1957. Cap. 5. 12. Sommerfeld, Arnold. “Partial Differential Equations in Physics” . Vol. Vi. Ed. Academic

Press. 1964. Cap. Ii. 13. Strauss, Walter F. “Partial Differential Equations. An Introduction”. Ed. John Wiley & Sons,

1992. 14. Weinberger, Hans F. “A First Course in Partial Differential Equations”. Ed. Xerox College

Publishing. Lexington, Mass. 1965. Cap. I.

55

CAPÍTULO 3

56

MÉTODOS NUMERICOS VARIACIONALES 2.3. MÉTODO DE LAS ENERGÍAS. 1.6.2. Densidad de Energía en una Onda Libre Progresiva. 1.6.3. Flujo de Energía Sonora o Intensidad Acústica. 2.4. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS MODAL DE

MEMBRANAS ACÚSTICAS. 2.4.1. La Formulación Variacional. 2.4.2. La Formulación Matricial. 2.4.3. Algoritmo Computacional y Solución Numérica. 2.5. EL MÉTODO DE BUBNOV - GALERKIN. 2.5.1. El Método de Galerkin. 2.5.2. Construcción de las Funciones. 2.5.3. Condiciones de Frontera de Primera Clase. 2.5.4. Aplicaciones del Método de Galerkin.

CAPÍTULO III. METODOS NUMERICOS VARIACIONALES.

3.1. Método de las Energías.

Este método obtiene la expresión de la energía vibratoria involucrada en la generación de un sonido, a partir del análisis hecho por Rayleigh de las energías potencial y cinética

La densidad de energía es un concepto importante en acústica porque, principalmente en los recintos, es necesario el estudio del flujo de energía de una fuente a todos los puntos del cuarto o

57

caja acústica7. La densidad de energía, representada en watts por segundo en la unidad de volumen (Ws/m2), es la variable que aparece describiendo las condiciones acústicas en las ecuaciones respectivas y es mucho mayor cerca de la fuente, reduciéndose a medida que nos alejamos de ella. Por otro lado, considerando que el oído y la mayoría de los medidores de nivel sonoro responden al valor promedio (rms) de la presión acústica, se hace necesario conocer la relación entre densidad de energía y presión sonora en campos acústicos.

La densidad de energía asociada con una pequeña “caja” de aire en cualquier instante en particular, es la suma de las energías cinética y potencial por unidad de volumen de las partículas en la caja. La densidad de energía cinética debida al exceso de presión de las ondas es:

20

0

2

21

21 u

VMuEKE ρ== (3.1)

donde:

M – Masa del aire en Kilogramos (Kg) V0 – Unidad de volumen de aire en metros cúbicos (m3) ρ0 – Densidad del aire en kilogramo sobre metro cúbico (Kg/m3) u – Velocidad instantánea promedio de las partículas de aire dentro de la caja en metros sobre segundo (m/s) Ahora bien, la densidad de energía potencial debida a la onda sonora puede fundamentarse

en las Leyes de los gases y entonces, para cambios muy pequeños podemos escribir:

0V

pdEPE

∫−=τ

(3.2)

donde:

p – Presión inicial en Newton sobre metro cuadrado (N/m2) τ - Incremento de volumen en metros cúbicos (m3)

Sabemos además que: 00 VP

p γτ−= (3.3)

Para: P0 – Presión inicial (N/m2) γ - Relación de calores específicos, para el aire: γ = 1.4 Diferenciando (3.3) y substituyendo en (3.2) la energía potencial quedará expresada por:

0

2

0 21

Pp

P

pdpEp γγ

== ∫ (3.4)

Cuando la presión sonora p es igual a cero, la energía potencial debida a la onda sonora será nula, entonces la constante arbitraria de integración es también igual a cero.

Así la energía debida a la onda sonora será la suma de las energías cinética y potencial, es

decir: E = EK + EP o bien:

( )

+=

0

202

1Pp

utEγ

ρ (3.5)

7 Beranek, Leo L. “Acoustics” pp. 40-45.

58

3.1.1. Densidad de energía en una onda plana libre progresiva.

Considerando las expresiones para los valores rms (raíz cuadrática media) de la presión y la velocidad de partícula complejas:

( ) ( )xctjkeptxp −+= 2, (3.6)

( ) ( ) ( )ctxp

ecp

txu xctjk

00

,2,

ρρ== −+ (3.7)

donde:

0

0

ργ p

c = – velocidad del sonido en el medio en metros por segundo (m/s) (3.8)

podemos ver que, para una onda plana libre – progresiva (saliente) son iguales a:

( ) ( ) ( )[ ]φ+−== +−

+ xctkcospepRetxp xctjk 22, (3.9)

( ) ( ) ( )[ ]φρρ

+−== +−+ xctkcosc

pe

cp

Retxu xctjk

00

22, (3.10)

donde:

p+ = |p+|ejφ Considerando que la velocidad del sonido puede calcularse por (3.8), al aplicarla a (3.4), la

energía para cada onda en el estado estacionario puede expresarse como:

( ) ( )[ ]

+−+=

+−+

=+−

+=

+

++

ωφ

ωρ

ωφ

ω

ρφ

ρρ

cx

tcosc

p

cx

tcos

c

pxctkcos

cc

pptxE

21

2

2121

,

20

2

20

22

20

20

02

(3.11)

Esta ecuación dice que para una onda plana libre progresiva, en todo tiempo, las densidades

de energía cinética y potencial son iguales en un punto dado del espacio, pero ellas varían con la posición o con el tiempo senoidalmente desde cero hasta el doble de su valor promedio.

Cuando promediamos (3.11) sobre un tiempo f

Tt

21

2== o a una distancia en el espacio

fc

x22

==λ

, encontramos que el promedio de densidad de energía será igual a:

20

2

c

pE

ρ+= Watt s/m2 (3.12)

donde p+ es la magnitud del valor promediado en el tiempo (rms) de la presión del sonido medido en cualquier punto de la onda sonora; Nótese también que: 00 Pc γρ ≡ .

59

Tomando como definición de impedancia acústica específica a:

cup

Z AE 0ρ== (3.13)

entonces, por simple inspección: uc

p≡+

0ρ (3.14)

donde u es la magnitud del valor rms (en el tiempo) de la velocid ad en cualquier punto de la onda; Entonces:

02 ρ+= uE (3.15)

Las ecuaciones (3.12) y (3.15) dan las relaciones entre la densidad de energía y los valores

rms de la presión sonora y la velocidad de partícula. 3.1.2. Flujo de energía sonora o intensidad acústica.

La intensidad acústica I de una onda sonora se define como la rapidez promedio de flujo de

energía a través de un área unitaria normal a la dirección de propagación8. La rapidez instantánea con que un elemento del fluido hace un trabajo por unidad de área en un elemento adyacente es pu. La intensidad es el promedio temporal de esta rapidez:

∫==t

tdtpu

tpuI

0

1 (3.16)

donde la integración se hace sobre un tiempo correspondiente al periodo de un ciclo completo. A fin de evaluar esta int egral para cualquier onda, es necesario conocer la relación entre p y u a fin de obtener la solución particular.

Para una onda armónica plana que viaja en la dirección x positiva, p = ρ0cu de tal manera que:

cP

UPI02

121

ρ+

++ == (3.17a)

donde: P y U son las amplitudes de la presión acústica y la velocidad de partícula, respectivamente.

Si en cambio se tiene una onda armónica plana viajando en la dirección negativa de x, se tendrá entonces que: p = - ρ0cu y

cP

UPI0

2

21

21

ρ−

−− −=−= (3.17b)

Si se define Fe como la amplitud efectiva (rms) de una cantidad periódica f(t), entonces:

8 Kinsler. Fundam entos de Acústica. Ed. Limusa pp. 157 – 158.

60

( )∫=T

e dttfT

F0

21

donde T es el periodo del movimiento. Para ondas armónicas esto da:

22

UUy

pP ee == (3.18)

de tal manera que:

cP

UPI eee

0

2

ρ±=±=± (3.19)

es la intensidad sonora para una onda plana que viaja en la dirección +x o –x.

3.2. EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO EN EL ANÁLISIS MODAL DE

MEMBRANAS ACÚSTICAS.

3.2.1. La Formulación Variacional. como se vio anteriormente, el problema de la membrana vibrante se ha planteado y resuelto

para los casos de membranas rectangulares y circulares. Enseguida veremos que este problema puede ser generalizado al caso en que la membrana tiene una geometría irregular y su composición puede ser homogénea o no. Esto es posible planteando el problema desde un enfoque energético y aplicando una técnica numérica de descomposición del dominio, esto es, la membrana en elementos finitos, para lo cual primero vamos a definir algunos conceptos necesarios para tal efecto: La membrana será representada por un dominio compacto, continuo, simplemente

conexo y homogéneo Ω en 2R . El semieje de los tiempos [ ) +

⊂∞= R,tI 0(

será una parte del

semieje positivo [ )∞=+

,R 0 , donde t0 significa el tiempo inicial y puede ser tomado como: t0 = 0. La función desplazamiento del punto (x,z)∈ Ω en el instante t, será representada por y(x,z,t ) la cual será de segunda clase diferencial en I

(×Ω ; esto es, admite hasta segundas derivadas parciales,

continuas en el interior de Ω . A fin de enfocar este problema desde el punto de vista energético, tomaremos tanto a la

ecuación diferencial parcial gobernante de las vibraciones de la membrana Ω , como a sus condiciones iniciales y de frontera en términos de operadores diferenciales lineales y expresaremos la energía total del sistema dinámico, reconocida como la funcional energía del sistema ( ) ( ) ( )[ ]ttzxytzxytzxyI ,,,,,,,,, &&& ; en algunos casos se toma como la funcional Hamiltoniana, y en otros a una equivalente; es decir el trabajo total desarrollado por todas las fuerzas actuantes, internas y externas, para mantener vibrando a la membrana sujeta a sus condiciones iniciales y de frontera durante todo el tiempo t0 < t < 8.

Aquí proponemos la funcional para problemas hiperbólicos de la ecuación diferencial parcial del caso forzado y amortiguado:

( )tzxfkyty

bt

y

cz

y

x

y,,

12

2

22

2

2

2

=+∂∂

+∂

∂−

∂

∂+

∂

∂ (3.20)

en I(

×Ω de la membrana Ω en todo instante It(

∈ . Bajo las condiciones de frontera e iniciales:

61

y(x(s),z(s),t) = g(s,t) = 0 en I(

×Ω∂ (3.21)

y(x,z,t0) = y0(x,z) ; ( ) ( )zxvtzxty

,,, 00 =∂∂

(3.22)

que en términos de operadores diferenciales lineales quedarán como

[ ] ( )yyL T ∇Κ−∇= o La cual puede también expresarse como:

(3.23) B[y] = g(s,t)

en I(

×Ω∂

C[y] = y0(x,z) ; ( ) ( )zxvtzxty

,,, 00 =∂∂

en

De esta manera (3.23), (3.24) y (3.25) quedan:

L[y] = F(x,y,z) en I(

×Ω (3.23)’

B[y] = g(s,t) = 0 en I(

×Ω∂ (3.24)’ y0(x,z) en 00 Ω=×Ω

C[y] = ( ) ( )zxvtzxty

,,, 00 =∂∂

(3.25)’

que significan la ecuación diferencial parcial gobernante de las vibraciones lineales de una membrana Ω de geometría arbitraria, bajo sus condiciones de frontera e iniciales respectivamente.

El enfoque variacional consiste en determinar la funcional energía del sistema planteado y

determinar las trayectorias y(x,z,t) en las cuales la energía toma valores extremales, que en este caso el valor extremal es de una trayectoria donde el sistema (3.23)’ bajo (3.24)’ y (3.25)’ representa un valor minimal de gasto de energía. De acuerdo con la deducción de la funcional

[ ]tyyyI ,,, &&& que representa el trabajo desarrollado tanto por las fuerzas externas como las internas para mantener vibrando a la membrana bajo las condiciones propias del problema:

[ ] [ ]( )∫∫Ω

−=t

dxdzdtFyyyLtyyyI0

2,,, &&& (3.26)

la determinación de los valores extremales de (3.26) equivale a determinar las trayectorias y(x,z,t) para las cuales la primera variación de (3.26) se anula:

[ ] 0,,, ≡∂ tyyyI &&& (3.27)

y recíprocamente las trayectorias y(x,z,t) que anulan a la primera variación de la energía [ ]tyyyI ,,, &&& del sistema (3.23)’ bajo (3.24)’ y (3.25)’ son aquellas en que la funcional toma un valor minimal. Estas trayectorias son las soluciones del sistema que de la unicidad de la solución de (3.23)’ garantiza que la trayectoria crítica y(x,z,t) es única. Es decir, resolver (3.23)’ bajo (3.24)’ y (3.24)’ es equivalente a resolver la ecuación integral (3.27), o sea:

[ ] ( ) ( )

( ) ( ) ItzxFtzxfkyty

b

tzxfky

tyzyxy

b

tyzyxy

c

tzxyyL T

(

o

×Ω=−+∂∂

=

=−+

∂∂∂∂∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

−

∂∂

∂∂

∂∂

−=∇Κ−∇=

en,,,,

,,,0,01

00

010001

,,

2

0×Ω

62

[ ]( ) 020

≡

Ω−∂ ∫∫Ω

dtdFyyyLt

(3.28)

Para esto es conveniente reducir la expresión de energía [ ]tyyyI ,,, &&& a una forma adecuada,

mediante la formulación de Green como sigue:

El término principal de [ ]tyyyI ,,, &&& , [ ]∫∫Ω

ΩdtdyyLt

0

quedará:

[ ] ( ) ( ) ( )yyyyyyyyL TTT ∇⋅Κ⋅∇−∇Κ⋅∇=Κ⋅∇−=

de donde se tiene:

[ ] ( ) ( )[ ] ( )∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫∫∫Ω ΩΩΩ

⋅Κ−Ω∇Κ⋅∇=Ω∇⋅Κ⋅∇−∇Κ⋅∇=Ω

t tT

tTT

t

dSdtn

yydtdyydtdyyyydtdyyL

0 000 δ

δ

(3.29) cuya última integral no se considera, debido a que el borde ∂Ω permanece fijo durante la vibración de la membrana, luego, el término principal de [ ]tyyyI ,,, &&& queda como:

[ ] ( )[ ] ( )∫∫∫∫∫∫ΩΩΩ

Ω∇Κ⋅∇=Ω∇Κ⋅∇=Ωt

Tt

Tt

dtdyydtdyydtdyyL000

(3.30)

La energía quedará finalmente expresada como:

[ ] ( )[ ]∫ ∫Ω

Ω−∇Κ⋅∇=t

T dtdFyyytyyyI0

2,.. &&& (3.31)

Donde la primera integral representa la energía elástica dinámica gastada en mantener a la

membrana vibrando y el segundo término es la energía gastada por las fuerzas externas y de amortiguamiento actuando sobre la membrana.

Desarrollando a (3.31), finalmente se tiene la expresión de la energía del sistema (3.23)’

bajo (3.24)’ y (3.25)’:

[ ] dtdfyykyty

ybty

czy

xy

tyyyIt

Ω

+−−

−

+

= ∫ ∫

Ω

2221

,,,0

2

2

22

δδ

δδ

δδ

δδ&&& (3.32)

Esta última expresión, mediante su primera variación ∂I = 0, permite calcular las trayectorias

y(x,z,t ) donde [ ]tyyyI ,,, &&& alcanza un extremal(maximal o minimal o una trayectoria de inflexión de la energía) la cual es una trayectoria donde la energía del sistema permanece constante la cual es la solución de la ecuación (3.23)’ bajo (3.24)’ y (3.25)’.

3.2.2. La Formulación Matricial.

63

con el fin de poder resolver numéricamente la ecuación integral (3.27), procedemos a

descomponer el dominio Ω en elementos finitos mediante una partición ( ) ( ) ( ) EP ∆∆=Ω ,...,1 de tal

manera que ( )eE

e∆=Ω

=1

~U sea una aproximación geométrica del dominio original Ω . Con respecto al

semieje de los tiempos [ )∞= ,0I(

es discretizado en estaciones 0=t0<t1<...<tk<...<8 de tal manera

que para cada dominio ( )E∆ y para cada estación tk, tengamos un polinomio de interpolación: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )tYzxNtYzxNtYzxNtzxy l

elj

eji

eik

e ,,,,,~ +++= L (3.33)

cuya suma directa definen el polinomio de interpolación global ( )tzxy ,,~ = en Ω~

, es decir:

( ) ( )( ) ( ) ( )∑ ∑=

==E

e

P

ll

e tYzxNtzxytzxy1 01

,,,~,,~ (3.34)

de esta manera, cuando la energía [ ]tyyyI ,,, &&& es evaluada en ( )tzxy ,,~ = , se convierte en

una expresión discreta y finita o sea, su interpolación numérica. Aún más: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )eeeee ItyyyII ==∆ ,~,~,~~ &&& representa la energía local del sistema gastada en mantener

vibrando al elemento finito ( )E∆ en que se ha partido la membrana. Esto permite que la expresión de la primera variación (3.26) pueda ser reducida a un sistema lineal y finito de ecuaciones algebraicas. En efecto, la formulación matricial de [ ]tyyyI ,,, &&& y [ ]tyyyI ,,, &&&∂ puede obtenerse

sustituyendo las expresiones 2

2

,,t

yty

y∂

∂∂∂

calculadas en ( )tzxy ,,~ = cuya expresión matricial es:

( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )

( )[ ] ( ) tYtxN

ty

ty

ty

zxNzxNzxNy

p

p ,,,,,,~ 2

1

21 =

=M

L (3.35)

( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )

=

=

∂∂

ty

tyty

zxNzxNzxNty

p

p

&M

&&

L2

1

21 ,,,,,,~

( )[ ] ( ) tYzxN &, (3.36)

( ) ( ) ( )[ ]( )( )

( )

=

=

∂

∂

ty

tyty

zxNzxNzxNt

y

p

p

&&M

&&&&

L2

1

212

2

,,,,,, ( )[ ] ( ) tYzxN &&, (3.37)

Estas tres últimas ecuaciones permiten expresar numéricamente a la energía como:

[ ] ( ) ∫∫Ω

Ω−∇Κ⋅∇=t

T dtdyFyytyyyI0 ~

~~~2~~,~,~,~ &&& (3.38)

A fin de plantear la primera variación 0≡∂I como un sistema lineal finito de ecuaciones algebraicas, expresaremos a la energía en su forma explícita y matricial:

dtdyfykyty

byty

czy

xy

It

Ω

+−

−

−

+

= ∫ ∫

Ω

~~2~~2~

~2~1~~~

0

2

2

22

δδ

δδ

δδ

δδ

(3.39)

donde: ( ) ( )∑

=

==

∂∂ p

ll

l tYdx

zxdN

xy

1

,~( ) ( ) tYzx

dxdN

, (3.40) y

64

( ) ( )∑=

==

p

ll

l tYdz

zxdNzy

1

,~

δδ ( ) ( ) tYzx

dzdN

, (3.41)

denotando por:

∂∂∂∂

=

zyxy

g ~

~

~ , tenemos:

( )( )

( )

=

=

tY

tYtY

dz

dN

dzdN

dzdN

dx

dN

dxdN

dxdN

g

p

p

p

ML

L2

1

21

21

~ ( )[ ] ( ) tYzxB , (3.42)

donde:

==

∂∂

+

∂∂

ggzy

xy T ~~

~~ 22

( ) [ ] [ ] ( ) tYBBtY TT (3.43)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) tYzxNzxNtYct

y

cTT && ,,

112

2

2−=

∂∂

− (3.44)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) tYzxNbzxNtYty

by TT &,,2~

~2 −=

∂∂

− (3.45)

( ) ( )[ ] ( )[ ] ( ) tYzxNkzxNtYyky TT ,,2~~2 −=− (3.46)

Por lo que la expresión numérica de la ecuación (3.39) queda:

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( )

( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] 0~

2~

2

~1~

00 ~

0 ~2

0 ~

=Ω−Ω−

−Ω

−Ω

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

ΩΩ

ΩΩtt

TT

tTT

tTT

dtdNfkdtdtYNNtYb

dtdtYNNtYc

dtdtYBBtY

&

&&

(3.47)

Y entonces, la primera variación numérica 0~

≡∂I quedará:

[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ]∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ΩΩΩΩ

=Ω−Ω−Ω−Ω=∂tt

Tt

Tt

T dtdNfdtdtYNNkdtdtYNNbdtdtYBBI0 ~0 ~0 ~0 ~

0~

2~

2~

2~~ &

(3.48) de donde se tiene el sistema lineal de la formulación matricial del método.

3.2.3. Algoritmo Computacional y Solución Numérica.

Con el objeto de resolver la ecuación matricial (3.48), la expresamos de la siguiente manera:

65

[ ] [ ][ ] ( ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ( ) [ ]∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ΩΩΩΩ

=Ω+Ω−+Ωtt

Tt

Tt

T dtdNfdtdtYBIBkNKNbdtdtYNbN0 ~0 ~0 ~0 ~

0~

2~

21

2~&

(3.49)

Ahora bien, considerando las condiciones iniciales del problema:

y(x,z,0) = y0(x,z) ; ( )zxvty

,0=∂∂

y el método de las diferencias finitas para determinar a ( ) 2ktY& .

En efecto, si ( ) ( ) ( ) ( ) E∆∆∆=ΩΡ ,,, 21 L representa la partición del dominio y el semieje de los

tiempos, [ )∞= ,0I(

es discretizado 0 = t0 < t1 < ... < tk-1 < tk < tk+1 < ... <8, el polinomio global de

interpolación ),,(~ tzxy en la estación tk, queda:

( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ]kppkkk tYzxNtYzxNtYzxNtzxy ,,,,,~2211 +++= L ; o en forma matricial:

( ) ( )[ ] ( ) kk tYzxNtzxy ,,,~ = de donde:

( ) ( )[ ] ( ) kk tYzxNtzxty &,,,~

=

∂∂

; y de la expresión de: ( ) ( ) ( )[ ]t

tYtYtY kkk ∆

−= −1& en diferencias finitas

hacia atrás, se tiene que: ( ) ( ) ( )[ ]t

tYtYtY kk

k ∆−

= −1& de donde finalmente se tiene:

[ ] [ ][ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ΩΩΩ

+Ω−Ω+Ωkkk t

kT

t

kT

t

kT dtdtYBIBdtdtYNKNdtdtYNbN

0 ~21

0 ~0 ~

