Prof., Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics.

Antiderivadas

En el proceso de derivación, dada una función xFy , el operador dx

dy me indica que se va a

calcular una función xf que es la derivada de la función xF . Siendo así F conocida, la

función xf es equivalente a xfxFdx

dy

dx

dF .

Ahora supongamos que conocemos xf que es la derivada de alguna función xFy que no

conocemos. Determinar esa función xF es conocido como buscar una primitiva de la función

xf . En términos generales: Antiderivar es buscar una función xF tal que xfxF ,

para ello usamos el símbolo que va a juagar el papel de operador y que reemplaza la frase “vamos

a buscar una antiderivada de….” De la siguiente manera: dx xf que leeremos. “la integral

indefinida de la función efe de equis de equis”

Si ,xfxF al ser C una constante, como CxFdx xfxfCxF )( va a

ser la antiderivada más general.

De la misma forma dx xf , dt, tf du uf darán funciones ,xF ,tF uF

respectivamente, de ahí que f se pueda escribir conociendo respecto de qué variable se va a

antiderivar. Existen unas antiderivadas que son de carácter inmediato, son ellas:

-1C con Ca

xdx x

1a

a

,1

.1 C x dxxdx x

ln1

.21

C x dx x sen cos.3 C x sendx x cos.4

C x dx x 2

tansec.5 C xCo dx x 2

tancsc.6

C x dx x tan x secsec.7 C x csc dx x cotan x csc.8

C x sendx

x-1

1

1-

2

.9 C x dx

x

1

21

1tan.10

C x dx xx

1

12

1sec.11 C dx a

a

xax

ln.12

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Tabla 1. Antiderivadas inmediatas

Propiedades:

xf kxf k dx xf kdx xf k y

xgxfxg xf dx xg dx xf dx xgxf

Ejemplos

1. Cxxx3

2 dx x2x

2

23

2

11

2. C x sene x 3

1dx x e

3x

1 xx 2

4

1lncos2

4

1

Usando como ejemplo la Tabla 1 (antiderivadas inmediatas), hay algunas funciones compuestas

cuya integral se vuelve inmediata observando que la derivada interna es constante. Un ejemplo

es:

1. C2x sen2

1dx 2x cos veamos ¿por qué? La derivada interna de 2x sen es 2 y este

número estaría afectando la función cuando, por la definición de antiderivada, me devuelvo

derivando 2x sen para comprobar que esta derivada sea el integrando. De ahí que,

2x 2x 2x sen2

1coscos2

2

1

2.

C 1x ln dx x 1

1

3.

C 13x ln3

1 dx

x 13

1

4. C e4

1 dxe

4x4x

5.

Cx sendx

x3-1

1 dx

x

1-3

3

1

31

1

22

6. Cx3

2 dx 74x 3

2

744

1

Luego aprenderemos un método de integración que permite hacer estas integrales, vale la pena

identificar que son formas inmediatas dividendo por la derivada interna.

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Teorema fundamental del cálculo. (TFC)

Parte I.

Sea xf una función real, continua en un intervalo cerrado ba , definiendo

x

a

xfxG tfxG . Se ilustra a continuación cuando f es una función continua en

ba , el significado de xA y de hxA con 0h

hx

x

hx

x

dt tf hh

xAhxAdt tfxAhxA

1

cf hh

1 Teorema del valor medio

hx x, c cfh

xAhxA

,

xfcfhxfcfxf

h

0

lim

De donde el

xfxAh

xAhxA

h

0

lim , como se acaba de establecer que xA es una

antiderivada de xf

La demostración seria la misma utilizando dt tfxG

x

a

sin asociar la función xG con el área

entre a y x que fue lo que denominamos como xA . También sería igual si se toma 0h , caso en el

que el cociente seria

h

xAhxA

h

hxA-xA

y la desigualdad queda

xfcfhxf y se toma xfcf

h

0

lim

Ejemplos:

1. 3

1

311 x dt t

dx

dx

2.

t

e dx edx

d t

t2

x-

2

1

2

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Como consecuencia del teorema fundamental y de la derivación de funciones compuestas (en cadena),

ahora para la segunda parte del TFC tenemos que, si xF es también una antiderivada de xf

KxFxG (Dos antiderivadas que difieren en una constante)

KbFbG y KaFaG

0 aFaGbFbG (Restando las dos ecuaciones)

aFbFaGbG De ahí que:

aFbFdx xfdx xf

a

a

b

a

(Como

a

a

0dx xf ) entonces,

aFbFdx xf

b

a

Teorema Fundamental del cálculo (parte II)

Sea f continua en el intervalo cerrado ba , y F una antiderivada de f en ba , , la

aFbFdx xf

b

a

Ejemplos resueltos

¿Qué se derivó para que la derivada sea 4 xf ?

Por el método de Ensayo y Error se puede ver que la función que se derivó puede ser:

xxF 41

. Pero también las funciones

342

xxF o también 243

xxF , o 844

xxF hay tantas opciones como

números reales existen. Podemos generalizar esto escribiendo CxxF 4

Es decir que la función cuya derivada es 4 es una familia de funciones en este caso lineales cuyos

miembros todos tienen pendiente 4m pero diferentes intersecciones con el eje y como vemos en la gráfica 1 para los diferentes valores de la constante C. C =0 C=5 C=-2 C=12 C=15 C=8

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Calcular las siguientes antiderivadas

dx x 5

.1 dx x -7

.2 dx x 23

.3

dx x 37

.4 dx x .5

dx

x

1

9.6 dx

x

1

172

.7 dx 7x- 5

.8 dx x8

5

12-.9 dx 2x

56

.10

Respuestas:

Cx6

1

6.1

Cx

6

1-

6.2

Cx

5

2 2

5

.3 Cx

4

3-

3

4

.4 Cx15

17-

17

15

.7 Cx

11

10 5

11

.10

Bibliografía.

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Indefinite integral» (en inglés), Encyclopaedia of Mathematics,

Springer, ISBN 978-1556080104

Weisstein, Eric W. «Indefinite Integral». En Weisstein, Eric W. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.