Antologia Simulación (Ing. Industrial)

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CENTLA

Academia de Informática ySistemas Computacionales

Antología

SCB-9310 SIMULACIÓN

Presenta

ROCÍO DE LA CRUZ HERNÁNDEZ

Revisado por los integrantes de la academia

de Informática y Sistemas Computacionales

Material compilado con fines académicos

Fecha elaboración: Junio 2009.

Institución Certificada Norma ISO 9001:2000


Material compilado con fines académicos, se prohíbe su reproducción total o parcial sin autorización de cada autor.

INTRODUCCIÓN................................

UNIDAD 1 ................................

INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN

1.1 Definición ................................

1.2 Conceptos básicos de modelación

1.3. Metodología de la Simulación

1.4. Sistemas, modelos y simulación

1.5 Estructura y etapa de un modelo de simulación

1.6. Etapas de un proyecto de Simulación

UNIDAD 2 ................................

NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

2.1 Generación de números pseudoaleatorios

Características de los números pseudoaleatorios

Métodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números pseudoaleatorios.................................................................

Métodos de generación de números pseudoaleatorios

2.2 Pruebas estadísticas de aleatoriedad

Ejemplo 4 ................................

UNIDAD 3 ................................

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS

3.1 Introducción ................................

3.2 Variables aleatorias discretas

3.2 Variables aleatorias continuas

UNIDAD 4 ................................

LENGUAJES DE SIMULACIÓN

4.1 Lenguajes de simulación y simuladores.

4.2 Aprendizaje y uso de un simulador

4.3 Casos prácticos de simulación

UNIDAD 5 ................................

INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CENTLA Academia de Informática y Sistemas Computacionales

Material compilado con fines académicos, se prohíbe su reproducción total o parcial sin autorización

Contenido

...........................................................................................................................

................................................................................................................................

INTRODUCCIÓN A LA SIMULACIÓN...........................................................................................

............................................................................................................................

1.2 Conceptos básicos de modelación ................................................................

de la Simulación.........................................................................................

1.4. Sistemas, modelos y simulación................................................................

1.5 Estructura y etapa de un modelo de simulación...............................................................

Etapas de un proyecto de Simulación ................................................................

................................................................................................................................

NUMEROS PSEUDOALEATORIOS ...............................................................................................

2.1 Generación de números pseudoaleatorios................................................................

Características de los números pseudoaleatorios ................................................................

Métodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números pseudoaleatorios.................................................................................................

Métodos de generación de números pseudoaleatorios.........................................................

2.2 Pruebas estadísticas de aleatoriedad................................................................

............................................................................................................................

................................................................................................................................

GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS ................................................................

................................................................................................

3.2 Variables aleatorias discretas............................................................................................

3.2 Variables aleatorias continuas ..........................................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................

4.1 Lenguajes de simulación y simuladores. ................................................................

4.2 Aprendizaje y uso de un simulador................................................................

4.3 Casos prácticos de simulación...........................................................................................

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INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE CENTLAmia de Informática y Sistemas Computacionales

Asignatura: SimulaciónMaterial compilado con fines académicos, se prohíbe su reproducción total o parcial sin autorización

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Métodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números pseudoaleatorios.................................................. 40

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UNIDAD INTEGRADORA ................................

5.1. CASO DE ESTUDIO ................................

5.2. Validación del sistema de simulación.



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5.2. Validación del sistema de simulación. ................................................................



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La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de la Ciencia de la Computación otoherramientas para apoyar el proceso de la toma de decisiones en diversas disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. La Simulación es una de las herramientas más importantes y más interdisciplinarias. En pocas palabras podemos decir, que la simulación realiza cuando la computadora finge ser una tienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define la estructura del sistema que quiere simular.

Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual será el comportamiento dinámico de su empresa o de la maquina que diseñando. Así podemos ver los pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuando un mecanismo pueda fallar en las condiciones adversas del ambiente donde funcionará.

Las aplicaciones de la simulación parecen no tener Actualmente se simulan los comportamientos hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de las epidemias, el sistema inmunológico humano, las plantas productivas, sucursales bancarirepartición de pizzas en la Ciudad de México, crecimiento de poblaciones de especies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los planetas y la evolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos de las aplicaciones de esta herramienta.

Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en la Investigación de operaciones y en sus aplicaciones industriales. En los países altamente desarrollados la simulación es una herramienta principal de en los procesos de toma de decisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la producción. Además, la Simulación es cada vez más “amigable” para el usuario, que no tiene que ser un especialista en computación.



INTRODUCCIÓN

La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de la Ciencia de la Computación otoherramientas para apoyar el proceso de la toma de decisiones en diversas disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. La Simulación es una de las herramientas más importantes y más interdisciplinarias. En pocas

cir, que la simulación realiza cuando la computadora finge ser una tienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define la estructura del sistema que quiere simular.

Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual portamiento dinámico de su empresa o de la maquina que

diseñando. Así podemos ver los pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuando un mecanismo pueda fallar en las condiciones adversas del ambiente donde funcionará.

s aplicaciones de la simulación parecen no tener Actualmente se simulan los comportamientos hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de las epidemias, el sistema inmunológico humano, las plantas productivas, sucursales bancarias, el sistema de repartición de pizzas en la Ciudad de México, crecimiento de poblaciones de especies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los planetas y la evolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos

de esta herramienta.

Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en la Investigación de operaciones y en sus aplicaciones industriales. En los países altamente desarrollados la simulación es una herramienta principal

e toma de decisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la producción. Además, la Simulación es cada vez más “amigable” para el usuario, que no tiene que ser un especialista en



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INTRODUCCIÓN

La creciente capacidad de las computadoras y la inmensa investigación en el campo de la Ciencia de la Computación otorgan nuevas herramientas para apoyar el proceso de la toma de decisiones en diversas disciplinas y áreas de diseño y manejo de la industria. La Simulación es una de las herramientas más importantes y más interdisciplinarias. En pocas

cir, que la simulación realiza cuando la computadora finge ser una tienda, un avión o un mercado de abarrotes. El usuario define

Una corrida del programa de simulación correspondiente le dice cual portamiento dinámico de su empresa o de la maquina que está

diseñando. Así podemos ver los pronósticos para la demanda y utilidad de nuestro producto, o ver cuando un mecanismo pueda fallar en las

s aplicaciones de la simulación parecen no tener límites. Actualmente se simulan los comportamientos hasta las partes más pequeñas de un mecanismo, el desarrollo de las epidemias, el sistema inmunológico

as, el sistema de repartición de pizzas en la Ciudad de México, crecimiento de poblaciones de especies de animales, partidos y torneos de fútbol, movimiento de los planetas y la evolución del universo, para mencionar unos pocos ejemplos

Cabe mencionar la creciente importancia de la Simulación en la Investigación de operaciones y en sus aplicaciones industriales. En los países altamente desarrollados la simulación es una herramienta principal

e toma de decisiones, en el manejo de empresas y el planeación de la producción. Además, la Simulación es cada vez más “amigable” para el usuario, que no tiene que ser un especialista en




Sus orígenes estándistribución que lleva su nombre, y los introdujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, laSimulación ha crecido como una fundamental en campos tanInformática o la Físicacomerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de predicción bursátil o meteorológica

También se considera a la la esencia de la realidad, el cual incluye la manipulación de un modelo

El uso de la metodologíaentre las cuales podemos mencionar las siguient



UNIDAD 1


1.1 De

La simulación consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la parte esencial del comportamiento de un sistema de interés, así como en diseñar y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados apoyar la toma de decisiones. se utiliza en el análisis de sistemas tan complejos que no es posible suanalítico o mediante métodosnuméricos.

están en los trabajos de Student para aproximar la que lleva su nombre, y los métodos que Von Neumann y Ulam

introdujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, laha crecido como una metodología de experimentación

fundamental en campos tan diversos como la Economía, la Física, y con enormes aplicaciones industriales y

omerciales, como los simuladores de vuelo, los juegos de simulaciónmeteorológica.

se considera a la simulación como un proceso para descrealidad, el cual incluye la construcción, experimentación

de un modelo complejo en un computador.

metodología de simulación ofrece ventajas y desventajas, podemos mencionar las siguientes:



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UNIDAD 1


1.1 Definición

La simulación consiste básicamente en construir modelos informáticos que describen la parte esencial del comportamiento de un

como en diseñar y realizar experimentos con el modelo y extraer conclusiones de sus resultados para

decisiones. Típicamente, de sistemas tan

complejos que no es posible su tratamiento métodos de análisis

trabajos de Student para aproximar la Neumann y Ulam

introdujeron para resolver ecuaciones integrales. Desde entonces, laexperimentación

, la estadística, la industriales y

simulación, o la

como un proceso para describir experimentación y

ofrece ventajas y desventajas,



Ventajas:1. La simulación

interacciones complejas de un

2. A través de la ambientales, organizacionales de cierta sistema.

3. La observaciónuna mejor comprensión

4. La experiencia al computadora es más valiosa que

La simulación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias para analizar y estudiar sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos que se resolvían en forma analítica. En casi todos estos modelos la meta era determinar soluciones ódebido a la complejidad, las relaciones estocásticas, etc., no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en forma de modelo.

Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como éstos, en general necesitan de tantas hipótesis de simplificación que es probable que las soluciones no sean buenas, o bien, sean inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia la única opción de modelado y análisis de que dispone quien toma decisiones es reproducir artificialmente un fenómeno o las relaciones entradaun sistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la experimentación en él son imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas, como en el entrenamiento de personal de operación, pilotos de aviones, etc.

¿Qué es la SIMULACIÓN? Existen innumerables definiciones de simulación, aquí se presentan algunas de las mas aceptadas:

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos ecomputadora digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas



simulación hace posible estudiar y experimentar con las interacciones complejas de un sistema dado (sin importar cual).

de la simulación podemos estudiar el efecto de cambios organizacionales de cierta información, en la

observación detallada del sistema simulado nos permite tener comprensión del mismo.

4. La experiencia al diseñar un modelo de simulaciónvaliosa que la simulación en sí.

ación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias para analizar y estudiar sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos que se resolvían en forma analítica. En casi todos estos modelos la meta era determinar soluciones óptimas. Sin embargo, debido a la complejidad, las relaciones estocásticas, etc., no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en

Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como ral necesitan de tantas hipótesis de simplificación que es

probable que las soluciones no sean buenas, o bien, sean inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia la única opción de modelado y análisis de que dispone quien toma decisiones es la simulación. Simular, es reproducir artificialmente un fenómeno o las relaciones entradaun sistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la experimentación en él son imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas,

el entrenamiento de personal de operación, pilotos de aviones, etc.

ué es la SIMULACIÓN? Existen innumerables definiciones de simulación, aquí se presentan algunas de las mas aceptadas:

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos ecomputadora digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y lógicas las cuales son necesarias para describir el



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hace posible estudiar y experimentar con las sistema dado (sin importar cual).

podemos estudiar el efecto de cambios , en la operación del

detallada del sistema simulado nos permite tener

simulación para

ación es una técnica muy poderosa y ampliamente usada en las ciencias para analizar y estudiar sistemas complejos. En Investigaciones se formularon modelos que se resolvían en forma analítica. En casi todos

ptimas. Sin embargo, debido a la complejidad, las relaciones estocásticas, etc., no todos los problemas del mundo real se pueden representar adecuadamente en

Cuando se intenta utilizar modelos analíticos para sistemas como ral necesitan de tantas hipótesis de simplificación que es

probable que las soluciones no sean buenas, o bien, sean inadecuadas para su realización. En eso caso, con frecuencia la única opción de modelado y

la simulación. Simular, es reproducir artificialmente un fenómeno o las relaciones entrada-salida de un sistema. Esto ocurre siempre cuando la operación de un sistema o la experimentación en él son imposibles, costosas, peligrosas o poco prácticas,

el entrenamiento de personal de operación, pilotos de aviones, etc.

ué es la SIMULACIÓN? Existen innumerables definiciones de simulación, aquí se presentan algunas de las mas aceptadas:

Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de

las cuales son necesarias para describir el



comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo

Thomas h. Naylor

Simulación es el desarrollo de un modelo lógico matemático de un sistema, de tal forma que se tiene una imitación de la operación de un proceso de la vida real o de un sistema a través del tiempo. La simulación involucra la generación de una historia artificial de un sistema, la observación de esta historia mediante la manipulación experimental, nos ayuda a inferir las características operacionales de tal sistema.

JERRY BANKS

Simulación es una técnica numérica para realizar expcomputadora digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de largos periodos de tiempo.

H. MAISEL Y G. GNUGNOLI

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación del sistema.

Robert. Shannon

Se describe comúnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de los resultados dependerá de la destreza del grupo que realiza y analiza el modelo. actualmente no existe una teoría científica para garantizar la validez de un proceso de simulación antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un modelo es evaluada por la correspondencia de los resultadcon los obtenidos por otros sistemas comparables con el que se está examinando.

¿COMO SE DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIÓN



comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.

Thomas h. Naylor

Simulación es el desarrollo de un modelo lógico matemático de un sistema, de tal forma que se tiene una imitación de la operación de un proceso de la vida real o de un sistema a través del tiempo. La simulación

ación de una historia artificial de un sistema, la observación de esta historia mediante la manipulación experimental, nos ayuda a inferir las características operacionales de tal sistema.

imulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de

tiempo.H. MAISEL Y G. GNUGNOLI

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación del

Robert. Shannon

Se describe comúnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de los resultados dependerá de la destreza del

y analiza el modelo. actualmente no existe una teoría científica para garantizar la validez de un proceso de simulación antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un modelo es evaluada por la correspondencia de los resultados del modelo con los obtenidos por otros sistemas comparables con el que se está

COMO SE DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIÓN?



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comportamiento y la estructura de sistemas complejos del mundo real a

Simulación es el desarrollo de un modelo lógico matemático de un sistema, de tal forma que se tiene una imitación de la operación de un proceso de la vida real o de un sistema a través del tiempo. La simulación

ación de una historia artificial de un sistema, la observación de esta historia mediante la manipulación experimental, nos ayuda a inferir las características operacionales de tal sistema.

erimentos en una computadora digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales, biológicos, físicos o químicos a través de

Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de criterios) para la operación del

Se describe comúnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de los resultados dependerá de la destreza del

y analiza el modelo. actualmente no existe una teoría científica para garantizar la validez de un proceso de simulación antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un

os del modelo con los obtenidos por otros sistemas comparables con el que se está



Colección de entradas que pasan a través de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:

Tipos de simulación:

Simulación Investigativa

MATERIA PRIMAPRESUPUESTOINFORMACIÓN

FACILIDADESSISTEMA DE

TRANSFORMACIÓN(distribución y asignación)

SISTEMA DE MANUFACTURAENTRADA PROCESO

CLIENTES

SISTEMA DE SERVICIO:SERVIDORES

DISCIPLINA DEL SERVICIOESPACIO DISPONIBLE

SISTEMA DE SERVICIOENTRADA PROCESO



Colección de entradas que pasan a través de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:

Tipos de simulación:

Simulación predectiva

Simulación comparativa

Simulación de caja negra

Simulación Visual

Interactiva

Simulación Investigativa

FACILIDADESSISTEMA DE

TRANSFORMACIÓN(distribución y asignación)

PRODUCTOTERMINADO

SISTEMA DE MANUFACTURAPROCESO SALIDA EVALUACIÓN

1. EFICIENCIA2. COSTOS DE TRANSFORMACIÓN3.INVENTARIO EN PROCESO4.TIEMPO DE PROCESO5.PRODUCCIÓN/HORA6.AREA OCUPADA

SISTEMA DE SERVICIO:SERVIDORES

DISCIPLINA DEL SERVICIOESPACIO DISPONIBLE

CLIENTE SATISFECHO

SISTEMA DE SERVICIOPROCESO SALIDA EVALUACIÓN



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Colección de entradas que pasan a través de las fases de cierto

Simulación comparativa

EVALUACIÓN

1. EFICIENCIA2. COSTOS DE TRANSFORMACIÓN3.INVENTARIO EN PROCESO4.TIEMPO DE PROCESO5.PRODUCCIÓN/HORA6.AREA OCUPADA

EVALUACIÓN

1. COSTO DEL SISTEMA2. TIEMPO EN LA COLA 3.TIEMPO EN EL SISTEMA4.LONGITUD DE COLA5. OCUPACIÓN DE LOS SERVIDORES



Simulación predictiva: En la simulación

absolutos finales, no por las comparaciones. Determinamos promedios e intervalos de confianza de una corrida de simulacióen las variables de decisión (varias corridas, mejores resultados).

Este tipo de simulación se puede utilizar para realizar pronósticos, por lo que es necesario contar con datos históricos de entrada confiables, se utiliza en procesos de decisiones que se repiten, por lo tanto debiera estar integrada en un DSS. Ejemplo: predecir el número de pacientes que necesitan transplante de riñon).

Simulación comparativaEn la simulación comparativa determinamos cuando una opción es

mejor que otra. (1 cola vs 4 colas).que significado tiene la palabra "mejor", para definir cuales serán los datos de salida a comparar. Mejor significa mantener las colas lo mas cortas posibles o es un compromiso entre tiempcosto por servidor?

Se puede usar para tomar decisiones casuales o repetitivas, utilizar datos de entrada y salidas confiablesproveerá de un rango variado de resultados, que le permitadefinir a posteriori la importancia relativa de cada uno de ellos.

Si los resultados o los datos de salida son claros se puede usar técnicas de hipótesis estadística de los resultados

Simulación Investigativa: La simulación investigativa i

entidades en el sistema pero no requiere de respuestas precisas, por lo que la calidad de los datos de entrada no son críticos.

Simulación visual interectiva: La técnica de simulación visual interactiva es adecuada

la toma de decisiones.



Simulación predictiva: En la simulación predictiva nos interesamos por los resultados

absolutos finales, no por las comparaciones. Determinamos promedios e intervalos de confianza de una corrida de simulación con valores específicos en las variables de decisión (varias corridas, mejores resultados).

Este tipo de simulación se puede utilizar para realizar pronósticos, por lo que es necesario contar con datos históricos de entrada confiables, se

ocesos de decisiones que se repiten, por lo tanto debiera estar integrada en un DSS. Ejemplo: predecir el número de pacientes que necesitan transplante de riñon).

Simulación comparativa:En la simulación comparativa determinamos cuando una opción es

r que otra. (1 cola vs 4 colas). Se debe especificar detalladamente que significado tiene la palabra "mejor", para definir cuales serán los datos de salida a comparar. Mejor significa mantener las colas lo mas cortas posibles o es un compromiso entre tiempo de servicio, largo de cola y

Se puede usar para tomar decisiones casuales o repetitivas, utilizar datos de entrada y salidas confiables. Si los objetivos no son claros,(*) se proveerá de un rango variado de resultados, que le permitadefinir a posteriori la importancia relativa de cada uno de ellos.

Si los resultados o los datos de salida son claros se puede usar técnicas de hipótesis estadística de los resultados

Simulación Investigativa: La simulación investigativa indica factores que afectan el flujo de

entidades en el sistema pero no requiere de respuestas precisas, por lo que la calidad de los datos de entrada no son críticos.

Simulación visual interectiva: La técnica de simulación visual interactiva es adecuada



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nos interesamos por los resultados absolutos finales, no por las comparaciones. Determinamos promedios e

n con valores específicos en las variables de decisión (varias corridas, mejores resultados).

Este tipo de simulación se puede utilizar para realizar pronósticos, por lo que es necesario contar con datos históricos de entrada confiables, se

ocesos de decisiones que se repiten, por lo tanto debiera estar integrada en un DSS. Ejemplo: predecir el número de pacientes que

En la simulación comparativa determinamos cuando una opción es Se debe especificar detalladamente

que significado tiene la palabra "mejor", para definir cuales serán los datos de salida a comparar. Mejor significa mantener las colas lo mas

o de servicio, largo de cola y

Se puede usar para tomar decisiones casuales o repetitivas, utilizar Si los objetivos no son claros,(*) se

proveerá de un rango variado de resultados, que le permitan al usuario definir a posteriori la importancia relativa de cada uno de ellos.

Si los resultados o los datos de salida son claros se puede usar

ndica factores que afectan el flujo de entidades en el sistema pero no requiere de respuestas precisas, por lo que

La técnica de simulación visual interactiva es adecuada para apoyar



Simulación de caja negraPensando al modelo como parte de un proceso de toma de

decisiones, es conveniente, a veces, considerar el modelo como una caja negra, de donde salen flechas con datos, derivados directameobjetivos (y que difieren de un problema a otro) y a donde ingresan flechas con datos relacionados estrechamente con las hipótesis de trabajo del modelo.

La simulación es un tema muy amplio y mal definido qimportante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los responsables de su operación.

Se entiende que el proceso de simulación incluye tanto la construcción del modelo como su uso analítico para estudiar un problema. Un modelosimulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas exactas disponibanalíticos, el proceso de simulación incluye la ejecución del modelo a través del tiempo, en general en una computadora, para generar nuestras representativas de las mediciones del desempeño o funcionamiento.

El primer paso a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación empírica. Sin embargo, a menudo es una combinación de ambas. Los propósitos de usar un modelo son l

Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lógicas de esta organización.

Favorece una mejor comprensión del sistema. Acelera análisis. Constituye un sistema de referencia para probar la aceptación de

las modificaciones del sistema. Es más fácil de manipular que el sistema mismo.



Simulación de caja negra:Pensando al modelo como parte de un proceso de toma de

decisiones, es conveniente, a veces, considerar el modelo como una caja negra, de donde salen flechas con datos, derivados directameobjetivos (y que difieren de un problema a otro) y a donde ingresan flechas con datos relacionados estrechamente con las hipótesis de trabajo

1.2 Conceptos básicos de modelación

La simulación es un tema muy amplio y mal definido qimportante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los responsables de su operación.

e entiende que el proceso de simulación incluye tanto la construcción del modelo como su uso analítico para estudiar un problema. Un modelosimulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés del sistema. En contraste con las soluciones matemáticas exactas disponibles en la mayoría de los modelos analíticos, el proceso de simulación incluye la ejecución del modelo a través del tiempo, en general en una computadora, para generar nuestras representativas de las mediciones del desempeño o funcionamiento.

o a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación empírica. Sin embargo, a menudo es una combinación de ambas. Los propósitos de usar un modelo son l

Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lógicas de esta organización.Favorece una mejor comprensión del sistema.

tituye un sistema de referencia para probar la aceptación de las modificaciones del sistema.Es más fácil de manipular que el sistema mismo.



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Pensando al modelo como parte de un proceso de toma de decisiones, es conveniente, a veces, considerar el modelo como una caja negra, de donde salen flechas con datos, derivados directamente de los objetivos (y que difieren de un problema a otro) y a donde ingresan flechas con datos relacionados estrechamente con las hipótesis de trabajo

básicos de modelación

La simulación es un tema muy amplio y mal definido que es muy importante para los responsables del diseño de sistemas, así como para los

e entiende que el proceso de simulación incluye tanto la construcción del modelo como su uso analítico para estudiar un problema. Un modelo de simulación comúnmente toma la forma de un conjunto de hipótesis acerca del funcionamiento del sistema, expresado con relaciones matemáticas o lógicas entre los objetos de interés del sistema. En contraste con las

les en la mayoría de los modelos analíticos, el proceso de simulación incluye la ejecución del modelo a través del tiempo, en general en una computadora, para generar nuestras representativas de las mediciones del desempeño o funcionamiento.

o a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación empírica. Sin embargo, a menudo es una combinación de ambas. Los propósitos de usar un modelo son los siguientes:

Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las

tituye un sistema de referencia para probar la aceptación de



Hace posible controlar más fuentes de variación que lo que permitiría el estudio directo de un sistema.

Suele ser menos costoso.

Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación, representa una buena alternativa para analizar el diseño y operación de co

La modelación de sistemas es una metodología aplicada y experimental que pretende:

1. Describir el comportamiento de sistemas.

2. Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemática.

3. Predecir un comportamiento producirán mediante cambios en el sistema o en su método de operación.

Definición de modelo

Un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. El propósito de losayudarnos a explicar, entender o mejorar un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste o una abstracción de las propiedades dominantes del objeto.

El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de representar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y manipular su medio. Un requerimiento básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones válidas sobre el comportamiento del sistema. características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de simulación:



Hace posible controlar más fuentes de variación que lo que permitiría el estudio directo de un sistema.

enos costoso.

Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación, representa una buena alternativa para analizar el diseño y operación de complejos procesos o sistemas.

La modelación de sistemas es una metodología aplicada y experimental que pretende:

Describir el comportamiento de sistemas.

Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones

Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirán mediante cambios en el sistema o en su método de

Definición de modelo

Un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. El propósito de losayudarnos a explicar, entender o mejorar un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste o una abstracción de las propiedades dominantes del objeto.

El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de epresentar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y

Un requerimiento básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones válidas sobre el comportamiento del sistema. Más generalmente, las características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de



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Hace posible controlar más fuentes de variación que lo que

Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación, representa una buena alternativa para analizar el

La modelación de sistemas es una metodología aplicada y

Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones

futuro, es decir, los efectos que se producirán mediante cambios en el sistema o en su método de

Un modelo es una representación de un objeto, sistema o idea, de forma diferente al de la entidad misma. El propósito de los modelos es ayudarnos a explicar, entender o mejorar un sistema. Un modelo de un objeto puede ser una réplica exacta de éste o una abstracción de las

El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de epresentar y expresar ideas y objetos para tratar de entender y

Un requerimiento básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para hacer predicciones

Más generalmente, las características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de



Un modelo se utiliza como clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de un modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar

Estructura de los modelos de simulación.

Los componentesles denomina elementos o subsistemas.

Las variables son aquellos valores que cambian dentro de la simulación y forman parte de funciones del modelo o de una función objetivo.

Los parámetros son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos los parámetros, son constantes y no varían dentro de la simulación.

"Las relaciones funcionalesvariables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Estas características operativas pueden ser de naturaleza determinística o estocástica. Las relaciones definiciones que relacionan ciertas variables o parámetros, donde una salida de proceso es singularmente determinada por una entrada dada. Las relaciones estocásticas

SISTEMA

ENTRADA

PARÁMETROScaracterística o

atributos del sistema



Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento alclasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de un modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar la validez de pensamientos.

Estructura de los modelos de simulación.

son las partes constituyentes del sistema. También se les denomina elementos o subsistemas.

son aquellos valores que cambian dentro de la orman parte de funciones del modelo o de una función

son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos los parámetros, son constantes y no varían dentro de la

relaciones funcionales muestran el comportamiento de las variables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Estas características operativas pueden ser de naturaleza determinística o estocástica. Las relaciones determinísticas son identidades o

es que relacionan ciertas variables o parámetros, donde una salida de proceso es singularmente determinada por una entrada dada.

estocásticas son aquellas en las que el proceso tiene de

SISTEMA

ENTRADAX

SALIDAY

MODELO

ENTRADA

SALIDA

CORRESPONDENCIA

INFERENCIA

CORRESPONDENCIA



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al organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de un modelo ayuda a

son las partes constituyentes del sistema. También se

son aquellos valores que cambian dentro de la orman parte de funciones del modelo o de una función

son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos los parámetros, son constantes y no varían dentro de la

n el comportamiento de las variables y parámetros dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Estas características operativas pueden ser de naturaleza

son identidades o es que relacionan ciertas variables o parámetros, donde una

salida de proceso es singularmente determinada por una entrada dada. son aquellas en las que el proceso tiene de

PARÁMETROScaracterística o

atributos demodelo



manera característica una salida indefinida para una edeterminada.

Las restriccionesvariables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o consumirse.

En las funciones de objetivosdel sistema y cómo se evaluarán, es una medida de la eficiencia del sistema.

El porque de los modelos se debe a las siguientes condiciones:

Complejidad de la interrelación entre factores que definen un sistema.

Preparación del tomador de decisiones.

Incapacidad de clapueden afectarse al implementar decisiones.

Diseño o modificación de sistemas evaluando diferentes alternativas.

Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones.

La inexistencia del sistema re

Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.

Características deseables de un modelo de simulación

Que sea completo Adaptabilidad Credibilidad Simplicidad (menor número de parámetros)



manera característica una salida indefinida para una e

son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o

funciones de objetivos se definen explícitamente los objetivos se evaluarán, es una medida de la eficiencia del


Complejidad de la interrelación entre factores que definen un

Preparación del tomador de decisiones.

Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e irrelevantes y cómo pueden afectarse al implementar decisiones.



La inexistencia del sistema real.

Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea


Que sea completo

cidad (menor número de parámetros)



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manera característica una salida indefinida para una entrada

son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en la cual los recursos pueden asignarse o

se definen explícitamente los objetivos se evaluarán, es una medida de la eficiencia del


Complejidad de la interrelación entre factores que definen un

sificar los hechos relevantes e irrelevantes y cómo



Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la posibilidad que el sistema implementado sea




Factible tanto en Información como en recursos Económico (EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO

BENEFICIO QUE SE OBTIENE)

Clasificación de los modelos

Los modelos pueden clasificarse de diversas modelos físicos tales como el modelo de un avión o, más generalmente, una réplica a escala de un sistema. Existen modelos esquemáticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. existen modelos simbólicos, de los cuales los que están basados en las matemáticas o en un código de computadora son simbólicos desempeñan funciones importantes en el diseño de los estudios de simulación de sistemas por medio de computadora.

Algunos modelos son estáticos; otros, dinámicos. Un modelo estático omite ya sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado de un sistema en determinado momento. En contraste, un modelo dinámico reconoce explícitamente el transcurso del tiempo. Además de proporcionar una secuencia de instantes del sistemmodelos dinámicos especifican relaciones entre los estados de un sistema en diferentes momentos.

Otra distinción es la referente a los modelos deterministas contra modelos estocásticos. En los primeros, todas las entrelaciones matemáticas o lógicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocástico, por lo menos una parte de la variación tienen una naturaleza casual. Por tanto, un investigador puede, a lo

$



Factible tanto en Información como en recursosEconómico (EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO BENEFICIO QUE SE OBTIENE)

Clasificación de los modelos

Los modelos pueden clasificarse de diversas maneras. Existen muchos modelos físicos tales como el modelo de un avión o, más generalmente, una réplica a escala de un sistema. Existen modelos esquemáticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. existen modelos simbólicos, de los cuales los

basados en las matemáticas o en un código de computadora son simbólicos desempeñan funciones importantes en el diseño de los estudios de simulación de sistemas por medio de computadora.

Algunos modelos son estáticos; otros, dinámicos. Un modelo estático mite ya sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado

de un sistema en determinado momento. En contraste, un modelo dinámico reconoce explícitamente el transcurso del tiempo. Además de proporcionar una secuencia de instantes del sistema en el transcurso del tiempo, algunos modelos dinámicos especifican relaciones entre los estados de un sistema en

Otra distinción es la referente a los modelos deterministas contra modelos estocásticos. En los primeros, todas las entidades establecen relaciones matemáticas o lógicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocástico, por lo menos una parte de la variación tienen una naturaleza casual. Por tanto, un investigador puede, a lo sumo, obtener soluciones promedio mediante

COSTO DEL MODELO

COSTO DEL ERROR

COMPLEJO DEL MODELO Y ERRORES (COMPLETO, EXACTO, ETC)



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Económico (EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO

maneras. Existen muchos modelos físicos tales como el modelo de un avión o, más generalmente, una réplica a escala de un sistema. Existen modelos esquemáticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. existen modelos simbólicos, de los cuales los

basados en las matemáticas o en un código de computadora son simbólicos desempeñan funciones importantes en el diseño de los estudios

Algunos modelos son estáticos; otros, dinámicos. Un modelo estático mite ya sea un reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado

de un sistema en determinado momento. En contraste, un modelo dinámico reconoce explícitamente el transcurso del tiempo. Además de proporcionar

a en el transcurso del tiempo, algunos modelos dinámicos especifican relaciones entre los estados de un sistema en

Otra distinción es la referente a los modelos deterministas contra idades establecen

relaciones matemáticas o lógicas constantes. Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocástico, por lo menos una parte de la variación tienen una naturaleza casual. Por tanto, un

sumo, obtener soluciones promedio mediante

COSTO DEL MODELO

COSTO DEL ERROR



modelos estocásticos para resolver los problemas. El presente libro se concentra exclusivamente en modelos estocásticos.