~~~& [ ]∫ ∫Ω

=Ωkt

dtdNf0 ~

~

[ ] [ ][ ] ( ) ( ) [ ] [ ][ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ΩΩΩ

− +Ω−Ω+Ω

∆

−=

kkk t

kT

t

kT

tkkT dtdtYBIBdtdtYNKNdtd

t

tYtYNbN

0 ~21

0 ~0 ~

1 ~~~

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] ( ) [ ] [ ][ ] ( ) ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫Ω Ω

−

Ω

Ω−Ω

+−

∆=Ω+

kk t t

kT

kT

Tt

dtdtYNbNdtdTYNKNBIBt

NbNdtdNf0 ~ 0 ~

1

0 ~

~~21~

[ ]∫ ∫Ω

=Ω+kt

dtdNf0 ~

0~ ; 1≤k<8

De esta manera, si conocemos a ( ) 1−ktY podemos determinar ( ) ktY y por consiguiente

( ) 1+ktY y así sucesivamente. Si se definen:

( )[ ] ( ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] ( ) ∫ ∫Ω

Ω

+−

∆=

kt

kTT

T

k dtdTYNKNBIBt

NbNtYzxK0 ~

~21, (3.50)

Finalmente, tenemos el sistema lineal resultante en ( ) ktY y por consiguiente, la solución

( ) ( )[ ] ( ) kk tYzxNtzxy ,,,~ = :

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]∫ ∫Ω

− Ω+=kt

kk dtdzxNftYzxLtYzxK0 ~

1~

,,, para 1 = k = 8 (3.51)

66

3.3. EL MÉTODO DE BUBNOV - GALERKIN.

En 1915 Galerkin propuso un método de aproximación de la solución a problemas con valores en la frontera que no requiere de la formulación variacional y por lo tanto proporciona una aproximación directa y general de la solución. A continuación se presenta el método clásico de Bubnov-Galerkin a la solución de problemas de calor y análisis modal de membranas con el fin de proponer posteriormente un método híbrido entre este y el método del elemento finito (MEF) a partir de las ventajas que ofrece cada uno; es decir, el primero tiene la ventaja de ser un método directo, mientras que el segundo presenta la versatilidad de la técnica de descomponer el dominio en elementos finitos adecuados a la geometría del dominio, además de tomar las funciones de forma como los polinomios de interpolación sobre los elementos finitos. El método es reconocido como el método de Petrov – Galerkin – MEF (este último también llamado FEM, por sus siglas en inglés), método que tiene la ventaja de poder disminuir los errores residuales tanto en el dominio como en su frontera, ofreciendo una mejor aproximación de la solución del problema.

3.3.1. El Método de Galerkin.

Este método es aplicable a la solución de ecuaciones que gobiernan a una gran variedad de fenómenos físicos y de problemas de la ingeniería, dando resultados numéricos que son implementados en soluciones prácticas en la mayoría de sus aplicaciones. Cabe mencionar que cuando la formulación variacional de un problema con valores a la frontera existe, se sabe que el método variacional y el método de Bubnov – Galerkin producen los mismos resultados. De esta manera si tomamos en cuenta que una de las desventajas del método de Bubnov – Galerkin son los errores residuales que se producen al operar tanto en el dominio de definición del problema como en su frontera, lo deseable sería disminuir de alguna forma, el valor de estos errores, de ahí que se haya tomado en cuenta el de proponer un método híbrido entre este y el mét odo de los elementos finitos.

En seguida se presenta la teoría básica y aplicación del método de Bubnov – Galerkin a la solución de problemas de conducción de calor así como también al análisis modal de membranas acústicas, para finalmente exponer el método híbrido de Petrov – Galerkin – MEF.

La idea básica del método de Bubnov – Galerkin podrá ilustrarse mediante las aplicaciones de problemas con valores a la frontera dado por las ecuaciones:

( )[ ] 0=rTL en la región R (3.52)

B [ T(r)] sobre la frontera S (3.53)

donde L y B son operadores diferenciales lineales definidos en el dominio y de su frontera como:

[ ] gk

ATTTL

++∇≡ 12

[ ] hTnT

kTB +

∂∂≡

67

Se tiene que el problema definido por la ecuación (3.52) cubre un extenso rango de problemas de interés práctico, entre ellos los de conducción de calor.

A fin de resolverlo numéricamente se propone una solución de prueba ( )rT

~n , expresada

como una combinación lineal de funciones polinomiales pertenecientes a un conjunto completo para el espacio de funciones en que se busca la solución:

( ) ( ) ( )∑=

+Ψ=n

jjjn rCrrT

~

10 φ en la región R (3.54)

donde la función Ψ0(r) satisface la parte no homogénea de las condiciones de frontera (3.53) y las funciones φ j(r) satisfacen la parte homogénea, es decir:

( )[ ] ( )srfrB =Ψ0 (3.55)

( )[ ] 0=rB jφ j = 1,2,...,n (3.56)

Si las condiciones de frontera para el problema fueran todas homogéneas, la función Ψ0(r)

no es requerida. Además, como se sabe, es posible transformar un problema con condiciones de frontera no homogéneas a uno cuyas condiciones de frontera sean homogéneas; Por ejemplo, en el caso de un problema bidimensional, uno puede definir como la nueva función a T*(x, y ) a:

( ) ( ) ( )y,xpy,xTy,x*T += (3.57)

donde la función p(x,y) es elegida para que cada superficie de frontera en el lado izquierdo de la ecuación (3.55) produzca un término que cancele el término no homogéneo f(rs) en el lado derecho de la ecuación.

Supónganse que las funciones base son encontradas Ψ0(r) y φ j(r), desde j = 1,2,...n, y la

solución de prueba ( )rT~

n es construida como se da en la ecuación (3.54); Claramente la función de prueba satisface todas las condiciones de frontera del problema, pero no a la ecuación diferencial (3.52) debido al error que se comete entre la solución aproximada y la solución exacta. De esta manera, para que una función de prueba seleccionada sea una buena aproximación de la solución exacta, es necesario que el número de parámetros como los coeficientes Cj, sean ajustados para mantener los residuos tan pequeños como sea posible. El método de Bubnov-Galerkin consiste en la determinación de los valores desconocidos de los coeficientes Cj, de tal forma que al ser substituidos en la expresión de la solución de prueba arrojen los valores mínimos de los errores considerados en la aproximación. Así las funciones consideradas se toman para construir la solución de prueba dada por la ecuación (3.54).La siguiente condición, que debe cumplirse, es esencial para la determinación de los coeficientes Cj:

( )[ ] ( )∫ =R

jn dvrrTL 0φ (3.58)

( ) ( ) ( )∫ ∑ =

+Ψ

=R

i

n

jjj dvrrCrL 0

10 φφ i=1,2,... ,n (3.59)

La relación (3.59) produce un sistema de ecuaciones algebraicas para la determinación de n

coeficientes C1,C2,...,Cn, y la expresión dada por la ecuación (3.58) puede ser interpretada como un equivalente a la ortogonalidad de la expresión ( )[ ]rTL n

~ a todas las funciones del sistema, de ahí

68

que esta condición es llamada la condición de ortogonalidad de Galerkin. Las funciones i=1,2,..,n, son consideradas completas en la región R. De esta manera si todas las funciones φi(r) pertenecientes a este grupo completo están incluidas, el requerimiento dado por la ecuación (3.58) corresponderá a una solución exacta del problema, sin embargo en el método de Bubnov-Galerkin solo un número finito de estas funciones son consideradas, y por lo tanto, la solución será aproximada.

El método de Galerkin tal como se ha descrito proporciona una aproximación simple y sencilla a la solución de problemas de la física y de la ingeniería con valores a la frontera.

Un paso importante en la solución de problemas con valores a la frontera por el método de Galerkin es la construcción de funciones φj (r) que satisfagan la parte homogénea de las condiciones de frontera para el problema. 3.4.2. CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES φj (r)

Las funciones, φj (r) j = 1,2,...,n deben pertenecer a una familia completa de funciones la cual constituye una base de funciones para el espacio funcional en el cual se determinará la solución del problema en la región considerada. Estas por lo general deberán cumplir propiedades tales como ser continuas tener derivadas continuas de primer y segundo orden, ser funciones polinomiales, trigonométricas, circulares, esféricas, pero, estas sólo satisfarán la parte homogénea de las condiciones de frontera. Un problema para regiones finitas se sujetará a condiciones de frontera de primera, segunda o tercera clase, o bien a sus combinaciones. Enseguida se presentan algunas formas usuales que muestran la construcción de las funciones φj(r), con j = 1,2,...n, que satisfacen la parte homogénea de las condiciones de frontera para el problema; se incluyen también situaciones en las cuales las fronteras de la región son irregulares y donde el resultado de la solución no se puede construir por la solución elemental buscada en tablas, aplicando por tanto otro método de construcción de funciones φj(r) que se emplea tanto para fronteras regulares como irregulares.

3.4.3. Condiciones de frontera de primera clase .

Asumiendo que las condiciones de frontera para el problema son todas de primera clase en todas sus fronteras, permítase una función w(x,y ) que sea continua en la región R y tenga derivadas continuas con respecto a x y a y, así como que satisfaga también las condiciones:

w(x,y) > 0 dentro de R w(x,y) = 0 en la frontera S (3.60)

Claramente la función w(x,y ) satisface la parte homogénea de las condiciones de frontera de primera clase, para el problema que hace que se elimine en las fronteras. Entonces, la función

( )y,xjφ para los problemas se puede construir por los productos de w(x,y) y varias potencias de x y y en la forma:

....wxy,wy;wx,w ==== 4321 φφφφ (3.61) Las funciones φj (x,y), j=1,2,...,n construidas de esta manera satisfacen la parte homogénea

de las condiciones de frontera para el problema y tienen derivadas continuas en x y y. Además, puede comprobarse que ellas constituyen un sistema completo de funciones. Así, el problema se reduce a calcular las funciones auxiliares w(x,y), las cuales pueden determinarse a partir de las condiciones de frontera de la siguiente manera:

69

1. Para regiones que tienen contorno simple continuo, tales como el círculo, se tiene que:

F(x,y) = 0 (3.62)

será la ecuación de contorno. Claramente, la función F(x, y) es continua y tiene derivadas parciales con respecto a x y y. Así la función w(x,y) puede elegirse como:

w(x,y) = ± F(x,y) (3.63)

Por ejemplo, para una región circular de radio R con centro en el origen, la ecuación de contorno satisface la ecuación:

( ) 0222 =−−= yxRy,xF (3.64) y la función w (x,y) se toma como:

( ) 0222 =−−= yxry,xw (3.65)

2. Para regiones que frontera en la forma de un convexo, se tienen las ecuaciones para cada uno de sus lados en la forma:

3.

001111

=++==++=

nnnn dybxaFdybxaF

(3.66a)

Así, la función w (x,y) se escoge de la forma:

( ) ( ) ( )y,xFy,xFy,xFw nK21±= (3.66b)

que elimina a cada punto sobre la frontera y satisface la parte homogénea de las condiciones de frontera de primera clase para la región.

Para regiones cuya frontera es no convexa el problema es más complejo. Por ejemplo, construir la función w(x,y ) como se especifica anteriormente para regiones con geometría como la mostrada en la figura 3.1.

Solución. Las ecuaciones para contorno de geometría rectangular, mostrada en la siguiente figura

(3.!), está dada como: a – x = 0, a + x = 0, b – y = 0, b + y = 0 (3.67)

70

Figura 3.1. Región de contorno rectangular.

3.4. APLICACIONES DEL METODO DE GALERKIN.

Aplicación 1:

Como una aplicación al análisis modal de vibraciones en cuerpos elásticos, calcularemos la frecuencia natural mas baja de una placa rectangular Ω de lados a, b y grosor h.

Solución. Se sabe que la ecuación gobernante para este caso viene dada por:

( ) [ )∞=×Ω=∂∂+

∂∂+

∂∂∂+

∂∂ ++ ,,,,2 02

2

4

4

22

4

4

4

tIItyxft

hyyxx

D enψρψψψ

(3.68)

Satisfaciendo las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

ψ (x, y, t0) = u0 (x, y)

(3.69)

( ) ( )yxvtyxt

,,, 00 =∂∂ψ

ψ∂Ω = 0 en ∂Ω × I + (3.70)

donde: [ ) ( )tyxtI ,,;,0 ρ∞=+ es la densidad volumétrica y f (x, y, t) es la carga dinámica por unidad

de superficie. ( )2

2

112 v

EhD

−= es la rigidez flexural de la placa con E = módulo de Young y

v = coeficiente de Poisson, determinados por las relaciones esfuerzo – deformación de la Ley de Hooke.

En este problema hay que determinar la frecuencia natural más baja de (3.68) sujeta a (3.69) y (3.70), la cual, reducida, vendrá modificada como sigue: f (x, y, t) ≡ 0

a +- x = 0

a - x = 0

b

-b

-a a

b + y = 0

b - y = 0

y

x

71

+×Ω=∂

∂+∇ Ien

tDh

02

24 ψρψ (3.71)

+×Ω∂ Iφ (3.72)

entonces las funciones correspondientes w(x,y) están dadas por:

( ) ( )( )2222 ybxay,xw −−= (3.68) Otras condiciones de frontera.

Ninguna regla general puede ser colocada para situaciones que involucran diferentes

combinaciones de condiciones de frontera de primera, segunda o tercera clase. La función φj tiene que ser elegida de tal forma que tanto ella como su derivada sean continuas y que satisfagan las condiciones de frontera para el problema. De esta manera la solución de prueba se construye de acuerdo a la combinación lineal de funciones φj.

Aplicación 2: A manera de aplicación del método vamos a considerar primeramente un problema de

conducción de calor en estado estable en una dimensión, sujeto a las siguientes condiciones de frontera:

0x 0

1 =

+−

=x

ThddT

0x 2 =

+−

=Lx

ThddT

(3.69a)

Las funciones φj pueden ser elegidas como:

=

L+hL

x-L-x2

21 2

φ , ( )

−=

L+hL

x+L-xL1

22 2

φ y 2x)(Lx jj −=φ ,j = 3,4,5,... (3.69b)

De esta manera la solución de prueba es construida como:

( ) j

n

jjn C=xT φφφ ∑

=

++3

21~

en 0 ≤ x ≤ L (3.69c)

la cual satisface las condiciones de frontera (3.69a).Siendo los coeficientes Cj determinados de la condición de ortogonalidad de Galerkin.

Aplicación 3:

Determinar la temperatura en una placa rectangular (-a,a; -b,b ) con una generación de calor en un intervalo constante de g w/m3 y la fronteras mantenida a la temperatura cero y la solución compararla con la solución exacta determinada por el método de Fourier.

72

Solución. Siendo la ecuación gobernante del problema:

a y -b<y<b en -a<x<gk y

T x

T 0

12

2

2

2=++

∂∂

∂∂

(3.70a)

T = 0 en x = ± a y y = ± b (3.70b)

( b) Región triangular

La solución por el método de Bubnov - Galerkin, se determina de:

2 2

2 2

10

a b

ix a y=-b

d T d T g (x,y) dx dy=

kdx dyφ

=−

+ +

∫ ∫

% % (3.71a)

Considerando solo el primer término de la solución:

( ) ( )yxcyxT ,, 111 φ= (3.71b) ( c) Región triangular donde la función φ1 se obtiene por la ecuación (3.68a) como:

( ) ( )( )22221 , ybxayx −−=φ (3.71c)

De esta manera introduciendo esta solución de prueba en la ecuación (3.71a) y

desarrollando la integral se obtiene:

221 85

bak

gC

+=

por lo tanto la solución aproximada a un sólo término se transforma en:

( ) ( )( )2222221 8

5, ybxa

bak

gyxT −−

+= (3.72)

Por otro lado la solución exacta general para este tipo de regiones viene dada por:

x = 0

73

( ) ( )∑∞

=

•

−

−

−=

13

222 1

22 n

n

nn

n

n

ab

cosh

ax

cosby

cosha

xakg

y,xTβ

ββ

β (3.73)

de donde se tiene que para a = b , x = y = 0:

( )k

gak

gaT

22

1 3125.0165

0,0 == (3.74a)

mientras que de la solución exacta:

( ) ( )

−−= ∑

∞

= 03

2 12

21

0,0n nn

n

coshkga

Tββ

(3.74b)

Tabla 1. Comparativo del método analítico y el método directo de Galerkin.

Caso; x = 0, y = 0, a = b

Valor % Error Solución Exacta 0.293 0

Galerkin 0.3125 6.65290

100*%Ev

cv

XXX −

= (3.75)

Siendo el error en este caso de alrededor de 6.7 %.

Mientras que para el caso en que la solución se toma los dos primeros términos la solución de prueba, toma la forma:

( ) ( )( )( )22222212 , ybxaxCCyxT −−+= (3.76)

de la condición de ortogonalidad de Galerkin se obtendrá el sistema para determinar los coeficientes C1 y C2.

Aplicación 4:

Como una ultima aplicación teórica se hará el análisis modal de vibraciones de cuerpos elásticos, calcularemos la frecuencia natural mas baja de una placa rectangular Ω de lados a, b y grosor h.

Solución: Se sabe que la ecuación que gobierna las vibraciones de placas para este caso viene dada por:

74

( )tyxf

th

yyxxD ,,2

2

2

4

4

22

4

4

4

=∂

∂+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂ ψρ

ψψψ en Ω×I+, I+=[t0,∞) (3.77)

Satisfaciendo las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

( ) ( )

( ) ( )yxvtyxt

yxutyx

,,,

,,,

00

00

=∂∂

=ψ

ψ (3.78)

+×Ω∂=Ω∂ Ien0ψ (3.79)

donde: I+=[t0,∞); ρ(x,y,z) es la densidad volumétrica y f(x,y,t) es la carga dinámica por unidad de

superficie; ( )2

3

112 ν−=

EhD es la rigidez flexural de la placa con E = Módulo de Young y ν= Coeficiente

de Poisson, determinados por las relac iones esfuerzo- deformación de la Ley de Hooke.

En este problema hay que determinar la frecuencia natural más baja de (3.77), sujeta a (3.78) y (3.79), la cual reducida vendrá modificada como sigue: f(x,y,t)≡0

+×Ω=∂∂

+∇ ItD

hen02

24 ψρψ (3.80)

0=×Ω∂ +Iφ (3.81)

que representa las vibraciones libres de la placa Ω . De (3.80) se ve que la solución ψ(x,y,t) puede representarse por funciones de variables separadas: ( ) ( ) tieyxtyx ωφψ ,,, = (3.82)

que sustituida en (3.80), queda:

02

4 =

−∇ tie

Dh ωφωρ

φ (3.83)

La ecuación Ω=+∇ en044 φφ k (3.84)

bajo la condición de frontera: 0=Ω∂φ (3.85)

75

donde:

Dh

k2

4 ωρ−= es la ecuación que gobierna la vibración libre de la placa ausente de

fuerzas externas.

