Antología de Análisis Numérico -ITSX

Análisis Numérico

Antología

Realizada por:M.C. José Daniel Hernández Ventura

Xalapa-Enríquez, Veracruz Agosto de 2011

Índice

Objetivo General_____________________________________________________1ECC0402 (4210) 1Aprendizajes requeridos : 1ETF1003 (325) 1Competencias previas 1

Unidad I Introducción al Análisis Numérico___________________________________2

Objetivo Educacional 2Actividades de Aprendizaje 2Bibliografía 2

1.1 Concepto y Trascendencia Histórica del Análisis Numérico.....................................31.2 Importancia del Análisis Numérico en la Ingeniería...............................................5Autoevaluación............................................................................................................6

Unidad II Análisis del Error____________________________________________________8


2.1 Aproximaciones......................................................................................................92.1.1 Cifras Significativas 102.1.2 Exactitud y Precisión 12

2.2 Errores.................................................................................................................132.2.1 Errores de Redondeo 152.2.2 Errores de Propagación 162.2.3 Error Numérico Total 16

Autoevaluación...........................................................................................................17

Unidad III Solución de Ecuaciones Algebraicas________________________________18


3.1 Método de Intervalos............................................................................................193.1.1 Método de Posición Falsa 20

Antología de Análisis Numérico i

3.1.2 Método de la Bisección 213.1.3 Método de Dos Puntos y Orden de Convergencia 23

3.2 Métodos Abiertos..................................................................................................243.2.1 Método de Punto Fijo 253.2.2 Método de NewtonRaphson 263.2.3 Método de la Secante 28

3.3 Raíz de Polinomios...............................................................................................303.3.1 Método de NewtonRaphson para raíces complejas 31

Unidad IVSolución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales y valores característicos _____________________________________________________32


4.1 Sistemas de ecuaciones lineales............................................................................334.1.1 Método de Gauss. 344.1.2 Método de GaussJordan. 354.1.3 Método de GaussSeidel. 37

4.2 Sistemas de ecuaciones no lineales.......................................................................394.2.1 Método de NewtonRaphson para sistemas no lineales. 40

4.3 Valores característicos .........................................................................................414.3.1 Método iterativo para determinar valores característicos 42

Unidad VAjuste de Funciones________________________________________________43


5.1 Interpolación........................................................................................................445.1.1 Diferencias divididas de Newton para la interpolación de polinomios. 455.1.2 Polinomio de Lagrange. 46

5.2 Aproximación.......................................................................................................475.2.1 Polinomial con números cuadrados. 485.2.2 Multilineal con mínimos cuadrados. 49

5.3 Ajuste por interpolación segmentaria (Spline) .....................................................50

Unidad VIDiferenciación e Integración Numérica_____________________________52

Objetivo Educacional 52

Antología de Análisis Numérico ii

Actividades de Aprendizaje 52Bibliografía 52

6.1 Integración...........................................................................................................536.1.1 Método del trapecio 546.1.2 Método de Simpson. 566.1.3 Método de NewtonCotes. 57

6.2 Diferenciación......................................................................................................586.2.1 Extrapolación de Richardson. 59

Unidad VIISolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales____________________________________________________________60


7.1 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias ....................................................617.1.1 Métodos de Euler 627.1.2 Métodos de RungeKutta 63

7.2 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias .................................647.3 Solución de ecuaciones diferenciales parciales 657.3.1 Método de las diferencias finitas 667.3.2 Método del elemento finito. 67

Antología de Análisis Numérico iii

Objetivo General

ECC-0402 (4-2-10)El alumno conocerá los métodos numéricos y los aplicará en la solución de problemas de ingeniería.

Aprendizajes requeridos :• Conceptos básicos de cálculo diferencial e Integral• Análisis vectorial• Álgebra lineal• Ecuaciones diferenciales

ETF-1003 (3-2-5)Analizar problemas de ingeniería y dar solución a ellos aplicando el (los) método(s) numérico(s) apropiado(s)

Competencias previas • Usar la calculadora de forma óptima • Realizar análisis y resolución mediante una metodología lógica a la solución • de problemas de ingeniería • Aplicar un lenguaje de programación para la solución de problemas. • Dominar las disciplinas de cálculo infinitesimal, álgebra lineal, ecuaciones • diferenciales y regresión lineal. • Coordinar, participar y/o dirigir grupos de estudio e investigación

Antología de Análisis Numérico 1

Unidad I Introducción al Análisis Numérico

Objetivo EducacionalEl alumno conocerá el concepto del análisis numérico y su importancia en la ingeniería.

Actividades de Aprendizaje• Investigar los antecedentes históricos del análisis numérico y exponerlo de manera grupal.• Identificar las aplicaciones del análisis numérico y su relación con la computación.• Analizar problemas de ingeniería que se caracterizan por una solución numérica abierta.

Identificará la importancia del análisis numérico en la solución.

Bibliografía

[1] “Análisis Numérico”; http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9rico


1.1 Concepto y Trascendencia Histórica del Análisis Numérico

Una definición de análisis numérico podría ser el estudio de los errores en los cálculos; error aquí no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino más bien una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas.

El análisis o cálculo numérico es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.

Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones, cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.

El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión determinada.

El análisis numérico es el desarrollo y estudio de procedimientos para resolver problemas con ayuda de un computador. Una ventaja fundamental de este es que pueda obtenerse una respuesta numérica, aún cuando un problema no tenga solución analítica.

El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticos. Pero hay que tomar en cuenta las características especiales y limitaciones de los instrumentos de cálculo (como las computadoras) que nos ayudan en la ejecución de las instrucciones del algoritmo.

Es importante mencionar que el resultado del análisis numérico es una aproximación, aunque los resultados pueden hacerse tan exactos como se quiera, a fin de obtener la máxima exactitud es necesario efectuar una multitud de operaciones por separado, pero las computadoras las realizan tan rápidamente y sin cometer errores que esto no constituye un problema importante. El análisis de los errores cometido por las computadoras y de las otras fuentes de error en los métodos numéricos constituye una parte fundamental del estudio del análisis numérico.

El concepto de número surgió como consecuencia de la necesidad práctica de contar objetos. Inicialmente se contaban con ayuda de los medios disponibles: dedos, piedras... (basta recordar por ejemplo, que la palabra cálculo deriva de la palabra latina calculus que significa contar con piedras). La serie de números naturales era, obviamente, limitada, pero la conciencia sobre la necesidad de ampliar el conjunto de números representa ya una importante etapa en el camino hacia la matemática moderna. Paralelamente a la ampliación de los números se desarrolló su simbología y los sistemas de numeración, diferentes para cada civilización.