La experiencia sugiere que la planeación de experimentossimulación requiera de un procedimiento que consta de las etapas siguientes:

1. Formulación del problema.2. Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.3. Formulación de un modelo matemático.4. Estimación de los parámetros de las características

operacionales a partir de los datos reales.5. Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.6. Formulación de un programa para la computadora.7. Validación.8. Diseño de los experimentos de simulación.9. Análisis de los datos se simulación.

Aunque el orden en quabierto a discusión, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenación basada en los resultados de experiencias [Naylor, 1977].

Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamente arbitrario en existe en un plano puramente pragmático.

FOMULACIÓN DEL PROBLEMA

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS

FORMULACIÓN DEL MODELO MATEMATICO



modelos estocásticos para resolver los problemas. El presente libro se concentra exclusivamente en modelos estocásticos.

1.3. Metodología de la Simulación

La experiencia sugiere que la planeación de experimentossimulación requiera de un procedimiento que consta de las etapas

Formulación del problema.Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.Formulación de un modelo matemático.Estimación de los parámetros de las características

eracionales a partir de los datos reales.Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.Formulación de un programa para la computadora.Validación.Diseño de los experimentos de simulación.Análisis de los datos se simulación.

Aunque el orden en que se implantan esos nueve pasos permanece abierto a discusión, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenación basada en los resultados de experiencias [Naylor, 1977].

Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamente arbitrario en su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo sólo existe en un plano puramente pragmático.

(1)

FOMULACIÓN DEL PROBLEMA

(2)

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO

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FORMULACIÓN DEL MODELO

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modelos estocásticos para resolver los problemas. El presente libro se

Metodología de la Simulación

La experiencia sugiere que la planeación de experimentos de simulación requiera de un procedimiento que consta de las etapas

Recolección y procedimiento de datos tomados en realidad.

Estimación de los parámetros de las características

Evaluación del modelo y de los parámetros estimados.Formulación de un programa para la computadora.

e se implantan esos nueve pasos permanece abierto a discusión, la figura 3.1 los muestra bajo una ordenación basada

Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo sólo



ESTIMACIÓN DELOS PARAMETROS

EVALUACIÓN DEL (5) MODELO

MODELO ACEPTADO

FORMULACIÓN DEL PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA

VERIFICACIÓN

DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama de ANALISIS DE DATOS DE LA SIMULACIÓN

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra investigación, antes planear la realización de un experimento en simulación. Encontraremos que la exposición original del problema varía considerablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un proceso secuencial generalmente requiere de una formulación continua y progresiva de refinamiento de los objetivos de experimento durante su realización.

Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, como también en la mayoría de las ciencias soc



ESTIMACIÓN DELOS PARAMETROS

MODELO RECHAZADO

EVALUACIÓN DEL (5)

ACEPTADO (6)

FORMULACIÓN DELPROGRAMA PARA LA

(7)

(8)

DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama de flujo para la planeación (9) de experimentos de simulación

ANALISIS DE DATOS DE LA SIMULACIÓN

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de nuestra investigación, antes de hacer cualquier intento encaminado a planear la realización de un experimento en simulación. Encontraremos que la exposición original del problema varía considerablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un proceso secuencial generalmente requiere de una formulación continua y progresiva de refinamiento de los objetivos de experimento durante su realización.

Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, como también en la mayoría de las ciencias sociales, toma generalmente la



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MODELO RECHAZADO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS Fig. 3.1 Diagrama deflujo para la planeación

(9) de experimentos de simulación

Es necesario en primer lugar definir claramente los objetivos de de hacer cualquier intento encaminado a

planear la realización de un experimento en simulación. Encontraremos que la exposición original del problema varía considerablemente de su versión final, ya que la formulación del problema es un proceso secuencial que generalmente requiere de una formulación continua y progresiva de refinamiento de los objetivos de experimento durante su realización.

Los objetivos de la investigación, tanto en la empresa y la economía, iales, toma generalmente la



forma ya sea de: (1) preguntas que deben contestarse, (2) hipótesis que se deben probarse y (3) efectos por estimarse.

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LAREALIDAD.

Necesitaríamos colectar y procesar una cierta antes de que exista la posibilidad de definir algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamente irrelevante que los requerimientos para el procesamiento de datos procedan la formulación del problema o viceversa; si hemos de que ambas funciones se lleven a cabo.

Existen, por lo menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de un sistema eficiente para el procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al r

En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos puedan sugerir hipótesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos también pueden sugerir y mejoras o refinamientos en losmodelos matemáticos. Cuarto; es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de las características disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de estado del sistema. Finalmenserían imposibles probar la validez de un modelo para la simulación.

La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, con los cuales pueden ser procesados posteriormente, cuando sean necesarios. El proceso de recolección y el almacenamiento de datos ocurre simultáneamente.

FORMULACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:i. Especificación de los componentes

ii. Especificación de las variables y los parámetros iii. Especificación de las relaciones funcionales.



forma ya sea de: (1) preguntas que deben contestarse, (2) hipótesis que se deben probarse y (3) efectos por estimarse.

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA

Necesitaríamos colectar y procesar una cierta cantidad de datos antes de que exista la posibilidad de definir algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamente irrelevante que los requerimientos para el procesamiento de datos procedan la formulación del problema o viceversa; si hemos de dirigir experimentos de simulación, es importante que ambas funciones se lleven a cabo.

Existen, por lo menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de un sistema eficiente para el procesamiento de datos, que permita alcanzar el éxito al realizar los experimentos de simulación.

En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos puedan sugerir hipótesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos también pueden sugerir y mejoras o refinamientos en losmodelos matemáticos. Cuarto; es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de las características disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y de estado del sistema. Finalmente, cabe considerar que sin tales datos, serían imposibles probar la validez de un modelo para la simulación.

La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, con los cuales pueden ser procesados posteriormente,

an necesarios. El proceso de recolección y el almacenamiento de datos ocurre simultáneamente.

FORMULACIÓN DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:i. Especificación de los componentes

ecificación de las variables y los parámetrosiii. Especificación de las relaciones funcionales.



Pági

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forma ya sea de: (1) preguntas que deben contestarse, (2) hipótesis que se

RECOLECCIÓN Y PROCESAMIENTO DE DATOS TOMADOS DE LA

cantidad de datos antes de que exista la posibilidad de definir algún problema. Para nuestros propósitos, resulta completamente irrelevante que los requerimientos para el procesamiento de datos procedan la formulación del problema o

dirigir experimentos de simulación, es importante

Existen, por lo menos, cinco razones por las cuales es necesario de disponer de un sistema eficiente para el procesamiento de datos, que

ealizar los experimentos de simulación.

En primer instancia la información descriptiva y cuantitativa. En segundo, los datos puedan sugerir hipótesis de cierta validez. Como tercer punto, los datos también pueden sugerir y mejoras o refinamientos en losmodelos matemáticos. Cuarto; es necesario que los datos, reducidos a una forma final, se utilicen para estimar los parámetros de las características disponibles de operación relativas a las variables endógenas, exógenas y

te, cabe considerar que sin tales datos, serían imposibles probar la validez de un modelo para la simulación.

La recolección de datos es el proceso de capacitación de los hechos disponibles, con los cuales pueden ser procesados posteriormente,

an necesarios. El proceso de recolección y el almacenamiento de

La formulación de los modelos matemáticos consiste en tres pasos:

ecificación de las variables y los parámetros



Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de un modelo matemático reside en saber cuántas variables se deben incluir en el modelo.

La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se refiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en al formulación de modelos matemáticos que produzcan descripciones o prediccionesreferentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible establecer con exactitud, la interdependencia de las características modelos matemáticos, ya que tanto él numero de variables en un modelo, como su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Si alteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el resto de e

Una tercera consideración en la formulación de modelopara simulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de computación, es decir, la complejidad del algiritmo1.

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de cómputo repara lograr algún objetivo experimental específico.

El tiempo consumido para la programación de la computadora, constituye una cuarta consideración al formular modelos para simulación.

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICAS OPERACIONALES A PARTIR DE LOS DATOS REALES

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulando varios modelos matemáticos que describen su comportamiento es necesario estimar sus valores de los parámetros de dichos modelos y probar su significación estadística.

Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos cae dentro del dominio de la econométria



Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de un modelo matemático reside en saber cuántas variables se

r en el modelo.

La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se refiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en al formulación de modelos matemáticos que produzcan descripciones o predicciones, razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible

titud, la interdependencia de las características os, ya que tanto él numero de variables en un modelo,

como su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Si alteramos cualquiera de las citadas características, alteramos a su vez el resto de ellas.

Una tercera consideración en la formulación de modelopara simulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de computación, es decir, la complejidad del algiritmo1.

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de cómputo repara lograr algún objetivo experimental específico.


ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICAS NALES A PARTIR DE LOS DATOS REALES

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulando varios modelos matemáticos que describen su comportamiento es necesario estimar sus valores de los parámetros de dichos modelos y

nificación estadística.

Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos cae dentro del dominio de la econométria.



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Una de las primeras consideraciones que se toman en cuanta en la formulación de un modelo matemático reside en saber cuántas variables se

La segunda consideración importante en la formulación del modelo matemático se refiere a la complejidad de los mismos. Por lo general, estamos interesados en al formulación de modelos matemáticos que

, razonablemente exactas, referentes al comportamiento de un sistema dado y reduzca a la vez, el tiempo de computación y programación. Sin embargo, no es posible

titud, la interdependencia de las características en los os, ya que tanto él numero de variables en un modelo,

como su complejidad, se encuentran directamente relacionadas con los tiempos de programación, cómputo y validez. Si alteramos cualquiera de

llas.

Una tercera consideración en la formulación de modelos matemáticos para simulación en computadora estriba en el área de la eficiencia de

Entendemos por ello, la cantidad de tiempo de cómputo requerida


ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LAS CARACTERISTICAS

Una vez que hemos recolectado los datos apropiados del sistema y formulando varios modelos matemáticos que describen su comportamiento es necesario estimar sus valores de los parámetros de dichos modelos y

Ejemplo. La estimación de parámetros de los modelos económicos



Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber y Johnston [Naylor, 1977], y que se comparan de sus propiedades estadísticas y de computación, se encuentran:

1.- Métodos de una sola ecuación.Mínimos cuadrados ordinarios.Mínimos cuadrados indirectos (Generalizados).Ecuación única con información limitada.Mínimos cuadrados de dos

2.- Métodos de ecuaciones simultáneas.Máxima probabilidad con información completa.Mínimos cuadrados de tres etapas.

EVALUACIÓN DEL MODELO Y DE LOS PARAMETROS ESTIMADOS

Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de nuestro modelo, para probarlo. Esto se logra haciendo una comparación de las mediciones iniciales obtenidas por nuestro modelo de simulación con las obtenidas de la realidad.

Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un modelo de simulación prlo que en este punto nuestro interés reside en probar las suposiciones o entradas que se programarán en la computadora.

En caso de que las características operacionales tomen la forma de distribuciones de probabilidad, será necesario aplicar pruebas de bondad de ajuste que determinen qué también se ajusta una distribución hipotética de probabilidad a los datos del mundo real. Deseamos también probar la importancia estadística de nuestras estimaciones de lovariancias y otros parámetros de estas distribuciones de probabilidad. Estas pruebas podrían comprender:

1.- Prueba referente a las medidas.Prueba de una muestra relativa a las medidasDiferencias entre medias

2.- Prueba referente



Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber y Johnston [Naylor, 1977], y que se comparan de sus propiedades estadísticas y de computación, se encuentran:

Métodos de una sola ecuación.Mínimos cuadrados ordinarios.Mínimos cuadrados indirectos (Generalizados).Ecuación única con información limitada.Mínimos cuadrados de dos etapas.

Métodos de ecuaciones simultáneas.Máxima probabilidad con información completa.Mínimos cuadrados de tres etapas.


Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de o modelo, para probarlo. Esto se logra haciendo una comparación

de las mediciones iniciales obtenidas por nuestro modelo de simulación con las obtenidas de la realidad.

Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un modelo de simulación previa a las corridas reales en la computadora, por lo que en este punto nuestro interés reside en probar las suposiciones o entradas que se programarán en la computadora.

En caso de que las características operacionales tomen la forma de probabilidad, será necesario aplicar pruebas de bondad

de ajuste que determinen qué también se ajusta una distribución hipotética de probabilidad a los datos del mundo real. Deseamos también probar la importancia estadística de nuestras estimaciones de los valores esperados, variancias y otros parámetros de estas distribuciones de probabilidad. Estas pruebas podrían comprender:

Prueba referente a las medidas.Prueba de una muestra relativa a las medidasDiferencias entre medias

Prueba referentes a las variancias



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Entre los métodos importantes de estimación econométrica descritos por Goldber y Johnston [Naylor, 1977], y que se comparan sobre la base de sus propiedades estadísticas y de computación, se encuentran:


Es necesario hacer un juicio del valor inicial de la suficiencia de o modelo, para probarlo. Esto se logra haciendo una comparación

de las mediciones iniciales obtenidas por nuestro modelo de simulación con

Este paso representa sólo la primera etapa en la prueba de un evia a las corridas reales en la computadora, por

lo que en este punto nuestro interés reside en probar las suposiciones o

En caso de que las características operacionales tomen la forma de probabilidad, será necesario aplicar pruebas de bondad

de ajuste que determinen qué también se ajusta una distribución hipotética de probabilidad a los datos del mundo real. Deseamos también probar la

s valores esperados, variancias y otros parámetros de estas distribuciones de probabilidad.



ji cuadradaPrueba F

3.- Pruebas basadas sobre el conteo de datos.Prueba referente a las proporcionesDiferencias entre K proporcionesTablas de contingenciaPruebas de bondad de ajuste

4.- Pruebas no paramétricasLas pruebas de sigPruebas basadas en suma de rangosPruebas de la medianaLa prueba U (Tchebychev)Pruebas de corridasPrueba de correlación en serie

En caso de que las características operacionales tomen la forma de los modelos econométricos, requerimos probar la imporcada uno de los parámetros estimados en tales modelos, mediante el uso de las pruebas estándar t, y F. También desearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las suposiciones fundamentales de nuestros modelos econométricos; estas podrían comprender las pruebas para:

Errores en las variables Colinearidad múltiple Heterosedasticidad Autocorrelación Identificación

De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del procedimiento, se encuentran las

¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen muy poco a nuestra capacidad para predecir el comportamiento de las variables endógenas de nuestro sistema?



Pruebas basadas sobre el conteo de datos.Prueba referente a las proporcionesDiferencias entre K proporcionesTablas de contingenciaPruebas de bondad de ajuste

Pruebas no paramétricasLas pruebas de signoPruebas basadas en suma de rangosPruebas de la medianaLa prueba U (Tchebychev)Pruebas de corridasPrueba de correlación en serie

En caso de que las características operacionales tomen la forma de los modelos econométricos, requerimos probar la importancia estadística de cada uno de los parámetros estimados en tales modelos, mediante el uso de las pruebas estándar t, y F. También desearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las suposiciones fundamentales de nuestros

étricos; estas podrían comprender las pruebas para:

Errores en las variablesColinearidad múltipleHeterosedasticidadAutocorrelaciónIdentificación

De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa del procedimiento, se encuentran las siguientes:

¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen muy poco a nuestra capacidad para predecir el

de las variables endógenas de nuestro sistema?



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En caso de que las características operacionales tomen la forma de tancia estadística de

cada uno de los parámetros estimados en tales modelos, mediante el uso de las pruebas estándar t, y F. También desearemos aplicar pruebas que nos permitiran las violaciones en las suposiciones fundamentales de nuestros

étricos; estas podrían comprender las pruebas para:

De entre las preguntas que nos interesa formular durante esta etapa

¿Incluimos algunas variables que no sean pertinentes, en el sentido de que contribuyen muy poco a nuestra capacidad para predecir el

de las variables endógenas de nuestro sistema?



¿Omitimos la inclusión de una o más variables epudieran afectar el comportamiento de las variables endógenas en nuestro sistema?

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variables endógenas y exógenas de nuestro sistema?

¿Apreciamos debidamente las estimacioncaracterísticas operacionales de nuestro sistema?

¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema con los valores históricos o reales basados en cálculos manuales? (ya que aún no formulamos

Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos al paso 6: la formulación de un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasos del 1 al 5 hasta que sea posible responder satisfa

FORMULACIÓN DE UN PROGRAMA PARA LA COMPUTADORA.

La formulación de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que se considersiguientes actividades:

Diagrama de flujo Lenguaje de computadora Compiladores de propósito general Lenguajes de simulación de propósitos especiales Búsqueda de errores Datos de entrada y condiciones iniciales Generación de datos Reportes de salida

Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requiere la formulación de un diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos que realizará la computadora, al generar los tiempos planificados para l



¿Omitimos la inclusión de una o más variables epudieran afectar el comportamiento de las variables endógenas en nuestro

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre las variables endógenas y exógenas de nuestro sistema?

¿Apreciamos debidamente las estimaciones de los parámetros de las características operacionales de nuestro sistema?

¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema con los valores históricos o reales basados en cálculos manuales? (ya que aún no formulamos un programa para computadora).

Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos al paso 6: la formulación de un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasos del 1 al 5 hasta que sea posible responder satisfactoriamente las preguntas.


La formulación de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación con nuestros modelos del sistema bajo estudio, requiere que se considere especialmente las

Diagrama de flujoLenguaje de computadoraCompiladores de propósito generalLenguajes de simulación de propósitos especialesBúsqueda de erroresDatos de entrada y condiciones inicialesGeneración de datos

rtes de salida

Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requiere la formulación de un diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos que realizará la computadora, al generar los tiempos planificados para las variables endógenas de nuestro modelo.



Pági

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¿Omitimos la inclusión de una o más variables exógenas que pudieran afectar el comportamiento de las variables endógenas en nuestro

¿Formulamos incorrectamente una o más relaciones funcionales entre

es de los parámetros de las

¿Cómo se comportan los valores teóricos de las variables endógenas de nuestro sistema con los valores históricos o reales basados en cálculos

un programa para computadora).

Sólo si es posibles contestar satisfactoriamente las seis preguntas, procederemos al paso 6: la formulación de un programa para computadora. De otro, repetiremos los pasos del 1 al 5 hasta que sea


La formulación de un programa para computadoras, cuyo propósito sea dirigir los experimentos de simulación con nuestros modelos

e especialmente las

Lenguajes de simulación de propósitos especiales

Al escribir un programa de simulación para computadora la primera etapa requiere la formulación de un diagrama de flujo que bosqueje la secuencia lógica de los eventos que realizará la computadora, al generar

as variables endógenas de nuestro modelo.



Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como FORTRAN, BASIC, PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje de simulación como . SIMPAC, DINAMO, PROGRAM SIMULATE, GPSS, o SINFACTORY, MICLROMANAGER, entre otros. Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo posterior se describirán alguno de estos lenguajes y su aplicación particular.

VALIDACIÓN

Ciertamente, el problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica un sinnúmero de complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico. La validación de experimentos de simulación forma parte de un problema mucho más general, esla validación de cualquier clase de modelo o hipótesis. Las preguntas básicas son: “¿Qué significa validar una hipótesis?” y “¿Cuáles criterios deberán utilizarse para establecer la validez de una hipótesis?”.

Aún así parece que por lo genapropiadas para validar los modelos simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valores simulados de las variables endógenas con los datos históricos conocidos, si es que estos están disponibles?. En segundolugar, ¿Qué tan exactas son las predicciones del comportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros (de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran variedad de pruebas estadísticas, tanto como c

DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora, estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, los experimentos de simulacióhemos definido nuestro problema experimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y parámetros), deberemos interesarnos ahora por los detalles de diseño experimental.

En esta fase, es posible identificar dos metlugar, seleccionaremos los niveles de los factores y las combinaciones de



Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como FORTRAN, BASIC, PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje de simulación como . SIMPAC, DINAMO, PROGRAM SIMULATE, GPSS, o nuevos como GPSSH, SLAM, PROMODEL, SINFACTORY, MICLROMANAGER, entre otros. Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo posterior se describirán alguno de estos lenguajes y su aplicación particular.

l problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica un sinnúmero de complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico. La validación de experimentos de simulación forma parte de un problema mucho más general, esla validación de cualquier clase de modelo o hipótesis. Las preguntas básicas son: “¿Qué significa validar una hipótesis?” y “¿Cuáles criterios deberán utilizarse para establecer la validez de una hipótesis?”.

Aún así parece que por lo general sólo dos pruebas se consideran apropiadas para validar los modelos simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valores simulados de las variables endógenas con los datos históricos conocidos, si es que estos están disponibles?. En segundolugar, ¿Qué tan exactas son las predicciones del comportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros (de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran variedad de pruebas estadísticas, tanto como clásicas como recientes.

DISEÑO DE LOS EXPERIMENTOS DE SIMULACIÓN

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora, estaremos en posibilidad de considerar su uso para dirigir efectivamente, los experimentos de simulación. De hecho, como ya hemos definido nuestro problema experimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y parámetros), deberemos interesarnos ahora por los detalles de diseño experimental.

En esta fase, es posible identificar dos metas importantes: en primer lugar, seleccionaremos los niveles de los factores y las combinaciones de



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Podemos escribir nuestro programa en un lenguaje de propósitos generales como FORTRAN, BASIC, PASCAL , C++ o sus visuales o bien emplear un lenguaje de simulación como . SIMPAC, DINAMO, PROGRAM

nuevos como GPSSH, SLAM, PROMODEL, SINFACTORY, MICLROMANAGER, entre otros. Dependerá de la aplicación, el uso del lenguaje adecuado. En un capítulo posterior se describirán

l problema de validar modelos de simulación es difícil ya que implica un sinnúmero de complejidades de tipo práctico, teórico, estadístico e inclusive filosófico. La validación de experimentos de simulación forma parte de un problema mucho más general, es decir, el de la validación de cualquier clase de modelo o hipótesis. Las preguntas básicas son: “¿Qué significa validar una hipótesis?” y “¿Cuáles criterios deberán utilizarse para establecer la validez de una hipótesis?”.

eral sólo dos pruebas se consideran apropiadas para validar los modelos simulación. Primeramente, ¿Qué tan bien coinciden los valores simulados de las variables endógenas con los datos históricos conocidos, si es que estos están disponibles?. En segundolugar, ¿Qué tan exactas son las predicciones del comportamiento del sistema real hechas por el modelo de simulación, para períodos futuros (de tiempo)?. Asociada con cada una de estas pruebas, existe una gran

lásicas como recientes.

Una vez que estemos satisfechos con la validez de nuestro modelo para la computadora, estaremos en posibilidad de considerar su uso para

n. De hecho, como ya hemos definido nuestro problema experimental, las variables endógenas y lo factores (variables exógenas y parámetros), deberemos interesarnos

as importantes: en primer lugar, seleccionaremos los niveles de los factores y las combinaciones de



niveles, así como el orden de experimentos; en seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinaciones de factores, deberemos esforzarnos por asegurafortuitos.

ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOS

La etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la computadora, a partir del modelo que simular. Tal análisis consiste de tres pa

1.- Recolección y procesamiento de los datos simulados.2.- Cálculo de la estadística de las pruebas.3.- Interpretación de los resultados.

Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al análisis de los datos del mundo real (Véan3.1) existen algunas diferencias importantes. El análisis de los datos de simulación en computadora es, según los expertos, considerablemente más difícil que el análisis de los datos del mundo real.

En el mundo actual, tanto en el área de los negocios, como en la industria y el gobierno, los proyectos en gran escala y de gran complejidad son la regla y no la excepción.previos a su construcción o

Tales estudios pilotos se realizan utilizando la técnica llamada modelización, es decir,estudio con el fin de obtener conclusiones

Construido el modelo, el proceso de ensayar en él una alternativa se llama simular. El conjunto de alternativas que se definen para su ensayo constituye la estrategia de la

Los objetivos del proyecto definen cuál es el sistema y cuál el mediambiente que lo rodea.



niveles, así como el orden de experimentos; en seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinaciones de factores, deberemos esforzarnos por asegurar que los resultados queden libres de errores

ANALISIS DE LOS DATOS SIMULADOS

La etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la computadora, a partir del modelo que simular. Tal análisis consiste de tres pasos:

Recolección y procesamiento de los datos simulados.Cálculo de la estadística de las pruebas.Interpretación de los resultados.

Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al análisis de los datos del mundo real (Véanse los pasos 2, 3 y 4 de la figura 3.1) existen algunas diferencias importantes. El análisis de los datos de simulación en computadora es, según los expertos, considerablemente más difícil que el análisis de los datos del mundo real.

1.4. Sistemas, modelos y simulación

En el mundo actual, tanto en el área de los negocios, como en la industria y el gobierno, los proyectos en gran escala y de gran complejidad son la regla y no la excepción. Estos proyectos complejos requieren estudios

cción o modificación, denominados estudios pilotos.

Tales estudios pilotos se realizan utilizando la técnica llamada es decir, construcción de modelos donde se realiza el

estudio con el fin de obtener conclusiones aplicables al sistema Construido el modelo, el proceso de ensayar en él una alternativa se

conjunto de alternativas que se definen para su ensayo constituye la estrategia de la simulación.

Los objetivos del proyecto definen cuál es el sistema y cuál el medirodea.



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niveles, así como el orden de experimentos; en seguida y una vez que seleccionaremos nuestras combinaciones de factores, deberemos

r que los resultados queden libres de errores

La etapa final en el procesamiento requiere un análisis de los datos generados por la computadora, a partir del modelo que simular. Tal

Recolección y procesamiento de los datos simulados.

Aunque el análisis de los datos simulados es de hecho semejante al se los pasos 2, 3 y 4 de la figura

3.1) existen algunas diferencias importantes. El análisis de los datos de simulación en computadora es, según los expertos, considerablemente más

os y simulación

En el mundo actual, tanto en el área de los negocios, como en la industria y el gobierno, los proyectos en gran escala y de gran complejidad

Estos proyectos complejos requieren estudios modificación, denominados estudios pilotos.

Tales estudios pilotos se realizan utilizando la técnica llamada donde se realiza el sistema real.

Construido el modelo, el proceso de ensayar en él una alternativa se conjunto de alternativas que se definen para su ensayo

Los objetivos del proyecto definen cuál es el sistema y cuál el medio



El sistema procura satisfacer las necesidades cambiantes de ese medio ambiente en el que está insertado. Cada nuevo sistema lo modifica y crea en él nuevas necesidades.

El sistema para poder subsistir debe adaptarse a los cambiosde los objetivos de la simulación es realizar ensayos de cambios en el sistema probándolos en el modelo, con el fin de elegir la mejor alternativa, y así enfrentar mejor a una

En esta breve introducción se destacan treque constituyen el eje de esta publicación y sobre los cuales se da a continuación una primera

Son los conceptos de: sistema, modelo y simulación.

Sistema Pueden darse varias definiciones de sistema:

• "Conjunto de elementos

• "Conjunto de elementos se aísla del universo para su estudio."

• "Conjunto de partes constituir una unidad interconectada

Existen otras definiciones tales como:

• “El estudio de las interacciones conduce lógicamente al concepto de organización sistemática.” (KHAILOV)

• "Totalidad arbitraria de variables que el investigagran número de variables que pertenecen al sistema real.” (ASHBY)

• “Complejo de elementos que actúan recíprocamente”ó “la totalidad de elementos en interacción recíproca” (BERTALANFFY). Acentúa la relación, la influencia recíproca de lono puede constituir un sistema ni tampoco varios componentes aislados.

• Unidad consistente en partes mutuamente interactuantes” (ACKOFF)



El sistema procura satisfacer las necesidades cambiantes de ese el que está insertado. Cada nuevo sistema lo modifica y

crea en él nuevas necesidades.

El sistema para poder subsistir debe adaptarse a los cambiosde los objetivos de la simulación es realizar ensayos de cambios en el

probándolos en el modelo, con el fin de elegir la mejor alternativa, y así enfrentar mejor a una realidad que varía día a día.

En esta breve introducción se destacan tres conceptos fundamentales, constituyen el eje de esta publicación y sobre los cuales se da a

continuación una primera aproximación.

Son los conceptos de: sistema, modelo y simulación.

Pueden darse varias definiciones de sistema:

elementos cuya interacción interesa estudiar"

elementos que interactúan entre sí, con un fin común, que se aísla del universo para su estudio."

partes organizado funcionalmente de manera tal de terconectada”

otras definiciones sobre sistemas más complejas que estas,

“El estudio de las interacciones conduce lógicamente al concepto de sistemática.” (KHAILOV)

"Totalidad arbitraria de variables que el investigador escoge de un variables que pertenecen al sistema real.” (ASHBY)

“Complejo de elementos que actúan recíprocamente”ó “la totalidad de interacción recíproca” (BERTALANFFY). Acentúa la relación, la

los elementos que forman el sistema. Un único elemento sistema ni tampoco varios componentes aislados.

Unidad consistente en partes mutuamente interactuantes” (ACKOFF)



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El sistema procura satisfacer las necesidades cambiantes de ese el que está insertado. Cada nuevo sistema lo modifica y

El sistema para poder subsistir debe adaptarse a los cambios. Uno de los objetivos de la simulación es realizar ensayos de cambios en el

probándolos en el modelo, con el fin de elegir la mejor alternativa,

s conceptos fundamentales, constituyen el eje de esta publicación y sobre los cuales se da a

interesa estudiar"

entre sí, con un fin común, que

organizado funcionalmente de manera tal de

más complejas que estas,

“El estudio de las interacciones conduce lógicamente al concepto de

dor escoge de un variables que pertenecen al sistema real.” (ASHBY)

“Complejo de elementos que actúan recíprocamente”ó “la totalidad de interacción recíproca” (BERTALANFFY). Acentúa la relación, la

s elementos que forman el sistema. Un único elemento sistema ni tampoco varios componentes aislados.

Unidad consistente en partes mutuamente interactuantes” (ACKOFF)



• “la totalidad de objetos junto con su mutua interacción” (HALFAGEN)

• La esencia de estas definiciones, concluye KHAILOV, es el acoplamiento entre losresultante de este acoplamiento.

• “Entidad que consiste en dos o más elementos y un conjunto no vacío de relaciones entre los elementos” (Francisco SAGASTI)

• “La palabra sistema se refiere a una colección de procesos o eventosinterrelacionados, abarcados por una frontera reconocible”

• “Un sistema puede ser definido como una reunión de componentesdotados de propiedades identificables y entre los cuales se perciben relaciones. El exterior de un sistema es su controno”

• SADOWSKIJ nombra tres tipos básicos de sistema:• de cosas • de objetos• de conocimientos

Como componentes específicos del concepto de sistema enumera:• al conjunto de elementos• a la existencia de relaciones entre ellos• al carácter de totalidad del conjunto dado

Nota: En todas estas definiciones se observa que para que constituyan un sistema los elementos deben ser varios y deben estar relacionados.

SUBSISTEMA:

Es un conjunto que se aísla dentro del sistema. El sistema puede verse como un subsistema del Universo.

Cada subsistema puede ser tratado dentro del sistema o estudiado en forma aislada.

El comportamiento del

1) El comportamiento de cada 2) Las relaciones 3) Las relaciones con el mundo exterior, o sea con el

que lo circunda.



“la totalidad de objetos junto con su mutua interacción” (HAL

La esencia de estas definiciones, concluye KHAILOV, es el acoplamiento entre los componentes, y la organización como sistema resultante de este acoplamiento.

“Entidad que consiste en dos o más elementos y un conjunto no vacío entre los elementos” (Francisco SAGASTI)

“La palabra sistema se refiere a una colección de procesos o eventosinterrelacionados, abarcados por una frontera reconocible” (F. K. BERRIEN)

“Un sistema puede ser definido como una reunión de componentespropiedades identificables y entre los cuales se perciben relaciones.

sistema es su controno” (Charles A. McCLELLAND)

SADOWSKIJ nombra tres tipos básicos de sistema:

de objetosde conocimientos

ntes específicos del concepto de sistema enumera:al conjunto de elementosa la existencia de relaciones entre ellosal carácter de totalidad del conjunto dado

Nota: En todas estas definiciones se observa que para que constituyan un entos deben ser varios y deben estar relacionados.

Es un conjunto que se aísla dentro del sistema. El sistema puede verse subsistema del Universo.