Si (3.84) es vista como un operador diferencial, entonces tenemos:

Lφ = 0 en Ω (3.86)

φ = 0 en ∂Ω (3.87)

Y como ( ) ( )∑=

=n

iii yxCyx

1

,,~

ψφ representa la solución numérica propuesta de (3.86) bajo

(3.87) ; y ( ) φφφε LL −=~~

representa el error residual, entonces las condiciones de ortogonalidad de Galerkin que debe de cumplir la solución para este caso es :

[ ] ( )∫Ω

=Ω 0,~

dyxjψφε 1 ≤ j ≤ n (3.88)

donde:

[ ] ( ) ( )

∑∑

∑ ∑

==

= =

+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂=

=

+∇=+∇==−=

n

iii

n

i

iii

n

i

n

iiiii

Ckyyxx

Ci

y,xCky,xC~

k~~

LL~

L~

1

4

14

4

22

4

4

4

1 1

4444

2 ψψψψ

ψψφφφφφφε

(3.89)

luego de las condiciones de ortogonalidad (3.89):

∑∫

∑∫

= Ω

= Ω

=Ω+

+Ω

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂

n

ijjii

n

ijj

iiii

dCk

dyyxx

C

1,

4

1,4

4

22

4

4

4

0

2

ψψ

ψψψψ

(3.90)

Observamos que ( ) ( ) ( )

−−

−−= a

yna

xmyxnm

ππψ

212cos1

212cos1,, m,n = 1,2,3,...

representan a la familia de funciones, que cumplen con las condiciones de frontera (3.87), y

representan a la función ( )yx,~φ propuesta,la cual será calculada para cuando

la aproximación para ( )yxnm ,1, 11ψ⇒= :

76

( ) ( ) ( ) ( )

−

−=

−

−

−

−==ay

cosax

cosCa

ycos

ax

cosCy,xCy,x~ ππππ

ψφ2

12

1212

1212

1 11111111

De esta manera. la condición de ortogonalidad de Galerkin es:

( ) ( )∫ ∫∫ ∫ =+

∂

∂+

∂∂

∂+

∂

∂a aa a

dxdyy,xkCdxdyy,xyyxx

C0 0

114

11

0 0

11411

4

2211

4

411

4

11 02 ψψψψψ

de donde resulta:

hDa ρ

ω2

128.37

= =2πf1

donde f1 es la frecuencia fundamental de vibración de la placa.

Referencias Bibliográficas.

1. HAAR, D. TER. “ELEMENTS OF HAMILTONIAN MECHANICS”. Ed. North Holland Publishing Co. 1961.

2. LAYTON, RICHARD A. “PRINCIPLES OF ANALYTICAL SYSTEM DYNAMICS”. Ed.

Springer Verlag. 1998.

3. BEREZIN, I.S. ZHIDKOV, N.P. “COMPUTING METHODS”. Ed. Pergamon Press. 1965. Vol. II. Cap. 10.

4. LAPIDUS, LEON. PINDER, GEORGE F. “NUMERICAL SOLUTIONS OF PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SCIENCE AND ENGINEERING”. Ed. John Wiley & Sons. 1982. Capítulo 6.

5. SMITH, GORDON DENNIS. “NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFERENTIAL

EQUATION: FINITE DIFFERENCE METHODS”. Capítulo 4. 1978.

6. STAKGOLD, IVAR. “BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS”. Ed. MacMillan Company. 1967.

7. ARTICOLO, GEORGE A. “PARTIAL DIFFERNTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY

VALUE PROBLEMES WITH MAPLE V”. Ed. Academic Press. 1989. Cap. 4, 6, 7 y 8.

77

8. ZWILLINGER, DANIEL. “HANDBOOK OF DIFFERENTIAL EQUATIONS”. Ed. Academic

Press. 1989.

9. SEARS, FRANCIS W. “MECANICA, MOVIMIENTO ONDULATORIO Y CALOR”. Ed. Aguilar Ediciones. 1965. Cap. 12, 16 y 17.

10. HALLIDAY & RESNICK. “FUNDAMENTOS DE FISICA”. Ed. CESCA. 1986. Cap. 14, 17 y

18.

11. ALONSO, MARCELO. FINN, EDWARD J. “FISICA VOLUMEN I: MECANICA”. Ed. Fondo Educativo Interamericano S. A. 1976. Cap.12.

12. FEYNMAN, RICHARD P. LEIGTON & SANDS. “THE FEYNMAN LECTURES ON

PHYSICS. VOL. I”. ED. Fondo Educativo Interamericano. 1971. Cap. 21, 47, 48, 49, 50 y 51.

13. JOSS, GEORG. “THEORETICAL PHYSICS”. Ed. Blackie & Son Ltd. 1958. Parte I, Cap.

II.

14. THOMSON, WILLIAM T. “TEORIA DE VIBRACIONES: APLICACIONES”. Ed. Prentice Hall. 1983.

15. CHEN, YU. “ VIBRATIONS: THEORETICAL METHODS”. Ed. Addison-Wesley Co., Inc.

1966. Cap. 3 y 8.

78

CAPÍTULO IV

EL METODO DE PETROV-GALERKIN-MEF. 4.1. El Método Híbrido de Petrov-Galerkin-MEF. 4.2. El Sistema Acoplado Acústico-Estructural. 4.2.1. Sistema Acoplado Acústico-Estructural sin pérdidas. 4.2.2. Sistema Acoplado Acústico-Estructural con pérdidas. 4.3 Análisis Modal Computacional en Tubos Cilíndricos 4.3.1 Análisis Modal en un Tubo Silenciador por MEF 4.4. Análisis Modal Numérico en tubos cilíndricos con agujeros. 4.5. Resultados Numéricos y Experimentales. 4.5.1. La quena. 4.5.2. Descripción del método. 4.5.3. Resultados. 4.6. Conclusiones y Recomendaciones a Futuro.

79

CAPITULO IV. EL MÉTODO DE PETROV – GALERKIN – MEF. 4.1. El Método Híbrido de Petrov-Galerkin-MEF.

El método de Petrov-Galerkin-MEF considera por una parte la ventaja que ofrece el método directo de Bubnov-Galerkin el hecho de no ser necesario que el problema a resolver admita una formulación Variacional; y por otro lado, utiliza la versatilidad con que cuenta el Método de los Elementos Finitos (MEF) que es el de descomponer al dominio en redes ∆(e) (de elementos finitos) para: 1 ≤ e ≤ E, y proponer polinomios de interpolación φ(e) en ∆(e), de tal manera que la solución

numérica propuesta sea el polinomio global de interpolación Ω~

, donde:

( ) ( )∑==

=∆=ΩE

e

eeE

e 11

~;

~φφU

En términos de operadores diferenciales L[ ], B[ ] y C[ ] la ecuaciones diferencial , y las

condiciones de frontera e iniciales quedan como:

[ )∞=×Ω= ++ ,; 0tIIfL enφ (4.1)

( ) +×Ω∂= ItsgB en,φ (4.2)

( ) ( )( ) ( ) 000

0

,,,

,,,t

zxvt

tzxzxutzx

C ×Ω=Ω

=∂

∂=

= enφφ

φ (4.3)

Y como la solución numérica propuesta φ~

viene expresada como:

( )∑∑==

Φ==n

jjj

E

e

e tzxN01

)( ,,~

φφ (4.4)

donde las Nj(x,z,t) son las funciones de forma del MEF y Φj son los valores nodales a determinar,

que en el método de Galerkin son los Cj, de la solución de prueba ( )tzx ,,~φ , las

( ) ( )tzxtzxN jj ,,,, ψ= , toman el papel de las funciones de base de Galerkin.

De esta manera si [ ] [ ]φεφε~

,~

21 son las funciones error de Galerkin residuales tanto en el

dominio Ω como en su frontera, [ ] [ ]φεφε~~,

~~21 serán los errores residuales de Petrov-Galerkin-MEF

tanto en el dominio Ω~

como en su frontera Ω∂~

, siendo:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]φφφεφφφε BBLL −=−=~~~;

~~~21 (4.5)

los cuales serán minimizados de las condiciones de ortogonalidad de Galerkin que, a su vez, es el sistema algebraico de donde se determinarán los coeficientes Φj:

N0(x,z,t) = ψ0(x,z,t ) ; C0 = 1, es tal que:

80

N0(s ,t) = g1(s,t) satisface la condición esencial de Dirichlet del problema y Nj(s,t)≡0, 1 ≤ j ≤ n;

así la solución propuesta: ( ) ( )∑=

Φ=n

jjj tzxNtzx

0

,,,,~φ satisface dicha condición también. Entonces

las condiciones de ortogonalidad de Galerkin para [ ] [ ]φφ~

,~

BL quedarán:

[ ]( ) [ ]( )∫ ∫ ∫ ∫Ω Ω

≡−+Ω−t t

ii dtSdgBNdtdfLN0

~0

~0

~~~~φφ 1 ≤ i ≤ n (4.6)

de donde se obtendrá el sistema lineal en las incógnitas Φ1, Φ2, ...,Φn, obteniendo la solución

( )tzx ,,~φ del problema (4.1) bajo (4.2) y (4.3).

Aplicación a Membranas de Geometría General. Calcular las frecuencias naturales de una membrana vibrante de geometría arbitraria Ω , y

cuyo borde se encuentra sujeto. El problema así planteado es un caso particular de (4.1) bajo (4.2) y (4.3), ya que es la

ecuación de la onda libre de fuerzas externas, b = 0 y f(x,z,t) = 0, de manera que (4.1) es:

[ ] 01

2

2

22 =+

∂

∂−∇= φ

φφφ k

tcL (4.7)

[ ] 0=φB (4.8)

[ ]( ) ( )( ) ( )

=∂

∂=

=zxv

ttzx

zxutzxC

,,,

,,,0

0φ

φφ (4.9)

Debido a que la solución φ(x,z,t) se puede separar como ( ) ( ) ctiezxytzx λφ −= ,,, la ecuación (4.1.1) en la variable temporal :

Ω=+∇ en022 yy ω (4.10)

0=Ω∂y (4.11)

Donde ( )22 λω += k es reconocida como la Ecuación de Helmholtz. La solución numérica propuesta será:

( ) ( )∑=

=n

jjj YzxNzxy

1

,,~

y los errores residuales [ ] [ ]yy ~~,~~21 εε son:

81

[ ] [ ] [ ] 0~~~~~21 == yyLy εε y

Por lo que las condiciones de ortogonalidad de Galerkin para 1 ≤ i ≤ n son:

[ ]∫Ω

=Ω~

0~~ dyLN i (4.12)

Explícitamente para 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n:

∑∫= Ω

=ΩΦ

+

∂

∂+

∂

∂n

jijji

ji

ji dNN

z

NN

x

NN

1,

22

2

2

2

0~ω (4.13)

Si ∫Ω

Ω

∂

∂+

∂

∂=

~2

2

2

2

dz

NN

x

NNA

ji

jiij y ∫

Ω

Ω= dNNb jiij (4.14)

entonces: ( ) ( )

( ) ( ) 0

0

12

1112

1

12

11112

11

=Φ+++Φ+

=Φ+++Φ+

nnnnn

nnn

bAbA

bAbA

ωω

ωω

L

MMML

(4.15)

De donde se obtendrá una solución no trivial si el determinante: 0det 2 =+ ijij bA ω o

polinomio característico que, finalmente permitirá obtener los valores nλλ ,,1 K de 22nnk ωλ =+ de

las frecuencias naturales de vibración de la membrana.

Aplicación a la Ecuación de la Onda Tridimensional.

De acuerdo a la deducción, la ecuación diferencial que gobierna la onda en términos de la presión acústica p es:

ft

p

cp =

∂

∂−∇

2

2

22 1

(4.16)

sujeta a las condiciones de frontera:

( ) 0,,,, 1 >Γ= tPtzyxp en (4.17)

( ) 0,0,,,ˆ 32 >ΓΓ=+⋅∇ ttzyxqnp en (4.18) Consideraremos el problema en un instante de tiempo, por tanto se asumen las derivadas

temporales de pp &&& y como funciones únicamente de las coordenadas espaciales.

( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ∑=

==r

i

eTii PNtpzyxNtzyxp

1

,,,,, (4.19)

82

Donde Ni son las funciones de forma, pi(t) son los valores nodales dependientes del tiempo y

r los grados de libertad de un elemento típico.

Aplicando el método de Galerkin se requiere que en cualquier instante de tiempo

∫Ω

=Ω

−

∂

∂−∇⋅∇ 0

12

2

2df

t

p

cpN i

(4.20)

Integrando por partes y aplicando el teorema de Gauss en el primer término de la integral,

tenemos:

( ) ( )∫ ∫∫Γ ΩΩ

Ω∇⋅∇−Γ∇⋅=Ω∇⋅∇ dpNdpnNdpN iii ˆ (4.21)

Reemplazando (4.21) en (4.20) y reordenando:

( )∫ ∫∫∫Ω ΩΓΩ

=Ω+Γ⋅−Ω∂

∂+Ω∇⋅∇ 0ˆ1

2

2

2dfNdpnNd

t

p

cNdpN iiii (4.22)

Introduciendo los operadores:

( )

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( ) eT

eT

eT

T

PNt

p

PNtp

PNp

L

zyxL

&&

&

=∂

∂

=∂∂

=

=∇

∂∂

∂∂

∂∂

==∇

2

2

,,

(4.23)

obtenemos la expresión en notación matricial para la ecuación (4.22), es decir:

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) 012

=Ω+Γ−Ω+Ω ∫ ∫∫∫Γ ΩΩΩ

dfNdPLnNdPNNc

dPNLLN eTeTeTeTT &&

(4.24)

donde n es el vector normal a la superficie Γ. Aquí hay que considerar dos casos: Primero, cuando el sistema acoplado no tiene pérdidas. Segundo, cuando el sistema acoplado tiene pérdidas. 4.2. El Sistema Acoplado Acústico-Estructural. 4.2.1. Sistema Acoplado Acústico-Estructural sin pérdidas.

83

Si se considera el problema de interacción de la presión acústica sobre la estructura, se puede establecer la relación entre el gradiente de presión acústica y la aceleración normal de una estructura elástica en la interfase:

( )2

2

t

utt

p s

∂

∂−=∇

∂∂−=

∂∂∇−=∇

rρφρφρ (4.25)

donde su

r es el vector desplazamiento de la frontera del sólido elástico en la interfase, entonces, la

condición de frontera la interacción del medio aire o fluido con una frontera sólida elástica se establece mediante:

2

2ˆˆ

t

unpn s

∂

∂⋅−=∇⋅

rρ (4.26)

Donde:

sur

es el vector desplazamiento de la frontera del sólido elástico en la interfase ρ es la densidad del fluido n es el vector normal a la superficie.

Reescribiendo la ecuación (4.25) en forma matricial:

[ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ∫∫ΓΓ

Γ−=Γ22

ess

TeT udNnNPdLnN &&ρ (4.27)

Donde:

( ) [ ] sTe

s uNu =r

[ ]sN es la función de forma para los desplazamientos en la interfase

( ) esu&& es el vector de aceleración nodal en la interfase.

Reemplazándolos en (4.27) tenemos:

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ∫∫ ∫∫ΩΩ ΓΩ

=Ω+Γ+Ω+Ω 01

2

2 dfNudNnNPdNNc

PdNLLN eTes

Ts

TeTeTT &&&& ρ

(4.28) Si definimos las matrices:

( )[ ] [ ][ ]∫Ω

Ω= dNNc

M Te2

1 Matriz de masa (4.29)

( )[ ] [ ] [ ]∫

Ω

Ω= dNLLNK TTe Matriz de rigidez (4.30)

84

( )[ ] [ ] [ ]∫Γ

Γ=

2

dNnNR Ts

Te ρ Matriz de acoplamiento fluido – estructura (4.31)

( )[ ] [ ] ( ) ∫Ω

=Ω= 0dfNF eTe Vector fuente de excitación acústica (4.32)

Reemplazando estas cuatro expresiones en la ecuación (4.28), podemos escribir:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ee

seeeee FuRPKPM =++ &&&& (4.33)

(4.33) representa la ecuación matricial a resolver para obtener la presión acústica del sistema acoplado sin pérdidas. 4.2.2. Sistema Acoplado Acústico-Estructural con pérdidas.

La disipación acústica en el interior del fluido en recintos pequeños es muy pequeña y puede despreciarse en la mayoría de los análisis acústicos, y no se considera en el presente trabajo. Sin embargo, la disipación generada en la “capa frontera viscotérmica” de las paredes puede modelarse con un equivalente de la impedancia acústica en la pa red.

La condición de frontera conservativa puede considerarse en términos de una impedancia acústica reactiva normal Zn, en la forma:

tp

Znp

pnn ∂

∂=

∂∂

−=∇⋅ρˆ

(4.34)

donde n es el vector normal saliente en la superficie frontera.

Como ya fue mencionado anteriormente, la impedancia acústica específica esta dada por:

AAA iXR +==Up

Z

Si la frontera es una pared completamente rígida, la componente normal de la velocidad de

partícula se hace cero, y por tanto se tiene una gran impedancia reactiva Zn → ∞ entonces:

0=∂∂np

(4.35)

En el caso opuesto, una frontera de pared suave tendrá una condición de frontera:

ρ = 0 (4.36)

Sin embargo, ninguna pared es absolutamente rígida, la componente normal de la velocidad no desparece completamente en la pared, la razón de la presión con respecto a la componente normal de la velocidad de partículas en la superficie de la pared es por lo general un valor grande pero no infinito y usualmente tiene una parte real mucho más grande que la parte imaginaria.

Las características de absorción de la pared están determinadas por su impedancia acústica

específica normal Z. Para facilidad y muy próximo a la realidad, suponemos que se puede ignorar la parte reactiva de Z, por consiguiente la impedancia puede expresarse como:

85

Z = ρ c γ (ω) (4.37) donde: γ(ω) es la relación adimensional de la impedancia de la resistencia acústica especifica normal de la pared con respecto a la impedancia acústica característica ρc del aire.

Si definimos a γ

β 1= como el coeficiente de admitancia en la frontera podemos escribir:

AZcρ

β = (4.38)

Tomando en cuenta las condiciones de frontera (4.35) y (4.36) en la ecuación (4.24), como

se asume que la disipación ocurre en las superficies fronteras el término integral de la disipación se integra sobre la superficie Γ3 , se puede rescribir la ecuación (4.24) incluyendo el término disipativo:

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ] [ ] ( )

[ ] ( ) ∫

∫ ∫∫∫

Ω

Ω ΓΓΩ

=Ω+

Γ+Γ−Ω+Ω

0

1

23

2

dfN

udNnNdPNNZ

PdNNc

PdNLLN

eT

es

Ts

TeT

A

eTeTT &&&&& ρρ

(4.39) Reemplazando (4.38) en (4.39) tenemos:

[ ] [ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ][ ] ( ) [ ] [ ] ( )

[ ] ( ) ∫

∫ ∫∫∫

Ω

Ω ΓΓΩ

=Ω+

Γ+Γ−Ω+Ω

0

1

23

2

dfN

udNnNdPNNc

PdNNc

PdNLLN

eT

es

Ts

TeTeTeTT &&&&& ρβ

(4.40)

Definiendo la matriz:

( )[ ] [ ][ ]∫Γ

Γ=3

dNNc

C Te β Matriz de amortiguamiento acústica (4.41)

Podemos expresar finalmente la ecuación (4.24) en forma matricial:

( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]ee

seeeeeee FuRPKPCPM =++− &&&&& (4.42)

que incluye el término disipativo y representa el sistema matricial que hay que resolver para el caso en que el recinto acústico es tomado en cuenta con la estructura del medio, o sea que representa el sistema acoplado con dicha estructura considerando las pérdidas de energía, que es lo que en la realidad acontece.

86

4.3. Análisis Modal Computacional en Tubos Cilíndricos.

En lo que sigue vamos a aplicar el método de Petrov-Galerkin-MEF al caso de Tubos cilíndricos acústicos con agujeros calculando las frecuencias naturales para el caso de un silenciador y el de un instrumento musical, específicamente la quena

Si se considera un tubo perfectamente regular de longitud l y sección transversal A (figura

4.1), el análisis modal puede llevarse a cabo de manera relativamente sencilla, llegándose al establecimiento de las frecuencias de vibración expresadas de la forma:

efn l

ncf

2= ; n = 1, 2, 3, … (4.43)

donde: lef es la corrección de extremo para la longitud del tubo.

Figura 4.1. Tubo cilíndrico con sección transversal constante sin agujeros.