Los textos matemáticos más antiguos disponibles son el Plimpton 322 (matemáticas en Babilonia c. 1900 a.C.), el papiro de Moscú (matemáticas en el Antiguo Egipto c. 1850 a.C.), el papiro de Rhind (Matemáticas en Egipto c. 1650 a.C.), y el Shulba Sutras (Matemáticas en la India c. 800 a.C.). Todos


estos textos tratan sobre el teorema de Pitágoras, que parece ser el más antiguo y extendido desarrollo matemático después de la aritmética básica y la geometría.

Tradicionalmente se ha considerado que la matemática, como ciencia, surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

Las matemáticas egipcias y babilónicas fueron ampliamente desarrolladas por la matemática helénica, donde se refinaron los métodos (especialmente la introducción del rigor matemático en las demostraciones) y se ampliaron los asuntos propios de esta ciencia.

Las matemáticas en el Islam, a su vez, desarrollaron y extendieron las matemáticas conocidas por estas civilizaciones ancestrales. Muchos textos griegos y árabes de matemáticas fueron traducidos al latín, lo que llevó a un posterior desarrollo de las matemáticas en la Edad Media.

Desde tiempos ancestrales hasta la Edad Media, las ráfagas de creatividad matemática fueron seguidas, con frecuencia, por siglos de estancamiento. Pero desde el renacimiento italiano, en el siglo XVI, los nuevos desarrollos matemáticos, interactuando con descubrimientos científicos contemporáneos, fueron creciendo exponencialmente hasta el día de hoy.


http://es.wikipedia.org/wiki/La_Tierra

1.2 Importancia del Análisis Numérico en la Ingeniería

Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan problemas numéricamente. Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.

Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las matemáticas (puras) observando como algunos de ello deben modificarse necesariamente en las matemáticas computacionales.

El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.

Después de todo, el análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.

En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.

Operaciones que se pueden realizar con el análisis numérico son:

• Resolución para las raíces de una ecuación no lineal.• Resolución de grandes sistemas de ecuaciones lineales.• Obtención de las soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales.• Interpolación para encontrar valores intermedios en una tabla de datos.• Encontrar aproximaciones eficientes y eficaces de funciones.


Autoevaluación

Conteste las siguientes preguntas eligiendo la respuesta correcta.

1.- Es la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.a) Análisis o cálculo numéricob) Álgebrac) Trigonometría

2.- ¿Por qué consecuencia surgió el concepto de número?a) Para hacer cuentas numéricas.b) Por la necesidad de contar objetosc) Para inventar los números

3.- ¿Cuál es el texto matemático más antiguo disponible?a) El papiro de Moscúb) El papiro de Rhindc) El Shulba Sutras

4.- ¿Cómo se ha considerado tradicionalmente a las matemáticas?a) como cienciab) como ayuda en los cálculosc) como un dolor de cabeza

5.- ¿En qué siglo fueron creciendo exponencialmente los nuevos desarrollos matemáticos?a) en el siglo XXIb) en el siglo XVIIc) en el siglo XVI

Conteste las siguientes preguntas eligiendo Falso o Verdadero.

6.- El análisis numérico consiste en procedimientos que resuelven problemas y realizan cálculos puramente aritméticosa) Falso b) Verdadero

7.- Un especialista de análisis numérico se interesa en la creación y comprensión de buenos métodos que resuelvan ecuaciones diferenciales e integrales.a) Falso b) Verdadero

8.- El análisis numérico es importante porque es necesario en la solución de muchos problemas del mundo real.a) Falso b) Verdadero


9.- Una característica importante del estudio de los métodos es su variación.a) Falso b) Verdadero

10.- Una buena razón para estudiar el análisis numérico es mejorar nuestra comprensión de los conceptos de las ciencias.a) Falso b) Verdadero


Unidad II Análisis del Error

Objetivo EducacionalEl alumno analizará y calculará el error y su efecto en aplicaciones de ingeniería

Actividades de Aprendizaje• Identificar los conceptos de aproximaciones, cifras significativas, exactitud y precisión.• Identificar los tipos de errores: por redondeo, truncamiento, absoluto y relativo.• Resolver problemas que impliquen el cálculo de diferentes tipos de errores.• Caracterizar los problemas de generación y propagación de errores, así como sus métodos de

evaluación.• Investigar el efecto de los diferentes tipos de errores en aplicaciones de ingeniería. Presentar en

forma grupal los resultados.

Bibliografía

[1]”Aproximación”; http://es.wikipedia.org/wiki/Aproximacion[2]”Cifras Significativas”; http://es.wikipedia.org/wiki/Cifras_significativas[3] “Métodos Numéricos. Antología”; Giron Jimenez, Ulises; Instituto Tecnológico Superior de Acayucan; 2009.[4] “IEEE coma flotante”; http://es.wikipedia.org/wiki/IEEE_754[5] “IEEE-754 References”; http://babbage.cs.qc.edu/courses/cs341/IEEE-754references.html


2.1 Aproximaciones

En [1], Aproximación es una representación inexacta de algo que, sin embargo, es suficientemente fiel como para ser útil. Aunque en matemáticas la aproximación típicamente se aplica a números, también puede aplicarse a objetos tales como las funciones matemáticas, figuras geométricas o leyes físicas.

Una aproximación usualmente se realiza cuando una forma exacta o un valor numérico exacto es desconocido o difícil de obtener. Sin embargo, puede conocerse alguna forma, que sea capaz de representar a la forma real, de manera que no se presenten desviaciones significativas. También se utiliza cuando un número es irracional, como el número π, en cuyo lugar muchas veces se emplea el 3.14, √7 como ≈ 2.65.2 Las aproximaciones numéricas a veces son efecto del uso de una cantidad pequeña de dígitos significativos. La teoría de la aproximación es una rama de las matemáticas, una parte cuantitativa del análisis funcional. La aproximación diofántica se dedica a la aproximación de números reales por medio de números racionales. El símbolo doble tilde "≈" (entidad HTML ≈) significa "aproximadamente igual a". La tilde (~) a veces se usa para indicar una aproximación de inferior calidad (p.ej. 92 ~ 100).


2.1.1 Cifras Significativas

Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos.

1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se deben desarrollar criterios para especificar qué tan precisos son los resultados obtenidos.

2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras.

Como aparece en [2], Las cifras significativas (o dígitos significativos) representan el uso de una escala de incertidumbre en determinadas aproximaciones.

El uso de éstas considera que el último dígito de aproximación es incierto, por ejemplo, al determinar el volumen de un líquido con una probeta cuya precisión es de 1 ml, implica una escala de incertidumbre de 0,5 ml. Así se puede decir que el volumen de 6 ml será realmente de 5,5 ml a 6,5 ml. El volumen anterior se representará entonces como (6.0 ± 0.5) ml. En caso de determinar valores más próximos se tendrían que utilizar otros instrumentos de mayor precisión, por ejemplo, una probeta de divisiones más finas y así obtener (6.0 ± 0.1) ml o algo más satisfactorio según la precisión requerida.

El estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754) es el estándar más extendido para las computaciones en coma flotante, y es seguido por muchas de las mejoras de CPU y FPU. El estándar define formatos para la representación de números en coma flotante (incluyendo el cero) y valores desnormalizados, así como valores especiales como infinito y NaN, con un conjunto de operaciones en coma flotante que trabaja sobre estos valores. También especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuándo ocurren dichas excepciones y qué sucede en esos momentos).

IEEE 754 especifica cuatro formatos para la representación de valores en coma flotante: precisión simple (32 bits), precisión doble (64 bits), precisión simple extendida (≥ 43 bits, no usada normalmente) y precisión doble extendida (≥ 79 bits, usualmente implementada con 80 bits). Sólo los valores de 32 bits son requeridos por el estándar, los otros son opcionales. Muchos lenguajes especifican qué formatos y aritmética de la IEEE implementan, a pesar de que a veces son opcionales. Por ejemplo, el lenguaje de programación C, ahora permite pero no requiere la aritmética de la IEEE (el tipo de C float es típicamente usado para la precisión simple de la IEEE y el tipo double usa la precisión doble del la IEEE).

El título completo del estándar es IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985), y también es conocido por IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems (originalmente el número de referencia era IEC 559:1989).

Un número en coma flotante de precisión simple se almacena en una palabra de 32 bits.


1 8 23 <-- tamaño en bits +-+--------+-----------------------+ |S| Exp | Significante | +-+--------+-----------------------+ 31 30 23 22 0 <-- índice del bit (0 a la derecha) desplazado +127

donde S es el bit de signo y Exp es el campo exponente. (Para el signo: 0=Positivo ; 1= Negativo).

El exponente es desplazado en el un número en precisión simple, un exponente en el rango −126 a +127 es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 (0 y 255 tienen valores especiales descritos más adelante). Cuando se interpreta el valor en coma flotante, el número es desplazado de nuevo para obtener el exponente real.

El conjunto de valores posibles pueden ser divididos en los siguientes:

• ceros • números normalizados • números desnormalizados • infinitos • NaN (¬E, no es un número, como por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo)

Las clases se distinguen principalmente por el valor del campo Exp, siendo modificada ésta por el campo fracción. Considera Exp y Fracción como campos de números binarios sin signo (Exp se encuentra en el rango 0–255):

Clase Exp FracciónCeros 0 0Números desnormalizados 0 distinto de 0Números normalizados 1-254 cualquieraInfinitos 255 0NaN (Not a Number) 255 distinto de 0

Para números normalizados, los más comunes, Exp es el exponente desplazado y Fracción es la parte fraccional del significante (o significando). El número tiene valor v:

v = s × 2e × m

Dondes = +1 (números positivos) cuando S es 0s = −1 (números negativos) cuando S es 1e = Exp − 127 (en otras palabras, al exponente se le suma 127 y se almacena, a esto también se le llama "biased with 127" en inglés)m = 1,Fracción en binario (esto es, el significando es el número binario 1 seguido por la coma decimal seguido por los bits de Fracción). Por lo tanto, 1 ≤ m < 2.


Notas:1. Los números desnormalizados son iguales excepto que e = −126 y m = 0,Fracción. (e NO es

-127 : el significando ha de ser desplazado a la derecha por un bit más, de forma que incluya el bit principal, que no siempre es 1 en este caso. Esto se balancea incrementando el exponente a -126 para el cálculo.)

2. −126 es el menor exponente para un número desnormalizado 3. Hay dos ceros. +0 (S es 0) y −0 (S es 1) 4. Hay dos infinitos +∞ (S es 0) y −∞ (S es 1) 5. Los NaN s pueden tener un signo y un significando, pero estos no tienen otro significado que el

que puedan aportar en pruebas de diagnóstico; el primer bit del significando es a menudo utilizado para distinguir NaN s señalizados de NaN s silenciosos

6. los NaNs y los infinitos tienen todos los bits a 1 en el campo Exp.

2.1.2 Exactitud y Precisión

La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero.

La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros.

La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad.

La imprecisión, por otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores.

Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería.


2.2 Errores

El concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas es fundamental hacer un seguimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el grado de aproximación de la solución que se obtiene.

Si |error absoluto| < ε, decimos que ε es una cota de error absoluto. Entonces la ε relativa es:

Los errores asociados a todo cálculo numérico tienen su origen en dos grandes factores: Aquellos que son inherentes a la formulación del problema y los que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

Dentro del grupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemática del problema es sólo una aproximación a la situación física real. Estos errores son normalmente despreciables; por ejemplo, el que se comete al obviar los efectos relativistas en la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente de la precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.

Otra fuente de este tipo de errores tiene su origen en la imprecisión de los datos físicos: constantes físicas y datos empíricos. En el caso de errores en la medida de los datos empíricos y teniendo en cuenta su carácter generalmente aleatorio, su tratamiento analítico es especialmente complejo pero imprescindible para contrastar el resultado obtenido computacionalmente.

En lo que se refiere al segundo tipo de error (error computacional), tres son sus fuentes principales:

1. Equivocaciones en la realización de las operaciones (errores de bulto). Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya realizado cálculos manualmente o empleando una calculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de que este tipo de errores se produzcan. Sin embargo, no es despreciable la probabilidad de que el programador cometa uno de estos errores (calculando correctamente el resultado erróneo). Más aún, la presencia de bugs no detectados en el compilador o en el software del sistema no es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada es razonablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser ignorada. Sin embargo, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.


2. El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante algún tipo de aproximación. Generalmente está causado por la sustitución de un infinito (sumatorio o integración) o un infinitesimal (diferenciación) por una aproximación finita. Algunos ejemplos son:

• El cálculo de una función elemental (por ejemplo, Seno x) empleando sólo n términos de los infinitos que constituyen la expansión en serie de Taylor.

• Aproximación de la integral de una función por una suma finita de los valores de la función, como la empleada en la regla del trapezoide.

• Resolución de una ecuación diferencial reemplazando las derivadas por una aproximación (diferencias finitas).

• Solución de la ecuación f(x) = 0 por el método de Newton-Raphson: proceso iterativo que, en general, converge sólo cuando el número de iteraciones tiende a infinito.

Denominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya que resulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. Obviamente, estamos interesados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico.

3. Por último, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su origen en el hecho de que los cálculos aritméticos no pueden realizarse con precisión ilimitada. Muchos números requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embargo, para operar con ellos es necesario redondearlos. Incluso en el caso en que un número pueda representarse exactamente, algunas operaciones aritméticas pueden dar lugar a la aparición de errores (las divisiones pueden producir números que deben ser redondeados y las multiplicaciones dar lugar a más dígitos de los que se pueden almacenar). El error que se introduce al redondear un número se denomina error de redondeo.


