Nombre: Jonathan Zapata Fecha: 2015/10/28 Materia: Antenas NRC: 2463

Graficar la función para distintas longitudes de onda

F (θ )=cos(β l

2cosθ)−cos(β l

2 )sin (θ )

Código MATLAB:

clcclear alllamda=1;theta=0:0.01:2*pi;betao=2.*pi./lamda;l=2*lamda;K=1;E=abs((cos(cos(theta).*betao.*l./2)-cos(betao.*l./2))./sin(theta));polar(theta,E)grid ontitle('Patrón de radiación de la antena dipolo para l=4 \lambda')

l=0.5 λ

l=λ

l=1,25 λ

l=2 λ

l=3 λ

l=4 λ

Demostrar:

Directividad de un dipolo de longitud resonante es 2,15 dBi

Prad=36,5 Im2

S=n0 Im

2 f 2(θ)8π 2r2 ar

S=n0 Im

2 f 2(θ)8π 2r2

Entonces, calculando directividad:

D= SS ISO

S ISO=P rad

4 π r2 =36,5 Im

2

4π r 2

Así:

D= SS ISO

=

n0 Im2 f 2(θ)

8π 2r2

36,5 Im2

4 π r2

Dn0 f

2(θ)36,5∗2π

f (θ )=cos ( π2 cosθ)

senθ; Siθ=π

2

f (θ )=1

Dη0

36,5∗2π;η0=120 π

D120π

36,5∗2π

D=1,64

dBi=10 log(1,64)

D=2,15dBi

Demostrar:

Directividad de un dipolo magnético elemental

Prad=15585 I 2( Aλ2 )2

S=1860 I 2( Aλ2 )2 sen2θ

r2 ar

S=1860 I 2( Aλ2 )2 sen2θ

r2

Entonces, calculando directividad:

D= SS ISO

S ISO=P rad

4 π r2 =15585 I 2( Aλ2 )

2

4 π r2

Así:

D= SS ISO

=1860 I 2( Aλ2 )

2 sen2θr2

15585 I 2( Aλ2 )2

4 π r2

D=1860∗4 π∗s en2θ15585

; si sen2θ=1 ,θ=π2rad

D=1860∗4 π15585

D=1,5

dBi=10 log(1,5)

D=1,76 dBi

Obtener:

Todos los parámetros de la antena de longitud resonante orientada en el eje x

Dipolo de longitud resonante en el eje X

Vector potencial magnético

A=μ0

4 πre− j β0 r∫

−l2

l2

I dx ' i

A=μ0

4 πre− j β0 r I dl i

Sabiendo que:

x=senθ cosφ r+cosθ cosφ θ−senφ φ

Entonces obtenemos la siguiente expresión:

A=μ0 I dle

− j β0r

4 πrsen θ cosφ r+

μ0 I dl e− j β0 r

4 πrcosθ cosφ θ−

μ0 I dle− j β 0 r

4 πrsenφ φ

Ar=μ0 I dl e

− j β 0 r

4 πrsenθ cosφ

Aθ=μ0 I dle

− j β0 r

4 πrcosθ cos φ

Aϕ=¿−μ0 I dl e

− j β 0 r

4 πrsenφ φ

El vector Intensidad de campo magnético está dado por:

H= 1μo∇ x A

H r=1

μorsenθ [ ∂∂θ

( Aφ senθ )− ∂∂φ

Aθ]H r=0

H θ=1μo r [( 1

senθ∗∂

∂φAr)−( ∂

∂ rr Aφ)]

H θ=−e− j βo r I dl

4 πr∗sen φ( 1

r+ j βo)=−e− j β or I dl

4 π∗senφ( 1

r2 +j βo

r )Hφ=

1μo r [ ∂

∂ rr Aθ−

∂∂θ

A r]Hφ=

e− j βo r I dl4 πr

cosθ cos φ(− j βo−1r )=−e− j β o r I dl

4 π r2 cos θ cosφ( 1r 2 +

j βo

r )Por lo tanto en zonas apartadas tenemos:

H F−F=− j βoe− j βo r I dl

4 πrsenφ aθ− jβo

e− j β or I dl4 πr

cos θ cosφ aφ

Con la ayuda de la primera ecuación de Maxwell el campo eléctrico está dado por:

E= 1jwεo

∇ x H

Er=1

jwεo rsen θ [ ∂∂θ

(H φsen θ )− ∂∂φ

H θ]

Er=(2no senθcosφ❑ e− j βo r∗I∗dl4π r2 )