Ahora bien, considérese un tubo en el cual se tengan variaciones en su geometría, por

ejemplo el caso del tubo Ω cuya sección transversal no es constante A, sino que varía conforme varía el punto z sobre el eje de la barra (figura 4. 2), el análisis por métodos tradicionales se complica tal y como se mencionó en el capitulo II. Es entonces que métodos de descomposición del dominio, tal como el método del elemento finito, pueden proporcionar las herramientas necesarias para la obtención de modelos más exactos.

Figura 4.2. Tubo Cilíndrico homogéneo de sección transversal variable

A(x)

X

l

A

x

87

Nuestro modelo, entonces, será el siguiente:

Figura 4.3. Modelo con elementos finitos para un tubo con geometría irregular.

Debido a la simetría geométrica del problema, solo la parte de la derecha es aproximada por

elementos de la forma de sección constante y variable.

Figura 4.4 Aproximación geométrica para elementos finitos.

4.3.1 Análisis modal en un tubo Silenciador por MEF.

Como una aplicación directa del MEF donde el dominio es un tubo silenciador con el extremo de entrada conectado a una fuente (presión acústica) y el otro extremo libre (abierto); este tipo de silenciador, esta construido con una lamina de metal perforada y recubierta por materiales absorbentes (por lo general lana mineral) en sus paredes interiores, la lámina de metal perforado forma un cilindro del mismo diámetro del tubo, el material absorbente es una capa colocada entre el metal y una lámina exterior formando una superficie cilíndrica de mayor diámetro, las vistas exterior y corte transversal se muestran en la figura 4.5.

Figura 4.5. Esquema del silenciador.

Siendo que la ecuación de propagación del sonido esta gobernada por la siguiente ecuación de la onda:

01

2

2

22 =

∂

∂−∇

t

p

cp (4.44)

Material absorbente

Lámina de metal perforado

Lámina de metal

X

Z i j i j

(e) Ai

(e)

A (x)

Ai Aj

A(e)

88

donde p(x,y,z,t) es la fluctuación de presión sonora.

Siendo la ecuación lineal podemos estudiar la respuesta del sistema para cada frecuencia separando la parte espacial de la temporal, por lo que la ecuación espacial se reduce a la ecuación de Helmholtz:

022 =+∇ pkp (4.45)

donde: c

kω

= es llamado número de onda

y las condiciones de frontera están dadas por: p = pe = 10 Pa la presión de entrada (Condición de Dirichlet no Homogénea),

0ˆ =∇⋅ pn en las paredes laterales donde no se encuentra el silenciador, se suponen superficies lisas y completamente rígidas (Condición de Neumman homogénea).

La condición de frontera no conservativa puede considerarse en términos de una impedancia acústica reactiva normal Zn, en la forma:

tp

Znp

pnn ∂

∂=

∂∂

−=∇⋅ρˆ (Condición Mixta No Homogénea) (4.46)

Reescribiendo:

pZi

rp

n

ωρ=

∂∂

(4.47)

donde: c

Zn ρβ

= en la frontera absorbente

β es el coeficiente de absorción en la frontera. Dada la geometría del problema, tal como se menciona en el apartado 2.3.2., es más

apropiado encarar el problema en coordenadas cilíndricas, rescribiendo la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas (2.88) tenemos:

011 2

2

2

2

2

22

2

=+∂

∂+

∂

∂+

∂∂

+∂

∂pk

z

pp

rrp

rr

p

θ (4.48)

Figura 4.6. Coordenadas del silenciador.

89

Por la simetría del problema podemos considerar el problema independiente de la

coordenada angular θ, tenemos la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas:

01 2

2

2

2

2

=+∂

∂+

∂∂

+∂

∂pk

z

prp

rr

p (4.49)

La geometría del dominio puede representarse entonces en un plano con las fronteras

definidas como se muestra en la figura 4.7.

Figura 4.7. Condiciones de frontera (esquema en dos dimensiones con simetría alrededor

del eje)

Siendo las condiciones de frontera:

0=∂∂rp

en Γ1 centro del ducto, simetría en la dirección r

ikpzp

−=∂∂

en Γ2 salida del ducto (Z=ρ c)

0=∂∂rp

en Γ3 y Γ5 paredes rígidas (Z=∞)

pZ

irp

n

ρω−=

∂∂

en Γ4 (silenciador)

p =pe en Γ6 (presión de entrada) Preprocesamiento. Para discretizar el dominio se emplean elementos cuadrangulares. Siendo las propiedades del material (aire) Densidad del fluido = ρ = 1.23 (Kg/m3) y velocidad del sonido a = 344 (m/s). La geometría del modelo se muestra en la Figura 4.8, y se tienen las siguientes dimensiones: Diámetro: 0.1 (m) Longitud total = 0.90 (m) Longitud silenciador = 0.3 m Distancia a cada lado del silenciador = 0.3 m

Figura 4.8. Modelo de elementos finitos

Γ 1 ZMAX Z

Γ 5 Γ4 Γ3

Γ2

r

rMAX

Γ6

90

Condiciones de frontera: pr = 0 en Γ1 pz = 0 en Γ2 presión de salida pr = 0 en Γ3 y Γ5 paredes rígidas (Z=∞) Impedancia: coeficiente de absorción para el material β = 0.4 en Γ4 (silenciador) p =0.04 Pa en Γ6 (presión de entrada) Procesamiento y Postprocesamiento.

Inicialmente se realiza un análisis modal del tubo para determinar las frecuencias naturales. La tabla 1 muestra los resultados para las primeras 5 frecuencias:

Tabla 4.1. Frecuencias naturales del silenciador

No. Frecuencia Hz

1 135.14 2 390.34 3 547.47 4 769.40 5 966.56

Se realiza entonces un análisis armónico para obtener la respuesta aplicando una carga de presión para las frecuencias de 800 Hz y a 1800 Hz, la figura 4.9. muestra la solución nodal de las presiones para 800 Hz.

Figura 4.9. Solución nodal distribución instantánea de presión, frecuencia a 800 Hz

91

Para poder apreciar de mejor manera el efecto de la pared absorbente, se han graficado los valores nodales de presión sobre una trayectoria a lo largo del tubo, la figura 4.10 muestra la variación de la presión respecto a la distancia.

Figura 4.10. Gráfica presión vs. Distancia, frecuencia a 800 Hz .

De la misma manera se tiene la respuesta aplicando una carga de presión a 1800 Hz, la

figura 4.11 muestra la solución nodal de las presiones.

Figura 4.11. Solución nodal distribución instantánea de presión, frecuencia a 1800 Hz.

92

Figura 4.12. Grafica presión vs. distancia a 1800 Hz .

Finalmente se aplica una carga a 390 Hz, en la figura 4.13 se muestra la gráfica de presión

contra distancia donde se observa el comportamiento críticamente amortiguado.

Figura 4.13. Gráfica presión vs. distancia a 390 Hz , para un sistema críticamente amortiguado.

93

Como resultado de este análisis, se puede observar una pronunciada caída de la presió n en donde inicia el silenciador, con estos resultados y la presión de salida es posible calcular los respectivos niveles de presión sonora a la salida del tubo. La presión es medida en Pa y como mencionamos el rango de presión que percibe el oído humano va desde 20 µPa a 200 Pa,

entonces en la escala logarítmica el nivel de presión sonora esta dado por0

log20p

pNPS = , donde

µPa200 =p y es la referencia de nivel de presión sonora para Lp en decibeles (dB). 4.4. Análisis Modal Numérico en tubos cilíndricos con agujeros.

Analizaremos el caso de propagación de ondas planas en un cilindro delgado con un agujero lateral, este tipo de problema es común en los instrumentos de viento como las flautas, quenas, etc. Como mencionamos anteriormente, la frecuencia debe estar muy por debajo de la frecuencia de corte que está determinada por la ecuación. Consideremos primero el tubo de paredes lisas con extremos cerrados y todas las paredes completamente rígidas, la longitud total l =0.376 m y un radio a = 0.0105 m, el modelo se muestra en la figura 4.14.

Figura 4.14. Cilindro delgado

La ecuación que gobierna el sistema esta dado por la ecuación unidimensional de la onda:

2 2

2 2 2

1 0p px c t

∂ ∂− =∂ ∂

donde p(x,t) es la fluctuación de presión sonora.

Como buscamos las soluciones armónicas el problema puede llevarse al dominio de la

frecuencia y resolver la ecuación de Helmholtz:

22

20p k p

x∂ − =∂

Las condiciones de frontera están dadas por:

0px

∂=

∂ en Γ1 y en Γ4 tapas rígidas

0py

∂ =∂

en Γ2 y Γ3 paredes laterales.

El dominio se ha mallado utilizando elementos isoparamétricos cuadrangulares de cuatro nodos, con 72 elementos y 100 nodos como se muestra en la figura 4.15. El extremo derecho se

94

ha discretizado con un mallado más fino para introducir posteriormente un agujero en su pared lateral.

Figura 4.15. Modelo mallado del cilindro con elementos isoparamétricos cuadrangulares de cuatro

nodos 2D. Se ha preparado un programa en MATLAB® para determinar las frecuencias naturales de

este problema en dos dimensiones, el listado de este programa: ANALISISFEMMODAL2D puede consultarse en el Apéndice C.

De la misma forma analizamos el modelo con los extremos (fronteras Γ1 y en Γ4) abiertos a

una presión nula p = 0, las condiciones de frontera son en este caso:

0p = en Γ1 y en Γ4 tapas rígidas

0py

∂ =∂

en Γ2 y Γ3 paredes laterales.

Los resultados de las frecuencias naturales de ambos tubos (extremos cerrados y extremos

abiertos a presión nula) se muestran en la tabla 4.2. Tabla 4.2. Frecuencias naturales del tubo cilíndrico con extremos abiertos (p=0) y cerrados

Frecuencias Naturales obtenidas en MATLAB® Extremos abiertos (p=0) Extremos cerrados

No. Frecuencia (Hz) No. Frecuencia (Hz) 1 458.85 1 0.0053137 2 925.75 2 458.52 3 1407.1 3 923.84 4 1907 4 1404.3 5 2430.8 5 1909.5

Se puede observar en la tabla anterior, que los resultados coinciden con las soluciones analíticas conocidas para este problema, las frecuencias naturales son iguales para ambos casos pero en el caso del tubo delgado con extremos cerrados el primer modo es nulo y corresponde a la frecuencia de Helmholtz que caracteriza a los recintos cerrados.

Figura 4.16 Tubo cilíndrico delgado con agujero lateral.

95

El modelo de tubo con extremos abiertos a una presión nula no corresponde a un modelo físico real, puesto que supondría que la impedancia en los extremos abiertos es nula Z = 0, sin embargo, el medio ofrece una resistencia a la radiación de sonido que dependerá de la frecuencia y de la forma de la terminación del tubo.

Existen algunos métodos analíticos para determinar las impedancias de radiación en tubos,

sin embargo, estos deben validarse o complementarse con mediciones experimentales para el tipo de problema específico, las mediciones y cálculos de las impedancias acústicas se harán para el caso de una quena en el siguiente párrafo. Consideremos ahora el caso de un tubo cilíndrico delgado de longitud total l =0.376 m y un radio a = 0.0105 m, con un agujero lateral ubicado a una distancia lh = 0.334 m del extremo excitado como se muestra en la figura 4.16.

Para tubos de radios pequeños, la impedancia específica en el extremo abierto puede expresarse mediante

16

3lz i f a ρ= − (4.50)

donde f es la frecuencia de excitación y ρ la densidad.

La impedancia específica en el punto x=lh esta dado por:

2 8tan

3t h

az i c l l

πρ

λ π = − − +

(4.51)

La impedancia específica considerando la velocidad del aire a través del agujero es:

32

3hz i f bρ= − (4.52)

donde b es el radio del agujero lateral.

La corriente total de aire en x=0 debe ser igual a la suma de de ambas corrientes en x= lh es

decir: 2 2 21 2 ha u a u b uπ π π= + como se muestra en la figura 4.15..

En x=lh la razón de la presión p(lh) a la velocidad esta dada por:

( ) ( )2 2

2 2

323h

t h

a ifaz l G

ba bz z

π ρλ

π π= = −

+

(4.53)

donde:

( ) 2

2 8tan

332 2 8

tan3 3

h

h

al l

Ga a

l lb

πλ πλ

πλ λ π

− + = + − +

(4.54)

96

La impedancia específica en el extremo x=0 esta dado por:

( )2

12 320 tan tan ( )3

hl az i c Gb

πρ λλ λ

− = − +

(4.55)

Las frecuencias de resonancia, aquellas para las cuales la impedancia z(0)=0 son por tanto:

2

1 232tan ( )3

hla G nb

πλ π

λ λ−

= −

(4.54)

donde n = 1,2,3…

Cuando a y b son muy pequeños, y l es menor a la mitad de la longitud de onda, la ecuación

(4.55) se reduce a una forma simplificada:

( ) ( )

1

21

2 0

1 10 22 2 h

z a ifLif L L ifL

π ππ π

− = − + + + (4.57)

Donde:

( )1 2 02 2 2 2

8 16, , y 3 3

hhh

l llL L L L

a a a b

ρρ ρ ρπ π π π

−= = = = . En este caso, la impedancia acústica del

sistema es πa2 veces la impedancia de un circuito eléctrico equivalente, como se muestra en la figura 4.17.

Figura 4.17. Circuito eléctrico análogo equivalente a un tubo cilíndrico con agujero lateral.

Si el radio a es largo comparado con b y aproximadamente del mismo tamaño que lh, entonces en la ecuación (4.57) tendremos capacitancias en lugar de las inductancias L1 y L2.

Utilizando el mismo modelo mallado de la figura 4.15 se aplican las condiciones de frontera

considerando las impedancias de entrada, de salida, y la impedancia del agujero lateral como se muestra en la figura 4.18.

97

Figura 4.18. Modelo mallado del tubo delgado con agujero lateral e impedancias

El sistema esta gobernado por la ecuación de Helmholtz:

22

20p k p

x∂ − =∂

Las condiciones de frontera están dadas por:

0py

∂=

∂ en Γ2, Γ4, y Γ6 paredes rígidas;

o

p ip

x Zωρ∂

=∂

en Γ1 impedancia acústica en la entrada;

l

p ip

x Zωρ∂

=∂

en Γ5 impedancia acústica en la salida;

h

p ip

y Zωρ∂

=∂

en Γ3 impedancia acústica en el agujero.

Con las ecuaciones de (4.50) a (4.57), utilizando una frecuencia ω1 = 3226.7 [rad/s] ó

f =513.5 Hz obtenemos las impedancias:

1405.9oZ i=

34.78lZ i=

23.19hZ i=

Mediante el programa en MATLAB® para determinar las frecuencias naturales ANALISISFEMMODAL2D, obtenemos las primeras tres frecuencias naturales, los resultados se muestran en la tabla 4.3.

Tabla 4.3Frecuencias naturales del tubo delgado con agujero lateral No. Frecuencia Hz 1 317.63 2 777.55 3 1279.6

98

4.5. Resultados Numéricos y Experimentales. 4.5.1. Caso Experimental de la Quena.

Para los músicos que desean utilizarlas, estos instrumentos musicales representan una gran

dificultad, ya que no están temperados (afinados a una escala temperada), de acuerdo con opiniones recogidas entre ellos “cada quena suena diferente”, y como son instrumentos que no permiten afinación in situ, entonces cuando estas deben acoplarse a un conjunto musical, será necesario contar con una cantidad de ellas suficiente como para atinar en la afinación.

Introducción:

La construcción de instrumentos de viento en América es ya una tradición desde tiempos precolombinos, en México se tienen muchos ejemplos en una gran variedad de flautas fabricadas con materiales muy variados tales como carrizo, bambú, muchas variedades barros y de madera, e inclusive metales como oro y plata.

La quena es un instrumento musical de origen andino muy utilizado en la composición musical de aquellos lugares. Aparentemente se trata de un sistema de muy simple análisis, ya que este instrumento musical consta de un cuerpo tubular recto, con seis perforaciones al frente y una posterior, sin embargo como cualquier otro instrumento de viento, la quena presenta un reto al análisis de los modos de vibración debido precisamente a las singularidades (agujeros) que tiene a lo largo de su cuerpo, y las combinaciones de ellas al tapar o destapar unas y otras a fin de formar las distintas notas musicales (digitación); además, al no tener boquilla, la embocadura representa un problema más para el análisis.

En la figura 4.18 se observa este instrumento musical en su versión clásica, hecho de carrizo. Como puede observarse en la figura 4.19 la combinación de agujeros tapados y destapados permite al intérprete lograr una mayor cantidad de notas musicales (razón por la cual son llamados agujeros tonales) lo cual se debe a que cada combinación provoca una frecuencia de resonancia distinta para el tubo, debido principalmente a la variación en la longitud efectiva de vibración.

Figura 4.19. Quena.

Si mantenemos cerrados todos los agujeros, la quena se comportara aproximadamente

como un tubo abierto en sus extremos, esto significa que la presión total en los extremos igualará a la presión atmosférica y la presión acústica (variación de presión debida a las ondas sonoras) será igual a cero, en los puntos extremos, los denominados nodos de presión. Si consideramos la primera frecuencia de resonancia, la máxima variación de presión se hallará en la mitad de la longitud del tubo (antitodo de presión). Sin embargo, el nodo de presión caerá en una distancia más allá de la final del tubo, esta distancia se conoce como corrección de la terminación del tubo (la quena tiene una terminación en pestaña como puede verse en la Figura 2).

Dejando libre el agujero más alejado de la embocadura y permaneciendo cerrados los

demás agujeros, se reducirá la longitud efectiva del tubo, sin embargo la onda estacionaria no caerá a cero exactamente en el agujero abierto sino en una distancia más alejada medida desde la embocadura. Por esto, los agujeros deben perforarse a una distancia más cerca medida desde la

99

embocadura, de la posición donde se desea cortar el tubo y obtener el nodo de presión en el punto deseado.

Figura 4.20. Digitación básica de la quena.

Figura 4.21. Agujeros Tonales.

Para las ondas de baja frecuencia, la presencia del primer agujero abierto representa una

baja impedancia, para que la onda sonora pase a través del agujero debe acelerar la masa de aire, y esta aceleración se incrementa con el cuadrado de la frecuencia, por tanto, para una onda de baja frecuencia el agujero se comporta como un extremo abierto y la onda es reflejada hacia la embocadura. Sin embargo, para frecuencias más altas, el agujero representa una impedancia alta debido a la masa de aire que debe acelerarse, el agujero entonces ofrece una impedancia y la onda de alta frecuencia pasa a través del tubo como si el agujero estuviera cerrado, Entonces un

100

conjunto de agujeros abiertos, actúan como un filtro de paso alto, que reflejan las ondas de baja frecuencia y permiten el paso de ondas de alta frecuencia.

La mayor pérdida acústica en un instrumento de viento es debido la viscosidad y los

efectos térmicos en las paredes del tubo, más que los debidos a la radiación. La atenuación de onda en el tubo se incrementa directamente con el incremento de la raíz cuadrada de la frecuencia y con el decrecimiento del radio del tubo, sin embargo, para efectos de nuestros análisis consideraremos las paredes completamente rígidas.

La Figura(4.4.3) muestra un diagrama esquemático de la quena, el extremo de la

embocadura es cerrado parcialmente con el labio inferior y el mentón del ejecutante, el extremo de salida posee una pestaña.

Figura 4.22. Vistas longitudinales de la quena: a) en planta y b) en corte. Dimensiones en

metros. Modelo matemático La propagación de sonido en la quena esta gobernada por la ecuación de la onda

22

2 2

10

pp

c t∂

∇ − =∂

(0.1)

donde p=(x,y,z,t) es la presión sonora que depende de la posición y del tiempo. La ecuación de onda en coordenadas polares:

2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 10

p p p pr

r r r r z c tφ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(0.2)

Como estamos interesados en obtener las soluciones armónicas, podemos asumir que la solución buscada estará dada en la forma

i tp Pe ω= (0.3) Reemplazando en (0.3) obtenemos la ecuación de Helmholtz

2 2 0p k p∇ + = (0.4)

donde 2

22k

cω

= . (0.5)

Sujeta a las condiciones de frontera

101

Ip P=

0p pσ + ⋅∇ =n (0.6)

Para poder comprobar la validez del método matemático propuesto y los resultados obtenidos por métodos computacionales, se debe proceder a la realización de un comparativo con valores reales, por lo tanto en este punto se dan a conocer dichos resultados, así como el método experimental aplicado.