2.2.1 Errores de Redondeo

El error de aproximación o error numérico es una medida del ajuste de la medida o cálculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. Un aspecto importante de los errores de aproximación es su estabilidad numérica. Dicha estabilidad se refiere a como dentro de un algoritmo de análisis numérico el error de aproximación es propagado dentro del propio algoritmo.

Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre e17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo

Por ejemplo, el valor de “e” se conoce como 2.718281828… hasta el infinito. Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo un error “E” de:

E = 2.718281828 −2.71828182 = 0.000000008…

Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de:

E = 2.118281828 −2.11828183 = −0.000000002..

que en términos absolutos es mucho menor que el anterior.

En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas.

Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande o muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio por metro expresado en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3 776.7696.

Ahora, si introducimos una variación del 1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 1.01 = 507.2523 , que en US$ equivalen a US$3 814.537296, lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 1% en el metraje del producto nos da un error considerable en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta).

En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo “n” veces.


2.2.2 Errores de Propagación

En muchos casos podrá plantearnos el problema de acceder a mediciones de ciertas magnitudes a través de otras en forma indirecta, ya sea por no poseer los instrumentos adecuados o por sólo poseer una expresión matemática a través de la cual se la define cuantitativamente.

Tal es el caso del volumen de un cuerpo q través de las longitudes de sus aristas, o el caudal de un río a través del volumen por minuto de agua que circula, etc. Reflexionando podemos concluir que el Vm de la medición indirecta dependerá de los valores promedios o mejores valores de las magnitudes que se miden en forma directa.

Para facilitar el proceso de acotación de los errores ejemplificaremos con:

a) Si V = A + B entonces EV = EA + EB b) Si V = A . B entonces ERV = ERA ERB c) Si V = A/ B entonces ERV = ERA + ERB d) Si V = An entonces ERV = n ERA

Ocurre que al medir las distintas magnitudes directas, no todas son medidas con el mismo número de cifras significativas. En este caso, se tomará como criterio determinar el orden del error de la magnitud indirect a como aquella del orden de la menor número de cifras significativas. Para ello se realizará el redondeo correspondiente.

2.2.3 Error Numérico Total

El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo.

Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo).

Entonces, ¿qué criterio utilizamos? …lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento.

En la práctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total.


Autoevaluación

Relaciona ambas columnas (50%)

(CHP) disciplina ocupada de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas matemáticos, en los que estén involucra-das cantidades Numéricas, con una precisión deter-minada.

(DCT) Resolución para las raíces de una ecuación no lineal. • Resolución de grandes sistemas de ecuaciones li-neales.• Obtención de las soluciones de un sistema de ecuaciones no lineales, son:

(DPG) representación inexacta de algo

(EGM) representan el uso de una escalade incertidumbre en determinadas aproximaciones.

(HCA) se refiere a que tan cercano esta el valor calculado o medido del valor verdadero.

HCA.- Exactitud

DPG .-Aproximación

DRG.- electrónica analógica

CHP.- Análisis Numérico

TCM.- Error numérico total

EGM.- Cifras Significativas

DCT.- Operaciones de análisis numérico


Subraya la respuesta correcta (20%)

1.-Diferencia entre el valor real y el valor de medición

(a) Error absoluto (b) error relativo (c) error de truncamiento (d) error redondeo

2.-Error que se obtiene por el cociente del error absoluto entre el valor real


3.- Es una medida del ajuste de la medida o calculo de una magnitud con respecto al valor real o teórico que dicha magnitud tiene. También llamado error de aproximación o error numérico.


4.- Cortar el número de términos,Introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa genera este tipo de errores.


5.- Se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento Introducidos en el cálculo.

(a) Error absoluto (b) errores de propagación (c) error de truncamiento (d) error numérico total

Resuelve los siguientes ejercicios (30%)

Exprese las siguientes cantidades decimales en formato IEEE 754, es decir en punto flotante, utilizando 32 bits.

1. 13122. 0.3533. 3454. 0.05. 801


Unidad III Solución de Ecuaciones Algebraicas

Objetivo EducacionalEl alumno conocerá y aplicará los métodos numéricos en la solución de ecuaciones algebraicas.

Actividades de Aprendizaje• Identificar las características de los métodos de intervalos.• Identificar y aplicar el método de la posición falsa en la solución de problemas. • Identificar y aplicar el método de la bisección en la solución de problemas. • Identificar y aplicar el método de dos puntos y orden de convergencia en la solución de

problemas. • Identificar las características de los métodos abiertos. • Identificar y aplicar el método del punto fijo, Newton-Raphson y secante en la solución de

problemas. Comparar los resultados analítico y computacional. • Identificar las características de los métodos de obtención de Raíces de polinomios. • Identificar y aplicar el método de Newton- Raphson para raíces complejas. • Analizar la aproximación y convergencia de los métodos estudiados.

Bibliografía

[1] “Métodos Numéricos. Antología”; Giron Jimenez, Ulises; Instituto Tecnológico Superior de Acayucan; 2009.[2] “Métodos Numéricos para Ingenieros”;Chapra Steven y Canale R.; Ed. Mc-Graw Hill .[3] “Métodos Numéricos Básicos para Ingeniería. Con implementaciones en MATLAB y EXCEL”; Carlos Armando De Castro Payares ; GRUMAI; Colombia; http://sites.google.com/site/matematicasingenieria/metodos_numericos_ingenieria[4] “Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Hoffman, Jon D.; Marcel dekker Inc.; Second Edition; 2001[5] “La Enciclopedia Libre”; http://es.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Portada


3.1 Método de Intervalos

A estas técnicas se les llama métodos que usan intervalos porque se necesitan de dos valores iniciales para la raíz. Como su nombre lo indica, estos valores deben encerrar o estar uno de cada lado de la raíz. Los métodos particulares descritos sobre este punto emplean diferentes estrategias para reducir sistemáticamente el tamaño del intervalo y así converger a la respuesta correcta. Además de la utilidad de los métodos gráficos para determinar valores iniciales, también son útiles para visualizar las propiedades de las funciones y el comportamiento de los métodos numéricos.

Métodos de Dominio Cerrado, son métodos que se inician con dos valores de x que contienen la raíz, x = c, y reducen sistemáticamente el intervalo, manteniendo la raíz atrapado dentro del intervalo. Dos de estos métodos son:

1. Método de Bisección o División del Intervalo2. Método de la Posición Falsa o Regula Falsi

Métodos cerrados son robustos en el sentido que garantizan obtener una solución ya que la raíz se encuentra atrapada en el intervalo cerrado. Estos pueden ser lentos para converger.