Cada subsistema puede ser tratado dentro del sistema o estudiado

El comportamiento del sistema total depende de:

1) El comportamiento de cada subsistema. relaciones entre los subsistemas.

3) Las relaciones con el mundo exterior, o sea con el medio ambiente



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“la totalidad de objetos junto con su mutua interacción” (HALL y

La esencia de estas definiciones, concluye KHAILOV, es el componentes, y la organización como sistema

“Entidad que consiste en dos o más elementos y un conjunto no vacío

“La palabra sistema se refiere a una colección de procesos o eventos(F. K. BERRIEN).

“Un sistema puede ser definido como una reunión de componentespropiedades identificables y entre los cuales se perciben relaciones.

(Charles A. McCLELLAND)

ntes específicos del concepto de sistema enumera:

Nota: En todas estas definiciones se observa que para que constituyan un entos deben ser varios y deben estar relacionados.

Es un conjunto que se aísla dentro del sistema. El sistema puede verse

Cada subsistema puede ser tratado dentro del sistema o estudiado

medio ambiente



El sistema en estudio, puede subdividinterconectados, cadainterconectados entre sí.

El comportamiento del cada subsistema, de sus inserta.

Los elementos y las subsistemas. Los subsistemas estudio.

Las relaciones entre los elementos del sistema constituyen la del sistema.

Estas ideas son fundamentales para la implican la construcción de modelos

Modelo: La simulación El objetivo es averiguar determinadas hipótesis.

Desde muy antiguo la humanidad ha intentado adivinar el futuro. Ha querido conocer qué va a pasar cuando suceda un determinado hecho histórico. La simulación futuro, condicionada a supuestos previos.

Para ello se construyen los de la realidad. Surgen de un análisis de todas las variables intervinientes en el sistema y de las relaciones

A medida que avanza el estudio del sistema se inentendimiento que el analista tiene del modelo y ayuda a crear más cercanos a la realidad.

En el modelo se estudian los hechos salientes del sistema o proyecto. Se hace una abstracción de la realidadsistema/proyecto, en un modelo.

El modelo que se construye debe tener en cuenta todos los detalles que interesan en el estudio para que realmente represente al sistema real (Modelo válido). Por razones dedetalles que no interesan y



en estudio, puede subdividirse en uno de los cuales está compuesto por

entre sí.

El comportamiento del sistema dependerá del comportamiento de , de sus relaciones y del medio ambiente

y las relaciones que los ligan entre sí definen los subsistemas y las relaciones entre sí definen al

entre los elementos del sistema constituyen la

on fundamentales para la resolución de problemas construcción de modelos.

simulación de sistemas implica la construcción de averiguar qué pasaría en el sistema si acontecieran

determinadas hipótesis.

sde muy antiguo la humanidad ha intentado adivinar el futuro. Ha querido conocer qué va a pasar cuando suceda un determinado hecho

simulación ofrece, sobre bases ciertas, esa predicción del futuro, condicionada a supuestos previos.

se construyen los modelos, normalmente una simplificación Surgen de un análisis de todas las variables intervinientes

relaciones que se descubren existen entre ellas.

A medida que avanza el estudio del sistema se inentendimiento que el analista tiene del modelo y ayuda a crear más cercanos a la realidad.

se estudian los hechos salientes del sistema o proyecto. abstracción de la realidad, representándose el

o, en un modelo.

El modelo que se construye debe tener en cuenta todos los detalles el estudio para que realmente represente al sistema real

(Modelo válido). Por razones de simplicidad deben eliminarse aquellos detalles que no interesan y que lo complicarían innecesariamente.



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irse en subsistemas uno de los cuales está compuesto por elementos

dependerá del comportamiento de medio ambiente donde se lo

que los ligan entre sí definen los entre sí definen al sistema en

entre los elementos del sistema constituyen la estructura

resolución de problemas que

implica la construcción de modelos. pasaría en el sistema si acontecieran

sde muy antiguo la humanidad ha intentado adivinar el futuro. Ha querido conocer qué va a pasar cuando suceda un determinado hecho

bases ciertas, esa predicción del

, normalmente una simplificación Surgen de un análisis de todas las variables intervinientes

que se descubren existen entre ellas.

A medida que avanza el estudio del sistema se incrementa el entendimiento que el analista tiene del modelo y ayuda a crear modelos

se estudian los hechos salientes del sistema o proyecto. , representándose el

El modelo que se construye debe tener en cuenta todos los detalles el estudio para que realmente represente al sistema real

simplicidad deben eliminarse aquellos innecesariamente.



Se requiere pues, que el modelo sea una fiel representación del sistema real. No obstante, el modelo no tiene porqué ser una réplica de aquél. Consiste en una descripción del sistema, junto con un conjunto de reglas que lo gobiernan.

La descripción del sistema puede ser abstracta, física o simplemente verbal. Las reglas definen el aspecto dinámico del modelo. Se utilizan para estudiar el comportamiento

Como ejemplo de modelo físico se pueden citardonde se ensayan los aviones, los simuladores de vuelo, los canales de experiencia donde se ensayan

Como ejemplo de modelo abstracto, se pueden citar econométricos donde, entre otras cosas, se pueden ensconsecuencias de medidas económicas

Dado un sistema, son muchas las representaciones que se pueden hacer de él. Depende de las facetas del sistema que interesan en el estudio, de la herramienta que semodalidad personal del que lo construye.

En los modelosentidades intervinientes y(Ej.: empleados atendiendo) oprovocan cambios de estadoentidades; se producen los

C. WEST CHURCHMAN en su obra “The Systems Approach” nos resalta que “Todo diseño de sistema se orienta hacia el futuro, especialmente hacia uhabitualmente se consideran versan sobre la etapa siguiente a la

Por otro lado existe un Axioma: “el futuro es menos cierto que el presente”.

También nos hace una aguda observación: “el pasado es tan dde conocer con certeza como el futuro, cosa digna de reflexión en cuanto nos fundamos en datos del pretérito

El Planeamiento estático comprende una sola etapa. El planeamiento dinámico contempla múltiples etapas.

Para predecir el futuro se postula lo siguiente:



Se requiere pues, que el modelo sea una fiel representación del obstante, el modelo no tiene porqué ser una réplica de

aquél. Consiste en una descripción del sistema, junto con un conjunto de que lo gobiernan.

La descripción del sistema puede ser abstracta, física o simplemente reglas definen el aspecto dinámico del modelo. Se utilizan para

estudiar el comportamiento del sistema real.

Como ejemplo de modelo físico se pueden citar los túneles de viento ensayan los aviones, los simuladores de vuelo, los canales de

experiencia donde se ensayan los barcos, etc.

Como ejemplo de modelo abstracto, se pueden citar donde, entre otras cosas, se pueden ens

consecuencias de medidas económicas antes de aplicarlas.

Dado un sistema, son muchas las representaciones que se pueden Depende de las facetas del sistema que interesan en el

estudio, de la herramienta que se utiliza en el mismo e inmodalidad personal del que lo construye.

modelos deben estar identificadas perfectamente las intervinientes y sus atributos. Las mismas pueden ser

(Ej.: empleados atendiendo) o transitorias (Ej. clientes). cambios de estado, es decir, se modifican los atributos de las

entidades; se producen los eventos.

C. WEST CHURCHMAN en su obra “The Systems Approach” nos diseño de sistema se orienta hacia el futuro,

especialmente hacia un futuro cercano. Los diseños y modeloshabitualmente se consideran versan sobre la etapa siguiente a la

Por otro lado existe un Axioma: “el futuro es menos cierto que el

También nos hace una aguda observación: “el pasado es tan dcerteza como el futuro, cosa digna de reflexión en cuanto

nos fundamos en datos del pretérito para averiguar el porvenir”

El Planeamiento estático comprende una sola etapa. El planeamiento contempla múltiples etapas.

predecir el futuro se postula lo siguiente:



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Se requiere pues, que el modelo sea una fiel representación del obstante, el modelo no tiene porqué ser una réplica de

aquél. Consiste en una descripción del sistema, junto con un conjunto de

La descripción del sistema puede ser abstracta, física o simplemente reglas definen el aspecto dinámico del modelo. Se utilizan para

los túneles de viento ensayan los aviones, los simuladores de vuelo, los canales de

Como ejemplo de modelo abstracto, se pueden citar los modelosdonde, entre otras cosas, se pueden ensayar las

Dado un sistema, son muchas las representaciones que se pueden Depende de las facetas del sistema que interesan en el

utiliza en el mismo e incluso de la

deben estar identificadas perfectamente las . Las mismas pueden ser permanentes

. Las acciones , es decir, se modifican los atributos de las

C. WEST CHURCHMAN en su obra “The Systems Approach” nos diseño de sistema se orienta hacia el futuro,

modelos que habitualmente se consideran versan sobre la etapa siguiente a la actual.”

Por otro lado existe un Axioma: “el futuro es menos cierto que el

También nos hace una aguda observación: “el pasado es tan difícil certeza como el futuro, cosa digna de reflexión en cuanto

para averiguar el porvenir”.

El Planeamiento estático comprende una sola etapa. El planeamiento



• La actividad de estimar lo sucedido en lo pasado es separable de la actividad a estimar de lo que ha de suceder en lo futuro. Es decir, el análisis del futuro es separable del análisis del pasado.

• Cualquier estimación específica de lo ocurrido en el pasado puede ser evaluada conforme a una escala que va desde valores negativos pasando por cero a valoresnegativamente, otros que no inciden y otros queque ocurra algo).

• El conocimiento del futuro es posiblebidireccional. Se dice que la variable X se usa para predecir dice: “X es causa de Y”).

En forma general para predecir Y en función del conjunto Xi de variables independientes:

Y = g(X1,X2,...,Xn)

Surgen dos errores para realizar la predicción de Y:• Error de ecuación: mal expresada la relación• Error de medida: mal evaluada las variables independientes.

También debería tenerse en cuenta la libertad del chumano, el cual:

• No se comporta siempre de la misma manera• Sabe lo que tiene que hacer pero no sabe que es lo que haría si

realmente tuviera que actuar.

John W. SUTHERLAND señala que prácticamente todos los fenómenos del mundo real puedanálisis:

• El nivel de las variables de estado, donde se trata de investigar los principales aspectos estructurales o cualitativos del sistema

• El nivel paramétrico, que implica la asignación de valores nespecíficos a las variables de estado

• El nivel de las relaciones, que implica establecer la naturaleza de las relaciones entre las variables de estado, y

• El nivel de los coeficientes en que se asignan valores numéricos específicos a los conjuntos de las variables de estado.



• La actividad de estimar lo sucedido en lo pasado es separable de estimar de lo que ha de suceder en lo futuro. Es decir, el

separable del análisis del pasado.

r estimación específica de lo ocurrido en el pasado puede conforme a una escala que va desde valores negativos

pasando por cero a valores positivos (hay hechos que inciden negativamente, otros que no inciden y otros que inciden positivamente p

• El conocimiento del futuro es posible Se habla de causabidireccional. Se dice que la variable X se usa para predecir dice: “X es causa de Y”).

En forma general para predecir Y en función del conjunto Xi de independientes:

Y = g(X1,X2,...,Xn)

Surgen dos errores para realizar la predicción de Y:• Error de ecuación: mal expresada la relación• Error de medida: mal evaluada las variables independientes.

También debería tenerse en cuenta la libertad del comportamiento

• No se comporta siempre de la misma manera• Sabe lo que tiene que hacer pero no sabe que es lo que haría si

que actuar.

John W. SUTHERLAND señala que prácticamente todos los fenómenos real pueden ser modelizados según cuatro direcciones de

• El nivel de las variables de estado, donde se trata de investigar los aspectos estructurales o cualitativos del sistema.

• El nivel paramétrico, que implica la asignación de valores nespecíficos a las variables de estado.

• El nivel de las relaciones, que implica establecer la naturaleza de entre las variables de estado, y

• El nivel de los coeficientes en que se asignan valores numéricos njuntos de las variables de estado.



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• La actividad de estimar lo sucedido en lo pasado es separable de estimar de lo que ha de suceder en lo futuro. Es decir, el

r estimación específica de lo ocurrido en el pasado puede conforme a una escala que va desde valores negativos

positivos (hay hechos que inciden inciden positivamente para

Se habla de causa-efecto bidireccional. Se dice que la variable X se usa para predecir Y (No se

En forma general para predecir Y en función del conjunto Xi de

• Error de medida: mal evaluada las variables independientes.

omportamiento

• Sabe lo que tiene que hacer pero no sabe que es lo que haría si

John W. SUTHERLAND señala que prácticamente todos los fenómenos en ser modelizados según cuatro direcciones de

• El nivel de las variables de estado, donde se trata de investigar los

• El nivel paramétrico, que implica la asignación de valores numéricos

• El nivel de las relaciones, que implica establecer la naturaleza de

• El nivel de los coeficientes en que se asignan valores numéricos



El que va a tomar la decisión percibe en forma real, o aparente, una identidad efectiva entre el estado real del sistema y el postulado. Al percibirla toma la decisión, de loesa identidad

A posteriori se hace un análisis de informaciones comparando lo previsto con lo real para el instante t y el instante tdiferencia entre lo postulado yCuando logre la identidad procederá a tomar su decisión.

Tenemos un planteo teórico general que nos permite inferir el futuro en base al conocimiento del presente y la influencia del pasado en un modelo válido (identificación entre lo real y lo postulado).

En las decisiones e

• El determinismoaltamente específicas y precisas respecto del fenómeno contemplado. Sólo se espera que haya uno y sólo un acontecimiento probable, que repetirá situaciones anteriores. Sepriori y los que realmente secorrespondientes son: modelosfinitos; programación lineal y regresión, de la correlación, análisis de series temporales ytratamiento exógeno del error, si es que lo hay.

• Una Estocasticidad moderada: la variación de las variables y parámetros.

El ser humano tieneobligan a decidir sin percibir esta identidad, es decir, sinde juicio que le indiquen con certeza cuál es la mejor

El modelo es una representación o abstracción de una situación u objetos reales, que mrelaciones de la acción y la reacción en términos de causa efecto. Como un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea completo, el modelo debe serepresentativo de aquellos aspectos de la realidad que están investigándose.



El que va a tomar la decisión percibe en forma real, o aparente, una entre el estado real del sistema y el postulado. Al

percibirla toma la decisión, de lo contrario comienza el análisis para lograr

A posteriori se hace un análisis de informaciones comparando lo previsto con lo real para el instante t y el instante t-1. Mientras perciba una diferencia entre lo postulado y lo real continuará el proceso de análisis.

dad procederá a tomar su decisión.

Tenemos un planteo teórico general que nos permite inferir el futuro en base al conocimiento del presente y la influencia del pasado en un

(identificación entre lo real y lo postulado).

En las decisiones existen sistemas donde prima:

determinismo. La base de datos y las relaciones causales son específicas y precisas respecto del fenómeno contemplado. Sólo

haya uno y sólo un acontecimiento probable, que repetirá riores. Se tiene una identidad efectiva entre los estados a

priori y los que realmente se producen. Los instrumentos de análisis modelos de análisis de estados de los

finitos; programación lineal y modelos de máx. Y mín.; anáregresión, de la correlación, análisis de series temporales y espectrales, con tratamiento exógeno del error, si es que lo hay.

• Una Estocasticidad moderada: la variación de las variables y

El ser humano tiene restricciones de tiempo que muchas veces leobligan a decidir sin percibir esta identidad, es decir, sin tener elementos

le indiquen con certeza cuál es la mejor decisión.

El modelo es una representación o abstracción de una situación u objetos reales, que muestra las relaciones (directas e indirectas) y las relaciones de la acción y la reacción en términos de causa efecto. Como un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea completo, el modelo debe serepresentativo de aquellos aspectos de la realidad que están



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El que va a tomar la decisión percibe en forma real, o aparente, una entre el estado real del sistema y el postulado. Al

contrario comienza el análisis para lograr

A posteriori se hace un análisis de informaciones comparando lo 1. Mientras perciba una

lo real continuará el proceso de análisis.

Tenemos un planteo teórico general que nos permite inferir el futuro en base al conocimiento del presente y la influencia del pasado en un

. La base de datos y las relaciones causales son específicas y precisas respecto del fenómeno contemplado. Sólo

haya uno y sólo un acontecimiento probable, que repetirá tiene una identidad efectiva entre los estados a

producen. Los instrumentos de análisis de estados de los sistemas

análisis de la espectrales, con

• Una Estocasticidad moderada: la variación de las variables y

muchas veces letener elementos

decisión.

El modelo es una representación o abstracción de una situación u uestra las relaciones (directas e indirectas) y las

relaciones de la acción y la reacción en términos de causa efecto. Como un modelo es una abstracción de la realidad, puede parecer menos complicado que la misma. Para que sea completo, el modelo debe ser representativo de aquellos aspectos de la realidad que están



Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muy importante, preparemos el escenario para un comentario sobre modelación de simulación considerando prigenerales.

Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuáles son las variables importantes o pertinentes.descubrimiento de las variables pertinentes está estrechamente asociado con la investigación de las estadísticas y la simulación para investigar las relaciones que hay entre las muchas variables de un modelo.

FUNCIÓN DE LOS MODELOS

El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, es tan general que es satisfagan los modelos. La mayoría de los autores de libros de simulación, reconocen por lo menos cinco usos comunes:

1. Una ayuda para el pensamiento.2. Una ayuda para la comunicación.3. Para entretenimiento e instruc4. Una herramienta de predicción.5. Una ayuda para la experimentación.

La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelos pueden ayudarnos a organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistencias. Por ejemplo, la constrrepresentación de una red con el método PERT (evaluación de programas y técnicas de revisión) para un trabajo de diseño de sistemas complejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si es adecuada, la construcción de modelos obliga a organizar, evaluar y experimentar la validez de pensamientos.

Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas para el entretenimiento e instrucción. A menudo los modelos son ideales para entrenar habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antes de que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es utilizado en ocasiones para enseñar



Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muy importante, preparemos el escenario para un comentario sobre modelación de simulación considerando primero la modelación en términos

Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuáles son las variables importantes o pertinentes.descubrimiento de las variables pertinentes está estrechamente asociado

estigación de las estadísticas y la simulación para investigar las relaciones que hay entre las muchas variables de un modelo.

FUNCIÓN DE LOS MODELOS

El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con un modelo, es tan general que es difícil clasificar todas las funciones que satisfagan los modelos. La mayoría de los autores de libros de simulación, reconocen por lo menos cinco usos comunes:

Una ayuda para el pensamiento.Una ayuda para la comunicación.Para entretenimiento e instrucción. Una herramienta de predicción.Una ayuda para la experimentación.

La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelos pueden ayudarnos a organizar y clasificar conceptos confusos e inconsistencias. Por ejemplo, la construcción de un modelo de representación de una red con el método PERT (evaluación de programas y técnicas de revisión) para un trabajo de diseño de sistemas complejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si es

trucción de modelos obliga a organizar, evaluar y experimentar la validez de pensamientos.

Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas para el entretenimiento e instrucción. A menudo los modelos son ideales para entrenar a una persona, para que aprenda nuevas habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antes de que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es utilizado en ocasiones para enseñar



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Debido a que la simulación es solamente un tipo de modelación, aunque muy importante, preparemos el escenario para un comentario sobre

mero la modelación en términos

Una de las razones básicas para el desarrollo de modelos es la de descubrir cuáles son las variables importantes o pertinentes. El descubrimiento de las variables pertinentes está estrechamente asociado

estigación de las estadísticas y la simulación para investigar las

El concepto de la representación de algún objeto, sistema o idea, con difícil clasificar todas las funciones que

satisfagan los modelos. La mayoría de los autores de libros de simulación,

La utilidad de modelo como ayuda para el pensamiento es evidente. Los modelos pueden ayudarnos a organizar y clasificar conceptos confusos

ucción de un modelo de representación de una red con el método PERT (evaluación de programas y técnicas de revisión) para un trabajo de diseño de sistemas complejos, obliga a pensar sobre qué pasos son necesarios y su consecuencia. Si es

trucción de modelos obliga a organizar, evaluar y

Los modelos han sido, y continúan teniendo un uso generalizado como ayudas para el entretenimiento e instrucción. A menudo los modelos son

a una persona, para que aprenda nuevas habilidades y pueda afrontar varias eventualidades antes de que ocurran. Un muñeco de tamaño natural es utilizado en ocasiones para enseñar



técnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan para entrenar astronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios para entrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de modelos de entrenamiento.

Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e históricamente, es la predicción de las características del comportamiento de la entidad modelada. No es económicamente factible construir un jet supersónico para determinar sus características de vuelo bajo condiciones extremas, sin embargo, su comportamiento se puede predsimulación Mediante simulación se verificaron las disposiciones de emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautas regresar a salvo después de la explosión del tanque de oxigeno. La mayoría de los simulación son herramientas de predicción.

Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada en situaciones en que los experimentos directos serían imprácticos o prohibitivos por su costo.

CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus características esenciales, porque pueden describirse de muchos modos. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones,propósitos, temas o grado de abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos básicos: icónico, analógico y simbólico o matemático.

Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de simulación de manera paninguna es completamente satisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un propósito particular. Algunos de estos esquemas de clasificación son los siguientes:

Estático (de corte seccional) vs. Dinámico (seri Determinantico vs Estocástico. Discreto vs Continuo. Icónico o físico vs Analógico vs Simbólico.



técnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan para entrenar astronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios para entrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de modelos de entrenamiento.

Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e la predicción de las características del comportamiento

de la entidad modelada. No es económicamente factible construir un jet supersónico para determinar sus características de vuelo bajo condiciones extremas, sin embargo, su comportamiento se puede predecir mediante la simulación Mediante simulación se verificaron las disposiciones de emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautas regresar a salvo después de la explosión del tanque de oxigeno. La mayoría de los modelos que se tratan en os libros de simulación son herramientas de predicción.

Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada en situaciones en que los experimentos directos serían imprácticos o prohibitivos por su costo.

SIFICACIÓN DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN

Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus características esenciales, porque pueden describirse de muchos modos. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones,propósitos, temas o grado de abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos básicos: icónico, analógico y simbólico o matemático.

Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de simulación de manera particular, de diversas formas. Por desgracia, ninguna es completamente satisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un propósito particular. Algunos de estos esquemas de clasificación son los

Estático (de corte seccional) vs. Dinámico (series de tiempo)Determinantico vs Estocástico.Discreto vs Continuo.Icónico o físico vs Analógico vs Simbólico.



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técnicas de primeros auxilios, modelos de vehículos espaciales se usan para entrenar astronautas, modelos para enseñar a conducir automóviles, y simulación de negocios para entrenar ejecutivos, son algunos ejemplos de

Quizás, uno de los usos más importantes de los modelos, práctica e la predicción de las características del comportamiento

de la entidad modelada. No es económicamente factible construir un jet supersónico para determinar sus características de vuelo bajo condiciones

ecir mediante la simulación Mediante simulación se verificaron las disposiciones de emergencia del Apolo 13, antes de implantarlas; éstas les permitieron a los astronautas regresar a salvo después de la explosión del tanque de

modelos que se tratan en os libros de

Finalmente, el uso de los modelos hace posible la experimentación controlada en situaciones en que los experimentos directos serían

Las diferentes clasificaciones de los modelos dan una idea adicional de sus características esenciales, porque pueden describirse de muchos modos. Los modelos pueden clasificarse por sus dimensiones, funciones,propósitos, temas o grado de abstracción. La base más común es la de tipos de modelos, que incluye los tipos básicos: icónico, analógico y

Los modelos pueden clasificarse de manera general y los modelos de rticular, de diversas formas. Por desgracia,

ninguna es completamente satisfactoria, a pesar de que cada una sirve a un propósito particular. Algunos de estos esquemas de clasificación son los

es de tiempo)



MODELOS ICONICOS O FÍSICOS

Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala distintamodo, una representación es un modelo icónico hasta el grado en que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que representa. Los modelos icónicos son muy adecuados para la descripción de acontecimientos en un momento específico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es una buena imagen de una fábrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construid en términos de un pequeño modelo que funcione, pueden ser demasiado costosas para construir y modificar a fin de estumejoras. Otra característica de un modelo icónico la constituyen sus dimensiones, dos dimensiones (fotografía, plano y mapa), o tres(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmente modelos escala. Cuando un modelo muchos problemas de investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo físicamente, y entonces pertenece a otra categoría de modelos llamados simbólicos o matemáticos.

MODELOS ANALOGICOS

Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan más que los icónicos, porque pueden mostrar las características del acontecimiento que se estudia. Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia en las estadísticaejemplos de modelos analógicos.

A menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedades de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en propiedades frecuencia podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja de los modelos analógico sobre los icónicos es que ordinariamente puede hacerse que los primeros representen muchos procesos del mismo tipo, lo que se hace eviprocesos y productos terminados de una fabrica.



MODELOS ICONICOS O FÍSICOS

Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya sea en forma idealizada o en escala distinta. Para expresarlo de otro modo, una representación es un modelo icónico hasta el grado en que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que representa. Los modelos icónicos son muy adecuados para la descripción de acontecimientos en un

ico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es una buena imagen de una fábrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construid en términos de un pequeño modelo que funcione, pueden ser demasiado costosas para construir y modificar a fin de estudiar sus posibles mejoras. Otra característica de un modelo icónico la constituyen sus

, dos dimensiones (fotografía, plano y mapa), o tres(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmente modelos escala. Cuando un modelo sobrepasa la tercera dimensión, como ocurre en muchos problemas de investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo físicamente, y entonces pertenece a otra categoría de modelos llamados simbólicos o matemáticos.

MODELOS ANALOGICOS

Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan más que los icónicos, porque pueden mostrar las características del acontecimiento que se estudia. Las curvas de demanda, las curvas de distribución de frecuencia en las estadísticas y los diagramas de flujo, son ejemplos de modelos analógicos.

A menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedades de los objetos de varias clases. Al transformar las propiedades en propiedades analógicas, con frecuencia podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja de los modelos analógico sobre los icónicos es que ordinariamente puede hacerse que los primeros representen muchos procesos del mismo tipo, lo que se hace evidente en el flujo de trabajos en procesos y productos terminados de una fabrica.



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Un modelo icónico es una representación física de algunos objetos, ya . Para expresarlo de otro

modo, una representación es un modelo icónico hasta el grado en que sus propiedades sean las mismas que tiene lo que representa. Los modelos icónicos son muy adecuados para la descripción de acontecimientos en un

ico del tiempo. Por ejemplo, una maqueta es una buena imagen de una fábrica, mientras que las operaciones reales de una fabrica construid en términos de un pequeño modelo que funcione, pueden ser

diar sus posibles mejoras. Otra característica de un modelo icónico la constituyen sus

, dos dimensiones (fotografía, plano y mapa), o tres dimensiones(maqueta, globo, automóvil y avión), llamados generalmente modelos

sobrepasa la tercera dimensión, como ocurre en muchos problemas de investigación de operaciones y simulación, es imposible construirlo físicamente, y entonces pertenece a otra categoría de

Los modelos analógicos pueden representar situaciones dinámicas y se usan más que los icónicos, porque pueden mostrar las características del acontecimiento que se estudia. Las curvas de demanda, las curvas de

s y los diagramas de flujo, son

A menudo un modelo analógico es muy adecuado para representar relaciones cuantitativas entre las propiedades de los objetos de varias

analógicas, con frecuencia podemos incrementar nuestra capacidad de hacer cambios. Otra ventaja de los modelos analógico sobre los icónicos es que ordinariamente puede hacerse que los primeros representen muchos

dente en el flujo de trabajos en



No podría usarse eficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control de calidad. Un diagrama de flujo es un modelo analógico muy senci

MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y toma la forma de cifras, símbolos y ecuaciones matemáticas. Comienzan como modeque formamos en nuestra mente y luego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo son más fácileque se escriben más rápidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadora, a través de lenguajes de programación de propósito partículas o general, los cualetrataremos en un capítulo posterior.

Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio. Las ecuaciones no sólo son ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negocios incluyen además, declaraciones de ingresos, tablas de organización de empresas, etc. Hay que tener en cuenta que pueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que los modelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser tan complicado que la cantidad de trabajo requerida pmodelo simbólico sea demasiado costosa si se relaciona con ganancias posibles. A menudo es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y esto es especialmente cierto con respecto a los modelos de simulación, que son modelos analógicos y que se describen con símbolos matemáticos.

TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los separaremos por categorías, lo que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin que esta clasificcompleta; la podemos a disposición del lector, para que éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.

CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS



No podría usarse eficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control de calidad. Un diagrama de flujo es un modelo analógico muy sencillo y eficaz en esas condiciones.

MODELOS SIMBOLICOS (MATEMATICOS)

Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y toma la forma de cifras, símbolos y ecuaciones matemáticas. Comienzan como modeque formamos en nuestra mente y luego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo son más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escriben más rápidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadora, a través de lenguajes de programación de propósito partículas o general, los cualetrataremos en un capítulo posterior.

Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio. Las ecuaciones no sólo son ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negocios incluyen además, declaraciones de ingresos,

de organización de empresas, etc. Hay que tener en cuenta que pueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que los modelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser tan complicado que la cantidad de trabajo requerida para construir un modelo simbólico sea demasiado costosa si se relaciona con ganancias posibles. A menudo es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y esto es especialmente cierto con respecto a los modelos de simulación, que son

y que se describen con símbolos matemáticos.

TIPOS DE MODELOS MATEMÁTICOS

Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los separaremos por categorías, lo que nos dará un soporte lógico para clasificarlos. Sin que esta clasificación pretenda estar completa; la podemos a disposición del lector, para que éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.

CUANTITATIVOS Y CUALITATIVOS



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No podría usarse eficazmente un modelo icónico para estudiar los efectos de ciertos cambios en el control de calidad. Un diagrama de flujo

llo y eficaz en esas condiciones.

Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y toma la forma de cifras, símbolos y ecuaciones matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y luego se registran como modelos simbólico o matemático que se usa comúnmente en la investigación en general, es la ecuación. Una ecuación es concisa y fácil de comprender.

s de manipular que las palabras, sino que se escriben más rápidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadora, a través de lenguajes de programación de propósito partículas o general, los cuales

Los modelos simbólicos los hemos descrito hasta ahora en un sentido muy amplio. Las ecuaciones no sólo son ejemplos de modelos, sino que modelos comunes de negocios incluyen además, declaraciones de ingresos,

de organización de empresas, etc. Hay que tener en cuenta que pueden representarse problemas para los que las analogías son más eficientes que los modelos simbólicos. Por ejemplo, un sistema puede ser

ara construir un modelo simbólico sea demasiado costosa si se relaciona con ganancias posibles. A menudo es difícil asignar tan sólo un modelo a una clase, y esto es especialmente cierto con respecto a los modelos de simulación, que son

y que se describen con símbolos matemáticos.

Como los modelos matemáticos son los que más interesan principalmente, los separaremos por categorías, lo que nos dará un soporte

ación pretenda estar completa; la podemos a disposición del lector, para que éste tenga una mejor comprensión de las diferencias esenciales entre los modelos.



Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables (en gran parte números), Llamamos a esto un modelo cuantitativo. Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representa una abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de los modelos matemáticos.

Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llaman cualitativos. Hay mucuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas, relaciones demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones, análisis de decisionesobtener ciertos valores representativos del sistema bajo análisis.

ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de operaciones (I. O.). Para esas técnicas se insertan los valores (números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta.

Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de diversas disciplinas, y para construir un modelo de ajuste al problema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995], utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I. O.



Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos representar constantes y variables (en gran parte números),

Llamamos a esto un modelo cuantitativo. Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representa una abstracción de las relaciones o condiciones entre constantes y variables. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de los modelos matemáticos.

Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se llaman cualitativos. Hay muchos problemas en los que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas, relaciones

siado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional, investigación de operaciones, análisis de decisiones y simulación se pueden obtener ciertos valores representativos del sistema bajo análisis.

ESTANDAR Y HECHOS A LA MEDIDA

Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de operaciones (I. O.). Para esas técnicas se insertan los valores (números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta.

Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo de ajuste al problema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995], utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I.



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Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos representar constantes y variables (en gran parte números),

Llamamos a esto un modelo cuantitativo. Se considera que una ecuación matemática es un modelo de este tipo, porque representa una abstracción

variables. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de los modelos matemáticos.