Como se mencionó, los agujeros que tiene la quena son utilizados para producir las

diferentes notas musicales (tonos) que se deseen; siendo precisamente ellos los que complican el análisis de los modos de vibración ya que cada combinación de agujeros tapados y destapados significan una variación de tonos, afortunadamente se tiene un número finito de las notas que se utilizan para producir música con una quena siendo estas las mostradas en la tabla 5.1, en la que además se muestran las frecuencias correspondientes a cada una de esas notas, de acuerdo con la escala temperada con base en La3 (ver apéndice 4). 4.5.1. Resultados numéricos.

Desde el punto de vista de la física, una función de los agujeros tonales es cambiar la longitud efectiva o longitud acústica del instrumento musical (figura 4.21).

Figura 4. 23. Variaciones en la longitud efectiva de un tubo debidas a los agujeros tonales.

Ahora bien, como se mencionó anteriormente, la frecuencia fundamental del instrumento

musical es factible de ser calculada aplicando la fórmula dada para la obtención de las frecuencias de vibración de un tubo abierto, esto es:

efn L

ncf

2= ; n = 1, 2, 3, ….

donde: f es la frecuencia del modo de vibración n en ciclos por segundo o Hertz (Hz)

L ef

L1

L2

L3

a

102

Lef = L + 1.5 a es la longitud efectiva del tubo de longitud L y radio a, en metros (m) c es la velocidad del sonido en el aire, en metros por segundo (m/s).

Con el fin de obtener valores que puedan legitimar los resultados computacionales, se consideraron tres sujetos de prueba, los cuales son:

1. QUENA BOLIVIANA hecha de carrizo de bambú de longitud igual a 38 cm y diámetro

interior irregular aproximadamente de 8 mm, agujeros tonales de distintos diámetros. 2. QUENA PERUANA hecha de carrizo de longitud igual a 36.7 cm, con sección

transversal elíptica y diámetro interior mayor irregular de 7 mm, con agujeros tonales de igual diámetro (0.6mm).

3. QUENA MEXICANA hecha de tubo de cloruro de polivinilo (PVC) de longitud igual a 39.8

cm y diámetro interior regular aproximadamente de 8 mm, agujeros tonales de distintos diámetros.

Así se obtuvieron los valores mostrados en la tabla 4.4 en la cual se pretende comparar las

diferencias que teóricamente se tendrán de acuerdo con la longitud de cada uno de las quenas evaluadas.

Tabla 4.4. Comparativo de probetas contra valores teóricos óptimos

Quena Longitud (m) Longitud efectiva (m) Frecuencia (Hz) Sol3 0.432 0.4374 392.04 La3 0.384 0.3898 440.00 Carrizo. Boliviana 0.380 0.3858 444.53 Carrizo. Peruana 0.367 0.3725 460.40 PVC, Mexicana 0.398 0.4037 424.82

Tabla 4.5. Comparación de frecuencias calculadas y frecuencias en escala temperada.

Frecuencia (Hz)

Nota Musical Escala Temperada

Quena A Quena B Quena C

SOL 391.99 396.80 390.6 378.7 LA 440 446.4 446.6 431 SI 493.88 487.5 485.4 490.1

DO 523.25 520.8 543.4 510.2 RE 587.33 581 595.2 561.7 MI 659.26 641 657.8 649.3 FA 739.99 714.2 735.2 694.4

SOL 784.06 757.5 793.6 769.2

103

DESCRIPCIÓN DEL MÉTODO. EQUIPO.

El equipo utilizado para la medición de las frecuencias de resonancia de una quena es el siguiente:

1 Sonómetro marca , modelo . 1 Tripie. 1 Computadora personal, con paquetería de análisis espectral. 1 interfase para sonómetro – PC. A fin de reproducir las condiciones de funcionamiento normales del instrumento musical, se

contó con la ayuda de un quenista a manera de fuente de excitación para la quena. PROCEDIMIENTO DE EVALUACIÓN.

Se montó el equipo de la forma como se muestra en la figura 4.21. Llevándose a cabo las mediciones en una cámara sonoamortiguada y aislada de ruido externo, ubicada en el laboratorio de acústica del departamento de Ingeniería en Comunicaciones y Electrónica de la ESIME Zacatenco.

Figura 4.24. Montaje de equipo para la medición de las frecuencias de resonancia de la quena.

SONÓMETRO

PC

PROCESAMIENTO DE DATOS

Excitación de la quena

.

104

4.5.3. RESULTADOS EXPERIMENTALES. BOLIVIANA

Sol 4 f = 375 Hz

La 4 f = 421.9 Hz.

105

Si 4 f = 468.8 Hz

(C5) Do5 f = 503.9 Hz

Re 5 f = 562.5 Hz

106

Mi 5 f = 632.8 Hz

Fa 5 f = 691.4 Hz

Sol 5 f = 761.7 Hz

107

Peruana

Sol 4 f = 386.7 Hz

La 4 f = 445.3 Hz

108

Si 4 f = 492.2 Hz

Do 5 f = 539.1 Hz

Re 5 f = 597.7 Hz

109

Mi 5 f = 656.3 Hz

Fa 5 f = 738.3

Sol 5 f = 796.9 Hz

110

MEXICANA

Sol 4 f = 398.4 Hz

La 4 f = 445 .3 Hz

111

Si 4 f = 492.3 Hz

Do 5 f= 515.6 Hz

Re 5 f = 574.2 Hz

112

Mi 5 f = 632.8 Hz

Fa 5 f = 714.8 Hz

Sol 5 f = 750 Hz

113

4.6. Conclusiones y Trabajo a Futuro.

Los resultados experimentales obtenidos hasta el momento, demuestran la compatibilidad en la aplicación de los métodos variacionales a los modos de vibración de tubos con y sin agujeros y con o sin variaciones en su geometría.

Al mismo tiempo se ha notado el enorme grado de posibilidades existentes para la

investigación del fenómeno antes mencionado, ya que, junto con el desarrollo de las ecuaciones descriptivas de los sistemas vibrantes, el desarrollo de nuevo software abre un sinfín de posibilidades.

En este trabajo se presentan resultados obtenidos en base a un estudio comparativo entre

tres diferentes instrumentos musicales utilizados en la interpretación de música andina (quenas), sin embargo, la metodología tal cual se presenta, se supone válida para cualquier instrumento de viento, o cualquier implemento que utilice tubos como base de su diseño, dejándose al aire esta propuesta para posibles trabajos posteriores. Referencias Bibliográficas.

16. HAAR, D. TER. “ELEMENTS OF HAMILTONIAN MECHANICS”. Ed. North Holland Publishing Co. 1961.

17. LAYTON, RICHARD A. “PRINCIPLES OF ANALYTICAL SYSTEM DYNAMICS”. Ed.

Springer Verlag. 1998.

18. BEREZIN, I.S. ZHIDKOV, N.P. “COMPUTING METHODS”. Ed. Pergamon Press. 1965. Vol. II. Cap. 10.

19. LAPIDUS, LEON. PINDER, GEORGE F. “NUMERICAL SOLUTIONS OF PARTIAL

DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SCIENCE AND ENGINEERING”. Ed. John Wiley & Sons. 1982. Capítulo 6.

20. SMITH, GORDON DENNIS. “NUMERICAL SOLUTION OF PARTIAL DIFERENTIAL

EQUATION: FINITE DIFFERENCE METHODS”. Capítulo 4. 1978.

21. STAKGOLD, IVAR. “BOUNDARY VALUE PROBLEMS OF MATHEMATICAL PHYSICS”. Ed. MacMillan Company. 1967.

22. ARTICOLO, GEORGE A. “PARTIAL DIFFERNTIAL EQUATIONS AND BOUNDARY

VALUE PROBLEMES WITH MAPLE V”. Ed. Academic Press. 1989. Cap. 4, 6, 7 y 8.

23. ZWILLINGER, DANIEL. “HANDBOOK OF DIFFERENTIAL EQUATIONS”. Ed. Academic Press. 1989.

24. SEARS, FRANCIS W. “MECANICA, MOVIMIENTO ONDULATORIO Y CALOR”. Ed.

Aguilar Ediciones. 1965. Cap. 12, 16 y 17.

25. HALLIDAY & RESNICK. “FUNDAMENTOS DE FISICA”. Ed. CESCA. 1986. Cap. 14, 17 y 18.

114

26. ALONSO, MARCELO. FINN, EDWARD J. “FISICA VOLUMEN I: MECANICA”. Ed. Fondo Educativo Interamericano S. A. 1976. Cap.12.

27. FEYNMAN, RICHARD P. LEIGTON & SANDS. “THE FEYNMAN LECTURES ON

PHYSICS. VOL. I”. ED. Fondo Educativo Interamericano. 1971. Cap. 21, 47, 48, 49, 50 y 51.

28. JOSS, GEORG. “THEORETICAL PHYSICS”. Ed. Blackie & Son Ltd. 1958. Parte I, Cap.

II.

29. THOMSON, WILLIAM T. “TEORIA DE VIBRACIONES: APLICACIONES”. Ed. Prentice Hall. 1983.

30. CHEN, YU. “ VIBRATIONS: THEORETICAL METHODS”. Ed. Addison-Wesley Co., Inc.

1966. Cap. 3 y 8.

115

APÉNDICES

116

APÉNDICE I. FUNCIONES DE BESSEL Y FUNCIONES MODIFICADAS DE BESSEL.

En este apéndice, z = x + jy con x e y reales, el índice v es un número real y l, m y n son

integradores reales. Cualquier otra restricción en estas cantidades será anotada explícitamente.

La ecuación diferencial:

( ) ( )( )2

1

122

2

22 2/4

+=−++

+

v

zwvz

dzdw

zdz

wdz

v

Γπ

tiene soluciones homogéneas que son cualquier combinación lineal AJv(z) + BYv(z) de la función de Bessel de primer orden Jv(z) y la función de Bessel de segundo orden Yv(z) [también conocida como función de Weber o de Neumann denotada a veces como Nv(z)]. Las combinaciones específicas:

( ) ( ) ( ) ( )zjYzJzH vvv +=1 ; ( ) ( ) ( ) ( )zjYzJzH vvv −=2 son las funciones de Bessel de tercer orden, las funciones de Hankel. La solución particular de la ecuación diferencial es la función Struve Hv(z). El subíndice v designa el orden de las funciones.

En el resto de este apéndice, todas las funciones son entendidas con argumento z, a menos que otra cosa sea escrita.

Para órdenes integrales:

( ) nn

n JJ 1−=− ; ( ) nn

n YY 1−=− El Wronskiano para Jv y Yv es:

z

YJYJYJW vvvvvv π2

, 11 =−= ++

Para z pequeña, las expansiones de series de orden 0 y 1 son útiles y son:

L+⋅⋅

−⋅

+−=222

6

22

42

0642422

1zzz

J

L+⋅⋅

−⋅

+=22

5

2

3

1642

3

42

22

zzzJ

+

+

⋅−+

+

= L

21

14222

ln2

22

4

2

2

00zz

Jz

Y γπ

donde γ = 0.57721... es la constante de Euler.

L+−=z

Y12

1 π

117

−

⋅⋅+

⋅−= L

222

5

22

3

053131

2 zzzH

π

−

⋅⋅⋅+

⋅⋅−

⋅= L

753153131

2222

6

22

4

2

2

1zzz

Hπ

Las aproximaciones útiles para valores grandes de z y |arg z| < π son:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]4/2/2

4/2/1

2

2

42sen

2

42cos

2

ππ

ππ

π

π

πππ

πππ

−−−

−−

→

→

−−→

−−→

vzjv

vzjv

v

v

ez

H

ez

H

vz

zY

vz

zJ

( )

( )1

21

21

21

−

+

→−v

vvz

vY

Γ

Γ

πH

RELACIONES DE RECURRENCIA.

Si Cv representa cualquier combinación lineal de funciones de Bessel de orden v, entonces algunas recurrencias y relaciones diferenciales para las funciones Bessel y Stuve son:

vvv Czv

CC2

11 =+ +− ; dz

dCCC v

vv 211 =− +−

10 C

dzdC

−= ; ( ) 1−= vv

vv CzCz

dzd

; 111

+−=

vvvvC

zC

zdzd

102

HH −=πdz

d ; ( ) 1−= vv

vv zz

dzd

HH

Algunas representaciones integrales útiles son:

118

( ) ( )∫=2

0

0 coscos2

π

θθπ

dzzJ ; ( ) ( )∫=2

0

0 cossen2

π

θθπ

dzzH

( )( )

( ) ( ) ( )∫ ∫

−=

+=

π πθ θθ

πθθθ

π0

2

0

cos2

21

cos2

coscos2 dnej

dsinzn

zzJ jz

nn

n

n Γ

Los argumentos de Jv, para los cuales la función adquiere valores cero y extremos, son

reales y se definen como jvn y vnj′ . Como evaluaciones relevantes incluyen:

( ) 0=vnv jJ ; ( ) ( ) ( )vnvvnvvnv jJjJjJ 11 +− −==′

( ) 0=′′ vnv jJ ; ( ) ( ) ( )vnvvn

vnvvn

vnv jJvj

jJvj

jJ ′′

=′′

=′ +− 11

Con estos argumentos definidos, las normalizaciones para las funciones ortogonales de

Bessel de primer orden son facilitadas por:

( ) ( ) ( )[ ] nmvnvvnvvmv jJtdttjJtjJ δ221

1

0

′=∫

( ) ( ) ( )( )

( )[ ]∫ ′′

−′=′′

1

0

22

22

21

nmvnvvn

vnvnvvmv jJ

j

vjtdttjJtjJ δ

La función de Bessel modificada Iv satisface a la ecuación diferencial:

( ) 0222

22 =+−+ wvz

dzdw

zdz

wdz

y se relaciona con Jv por medio de:

( ) ( )jzJjzI nn

n−=

Otras relaciones pueden ser obtenidas de la sustitución de jz como argumento de z en las

ecuaciones precedidas por Jv(z). Por ejemplo:

119

vvv Izv

II2

11 =− +− ; vvv Idzd

II 211 =+ +−

10 IIdzd

= ; ( ) 1−= vv

vv IzIz

dzd

; 111

+=

vvvv

Iz

Izdz

d

FUNCIONES DE BESSEL ESFÉRICAS.

Las funciones de Bessel esféricas jn (z) de primer orden, yn (z) de segundo orden y hn (z) y cualquier combinación lineal de ellas satisface la ecuación diferencial:

( )[ ] 012 22

22 =+−++ wnnz

dzdw

zdz

wdz

Ellas están relacionadas con las funciones de Bessel por:

21

2 += nn Jz

jπ

; 21

2 += nn Yz

yπ

; ( ) ( )2,12,1

21

2 +=

nn Hz

hπ

Las formas explícitas para jn son:

zz

jsen

0 = ; z

z

z

zj

cossen21 −=

zz

zzz

j cos3

sen13

232 −

−= ; 11

12−+ −

+= nnn jj

zn

j

TABLAS DE FUNCIONES DE BESSEL, CEROS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN.

120

a) FUNCIONES DE BESSEL DE ORDEN 0, 1 y 2.

121

a) Funciones de Bessel de orden 0, 1 y 2 (continuación)

b) Ceros de Jm: Jm(jmn) = 0 jmn

c) Puntos de inflexión de Jmn: Jm(jmn) = 0

122

APENDICE 2

LA FORMULACION VARIACIONAL LAGRANGIANA DEL METODO DEL ELEMENTO FINITO.

2.1 La Ecuación de la Onda Unidimensional.

Deduciremos la formulación Variacional de los problemas hiperbólicos tales como los gobernados por la ecuación de la onda que en una dimensión podemos expresar como:

( )2

2

22

2 1,tu

ctx

xu

∂∂=

∂∂

(2.1.1)

En la mecánica del medio continuo una gran mayoría de problemas involucran elementos y/o máquinas consideradas como cuerpos continuos, por ejemplo, el estudio de los modos de vibración axial, transversal o torsional de una flecha de transmisión, conduce al estudio de vibraciones en medios continuos.

Ahora bien, al abordar un problema del medio continuo desde un punto variacional, es necesario deducir antes la formulación variacional del problema. En efecto, vamos a considerar el caso unidimensional seleccionando una barra elástica homogénea e infinitamente larga que sea susceptible de experimentar oscilaciones axiales; es decir, vibración axial o en otras palabras, desplazamientos oscilatorios a lo largo de su eje. Nuestro procedimiento consistirá en deducir la formulación variacional de esta barra continua a partir de un modelo discretizado de ella, y para el cual si conocemos las ecuaciones del movimiento que son las ecuaciones de Euler-Lagrange y refinando cada vez más nuestro modelo discretizado de tal manera que al pasar al límite de una distribución discreta al continuo se tenga la formulación deseada. En efecto, si tomamos como modelo discreto una cadena de masas puntuales acopladas por resortes de masa despreciable y constante de rigidez K, espaciadas una cantidad ∆x considerada como constante (figura 2.1).

123

Figura 2.1. Sistema acoplado de resortes, mostrando la posición de equilibrio y el sistema desplazado.

Sí ui denota el desplazamiento de la partícula i, es decir, del desplazamiento del nodo i de masa ∆m, la energía cinética T del sistema de partículas será la suma de las

2

21

ii umT &∆= :

∑ ∆=i

iiumT 2

21 & donde

tu

u i

∂∂

=& (2.1.2)

Por otro lado, la energía potencial para cada una de las partículas es la debida al potencial elástico de las fuerzas de tensión y compresión que experimenta la partícula i (figura 2.1), obteniendo de la misma manera un potencial total V de toda la cadena, para lo cual plantearemos lo siguiente: -K(ui – ui -1) para el sistema en compresión y K(ui+1 – ui) para el mismo en tensión; siendo el desplazamiento neto hacia la derecha de la partícula | ui+1 – ui | y el correspondiente a la izquierda | ui – ui-1 |. Así entonces, la fuerza actuando sobre la partícula i será:

Fi = K(u i+1- ui) – K(ui- ui-1). Ley de Hooke (2.1.3)

esta fuerza Fi; puede derivarse de una función de potencial Vi , como es fácil ver de:

( ) ( )21

21 2

121

iiiii uuKuuKV −−−= +− (2.1.4)

derivándola:

( ) ( )iiiii

i uuKuuKu

V−−−=

∂∂

+− 11 (2.1.5)

y observando que:

∆x? equilibri

o X i-1 X i X i+

1

U i-1 U i U i+

1

desplazado

124

( ) ( )11 −− −−−=∂∂

−= iiiii

ii uuKuuK

u

VF (2.1.6)

Figura 2.2. Sistema de resortes mostrando puntos de tensión y compresión.

Ahora bien, del hecho de que la función Lagrangiana viene dada por:

L = T – V tenemos, para nuestro sistema de partículas que discretizan la barra:

( ) ( )∑ ∑ ∑ −−−−∆= −+2

12

12

21

21

21

iiiii uuKuuKum &L (2.1.7)

Así:

∑ ∑∆=

∆−

∆−

∆

−∆−

∆∆∆= −+

i ii

iiiii x

xuu

xKx

uuxKu

xmx LL

21

212

i 21 & (2.1.8)

donde Li es la Lagrangiana de la i-ésima partícula, Li = (Ti - Vi)∆x.

( ) ( ) ( )x

x

uuxK

x

uuxKu

xmtuu iiii

iiii ∆

∆−

∆−∆

−∆−

∆∆== −−

2

21

2

212

21,, &LL (2.1.9)

Así, las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada masa puntual i quedan:

0=

∂∂

−

∂∂

i

i

i

i

uudtd LL

& (2.1.10)

haciendo cálculos en Li y substituyendo en la expresión anterior:

∆x

xi-

1 xi

xi+

1

Ui-

1

Ui Ui+

1

125

ii

uxm

udtd &&

& ∆∆

=

∂∂ iL

ii

uxm

u&

∆∆

=∂∂ iL

∆

−∆−

∆

−∆=

∂∂ −+

21

21i

x

uuxK

x

uuxK

uiiii

i

L

obtenemos como la ecuación de Euler-Lagrange para i:

02

12

1 =

∆−

∆−

∆−

∆+∆

∆ +−

xuu

xKxuu

xKuxm iiii

i& (2.1.11)

Ahora vamos a proceder al límite cuando ∆x → 0, es decir, refinando la discretización lo que se consigue aumentando el número de partículas a lo largo de la barra y por consiguiente disminuyendo el espacio ∆x entre ellas. Esto constituye el meollo del asunto en el modelaje de modelos continuos mediante la aproximación de modelos discretos. Pero antes de proceder vamos a hacer algunas consideraciones a lo que se refieren algunas cantidades: ∆m/∆x y K∆x al pasar al límite ∆x → 0.