Los métodos de dominio abierto no restringen la raíz a permanecer atrapada en un intervalo cerrado. En consecuencia, no son tan robustos como los métodos de dominio cerrado y pueden divergir en realidad. Sin embargo, utilizan la información acerca de la función no lineal en sí para refinar las estimaciones de la raíz. Por lo tanto, son considerablemente más eficiente que los métodos de intervalo cerrado. Cuatro métodos de dominio abierto son:

1. Método de iterativo de Punto Fijo2, Método de Newton3. Método de la secante4. Método de Muller


3.1.1 Método de Posición Falsa

El método de regula falsi (regla falsa) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Se busca una solución de la ecuación f(x) = 0, una raíz de f. Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase el teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

A partir de un intervalo [ak, bk] se calcula un punto interior ck:

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak)) y (b,f(bk)) con el eje de abscisas (igual a como se hace en el método de la secante).

Se evalúa entonces f(ck). Si es suficientemente pequeño, ck es la raíz buscada. Si no, el próximo intervalo [ak+1, bk+1] será:

• [ak, ck] si f(ak) y f(ck) tienen signos opuestos; • [ck, bk] en caso contrario.


ck=f (bk )ak− f (ak)bkf (bk )− f (ak)

3.1.2 Método de la Bisección

Una vez que se ha ubicado una raíz de una ecuación dentro de un intervalo, es posible utilizar varios métodos para acercarse a esta raíz. Los métodos de búsqueda incremental se aprovechan de esta característica para localizar un intervalo donde la función cambie de signo. Por lo tanto, la localización del cambio de signo, se logra más exactamente dividiendo el intervalo en una cantidad definida de subintervalos.

El método de bisección logra esto mediante la sucesiva reducción a la mitad del intervalo hasta que se vuelve lo suficientemente pequeño. Esta técnica también se conoce como el método de reducción a la mitad del intervalo. Bisección no es el método más rápido disponible para el cálculo de las raíces, pero es el más confiable. Una vez que la raíz ha sido puesto entre paréntesis, se bisección siempre se acercará a ella.

El método de bisección conocido también como de corte binario, de partición en dos intervalos iguales o método Bolzano, es un método de búsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre en dos. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximación.

El intervalo que contiene a la raíz, [a,b], puede ser dividido promediando a y b, mediante c = (a+b)/2. Este punto medio se evalúa para determinar su signo y decidir la siguiente acción utilizando los siguientes criterios:

• Si f(a)*f(c) < 0, a=a y b=c• Si f(a)*f(c) > 0, a=c y b=b

El proceso se repite hasta alcanzar alguna condición específica.


El método de Bisección tiene varias desventajas, entre estas podemos mencionar:

• La raíz que se busca debe estar localizada dentro de los límites del intervalo inicial para garantizar que el método converja adecuadamente.

• El máximo error en la raíz está dado por el valor absoluto del ancho del intervalo, es decir por: error = |bn-an|

• El número de iteraciones, n, necesarias para reducir el intervalo inicial (bo-ao) a un intervalo de tamaño especifico (bn-an), se puede calcular mediante:

(bn−an)=(1

2n)(b0−a0)

• La mayor desventaja es que la solución converge muy lentamente, es decir que puede tomar un gran número de iteraciones alcanzar algún criterio de convergencia.


3.1.3 Método de Dos Puntos y Orden de Convergencia


3.2 Métodos Abiertos

Los métodos de dominio abierto no restringen la raíz a permanecer atrapado en un intervalo cerrado. En consecuencia, no son tan robustos como los métodos de dominio cerrado y pueden divergir en realidad. Sin embargo, utilizan la información acerca de la función no lineal en sí para refinar las estimaciones de la raíz. Por lo tanto, son considerablemente más eficiente que los métodos de intervalo cerrado. Cuatro métodos de dominio abierto son:

1. Método Iterativo de Punto Fijo2, Método de Newton o Newton-Raphson3. Método de la Secante4. Método de Muller


3.2.1 Método de Punto Fijo

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma f(x), siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación f(x) = 0 en la forma

x = g(x).

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de x, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que ocurra convergencia, la derivada (dg / dx) debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en x de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad €.

Algoritmo para iteración de punto fijo

1. Se ubica la ráiz de f(x) analizando la gráfica.2. Se obtiene un despeje x = g(x) de la función.3. Obtenemos de x = g(x) su derivada g'(x).4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ g'(x) ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.5. Con R buscamos la raíz en g(x), es decir g(R) = R haciendo iteración de las operaciones.


3.2.2 Método de Newton-Raphson

El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

El método de Newton fue descrito por Isaac Newton en De analysi per aequationes número terminorum infinitas (escrito en 1669, publicado en 1711 por William Jones) y en De metodis fluxionum et serierum infinitarum (escrito en 1671, traducido y publicado como Método de las fluxiones en 1736 por John Colson). Sin embargo, su descripción difiere en forma sustancial de la descripción moderna presentada más arriba: Newton aplicaba el método solo a polinomios, y no consideraba las aproximaciones sucesivas xn, sino que calculaba una secuencia de polinomios para llegar a la aproximación de la raíz x. Finalmente, Newton ve el método como puramente algebraico y falla al no ver la conexión con el cálculo.

Isaac Newton probablemente derivó su método de forma similar aunque menos precisa del método de François Viète. La esencia del método de Viète puede encontrarse en el trabajo del matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi.

El método de Newton-Raphson es llamado así por la razón de que el matemático inglés Joseph Raphson (contemporáneo de Newton) se hizo miembro de la Royal Society en 1691 por su libro aequationum universalis Análisis que publico en 1690 y el cual contenía este método para aproximar raíces. Mientras que Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método escrito en 1671, pero publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado casi 50 años antes, aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton y se le reconoció posteriormente.

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.


Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n:

Donde f ' denota la derivada de f.

Note que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.


xn+1= xn−f (xn)

f ' ( xn)

3.2.3 Método de la Secante

El método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.

Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.

En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

El método se define por la relación de recurrencia:

Como se puede ver, este método necesitará dos aproximaciones iniciales de la raíz para poder inducir una pendiente inicial.

En caso de que la aproximación inicial sea demasiado lejana o la raíz no sea simple, este método no asegura la convergencia y tiene un comportamiento similar al de Newton-Raphson.

Comparación entre métodos de búsqueda de raíces

El método de bisección necesita de muchas iteraciones comparado con el método de la secante, ya que el proceso que éste sigue es mucho más preciso que el de bisección, el cual solo divide por mitades sucesivamente hasta dar con un valor aproximado al real y por consecuente conlleva un número significativamente mayor de iteraciones.

El método de la regla falsa utiliza la misma fórmula que el método de la secante. Sin embargo, no se aplica la fórmula en xn−1 y xn, como el método de la secante, pero en xn y en la última iteración xk tal que f(xk) y f(xn) tiene un signo diferente. Esto significa que el método de regla falsa siempre converge.