Los modelos que se ocupan de las cualidades de los componentes se chos problemas en los que no pueden

cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas, relaciones

siado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional,

y simulación se pueden obtener ciertos valores representativos del sistema bajo análisis.

Se usan modelos estándar para describir las técnicas que han llegado a asociarse con la investigación de operaciones (I. O.). Para usar esas técnicas se insertan los valores (números) apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta.

Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los especialmente las matemáticas,

para construir un modelo de ajuste al problema de que se trata. Un ejemplo de este caso es el Análisis Veture [Thierauf, 1995], utilizado en investigación de operaciones, que reúnen varios métodos estándar de la I.



1.5

DEFINICIÓN DEL SISTEMAuna descripción del problema o del sistema. Debe determinarse los límites o fronteras, restricciones, y medidas de efectividad que se usarán.

FORMULACIÓN DEL MODELOreal a un diagrama de flujo lógico.

PREPARACIÓN DE DATOSmodelo requiere y reducción de estos a una forma adecuada.

SELECCIÓN DEL LENGUAJEdependerá el tiempo de desarrollo del modelo de simulación, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecué a las necesidades de simulación que se requieran. La selección puede ser desde usar un lenguaje general como lo es BASIC, PASCALespecíficamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulación como: GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc.

TRANSLACIÓN DEL MODELOcódigo computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en la computadora.

VALIDACIÓN DEL MODELOdeterminar la habilidad que tiene un modelo para representar la realidad. La validación se lleva a cabo mediante la comparación estadística de los resultados del modelo y los resultados reales.

PLANEACION ESTRATÉGICAproducirá la información deseada.

PLANEACIÓN TÁCTICAuna de las corridas de prueba

EXPERIMENTACIÓNdatos deseados y efectuar análisis de sensibilidad.



1.5 Estructura y etapa de un modelo de simulación

DEFINICIÓN DEL SISTEMA. Cada estudio debe de comenzar con descripción del problema o del sistema. Debe determinarse los límites o

fronteras, restricciones, y medidas de efectividad que se usarán.

RMULACIÓN DEL MODELO. Reducción o abstracción del sistema real a un diagrama de flujo lógico.

PREPARACIÓN DE DATOS. Identificación de los datos que el modelo requiere y reducción de estos a una forma adecuada.

SELECCIÓN DEL LENGUAJE: De la selección ddependerá el tiempo de desarrollo del modelo de simulación, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecué a las necesidades de simulación que se requieran. La selección puede ser desde usar un lenguaje general como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete específicamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulación como: GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc.

TRANSLACIÓN DEL MODELO. Consiste en generar las instrucciocódigo computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en la computadora.

VALIDACIÓN DEL MODELO. Es el proceso que tiene como objetivo determinar la habilidad que tiene un modelo para representar la realidad.

e lleva a cabo mediante la comparación estadística de los resultados del modelo y los resultados reales.

PLANEACION ESTRATÉGICA. Diseño del un experimento que producirá la información deseada.

PLANEACIÓN TÁCTICA. Determinación de cómo se realizará cada una de las corridas de prueba

EXPERIMENTACIÓN. Corrida de la simulación para generar los datos deseados y efectuar análisis de sensibilidad.



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Estructura y etapa de un modelo de simulación

tudio debe de comenzar con descripción del problema o del sistema. Debe determinarse los límites o

fronteras, restricciones, y medidas de efectividad que se usarán.

. Reducción o abstracción del sistema

Identificación de los datos que el modelo requiere y reducción de estos a una forma adecuada.

De la selección del lenguaje dependerá el tiempo de desarrollo del modelo de simulación, es importante utilizar el lenguaje que mejor se adecué a las necesidades de simulación que se requieran. La selección puede ser desde usar un lenguaje general

o FORTRAN hasta hacer uso de un paquete específicamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o el PROMODEL, o lenguajes de Simulación como: GPSS,

Consiste en generar las instrucciones o código computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser

Es el proceso que tiene como objetivo determinar la habilidad que tiene un modelo para representar la realidad.

e lleva a cabo mediante la comparación estadística de los

Diseño del un experimento que

Determinación de cómo se realizará cada

. Corrida de la simulación para generar los



INTERPRETACIÓNgenerados por la simulación

IMPLANTACIÓN.importante llevarla a la práctica, en muchas ocasiones este último caso es el más difícil ya que se tiene que convencer a la alta dirección y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al implantar hay quetener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos últimos se obtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de una suposiciones.

MONITOREO Y CONTROLdinámicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones periódicas que permitan que el modelo siga siendo una representación del sistema

Etapa Formulación del problema. Diseño del modelo conceptual.

Recogida de datos.

Construcción del modelo. Verificación y validación.

Análisis.

Documentación.

Implementación.



INTERPRETACIÓN. Obtención de inferencias con base en datos generados por la simulación

IMPLANTACIÓN. Una vez seleccionada la mejor alternativa es importante llevarla a la práctica, en muchas ocasiones este último caso es el más difícil ya que se tiene que convencer a la alta dirección y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al implantar hay quetener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos últimos se obtienen, si bien de un modelo representativo, a partir de una suposiciones.

MONITOREO Y CONTROL: No hay que olvidar que los sistemas son dinámicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones periódicas que permitan que el modelo siga siendo una representación del sistema.

1.6. Etapas de un proyecto de

Descripción Define el problema que se pretende estudiar. Incluye por escrito sus objetivos. Especificación del modelo a partir de las características de los elementos del sistema que se quiere estudiar y sus interacciones teniendo en cuenta los objetivos del problema. Identificar, recoger y analizar los datos necesarios para el estudio. Construcción del modelo de simulación partiendo del modelo conceptual y de los datos. Comprobar que el modelo se comporta como es de esperar y que existe la correspondencia adecuada entre el sistema real y el modelo. Analizar los resultados de la simulación con la finalidad de detectar problemas y recomendar mejoras o soluciones. Proporcionar documentación sobre el trabajo efectuado. Poner en práctica las decisiones efectuadas con el apoyo del estudio de simulación.



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Obtención de inferencias con base en datos

leccionada la mejor alternativa es importante llevarla a la práctica, en muchas ocasiones este último caso es el más difícil ya que se tiene que convencer a la alta dirección y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha. Al implantar hay quetener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a los resultados simulados, ya que estos últimos se obtienen, si bien de un

No hay que olvidar que los sistemas son dinámicos y con el transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante los nuevos cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones periódicas que permitan que el modelo siga siendo

Etapas de un proyecto de Simulación

Define el problema que se pretende estudiar.

Especificación del modelo a partir de las rísticas de los elementos del sistema que se

quiere estudiar y sus interacciones teniendo en

Identificar, recoger y analizar los datos necesarios

ción del modelo de simulación partiendo del

Comprobar que el modelo se comporta como es de esperar y que existe la correspondencia adecuada

izar los resultados de la simulación con la finalidad de detectar problemas y recomendar

Proporcionar documentación sobre el trabajo

Poner en práctica las decisiones efectuadas con el



En principio definiremos la función de distribución acumulada para la distribución uniforme estandarizada como:

( ) = 0 1

�

En la práctica, se requieren sucesiones de números aleatorios para la generación de los datos de entrada para el proceso de simulación.

Se tienen cuatro métodos alternativos para generar o proveer sucesiones de números aleatorios:

1. Métodos manuales {lanzamiruleta, etc.}

2. Tablas {corporación rand}

3. Métodos analógicos de

4. Métodos de computación digitales

Los métodos analógicosaleatorios (comportamiento de corriente producen verdaderos números



UNIDAD



En principio definiremos la función de distribución acumulada para la uniforme estandarizada como:

�

práctica, se requieren sucesiones de números aleatorios para la datos de entrada para el proceso de simulación.

Se tienen cuatro métodos alternativos para generar o proveer aleatorios:

1. Métodos manuales {lanzamiento de monedas, dados, cartas,

2. Tablas {corporación rand}

3. Métodos analógicos de computación

4. Métodos de computación digitales

analógicos comprenden el uso de procesos (comportamiento de corriente eléctrica), se considera que

números aleatorios.

x<00<x<1x>1



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UNIDAD 2



En principio definiremos la función de distribución acumulada para la

práctica, se requieren sucesiones de números aleatorios para la datos de entrada para el proceso de simulación.

Se tienen cuatro métodos alternativos para generar o proveer

ento de monedas, dados, cartas,

comprenden el uso de procesos físicos), se considera que



En el caso de los números aleatorios: provisiónproceso físico al azar, recurrencia.

En el caso de provisiónde números aleatorios en una cinta del sistema de la computadora digital.

La segunda alternativa utiliza un aditamento de la computadora que puede registrar los resultados de traduzca a sucesiones de radiactivo, el ruido térmico

El defecto de estos procedimientos analógicos es el de que las sucesiones así generadas no

La generación interna por medio de una relación de recurrencia,

comprende la generación por medio de una

indefinidamente continuadaforma arbitraria.

El primer método conocido para generar números aleatorios de manera recurrente se considera que es de los “cuadrados centrales”, en el que cada número de la sucesión se obtienedel cuadrado del número precedente.

En la actualidad se para generar números aleatorios satisfactorios.

Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios debe satisfacer las siguientes condiciones:

Deben ser:

1. Uniformemente distribuidos2. Estadísticamente independientes3. Reproducibles4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión5. Generación a grandes velocidades6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento



En el caso de los métodos digitales hay 3 formas para proveerse de provisión externa, generación interna por medio de un

al azar, generación interna por medio de una

provisión externa, lo que se hace es, grabar las tablas en una cinta del sistema de la computadora digital.

La segunda alternativa utiliza un aditamento de la computadora que resultados de algún proceso aleatorio y que los

traduzca a sucesiones de dígitos, tales procesos pueden ser el decaimiento térmico, entre otros.

El defecto de estos procedimientos analógicos es el de que las í generadas no pueden reproducirse.


generación por medio de una “transformación

ndefinidamente continuada” aplicada a un grupo de números elegidos en

r método conocido para generar números aleatorios de considera que es de los “cuadrados centrales”, en el

que cada número de la sucesión se obtiene tomando los dígitos centrales del cuadrado del número precedente.

En la actualidad se prefiere el uso del método de “congruencias” aleatorios satisfactorios.

Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios siguientes condiciones:

1. Uniformemente distribuidosmente independientes

4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión5. Generación a grandes velocidades6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento



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digitales hay 3 formas para proveerse de interna por medio de un edio de una relación de

externa, lo que se hace es, grabar las tablas en una cinta del sistema de la computadora digital.

La segunda alternativa utiliza un aditamento de la computadora que proceso aleatorio y que los

pueden ser el decaimiento

El defecto de estos procedimientos analógicos es el de que las


transformación

de números elegidos en

r método conocido para generar números aleatorios de considera que es de los “cuadrados centrales”, en el

tomando los dígitos centrales

prefiere el uso del método de “congruencias”

Cualquiera que sea el método para generar números aleatorios

4. Sin repetición dentro de una longitud determinada de la sucesión

6. Requerir el mínimo de capacidad de almacenamiento



Método de Congruencias:

Estos métodos se basan en una relacque se expresa como:

ni+1 = a ni + c (mod m)

donde:ni, a, c y m :

para i= 0,1,2,...

n1= a n0 + c (mod m)

n2= a n1 c= a(an0 + c) + c º a

n3= a3n0 (a2-a+1)c = a3n0 + c (a2. (a-1)..ni= aino + c(ai-1) (a-1)n0 = constante inicialc = constante aditivaa = constante multiplicativa

Los términos de la sucesión {ni} forman una sucesión de residuos modulo m, es decir, ni <sucesión {ni} se pueden obtener números racionalessolo formar la sucesión:

{ri} = {ni / m}

Respecto a la pregunta de que si existe un mínimo valor positivo para i, i=h tal que nh = n0existe, cabe preguntarse que condiciones se puedeny m de manera que el periodo de {ni} sea lo más largo posible.



e Congruencias:

Estos métodos se basan en una relación fundamental de congruencias

+ c (mod m) → 1

son enteros no negativos

al desarrollar la ecuación

n1= a n0 + c (mod m)

n2= a n1 c= a(an0 + c) + c º a2 n0 + (a +1)c (mod m)

a+1)c = a3n0 + c (a2-1) (mod m)

1) (mod m) → 2

n0 = constante inicialc = constante aditivaa = constante multiplicativa

Los términos de la sucesión {ni} forman una sucesión de residuos modulo m, es decir, ni < m " ni; a partir de los números enteros de la

ni} se pueden obtener números racionales en el intervalo (0,1) con

Respecto a la pregunta de que si existe un mínimo valor positivo para i, i=h tal que nh = n0 donde h es el período de la sucesión {ni}; si h

e, cabe preguntarse que condiciones se pueden imponer sobre n0, a, c y m de manera que el periodo de {ni} sea lo más largo posible.



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ión fundamental de congruencias

Los términos de la sucesión {ni} forman una sucesión de residuos m " ni; a partir de los números enteros de la

en el intervalo (0,1) con

Respecto a la pregunta de que si existe un mínimo valor positivo donde h es el período de la sucesión {ni}; si h

imponer sobre n0, a, c y m de manera que el periodo de {ni} sea lo más largo posible.



Se tienen 3 versiones del método de congruencias para generar números pseudoaleatorios:

a) Uniformemente distribuidosb) Estadísticamente independientesc) Reproduciblesd) Sin repetición dentro de una longitud determinada

Métodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números

Aquí describiremos los métodpseudoaleatorios, usando ecuaciones de recurrencia.

Método de cuadrados centrales.

Históricamente, el primer método aritmético para generar números pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados centrales, en el que cada número de la sucesión se obtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del número precedente. El modelo matemático que los describe es:

n0 = semilla entera (entero positivo)

ni = dígitos centrales de n

xi = dígitos centrales de x

ejemplo:

a) ENTERO sea: n0 = 83,n1 = d. c. (6889) = 88n2 = d. c. (7744) = 74n3 = d. c. (5476) = 47n4 = d. c. (2209) = 20n5 = d. c. (0400) = 40n6 = d. c. (1600) = 60



Se tienen 3 versiones del método de congruencias para generar pseudoaleatorios:

Características de los números pse

Uniformemente distribuidosEstadísticamente independientes

Sin repetición dentro de una longitud determinada

étodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números pseudoaleatorios.

Aquí describiremos los métodos de generación de números pseudoaleatorios, usando ecuaciones de recurrencia.

étodo de cuadrados centrales.

Históricamente, el primer método aritmético para generar números pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados centrales, en el que cada número

la sucesión se obtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del número precedente. El modelo matemático que los describe es:

= semilla entera (entero positivo)

= dígitos centrales de n2i-1

= dígitos centrales de x2i-1 para i = 1, 2, 3,…

= d. c. (6889) = 88= d. c. (7744) = 74= d. c. (5476) = 47= d. c. (2209) = 20= d. c. (0400) = 40= d. c. (1600) = 60



Pági

na40

Se tienen 3 versiones del método de congruencias para generar

Características de los números pseudoaleatorios

étodos que utilizan ecuaciones de recurrencia para generar números pseudoaleatorios.

os de generación de números

Históricamente, el primer método aritmético para generar números pseudoaleatorios, fue el de los cuadrados centrales, en el que cada número

la sucesión se obtiene tomando los dígitos centrales del cuadro del número precedente. El modelo matemático que los describe es:



b) FRACCIONARIO (Semilla impar y primo)

n0 = 0.528n1 = 0.278784 = 0.787n2 = 0.619369 = 0.193n3 = 0.037249 = 0.372 n4 = 0.138124 = 0.383 n5 = 0.146689 = 0.466n6 = 0.217151 = 0.171n7 = 0.029241 = 0.292n8 = 0.085264 = 0.852n9 = 0.725904 = 0.259n10 = 0.067021 = 0.670n11 = 0.4489 = 0.489n12 = 0.239121 = 0.391n13 = 0.152881 = 0.528 P = 13n14 = 0.278784 = 0.787

n14 = 0.278784 = 0.787


-Métodos congruenciales “69”

Reglas:

C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5 a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar

buenos resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o (a) mod 200 = 21 para udecimal.

M debe ser el número entero más grande que la computadora acepte

De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados pargenerador congruencial mixto en una computadora binaria son:

a = 8 * c 3 c = cualquier entero r0 = cualquier entero impar (n m =2b donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora



(Semilla impar y primo)

= 0.278784 = 0.787= 0.619369 = 0.193= 0.037249 = 0.372 = 0.138124 = 0.383 = 0.146689 = 0.466= 0.217151 = 0.171= 0.029241 = 0.292= 0.085264 = 0.852= 0.725904 = 0.259= 0.067021 = 0.670

4489 = 0.489= 0.239121 = 0.391= 0.152881 = 0.528 P = 13= 0.278784 = 0.787

= 0.278784 = 0.787


Métodos congruenciales “69”

C debe ser un entero impar, no divisible ni por 3 ni por 5a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una computadora binario a o (a) mod 200 = 21 para una computadora


De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados pargenerador congruencial mixto en una computadora binaria son:

c = cualquier enterocualquier entero impar (ni)

donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora



Pági

na41


a usualmente puede ser cualquier constante sin embargo para asegurar buenos resultados, seleccione a de tal forma que (a) mod 8= 5 para una

na computadora


De acuerdo con Hull y Debell, los mejores resultados para un generador congruencial mixto en una computadora binaria son:

donde b>2 y que m sea aceptado por la computadora



METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROSPSEUDOALEATORIOS

Fórmulas generales de congruencias.

MIXTO MU

ni+1 = (ani +c)mod m n

Para i = 0, 1, 2, …,msemilla inicial.

h = máximo periodo

Método multiplicativo c =0 Método mixto c

BASE 2 h = 2b-2 ; b<2 h = m = 2

m= 2b

donde a impar n0 impar positivo c = impar positivo y n (a,m) =1

BASE 10

h = 5 * 10d-2; d>3 h = m 10

m = 10d

t= cualquier entero positivo si d = 3, poner a = 101

p = {3,11,13,19,21,27,29,

a m

a t p 200

p 3 8mod

n ain c

ai

a

0

1

1



METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROS

Fórmulas generales de congruencias.

MIXTO MULTIPLICATIVO

+c)mod m ni+1 = (a*ni )mod m

Para i = 0, 1, 2, …,m-1, donde a, c, m son enteros positivos. A n

donde i = 0, 1, 2,…,m-1 a, c, n0 < m

Método multiplicativo c =0 Método mixto c

BASE 2 ; b<2 h = m = 2b ; donde b > 2

donde a impar impar positivo c = impar positivo y n0 entero

positivo

;

válida para

si b = 3 poner a = 5.

; d>3 h = m 10d; d 3

tero positivo si d = 3, poner a = 101

para d p = {3,11,13,19,21,27,29,

ab

2 12

a ss 2 1 2;

ab

2 12

b 4

a

d

10 12

a ss 10 1 1;

8 0 4 ad

10 12

bb

b

bb2

21

2

mmod



Pági

na42

METODO DE CONGRUENCIAS PARA GENERAR NÚMEROS

1, donde a, c, m son enteros positivos. A n0 se le llama

0

; donde b > 2

entero

tero positivo si d = 3, poner a = 101

b par

b impar



53,59,61,77,83,91 c= impar positivo y (c,5) = etc} mod 200 n0 impar positivo y (a,5)01 n

METODO MIXTO BASE 2

Genera tantos números igual al modulo para b> 2

METODO MULTIPLICATIVO BASE

m > h

Mínimo del modulo sería 10,000

p= residuo 3

p < mod m

(a,5) = 1 significa que a no debe ser múltiplo de 5

METODO MIXTO BASE 10Se genera un periodo igual al modulo

caso particular c que no sea múltiplo de 5c= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 117, 19, ….(mn0 = cualquier entero positivo…(m

ejemplo:h = m = 103 a 103/2 + 1 = 32.62posibles de a s a

2 101 el que más se a

3 1001 4 10001

3 8mod

h m dd

10 32

a ad

10 12

a s 10 1;



53,59,61,77,83,91 c= impar positivo y (c,5) = 1

impar positivo y (a,5)01 n0 entero positivo

METODO MIXTO BASE 2


METODO MULTIPLICATIVO BASE 10

del modulo sería 10,000

residuo 3

(a,5) = 1 significa que a no debe ser múltiplo de 5

METODO MIXTO BASE 10Se genera un periodo igual al modulo

s= 1, 2, 3,…

c que no sea múltiplo de 5= 1, 3, 7, 9, 11, 13, 117, 19, ….(m-1)

= cualquier entero positivo…(m-1)

d = 3+ 1 = 32.62

posibles de a s a

2 101 el que más se acerca a 32.62 es 101, a = 1013 10014 10001



Pági

na43


cerca a 32.62 es 101, a = 101



d 3 32.62 3 101 4 101 4 1 5 317.22 más cercano al valor de a. 5 101 6 1001 6 1001 7 3163.27 8 10001 8 10001 9 31623.77

Cuando d = 3, = 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque a 32.62 es s = 2 y a = 101

d= 4 a=10d= 5 a=10

Ejemplo: Base 2 MULh = 27 b -2 = 7 de donde b= 7 + 2 , b =9n = 2b-2, b > 2.M = 2b m = 29

, t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

t a

0

1 5

11

2 13

19

a

a

a m a impar

a 512 22 63.

a t 8 3

3

d d d par

dd impar2

21

2



d a

3 32.62 3 101 4 101 4 15 317.22 más cercano al valor de a. 5 1016 1001 6 1001 7 3163.27 7 1001 8 10001 8 10001 9 31623.77 9

= 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque a

d= 4 a=104/2 + 1 = 102 + 1d= 5 a=105/2 + 1 = 101

Ejemplo: Base 2 MULTIPLICATIVO2 = 7 de donde b= 7 + 2 , b =9

9 , m = 512.

, t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, …

par

impar



Pági

na44

d a

3 32.62 3 101 4 101 4 1015 317.22 más cercano al valor de a. 5 1016 1001 6 1001

7 1001 8 10001 8 10001

= 32.62 en los valores de 5 a 9 cualquier valor que más se acerque a



3 21

27

4 29

35

n0 = 1, 3, 5, 7, 9,… 511, impar menor que m.(a , m) = 1 primo relativo, divisibles entre 1, máximo común divisor(5 , 15) = 1 No son primos relativos(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes que los puedan dividir. Ni+1 = 21ni mod 512i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …127127 + n0 = 128h = 27 = 128.

NOTA: Con estos parámetros genero 128 datos.

Método aditivo de congruencias

Se presupone k valores iniciales dados, con k un númerpositivo. Si k = 1, la ecuación de recurrencia genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se comporta como las sucesión que se genera con el método multiplicativo de congruencias, con el factor

Las propiedades estadísticas de este método tienden a mejorarse cuando k se incremente. Además, este método genera períodos mayores que el módulo m.

n n n n semillask0 1 2

, , ,...

a 1 5 2.

n n ni i i k 1 mod



n0 = 1, 3, 5, 7, 9,… 511, impar menor que m.lativo, divisibles entre 1, máximo común divisor

(5 , 15) = 1 No son primos relativos(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes que los puedan dividir.

i =0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …127

h = 27 = 128.

on estos parámetros genero 128 datos.

Método aditivo de congruencias

con k = 1, 2, 3, 4, 5, …

Se presupone k valores iniciales dados, con k un númerpositivo. Si k = 1, la ecuación de recurrencia genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se comporta como las sucesión que se genera con el método multiplicativo de congruencias, con el factor:

ropiedades estadísticas de este método tienden a mejorarse cuando k se incremente. Además, este método genera períodos mayores

semillas

.

mmod



Pági

na45

lativo, divisibles entre 1, máximo común divisor

(8 , 9) = 1 son primos relativos porque no tienen factores primos comunes

Se presupone k valores iniciales dados, con k un número entero positivo. Si k = 1, la ecuación de recurrencia genera la conocida sucesión de Fibonacci. Esta sucesión se comporta como las sucesión que se genera

ropiedades estadísticas de este método tienden a mejorarse cuando k se incremente. Además, este método genera períodos mayores



Los métodos analógicos comprenden el uso de procesos físicos aleatorios (comportamiento de corriente eléctrica), se considera que producen verdaderos números

En el caso de los métodos digitales hay 3 formas para proveerse de números aleatorios: provisiónproceso físico al azar, recurrencia.

En el caso de provisiónde números aleatorios en una cinta del sistema de la computadora digital.

La segunda alternativa utiliza un adpuede registrar los resultados de traduzca a sucesiones de radiactivo, el ruido térmico

El defecto de estos procedimientos sucesiones así generadas no


comprende la generación por medio de una

indefinidamente continuadaforma arbitraria.

Además se discutirán pruebas de independencia de dos variables aleatorias en las cuales la evidencia maestral se obtiene mediante la clasificación de cada variable aleatoria en un cierto número de categorías. Este tipo de prueba recibe el nombre de bondad de ajuste. Para un tamaño específico del error de tipo I, la hipótesis nula será rechazada si existe una diferencia suficiente entre las frecuencias observadas y las esperadas.

La hipótesis alternativa es compuesta y a veces identificada. El resultado es que la




Los métodos analógicos comprenden el uso de procesos físicos (comportamiento de corriente eléctrica), se considera que

números aleatorios.

En el caso de los métodos digitales hay 3 formas para proveerse de provisión externa, generación interna por medio de un

al azar, generación interna por medio de una

provisión externa, lo que se hace es, grabar las tablas en una cinta del sistema de la computadora digital.

La segunda alternativa utiliza un aditamento de la computadora que resultados de algún proceso aleatorio y que los

traduzca a sucesiones de dígitos, tales procesos pueden ser el decaimiento térmico, entre otros.

El defecto de estos procedimientos analógicos es el de que las generadas no pueden reproducirse.


generación por medio de una “transformación

indefinidamente continuada” aplicada a un grupo de números e

Además se discutirán pruebas de independencia de dos variables aleatorias en las cuales la evidencia maestral se obtiene mediante la clasificación de cada variable aleatoria en un cierto número de categorías.

ba recibe el nombre de bondad de ajuste. Para un tamaño específico del error de tipo I, la hipótesis nula será rechazada si existe una diferencia suficiente entre las frecuencias observadas y las

La hipótesis alternativa es compuesta y a veces no suele estar identificada. El resultado es que la función potencia es difícil de obtener.



Pági

na46


Los métodos analógicos comprenden el uso de procesos físicos (comportamiento de corriente eléctrica), se considera que

En el caso de los métodos digitales hay 3 formas para proveerse de interna por medio de un

por medio de una relación de

externa, lo que se hace es, grabar las tablas en una cinta del sistema de la computadora digital.

itamento de la computadora que proceso aleatorio y que los

pueden ser el decaimiento

es el de que las


transformación

de números elegidos en

Además se discutirán pruebas de independencia de dos variables aleatorias en las cuales la evidencia maestral se obtiene mediante la clasificación de cada variable aleatoria en un cierto número de categorías.

ba recibe el nombre de bondad de ajuste. Para un tamaño específico del error de tipo I, la hipótesis nula será rechazada si existe una diferencia suficiente entre las frecuencias observadas y las

no suele estar es difícil de obtener.



En consecuencia, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por sí misma para aceptar la afirmación de la hipótesis nula.

2. Prueba de bondad de ajuste chi

Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos se ajusta a una distribución dada

Considérese una muestra aleatoria de tamaño variable aleatoria X dividida en…, k. el número de observaciones en la i

H0: F(x)=F0(x)

en donde el modelo de probabilidad propuesto Fde manera completa, con respecto a todos los parámetros.

Es posible, pues, calcésima clase, bajo H0. Es obvio, también, que

Sea ni la realización de N

La probabilidad de obtener de manera exacta nclase es

Dado que existen kp2, …, pk; entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

Para deducir una prueba estadística para Hes el caso de la distribución binomial con x = nvariable aleatoria estandarizada:



En consecuencia, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por sí misma para aceptar la afirmación de la hipótesis nula.

Prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado

Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos se ajusta a una distribución

Considérese una muestra aleatoria de tamaño n de la distribución de una variable aleatoria X dividida en k clases exhaustivas e incompatibles, y sea N…, k. el número de observaciones en la i-ésima clase. Considérese la hipótesis nula

en donde el modelo de probabilidad propuesto F0(x) se encuentra especificado de manera completa, con respecto a todos los parámetros.

Es posible, pues, calcular pi: probabilidad de obtener una observación en la i. Es obvio, también, que

la realización de Ni para i = 1,2,…, k de manera que

La probabilidad de obtener de manera exacta ni observaciones en la i

k categorías mutuamente excluyentes con probabilidades p; entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es

igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

prueba estadística para H0, considérese el caso de k = 2. Este es el caso de la distribución binomial con x = n1, p = p1, n-x =n2 y 1variable aleatoria estandarizada:



Pági

na47

En consecuencia, una prueba de bondad de ajuste no debe usarse por sí

Se utiliza para decidir cuando un conjunto de datos se ajusta a una distribución

de la distribución de una clases exhaustivas e incompatibles, y sea Ni i = 1, 2,

ésima clase. Considérese la hipótesis nula

(x) se encuentra especificado

probabilidad de obtener una observación en la i-

observaciones en la i-ésima

categorías mutuamente excluyentes con probabilidades p1, ; entonces bajo la hipótesis nula la probabilidad de la muestra agrupada es

igual a la función de probabilidad de una distribución multinomial determinada.

, considérese el caso de k = 2. Este y 1-p =p2. Sea la



para n grande, esta variable aleatoria se distribuye según una N(0;1). sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chicuadrado con un grado de libertad. Entonces el estadístico

Si se sigue este razonamiento, puede demodistintas

Nótese que Ni es la frecuencia observada en la ibajo la hipótesis nula.

Esta estadística recibe el nombre de prueba de bondad de ajuste chide Pearson.

Si existe una concoresperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor, también muy grande. Por ello se desprendla región crítica estará en el extremo superior la distribución chigrado de libertad.

Una ventaja de la prueba de bondad de ajuste chivalores grandes de n, la distribucióindependiente de la forma que tenga la distribución FComo consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utiliza también para distribuciones de probabilidad en las queen que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias que se observan y se esperan para un número finito de categorías.

De acuerdo con lo anterior, si Ffrecuencias que se observan aisladas con la función de densidad propuesta tal y como implica la hipótesis nula; sino, más bien, la comparación se lleva a cabo aproximando la distribución continua bajo H



grande, esta variable aleatoria se distribuye según una N(0;1). sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chicuadrado con un grado de libertad. Entonces el estadístico

Si se sigue este razonamiento, puede demostrarse que para k

es la frecuencia observada en la i-ésima clase y np

Esta estadística recibe el nombre de prueba de bondad de ajuste chi

Si existe una concordancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor, también muy grande. Por ello se desprende que para un valor dado del error de tipo I, la región crítica estará en el extremo superior la distribución chi-cuadrada con

Una ventaja de la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada es que para la distribución límite chi-cuadrada de la estadística, es

independiente de la forma que tenga la distribución F0(x) propuesta en la hipótesis HComo consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utiliza también para distribuciones de probabilidad en las que F0(x) es continua. Sin embargo, debe insistirse en que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias que se observan y se esperan para un número finito de categorías.

De acuerdo con lo anterior, si F0(x) es continua, la prueba no compara las frecuencias que se observan aisladas con la función de densidad propuesta tal y como implica la hipótesis nula; sino, más bien, la comparación se lleva a cabo aproximando la distribución continua bajo H0 con un número finito de intervalos de clase.



Pági

na48

grande, esta variable aleatoria se distribuye según una N(0;1). Además sabemos que el cuadrado de una variable aleatoria N(0,1) se distribuye según una chi-

strarse que para k≥2 categorías

ésima clase y npi la esperada

Esta estadística recibe el nombre de prueba de bondad de ajuste chi-cuadrada

dancia perfecta entre las frecuencias observadas y las esperadas, el estadístico tendrá un valor igual a cero; por otra parte si las discrepancias entre estas frecuencias son grandes, el estadístico tomará un valor,

e que para un valor dado del error de tipo I, cuadrada con k-1

cuadrada es que para cuadrada de la estadística, es

(x) propuesta en la hipótesis H0. Como consecuencia de esto se tiene que la prueba de bondad se utiliza también para

(x) es continua. Sin embargo, debe insistirse en que la prueba de bondad es discreta, en el sentido de que ésta compara frecuencias

ueba no compara las frecuencias que se observan aisladas con la función de densidad propuesta tal y como implica la hipótesis nula; sino, más bien, la comparación se lleva a cabo aproximando la



No obstante, esta prueba es un procedimiento razonablemente adecuado para probar suposiciones de normalidad siempre y cuando el tamaño de la muestra sea suficientemente grande.

¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra? Se ha encontradoigual a 5 veces el número de clases, los resultados son aceptables. Una regla conservadora es que ninguna clase tenga una frecuencia inferior a 5; si esto sucediera, se agruparían clases vecinas.

A menos que se especifique una hipótesis alternatalternativo particular F1(x), la potencia de la prueba (probabilidad de que un valor se encuentre en la región crítica cuando H0 es falsa) es muy difícil de determinar. Por otra parte, puede demostrarse que la potencia tiende implica que cuando n es muy grande es casi seguro que se rechaza H0, pues es muy difícil especificar una F0(x) lo suficientemente cercana a la distribución. Por tanto esta prueba es cuestionable para muestras muy grand

Recuérdese que el modelo de probabilidad propuesto Fcompletamente. Por regla general, solo se conoce la normalidad de Festimar la media y la varianza, en consecuencia las frecuencias esperadas np=1,2,…,k no pueden determinarse.

Sea T el estadístico del parámetro desconocido observadas) como npi(T) frecuencias esperadas son variables aleatorias, donde pindica que la probabilidad bajo la hipótesis nula es función del estad

Puede demostrarse que si T es el estimador de máxima verosimilitud de entonces:

en donde r es el número de parámetros que se está intentando estimar.

Ejemplo 1

El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de empleados que asisten al consultorio médico de la planta se encuentran distribuido en forma equitativa durante los 5 días de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de 4 semanas completas de trabajo, se observó el siguiente número de consultas:

Lunes 49



No obstante, esta prueba es un procedimiento razonablemente adecuado para probar suposiciones de normalidad siempre y cuando el tamaño de la muestra sea

¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra? Se ha encontradoigual a 5 veces el número de clases, los resultados son aceptables. Una regla conservadora es que ninguna clase tenga una frecuencia inferior a 5; si esto sucediera, se agruparían clases vecinas.

A menos que se especifique una hipótesis alternativa que consista en un modelo alternativo particular F1(x), la potencia de la prueba (probabilidad de que un valor se encuentre en la región crítica cuando H0 es falsa) es muy difícil de determinar. Por otra parte, puede demostrarse que la potencia tiende a 1 cuando n tiende a infinito. Esto implica que cuando n es muy grande es casi seguro que se rechaza H0, pues es muy difícil especificar una F0(x) lo suficientemente cercana a la distribución. Por tanto esta prueba es cuestionable para muestras muy grandes.

Recuérdese que el modelo de probabilidad propuesto F0(x) se especificó completamente. Por regla general, solo se conoce la normalidad de F0(x), necesitándose estimar la media y la varianza, en consecuencia las frecuencias esperadas np

pueden determinarse.

Sea T el estadístico del parámetro desconocido θ de F0(x). Tanto N(T) frecuencias esperadas son variables aleatorias, donde p

indica que la probabilidad bajo la hipótesis nula es función del estadístico T de

Puede demostrarse que si T es el estimador de máxima verosimilitud de

es el número de parámetros que se está intentando estimar.

El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de eados que asisten al consultorio médico de la planta se encuentran distribuido en

forma equitativa durante los 5 días de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de 4 semanas completas de trabajo, se observó el siguiente número de

Martes Miércoles Jueves Viernes 35 32 39 45



Pági

na49

No obstante, esta prueba es un procedimiento razonablemente adecuado para probar suposiciones de normalidad siempre y cuando el tamaño de la muestra sea

¿Qué tan grande debe ser el tamaño de la muestra? Se ha encontrado que con nigual a 5 veces el número de clases, los resultados son aceptables. Una regla conservadora es que ninguna clase tenga una frecuencia inferior a 5; si esto sucediera,

iva que consista en un modelo alternativo particular F1(x), la potencia de la prueba (probabilidad de que un valor se encuentre en la región crítica cuando H0 es falsa) es muy difícil de determinar. Por otra

a 1 cuando n tiende a infinito. Esto implica que cuando n es muy grande es casi seguro que se rechaza H0, pues es muy difícil especificar una F0(x) lo suficientemente cercana a la distribución. Por tanto esta

(x) se especificó (x), necesitándose

estimar la media y la varianza, en consecuencia las frecuencias esperadas npi; i

(x). Tanto Ni (frecuencias (T) frecuencias esperadas son variables aleatorias, donde pi(T)

ístico T de θ.

Puede demostrarse que si T es el estimador de máxima verosimilitud de θ,

es el número de parámetros que se está intentando estimar.

El gerente de una planta industrial pretende determinar si el número de eados que asisten al consultorio médico de la planta se encuentran distribuido en

forma equitativa durante los 5 días de trabajo de la semana. Con base en una muestra aleatoria de 4 semanas completas de trabajo, se observó el siguiente número de

Viernes



Con a=0,05, ¿existe alguna razón para creer que el número de empleados que asisten al consultorio médico, no se encuentra distribuido de forma equitativa durante los días de la semana?

Solución

Una distribución uniforme lleva consigo que la probabilidad sería la misma para cada día de la semana. Por tanto pi=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5.

La hipótesis nula H0: pi=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5. Dado que n=200, la frecuencia esperada para cada día destadístico es:

Días

Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

El estadístico sigue una chi

Por otro lado PRUEBA.CHI.INV(0,05;4)=no puede rechazarse la hipótesis nula.

Ejemplo 2

En la tabla siguiente se dan las calificmatemáticas SAT por los estudiantes de tercer año preparatorio

De ….a.…. Número de

exámenes200 249 3423 250 299 18434 300 349 39913 350 399 51603 400 449 61691 450 499 72186 500 549 72804 550 599 58304 600 649 46910



Con a=0,05, ¿existe alguna razón para creer que el número de empleados que asisten al consultorio médico, no se encuentra distribuido de forma equitativa durante los

Una distribución uniforme lleva consigo que la probabilidad sería la misma para cada día de la semana. Por tanto pi=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5.

La hipótesis nula H0: pi=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5. Dado que n=200, la frecuencia esperada para cada día de la semana es 200*0,2=40. Luego, el valor del

FrecuenciasObservadas

Frecuenciasteóricas

(Ni-npi)

2/npi

49 40 2,025 35 40 0,625

Miércoles 32 40 1,6 39 40 0,025 45 40 0,625

Suma 4,9

El estadístico sigue una chi-cuadrada con k-1 grado de libertad, con k=5. Luego

Por otro lado PRUEBA.CHI.INV(0,05;4)= 9,48772846. Como 4,9<9,48772846, no puede rechazarse la hipótesis nula.

En la tabla siguiente se dan las calificaciones obtenidas en la prueba de matemáticas SAT por los estudiantes de tercer año preparatorio

Frecuenciarelativa

Intervalo normalestándar

Probabilidaddel intervalo

0,00716 -2,425 -2,017 0,0142 0,03855 -2,008 -1,600 0,0325 0,08347 -1,592 -1,183 0,0626 0,10791 -1,175 -0,767 0,1016 0,12901 -0,758 -0,350 0,1390 0,15096 -0,342 0,067 0,1603 0,15225 0,075 0,483 0,1557 0,12193 0,492 0,900 0,1274 0,09810 0,908 1,317 0,0879



Pági

na50

Con a=0,05, ¿existe alguna razón para creer que el número de empleados que asisten al consultorio médico, no se encuentra distribuido de forma equitativa durante los

Una distribución uniforme lleva consigo que la probabilidad sería la misma para

La hipótesis nula H0: pi=0,2 para i = 1, 2, 3, 4, 5. Dado que n=200, la e la semana es 200*0,2=40. Luego, el valor del

1 grado de libertad, con k=5. Luego

9,48772846. Como 4,9<9,48772846,

aciones obtenidas en la prueba de

Probabilidaddel intervalo

Númeroesperado

0,0142 6795,55 0,0325 15539,08 0,0626 29939,08 0,1016 48604,67 0,1390 66489,75 0,1603 76642,67 0,1557 74444,01 0,1274 60930,11 0,0879 42021,58



650 699 30265 700 749 16246 750 800 6414

478193

los datos están ajustados a una normal deCon base en la prueba de bondad de ajuste chicreer que el número de respuestas correctas no se encuentra distribuidas según una

N(491; 120) a un nivel =0,05?

Solución

Nótese que la sumas de las probabilidades no es la unidad y por tanto la clasificación en clases no es exhaustiva; sin embargo, mediante un reajuste esto puede lograrse, haciendo que la primera clase no tenga límite inferior ni la última sP(X ≤250)= 0,02230387 y la P(Xcalculando

De …...…..a...……. Número de exámenes

200 250

250 300

300 350

350 400

400 450

450 500

500 550

550 600

600 650

650 700

700 750

750 800

Se obtiene que el valor de el valor crítico

Por tanto la hipótesis nula debe rechazarse. Este ejemplo ilustra el comentario formulado anteriormente contoda seguridad la hipótesis nula será rechazada.



0,06329 1,325 1,733 0,0511 0,03397 1,742 2,150 0,0250 0,01341 2,158 2,575 0,0104

1,00000 0,9678

los datos están ajustados a una normal de media 491 y desviación típica 120. Con base en la prueba de bondad de ajuste chi-cuadrado, ¿existe alguna razón para creer que el número de respuestas correctas no se encuentra distribuidas según una

=0,05?

Nótese que la sumas de las probabilidades no es la unidad y por tanto la clasificación en clases no es exhaustiva; sin embargo, mediante un reajuste esto puede lograrse, haciendo que la primera clase no tenga límite inferior ni la última s

y la P(X≥750)= 0,01545091. Sustituyendo estos valores y

Número de

Probabilidad Número (Ni-npi)2/npi

exámenes del intervalo esperado

3423 0,0223 10665,55 4918,1271

18434 0,0334 15984,05 375,515279

39913 0,0643 30732,32 2742,54873

51603 0,1041 49793,4 65,7647833

61691 0,1422 67987,23 583,087621

72186 0,1636 78228,44 466,723881

72804 0,1586 75855,65 122,766962

58304 0,1296 61986,47 218,766858

46910 0,0893 42686,09 417,967907

30265 0,0518 24771,49 1218,28167

16246 0,0253 12113,8 1409,55578

6414 0,0155 7388,52 128,535787

478193 1 478193 12667,6424

Se obtiene que el valor de χ2 con 12 clases es igual a 12.667,64. Por otro lado

Por tanto la hipótesis nula debe rechazarse. Este ejemplo ilustra el comentario formulado anteriormente con respecto a muestras muy grandes, en las cuales con casi toda seguridad la hipótesis nula será rechazada.



Pági

na51

0,0511 24420,10 0,0250 11957,60 0,0104 4991,80

0,9678 462776,00

media 491 y desviación típica 120. cuadrado, ¿existe alguna razón para

creer que el número de respuestas correctas no se encuentra distribuidas según una

Nótese que la sumas de las probabilidades no es la unidad y por tanto la clasificación en clases no es exhaustiva; sin embargo, mediante un reajuste esto puede lograrse, haciendo que la primera clase no tenga límite inferior ni la última superior. La

0,01545091. Sustituyendo estos valores y

-npi)2/npi

4918,1271

375,515279

2742,54873

65,7647833

583,087621

466,723881

122,766962

218,766858

417,967907

1218,28167

1409,55578

535787

12667,6424

con 12 clases es igual a 12.667,64. Por otro lado

Por tanto la hipótesis nula debe rechazarse. Este ejemplo ilustra el comentario respecto a muestras muy grandes, en las cuales con casi



EL ESTADÍSTICO DE KOLMOGOROV

La prueba de bondad de ajuste de Pearson se encuentra limitada cuando Fes continua y la muestra aleatoria dibondad cuando F0(x) es continua es la de Kolmogorovdatos esten agrupados en intervalos y es aplicable cuando la muestra es pequeña. Ésta se basa en una comparación entre las funcioobservan en la muestra ordenada y en la distribución propuesta bajo la hipótesis nula.

Consideremos la hipótesis nula Hforma completa. Denótese por xmuestra aleatoria de tamaño n; y defínase la función de distribución acumulativa muestral como

Si la hipótesis nula es correcta las diferencias entre SEl estadístico de Kolmogorov

El estadístico Dn tiene una distribución que es independiente del modelo propuesto bajo la hipótesis nula, y depende tan solo del tamaño de la muestra. En la tabla adjunta en la hoja de cálculo, se proporcionan valores cuantiles superiores para varios tamaños de la muestra.

Para un error de tipo I de tamaño

Ejemplo 4

A continuación se dan los valores ordenados de una muestra aleatoria con las respuestas correctas de los estudiantes que ingresaron en la universidad en la prueba del SAT: 852, 875, 910, 933, 957, 963, 981, 91048, 1063. En años anteriores el número de respuestas correctas estaba representado por una N(985; 50). Con base en la muestra, ¿existe alguna razón para creer que ha ocurrido un cambio en la distribución de respuestas co

Empléese un nivel =0,05.

Solución



EL ESTADÍSTICO DE KOLMOGOROV-SMIRNOV

La prueba de bondad de ajuste de Pearson se encuentra limitada cuando Fes continua y la muestra aleatoria disponible es de tamaño pequeño. Una prueba de

(x) es continua es la de Kolmogorov-Smirnov. No necesita que los datos esten agrupados en intervalos y es aplicable cuando la muestra es pequeña. Ésta se basa en una comparación entre las funciones de distribución acumulativas que se observan en la muestra ordenada y en la distribución propuesta bajo la hipótesis nula.

Consideremos la hipótesis nula H0: F(x)=F0(x), en donde F0(x) se especifica de forma completa. Denótese por x(1), x(2), …, x(n) a las observaciones ordenadas de una muestra aleatoria de tamaño n; y defínase la función de distribución acumulativa

Si la hipótesis nula es correcta las diferencias entre Sn(x) y F0(x) serán pequeñas. El estadístico de Kolmogorov-Smirnov se define como

tiene una distribución que es independiente del modelo propuesto bajo la hipótesis nula, y depende tan solo del tamaño de la muestra. En la tabla adjunta en la hoja de cálculo, se proporcionan valores cuantiles superiores para varios tamaños de la muestra.

Para un error de tipo I de tamaño , la región crítica es de la forma

A continuación se dan los valores ordenados de una muestra aleatoria con las respuestas correctas de los estudiantes que ingresaron en la universidad en la prueba del SAT: 852, 875, 910, 933, 957, 963, 981, 998, 1010, 1015, 1018, 1023, 1035, 1048, 1063. En años anteriores el número de respuestas correctas estaba representado por una N(985; 50). Con base en la muestra, ¿existe alguna razón para creer que ha ocurrido un cambio en la distribución de respuestas correctas en las pruebas del SAT?



Pági

na52

La prueba de bondad de ajuste de Pearson se encuentra limitada cuando F0(x) sponible es de tamaño pequeño. Una prueba de

Smirnov. No necesita que los datos esten agrupados en intervalos y es aplicable cuando la muestra es pequeña. Ésta

nes de distribución acumulativas que se observan en la muestra ordenada y en la distribución propuesta bajo la hipótesis nula.

(x) se especifica de las observaciones ordenadas de una

muestra aleatoria de tamaño n; y defínase la función de distribución acumulativa

(x) serán pequeñas.

tiene una distribución que es independiente del modelo propuesto bajo la hipótesis nula, y depende tan solo del tamaño de la muestra. En la tabla adjunta en la hoja de cálculo, se proporcionan valores cuantiles superiores de Dn

, la región crítica es de la forma

A continuación se dan los valores ordenados de una muestra aleatoria con las respuestas correctas de los estudiantes que ingresaron en la universidad en la prueba

98, 1010, 1015, 1018, 1023, 1035, 1048, 1063. En años anteriores el número de respuestas correctas estaba representado por una N(985; 50). Con base en la muestra, ¿existe alguna razón para creer que ha

rrectas en las pruebas del SAT?



Valoresordenados

Sn

1 852 2 875 3 910 4 933 5 957 6 963 7 981 8 998 9 1007

10 1010 11 1015 12 1018 13 1023 14 1035 15 1048 16 1063

La máxima desviación es 0,1207. El valor crítico para 0,328 como puede obtenerse en la hoja adjunta de Excel, como 0,1207<0,328 no puede rechazarse la hipótesis nula.

Prueba de chi-cuadrado para el análisis de tablas de contingencia con dos criterios de clasificación

Muchas veces surge la ndos rasgos diferentes en los que una población ha sido clasificada y en donde cada rasgo ha sido subdividido en cierto número de categorías. Cuando una muestra se clasifica de esta manera recibe el nomclasificación. Es posible analizar tablas que contengan más de dos clasificaciones.

El análisis de una tabla de este tipo supone que las dos clasificaciones son independientes. Esto es, bajo la hipótesis nulauna diferencia entre las frecuencias que se observan y las correspondientes frecuencias que se esperan. La prueba chi

Sea n una muestra que se clasifica según A y B, cada uno de categorías. Además, sea NSe pueden tabular los datos en una matriz de r frecuencia de la i-ésima categoría de A, de manera similar



n(x) F0(x) |Sn(x)-F0(x)|

0,0625 0,0039 0,0586 0,1250 0,0139 0,1111 0,1875 0,0668 0,1207 0,2500 0,1492 0,1008 0,3125 0,2877 0,0248 0,3750 0,3300 0,0450 0,4375 0,4681 0,0306 0,5000 0,6026 0,1026 0,5625 0,6700 0,1075 0,6250 0,6915 0,0665 0,6875 0,7257 0,0382 0,7500 0,7454 0,0046 0,8125 0,7764 0,0361 0,8750 0,8413 0,0337 0,9375 0,8962 0,0413 1,0000 0,9406 0,0594

La máxima desviación es 0,1207. El valor crítico para =0,05 para D0,328 como puede obtenerse en la hoja adjunta de Excel, como 0,1207<0,328 no puede rechazarse la hipótesis nula.

cuadrado para el análisis de tablas de contingencia con dos criterios de clasificación

Muchas veces surge la necesidad de determinar si existe alguna relación entre dos rasgos diferentes en los que una población ha sido clasificada y en donde cada rasgo ha sido subdividido en cierto número de categorías. Cuando una muestra se clasifica de esta manera recibe el nombre de tabla de contingencia de 2 criterios de clasificación. Es posible analizar tablas que contengan más de dos clasificaciones.

El análisis de una tabla de este tipo supone que las dos clasificaciones son independientes. Esto es, bajo la hipótesis nula de independencia se desea saber si existe una diferencia entre las frecuencias que se observan y las correspondientes frecuencias que se esperan. La prueba chi-cuadrada da los medios apropiados.

Sea n una muestra que se clasifica según A y B, cada uno de los cuales tiene r y c categorías. Además, sea Nij el número de observaciones de las categorías i, j de A y B. Se pueden tabular los datos en una matriz de r x c. El total del i-ésimo renglón es la

ésima categoría de A, de manera similar para las columnas. Sea



Pági

na53

=0,05 para D16 es 0,328 como puede obtenerse en la hoja adjunta de Excel, como 0,1207<0,328 no

cuadrado para el análisis de tablas de contingencia

ecesidad de determinar si existe alguna relación entre dos rasgos diferentes en los que una población ha sido clasificada y en donde cada rasgo ha sido subdividido en cierto número de categorías. Cuando una muestra se

bre de tabla de contingencia de 2 criterios de clasificación. Es posible analizar tablas que contengan más de dos clasificaciones.

El análisis de una tabla de este tipo supone que las dos clasificaciones son de independencia se desea saber si existe

una diferencia entre las frecuencias que se observan y las correspondientes frecuencias

los cuales tiene r y c el número de observaciones de las categorías i, j de A y B.

ésimo renglón es la para las columnas. Sea



Sea pij la probabilidad de que un objeto seleccionado al azar se encuentre en la categoría (i, j), sea pi. la marginal de i de A y pcaracterísticas son independientes, la probabilidad conjunta esmarginales

bajo la hipótesis nula, el estadístico

cuando n es grande.

Sin embargo, la mayoría de las veces no se conocen las probabilidades marginales, y de esta forma se estiman con base en una muestra.

Afortunadamente, la prpermanece como la estadística apropiada siempre que se empleen los estimados de máxima verosimilitud y se reste un grado de libertad del total para cada parámetro que se esté estimando. Dado que

existen r-1 parámetros de filas y c

De esta forma el número de grados de libertad será

rc-1-(r-1)-(c-1)=rc-r-

Puede demostrarse que los estimadores de máxima verosimilitud son

al sustituir se obtiene



la probabilidad de que un objeto seleccionado al azar se encuentre en la la marginal de i de A y p.j la marginal de j de B. Si las

características son independientes, la probabilidad conjunta es igual al producto de las

bajo la hipótesis nula, el estadístico

cuando n es grande.

Sin embargo, la mayoría de las veces no se conocen las probabilidades marginales, y de esta forma se estiman con base en una muestra.

Afortunadamente, la prueba de bondad de ajuste de la chipermanece como la estadística apropiada siempre que se empleen los estimados de máxima verosimilitud y se reste un grado de libertad del total para cada parámetro que se esté estimando. Dado que

ámetros de filas y c-1 de columnas a ser estimados.

De esta forma el número de grados de libertad será

-c+1=r(c-1)-(c-1)=(r-1)(c-1)


al sustituir se obtiene



Pági

na54

la probabilidad de que un objeto seleccionado al azar se encuentre en la la marginal de j de B. Si las

igual al producto de las

Sin embargo, la mayoría de las veces no se conocen las probabilidades

ueba de bondad de ajuste de la chi-cuadrado permanece como la estadística apropiada siempre que se empleen los estimados de máxima verosimilitud y se reste un grado de libertad del total para cada parámetro

1 de columnas a ser estimados.




Ejercicio 5

Una compañía evalúa una propuesta para fusionarse con una corporación. El consejo de directores desea muestrear la opinión de los accionistas para determinar si esta es independiente del número de acciones que posee cada uno. Una muestra aleatoria de 250 accionistas da los siguientes resultados:

Número de acciones A

favor En contra

Menos de 200 38 200-1000 30 Más de 1000 32

Totales 100

Con base en esta información, ¿existe alguna razón para dudar de que la opinión con respecto a la propuesta es independiente del número de acciones que posee

el accionista? Úsese =0,1.

Solución

Formulamos la hipótesis nula de independencia de los dos carac

Como las probabilidades marginales no se conocen, hay que estimarlas de la muestra, en consecuencia, el estadístico

Número de

Acciones A favor

Menos de200

38

200-1000 30

Más de 1000 32



Una compañía evalúa una propuesta para fusionarse con una corporación. El consejo de directores desea muestrear la opinión de los accionistas para determinar si esta es independiente del número de acciones que posee cada uno. Una muestra

e 250 accionistas da los siguientes resultados:

Opinión

En contra Indecisos Totales

29 9 76 42 7 79 59 4 95

130 20 250

base en esta información, ¿existe alguna razón para dudar de que la opinión con respecto a la propuesta es independiente del número de acciones que posee

=0,1.

Formulamos la hipótesis nula de independencia de los dos caracteres; es decir:

H0: pij = pi.p.j i=1,2,3; j=1,2,3.

Como las probabilidades marginales no se conocen, hay que estimarlas de la muestra, en consecuencia, el estadístico

Opinión

En contra Indecisos Totales

38 29 9 76

30 42 7 79

32 59 4 95



Pági

na55

Una compañía evalúa una propuesta para fusionarse con una corporación. El consejo de directores desea muestrear la opinión de los accionistas para determinar si esta es independiente del número de acciones que posee cada uno. Una muestra

base en esta información, ¿existe alguna razón para dudar de que la opinión con respecto a la propuesta es independiente del número de acciones que posee

teres; es decir:

Como las probabilidades marginales no se conocen, hay que estimarlas de la



Totales 100

1,9

0,08101266

0,94736842

El valor obtenido de la muestra para

obtiene en la distribución chi7,77943396. Como 10,795 >región crítica y por tanto la hipótesis nula debe rechazarse.



100 130 20 250

Sumas

1,9 2,80036437 1,40236842 6,10273279

0,08101266 0,0206037 0,07316456 0,17478092

0,94736842 1,86558704 1,70526316 4,51821862

Suma Total 10,7957323

El valor obtenido de la muestra para χ2=10,7957323. El valor crítico que se

obtiene en la distribución chi-cuadrado es χ0,9;4= PRUEBA.CHI.INV(0,1;4)= 7,77943396. Como 10,795 > 7,779 el estadístico de prueba se encuentra dentro de la región crítica y por tanto la hipótesis nula debe rechazarse.



Pági

na56

=10,7957323. El valor crítico que se

PRUEBA.CHI.INV(0,1;4)= 7,779 el estadístico de prueba se encuentra dentro de la




La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la generación previa de unaanterior. En este capítulo vamos a estudiar ciertasalgoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores de otras distribuciones.

Buscamos métodos qualeatorias que sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los números aleatorios generados, que siguenel intervalo (0,1).

Hay cuatro métodos generales de generacióy una serie de métodos

La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a losvariables aleatorias a las

Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de unase pueden considerar para determinar quéparticular. Desafortunadamunos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

Algunos de estos factores son los siguientes:

Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A vecesaproximación y otras no.



UNIDAD 3


3.1

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la ración previa de una distribución uniforme (0,1), visto en el tema

anterior. En este capítulo vamos a estudiar ciertas transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores

Buscamos métodos que nos permitan obtener valores de variables determinadas distribuciones de probabilidad a partir

de los números aleatorios generados, que siguen la distribución Uniforme en

Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos particulares de las distintas distribuciones.

La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen.

Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflictounos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

Algunos de estos factores son los siguientes:

Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A veces se tiene suficiente con obtener una aproximación y otras no.



Pági

na57

UNIDAD 3


3.1 Introducción

La generación de cualquier variable aleatoria se va a basar en la distribución uniforme (0,1), visto en el tema

transformaciones o algoritmos que nos van a transformar dichos números generados en valores

e nos permitan obtener valores de variables determinadas distribuciones de probabilidad a partir

la distribución Uniforme en

n de variables aleatorias particulares de las distintas distribuciones.

La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste mismos, varía mucho según la familia de

Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para determinada distribución, y diferentes factores que

algoritmo utilizar en un caso ente dichos factores suelen entrar en conflicto

unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.

Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una iene suficiente con obtener una



Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado unElegiremos un método que sea eficientecantidad de memoria requeridos.

Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima, siempre y cuando

Robusted: el método tiene que ser eficiente para cualquier valor que tomen los parámetros de la distribución que siga laaleatoria.

Facilidad de implementación.

Vea Anexo: Generación de variables aleatorias.

Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. En muchos de los ejemplos relativoaleatorios que han sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un número con cada resultado del espacio muestral. Es así como se llega a la definición de variable aleatoria

Una variable aleatoria X

a cada resultado en el espacio muestral conjunto de los posibles valorango. Diremos que la variable aleatoria es infinito contable).

A menudo el interés recae en la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor particular x, esto sdistribución de probabilidad de de valores posibles de con cada uno de estos valores. La distribución de probabilidad de una



Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado un tiempo de ejecución y un gasto de memoria. Elegiremos un método que sea eficiente en cuando al tiempo y a la

d de memoria requeridos.

Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima, siempre y cuando se garantice cierta exactitud.

Robusted: el método tiene que ser eficiente para cualquier valor que parámetros de la distribución que siga la

Facilidad de implementación.

Vea Anexo: Generación de variables aleatorias.

3.2 Variables aleatorias discretas

Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un experimento aleatorio. En muchos de los ejemplos relativos a experimentos aleatorios que han sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un número

del espacio muestral. Es así como se llega a la variable aleatoria.

variable aleatoria X es una función que asigna un número real

a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. El conjunto de los posibles valores de la variable aleatoria Xrango. Diremos que la variable aleatoria es discreta si su rango es finito (o

A menudo el interés recae en la probabilidad de que una variable tome un valor particular x, esto se denota P(

distribución de probabilidad de X será entonces la descripción del conjunto de valores posibles de X (rango de X), junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores. La distribución de probabilidad de una



Pági

na58

Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiempo de ejecución y un gasto de memoria.

en cuando al tiempo y a la

Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima,

Robusted: el método tiene que ser eficiente para cualquier valor que parámetros de la distribución que siga la variable

Variables aleatorias discretas

Muchas veces se desea resumir con un número el resultado de un s a experimentos

aleatorios que han sido considerados hasta ahora, el espacio muestral es sólo una descripción de los posibles resultados. En algunos casos tales descripciones son suficientes, pero en otros se hace útil asociar un número

del espacio muestral. Es así como se llega a la

es una función que asigna un número real

de un experimento aleatorio. El X se denomina

si su rango es finito (o

A menudo el interés recae en la probabilidad de que una variable e denota P(X=x). La

será entonces la descripción del conjunto ), junto con la probabilidad asociada

con cada uno de estos valores. La distribución de probabilidad de una



variable aleatoria es a menudo el resumen más útil de un experimento aleatorio.

Diremos que la función posibles de la variable aleatoria distribución de probabilidadpropiedades:

0 p(x) 1 para todo x

Se define la distribución acumulada X como

F(x) = P(X x) = xt

tp

Ejemplo 1

Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces

= {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss } Sea X : # caras observadas

xp(x)

La distribución anterior es una distribución de probabilidades para la variable aleatoria X3) y además

x

xp

probabilidad observe que

P(X 0) = P(X = 0) = 81

P(X 1) = P(X = 0) + P(X = 1) =

P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) =

x

x 1p



ia es a menudo el resumen más útil de un experimento

Diremos que la función p(x)=P(X=x) que va del conjunto de valores posibles de la variable aleatoria X al intervalo [0, 1] es la distribución de probabilidad para X si y sólo si se satisfacen las siguientes

1 para todo x

Se define la distribución acumulada F(x) para la variable aleatoria

Experimento aleatorio: se lanza una moneda 3 veces

= {ccc, ccs, csc, css, scc, scs, ssc, sss }Sea X : # caras observadas

0 1 2 3

81

83

83

81

La distribución anterior es una distribución de probabilidades para X, en efecto 0 p(x) 1 para todo x (x = 0, 1, 2 y

1. Para determinar la distribución a

probabilidad observe que

1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 81 + 8

3 = 21

2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 81 + 8

3 + 83 = 8

7



Pági

na59

ia es a menudo el resumen más útil de un experimento

=x) que va del conjunto de valores al intervalo [0, 1] es la función

satisfacen las siguientes

(x) para la variable aleatoria

La distribución anterior es una distribución de probabilidades para 1 para todo x (x = 0, 1, 2 y

. Para determinar la distribución acumulada de



P(X 3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) =

Se tiene entonces,

xF(x)

Si X es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que determina el valor de secuencia de valores para puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable aleatoria X, que denotamos

XE = x

xxp

Propiedades:E(k)=kE(kX)=kE(X)

E(XY)=E(X)E(Y)

E(g(X))=g(x)p(x)

e) Si X y Y son independientes entonces E(XY)=E(X)E(Y)=

Para el ejemplo dado,

= .0

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria denotada XV , ó σ2 mediante la siguiente ecuación:

V(X) = E[(X-E(X))2

XV = 2EE XX2



3) = P(X= 0) + P(X= 1) + P(X= 2) + P(X= 3) = 81 + 8

3 + 83 +

Se tiene entonces,

0 1 2 3

81

21

87 1

es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que de X se repite muchas veces, entonces se obtiene una

secuencia de valores para X. A partir de esta secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable

, que denotamos XE , y se define en la forma siguiente:

E(Y)

g(x)p(x)

e) Si X y Y son independientes entonces E(XY)=E(X)E(Y)=

Para el ejemplo dado, XE = x

xxp = 221100 ppp

23

812

81

.383

.283

.181

.