De la ley de Hooke de relación esfuerzo-deformación, se tiene que:

( )x

uu iii ∆

−= +1ε (a)

( ) ( )x

uuxKuuKf ii

iii ∆−

∆=−= ++

11 (b)

(2.1.12)

Las ecuaciones 2.1.12 representan (a) la deformación y (b) el esfuerzo unitario que experimenta la partícula i en el nodo xi, de esta manera, al tender al límite ∆x → 0, las cantidades ∆m/∆x y K∆x, representan la densidad σ (x), es decir, la constante módulo de Young (E) del material, siendo:

xm

xx

∆∆

→∆=

0lim

)(σ

xm

xE

∆∆

→∆=

0lim

126

Por otro lado, el nodo i de la cadena xi, que experimenta un desplazamiento ui, entonces podemos considerar:

( )txuu ii ,=

( )( )txxuu

txxuu

ii

ii

,

,

1

1

∆−=

∆+=

−

+

Así las deformaciones unitarias quedarán:

( ) ( )x

txutxxux

uu iii

∆∆

∆,,1 −+

=−+

( ) ( )x

txxutxuxuu iiii

∆∆

∆,,1 −−

=− −

(2.1.13)

que substituidas en las ecuaciones de Lagrange:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0

,,,,,

222

2

=∆

∆−−∆+

∆

−∆+∆−

∂∂

∆∆

x

txxutxuxK

x

txutxxuxKtx

tu

xm iiii

i (2.1.14)

procediendo al límite y del hecho de que:

( ) ( )

∆

+−∆=

∂

∂ −+

→ 211

02

2 2lim,

x

uuuxKtx

t

ux iii

xiσ (2.1.15)

se obtiene que para cada xi:

( ) ( ) 0,,lim2

2

2

2

0=

∂∂−

∂∂=

∂∂

−

∂∂

∂∂

→tx

xuEtx

tu

uut iii

i

i

xσ

LL&

(2.1.16)

que es la ecuación de la i -ésima partícula.

( ) ( ) 0,,2

2

2

2

=∂∂

−∂∂

txx

uEtx

t

uiiσ (2.1.17)

Por otro lado, con relación a la Lagrangiana, se tiene que:

( )∑ ∆

∆

−∆−

∂∂

∆∆= +

i

iii x

xuu

xKtxtu

xm

21

2

,21L (2.1.18)

y reemplazando a x i por x, se tiene en general ( )tuu ,, &L como:

127

( )∑ ∫

∂∂−

∂∂=∆

∆

−∆−

∂∂

∆∆ +

→ i

Lii

ix

dxxuE

tux

xuu

xKtxtu

xm

0

2221

2

0 21,

21lim σ (2.1.19)

de donde se obtiene:

( ) ∫

∂∂

−

∂∂

=L

dxxu

Etu

tuu0

22

21

,, σ&L (2.1.20)

que es la funcional energía para la vibración axial de la barra.

Sin embargo, por conveniencia haremos σ /E = 1 / c2 de tal manera que la Lagrangiana adopte la forma:

∫

∂∂

−

∂∂

=L

dxxu

tu

c0

22

2

121

L (2.1.21)

Ahora bien, el principio de Hamilton dice que, de entre todas las trayectorias posibles en que el sistema se traslada durante los tiempos t1 y t2, existe una trayectoria tal, que la funcional:

[ ] ∫=1

2

t

t

dtuI L

Satisface a:

[ ] 0=uIδ

(2.1.22)

Además, sabemos que el principio de Hamilton es una condición necesaria y suficiente para que se verifiquen las ecuaciones de Euler-Lagrange del movimiento, entonces se tiene que: la trayectoria u(x, t) representa un valor estacionario de la energía I(u), esto es:

( ) ∫ =∫

∂∂

−

∂∂

∫==2

1 0

22

2

2

10

121t

t

Lt

tdxdt

xu

tu

CuI δδδ Ldt (2.1.23)

nótese que el término -½ no afecta en absoluto el proceso de derivación de I(u). Por lo que podemos tomar como expresión definitiva para nuestra funcional a:

128

( ) ∫ =∫

∂∂

−

∂∂

=2

10

2

2

2

01t

t

Ldxdt

tu

cxu

uI (2.1.24)

lo que representa la funcional energía llamada de la Acción de Hamilton de nuestro sistema continuo o sea, la cuerda elástica homogénea de longitud l y cuya ecuación es:

2

2

22

2 1tu

cxu

∂∂=

∂∂

; 0 < x < l;0 < t

donde: c2 = T/σ representa la razón de la tensión de la cuerda a su masa por unidad de longitud, la cual, para un problema real, estará sujeta a condiciones tanto de frontera como iniciales. Condiciones de frontera:

u(0,t) = u(l,t) = 0 (2.1.25) Condiciones iniciales:

u(x, 0) = f(x) ; 0 < x < l

( ) )(0, xgxtu

=∂∂ ; 0 < x < l

(2.1.26)

La energía cinética está dada por:

∫

∂∂=

tdx

xuT

0

2

21 σ (2.1.27a)

y la energía potencial será entonces:

∫

∂∂

=t

dxxu

V0

2

21

ρ (2.1.27b)

Ahora bien, el principio de Hamilton implica la verificación de las ecuaciones de Euler-Lagrange para el sistema de partículas discretizado de nuestra barra sometida a vibración axial:

0=∂∂

−

∂∂

uudtd LL

&

y cuya funcional Energía [ ]tuuI ,, & corresponde a la ecuación (2.1.1) bajo condiciones iniciales (2.1.25) y de frontera (2.1.26):

129

2

2

22

2 1

t

u

cx

u

∂∂

=∂∂

; 0 < x < l; 0 < t < ∞

que es una ecuación diferencial hiperbólica, donde el operador diferencial:

[ ] [ ] [ ]2

2

22

2 1tcx

D∂

∂=

∂

∂= es un operador Hiperbólico, lo que significa que I(u) no

necesariamente tiene un valor extremal (maximal o minimal), sino que apenas representa un valor estacionario de I(u), o sea, solución a δ I(u) = 0. A diferencia de las ecuaciones Elípticas en donde el operador diferencial era definido positivo y por consiguiente aseguraba que toda solución u de ella, representaba un valor extremal de I(u). Esto significa que los algoritmos numéricos basados en esta funcional no necesariamente convergen a la única solución del problema, como es el caso de los operadores diferenciales elípticos definidos positivos. Esto es valido en general, para los problemas de ingeniería con valores iniciales, no existe una formulación variacional que asegure valores extremales, sin embargo, sirven en el sentido de que podemos determinar soluciones aproximadas a la solución del problema, es decir, a los valores estacionarios de I(u) . Para este fin se requiere que las funciones u sobre las que se este ensayando la solución deban de satisfacer las condiciones de frontera: u(0,t) = u(l,t) = 0 en forma esencial.

2.2. La Formulación Variacional Lagrangiana y el Método del Elemento Finito 2.2.1. Cuerpos con Geometría Regular.

A fin de deducir las ecuaciones generales del método del elemento finito para el análisis de vibraciones lineales, continuaremos nuestra línea de exposición al analizar una barra prismática (figura 3.1) de longitud L y de sección transversal A susceptible de experimentar desplazamientos periódicos a lo largo de su eje x; es decir, vibraciones axiales.

Figura 2.3. Barra prismática

1

2 3

130

susceptible de vibraciones axiales.

Para esto, vamos a dividir nuestro modelo Ω , o sea la barra, en una familia de elementos:

( ) )()2()1( ,...,, E∆∆∆ΩΡ = (2.2.1)

Esto se logra seleccionando una serie de puntos x1, x2, ..., xp a lo largo

del eje de la barra con cierto criterio de ingeniería y que depende de Ω (figura 2.2).

∆(1) ∆(2) ∆(E-1) ∆(E)

x1 x2 x3 xp-1 xp 1 2 3 p-1 p

Figura 2.4. Representación con elementos finitos.

donde cada uno de los elementos ∆(e) tiene por extremos i, j (figura 2.5) y de masa )()()/)( eeee LAm ρ=∆ . Donde )()()/ ,, eee LAρ son respectivamente la densidad, área de sección transversal y longitud del elemento ∆(e). Siendo que nuestro estudio es el analizar los desplazamientos axiales de la barra, esto equivale a analizar los desplazamientos de cada uno de los ∆(e) y por consiguiente el análisis de los desplazamientos axiales que sufren los nodos i, j de cada elemento ∆ (e).

Figura 2.5. Representación de un elemento con sus nodos.

esto se logra asumiendo una cantidad variable que nos aproxime linealmente los desplazamientos que experimentan los puntos x del elemento )(e∆ en el instante t. Sea u(x, t) el desplazamiento del punto x en el instante t, como xi <= x <= xj , donde )(eL = xj – xi denotaremos a ( )txU e ,

~ )( los desplazamientos del elemento )(e∆ . De esta manera:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )tUxNtUxNtxU jjie

ie +=,

~ )( (2.2.2)

∆(X)

i j

131

será un polinomio de interpolación lineal local que aproximará los desplazamientos de los puntos )(ex ∆∈ en el instante t. Las funciones )()( , e

je

i NN

conocidas como las funciones de forma del polinomio, ( )txU e ,~ )( , estas

funciones vienen expresadas como:

( )( ) ( )

−=

ee

iL

xxN 1 ; 0 ≤ x ≤ L(e)

(2.2.3)

( )( ) ( )eej

L

xxN =

y tienen las siguientes propiedades:

( )( ) ( ) ( ) 0== ie

jje

i xNxN ( )( ) ( ) ( ) 1== j

eji

ei xNxN (2.2.4) ( )( ) ( )( ) 1== xNxN e

je

i ; xi ≤ x ≤ xj resultando que los desplazamientos ( )txU e ,

~ )( en los nodos i, j de )(e∆ sean:

)()()()()(),(

)()()()()(),(

)()(

)()(

tUtUxNtUxNtxU

tUtUxNtUxNtxU

jjjejjj

eij

e

ijiejii

eii

e

=+=

=+=

donde Ui(t), Uj(t) son los valores nodales en el instante t, o valores nodales dinámico del polinomio ( )txU e ,

~ )( . También observe que:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ] ( )( )

( )( )[ ] ( ) tUxNtU

tUxNxNtxU e

j

iej

eii

e =

= ,, (2.2.5)

permite determinar la velocidad de los desplazamientos de los nodos i, j para cada )(e∆ .

( )( )( )

( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( )

( )( )[ ] ( ) tUxNtU

tUxNxNtx

tU

txU e

j

iej

ei

e

ie && =

=∂

∂= ,,, (2.2.6)

y por consiguiente la energía cinética de la masa )(em∆ , llamada también energía cinética local, de cada elemento )(e∆ queda expresada por:

132

( )( ) ( )

( )( )

( )

∫

∂∂

=eL e

ee dxtxt

UmtT

0

2

,21

∆ (2.2.7)

En cuanto a su energía potencial )()( tV e que es el trabajo realizado por

las fuerzas elásticas la variar ( )txU e ,~ )( con relación a x, t:

( )( ) ( )( )

( )( )

∫

∂

∂=

eL eee dxtx

tU

EAtV0

2

,21 (2.2.8)

Estas expresiones locales de las energías cinética y potencial pueden ser expresadas también en forma interpolada:

[ ]∫ ++=

+

−=

)(

0

22)()(2

)()()()( )()()()(

321

)()(121

)(

eL

jjii

ee

jeieee tUtUtUtU

LmdxtU

L

xtU

L

xmtT &&&&&& ∆

∆

(2.2.9)

[ ])()()(2)(21)(

,)(

21

)(

)(,

21

)( 22)(

)(

0 0

2

)()()(

2)()(

)()(

)( )(

tUtUtUtUL

EAdx

L

tU

L

tUEAdx

tU

tU

dx

dN

dx

dNEAtV jjiie

eL l

ej

eie

j

iej

eiee

e e

+−=

−=

= ∫ ∫

(2.2.10)

Ahora bien, la energía local asociada al elemento )(e∆ que nos permite

establecer las ecuaciones del movimiento es la función de Lagrange L (e)(t):

( ) ( ) ( )( ) ( )( )tVtTt eee −=L (2.2.11)

[ ] [ ])()()(2)(21

)()()()(32

1(t) 22

)(

)(22

)()((e) tUtUtUtU

L

EAtUtUtUtU

Lmjjiie

e

jjii

ee

+−−++= &&&&∆L (2.2.12)

así, esta Lagrangiana local ( )tUUUU jjii ,,,,(t) (e)(e) &&LL = permitirá establecer las ecuaciones de Euler-Lagrange para cada elemento )(e∆ . Entonces, calculando localmente se obtiene:

)()(EA

-)(

)(

)(

(e)(e)

tUL

EAtU

LU je

e

iei

+=∂∂L

)(32

1)(

3m )()()((e)(e)

tULm

tUL

Uj

ee

i

e

i

&&&

∆∆+=

∂

∂L

133

)(32

1)(

3m )()()((e)(e)

tULm

tUL

Udtd

j

ee

i

e

i

&&&&&

∆∆+=

∂

∂L

)(3

)(3

m )()()((e)(e)

tULmtULU i

ee

j

e

j

&&&

∆+∆=∂∂L

)()(EA

)(

)(

)(

(e)(e)

tUL

EAtU

LU je

e

iej

−=∂∂L

)(32

1)(

3m )()()((e)(e)

tULm

tUL

Udtd

i

ee

j

e

j

&&&&&

∆∆+=

∂

∂L

Substituyendo en las ecuaciones de Euler-Lagrange locales, para los

nodos i, j, tenemos:

0(e)(e)

=∂

∂−

∂

∂

iiUUdt

d LL&

(2.2.13) (3.40)

0(e)(e)

=∂∂

−

∂

∂

jjUUdt

d LL&

obteniéndose:

0)()(EA

)(32

1)(

3m

)(

)(

)(

(e))()()((e)

=−++ tUL

EAtU

LtU

LmtU

Lje

e

iej

ee

i

e&&&& ∆∆ (2.2.14)

0)()(EA

)(32

1)(

3m

)(

)(

)(

(e))()()((e)

=+−+ tUL

EAtU

LtU

LmtU

Lje

e

iei

ee

j

e&&&& ∆∆

que en su forma matricial queda:

=

−

−+

0

0

)(

)(

)(

)(

3m

321

321

3m

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)((e))()(

)()()((e)

tU

tU

L

EA

L

EAL

EA

L

EA

tU

tU

LLm

LmL

j

i

e

e

e

e

e

e

e

e

j

i

eee

eee

&&

&&

∆∆

∆∆

(2.2.15)

134

o bien:

=

−

−+

0

0

)(

)(

11

11

)(

)(

21

12

6m

)(

)()((e)

tU

tU

L

EA

tU

tUL

j

i

e

e

j

ie

&&

&&∆ (2.2.16)

donde:

[ ]

=

2112

6m

m)((e)

(e)eL∆

∆ (2.2.17)

[ ]

−

−=

1111

)(

)()(

e

ee

L

EAK (2.2.18)

Las matrices de masa y rigidez local y los vectores de posición y

aceleración de los nodos i, j del elemento )(e∆ en t son:

=)(

)()(

tU

tUtU

j

i

&&

&&&&

(2.2.19)

=)(

)()(

tU

tUtU

j

i

Finalmente. las ecuaciones del movimiento locales son:

[ ] [ ] 0)()( )()( =+ tUKtUm ee &&∆ (2.2.20)

ecuación que es conocida como oscilación libre de los nodos i, j del elemento ∆ (e).

Para el caso en que el movimiento se viera sujeto a fuerzas de fricción o disipativas del tipo Rayleigh, tendríamos para ese elemento ∆(e) la expresión de la fuerza de disipación de Rayleigh:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

22

21,

21

t

tUxN

ttU

xNt

txU jej

iei

( )22i

(e)

21

jii UU αα += &F (2.2.21)

135

donde:

jjj

UU

&&

α−=∂

∂ (e)F- ; ii

i

UU

&& α−=

∂

∂ (e)F-

que serán las fuerzas de fricción de los nodos i, j, de esta manera las ecuaciones de Euler-Lagrange quedan:

)()()()(1),(

)()(

0

)()(

0

)()(

)( tUtfdxL

xtUtfdx

L

xtxfW j

Le

jei

Le

iee

ee

δδδ

++

+

−= ∫∫ (2.2.22)

0(e)(e)(e)

=∂

∂+

∂∂

−

∂

∂

jjj UUUdtd

&&FLL (2.2.23)

o expresadas en forma matricial:

[ ] [ ] [ ] 0)()()( )()()( =++ tUKtUtUm eee &&& α∆ (2.2.24) conocida como la ecuación de las oscilaciones amortiguadas.

Por último, el caso en que existen fuerzas externas y no conservativas, que fuerzan al elemento ∆(e) a oscilar. Estas fuerzas las podemos representar por f(x, t), donde f(x, t) comprende la fuerza distribuida en el elemento ∆(e), digamos f(x, t) y las fuerzas en los extremos i, j del elemento producidas por los elementos adyacentes ∆(e-1), digamos fi(t), fj(t). Para determinar la expresión de las fuerzas generalizadas IQ(t), Qj(t) en los nodos del elemento

)(e∆ , consideremos un desplazamiento virtual ),()( txU eδ del elemento ∆(e), el cual vendrá expresado por los desplazamientos virtuales de los nodos i , j, es decir:

)()()()(),( )()()( tUxNtUxNtxU je

jie

ie δδδ += (2.2.25)

De acuerdo con el principio de D’Alambert el trabajo desarrollado por las fuerzas externas sobre el sistema para cualquier desplazamiento virtual debe ser nulo, entonces:

)()(),(),(),(),( )()()()()()( tUftUftxUtxftxUtxfW j

eji

ei

eeee δδδδδ ++== (2.2.26)

)()()()(1),( )()(

0)()(

)(

)(

tUftUfdxtUL

xtU

L

xtxfW j

eji

ei

L

jeiee

e

δδδδδ ++

+

−= ∫

136

)()()()(1),(

)()(

0

)()(

0

)()(

)( tUtfdxL

xtUtfdx

L

xtxfW j

Le

jei

Le

iee

ee

δδδ

++

+

−= ∫∫ (2.2.27)

)()()( tUQtUtQW jjii δδδ += (2.2.28)

Donde:

∫ +

−=

)(

0

)()(

)( )(1),()(

eLe

iee

i tfdxL

xtxftQ (2.2.29)

∫ +=

)(

0

)()(

)()(

eLe

jej tfdxL

xtQ (2.2.30)

y tomando:

=)(

)()(

tQ

tQtQ

j

i (2.2.31)

finalmente, la ecuación para el caso de las oscilaciones amortiguadas y forzadas queda expresada como:

[ ] [ ] [ ] )()()()( )()()()( tQtUKtUtUm eeee =++ &&& α∆ (2.2.32)

2.2.2. Cuerpos con Geometría no Lineal.

Para este caso la barra Ω no es de sección transversal constante A, sino que cambia conforme varía el punto x sobre el eje de la barra (figura 2.4).

Figura 2.6. Cuerpo con geometría no lineal. Nuestro modelo, entonces, será el siguiente:

A(x)

X

137

Figura 2.7. Modelo con elementos finitos.

Debido a la simetría geométrica del problema, solo la parte de la

derecha es aproximada por elementos de la forma de sección constante y variable (figura 2.8), el primero A(e)(x) es función lineal de x, el segundo A(e) = cte , y es el caso que ya se ha tratado. De manera que deduciremos las ecuaciones del movimiento para el caso de sección variable A(e)(x).

Figura 2.8. Aproximación geométrica para elementos finitos.

Observemos que tan solo basta modificar las

cantidades )()()/)( )()( eeee LxAxm ρ=∆ ; )()( xEA e que dependen de A(e)(x). Ambas cantidades pueden ser modificadas con tan solo tomar por A(e)(x) a )(eA , donde:

2

)()()(

ej

eie

i

AAA

+= (2.2.36)

En efecto, reemplazando: )()()/)( )()( eeee LxAxm ρ=∆ con: )()()()()( )()()( e

je

je

ie

ie AxNAxNxA +=

en la integral:

[ ]dxAxNAxNm

eLej

ej

ei

ei

ee ∫ +=

)(

0

)()()()()()( )()(ρ∆ (2.2.37)

X

X i j i j

(e)

Ai

(e)

A(x)

4 Ai Aj

A(e)

138

∫∫

+−=

+

−=

)()(

0

)()(

)()(

)(

)()()(

0

)()(

)()(

)()( 1

ee Le

je

ee

ie

ee

ie

Leje

eie

ee dxAL

xA

L

xAdxA

L

xA

L

xm

ρρρρ∆

)()()(

0)(

)(

2)(

0)(

)(

2)(

0)()()(

221

2

eee Leje

eLe

ie

eLe

iee A

L

xA

L

xxAm

ρρρ +−=∆

2222

)()()()()()()()()()()()()()()()

eej

eeei

eeej

eeei

eee

iee LALALALA

LAmρρρρ

ρ +=+−=∆

)()()()()()(

)()(

2eeee

ej

eiee LAL

AAm ρρ =

+=∆ (2.2.38)

De donde:

)()()()( eeee LAm ρ=∆

que es la misma expresión del caso de sección constante con tan solo tomar )(eA por )(eA ; esto nos permite tomar las mismas ecuaciones que el caso

anterior con tan solo tomar )(eA por )(eA , se llamó[ ])(em∆ a la matriz masa del elemento )(e∆ obtenida de esta forma y [ ])(eK la matriz rigidez obtenida reemplazando en EA(e) por )(eAE , entonces:

[ ] [ ] [ ] )()()()( )()()()( tQtUKtUtUm eeee =++ &&& α∆ (2.2.39)

representa la ecuación del movimiento de oscilaciones forzadas y amortiguadas del elemento ∆(e) cuando su sección no es constante.