La fórmula de recurrencia del método de la secante se puede derivar de la fórmula para el método de Newton-Raphson:


xn+1= xn−xn−xn−1

f (xn)− f (xn−1)f (xn)

utilizando la aproximación de diferencias finitas:

Si comparamos el método de Newton-Raphson con el método de la secante, vemos que el método de Newton-Raphson converge más rápido (para 2 en contra α ≈ 1,6). Sin embargo, el método de Newton-Raphson requiere la evaluación de ambos f y su derivada en cada paso, mientras que el método de la secante sólo requiere la evaluación de f. Por lo tanto, el método de la secante puede muy bien ser más rápido en la práctica.


xn+1= xn−f (xn)f ' ( xn)

f ' ( xn−1)≈f ( xn−1)− f ( xn−2)xn−1− xn−2

3.3 Raíz de Polinomios

En matemáticas , se le llama polinomio a la suma de varios monomios. Un monomio está compuesto de coeficientes, variables y exponentes. La suma de monomios constituye un polinomio.

P(x) = 5x2

Es un monomio con coeficiente 5, variable x y exponente 2. El grado de este monomio es 2.

El grado de un monomio es su exponente. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado. En el polinomio , existe el término independiente , que es un monomio que no tiene parte literal , es decir que no tiene variables o letras que lo acompañen, algunos ejemplos:

P(x) = 2, polinomio de grado cero. P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 2x2+ 3x + 2, polinomio de grado dos.

La resolución de ecuaciones algebraicas, o la determinación de las raíces de polinomios, está entre los problemas más antiguos de la matemática. Sin embargo, la elegante y práctica notación que utilizamos actualmente se desarrolló a partir del siglo XV.

En el problema 14º del papiro de Moscú (ca. 1890 a. C.) se pide calcular el volumen de un tronco de pirámide cuadrangular. El escriba expone los pasos: eleva al cuadrado 2 y 4, multiplica 2 por 4, suma los anteriores resultados y multiplícalo por un tercio de 6 (h); finaliza diciendo: «ves, es 56, lo has calculado correctamente». En notación algebraica actual sería: V = h (t² + b² + tb) / 3, un polinomio de cuatro variables (V, h, t, b) que, conociendo tres, permite obtener la cuarta variable.

Algunos polinomios, como f(x) = x² + 1, no tienen ninguna raíz que sea número real. Sin embargo, si el conjunto de las raíces posibles se extiende a los números complejos, todo polinomio (no constante) tiene una raíz: ese es el enunciado del teorema fundamental del álgebra.

Hay una diferencia entre la aproximación de raíces y el descubrimiento de fórmulas concretas para ellas. Se conocen fórmulas de polinomios de hasta cuarto grado desde el siglo XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Pero, las fórmulas para polinomios de quinto grado fueron irresolubles para los investigadores durante mucho tiempo. En 1824, Niels Henrik Abel demostró que no puede haber fórmulas generales para los polinomios de quinto grado o mayores (ver el teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcó el comienzo de la teoría de Galois que se ocupa del estudio detallado de las relaciones existentes entre las raíces de los polinomios.

La máquina diferencial de Charles Babbage fue diseñada para crear automáticamente tablas de valores de funciones logarítmicas y diferenciales, evaluando aproximaciones polinómicas en muchos puntos, usando el método de las diferencias de Newton.


3.3.1 Método de Newton-Raphson para raíces complejas

El el método de Newton base puede encontrar raíces complejas mediante el uso de aritmética compleja eligiendo una primera aproximación compleja.

Véase [4] para más detalles.


Unidad IVSolución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales y

valores característicos

Objetivo EducacionalEl alumno aplicará los métodos numéricos para la solución de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales.

Actividades de Aprendizaje• Identificar los sistemas de ecuaciones lineales. • Identificar y Aplicar los Métodos de Gauss, Gauss-Jordan y Gauss-Seidel en la solución de

problemas. Comparar los resultados analítico y computacional. • Comparar las ventajas y desventajas de cada método. • Investigar problemas de ingeniería que se resuelven por medio de sistemas de ecuaciones

lineales. • Identificar los sistemas de ecuaciones no lineales. • Identificar y Aplicar computacionalmente el método de Newton-Raphson para sistemas no

lineales en la solución de problemas. • Identificar los valores característicos • Aplicar el método iterativo para determinar valores característicos. Comparar los resultados

analítico y computacional.

Bibliografía

[1] “Métodos Numéricos para ingenieros”;Chapra Steven y Canale R.; Ed. Mc-Graw Hill .[2] “Métodos Numéricos Básicos para Ingeniería. Con implementaciones en MATLAB y EXCEL”; Carlos Armando De Castro Payares ; GRUMAI; Colombia; http://sites.google.com/site/matematicasingenieria/metodos_numericos_ingenieria[3] “Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Hoffman, Jon D.; Marcel dekker Inc.; Second Edition; 2001[4] “Método de Gauss”; Colavecchia, Flavio; en sitio web: http://www.fabb.uns.edu.ar/metodosnumericos/matricesfortran90/matrices/node3.html[5] “Método de Gauss-Jordan”; Norato Valencia, Jesús; en sitio web: http://proton.ucting.udg.mx/~jnorato/materias/metodos/matrix/gj/Gaussjor.htm


4.1 Sistemas de ecuaciones lineales

En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

{3x +2y +z = 12x +2y +4z = −2

−x +12

y −z = 0

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x,y,z que satisfacen las tres ecuaciones.

El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución. • Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

• Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones. • Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.


4.1.1 Método de Gauss.

El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incógnitas en uno escalonado, en la que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1 incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

Sabemos que existen diversas operaciones elementales que se pueden realizar en estos sistemas de ecuaciones:

• Se pueden intercambiar el orden de dos ecuaciones • Se puede reemplazar una ecuación por una combinación lineal de esta ecuación y otra. • Se pueden intercambiar las incógnitas.

Estas operaciones no alteran la solución. Cada una de estas operaciones implica realizar determinados cambios en la matriz A y en b. Por otra parte, es claro que la resolución de un sistema de ecuaciones en los cuales A es una matriz triangular superior o inferior es muy sencilla.

El método de Gauss consiste en realizar n operaciones elementales sobre la matriz A de modo tal que se pueda obtener una forma triangular superior o inferior de dicha matriz, procediendo a resolver este último problema mediante sustituciones.

Una explicación del algoritmo se puede encontrar en: http://www.fabb.uns.edu.ar/metodosnumericos/matricesfortran90/matrices/node3.html

Tomando como referencia la explicación del método de Gauss-Jordan dada en: http://proton.ucting.udg.mx/~jnorato/materias/metodos/matrix/gj/Gaussjor.htm

se implementó en Scilab un algoritmo para obtener la matriz triangular y resolver por sustitución hacia atrás un sistemas de ecuaciones. Este archivo para Scilab pude descargarse desde el sitio web http://moodle.myinvent.net.