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria

mediante la siguiente ecuación:

2] y su forma reducida es:



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+ 81 = 1

es una variable aleatoria, y el experimento aleatorio que se repite muchas veces, entonces se obtiene una

. A partir de esta secuencia de valores se puede identificar el valor promedio o valor esperado de la variable

n la forma siguiente:

e) Si X y Y son independientes entonces E(XY)=E(X)E(Y)=XY

332 p

A veces, el interés es determinar la variabilidad de la variable aleatoria. Definimos entonces la varianza de la variable aleatoria X,



donde, 2XE = x

2x p

Para el ejemplo dado,

= 0

Entonces, XV = 3

V(k)=0V(kX)=k2V(X)

V(XY)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientesV(aX+bY)= a2V(X)+b

donde Cov(XY) = E((X

La desviación estándar de la variable aleatoria

cuadrada positiva de la varianza, es decir,

Una variable aleatoria una función continua.

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.

Ejemplos:

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1.ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un intervalo [a, b]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor entre a y b.

Estatura de una persona elegida al azar en una población.que se obtenga será una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm, etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable.



x

Para el ejemplo dado, 2XE = 3221100 2222 ppp

38

24

8

1.9

8

3.4

8

3.1

8

1.0

43

4

912

23 2

Y)=V(X)+V(Y) si X y Y son independientesV(X)+b2V(Y)+2abCov(XY)

donde Cov(XY) = E((X-X)(Y-Y)) = E(XY)-XY

La desviación estándar de la variable aleatoria

cuadrada positiva de la varianza, es decir, σ = XV .


Una variable aleatoria X es continua si su función de distribución es

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con experimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquier valor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1.ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un

]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor

Estatura de una persona elegida al azar en una población.rá una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm,

etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable.



Pági

na61

32 p

La desviación estándar de la variable aleatoria X es la raíz


es continua si su función de distribución es

En la práctica, se corresponden con variables asociadas con medida puede tomar cualquier valor

en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo, áreas, etc.

Resultado de un generador de números aleatorios entre 0 y 1. Es el ejemplo más sencillo que podemos considerar, es un caso particular de una familia de variables aleatorias que tienen una distribución uniforme en un

]. Se corresponde con la elección al azar de cualquier valor

Estatura de una persona elegida al azar en una población. El valor rá una medición en cualquier unidad de longitud (m, cm,

etc.) dentro de unos límites condicionados por la naturaleza de la variable.



El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribpoblación. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado distribución Normal y representado por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias aleatorias absolutamente continuas

Diremos que una variable aleatoria absolutamente continua si existe una función realel conjunto de números reales, tal que lpuede expresar como

Una variable aleatoria con distribución absolutamente continua, por extensión, se clasifica como variable aleatoria absolutamente continua.

En el presente manual, las que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente continuas, en particular, los ejemplos y casos expuestos

Vea



El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de valores más probables que otros debido a la distribución de alturas en la población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado

y representado por una campana de Gauss.

Dentro de las variables aleatorias continuas tenemos las aleatorias absolutamente continuas.

Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribución absolutamente continua si existe una función real f, positiva e integrable en el conjunto de números reales, tal que la función de distribución


En el presente manual, todas las variables aleatorias colas que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente

, en particular, los ejemplos y casos expuestos.

archivo Unidad 3



Pági

na62

El resultado es impredecible con antelación, pero existen intervalos de ución de alturas en la

población. Más adelante veremos que, generalmente, variables biométricas como la altura se adaptan un modelo de distribución denominado

y representado por una campana de Gauss.

continuas tenemos las variables

continua tiene una distribución , positiva e integrable en

a función de distribución F de X se


todas las variables aleatorias continuas con las que trabajemos pertenecen al grupo de las variables absolutamente



Muchas propiedades en programación de modelos de simulación discreta, tales como:

Generadores de números aleatorios. Generadores de variables aleatorias. Rutinas del siguiente evento. Avance de tiempo. Recopilación de estadísticas. Reportes, et

Han sido desarrolladas en lenguajes especiales orientados a simulación, dejando la ardua labor de programación en FORTRAN, C o PASCAL a lenguajes de simulación, los que incluyen facilidades de animación. Actualmente, existen cerca de 100 software de sdisponibles en una variedad de computadores

LENGUAJES DE SIMULACIÓN Y LENGUAJES DE PROPÓSITOS GENERALES

La importancia de escribir modpropósitos generales como FORTRAN radica en: Permite conocer los detalles íntimos de la simulación. Es imprescindible, cuando no se dispone de software de simulación. Algunos modelos en lenguajes de simulación permiten i

lenguajes generales, específicamente FORTRAN (ocurre con SLAM ll, SIMAN, GPSS).

Por otra parte, los lenguajes de simulación ofrecen mayores ventajas, porque:



UNIDAD 4


4.1 Lenguajes de simulación y sim

Muchas propiedades en programación de modelos de simulación

Generadores de números aleatorios.Generadores de variables aleatorias.Rutinas del siguiente evento.Avance de tiempo.Recopilación de estadísticas.Reportes, etc,

Han sido desarrolladas en lenguajes especiales orientados a simulación, dejando la ardua labor de programación en FORTRAN, C o PASCAL a lenguajes de simulación, los que incluyen facilidades de animación. Actualmente, existen cerca de 100 software de sdisponibles en una variedad de computadores.

LENGUAJES DE SIMULACIÓN Y LENGUAJES DE PROPÓSITOS

La importancia de escribir modelos de simulación en lenguajes de propósitos generales como FORTRAN radica en:

Permite conocer los detalles íntimos de la simulación.Es imprescindible, cuando no se dispone de software de simulación.Algunos modelos en lenguajes de simulación permiten ilenguajes generales, específicamente FORTRAN (ocurre con SLAM ll, SIMAN, GPSS).

Por otra parte, los lenguajes de simulación ofrecen mayores ventajas,



Pági

na63

UNIDAD 4


Lenguajes de simulación y simuladores.

Muchas propiedades en programación de modelos de simulación

Han sido desarrolladas en lenguajes especiales orientados a simulación, dejando la ardua labor de programación en FORTRAN, C o PASCAL a lenguajes de simulación, los que incluyen facilidades de animación. Actualmente, existen cerca de 100 software de simulación,

LENGUAJES DE SIMULACIÓN Y LENGUAJES DE PROPÓSITOS

elos de simulación en lenguajes de

Es imprescindible, cuando no se dispone de software de simulación.Algunos modelos en lenguajes de simulación permiten interfaces con lenguajes generales, específicamente FORTRAN (ocurre con SLAM ll,

Por otra parte, los lenguajes de simulación ofrecen mayores ventajas,



Automáticamente proveen muchas de las facilidades necesarias en la simulación del

Proveen un natural ambiente para modelamiento de la simulación.

Son fáciles de usar. Proveen una gran interacción entre edición, depuración y

ejecución. Alcanzando algunos de ellos implantación de la ingeniería de software.

CLASIFICACIÓN DE LOS

Existen en el mercado dos grandes clases de software para simulación: los lenguajes y los simuladores. Un lenguaje de simsoftware de simulación de naturaleza general y posee algunas características especiales para ciertas aplicaciones, tal como ocurre con SLAM 11 y SIMAN con sus módulos de manufactura. El modelo es desarrollado usando las instrucciones adecuadapermitiendo al analista un gran control para cualquier clase de sistema.

Un simulador (o de propósitos especiales) es un paquete de computadoras que permite realizar la simulación para un ambiente específico, no requiriendo esfuerzo en prpara ambientes de manufactura y sistemas de comunicación permitiendo un menor tiempo en el desarrollo del modelo, así como también contar con el personal sin experiencia en simulación.

Los simuladores son actualrequiriéndose únicamente agregar detalles en un cierto nivel, puesto que lo demás es estándar.

CACI Products Company autor de SIMSCRIPT 11.5 es también autor de los simuladores SIMFACTORY 11.5, NETWORK 11.utilizados en estos últimos tiempos para simulaciones de sistemas de manufacturas, redes de computadoras y redes de telecomunicaciones.

Para procesar transacciones en espera de un ordenamiento, un lenguaje de simulación debe proporcio



Automáticamente proveen muchas de las facilidades necesarias en la simulación del modelo.Proveen un natural ambiente para modelamiento de la

Son fáciles de usar.Proveen una gran interacción entre edición, depuración y ejecución. Alcanzando algunos de ellos implantación de la ingeniería de software.

CLASIFICACIÓN DE LOS SOFTWARE PARA SIMULACIÓN

Existen en el mercado dos grandes clases de software para simulación: los lenguajes y los simuladores. Un lenguaje de simsoftware de simulación de naturaleza general y posee algunas características especiales para ciertas aplicaciones, tal como ocurre con SLAM 11 y SIMAN con sus módulos de manufactura. El modelo es desarrollado usando las instrucciones adecuadas del lenguaje y permitiendo al analista un gran control para cualquier clase de sistema.

Un simulador (o de propósitos especiales) es un paquete de computadoras que permite realizar la simulación para un ambiente específico, no requiriendo esfuerzo en programación. Hoy en día existen simuladores para ambientes de manufactura y sistemas de comunicación permitiendo un menor tiempo en el desarrollo del modelo, así como también contar con el personal sin experiencia en simulación.

Los simuladores son actualmente muy utilizados para análisis en alto nivel, requiriéndose únicamente agregar detalles en un cierto nivel, puesto que lo

CACI Products Company autor de SIMSCRIPT 11.5 es también autor de los simuladores SIMFACTORY 11.5, NETWORK 11.5 y COMNET 11.5, muy utilizados en estos últimos tiempos para simulaciones de sistemas de manufacturas, redes de computadoras y redes de telecomunicaciones.

Para procesar transacciones en espera de un ordenamiento, un lenguaje de simulación debe proporcionar un medio automático de almacenamiento y



Pági

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Automáticamente proveen muchas de las facilidades

Proveen un natural ambiente para modelamiento de la

Proveen una gran interacción entre edición, depuración y ejecución. Alcanzando algunos de ellos implantación de la

TWARE PARA SIMULACIÓN

Existen en el mercado dos grandes clases de software para simulación: los lenguajes y los simuladores. Un lenguaje de simulación es un software de simulación de naturaleza general y posee algunas características especiales para ciertas aplicaciones, tal como ocurre con SLAM 11 y SIMAN con sus módulos de manufactura. El modelo es

s del lenguaje y permitiendo al analista un gran control para cualquier clase de sistema.

Un simulador (o de propósitos especiales) es un paquete de computadoras que permite realizar la simulación para un ambiente específico, no

ogramación. Hoy en día existen simuladores para ambientes de manufactura y sistemas de comunicación permitiendo un menor tiempo en el desarrollo del modelo, así como también contar con el

mente muy utilizados para análisis en alto nivel, requiriéndose únicamente agregar detalles en un cierto nivel, puesto que lo

CACI Products Company autor de SIMSCRIPT 11.5 es también autor de los 5 y COMNET 11.5, muy

utilizados en estos últimos tiempos para simulaciones de sistemas de manufacturas, redes de computadoras y redes de telecomunicaciones.

Para procesar transacciones en espera de un ordenamiento, un lenguaje de nar un medio automático de almacenamiento y



recuperación de estas entidades. Atendiendo a la orientación del modelamiento de una simulación discreta, existen tres formas:

1. Programación de eventos.2. Procesos.

3. Examinación de actividades.

Una programación al evento es modelada, identificando las características del evento y luego se escriben un juego de rutinas para los eventos con la finalidad de describir detalladamente los cambios que ocurren en el tiempo en cada evento. Lenguajes como SIMSCRIPSLAM 11 están orientados al evento.

Una interacción al proceso es una secuencia de tiempos interrelacionados, describiendo la experiencia de una entidad a través del sistema. Por ejemplo, en un modelo de colas esta "historia" se traduce en el paso del tiempo del ingreso a la cola, ingreso al servidor, paso del tiempo en el servicio y fin del servicioproceso.

En el examen de actividades, el modelador define las condiciones necesarias al empezar y finalizar avanzado en iguales incrementos de tiempo y en cada incremento de tiempo, las condiciones son evaluadas para determinar si alguna actividad puede estar empezando o terminando. El ESCL, es un lenguaje de simulación muy popular en Europa y fue desarrollado en FORTRAN.

GASP IVEs una colección de subrutinas FORTRAN, diseñadas para facilitar la

simulación de secuencia de eventos. Cerca de 30 subrutinas y funciones que proveen numerosas facilidades, incluyendo:

Rutinas de avance del tiempo, Gestión de listas de eventos futuros, Adición y remoción de entidades. Colección de estadísticas. Generadores de variables Reporte estándar.




Programación de eventos.

3. Examinación de actividades.

gramación al evento es modelada, identificando las características del evento y luego se escriben un juego de rutinas para los eventos con la finalidad de describir detalladamente los cambios que ocurren en el tiempo en cada evento. Lenguajes como SIMSCRIPSLAM 11 están orientados al evento.

Una interacción al proceso es una secuencia de tiempos interrelacionados, describiendo la experiencia de una entidad a través del sistema. Por ejemplo, en un modelo de colas esta "historia" se traduce en el

o del tiempo del ingreso a la cola, ingreso al servidor, paso del tiempo en el servicio y fin del servicio. GPSS, SIMAN y SIMNET son orientados al

En el examen de actividades, el modelador define las condiciones necesarias al empezar y finalizar cada actividad en el sistema. El tiempo es avanzado en iguales incrementos de tiempo y en cada incremento de tiempo, las condiciones son evaluadas para determinar si alguna actividad puede estar empezando o terminando. El ESCL, es un lenguaje de

muy popular en Europa y fue desarrollado en FORTRAN.

Es una colección de subrutinas FORTRAN, diseñadas para facilitar la ecuencia de eventos. Cerca de 30 subrutinas y funciones que

proveen numerosas facilidades, incluyendo: Rutinas de avance del tiempo,Gestión de listas de eventos futuros,Adición y remoción de entidades.Colección de estadísticas.Generadores de variables aleatorias.Reporte estándar.



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gramación al evento es modelada, identificando las características del evento y luego se escriben un juego de rutinas para los eventos con la finalidad de describir detalladamente los cambios que ocurren en el tiempo en cada evento. Lenguajes como SIMSCRIPT 11.5 y

Una interacción al proceso es una secuencia de tiempos interrelacionados, describiendo la experiencia de una entidad a través del sistema. Por ejemplo, en un modelo de colas esta "historia" se traduce en el

o del tiempo del ingreso a la cola, ingreso al servidor, paso del tiempo GPSS, SIMAN y SIMNET son orientados al

En el examen de actividades, el modelador define las condiciones cada actividad en el sistema. El tiempo es

avanzado en iguales incrementos de tiempo y en cada incremento de tiempo, las condiciones son evaluadas para determinar si alguna actividad puede estar empezando o terminando. El ESCL, es un lenguaje de

muy popular en Europa y fue desarrollado en FORTRAN.

Es una colección de subrutinas FORTRAN, diseñadas para facilitar la ecuencia de eventos. Cerca de 30 subrutinas y funciones que



El programador únicamente proveeactualización, rutinas de eventos, generadores de reportes personalizados y una subrutina denominada EVNTS. El programa main debe incluir la sentencia CALL GASP; siendo GASP una subrutina que determina el eminente evento, invocando a EVNTS escrita por el usuario y obtiene el índice NEXT.

GASP IV es un lenguaje de simulación desarrollado por Alan B. Pristker y N. Hurst en 1973. Es un lenguaje híbrido porque puedpara programadores de simulación discretos, continuos y combinados; siendo el primero en integrar completamente estos dos ambientes de función del tiempo. GASP IV es un derivado del GASP II, y se diferencia por la definición del evento espacio

SIMSCRIPT II.5 Desarrollado en la RAND Corporation por H. Markowtz en los inicios

de los sesenta. SIMSCRIPT 11.5. Eorientación al evento y al proceso, es híbrido porque posee facilidades para simulación de sistemas discretos y continuos. Un programador SIMSCRIPT 11.5 consiste de las siguientes partes:

Preamble Main program Rutinas de ev Rutinas ordinarias.

SIMSCRIPT 11.5, producido por CACI Products Company (La Jolla, California), fue utilizado en el pasado en grandes y complejas simulaciones, como es el caso de los modelos no orientados a colas; por ejemplo modelos de combates militares. Se encuentra disponible en versión PC destacando su ambiente de S11VIGRAPHICS.

SIMSCRIPT 11.5 está basado en entidades, atributos y conjuntos. Visualiza el mundo a ser simulado como un conjunto de entidades que pueden ser descritas a través de sus atributos y los eventos que aparecen en el tiempo.

SIMAN/Cinema La versión original del SIMAN (Simulation and Analysis) fue

desarrollada por Dennis Pegden, en la Universidad de Alabama, cuando era líder del grupo de desarrollo de la versión original de SLAM (basada



El programador únicamente provee un program main, una rutina de actualización, rutinas de eventos, generadores de reportes personalizados y una subrutina denominada EVNTS. El programa main debe incluir la

P; siendo GASP una subrutina que determina el eminente evento, invocando a EVNTS escrita por el usuario y obtiene el

GASP IV es un lenguaje de simulación desarrollado por Alan B. Pristker y N. Hurst en 1973. Es un lenguaje híbrido porque puedpara programadores de simulación discretos, continuos y combinados; siendo el primero en integrar completamente estos dos ambientes de función del tiempo. GASP IV es un derivado del GASP II, y se diferencia por la definición del evento espacio-estado (state space event).

Desarrollado en la RAND Corporation por H. Markowtz en los inicios de los sesenta. SIMSCRIPT 11.5. Es un lenguaje de simulación con orientación al evento y al proceso, es híbrido porque posee facilidades para simulación de sistemas discretos y continuos. Un programador SIMSCRIPT 11.5 consiste de las siguientes partes:

Main programRutinas de eventos.Rutinas ordinarias.

SIMSCRIPT 11.5, producido por CACI Products Company (La Jolla, California), fue utilizado en el pasado en grandes y complejas simulaciones, como es el caso de los modelos no orientados a colas; por ejemplo modelos

ilitares. Se encuentra disponible en versión PC destacando su ambiente de S11VIGRAPHICS.

SIMSCRIPT 11.5 está basado en entidades, atributos y conjuntos. Visualiza el mundo a ser simulado como un conjunto de entidades que pueden ser

us atributos y los eventos que aparecen en el tiempo.

La versión original del SIMAN (Simulation and Analysis) fue Dennis Pegden, en la Universidad de Alabama, cuando

era líder del grupo de desarrollo de la versión original de SLAM (basada



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un program main, una rutina de actualización, rutinas de eventos, generadores de reportes personalizados y una subrutina denominada EVNTS. El programa main debe incluir la

P; siendo GASP una subrutina que determina el eminente evento, invocando a EVNTS escrita por el usuario y obtiene el

GASP IV es un lenguaje de simulación desarrollado por Alan B. Pristker y N. Hurst en 1973. Es un lenguaje híbrido porque puede ser usado para programadores de simulación discretos, continuos y combinados; siendo el primero en integrar completamente estos dos ambientes de función del tiempo. GASP IV es un derivado del GASP II, y se diferencia

estado (state space event).

Desarrollado en la RAND Corporation por H. Markowtz en los inicios s un lenguaje de simulación con

orientación al evento y al proceso, es híbrido porque posee facilidades para simulación de sistemas discretos y continuos. Un programador

SIMSCRIPT 11.5, producido por CACI Products Company (La Jolla, California), fue utilizado en el pasado en grandes y complejas simulaciones, como es el caso de los modelos no orientados a colas; por ejemplo modelos

ilitares. Se encuentra disponible en versión PC destacando su

SIMSCRIPT 11.5 está basado en entidades, atributos y conjuntos. Visualiza el mundo a ser simulado como un conjunto de entidades que pueden ser

us atributos y los eventos que aparecen en el tiempo.

La versión original del SIMAN (Simulation and Analysis) fue Dennis Pegden, en la Universidad de Alabama, cuando

era líder del grupo de desarrollo de la versión original de SLAM (basada



en los software de GASP y Q~GERtarde, Pegden inicia su trabajo en el Pennisylvania State Univelo diseña como un lenguaje de modelamiento para propósitos generales, incluyendo facilidades de manufactura muy útiles en modelamiento de sistemas complejos de manufactura.

Desde su implementación inicial en 1984, ha sido continuamente refinadpor System Modeling Corporation, y en 1998 y 1989 el lenguaje fue completamente rediseñado dando origen a SIMAN/Cinema.

El ambiente de modelamiento en SIMAN se desarrolla entre el Modeling y el Experiment; en el primero se describe las componentes del sinteracciones y en el segundo se definen las condiciones del experimento (longitud de la corrida, condiciones iniciales).

SIMAN modela un sistema discreto usando la orientación al proceso; es decir, en un modelo de sistema particular, se estumueven a través del sistema. Una entidad para SIMAN es un cliente, un objeto que se mueve en la simulación y que posee características únicas conocidas como atributos. Los procesos denotan la secuencia de operaciones o actividadesmodeladas por el diagrama de bloques.

Usted construye un diagrama de bloque en un flowchart gráfico, seleccionando y combinando bloques. Después, interactivamente, usando un editor especial se activa el gemodelo desde el ambiente gráfico. Los bloques de SIMAN se clasi10 tipos básicos.

SLAM II

El SIMPSCRIPT y el GASP IV son los lenguajes de programación de eventos más destacados.

SLAM es un descendiente de GASP IV que ofrece también recursos de simulación de redes y continuos, estando ambos codificados en FORTRAN.Desde los lenguajes orientados amodelos en bloques como GPSS y SIMAN y los basados en redes como QGERT y SLAM.



en los software de GASP y Q~GER-r de Pristker and Associates). Más tarde, Pegden inicia su trabajo en el Pennisylvania State Univelo diseña como un lenguaje de modelamiento para propósitos generales, incluyendo facilidades de manufactura muy útiles en modelamiento de sistemas complejos de manufactura.

Desde su implementación inicial en 1984, ha sido continuamente refinadpor System Modeling Corporation, y en 1998 y 1989 el lenguaje fue completamente rediseñado dando origen a SIMAN/Cinema.

El ambiente de modelamiento en SIMAN se desarrolla entre el Modeling y el Experiment; en el primero se describe las componentes del sinteracciones y en el segundo se definen las condiciones del experimento (longitud de la corrida, condiciones iniciales).

SIMAN modela un sistema discreto usando la orientación al proceso; es decir, en un modelo de sistema particular, se estudian las entidades que se mueven a través del sistema. Una entidad para SIMAN es un cliente, un objeto que se mueve en la simulación y que posee características únicas conocidas como atributos. Los procesos denotan la secuencia de operaciones o actividades a través del que se mueven las entidades, siendo modeladas por el diagrama de bloques.

Usted construye un diagrama de bloque en un flowchart gráfico, seleccionando y combinando bloques. Después, interactivamente, usando un editor especial se activa el generador automático de las sentencias del modelo desde el ambiente gráfico. Los bloques de SIMAN se clasi

SIMPSCRIPT y el GASP IV son los lenguajes de programación de eventos más destacados.

SLAM es un descendiente de GASP IV que ofrece también recursos de simulación de redes y continuos, estando ambos codificados en FORTRAN.Desde los lenguajes orientados a los procesos, existen representación de modelos en bloques como GPSS y SIMAN y los basados en redes como Q



Pági

na67

r de Pristker and Associates). Más tarde, Pegden inicia su trabajo en el Pennisylvania State University donde lo diseña como un lenguaje de modelamiento para propósitos generales, incluyendo facilidades de manufactura muy útiles en modelamiento de

Desde su implementación inicial en 1984, ha sido continuamente refinado por System Modeling Corporation, y en 1998 y 1989 el lenguaje fue

El ambiente de modelamiento en SIMAN se desarrolla entre el Modeling y el Experiment; en el primero se describe las componentes del sistema y sus interacciones y en el segundo se definen las condiciones del experimento

SIMAN modela un sistema discreto usando la orientación al proceso; es dian las entidades que se

mueven a través del sistema. Una entidad para SIMAN es un cliente, un objeto que se mueve en la simulación y que posee características únicas conocidas como atributos. Los procesos denotan la secuencia de

a través del que se mueven las entidades, siendo

Usted construye un diagrama de bloque en un flowchart gráfico, seleccionando y combinando bloques. Después, interactivamente, usando un

nerador automático de las sentencias del modelo desde el ambiente gráfico. Los bloques de SIMAN se clasifican en

SIMPSCRIPT y el GASP IV son los lenguajes de programación de

SLAM es un descendiente de GASP IV que ofrece también recursos de simulación de redes y continuos, estando ambos codificados en FORTRAN.

los procesos, existen representación de modelos en bloques como GPSS y SIMAN y los basados en redes como Q-



Con la llegada del PERT, se plantearon situaciones de redes complejas, en tanto a ramificación por efecto de una decisión y loop paravarias actividades se realicen de modo repetitivo, trayendo consigo el desarrollo del GERT (Graphical Evaluation and Review Technique), por Pritoker y Elaghraby; quienes lo aplicaron para el programa Apolo.

El lenguaje Q-GERT significó la probabilidades de terminación en cada nodo y la distribución de tiempos y costos para la realización de cualquier nodo, la estructura básica de un modelo de simulación Qactividades (bifurcaciones). SLAM es una variante de QGERT que ofrece recursos de eventos de redes y discretos (y también simulación continua).

SLAM II (Simulation Languaje for Alternative Modeling) es un lenguaje de simulación por el cual se pueden construir modeloproceso o al evento. SLAM fue desarrollado en 1979 por Dennis Pedge y Alan Pritsker y es distribuido por Pritsker Corporation (indianapolis, Indiana). La parte de SLAM que se orienta a los procesos emplea una estructura reticular compucolas, servidores y puntos de decisión. Modelamiento significa incorporar esos símbolos a un modelo de red que representa el sistema y en donde las entidades (ítems) pasan a través de la red. SLAM contiene un pque convierte la representación visual del sistema a un conjunto de sentencias.

Vea manual de prácticas de la asignatura Simulación.

A partir de la problemática propia deexponen las Ventajas del uso de herramientas de simulación por una parte, y de las herramientas multimedia como elemento de transmisión en el proceso enseñanza-aprendizaje. En este trabajo se propone la integración de las herramientas de simulación y multimedia para la enseñanza a



Con la llegada del PERT, se plantearon situaciones de redes complejas, en tanto a ramificación por efecto de una decisión y loop paravarias actividades se realicen de modo repetitivo, trayendo consigo el desarrollo del GERT (Graphical Evaluation and Review Technique), por Pritoker y Elaghraby; quienes lo aplicaron para el programa Apolo.

GERT significó la respuesta al cálculo de estimación de probabilidades de terminación en cada nodo y la distribución de tiempos y costos para la realización de cualquier nodo, la estructura básica de un modelo de simulación Q-GERT es una red compuesta de nodos y

(bifurcaciones). SLAM es una variante de QGERT que ofrece recursos de eventos de redes y discretos (y también simulación continua).

SLAM II (Simulation Languaje for Alternative Modeling) es un lenguaje de simulación por el cual se pueden construir modelos con orientación al proceso o al evento. SLAM fue desarrollado en 1979 por Dennis Pedge y Alan Pritsker y es distribuido por Pritsker Corporation (indianapolis, Indiana). La parte de SLAM que se orienta a los procesos emplea una estructura reticular compuesta por símbolos de nodos y ramas tales como colas, servidores y puntos de decisión. Modelamiento significa incorporar esos símbolos a un modelo de red que representa el sistema y en donde las entidades (ítems) pasan a través de la red. SLAM contiene un pque convierte la representación visual del sistema a un conjunto de

4.2 Aprendizaje y uso de un simulador


4.3 Casos prácticos de simulación

A partir de la problemática propia del aprendizaje a distancia, se exponen las Ventajas del uso de herramientas de simulación por una parte, y de las herramientas multimedia como elemento de transmisión en el

aprendizaje. En este trabajo se propone la integración amientas de simulación y multimedia para la enseñanza a



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Con la llegada del PERT, se plantearon situaciones de redes complejas, en conseguir que

varias actividades se realicen de modo repetitivo, trayendo consigo el desarrollo del GERT (Graphical Evaluation and Review Technique), por Pritoker y Elaghraby; quienes lo aplicaron para el programa Apolo.

respuesta al cálculo de estimación de probabilidades de terminación en cada nodo y la distribución de tiempos y costos para la realización de cualquier nodo, la estructura básica de un

GERT es una red compuesta de nodos y (bifurcaciones). SLAM es una variante de QGERT que ofrece

recursos de eventos de redes y discretos (y también simulación continua).

SLAM II (Simulation Languaje for Alternative Modeling) es un lenguaje de s con orientación al

proceso o al evento. SLAM fue desarrollado en 1979 por Dennis Pedge y Alan Pritsker y es distribuido por Pritsker Corporation (indianapolis, Indiana). La parte de SLAM que se orienta a los procesos emplea una

esta por símbolos de nodos y ramas tales como colas, servidores y puntos de decisión. Modelamiento significa incorporar esos símbolos a un modelo de red que representa el sistema y en donde las entidades (ítems) pasan a través de la red. SLAM contiene un procesador que convierte la representación visual del sistema a un conjunto de

Aprendizaje y uso de un simulador


Casos prácticos de simulación

l aprendizaje a distancia, se exponen las Ventajas del uso de herramientas de simulación por una parte, y de las herramientas multimedia como elemento de transmisión en el

aprendizaje. En este trabajo se propone la integración amientas de simulación y multimedia para la enseñanza a



distancia de la Ingeniería de Sistemas y Automática. Para que esta integración sea efectiva, es conveniente seguir una determinada metodología de diseño y desarrollo tanto de la parte multimedia como los contenidos que se apoyan en la simulación.

Como caso práctico se propone el desarrollo de una aplicación multimedia para su distribución en Internet de un ejercicio guiado apoyado en herramientas de simulación y diseño de sistemas asistido por ordencuyo objetivo principal es que el alumno aprenda las técnicas basadas en la respuesta en frecuencia para el análisis de la estabilidad de sistemas realimentados.

Las herramientas de simulación

En el ámbito de la enseñanza de la Ingeniería de SistemAutomática, las herramientas de simulaciónenfoque constructivista del “aprendizaje por descubrimiento guiado” paraconseguir un “aprendizaje significativo”.

4.3.1 Modelos de inventarios.Modelos de inventario. Comúnmente los inventarios están

relacionados con la mantención de cantidades suf(insumos, repuestos, etc.), que garanticen una operación fluida en un sistema o actividad comercial. La forma efectiva de manejar los inventarios es minimizando su impacto adverso, encontrando un punto medio entre la poca reserva y el exceso de reserva. Está actitud prevaleció en los países industrializados de Occidente, incluso después de la segunda guerra mundial, cuando Japón instauró con gran éxito el sistema (famoso ahora) "Just in time", ambiente que requiere un sistema de produccióinventario.

En la mayoría de las situaciones del mundo real, el manejo de inventario involucra un númprecio, desde aquellos relativamente económicos hasta los muy costosos. El inventario representa realmente el capital ocioso, es natural que se ejerza un control en aquellos artículos que sean responsables en el incosto de capital. Empíricamente se ha comprobado que un pequeño número de productos del inventario son los que suelen incurrir en parte importante del costo del capital, por ende, son los que deben estar sujetos a control más estricto.



distancia de la Ingeniería de Sistemas y Automática. Para que esta integración sea efectiva, es conveniente seguir una determinada metodología de diseño y desarrollo tanto de la parte multimedia como los contenidos que se apoyan en la simulación.