Es claro que en una red fina, es decir, con suficientes elementos (figura 3.9), la aproximación lineal de ∆ (e) al elemento sección de la barra es mayor cuanto mayor es el número de nodos en que se parta la longitud de la flecha.

En cuanto al ensamble de los elementos ∆ (e) en toda la estructura que constituyen Ω .

)(

1

eE

eU ∆Ω=

=

i j

139

Figura 2.9. Elemento finito mostrando los nodos i, j.

Mostramos, mediante el caso de oscilaciones libres:

Figura 2.10.

Para el elemento ∆ (e) de extremos i-1, i se tiene:

0)()()(32

1)(

3 1)1(

)1(

)1(

)1(

1

)1()1()1()1(

=−++ −−

−

−

−

−

−−−−

tUL

EAtU

L

EAtU

LmtU

Lmie

e

ie

e

i

ee

i

ee&&&& ∆∆ (2.2.40)

0)()()(32

1)(

3 )1(

)1(

1)1(

)1()1()1(

1

)1()1(

=−++−

−

−−

−−−

−

−−

tUL

EAtU

L

EAtU

LmtU

Lmie

e

ie

e

i

ee

i

ee&&&& ∆∆

y para el elemento ∆(e) de extremos i, i+1:

0)()()(32

1)(

3 )(

)(

1)(

)()()(

1

)()(

=−++ −+ tUL

EAtU

L

EAtU

LmtU

Lmie

e

ie

e

i

ee

i

ee&&&& ∆∆

(2.2.41)

0)()()(32

1)(

3 1)(

)(

)(

)(

1

)()()()(

=−++ ++ tUL

EAtU

L

EAtU

LmtU

Lmie

e

ie

e

i

ee

i

ee&&&& ∆∆

∆(e-

1)1111∆(e))))

))99∆(e+1)

)

i-1 i i+1 ++1

i+2

140

Con relación a las matrices de masa[ ])1( −em∆ y [ ])(em∆ , quedando sumadas [ ])1( −em∆ + [ ])(em∆ dentro de una matriz de orden p x p, como sigue:

+

+++

+

+

−−−−−

−−−−

)(...

)()()(

.

.

.

)(

00000000000.................................

0000332

1000000

00000332

1332

100000

00000032

13

0000

...........

...........

...........00000000000

1

1

1

)()()()(

)()()()()1()1()1()1(

)1()1()1()1(

tU

tUtUtU

tU

LmLm

LmLmLmLm

LmLm

p

i

i

i

eeee

eeeeeeee

eeee

∆∆

∆∆∆∆

∆∆

(2.2.42)

141

De manera similar para [ ])1( −eK + [ ])(eK ; Si definimos a las matrices de rigidez y masa totales de la barra, por:

[ ] ∑=

=E

e

eKK1

)(

(2.2.43)

[ ] ∑=

=E

e

emM1

)(∆

la función de disipación de Rayleigh: ∑=

+=E

ej

eji

ei tUtU

1

22 )()(21 && ααF (2.2.44)

donde la matriz de amortiguamiento como: [ ] [ ]∑=

=E

e

e

1

)(αα

y por Q(t) la matriz global de las fuerzas generalizadas:

)()(

)()(

)(

)(

tQtQ

tQe

ej

ei

=

(2.2.45)

Entonces, la ecuación general del movimiento de todos los nodos de la barra será:

[ ] [ ] [ ] )(tQUKUUM =++ &&& α (2.2.46) donde, [M] , [α ] y [K] son matrices de p x p, mientras [Q(t)] es una matriz de p x 1.

De las expresiones (3.36) y (3.37) para T(e)(t), V(e)(t) se obtienen las energías cinética y potencial:

∑=

=E

e

eTtT1

)()( ; ∑=

=E

e

eVtV1

)()( (2.2.47)

Como L = T(t) – V(t) es la Lagrangiana, finalmente obtenemos la

ecuación de Lagrange correspondiente a la barra total Ω como un continuo.:

)(tQUUUdt

d=

∂

∂+

∂∂

−

∂

∂&&

FLL (2.2.48)

142

2.3. VIBRACIÓN ACÚSTICA. En esta sección, se utiliza el método del elemento finito para formular las ecuaciones de movimiento para sistemas acústicos. El objetivo inmediato es discutir las matrices asociadas con las ecuaciones de campo tridimensional;

0QGz

Dy

Dx

D2

2

z2

2

y2

2

x =+−∂∂

+∂∂

+∂∂

φφφφ

(2.3.1)

Pero cuando G es un coeficiente negativo y Q igual a cero, la ecuación diferencial se llama ecuación de Helmholtz. Un valor negativo de G conduce al problema de solución de valores característicos. Un par de problemas físicos gobernados por la ecuación de Helmholtz son el movimientos de agua de Seiche y vibración acústica [9].

La vibración acústica para un medio isotropito en un espacio cerrado, como se ha dicho anteriormente está dada por la ecuación de Helmholtz:

0cw

2

22 =+∇ φφ (2.3.2)

Donde φ es el cambio en la presión del ambiente, w es la frecuencia en rad/s y c es la velocidad del sonido en el medio y ∇ 2 es el operador Laplaciano. La condición a satisfacer en cada frontera es:

0n

=∂∂φ

(2.3.3)

Con base a estas consideraciones el objetivo ahora es evaluar la matriz de elementos para elementos tridimensionales. Para un elemento cuadrado triliniar de ocho nodos, se considera el mapeo sobre un cubo con lados de 2 unidades colocado simétricamente con coordenadas ξ, η, ζ como se muestra en la figura 2.6.

Sobre el cubo maestro, las funciones de forma se pueden escribir como:

8 a 1i )1)(1)(1(81

N iiii =+++= ζζηηξξ (2.3.4)

Donde (ξi, ηi, ζi) representa las coordenadas del nodo i del elemento en el sistema (ξ, η, ζ). Los desplazamientos nodales del elemento están representados por el vector:

[ ] T2421 q ,. . . ,q ,qq = (2.3.5)

Se usan las funciones de forma Ni para definir los desplazamientos en cualquier punto dentro del elemento en términos de sus valores nodales:

143

2486231

2385221

2282211

qNqNqNwqNqNqNvqNqNqNu

+++=+++=+++=

KKK

(2.3.6)

Fig. 2.6. Elemento hexaédrico (Elemento Finito en Ingeniería, Chandrupatlan y Belegundu, 1999).

Definiéndose las matrices de rigidez y masas de la siguiente forma:

∫ ∫ ∫− − −=

1

1

1

1

1

1

Ta dddJdetDBBK ζηξ (2.3 7)

∫ ∫ ∫− − −=

1

1

1

1

1

1

Ta dddJdetNGNM ζηξ (2.3.8) Donde se ha usado dV= det J dξ dη dζ y J es la matriz jacobiana de (3x3) [10].

La evaluación de las matrices para este tipo de elemento no puede desarrollarse tan rápido como para un elemento lineal. Ya que cada coeficiente implica integrar un polinomio. Las integrales pueden evaluarse usando las funciones de forma dadas por las ecuaciones anteriores.

Estas últimas ecuaciones obtenidas fueron desarrolladas relativas al sistema de coordenadas ξ, η, ζ, ya que éstas presentan menor problema. Todas las integrales son definidas relativas al sistema x, y, z. En particular, el gradiente de la matriz [B] tiene coeficientes relacionados a las derivadas parciales de las funciones de forma con respecto a ξ, η, ζ.

La evaluación de K a implica las derivadas parciales de las funciones de forma. Por lo que el gradiente de la matriz [B] queda de la siguiente forma:

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ζζζζζζζζ

ηηηηηηηη

ξξξξξξξξ

87654321

87654321

87654321

NNNNNNNN

NNNNNNNN

NNNNNNNN

B (2.3.9)

Donde la matriz de Rigidez tiene la siguiente forma:

ξ

η

ζ

144

∫∫∫ ++=V

T

V

T

V

Ta dV BBDdV BBDdV BBDK ζηξ (2.3.10)

Realizando las integrales numéricamente se obtienen los siguientes resultados:

a3

a2

a1

a KKKK ++= (2.3.11)

Donde:

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

=

442222114422221122441122

22441122221144222211442211222244

11222244

a18

bcDK a

1ξ (2.3.12

)

−−−−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−

=

4212421224212421124212422124212442124212242124211242124221242124

b18

acDK a

2η (2.3.13

)

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=

42242112244212212442122142242112

21124224122124421221244221124224

c18

abDK a

3ζ (2.3.14

)

Siguiendo el mismo procedimiento se desarrolla la integral dada por la ec. (2.3.8) para obtener la matriz de masa:

145

=

8424421248422421248412424248212442128424242148421242248421244248

216GV

M a (2.3.15)

Para el problema de vibración acústica Dξ = Dη = Dζ = 1 y G = -w2/c2, hay que hacer notar que ambas matrices [K] y [M] son simétricas. Con los resultados hasta ahora obtenidos, se puede seguir el método básico para determinar los modos normales de vibración y sus respectivas frecuencias naturales esto es partiendo de la ecuación de movimiento definida como:

[ ][ ] 0 M-K =Φλ (2.3.16)

Donde MK λ− es el determinante característico referido al vector característico Φ o vector

modal, por lo que la ec. (2.3.16) se le conoce como la ecuación característica del sistema.

146

APÉNDICE 3. ESCALAS MUSICALES. Con el desarrollo de la tecnología, la acústica musical a tenido, como todas las ciencias,

un gran desarrollo ya que al generarse nuevos dispositivos para la grabación y reproducción musical, los aficionados a este arte han podido tener acceso a una cantidad increíble de interpretaciones musicales, logrando con ello un conocimiento al que el aficionado antiguo no tenía; con ello tanto el músico como el laudero (fabricante de instrumentos musicales) se han dado cuenta que es necesario conocer las leyes fundamentales de la acústica, los procedimientos de formación de las escalas, así como los diferentes procedimientos de registro y reproducción de sonido10. CARACTERÍSTICAS SUBJETIVAS DEL SONIDO.

La clasificación de los sonidos está totalmente determinada por el oído humano, y su forma de responder y analizar la información que recibe, por lo cual las referencias físicas (mesurables) deberán estar siempre referidas a la respuesta de una mayoría de escuchas al estímulo sonoro.

Tomando en cuenta lo anterior se ha determinado que en la respuesta a las señales

sonoras, el oído reconoce las siguientes características:

• Sonoridad. Es la interpretación que el oído da a la amplitud de una onda sonora. Esta característica nos permite clasificar los sonidos como fuertes o muy sonoros y bajos o poco sonoros.

• Tono. Es la respuesta subjetiva a la frecuencia fundamental de un sonido. Esta

característica nos permite distinguir de que sonido se trata, por ejemplo, ¿qué letra nos están diciendo?, ¿es un gruñido?, ¿es un silbido?, ¿es un zumbido?, etc.

• Timbre. Es la identificación del contenido armónico correspondiente a la señal que se

percibe. Esto permite reconocer la fuente emisora, por ejemplo, distinguir a una persona al escuchar su voz, aún cuando haya muchas más hablando.

• Discriminación de elevación. Es la facultad de distinguir dos tonos de frecuencias muy

cercanas. El oído puede distinguir cambios en el nivel de intensidad de un sonido de 0.5 decibel (dB), que equivale a apreciar cambios del 12% de intensidad.

EL LENGUAJE MUSICAL.

Existen términos regularmente utilizados por los músicos cuyo significado es interesante

conocer:

• Al emitirse dos o más sonidos simultáneos, se dice que se produce un acorde , que puede ser consonante o disonante, de acuerdo a si la sensación provocada es agradable o desagradable, respectivamente. Cuando la sensación agradable es producida por una sucesión de sonidos, entonces se tiene una melodía. Ahora bien, la melodía consiste en la elección y número de notas que componen un periodo musical, por ejemplo, en las obras de tipo orquestal, la melodía es interpretada por el solista, siendo acompañado por el resto de la orquesta, la cual proporciona la armonía.

• La tesitura es el tono de un sonido.

• El color se refiere a las características dadas por la composición armónica o timbre del

instrumento, incluyendo como tal a la voz humana.

10 M. Recuero L. Ingeniería Acústica. pp. 313-320.

147

• Crescendo o decrescendo son dos términos utilizados para referirse a las variaciones en la intensidad del sonido producido, refiriéndose el primero a un aumento de la sonoridad y el segundo a una disminución de la misma.

• Forte la máxima intensidad que puede producirse.

• Piano y pianísimo son sonidos suave y muy suave, es decir, las intensidades son

mínimas.

• El trémolo es el término que se refiere a una nota de frecuencia fundamental inferior a los 16 Hz, aunque rica en armónicos.

• Un vibrato nos indica la existencia de variaciones rápidas y pequeñas en el tono de una

nota. ESCALAS MUSICALES.

La palabra escala textualmente quiere decir escalera, sin embargo en música se le da la acepción de orden, es decir, una escala representa un orden determinado dentro del cual se catalogan las notas que producen los distintos instrumentos musicales, incluyendo la voz.

El oído puede distinguir dos frecuencias o elevaciones que difieran 0.04 semitonos, lo

cual significa que en un semitono existen 25 frecuencias diferenciables, muchas más de las que se necesitan para componer una melodía, de manera que tomando solo algunas de ellas es posible elaborar una escala llamando nota a cada una de esas frecuencias discretas.

A través del tiempo se han desarrollado diferentes escalas, entre ellas mencionaremos:

la escala pitagórica (tablas 1 y 2), la escala diatónica de Zarlin (tablas 3,4), la escala temperada de Bach (tablas 5,6).

Tabla 1. Escala pitagórica.

Notas DOa RE MI FA SOL LA SI DOa+1

Intervalos respecto

a DOn 1/1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2/1

Intervalos sucesivos

9/8 9/8 256/243 9/8 9/8 256/243

La idea de Pitágoras fue buscar dentro de una octava el mayor número posible de

acordes consonantes 11.

Tabla 2. Frecuencias correspondientes a las diferentes notas musicales en la escala pitagórica para distintas octavas.

Número de la octava Notas musicales 0 1 2 3 4 5 6 7 8

DO 32.59 65.18 130.37 260.74 521.48 1042.96 2085.92 4171.85 8343.70 RE 36.66 73.32 146.66 293.33 586.66 1172.25 2346.66 4693.33 9386.66 MI 41.24 82.49 164.99 329.99 659.99 1319.99 2639.99 5279.99 10599.99 FA 43.45 86.88 173.78 347.56 695.13 1390.26 2780.53 5561.07 11122.15

SOL 48.88 97.77 195.55 391.11 782.22 1564.44 3128.88 6257.77 12515.55 LA 54.99 109.99 219.99 440.00 879.99 1759.99 3519.99 7039.99 14079.99 SI 61.87 127.74 247.49 494.99 989.99 1979.99 3959.98 7919.99 15839.99

11 M. Recuero. Ingeniería Acústica. pp.315 – 316.

148

APÉNDICE 4. SOFTWARE DE SIMULACIÓN DE MODOS

VIBRACIÓN EN MEMBRANAS CIRCULARES. Este programa esta desarrollado en un lenguaje muy noble como lo es Borland C++

Builder, ya que además de ser muy accesible a todo usuario es un programa el cual tiene una plataforma sobre Windows y no es necesario correr el programa sobre sistema operativo como Borland C o C++, el cual al interactuar con MATLAB nos permite una graficación más rápida y la posibilidad de dar animación.

El programa nos mostrara la obtención de algunos cálculos así como la simulación del

movimiento o comportamiento de una membrana circular. Ahora bien, considerando que la diferencia entre el análisis de membranas y de placas se diferencia básicamente en los parámetros que determinan la velocidad de transmisión de la onda, entonces el programa puede adaptarse a placas circulares cambiando únicamente el valor de la tensión a la que se sujeta la membrana por la dureza de la placa.

La parte esencial del programa se muestra a continuación:

/******************** LIBRERIAS ********************/ #include <stdio.h> /* Inicia siempre un programa.*/ #include <conio.h> /* Inicia siempre un programa.*/ #include <graphics.h> /* Muestra los gráficos que se requieren.*/ #include <dos.h> #include <stdlib.h> #include <math.h> /* Muestra las funciones matemáticas requeridas.*/ /******************** VARIABLES ********************/ float pi = 3.141592654; /* Variable con valor especifico. */ float ps,pv,grosor,xpq,fqp,t,a,r,apq; /* Variables con valores calculados. */ float p,q,m; /* Variables con valores designados. */ float tabla[6][6]=0,2.40,5.52,8.65,11.79,14.93,

0,3.83,7.02,10.17,13.32,16.47, 0,5.14,8.42,11.67,11.80,17.96, /* Valores designados o específicos */ 0,6.38,9.76,13.02,16.22,19.41, /* en tabla de valores ya definidos */ 0,7.59,11.06,14.37,17.62,20.83, 0,8.77,12.34,15.70,18.98,22.22;

float tabla1[20]=0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9, 1.0,1.1,1.2,1.3,1.4,1.5,1.6,1.7,1.8,1.9;

float tabla2[20]=2.0,2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,2.6,2.7,2.8,2.9, 3.0,3.1,3.2,3.3,3.4,3.5,3.6,3.7,3.8,3.9;

float tabla3[20]=4.0,4.1,4.2,4.3,4.4,4.5,4.6,4.7,4.8,4.9, 5.0,5.1,5.2,5.3,5.4,5.5,5.6,5.7,5.8,5.9;

float tabla4[20]=6.0,6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6,6.7,6.8,6.9, 7.0,7.1,7.2,7.3,7.4,7.5,7.6,7.7,7.8,7.9;

float tabla5[20]=8.0,8.1,8.2,8.3,8.4,8.5,8.6,8.7,8.8,8.9, 9.0,9.1,9.2,9.3,9.4,9.5,9.6,9.7,9.8,9.9;

float tabla6[20]=10.0,10.1,10.2,10.3,10.4,10.5,10.6,10.7,10.8,10.9, 11.0,11.1,11.2,11.3,11.4,11.5,11.6,11.7,11.8,11.9;

float tabla7[15]=12.0,12.1,12.2,12.3,12.4,12.5,12.6,12.7,12.8,12.9, 13.0,13.1,13.2,13.3,13.4;

float tabla11[20]=0.0000,0.0499,0.0995,0.1483,0.1960, 0.2423,0.2867,0.3290,0.3688,0.4060, 0.4401,0.4709,0.4983,0.5220,0.5419, 0.5579,0.5699,0.5778,0.5815,0.5812;

float tabla21[20]=0.5767,0.5683,0.5560,0.5399,0.5202, 0.4971,0.4708,0.4416,0.4097,0.3754,

149

0.3391,0.3009,0.2613,0.2207,0.1792, 0.1374,0.0955,0.0538,+0.0128,-0.0272;

float tabla31[20]=0.0660,0.1033,0.1386,0.1719,0.2028, 0.2311,0.2566,0.2791,0.2985,0.3147, 0.3276,0.3371,0.3432,0.3460,0.3453, 0.3414,0.3343,0.3241,0.3110,0.2951;

float tabla41[20]=0.2767,0.2559,0.2329,0.2081,0.1816, 0.1538,0.1250,0.0953,0.0652,0.0349, -0.0047,+0.0252,0.0543,0.0826,0.1096, 0.1352,0.1592,0.1813,0.2014,0.2192;

float tabla51[20]=0.2346,0.2476,0.2580,0.2657,0.2708, 0.2731,0.2728,0.2697,0.2641,0.2559, 0.2453,0.2324,0.2174,0.2004,0.1816, 0.1613,0.1395,0.1166,0.0928,0.0684;

floattabla61[20]=0.0435,+0.0184,-0.0066,0.0313,0.0555, 0.0789,0.1012,0.1224,0.1422,0.1604, 0.1768,0.1913,0.2039,0.2143,0.2225, 0.2284,0.2320,0.2333,0.2323,0.2290;

float tabla71[15]=0.2234,0.2157,0.2060,0.1943,0.1807, 0.1655,0.1487,0.1307,0.1114,0.0912, 0.0703,0.0489,0.0271,-0.0052,+0.0166;

/******************** FUNCIONES ********************/ void datos(); /* Funciones obtenidas en resultados finales */ void densidad(); void radionodal(); void amplitud(); void volumen(); /******************** PROGRAMA PRINCIPAL ********************/ void main(void) /* Inicio del programa */ int x; /* Incrementa el valor que tenga x */ clrscr(); /* Limpia la pantalla */ for (x=0;x<22;x++) /* Ciclo for de comparación para x */ printf ("\ntabla1 %f", tabla1[x]); /* Según el valor obtenido de x buscar en tabla1 */ datos(); /* Variables requeridas para cálculos posteriores */ getch(); densidad(); getch(); frecfundamental(); getch(); radionodal(); getch(); /******************** DATOS ********************/ void datos() printf (" Grosor de la Membrana = "); /* Valor del grosor */ scanf ("%f",&grosor); printf (" Densidad Volumétrica = "); /* Valor de la densidad volumétrica */ scanf ("%f",&pv); printf (" Radio de la Membrana = "); /* Valor del radio */ scanf ("%f",&a); printf (" Tensión de la Membrana = "); /* Valor de la tensión */ scanf ("%f",&t);

150

printf (" Amplitud de Desplazamiento = "); /* Valor del desplazamiento */ scanf ("%f",&apq); /******************** OPERACIONES ********************/ /******************** DENSIDAD ********************/ void densidad() ?s=?v*grosor; /* Densidad superficial = Densidad volumétrica x grosor. */ /******************** FRECUENCIA FUNDAMENTAL ********************/ frecfundamental() float l,j,d; printf (" Valor de p = "); /* Valor requerido para obtener el valor de la tabla */ scanf ("%f",&p); printf (" Valor de q = "); /* Valor requerido para obtener el valor de la tabla */ scanf ("%f",&q); l=((2*pi)*a); j=(t/ps); d=sqrt(j); fqp=(tabla[p][q]/l)*d; printf ("\nFpq es %f",fqp); /******************** RADIO NODAL ********************/ void radionodal() r=((2.4*a/tabla[p][q]); printf ("\nr es %f",r); /******************* AMPLITUD DE DESPLAZAMIENTO ********************/ void amplitud() float d,l,amplitud; d=2*apq; l=d/tabla[p][q]; amplitud=l*2; /****************** VOLUMEN DEL AIRE DESPLAZADO ******************/ void volumen() float Amp_Des,pi,a,V; V=Amp_Des*pi*a*a; return;

151

A continuación, se muestran algunas gráficas de modos de vibración obtenidos:

Cabe aclarar que el eje z (deformación vertical) ha sido exagerada, mediante el uso de una escala diferente, a fin de observarla mejor.