4.1.2 Método de Gauss-Jordan.

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

A continuación presentamos un ejemplo donde se aplica el método de Gauss-Jordan para resolver un sistema de ecuaciones lineales. Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

En primer lugar, reducimos la incógnita X, sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por 3/2, y a la tercera, la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita Y en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos la segunda multiplicada por -2 y por -4, respectivamente.

Por último, eliminamos la Z, tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada por -2 y por 1/2 , respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:


(2 1 −1 8

012

12

1

0 2 1 5)

(2 0 −2 6

012

12

1

0 0 −1 1)

(2 0 0 4

012

032

0 0 −1 1)

{2x + y −z = 8

−3x − y −2z = −11−2x + y +2z = −3

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: 1/2, 2 y -1 , respectivamente, y obtener así automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.


{2x = 4y2

=32

−z = 1

{x = 2y = 3z = −1

4.1.3 Método de Gauss-Seidel.

En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método de Jacobi.

Aunque este método puede aplicarse a cualquier sistema de ecuaciones lineales que produzca una matriz (cuadrada, naturalmente pues para que exista solución el sistema debe tener tantas ecuaciones como incógnitas) de coeficientes con los elementos de su diagonal no-nulos, la convergencia del método solo se garantiza si la matriz es diagonalmente dominante o si es simétrica y, a la vez, definida positiva.

Una matriz es diagonalmente dominante si el valor absoluto de cada elemento en la diagonal principal es igual o mayor que la suma de los valores absolutos de todos los otros elementos en el renglón. los métodos iterativos no convergen para todos los conjuntos de ecuaciones. Una diagonal dominante es una condición suficiente para la convergencia de métodos iterativos como el de Jacobi y Gauss-Seidel para cualquier vector solución inicial.

Algunos sistemas que no son diagonalmente dominantes pueden ser acomodados intercambiando renglones. Algunos otros sistemas pueden converger para ciertos vectores solución iniciales, pero la convergencia no está garantizada.

Los métodos iterativos no deben ser usados para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales que no pueden ser hechos diagonalmente dominantes.

Ejemplo:

Resuelva utilizando Gauss-Seidel, el siguiente sistema de ecuaciones:

Despejando una incógnita de cada ecuación en donde tiene el coeficiente de mayor valor:

Después se necesita iniciar con las iteraciones,el valor inicial no es importante lo importante es usar las iteraciones necesarias, para darte cuenta cuantas iteraciones son necesarias necesitas observar cuando


{3x − y +z = 1x −5y +z = 8x − y +4z = 11

{x =

1+ y−z3

y =8−x−z

−5

z =11−x+ y

4

los decimales se estabilicen en dos decimales o más decimales, pero tenga en cuenta que debe de seguir con las iteraciones aunque una de las variables sea estable si las demas no han llegado al valor buscado.

Se sustituye los valores en los despejes, usando para cada despeje el nuevo valor encontrado y en la tabla se muestran los resultados estimados para las variables y podemos observar que los decimales se estabilizaron en dos decimales.

k-esima iteración x y z0 0 0 0

1 0.333 -1.600 2.7502 -1.117 -0.983 2.267

3 -0.750 -1.370 2.7834 -1.051 -1.193 2.595

... ... ... ...10 -0.982 -1.259 2.679

11 -0.979 -1.261 2.68112 -0.980 -1.260 2.680

13 -0.980 -1.260 2.680-0.980 -1.260 2.680


4.2 Sistemas de ecuaciones no lineales


4.2.1 Método de Newton-Raphson para sistemas no lineales.


4.3 Valores característicos


4.3.1 Método iterativo para determinar valores característicos


Unidad VAjuste de Funciones

Objetivo EducacionalEl alumno aplicará métodos de interpolación y de ajuste de funciones en la solución de problemas.

Actividades de Aprendizaje• Investigar el concepto de interpolación y sus aplicaciones en ingeniería. Discutir los resultados

en forma grupal. • Identificar y aplicar computacionalmente métodos de interpolación en la solución de problemas. • Identificar y aplicar computacionalmente métodos de ajuste de funciones en la solución de

problemas.

Bibliografía

[1] “Métodos Numéricos. Antología”; Giron Jimenez, Ulises; Instituto Tecnológico Superior de Acayucan; 2009.

[2] “Métodos Numéricos para ingenieros”;Chapra Steven y Canale R.; Ed. Mc-Graw Hill .

[3] “Métodos Numéricos Básicos para Ingeniería. Con implementaciones en MATLAB y EXCEL”; Carlos Armando De Castro Payares ; GRUMAI; Colombia; http://sites.google.com/site/matematicasingenieria/metodos_numericos_ingenieria

[4] “Numerical Methods for Engineers and Scientists”, Hoffman, Jon D.; Marcel dekker Inc.; Second Edition; 2001


5.1 Interpolación

Se denomina interpolación a la obtención de nuevos puntos partiendo del conocimiento de un conjunto discreto de puntos.

En ingeniería y algunas ciencias es frecuente disponer de un cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de un experimento y pretender construir una función que los ajuste.

Otro problema estrechamente ligado con el de la interpolación es la aproximación de una función complicada por una más simple. Si tenemos una función cuyo cálculo resulta costoso, podemos partir de un cierto número de sus valores e interpolar dichos datos construyendo una función más simple. En general, por supuesto, no obtendremos los mismos valores evaluando la función obtenida que si evaluásemos la función original, si bien dependiendo de las características del problema y del método de interpolación usado la ganancia en eficiencia puede compensar el error cometido.

En todo caso, se trata de, a partir de n parejas de puntos (xk, yk), obtener una función f que verifique:

a la que se denomina función interpolante de dichos puntos. A los puntos xk se les llama nodos. Algunas formas de interpolación que se utilizan con frecuencia son la interpolación lineal, la interpolación polinómica (de la cual la anterior es un caso particular), la interpolación por medio de spline o la interpolación polinómica de Hermite.


f (xk )= yk , k=1,… , n

5.1.1 Diferencias divididas de Newton para la interpolación de polinomios.

El caso más sencillo se presenta cuando queremos interpolar dos puntos, ,

obteniéndose la muy conocida función lineal que une dos puntos:

Si los puntos pertenecen a la gráfica de una función , la pendiente , que tiene una forma

de diferencias divididas, representa una aproximación muy global de la primera derivada de , con

variando en el intervalo .

En el caso de tres puntos , en principio se busca el polinomio de

interpolación de grado dos de la forma


5.1.2 Polinomio de Lagrange.

El polinomio de Lagrange, llamado así en honor a Joseph-Louis de Lagrange, es el polinomio que interpola un conjunto de puntos dado en la forma de Lagrange. Fue descubierto por Edward Waring en 1779 y redescubierto más tarde por Leonhard Euler en 1783.

Dado que existe un único polinomio interpolador para un determinado conjunto de puntos, resulta algo confuso llamar a este polinomio el polinomio interpolador de Lagrange. Un nombre más conciso es interpolación polinómica en la forma de Lagrange.