Como caso práctico se propone el desarrollo de una aplicación multimedia para su distribución en Internet de un ejercicio guiado apoyado en herramientas de simulación y diseño de sistemas asistido por ordencuyo objetivo principal es que el alumno aprenda las técnicas basadas en la respuesta en frecuencia para el análisis de la estabilidad de sistemas

Las herramientas de simulación

En el ámbito de la enseñanza de la Ingeniería de SistemAutomática, las herramientas de simulación pueden ser aplicadas desde el enfoque constructivista del “aprendizaje por descubrimiento guiado” paraconseguir un “aprendizaje significativo”.

odelos de inventarios.Modelos de inventario. Comúnmente los inventarios están

relacionados con la mantención de cantidades suficientes de bienes (insumos, repuestos, etc.), que garanticen una operación fluida en un sistema o actividad comercial. La forma efectiva de manejar los inventarios es minimizando su impacto adverso, encontrando un punto medio entre la poca

ceso de reserva. Está actitud prevaleció en los países industrializados de Occidente, incluso después de la segunda guerra mundial, cuando Japón instauró con gran éxito el sistema (famoso ahora) "Just in time", ambiente que requiere un sistema de producció

En la mayoría de las situaciones del mundo real, el manejo de inventario involucra un número apreciable de productos que varían en precio, desde aquellos relativamente económicos hasta los muy costosos. El inventario representa realmente el capital ocioso, es natural que se ejerza un control en aquellos artículos que sean responsables en el incremento en el costo de capital. Empíricamente se ha comprobado que un pequeño número de productos del inventario son los que suelen incurrir en parte importante del costo del capital, por ende, son los que deben estar sujetos a control



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distancia de la Ingeniería de Sistemas y Automática. Para que esta integración sea efectiva, es conveniente seguir una determinada metodología de diseño y desarrollo tanto de la parte multimedia como de

Como caso práctico se propone el desarrollo de una aplicación multimedia para su distribución en Internet de un ejercicio guiado apoyado en herramientas de simulación y diseño de sistemas asistido por ordenador, cuyo objetivo principal es que el alumno aprenda las técnicas basadas en la respuesta en frecuencia para el análisis de la estabilidad de sistemas

En el ámbito de la enseñanza de la Ingeniería de Sistemas y pueden ser aplicadas desde el

enfoque constructivista del “aprendizaje por descubrimiento guiado” para

Modelos de inventario. Comúnmente los inventarios están icientes de bienes

(insumos, repuestos, etc.), que garanticen una operación fluida en un sistema o actividad comercial. La forma efectiva de manejar los inventarios es minimizando su impacto adverso, encontrando un punto medio entre la poca

ceso de reserva. Está actitud prevaleció en los países industrializados de Occidente, incluso después de la segunda guerra mundial, cuando Japón instauró con gran éxito el sistema (famoso ahora) "Just in time", ambiente que requiere un sistema de producción (casi) sin

En la mayoría de las situaciones del mundo real, el manejo de ero apreciable de productos que varían en

precio, desde aquellos relativamente económicos hasta los muy costosos. El inventario representa realmente el capital ocioso, es natural que se ejerza

cremento en el costo de capital. Empíricamente se ha comprobado que un pequeño número de productos del inventario son los que suelen incurrir en parte importante del costo del capital, por ende, son los que deben estar sujetos a control



4.3.2 Modelos de líneas de espera.Las colas (líneas de espera) son parte de

esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas, pero todavía nos molesta cuando lo son demasiado.

Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía. Por ejemplo, antes de su disolución, la Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en ltiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de personas-años de trabajo útil cada año.

Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurrineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una Cola.

La Teoría de Colasmodalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistque surgen en la práctica. Las fórmulas para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

Por lo tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no contar con suficienservicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.



4.3.2 Modelos de líneas de espera.Las colas (líneas de espera) son parte de la vida diaria. Todos

esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas,

os molesta cuando lo son demasiado.

Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía. Por

lo, antes de su disolución, la Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima que las personas pasan 37 mil millones de horas al año en líneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de

años de trabajo útil cada año.

Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurrineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una

Teoría de Colas es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de sistemas de líneas de espera (sistemas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema implica costos excesivos; pero al no contar con suficiente capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio y la cantidad de espera.



Pági

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la vida diaria. Todos esperamos en colas para comprar un boleto para el cine, hacer un depósito en el banco, pagar en el supermercado, enviar un paquete por correo, subir a un juego en la feria, etc. Nos hemos acostumbrado a esperas largas,

Sin embargo, tener que esperar no sólo es una molestia personal. El tiempo que la población de un país pierde en colas es un factor importante tanto en la calidad de vida como en la eficiencia de su economía. Por

lo, antes de su disolución, la Unión Soviética era notoria por las excesivas colas que sus ciudadanos solían tener que soportar solo para comprar artículos básicos. Hoy en Estados Unidos se estima que las

íneas de espera. Si este tiempo se usara de manera productiva significaría cerca de 20 millones de

Incluso estas asombrosas cifras no cuentan toda la historia del impacto que causa la espera excesiva. También ocurren grandes ineficiencias debido a otros tipos de espera que no son personas en una

es el estudio de la espera en las distintas modalidades. Usa los modelos de colas para representar los tipos de

emas que involucran colas de algún tipo) que surgen en la práctica. Las fórmulas para cada modelo indican cuál debe ser el desempeño del sistema correspondiente y señalan la cantidad promedio de espera que ocurrirá, en una gama de circunstancias.

tanto, estos modelos de líneas de espera son muy útiles para determinar cómo operar un sistema de colas de la manera más efectiva. Proporcionar demasiada capacidad de servicios para operar el sistema

te capacidad de servicio la espera aumenta con todas sus desafortunadas consecuencias. Los modelos permiten encontrar un balance adecuado entre el costo de servicio



La experiencia sugiere que el proyecto de Simulación consta de las siguientes etapas:

Debe comprenderse que el orden en que se realizan estas 10 etapas permanece abierto a discusión.

La estructura de la secuencia de etapas que se presenta obedece a los resultados de




UNIDAD 5

UNIDAD INTEGRADORA

5.1. CASO DE ESTUDIO

ia sugiere que el proyecto de Simulación consta de las

Debe comprenderse que el orden en que se realizan estas 10 etapas permanece abierto a discusión.La estructura de la secuencia de etapas que se presenta obedece a los resultados de la experiencia.Con toda seguridad, cualquier procedimiento de este tipo resulta sumamente arbitrario en su naturaleza y la posibilidad de juzgarlo sólo existe en un plano puramente pragmático.



Pági

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UNIDAD 5

UNIDAD INTEGRADORA

5.1. CASO DE ESTUDIO

ia sugiere que el proyecto de Simulación consta de las

Debe comprenderse que el orden en que se realizan estas 10

La estructura de la secuencia de etapas que se presenta




Vea Archivo Unidad 5.

A través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento del simulador y el sistema real que se está tratando de simular. Las formas más comunes de validar un modelo son:

1. La opinión de expertos sobre los resultados de l2. La exactitud con que se predicen datos históricos. 3. La exactitud en la predicción del futuro. 4. La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos

que hacen fallar al sistema real. 5. La aceptación y confianza en el modelo de l

de los resultados que arroje el experimento de simulación.





5.2. Validación del sistema d

A través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento del simulador y el sistema real que se está tratando de

Las formas más comunes de validar un modelo son:

La opinión de expertos sobre los resultados de la simulación. La exactitud con que se predicen datos históricos. La exactitud en la predicción del futuro. La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos que hacen fallar al sistema real. La aceptación y confianza en el modelo de la persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento de simulación.




Pági

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5.2. Validación del sistema de simulación.

A través de esta etapa es valorar las diferencias entre el funcionamiento del simulador y el sistema real que se está tratando de

a simulación.

La comprobación de falla del modelo de simulación al utilizar datos

a persona que hará uso de los resultados que arroje el experimento de simulación.

SIMULACIÓN

TEMA 12.- CONCEPTOS BÁSICOS.

12.1. Introducción. 12.2. Clasificación de sistemas. 12.3. Clasificación de modelos. 12.4. Modelos de simulación de eventos discretos. 12.5. El proyecto de simulación. 12.6. Ventajas y desventajas de la simulación. 12.7. Aplicaciones empresariales de la simulación. 12.8. El Programa de Simulación “ARENA”.

12.1. Introducción. La simulación digital es una técnica que permite imitar (o simular) en un ordenador el comportamiento de un sistema físico o teórico según ciertas condiciones particulares de operación. El uso de la simulación como metodología de trabajo es una actividad muy antigua, y podría decirse que inherente al proceso de aprendizaje del ser humano. Para poder comprender la realidad y toda la complejidad que un sistema puede conllevar, ha sido necesario construir artificialmente objetos y experimentar con ellos dinámicamente antes de interactuar con el sistema real. La simulación digital puede verse como el equivalente electrónico a este tipo de experimentación.

12.2. Clasificación de sistemas. Un sistema puede definirse como una colección de objetos o entidades que interactúan entre sí para alcanzar un cierto objetivo. Estado de un sistema: conjunto mínimo de variables necesarias para caracterizar o describir todos aquellos aspectos de interés del sistema en un cierto instante de tiempo. A estas variables las denominaremos variables de estado. Atendiendo a la relación entre la evolución de las propiedades de interés y la variable independiente tiempo, los sistemas se clasifican en: .

• Sistemas Continuos: Las variables del estado del sistema evolucionan de modo continuo a lo largo del tiempo.

Figura 12.2. Evolución de una variable de un sistema continuo.

Figura 12.1. Ejemplo de sistema continuo.

• Sistemas Discretos. Se caracterizan porque las propiedades

de interés del sistema cambian únicamente en un cierto instante o secuencia de instantes, y permanecen constantes el resto del tiempo. La secuencia de instantes en los cuales el estado del sistema puede presentar un cambio, obedece normalmente a un patrón periódico (figura 12.3).

Figura 12.3. Evolución de una variable de

un sistema discreto.

• Sistemas orientados a eventos discretos. Al igual que los sistemas discretos, se caracterizan porque las propiedades de interés del sistema cambian únicamente en una secuencia de instantes de tiempo permaneciendo constantes el resto del tiempo. La secuencia de instantes en los cuales el estado del sistema puede presentar un cambio, obedece a un patrón aleatorio (figura 12.4).

Figura 12.4. Evolución de una variable de un

sistema orientado a eventos discretos.

• Sistemas combinados. Aquellos que combinan subsistemas que siguen filosofías continuas o discretas, respectivamente. Es el caso de los sistemas que poseen componentes que deben ser necesariamente modelados según alguno de dichos enfoques específicos.

12.3. Clasificación de modelos. La descripción de las características de interés de un sistema se conoce como modelo del sistema, y el proceso de abstracción para obtener esta descripción se conoce como modelado. Existen muchos tipos de modelos (modelos físicos, modelos mentales, modelos simbólicos) para representar los sistemas en estudio. Utilizaremos modelos simbólicos matemáticos como herramienta para representar las dinámicas de interés de cualquier sistema en un entorno de simulación digital. Los modelos simbólicos matemáticos mapean las relaciones existentes entre las propiedades físicas del sistema que se pretende modelar en las correspondientes estructuras matemáticas. El tipo de formalización matemática que se utilice va a depender de las características intrínsecas de las dinámicas de interés que se quieran representar. La descripción en términos matemáticos de un sistema real no es una metodología de trabajo propia de la simulación digital, sino que es inherente a la mayoría de las técnicas que se utilizan para solventar cualquier tipo de problema, las cuales suelen seguir unas pautas que, de modo general, se pueden resumir en:

• Reconocimiento del problema. • Formulación del modelo matemático. • Solución del problema matemático. • Interpretación de los resultados matemáticos en el contexto

del problema real.

Consideraciones que se deben tener en cuenta para garantizar una representación eficiente del sistema real:

• Un modelo se desarrolla siempre a partir de una serie de aproximaciones e hipótesis y, consecuentemente, representa tan sólo parcialmente la realidad.

• Un modelo se construye para una finalidad específica y debe ser formulado para que sea útil a dicho fin.

• Un modelo tiene que ser por necesidad un compromiso entre la simplicidad y la necesidad de recoger todos los aspectos esenciales del sistema en estudio.

Un buen modelo debe:

• Representar adecuadamente aquellas características del sistema que son de nuestro interés.

• Ser una representación abstracta de la realidad lo suficientemente sencilla como para facilitar su mantenimiento, adaptación y reutilización.

Modelos Estáticos frente a Modelos Dinámicos Los Modelos Estáticos suelen utilizarse para representar el sistema en un cierto instante de tiempo; por tanto, en su formulación no se considera el avance del tiempo. STOCK = Stock inicial + Material entrada – Material consumido Los Modelos Dinámicos permiten deducir cómo las variables de interés del sistema en estudio evolucionan con el tiempo.

Evolución del STOCK = Flujo de entrada – Flujo de salida

)t(F)t(FdtdS

oi −=

)k(F)k(F)k(S)1k(S oi −+=+

Modelos Deterministas respecto a Modelos Estocásticos. Un modelo se denomina Determinista si su nuevo estado puede ser completamente definido a partir del estado previo y de sus entradas. Es decir, ofrece un único conjunto de valores de salida para un conjunto de entradas conocidas. Los Modelos Estocásticos requieren de una o más variables aleatorias para formalizar las dinámicas de interés. En consecuencia, el modelo no genera un único conjunto de salidas cuando es utilizado para realizar un experimento, sino que los resultados son utilizados para estimar el comportamiento real del sistema. Modelos Continuos frente a Modelos Discretos. Los Modelos Continuos se caracterizan por representar la evolución de las variables de interés de forma continua. En general suelen utilizarse ecuaciones diferenciales ordinarias si se considera simplemente la evolución de una propiedad respecto al tiempo, o bien ecuaciones en derivadas parciales si se considera también la evolución respecto a otras variables adicionales. De modo análogo a la definición de los modelos continuos, los Modelos Discretos se caracterizan por representar la evolución de las variables de interés de forma discreta.

12.4. Modelos de simulación de eventos discretos. Los Modelos de Eventos Discretos son modelos dinámicos, estocásticos y discretos en los que las variables de estado cambian de valor en instantes no periódicos del tiempo. Estos instantes de tiempo se corresponden con la ocurrencia de un evento. Un evento se define como una acción instantánea que puede cambiar el estado de un modelo.

EXPEDICIÓN RECEPCIÓN

DE ÓRDENES

En promedio se reciben 10 órdenes al día: - Ordinarias (40%) - Prioritarias (60%)

PROCESADO DE ÓRDENES

Tiempo de proceso: - Ordinarias (2 horas) - Prioritarias (4 horas)

Figura 12.5. Esquema del procesado de órdenes.

Los parámetros más significativos del sistema son:

• Hay 4 trabajadores por cada turno diario de 8 horas. • Se trabaja desde las 9 de la mañana hasta las 5 de la tarde.

No obstante, la jornada laboral se alarga si no ha sido posible expedir todas las órdenes recibidas a lo largo del día.

• Sólo se aceptan órdenes hasta las 13 horas. • En promedio, se reciben 10 órdenes cada día. • Hay dos tipos de órdenes, las ordinarias (el 40%) y las

prioritarias (el 60% restante). • En promedio, una orden prioritaria requiere 4 horas de

proceso, mientras que una ordinaria sólo 2 horas.

12.4.1. Simulación del Modelo Estático.

díahoras8

ordenhoras2

díaórdenes4ordinarias órdenes =×=

díahoras24

ordenhoras4

díaórdenes6asprioritari órdenes =×=

díahoras32248necesaria capacidad =+=

díahoras32

trabajadorhoras8

díaestrabajador4disponible capacidad =×=

%1001003232100

disponible capacidadnecesaria capacidadnutilizació de porcentaje =×=×=

12.4.2. Simulación Manual del Modelo Orientado a Eventos Discretos.

La orden entra

en cola

Se inicia el proceso de

la orden

NO SI

llegada de una orden

4 trabajadores ocupados

Figura 12.6. Diagrama de flujo del evento de llegada de una orden.

Quitar una orden de la cola

NO SI

Orden es expedida

Hay órdenes En la cola

Trabajador en espera de órdenes

Se inicia el proceso de

la orden

Figura 12.7. Diagrama de flujo del evento de

expedición de una orden.

Tabla 12.1. Distribución de probabilidades. Órdenes /

Hora Probabilidad

(%) Probabilidad Acumulada

Números Aleatorios

1 40 40 00 – 39 2 30 70 40 – 69 3 20 90 70 – 89 4 10 100 90 – 99

Tabla 12.2. Distribución de probabilidades.

Tipo de Orden

Probabilidad (%)

Probabilidad Acumulada

Números Aleatorios

Ordinaria 40 40 00 – 39 Prioritaria 60 100 40 – 99

Tabla 12.3. Resumen de la simulación del proceso de llegada de órdenes.

Hora Número Aleatorio

Número de llegadas

Numero Aleatorio

Tipo de orden

9 horas 54 2 02 Ordinaria 38 Ordinaria

10 horas 12 1 11 Ordinaria 11 horas 36 1 78 Prioritaria 12 horas 60 2 21 Ordinaria

47 Prioritaria 13 horas 90 4 92 Prioritaria

50 Prioritaria 82 Prioritaria 44 Prioritaria

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 12.8. Diagrama de la simulación manual.

Tabla 12.4. Tabla de la simulación manual del procesado de órdenes.

Hora Número de orden

Tipo de orden

Tipo de evento

Número en cola

Número en sistema

Tiempo en cola

Tiempo en el sistema

9 1 Ordinaria Llegada 0 1 - - 9 2 Ordinaria Llegada 0 2 - - 10 3 Ordinaria Llegada 0 3 - - 11 1 Ordinaria Expedición 0 2 - 2 h. 11 2 Ordinaria Expedición 0 1 - 2 h. 11 4 Prioritaria Llegada 0 2 - - 12 3 Ordinaria Expedición 0 1 - 2 h. 12 5 Ordinaria Llegada 0 2 - - 12 6 Prioritaria Llegada 0 3 - - 13 7 Prioritaria Llegada 0 4 - - 13 8 Prioritaria Llegada 1 5 - - 13 9 Prioritaria Llegada 2 6 - - 13 10 Prioritaria Llegada 3 7 - - 14 5 Ordinaria Expedición 2 6 - 2 h. 15 4 Prioritaria Expedición 1 5 - 4 h. 16 6 Prioritaria Expedición 0 4 - 4 h. 17 7 Prioritaria Expedición 0 3 - 4 h. 19 8 Prioritaria Expedición 0 2 1 h. 5 h. 19 9 Prioritaria Expedición 0 1 2 h. 6 h. 20 10 Prioritaria Expedición 0 0 3 h. 7 h.

ordenhoras2

órdenes 4horas 2222ordinarias órdenespara promedio ciclo de tiempo =

+++=

ordenhoras5

órdenes 6horas 765444asprioritari órdenespara promedio ciclo de tiempo =

+++++=

ordenhoras6,0

órdenes 10horas 3210000000colala en promedio tiempo =

+++++++++=

horas 3colala en máximo tiempo =

%70100órdenes 10

tiempoa órdenes 7promedio serviciode nivel =×=

3 trabajadores han tenido que trabajar un total de 6 horas extras para completar las órdenes

12.4.3. Simulación digital mediante un lenguaje de propósito general. 12.4.4. Simulación mediante un Entorno de Simulación.

Figura 12.9. Interfaz gráfico de modelado en el simulador Arena.

12.5. El proyecto de simulación.

Tabla 12.5. Etapas de un proyecto de simulación. Etapa Descripción

Formulación del problema. Define el problema que se pretende estudiar. Incluye por escrito sus objetivos.

Diseño del modelo conceptual.

Especificación del modelo a partir de las características de los elementos del sistema que se quiere estudiar y sus interacciones teniendo en cuenta los objetivos del problema.

Recogida de datos. Identificar, recoger y analizar los datos necesarios para el estudio.

Construcción del modelo. Construcción del modelo de simulación partiendo del modelo conceptual y de los datos.

Verificación y validación. Comprobar que el modelo se comporta como es de esperar y que existe la correspondencia adecuada entre el sistema real y el modelo.

Análisis. Analizar los resultados de la simulación con la finalidad de detectar problemas y recomendar mejoras o soluciones.

Documentación. Proporcionar documentación sobre el trabajo efectuado. Implementación. Poner en práctica las decisiones efectuadas con el apoyo del

estudio de simulación.

12.6. Ventajas y desventajas de la simulación.

• Permite analizar el efecto sobre el rendimiento global de un sistema, de pequeños cambios realizados en una o varias de sus componentes

• A partir de la experimentación con un modelo, es posible analizar los efectos sobre el sistema real de cambios organizativos, o de cambios en la gestión de la información.

• El análisis del modelo del sistema puede permitir la sugerencia de posibles mejoras del sistema real, así como detectar las variables más influyentes en el rendimiento del mismo.

• Permite la experimentación en condiciones que podrían ser peligrosas o de elevado coste económico en el sistema real.

• La simulación suele ser utilizada también con una perspectiva pedagógica para ilustrar y facilitar la comprensión de los resultados que se obtienen mediante la técnicas analíticas.

En resumen:

• Permite responder muy satisfactoriamente a preguntas del tipo “qué ocurriría si realizamos este cambio en ...”

• Contribuye a la reducción del riesgo inherente a la toma de decisiones.

Inconvenientes:

1. Soluciones no exactas. 2. Existe el riesgo de tomar malas decisiones basadas en

modelos de simulación que no han sido validados y verificados adecuadamente.

12.7. Aplicaciones empresariales de la simulación. Procesos de fabricación. Fue una de las primeras áreas beneficiadas por estas técnicas. La simulación se emplea tanto para el diseño como para la ayuda a la toma de decisiones operacionales.

Figura 12.10. Ejemplos de modelos de simulación para el análisis y mejora de procesos productivos.

Logística. La simulación contribuye de forma significativa a la mejora de los procesos logísticos en general. Dentro de esta área, se incluye tanto una cadena completa de suministros, como la gestión de inventarios de un almacén.

Figura 12.11. Ejemplos de aplicación de la simulación a procesos logísticos.

Transporte.

Figura 12.12. Aplicación de la simulación en el campo del transporte. Sanidad. Se emplea tanto para la mejora de un departamento hospitalario, como en la logística asociada a los transplantes o a la coordinación médica de una región.

Figura 12.13. Aplicación al servicio de emergencias de un hospital.

Negocios (Business Processing). Simulación de los procesos administrativos y de negocio de una empresa. En esta área están teniendo mucho éxito los juegos de empresa en los que a través de la simulación de los efectos de las decisiones que se van tomando se puede entrenar a los directivos.

Figura 12.14. Aplicaciones en el campo de la simulación de negocios. Servicios en general. Servicios públicos, gestión de restaurantes, banca, empresas de seguros, etc.

Figura 12.15. Simulación de un banco y de un pequeño supermercado.

12.8. El Programa de Simulación “ARENA”. En este apartado se hará un breve resumen de los métodos de modelado de sistemas aplicando el programa de simulación ARENA (de Systems Modeling Corporation, www.sm.com). Utilizando ejemplos sencillos, se irá haciendo un recorrido por las posibilidades del programa para simular cualquier tipo de sistema. Elementos de un modelo de ARENA.

Entidades. La mayoría de las simulaciones incluyen “entidades” que se mueven a través del modelo, cambian de estado, afectan y son afectadas por otras entidades y por el estado del sistema, y afectan a las medidas de eficiencia. Son los elementos dinámicos del modelo, habitual mente se crean, se mueven por el modelo durante un tiempo y finalmente abandonan el modelo. En un proceso sencillo de fabricación, como el que analizamos en el primer ejemplo, las entidades serán las piezas que son creadas, pasan a la cola si la máquina que debe procesarlas está ocupada, entran en la máquina cuando ésta queda libre, y abandonan el sistema cuando salen de la máquina. En este caso sólo habrá un tipo de entidades (aunque puede haber simultáneamente varias “copias” de la entidad circulando por el diagrama), pero en un caso general podría haber muchos tipos de entidades distintas (y muchas copias de cada una de ellas), que representarían distintos tipos de piezas, de diferentes características, prioridades, rutas, etc.

Atributos. Para individualizar cada entidad, se le pueden unir distintos “atributos”. Un atributo es una característica de todas las entidades, pero con un valor específico que puede diferir de una entidad a otra. Por ejemplo, en el primer ejemplo, nuestras entidades (piezas), podrían tener unos atributos denominados Hora de Llegada, Fecha de Entrega, Prioridad y Color para indicar esas características para cada entidad individual. Arena hace un seguimiento de algunos atributos de manera automática, pero será

necesario definir, asignar valores, cambiar y usar atributos específicos, en cada sistema que se desee simular.

Variables (Globales). Una variable es un fragmento de información que refleja alguna característica del sistema, independientemente de las entidades que se muevan por el modelo. Se pueden tener muy diferentes variables en un modelo, pero cada una es única. Existen dos tipos de variables: las variables prefijadas de Arena (número de unidades en una cola, número de unidades ocupadas de un recurso, tiempo de simulación, etc.) y las variables definibles por en usuario (número de unidades en el sistema, turno de trabajo, etc.) Contrariamente a los atributos, las variables no están unidas a ninguna entidad en particular, sino que pertenecen al sistema en su conjunto. Las entidades pueden variar el valor de las variables en algún momento, por ejemplo, la variable Número de Unidades en el Sistema cambiará de valor cuando se crea o se elimina una entidad.

Recursos. Las entidades compiten por ser servidas por recursos que representan cosas como personal, equipo, espacio en un almacén de tamaño limitado, etc. Una o varias unidades de un recurso libre son asignadas a una entidad, y son liberadas cuando terminan su trabajo. Una entidad podría recibir simultáneamente servicio de varios recursos (por ejemplo una máquina y un operario)

Colas. Cuando una entidad no puede continuar su movimiento a través del modelo, a menudo porque necesita un recurso que está ocupado, necesita un espacio donde esperar que le recurso quede libre, ésta es la función de las colas. En Arena, cada cola tendrá un nombre y podría tener una capacidad para representar, por ejemplo, un espacio limitado de almacenamiento.

Acumuladores de estadísticas. Para obtener las medidas de eficiencia finales, podría ser conveniente hacer un seguimiento de algunas variables intermedias en las que se calculan estadísticas, por ejemplo: el número total de piezas producidas, el tiempo total consumido en la cola, el número de unidades que han pasado por la

cola (necesitaremos este valor para calcular el tiempo medio en cola), el mayor tiempo invertido en la cola por una entidad, el tiempo total en el sistema (en cola más procesado), el mayor tiempo consumido en el sistema por una entidad, etc. Todos estos acumuladores deberían ser inicializados a 0, y cuando sucede algún hecho en el sistema, se tendrán que actualizar los acumuladores afectados.

Eventos. Un evento es algo que sucede en un instante determinado de tiempo en la simulación, que podría hacer cambiar los atributos, variables, o acumuladores de estadísticas. En nuestro ejemplo sencillo, sólo hay tres tipos de eventos: Llegada de una nueva pieza al sistema, Salida de una pieza del sistema cuando finaliza el tiempo de procesado en la máquina, y Final de la simulación, cuando se cumple el tiempo previsto. Reloj de la Simulación. El valor del tiempo transcurrido, se almacena en una variable denominada Reloj de Simulación. Este reloj irá avanzando de evento en evento, ya que al no cambiar nada entre eventos, no es necesario gastar tiempo llegando de uno a otro. Ejemplo de modelado de un sistema sencillo Para introducir los conceptos fundamentales de la metodología de simulación con Arena, vamos a modelar un sistema simple: Se trata de un sencillo sistema de atención al público. Los clientes llegan a la instalación, si el servidor está ocupado atendiendo a otro cliente, el que acaba de llegar se une a la cola. Si, por el contrario, el servidor está libre, el cliente pasa inmediatamente a ser atendido. Cuando el servidor acaba la atención a un cliente, comenzará a servir al que estuviera en la primera posición de la cola, y si un hubiera nadie, quedaría desocupado.

Servidor

Vamos distribución servidor empfunción trian8 minutos. H

• El núm• El valo

tiempo númerobuscado

En AreStatisticcalculanpor el p

• El valor• El núm

se calclongitudproporcnúmeroen la cserá el simulac

Clientes en Cola Cliente atendido

a suponer que los clientes llegan al sistema según una exponencial de media 5 minutos; el tiempo que el lea en atender a un cliente se distribuye según una gular de tiempo mínimo 1 minuto, modal 4 y máximo aremos una simulación de 15 minutos y calcularemos:

ero total de clientes atendidos r medio del tiempo de espera en la cola. Si Di es el que pasó en la cola el i-ésimo cliente, y N es el de clientes que pasaron por la cola, el valor medio será:

N

DN

ii∑

=1

na, este tipo de estadísticas se denominan Tally s, debido a que el valor de la estadística se va do al mismo tiempo que las entidades van pasando

unto donde se calcula. más alto del tiempo de espera en la cola. ero medio de clientes esperando en la cola. Este valor ula como la media ponderada de las posibles es de la cola (0, 1, 2, ... ), ponderada por la ión de tiempo de simulación que en la cola había ese de clientes. Si llamamos Q(t) al número de clientes ola en cualquier momento t, el valor medio buscado área bajo la curva, dividido por la longitud de la ión 15.

15

)(15

0∫ tQ

Este tipo de estadísticas persistentes en el tiempo (Time-Persistent Variable) son comunes en simulación. Ésta indica el número medio en la cola, lo que puede ser interesante para asignar el espacio adecuado.

• El máximo número de clientes que ha habido en la cola en un momento determinado.

• Los valores medio y máximo del tiempo que un cliente permanece en el sistema (en la cola más siendo atendido). El valor medio será una estadística de tipo Tally.

• La utilización del servidor, definida como el porcentaje del tiempo en que el servidor está ocupado. Se trata de otra estadística persistente en el tiempo, en este caso la función B(t) solo puede tomar dos valores 0, cuando el servidor está libre y 1 cuando está ocupado.

15

15

)(15

0∫ tB

15

Para modelar el sistema con Arena, se irán arrastrando los módulos adecuados al diagrama. En primer lugar se cogerá el modulo “Arrive” con el que se modelará el proceso de llegada de los clientes al sistema. Haciendo “doble clic” sobre el dibujo del módulo aparecerá una ventana en la que se introducirán los datos relativos a la llegada de los clientes al sistema: Enter Data Station Llegada Arrival Data Time Between EXPO(5) Mark Time Attribute Tiempo de llegada

Leave Data Connect Seleccionar

Para similar el proceso de servicio, se arrastrará el módulo “Server” al diagrama (si se seleccionó la opción “Connect” en el módulo

anterior, el servidor aparecerá ya conectado al módulo de llegada). Haciendo doble clic en el símbolo del servidor se podrán introducir las características del proceso de atención a los clientes: Enter Data Station Atención al cliente Arrival Data Process Time TRIA(1,4,8) Leave Data Connect Seleccionar Para modelar el proceso de salida del sistema se escogerá el módulo “Depart”, en el que se introducirán los datos relativos al proceso de salida de los clientes de la instaestadísticas que se recopilarán:

lación, además de algunas de las

Enter Data

Station Salida Count

Individual Counter Counter Clientes atendidos

Tally

Individual Tally Tally Tiempo en Sistema Attribute Tiempo de llegada

Las características de la simulación se introducen en el módulo “Simulate”: Project Title Sistema Sencillo Analyst Yo Date 10-10-1962 Replicate Length of Replication 15

Utilizando dos módulos “Animate” añadiremos dos gráficos, que nos proporcionarán información sobre el número de clientes en la cola y la ocupación del servidor.

Por último, se puede añadir el título “SISTEMA SENCILLO”, para identificar el modelo. De esta manera, el modelo esta listo para ser ejecutado.

EJEMPLO 1: SIMULACIÓN DE PROCESOS DE SERVICIO CON ARENA

El Banco Nacional de Occidente piensa abrir una ventanilla de servicio en automóvil para servicio a los clientes. La gerencia estima que los clientes llegarán a una tasa de 15 por hora. El cajero que estará en la ventanilla puede atender clientes a una tasa de uno cada tres minutos. Suponiendo que las llegadas son de Poisson y que el servicio es exponencial, encuentre:

1. La utilización del cajero. 2. El número promedio en cola. 3. Número promedio en el sistema. 4. Tiempo promedio de espera en cola. 5. Tiempo promedio de espera en el sistema (incluyendo el

servicio). Por la disponibilidad limitada de espacio y el deseo de proporcionar un nivel de servicio aceptable, el gerente del banco quisiera asegurar, con un 95% de certeza que los clientes no tengan que esperar y sean atendidos inmediatamente. Para ello

tiene dos opciones: conseguir que el empleado de la ventanilla trabaje más rápido, o poner más empleados conservando la misma tasa de servicio. Evaluar las dos posibilidades. EJEMPLO 2: SIMULACIÓN DE PROCESOS

DE FABRICACIÓN CON ARENA Se trata de simular el proceso de fabricación de un producto que está compuesto por 3 elementos: 2 tapas (la superior y la inferior, y el interior). Las tapas llegan a la línea de fabricación según un proceso de Poisson de media 5 tapas/hora. El 50% son tapas superiores y el otro 50% inferiores. Una vez recibidas, es necesario pintarlas, para lo que pasan de una en una; por un proceso de pintura cuya duración es independiente de la clase de tapa que se trate; se ha comprobado que se distribuye según una triangular de tiempo mínimo 6, medio 9 y máximo 12 minutos. Hay un control de calidad del proceso de pintura que separa las tapas correctamente pintadas (el 95%) de las defectuosas, las cuales vuelven al proceso de pintura de nuevo. Por otra parte, el elemento interior del producto final, llega a la línea de fabricación empaquetado en cajas de 3 unidades, siguiendo una distribución exponencial de media 64 minutos. El proceso de desempaquetado lo realiza una máquina que tarda en realizar el trabajo un tiempo que se distribuye según una uniforme entre 30 y 50 minutos. Además, esta misma máquina separa las unidades defectuosas (el 10%) y las envía a chatarra. Posteriormente, se tiene una máquina que hace el ensamblaje de una tapa superior, una inferior y un elemento interior para constituir el producto final. El tiempo de ensamblado se distribuye según una normal de media 15 minutos y varianza 10 minutos. Se trata de simular el proceso para calcular cuantas unidades del producto final es posible fabricar en 1 mes (30 días) con jornadas de 8 horas.