La siguiente es una muestra del mismo modo de vibración para dos frecuencias diferentes.

Observemos ahora los resultados obtenidos para distintos modos de una misma frecuencia:

152

Veamos ahora algunos ejemplos de las diferentes vistas que se pueden generar para un

mismo modo y una misma frecuencia:

153

Recuérdese que el eje z se encuentra con una escala diferente a fin de observar mejor la

concentración de energía de deformación.

155

APÉNDICE 5 EL MÉTODO DE RAYLEIGH – RITZ.

El método de Rayleigh - Ritz consiste en aproximar numéricamente la solución de una ecuación diferencial o integral dada, bajo condiciones iniciales o de frontera, cuando se ha determinado explícitamente la expresión de la energía del sistema de una manera funcional, la cual es evaluada en la solución numérica propuesta y así poder determinar en los puntos críticos de esta funcional derivándola e igualándola a cero. En realidad lo que se obtiene son los coeficientes de la expresión numérica de la posible solución, que para el caso dinámico, como enseguida lo veremos a través de la aplicación a la membrana vibrante, 2RΩ ⊂ .

Sean ψ1(x, y), ψ2(x, y) , … , ψn(x, y) una familia finita de funciones base, las cuales son

normales y linealmente independientes tales que el espacio En = <ψ1, …, ψn> es el espacio de todas las funciones definidas en Ω que son combinaciones lineales de las funciones base ψi(x,y), espacio en el cual es buscada la solución ( )yxu ,~ de aproximación, a la solución u(x,y)

exacta del problema planteado. De esta manera: ( ) ( )∑=

=n

iii yxCyxu

1

,,~ ψ será la función a

determinar del problema planteado en 2R⊂Ω .

Lu = f en Ω (1) Bu = g en ∂Ω (2)

cuya funcional Energía I[u] está determinada12 explícitamente como:

[ ] ( ) ( )∫ ∫Ω Ω

Ω−+Ω−= dvLuuLvdfuuLuuI 2 (3)

donde v es una función que satisface las condiciones de frontera (2) del problema dado, dichas condiciones comprenden en general a las condiciones de frontera tipo Dirichlet y Mixta, esta última a su vez, considera como un caso particular a la condición de Neumann. Si

321 Γ∪Γ∪Γ=Ω∂ donde Γ1, Γ2 y Γ3 significan respectivamente la parte de ∂Ω que satisface las condiciones de frontera del tipo Dirichlet, Neumann o Mixta. Por la consideración anterior, solo serán consideradas Γ1 y Γ3, es decir:

Lu = f en Ω (4)

( )( ) ( )

=Γ+∇=Γ

=sgusnu

sguBu

33

11

σo (5)

donde, haciendo σ(s) ≡ 0 se obtiene: ( )sgnuBu 22 =Γ∇= o , como un caso particular del tipo

mixto.

Explícitamente hablando, la funcional (3) queda: [ ] ( ) ( )∫ ∫Ω Ω

Ω−+Ω−= dvLuuLvdfuuLuuI 2 (6)

12 Ver punto 3.2. “El MEF en análisis modal de membranas”.

156

Ahora bien, como debemos determinar los puntos críticos de (6), que son las soluciones

de (4) bajo (5), derivamos la expresión anterior y la igualamos a cero, es decir:

[ ] 0=du

udI (7)

De donde es posible determinar a u, la cual es la solución de (4) bajo (5). Así el proceso

de Rayleigh - Ritz consiste en resolver (7) cuando u es substituida por u~ ; transformándola en un sistema algebraico con los coeficientes C1, C2,…, Cn, como las incógnitas de la representación ( )yxu ,~ , de manera que:

[ ] [ ]nn

n

iii C,C,,C,C,CICIu~I 1321

1−

=

=

= ∑ Kψ (8)

Y así la derivación de I [u] con relación a u~ , que es equivalente al sistema de derivadas

parciales [ ]

021 =∂

∂

i

n

CC,,C,CI K

con 0 ≤ i ≤ n, deberá ser resuelto para C1, C2,…, Cn, los cuales

definen en forma única a la función ( ) ( )∑=

=n

iii y,xCy,xu~

1

ψ .

En efecto, evaluemos a I [u] en u~ :

[ ] [ ]

( ) ( )∑ ∫∑ ∫∑ ∫

∫ ∫ ∑∑∑∑∑

= Ω≠ Ω= Ω

Ω Ω =====

Ω+++Ω++Ω=

=Ω

−

+Ω

−

=

=

n

iiiii

n

ijijjiji

n

iiii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

n

dvLLvfCdLLCCdLC

dCvLLvCdCfCLC

C,,C,CIu~I

11

2

11111

21

2

2

ψψψψψψψψψ

ψψψψψ

K

(9) donde, derivando con relación a Ci, tenemos:

( ) ( ) 022111

≡Ω−+−+Ω++Ω=∂∂ ∑ ∫∑ ∫∑ ∫

= Ω≠ Ω= Ω

n

iiiii

n

ijijjiji

n

iiii dvLLvfCdLLCCdLC

CI ψψψψψψψψψ ; 1 ≤ i ≤ n

(10) donde, derivando con relación a Ci obtenemos:

( ) ( )∑ ∑ ∑∫∫∫= ≠ = ΩΩΩ

Ω−+−+Ω++Ω=∂∂ n

i

n

ij

n

iiiiijjijii dvLLvfdLLCdLC

CI

1 11

122 ψψψψψψψψψ (11)

Este sistema puede también ser expresado como:

jj

n

jji hCA =∑

=1

; 1 ≤ i ≤ n (12)

Donde: ( )∫Ω

Ω+= dLLA ijjiji ψψψψ21

; ( ) Ω

−+= ∫

Ω

dLvvLfh iiii ψψψ21

(13)

157

que expresado en forma matricial quedará:

hCA = (14)

=

nnn

n

AA

AAA

LMMM

L

1

111

;

=

nC

CC

CM2

1

;

=

nh

hh

hM2

1

(15)

de (14) se pondrá determinar a C, en forma única siempre y cuando A no sea singular (A ≠ 0), lo cual sucede si el operador L es definido positivo. A manera de ejemplificar este método, lo aplicaremos a problemas de vibraciones en una y dos dimensiones. Aplicación 1. Considérese el siguiente problema, con valores en la frontera:

Lu = - u’’(x) = x2 ; 0 < x < 1 (16)

( ) ( )( )

==

=0100

uu

uB (17)

A fin de resolver (16) bajo (17), supondremos una solución polinomial cúbica:

( ) 33

2210 xCxCxCCxu~ +++=

la cual debe satisfacer las condiciones de frontera del problema. De manera que de:

( ) 00 0 == Cu~ y ( ) 01 321 =++= CCCu~ , se tiene: C3 = -(C1 + C2), de donde se obtiene:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xCxCxu~

xxCxxCxCCxCxCxu~

2211

22

21

321

221 11

ψψ +=

−+

+=+−+=

Calculando las entradas de A, tenemos:

11 1

110

A dxx x

ψ ψ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ; 1

1 212

0

A dxx x

ψ ψ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ;

12 1

210

A dxx x

ψ ψ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ; 1

2 222

0

A dxx x

ψ ψ∂ ∂ = ∂ ∂ ∫ ;

De esta manera, derivando las ψi, i = 1, 2 e integrando para obtener Aij, 1 ≤ i ≤ 2 ;

1 ≤ j ≤ 2:

158

( )∫∫

∫∫∫

=−==

−=

=

−===

−

−==

−=

1

0

222

1

0

21

1

0

22

22

1

0

2122

12

1

0

22

11

3011

2011

301

3261

32131

1

dxxxxh;dxxxh

;dxxxA;AdxxxxA;dxxA

por lo que el sistema AC h= queda:

1

2

1 1 13 6 201 2 16 15 30

CC

=

de donde resultan: 151

1 =C y 61

2 =C ; de esta manera la función solución ( )xu~ :

( ) ( )( )xxxxu~ 52130

+−= diferirá de la solución exacta: ( )

−= 3112

xx

xu cuyo error puede ser

evaluado a partir de una tabla. Para el caso bidimensional se resolverá la ecuación de Poisson. Aplicación 2. Considérese la región 2R⊂Ω y el operador de Poisson bajo condiciones de frontera no

homogéneas, es decir: - ∇2u = f en Ω (18)

sujeta a las condiciones de frontera:

( ) Ω∂⊂Γ=Γ 111 ;sgu Dirichlet (19)

( ) ( ) Ω∂⊂Γ=Γ+∇ 333 ;ˆ sgusnu σo Mixta

donde: 221121 ; Γ∪Γ=Ω∂Γ∪Γ=Ω∂ ggg .

Y la condición de frontera del tipo Neumann se obtiene como un caso particular de la

Mixta, haciendo σ(s) ≡ 0, en la parte en que es satisfecha. La funcional de (18) bajo (19) fue deducida como:

[ ] ∫ ∫Ω Ω∂

−+Ω

−∇= dsguudfuuuI 22 22 σ (20)

Explícitamente hablando, I[u] queda como:

159

[ ] ∫ ∫Ω Ω∂

−+Ω

−

∂∂

+

∂∂

= dsugudufyu

xu

uI 22 222

σ (21)

la cual será minimizada numéricamente si:

( ) ( )∑=

+=n

iii y,xgy,xCu~

1

ψ (22)

es la solución propuesta de (18) bajo (19); Obsérvese que para que u~ satisfaga la condición

de Dirichlet, se requiere que necesariamente ( ) ( )( ) ( ) 1 0i ix s , y s sψ ψ= Γ = 1 ≤ i ≤ n. Así, esta

condición de frontera queda:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )sgsy,sxgsy,sxu~ == en Γ1

Haciendo: ( ) ( ) 1;,, 11 == ++ nn Cyxgyxψ ; u~ queda como: ( )∑+

=

=1

1

,~n

iii yxCu ψ (23)

En efecto, procediendo a evaluar a (20) en u~ obtenemos:

[ ]

∫ ∑∑

∫ ∑∑∑

Ω∂

+

=

+

=

Ω

+

=

+

=

+

=+

−

+

+Ω

−

∂∂+

∂∂=

dsgCC

dfCy

Cx

CCCCI

n

iii

n

iii

n

iii

n

i

ii

n

i

iin

1

1

21

1

1

1

21

1

21

1121

2

2,,,

ψψσ

ψψψL

(24)

Derivando la ecuación (24) se tiene:

[ ]

02222

22

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

1

1

11

2211

33 3

=−++−

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂∂

+

∂

∂=

∂∂

∑ ∫∑∫ ∑ ∫ ∑ ∫

∑ ∑∫∑ ∫+

= Γ

+

= Ω

+

= Γ

+

=≠ Γ

+

=≠

+

= Ω= Ω

+

n

ii

n

i

n

i

n

jijijiii

n

ji

n

i

jijij

n

i

iii

i

n

gdsdsCdsCdxdyf

dxdyyyxx

Cdxdyyx

CC

C,,CI

ψψψσψσψ

ψψψψψψK

(25) de donde, reconociendo para los índices i, j se obtienen:

∫Ω

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=yyxx

A jijiij

ψψψψ (26)

∫Γ

=

3

dsS jiij ψψσ (27)

∫Γ

=

3

dsgK ii ψ (28)

160

∫Ω

= dxdyfh ii ψ (29)

[ ]∑=

=+=+n

jiiiijiji lKhCSA

1

; 1 ≤ i ≤ n.

Haciendo jijiji SAB += , se obtiene el sistema matricial: ( )( )1+× nnB ;

121 += nT C,,C,CC K ;

=

nl

ll

lM2

1

; BC =l (30)

El sistema representado por la ecuación (30) debe ser modificado, a fin de obtener un

sistema de n × n en C1, C2,...,Cn, ya que Cn+1 = 1. Para esto consideremos la primera modificación y luego para las demás en 2, 3, ... , n, obteniendo así el siguiente sistema:

−=+++

−=+++−=+++

=++++

++

++

++

++

112211

11222222121

11111212111

11111212111

nnnnnnnnn

nnnn

nnnn

nnnn

CBlCBCBCB

CBlCBCBCBCBlCBCBCB

lCBCBCBCB

KM

KKK

(31)

y que finalmente queda representado como:

B’ C = l’ (32) donde B’ es una matriz de n × n, C el vector en C1, C2, ..., Cn, y así:

( ) ( ) ( )∑=

+=n

iii y,xCy,xgy,xu~

1

ψ es la solución de.

En el caso dinámico, que es aquel que nos ocupa, al resolver la ecuación diferencial

parcial de la membrana vibrante para el caso forzado y amortiguado, los coeficientes Ci(t) serán dinámicos, luego la solución propuesta ( )t,y,xu~ para cada instante t dependerá de la expresión:

( ) ( ) ( )∑=

=n

iii y,xtCt,y,xu~

1

ψ (33)

donde ψ1(x,y), ..., ψn(x,y) son las funciones base que generan el espacio de funciones de dimensión finita En.

Propiamente hablando, la ecuación diferencial parcial de la membrana vibrante 2R⊂Ω fue deducida como:

( )t,y,xfkutu

btu

cy

u

x

u=+

∂∂

−∂

∂−

∂

∂+

∂

∂2

1 2

22

2

2

2

(34)

cuyas condiciones de frontera las supusimos homogéneas, es decir:

u(x(s), y(s), t) = 0 (35)

161

y las condiciones iniciales son consideradas como: u(x, y, 0) = u0(x, y) (36)

( ) ( )y,xvt

t,y,xu0=

∂∂

Así también, para este problema fue deducida la funcional Energía [ ]t,u,uI & en términos

de los operadores diferenciales L[u]=-∇T(K ∇u)=F(x,y,t) cuando:

( )

∂∂∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂−=∇∇−

tuyuxu

c

t,

y,

xuKt

21

00

010001

o y ( ) ( ) uKtu

bt,y,xft,y,xF +∂∂

−= 2 (37)

De esta manera la funcional Energía queda como:

[ ] ( )∫ ∫Ω

Ω−=t

dtdFuuLut,u,uI0

2& (38)

donde, substituyendo las expresiones de L[ ] y F obtenemos:

[ ] tdduftubuuku

tu

cyu

xuuI

t

Ω

−∂∂+−

∂∂−

∂∂+

∂∂= ∫ ∫

Ω0

2

2

22

2221 (39)

Ahora bien, como la solución de 0≡∂I , se obtienen los puntos críticos de la funcional (39)

que son las soluciones de (34) bajo (35) y (36), entonces se debe resolver:

[ ]0≡

duudI

(40)

Evaluando (39) se obtiene:

162

[ ] ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )∑∫∫∑∑∫∫

∑∑∫∫∑∑∫∫

∑ ∫∫∑∫∫∫ ∫ ∑

∫ ∫ ∑∑∫∫ ∑∑

∫∫ ∑∑∑

= Ω= = Ω

≠= = Ω≠= = Ω

= Ω= ΩΩ =

Ω ==Ω ==

Ω ===

Ω+Ω−

Ω−Ω

∂

∂

∂∂

+

∂

∂

∂

∂

+Ω

−Ω

∂

∂+

∂

∂=Ω

+

Ω

−Ω

−

Ω

−

∂∂

+

∂∂

=

n

i

t

ii

n

i

n

j

t

jiji

n

j

n

i

t

jiji

n

j

n

i

tjiji

ji

n

i

t

ii

n

i

tji

i

t n

iii

t n

jjj

n

iii

t n

jjj

n

iii

t n

iii

n

i

ii

n

i

ii

tddtCftddtCtCk

dtdtCtCbdtdyyxx

tCtC

dtdtCc

dtdyx

CdtdtCf

dtdtCtCkdtdtCtbC

dtdtCcy

tCx

tCu~I

1 01 1 0

1 1 01 1 0

1 0

222

1 0

222

0 1

0 110 11

0 12

2

1

2

1

22

22

12

22

1

41ψψψ

ψψψψψψ

ψψψ

ψ

ψψψψ

ψψψ

&

&

&

&

derivando la ecuación anterior con relación a Ci(t) se tiene:

( ) ( ) ( )( )[ ] ( ) ( )∑∫∫ ∑ ∑∫∫= Ω ≠= = Ω

Ω−Ω

∂

∂+

∂

∂=

n

i

t n

ji

n t

jijii

ini

dtdtCbdtdyx

tCtC,,tCtdC

dI

1 0 1 1 0

22

1 22 ψψψψ &K

( ) ( )( )

( )∑∫∫

∑∑∫∫∑∑∫ ∫

= Ω

= = Ω≠= = Ω

=Ω+

+Ω−Ω

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

n

i

t

i

n

i

n

j

t

jij

n

i

n

j

tjiji

j

dtdf

dtdtCkdtdyyxx

tC

1 0

1 1 01 1 0

02

22

ψ

ψψψψψψ

(42)

Si en (42) denominamos por:

∫ ∫Ω

Ω=t

jiij dtdbA0

ψψ ; dtdyyxx

Bt

jijiij Ω

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂= ∫ ∫Ω0

ψψψψ ; ∫ ∫

Ω

Ω=t

jiij dtdkK0

ψψ y

∫ ∫Ω

Ω=t

ii dtdfh0

ψ

Obtenemos el sistema ordinario de n ecuaciones con n incógnitas:

( ) ( ) ( )∑∑==

=+−+

n

jijijiji

n

jij htCKBtCA

11

0& ; 1 ≤ i ≤ 0 (43)

De donde se obtendrán los valores de Ci(t), para las condiciones iniciales t = 0:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫Ω

Ω== dy,xy,xuy,x,y,xuC iii ψψ 000 (44)

que substituidos en la expresión (22) determinan la solución:

163

( ) ( ) ( )∑

=

=n

iii t,xtCt,y,xu~

1

ψ (45)

Análisis Modal en Cavidades Tubulares Acústicas con ...

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