Dado un conjunto de k + 1 puntos

donde todos los xj se asumen distintos, el polinomio interpolador en la forma de Lagrange es la combinación lineal

de bases polinómicas de Lagrange


5.2 Aproximación

la regresión no lineal es un problema de inferencia para un modelo tipo:

basado en datos multidimensionales x,y, donde f es alguna función no lineal respecto a algunos parámetros desconocidos θ. Como mínimo, se pretende obtener los valores de los parámetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el método de los mínimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadística tales como intervalos de confianza para los parámetros así como pruebas de bondad de ajuste.

El objetivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresión no lineal. Cuando la función f toma la forma:

f(x) = ax2 + bx + c

la función f es no lineal en función de x pero lineal en función de los parámetros desconocidos a, b, yc. Este es el sentido del término "lineal" en el contexto de la regresión estadística. Los procedimientos computacionales para la regresión polinomial son procedimientos de regresión lineal (múltiple), en este caso con dos variables predictoras x y x2. Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresión no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias prácticas de esta mala interpretación conducen a que un procedimiento de optimización no lineal sea usado cuando en realidad hay una solución disponible en términos de regresión lineal. Paquetes (software) estadísticos consideran, por lo general, más alternativas de regresión lineal que de regresión no lineal en sus procedimientos.


5.2.1 Polinomial con números cuadrados.

Algunas veces cuando la relación entre las variables dependientes e independientes es no lineal, es útil incluir términos polinomiales para ayudar a explicar la variación de nuestra variable dependiente. Las regresiones polinomiales se pueden ajustar la variable independiente con varios términos


5.2.2 Multilineal con mínimos cuadrados.

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.


5.3 Ajuste por interpolación segmentaria (Spline)

El término "spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones. Un spline es una curva definida en porciones mediante polinomios.

En los problemas de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado.

Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar formas complicadas. La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador.

La Interpolación por Splines es un refinamiento de la interpolación polinómica que usa "pedazos" de varios polinomios en distintos intervalos de la función a interpolar para evitar problemas de oscilación como el llamado Fenómeno de Runge.


La idea es que agrupamos las abscisas en distintos intervalos según el grado del spline que convenga emplear en cada uno. Así, un spline será un polinomio interpolador de grado n de f para cada intervalo. A la postre, los distintos splines quedarán "unidos" recubriendo todas las abscisas e interpolando a la función.

El principal problema que presenta la interpolación por splines reside en los puntos que son comunes a dos intervalos (extremos). Por esos puntos deben pasar los splines de ambos intervalos, pero para que la interpolación sea ajustada, conviene que el punto de unión entre dos splines sea lo más "suave" posible (ej. evitar puntos angulosos), por lo que se pedirá también que en esos puntos ambos splines tengan derivada común. Esto no será siempre posible y, a menudo, se empleará otro tipo de interpolación, quizás una interpolación no-polinómica.


Unidad VIDiferenciación e Integración Numérica

Objetivo EducacionalEl alumno aplicará los métodos de derivación e integración numérica a problemas de ingeniería.

Actividades de Aprendizaje• Investigar las ventajas y desventajas de la derivación e integración numérica. Discutir los

resultados en forma grupal. • Identificar y calcular computacionalmente los métodos de integración numérica en la solución

de problemas. • Identificar y calcular computacionalmente los métodos de derivación numérica en la solución

de problemas.

Bibliografía






6.1 Integración


6.1.1 Método del trapecio

la regla del trapecio es un método de integración numérica, es decir, un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)). La integral de ésta es igual al área del trapecio bajo la gráfica de la función lineal. Se sigue que

y donde el término error corresponde a:

Siendo ξ un número perteneciente al intervalo [a,b].

Regla del Trapecio Compuesta

La regla del trapecio compuesta o regla de los trapecios es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en el intervalo [a,b]. De tal modo la integral definida:

representa el área de la región delimitada por la gráfica de f y el eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide el intervalo [a,b] en n subintervalos, cada uno de ancho Δx = (b − a) / n.

Después de realizar todo el proceso matemático se llega a la siguiente fórmula:

Donde

y n es el número de divisiones.


La expresión anterior también se puede escribir como:


6.1.2 Método de Simpson.

En análisis numérico, la regla o método de Simpson (nombrada así en honor de Thomas Simpson) y a veces llamada regla de Kepler es un método de integración numérica que se utiliza para obtener la aproximación de la integral:

.

Regla de Simpson 1/3

La regla de Simpson 1/3 utiliza tres puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de segundo grado.

Y el error es:

siendo ξ un número entre a y b.

Regla de Simpson 3/8

La regla de Simpson 3/8 utiliza cuatro puntos consecutivos en donde se evalúa la función a través de un polinomio de tercer grado.

.

Y el error es:

Siendo ξ un número entre a y b.


6.1.3 Método de Newton-Cotes.

En análisis numérico las fórmulas de Newton-Cotes (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales se evalúa la función en puntos equidistantes, para así hallar un valor aproximado de la integral. Cuanto más intervalos se divida la función más preciso será el resultado.

Este método es eficiente si se conocen los valores de la función en puntos igualmente separados. Si se pueden cambiar los puntos en los cuales la función es evaluada otros métodos como la cuadratura de Gauss son probablemente más eficientes


6.2 Diferenciación


6.2.1 Extrapolación de Richardson.

El método de extrapolación de Richardson, desarrollado por Lewis Fry Richardson (1881-1953), permite construir a partir de una secuencia convergente otra secuencia más rápidamente convergente. Esta técnica se usa frecuentemente para mejorar los resultados de métodos numéricos a partir de una estimación previa, de igual forma mejora la precisión en el cálculo numérico de la derivada de una función, partiendo de la base de la serie de Taylor. Este proceso es especialmente utilizado para definir un método de integración: el método de Romberg.


Unidad VIISolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y

parciales

Objetivo EducacionalEl alumno conocerá y aplicará métodos numéricos para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales.

Actividades de Aprendizaje• Investigar la importancia de las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales en ingeniería.

Comparar aplicaciones que utilicen ecuaciones diferenciales ordinarias. Discutir los resultados en forma grupal.

• Identificar los métodos de solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Aplicarlos computacionalmente en la solución de problemas de ingeniería.

• Identificar los métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Aplicarlos computacionalmente en la solución de problemas de ingeniería.

• Identificar los métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales parciales. Aplicarlos computacionalmente en la solución de problemas de ingeniería.

Bibliografía






7.1 Solución de ecuaciones diferenciales ordinarias


7.1.1 Métodos de Euler


7.1.2 Métodos de Runge-Kutta


7.2 Solución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias


7.3 Solución de ecuaciones diferenciales parciales


7.3.1 Método de las diferencias finitas


7.3.2 Método del elemento finito.


Antología de Análisis Numérico -ITSX

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