Eθ=1

jwεo r[ 1senθ

∗∂

∂φH r−

∂∂ r

r Hφ]Eθ=

− jβono I dle− j βo r cos θ cosφ

4πr

Eφ=1

jwε o r [ ∂∂r r H θ−∂∂θ

H r]Eφ=

j βono I dl e− j βo r senφ

4 πrEn zonas apartadas:

EF−F=− jβono I dl e

− j βo r cos θ cosφ4 πr

aθ+j βono I dl e

− j β o r sen φ4 πr

aφ

El vector densidad media de potencia estará dado por:

SAV=12

ℜ ( E x H ¿)=Zo|H|2

2r=

|E|2

2Zo

r

SAV=no I

2dl2 βo2

32π 2r2 [cos2φ∗cos2θ+sen2φ ]

Sustituyendo estas aproximaciones en la expresión para el campo eléctrico del segmento diferencial se tiene que

dE=− jβ ono I (x )dxe

− j βo Rcosθ cos φ4 πR

aθ+j βono I (x)dxl e

− j βoR senφ4 πR

aφ

Y el campo eléctrico total:

E=(− jβ ono cosθ cos φ

4 πraθ+

j βono sen φ

4 πraφ) ∫

−l /2

l /2

I (x)e− j βo (r−xcosθ )dx

E=(− jβ ono cosθ cos φ

4 πraθ+

j βono sen φ

4 πraφ)e− j βo r ∫

−l /2

l/2

I (x )e j βo (xcosθ)dx

[∫−l /2

0

ℑ sen( βo( l2+x ))e j βo (xcosθ)dx+∫0

l/2

ℑ sen( βo( l2−x ))e j βo (xcosθ)dx ]2ℑ [∫0

l /2

sen (βo( l2−x))(cos (βo xcosθ) )dx ]Aplicando la identidad trigonométrica SinA CosB = (1/2) (Sin(A+B) +Sin (A-B)) se tiene que:

E=(− jβ ono cosθcos φ

4 πraθ+

j βono sen φ

4 πraφ)e− j βo r

2ℑ [ cos (βol2cosθ¿)−cos(βo

l2 )

βo senθ2 ]

E=(− jβ ono cosθ cos φ

2πraθ+

j βono sen φ

2 πraφ)e− j βo r ℑ[ cos (βo

l2cosθ¿)−cos (βo

l2 )

βo senθ2 ]

Eθ=(− j no ℑe− j β o r cosθ cos φ2πr )[ cos( βo

l2cosθ¿)−cos (βo

l2 )

senθ2 ] aθEφ=( j no ℑe− j βo r senφ

2 πr )[ cos (βol2cosθ¿)−cos (βo

l2 )

senθ2 ] aφF (θ )=

cos(βol2cosθ¿)−cos (βo

l2 )

( senθ)2

H θ=(− j ℑe− j β o r cosθ cosφ2πr )F (θ ) aθ

H φ=(− jIm e− j β o r sen φ2πr )F (θ ) aφ

Los campos radiados por la antena dipolo en zonas apartadas son:

EF−F=(− j no ℑe− j β or cosθ cosφ2πr )F (θ ) aθ+( j noℑe− j βo r senφ

2 πr )F (θ ) aφ

H F−F=(− jℑe− j βor cos θ cosφ2 πr )F (θ ) aθ+(− jIme− j βo r sen φ

2πr )F (θ ) aφ

El vector densidad media de potencia estará dado por:

SAV=12

ℜ ( E x H ¿)=Zo|H|2

2r=

|E|2

2Zo

r

SAV=n0 ℑ2(cosφ2 cosθ2+senφ2)F (θ )2

8 π2 r2 r

La directividad es igual a:

D=Sav (θ ,φ)maxPrad /4 π r

2

La fórmula de la densidad media de potencia para dipolo de longitud resonante

Sav (θ ,φ)=n0∗Im

2∗F {θ }2

8∗π 2r2 r

Sav (θ ,φ)max=n0∗Im

2

8∗π2 r2

F(θ)=1

Ahora bien, la potencia radiada para dipolo de longitud resonante es:

Prad=(36,56)∗Im2

Entonces la directividad viene dado por:

D=Smax

36,56∗Im2/4 π r2

D=

4∗n0∗Im2

8∗π2 r2

36,56∗Im2

4∗π ¿ r2

D=1.64

Ddbi=10 log (1.64 )=2.15dbi

Graficas

Corte en el eje X=0

Corte en el eje Z=0

Referencias[1] Libro Texto[2] Diapositivas de la Asignatura de Antenas