EJEMPLO 3: SIMULACIÓN DE DISTINTOS TRANSPORTES CON ARENA

Las piezas llegan al primer proceso de una en una, con una media de 10 unidades/hora (Poisson); la mitad son de color ROJO y la otra mitad AZULES. En el primer proceso se dispone de 2 máquinas iguales que realizar el trabajo tardando un tiempo que se distribuye según una triangular de tiempos mínimo, modal y máximo, de 5, 8 y 10 minutos respectivamente. Cuando finaliza este primer trabajo, se mandan las piezas al departamento 2 utilizando un transporte directo (“ROUTE”) que tarda 12 minutos. En el departamento 2, se agrupan las piezas en cajas de 6 unidades del mismo color. Las cajas son mandadas al departamento 3 a través de una cinta transportadora (“CONVEYOR”), de 100 metros de longitud y que se mueve a una velocidad constante de 200 metros/hora. En el departamento 3 se sacan las unidades de las cajas, y se procesan de una en una en una máquina que tarda un tiempo que se distribuye uniformemente entre 4 y 8 minutos. El producto ya finalizado se mete otra vez en cajas de 10 unidades del mismo color que se llevarán al almacén 1 si son rojas, y al almacén 2 si son azules. Para ello se utilizará una carretilla eléctrica (“TRANSPORTER”), que se moverá a una velocidad de 30 km/hora si va vacía, y 10 km/hora cuando va llena. La distancia hasta el almacén 1 es de 6 km, y de 10 km al almacén 2.

Tabla de Números Aleatorios. 27767 43584 85301 88977 29490 69714 94015 64874 32444 48277 13025 14338 54066 15243 47724 66733 74108 88222 88570 74015 80217 36292 98525 24335 24432 24896 62880 87873 95160 59221 10875 62004 90391 61105 57411 06368 11748 12102 80580 41867 54127 57326 26629 19087 24472 88779 17944 05600 60478 03343 60311 42824 37301 42678 45990 43242 66067 42792 95043 52680 49739 71484 92003 98086 76668 73209 54244 91030 45547 70818 78626 51594 16453 94614 39014 97066 30945 57589 31732 57260 66692 13986 99837 00582 81232 44987 69170 37403 86995 90307 44071 28091 07362 97703 76447 42537 08345 88975 35841 85771 59820 96163 78851 16499 87064 13075 73035 41207 74699 09310 25704 91035 26313 77463 55387 72681 47431 43905 31048 56699 22304 90314 78438 66276 18396 73538 43277 58874 11446 16082 17710 59621 15292 76139 59526 52113 53856 30743 08670 84741 25852 58905 55018 56374 35824 71708 30540 27886 61732 75454 46780 56487 75211 10271 36633 68424 17374 52003 70707 70214 59849 96169 87195 46092 26787 60939 59202 11973 02902 33250 47670 07654 30342 40277 11049 72049 83012 09832 25571 77628 94304 71803 73465 09819 58869 35220 09504 96412 90193 79568 08105 59987 21437 36786 49226 77837 98524 97831 65704 09514 64281 61826 18555 64937 64654 25843 41145 42820 14924 39650 66847 70495 32350 02985 01755 14750 48968 38603 70312 05682 72461 33230 21529 53424 72877 17334 39283 04149 90850 64618 21032 91050 13058 16218 06554 07850 73950 79552 24781 89483 95362 67011 06651 16136 57216 39618 49856 99326 40902 05069 49712 97380 10404 55452 09971 59481 37006 22186 72682 07385 58275 61764 97586 54716 61459 21647 87417 17198 21443 41808 89514 11788 68224 23417 46376 25366 94746 49580 01176 28838 15472 50669 48139 36732 26823 05511 12459 91314 80582 71944 12120 86124 51247 44302 87112 21476 14713 71181 13177 55292 95294 00566 70481 06905 21785 41101 49386 54480 23604 23554 66986 34099 74474 20740 47458 64809 06312 88940 15995 69321 80620 51790 11436 38072 40405 68032 60942 00307 11897 92674 55411 85667 77535 99892 71209 92061 92329 98932 78284 46347 95083 06783 28102 57816 85561 29671 77936 63574 31384 51924 90726 57166 98884 08583 93889 57067 38101 77756 11657 13897 68984 83620 89747 98882 92613 89719 39641 69457 91339 22502 36421 16489 18059 51061 67667 60631 84054 40455 99396 63680 92638 40333 67054 16067 24700 71594 47468 03577 57649 63266 21036 82808 77501 97427 76479 68562 43321 31370 28977 23896 13173 33365 41468 85149 49554 17994 91178 10174 29420 90438 86716 38746 94559 37559 49678 53119 98189 81851 29651 84215 92581 02262 41615 70360 64114 56861 96717 54244 10701 41393 12470 56500 50273 93113 41794 86861 39448 93136 25722 08564 01016 00857 41396 80504 90670 08289 58137 17820 22751 36518 34030 60726 25807 24260 71529 78920 47648 13885 70669 93406 50259 46345 06170 97965 88302 98041 11947 56203 19324 20504 73959 76145 60808 54444 74412 81105 69181 96845 38525 11600 46874 37088 80940 44893 10408 36222 14004 23153 69249 05747 60883 52109 19516 90120 46759 71643 62342 07589 08899 05985

APLICACIONES DE LA SIMULACIÓN 1. DISEÑO DE LAS INSTALACIONES. ESTA APLICACIÓN EVALÚA EL TAMAÑO DE LAS

INSTALACIONES O EL NÚMERO DE EMPLEADOS QUE SE REQUIEREN.

2. PLANIFICACIÓN AGREGADA. EVALUACIÓN DEL COSTE DE PLANES ALTERNATIVOS. 3. PROGRAMACIÓN. SECUENCIACIÓN DE TAREAS EN TODO TIPO DE PROCESOS. 4. GESTIÓN DE INVENTARIO. SE SIMULAN LAS REGLAS DE DECISIÓN PROPUESTAS PARA

CALCULAR COSTES Y EFECTO EN EL SERVICIO AL CLIENTE. 5. PLANIFICACIÓN DE REQUERIMIENTOS DE MATERIALES. EVALUAR EL EFECTO DE LOS

CAMBIOS PROPUESTOS EN EL PLAN DE PRODUCCIÓN. 6. SIMULACIÓN DE SISTEMAS ECONÓMICOS. EVALUAR EL EFECTO DE DECISIONES

(DEVALUACIÓN DE LA MONEDA, EL IMPUESTO AL VALOR AÑADIDO, ETC.) EN LAS DEMÁS VARIABLES MACROECÓMICAS.

7. SIMULACIÓN DE ESTADOS FINANCIEROS. PERMITE ANALIZAR ESTRATEGIAS QUE

LLEVARÁN A LA ORGANIZACIÓN AL LOGRO DE SUS OBJETIVOS Y METAS DE CORTO, MEDIO Y LARGO PLAZO.

SIMULACIÓN - 1 ..

METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN (1)

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA Y PLANIFICACIÓN

DEL ESTUDIO

DISEÑO Y VALIDACIÓN DE UN MODELO CONCEPTUAL

• PREGUNTAS QUE DEBEN CONTESTARSE. • HIPÓTESIS QUE DEBEN PROBARSE. • EFECTOS QUE SE DESEAN ESTIMAR.

2

1

• LÍMITES DEL MODELO (EXTENSIÓN YAMPLITUD DEL MISMO).

• ELEMENTOS QUE CONSTITUYEN ELMODELO (RECURSOS, MATERIA PRIMA,PRODUCTOS, ...)

• ESCENARIOS OPERACIONALES AEXAMINAR.

• REGLAS DE TRABAJO. • CRITERIOS SOBRE EL MANEJO DE LOS

RECURSOS. • DISEÑO O LAYOUT DEL SISTEMA.

SIMULACIÓN - 2 ..

METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN (2)

RECOPILACIÓN Y ORGANIZACIÓN DE LOS DATOS

• RUTAS DE LAS PIEZAS Y POSIBLESALTERNATIVAS.

• SECUENCIACIÓN DE OPERACIONES. • TIEMPOS DE OPERACIÓN. • CICLOS DE MÁQUINA Y TIEMPOS DE

PREPARACIÓN. • EFICIENCIA DE LOS TRABAJADORES. • TURNOS DE TRABAJO. • LÓGICA DE PROCESAMIENTO

(PRIORIDADES ETC.) • ...

CREACIÓN DEL MODELO MEDIANTE EL SOFTWARE

ADECUADO

VALIDACIÓN DEL MODELO FRENTE AL

SISTEMA REAL 6 5

4

3

EJECUCIÓN DEL MODELO Y ANÁLISIS DE LOS

RESULTADOS OBTENIDOS

SIMULACIÓN - 3 ..

MÉTODO DE SIMULACIÓN DE MONTECARLO: EJEMPLO DE SIMULACIÓN DINÁMICA CON INCREMENTOS DE TIEMPO FIJOS. GESTIÓN DE LOS PEDIDOS A PROVEEDORES EN UN NEGOCIO DE VENTA DE LECHE

• ESTUDIO DE LA DEMANDA EN LOS ÚLTIMOS 100 DÍAS:

Demanda (Unidades del producto) Punto medio Frecuencia

20-24 22 0.05 25-29 27 0.10 30-34 32 0.20 35-39 37 0.30 40-44 42 0.20 45-49 47 0.10 50-54 52 0.05

• VENTA MEDIA DIARIA:

VENTA MEDIA = 0.05·(22) + 0.10·(27) + 0.20·(32) + 0.30·(37) + + 0.20·(42) + 0.10·(47) + 0.05·(52) = 37 SIMULACIÓN - 4 ..

DOS REGLAS DE DECISIÓN POSIBLES:

REGLA 1: PEDIR UN NÚMERO DE UNIDADES DE LECHE IGUAL A LA DEMANDA DEL DÍA ANTERIOR

REGLA 2: PEDIR UNA CANTIDAD FIJA (37 UNIDADES) SIN

TENER EN CUENTA LA DEMANDA DEL DÍA ANTERIOR.

SE SIMULARÁ LA DEMANDA PARA LOS PRÓXIMOS 15 DÍAS, Y SE CALCULARÁN LOS BENEFICIOS DERIVADOS DE LA ADOPCIÓN DE CADA UNA DE LAS ALTERNATIVAS. SE ELEGIRÁ LA REGLA DE DECISIÓN QUE DE MAYORES BENEFICIOS

PRECIO DE VENTA = 50 u.m./unidad PRECIO DE COMPRA = 25 u.m./unidad

SIMULACIÓN - 5 ..

MÉTODO DE MONTECARLO DE SIMULACIÓN ASIGNACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Punto medio de la demanda Frecuencia Números

aleatorios 22 0.05 00 - 04 27 0.10 05 - 14 32 0.20 15 - 34 37 0.30 35 - 64 42 0.20 65 - 84 47 0.10 85 - 94 52 0.05 95 - 99

UTILIZACIÓN DE UNA TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS

SIMULACIÓN - 6 ..

REGLA 1 REGLA 2

Día Número aleatorio Demanda Cantidad

ordenada Ventas Cantidad ordenada Ventas

0 37 1 27 32 37 32 37 322 43 37 32 32 37 373 85 47 37 37 37 374 88 47 47 47 37 375 29 32 47 32 37 326 69 42 32 32 37 377 94 47 42 42 37 378 84 37 47 37 37 379 32 32 37 32 37 3210 48 37 32 32 37 3711 13 27 37 27 37 2712 14 27 27 27 37 2713 54 37 27 27 37 3714 15 32 37 32 37 3715 47 37 32 32 37 37

587 550 500 555 515

Regla 1: Beneficio = 50(500) - 25(550) = 11.250 u.m. Regla 2: Beneficio = 50(515) - 25(555) = 11.875 u.m.

SIMULACIÓN - 7 ..

��

��

��

��

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��

��

��

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

22 27 32 37 42 47 52

��Demanda

RealDemandaSimulada

Figura 8. Lechería: demanda real versus demanda simulada.

7

8

9

0 25 50 75 100 125 150

Número de días simulados

Utili

dad

por P

erío

do

33

34

35

Vent

as p

or P

erío

do

UtilidadVentas

Figura 9. Resultados obtenidos versus longitud de la simulación.

SIMULACIÓN - 8 ..

RESULTADOS DE LA SIMULACIÓN DE 100 DÍAS REGLA 1 REGLA 2 Beneficios: 749 810 Ventas: 1.687 1.735

VARIACIÓN EN EL PRECIO DE COMPRA

C=20 C=30 Regla 1 Regla 2 Regla 1 Regla 2 Beneficio 936 995 561 625

ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD RESPECTO A LA CANTIDAD FIJA PEDIDA

0

200

400

600

800

0 10 20 30 40 50 60

Figura 10. Análisis de sensibilidad respecto a la cantidad pedida. SIMULACIÓN - 9 ..

MÉTODO DE SIMULACIÓN DE MONTECARLO: EJEMPLO DE SIMULACIÓN DINÁMICA CON INCREMENTOS DE TIEMPO VARIABLES.

• PROCESO DE LLEGADA: EXPONENCIAL DE MEDIA 6 DÍAS • TASA DE SERVICIO: CONSTANTE (5 DÍAS)

( )NAt −−= 1ln1

λ tetxP λ−−=≤ 1)(

0

0.7

0 7.22

(b) Intervalo entre cada llegada, tPr

obab

ilida

d A

cum

ulad

a

1-EXP(-lambda*t)

Figura 11. Distribución de los intervalos de llegada.

��

��

��

��

��

��

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��

��

��

��

��

��

��

��

��

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0-1 1-2 2-3 3-4 4-5 5-6 6-7 7-8 8-9 9-10

(a) Intervalo entre cada llegada

SIMULACIÓN - 10 ..

Nº de llegada NA

Intervalo entre

llegadas

Tiempo de

llegada

Entrada al puerto

Tiempo en

servicio

Salida del

puerto

Tiempo de espera del barco

Tiempo de servicio ocioso

1 44 3.5 3.5 3.5 5 8.5 0 3.52 18 1.2 4.7 8.5 5 13.5 3.8 03 45 3.6 8.3 13.5 5 18.5 5.2 04 52 4.5 12.8 18.5 5 23.5 5.7 05 14 0.9 13.7 23.5 5 28.5 9.8 06 91 15 28.7 28.7 5 33.7 0 0.27 63 6 34.7 34.7 5 39.7 0 1.08 70 7.4 52.1 52.1 5 57.1 0 12.49 72 7.8 59.9 59.9 5 64.9 0 2.810 57 5.1 65.0 65.0 5 70.0 0 0.1 Total 24.5 20

díasTMEspera 45,2

105,24

== llegadas

salidas

SIMULACIÓN - 11 ..

20 de Febrero de 2007 1

Generación de variables aleatorias


ÍNDICE

Definición de simulación.Generación de variables aleatorias:✔ Generación de número aleatorios✔ Método de la función inversa✔ Otros métodos:

✔ Composición✔ Convolución✔ Transformaciones conocidas

✔ Generación de secuenciasComprobación de resultadosBibliografía


DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN

SIMULACIÓN: "Experimentar con modelos matemáticos en un computador".Esquema general de la simulación:

En este curso cubriremos los tres aspectosNotar que, al trabajar en computador, siempre trabajaremos con secuencias discretas (muestras, en todo caso, de señales continuas)

Análisis de resultados

Sistema

Generación de señales de entrada

Modelo matemático del sistema

Análisis de resultados

Experimentación/Medida

Simulación



Muchos modelos de sistemas reales contienen elementos que precisan o admiten un modelado estadístico:✔ Sistemas de comunicaciones: ruido, desvanecimiento, ...✔ Sistemas de conmutación: llegadas de usuarios al sistema,

duración de servicios, ...✔ Sistemas sensores: proceso de detección, proceso de medida, ...✔ ...Modelado toma forma definiendo:✔ Variables aleatorias que rigen ciertos comportamientos del

sistema✔ Procesos estocásticos para modelar variación de entradas en el

tiempo.Se deben definir métodos para generar muestras de variables aleatorias y muestras de procesos estocásticos.


GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS (II)

Esquema general de generación de variables aleatorias y muestras de procesos estocásticos:

{Ui}: Conjunto de números generados en el computador, que siguen una distribución uniforme entre 0 y 1, independientes.{xi}: Conjunto de números que pueden verse como:✔ Muestras de una determinada variable aleatoria✔ Muestras de un proceso estocástico en distintos instantes de

tiempo

Generación de números

pseudoaleatorios

Transformación X=f(U)

{Ui} {xi}


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS

Números aleatorios: los que generan variables aleatorias con distribución uniforme entre 0 y 1.Importante: Poder reproducir exactamente el mismo experimento:✔ Detectar casos singulares✔ Comparar sistemas similares bajo condiciones idénticas.Objetivo: ✔ U(0,1)✔ Secuencia de números independientes linealmente: Incorrelados✔ Secuencia reproducible a partir de pocos datos✔ Coste computacional reducido


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (II)

Existen varias familias de métodos de generación de números aleatorios.Aquí explicaremos el funcionamiento de los más usuales: tipo congruencial lineal.Fórmula:Genera una secuencia de enteros {z

i} como:

zi=(a zi1 + c) mod m✔ m es el módulo✔ a es el multiplicador✔ c es el incremento✔ m>0 , m>a , m>c El número aleatorio entre 0 y 1 se obtiene como:

Ui=z

i/m


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (III)

Propiedades:✔ Ecuación recursiva: con un valor inicial (zo) se define la

secuencia completa. A este valor se el denomina semilla aleatoria.

✔ Como máximo se pueden conseguir m números aleatorios distintos.

✔ Tiene comportamiento cíclico. Longitud del ciclo como máximo m, depende de z0.

✔ ¿Que pasa si z0=0? Selección de z0 puede ser importante.✔ No puede salir cualquier número, solo los de la forma z/m.✔ Dependencia fuertemente no lineal Ejemplo: función rand de MATLAB 4:

zi=(77 zi1) mod(2311)


GENERACIÓN DE NUMEROS ALEATORIOS (IV)

Otros métodos, con carácter general, mantienen misma estructura: ✔ Ecuación recursivas, reproducibles a partir de valor inicial

seleccionable. ✔ Dependencias no lineales => lineales implican correlación entre

muestras.✔ Tienen comportamiento cíclico.



Sabemos generar U(0,1). Aquí generalizaremos para conseguir muestras que:✔ Sigan una distribución deseada (función de distribución FX(x) o

densidad de probabilidad fX(x)). ✔ Sean independientes (linealmente).

Como debe ser f(U) para conseguir la distribución deseada


pseudoaleatorios

Transformación X=f(U)

{Ui} {xi}


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA

Método para funciones continuas:f(U)=FX

1(U)Demostración de su validez:

✔ Definimos Y=f(U) ✔ Queremos calcular FY(y)=P(Y≤y)✔ FX(.) es monótona creciente => P(Y≤y)=P(FX(Y)≤FX(y))✔ FY(y)=P(FX(f(U))≤FX(y))✔ FY(y)=P(FX(FX

1(U))≤FX(y))✔ FY(y)=P(U≤FX(y))✔ Como U es una variable aleatoria uniforme, si 0<p<1

P(U≤p)=p.✔ Por tanto FY(y)=FX(y)


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (II)

1

0

FX(X)U

fU(U)

fX(X)

X


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (III)

Generación completa de una muestra de una variable aleatoria: ✔ Se genera un numero aleatorio ui con un generador de números

aleatorios.✔ Se transforma utilizando xi=FX

1(ui) Propiedades del método:

✔ Si podemos asumir que los números aleatorios son independientes, las muestras de las variables aleatorias transformadas también serán independientes

✔ General, vale para cualquier distribución.✔ Problema: Generar FX

1(U)


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (IV)

Extensión a variables aleatorias discretas: ✔ Solo los puntos xk tienen una cierta probabilidad de aparecer

(p(xk)).✔

Al fin y al cabo, son distribuciones como cualquier otraVeamos gráficamente

FX x =P X≤ x=∑x i≤ x

p x i


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (V)

1

0

FX(X)U

fU(U)

fX(X)

X


MÉTODO DE LA FUNCIÓN INVERSA (VI)

Lo que cambia es el método de generación:Generación completa de una muestra de una variable aleatoria discreta:

✔ Se genera un numero aleatorio ui con un generador de números aleatorios.

✔ Se transforma seleccionando el menor xk tal que ui<F(xk).Implementación práctica: Ordenar xk, ir recorriendo hasta que se cumpla la anterior condición, devolver xi=xk. Generalización a distribuciones mixtas es inmediata.


EJEMPLOS

Generación de muestras que siguen una distribución exponencial:✔ fX(x)=1/c exp(x/c) para valores positivos de x. ✔ FX(x)=1exp(x/c) ✔ f(u)=FX

1(u)= c ln(1u)✔ MATLAB: >>x=c*log(1rand(1,1));Generación de muestras que siguen una distribución discreta:✔ p(1)=1/3, p(2)=1/2, p(4)=1/6 ✔ MATLAB:

>>u=rand(1,1)>>if(u<1/3) x=1;>>else if(u<5/3) x=2;>>else x=4;


OTROS MÉTODOS

Problema del método anterior es sintetizar FX1(U).

En ocasiones, mas sencillo emplear propiedades de distribuciones. Ejemplos:✔ Composición✔ Convolución✔ Transformaciones conocidas


COMPOSICIÓN

Método típico para generar distribuciones multimodales:fX(X)=p1fX1(X)+p2fX2(X)+p3fX3(X)+ ...+pNfXN(X)

Si una distribución es mezcla estadística de otras, por que no:✔ Generar una variable aleatoria discreta coherente con la

probabilidad de cada modo✔ Seleccionar el modo resultante✔ Generar la variable aleatoria con la distribución asociada al

modo.


COMPOSICIÓN (II)

Ejemplo: distribución de Laplace fX(X)=1/(2c) exp(|x|/c) ✔ Puede verse como composición de dos exponenciales, una

positiva y otra negativa✔ Generando dos números aleatorios u1 y u2 se puede calcular

decidiendo con el primero el signo (equiprobable) y con el segundo el módulo (exponencial).

✔ MATLAB:if rand(1,1)<0.5

x=c*log(1rand(1,1));else

x=c*log(1rand(1,1));


CONVOLUCIÓN

En otras ocasiones, se sabe que una variable aleatoria es resultado de la suma de varias otras variables. Si dos variables aleatorias (X e Y) son independientes, la función densidad de probabilidad se la suma Z=X+Y puede demostrarse (ISA) que es: fZ(z)=fX(z)*fY(z) => de hay el nombre del método.Si sabemos que Z cumple esta propiedad, por que no:✔ Generar muestras (en el ejemplo xi e yi) de las variables

aleatorias originales (X e Y en el ejemplo) utilizando el método que sea preciso.

✔ Sumarlas (en el ejemplo, zi=xi+yi)


CONVOLUCIÓN (II)

Ejemplo 1: mErlang que es la suma de m exponenciales.✔ MATLAB:

x=0;for i=1:m

x=xc/m *log(1rand(1,1));end


CONVOLUCIÓN (III)

Ejemplo 2: Síntesis de gaussianas como suma de uniformes ✔ Teorema de límite central.✔ Sumando suficientes uniformes, tenderemos a una gaussiana.✔ Método clásico usa 12 => resultado: N(6,1)


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS

En ocasiones, se conocen relaciones entre variables aleatorias que permiten transformar unas en otras.Ejemplo clásico: Generación de variables aleatorias gaussianas ✔ Propiedad conocida: Si tenemos dos variables aleatorias

gaussianas X e Y (media nula y varianza igual):✔ ¿Cual es la distribución de |X+jY|?✔ ¿La de M=|X+jY|2 ? ✔ ¿Y la de F=arg(X+jY)?✔ ¿Hay dependencia entre M y F?

✔ Generar variables aleatorias exponencial y uniforme no es complicado => ya hemos visto como


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS (II)

A partir de dos variables aleatorias, una exponencial (M) y la otra uniforme entre 0 y 1 (F), se pueden generar dos gaussianas independientes utilizando las siguientes transformaciones:

El método completo quedará:✔ Generar dos variables aleatorias uniformes (u1 y u2).✔ Utilizar la siguiente transformación:

Resultado: pareja de dos muestras de una gaussiana (N(0,1))), independientes entre si

X=M cos2FY=M sen 2F

x=−2 lnu1 cos2u2

Y=−2 ln u1 sen 2 u2


TRANSFORMACIONES CONOCIDAS (III)

Ejemplo 2: ¿Como modificar media y varianza de una variable aleatoria?✔ Traslación de la media: Y=X+m => aplicar sobre muestras

generadas de X (comprobar que E{Y}=E{X}+m): yi=xi+m

✔ Modificación de la varianza: Recordar que Y= a X implica que Var(Y)=a2 Var(X). Aplicar de forma equivalente a las muestras generadas de X:

yi=a xi ✔ Traslación de la media y modificación de la varianza conjuntas:

¿Que pasa con media y varianza si Y=a X+m? Pensar antes de ir a la práctica.


GENERACIÓN DE SECUENCIAS

De entre todos los procesos aleatorios, nos vamos a quedar con los estacionarios. Existen métodos para otras familias, pero no son de interés en este curso.OBJETIVO: Generar un proceso estocástico (discreto) con función densidad de probabilidad ( o distribución) y correlación (o espectro) arbitrarias.✔ Problema sin solución general.✔ En general, incluso cuando es posible, sintetizar adecuadamente

el proceso es difícil✔ Vamos a exponer un método de generación lo más genérico

posible


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (II)

¿Como generar procesos gaussianos con una cierta correlación?Recordar de ISA:✔ Si tenemos un ruido blanco gaussiano✔ Pasamos por un filtro con respuesta en frecuencia H(f)✔ Espectro del ruido coloreado: |H(f)|2✔ Distribución sigue siendo gaussiana.Este es el fundamento de la generación de secuencias correladas:

SY(f)=|H(f)|2

RY[n]=ℱ1{|H(f)|2}

Generación degaussianas

H(f)x[n] y[n]


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (III)

Tratemos de generalizar ahora a otras distribuciones:¿Que pasa si:

?✔ Espectro: |H(f)|2✔ Pero distribución se modifica: cada salida es resultado de sumas

ponderadas de entradas ✔ Efecto sumamente difícil de controlar

Generación devariables aleatorias

H(f)x[n] y[n]


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (IV)

Cambiemos ahora el método:¿Que pasa si :

?✔ Z=f(Y): No linealidad sin memoria.✔ Distribución es una gaussiana tras pasar por la transformación

f(Y) => predecible => controlando f(Y) podemos generar la distribución deseada.

✔ Espectro, al pasar por no linealidad, se distorsiona (y por tanto correlación). También es predecible esta distorsión => controlando H(f), para una f(Y) dada, se puede controlar espectro de la salida.

Generación degaussianas

H(f)x[n] y[n] f(Y) z[n]=f(y[n])


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (V)

¿Como calcular f(Y)?: Puede hacerse en dos etapas:✔ Convertir gaussiana en uniforme: al igual que FX

1(.) sirve para transformar una uniforme en una distribución, FX(.) sirve para transformar esa distribución en uniforme.

✔ Convertir uniforme en la distribución deseada (método de la función inversa):

✔ f(Y)=FZ1(FY(Y))


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (VI)

¿Como calcular H(f)?: ✔ Autocorrelación antes de pasar por no linealidad: R'(n)✔ Función densidad de probabilidad conjunta de dos muestras (u y

v) de la variable aleatoria y[n] separadas n muestras:

✔ Autocorrelación a la salida (z[n]):

✔ A partir de autocorrelación =>|H(f)|2=ℱ{R'[n]}. Usar métodos de diseño de filtros digitales.

g u , v ,R 'n=1

2π1−R 'nexp −

12u2

v2−2R 'n uv

R n =∫−∞

∞

∫−∞

∞

f u ⋅f v ⋅g u , v , R ' n ⋅du⋅dv


GENERACIÓN DE SECUENCIAS (V)

Relación R'(n)=función(R(n)) complicada de resolver en general. En introducción teórica a la práctica se da resuelta para algunos casos de distribuciones.En introducción teórica también se propone un método de síntesis de filtros a partir de R(n) (usando la DFT).


COMPROBACIÓN DE RESULTADOS

En la práctica se van a generar un conjunto de muestras de variables aleatorias y de procesos estocásticos.Hay que validar los resultados.Para ello utilizaremos un conjunto de funciones de MATLAB, aplicándolas sobre los resultados obtenidos para estimar parámetros de las variable aleatorias y procesos estocásticos generados.En prácticas posteriores veremos que es lo que hacen internamente estas funciones.


COMPROBACIÓN DE RESULTADOS (II)

Habrá que utilizar las siguientes funciones de MATLAB:✔ mean: media✔ std: desviación típica (raiz cuadrada de la varianza)✔ xcorr: correlación cruzada (¿como la usaría para calcular

autocorrelación?)✔ psd: densidad espectral de potencia de una señal ✔ hist: Histograma (recordar de LSCM)


RESUMEN


pseudoaleatorios

Transformaciones X=f(U)

{Ui} {xi}Análisis de resultados

Requisitos:DistribuciónEspectro/Autocorrelación

SIMULACIÓN

Simulación implica crear un modelo que aproxima cierto aspecto de un sistema del mundo real y que puede ser usado para generar historias artificiales del sistema, de forma tal que nos permite predecir cierto aspecto del comportamiento del sistema.

En particular, usaremos computadores para imitar comportamientos del sistemas evaluando numericamente un modelo del mismo. Estas evaluaciones numericas son las que nos permiten generar las historias artificiales que no son mas que experimentos.

Modelo

Un modelo es una representación de un objeto, idea, o sistema en una forma diferente a la entidad misma. En nuestro caso el modelo es un conjunto de relaciones matemáticas o lógicas derivadas de supuestos sobre el comportamiento del sistema.

¿Para que?

Simulamos para explicar, entender o mejorar el sistema.

Ejemplo:

El diseño de un procesador involucra miles o millones de compuertas lógicas interconectadas. El proceso de crear el primer chip es sumamente costoso y no es posible darse el lujo de construir varios chips y luego verificar su funcionamiento. Lo que se hace es modelar el procesador y verificar su funcionamiento usando simulación.

¿Cuando?

a) El sistema real no existe. Es costoso, peligroso, consume mucho tiempo, o imposible de construir y experimentar con prototipos (nuevo computador o procesador, reactor nuclear).

b) Experimentar con el sistema real es complicado, costoso, peligroso, o puede causar serios desajustes (sistema de transporte, sistema de manufactura, reactor nuclear).

c) Necesidad de estudiar el pasado, presente, o futuro del sistema en tiempo real, tiempo expandido, o tiempo comprimido (sistemas de control a tiempo real, estudios en cámara lenta, crecimiento poblacional).

d) Es sistema es tan complejo que su evaluación analítica es prohibitiva, bien sea porque el modelado matemático es imposible, o porque el modelado matemático no tiene solución analítica o numérica simple y practica (colas de espera, ecuaciones diferenciales no lineales, problemas estocásticos).

e) Se puede validar satisfactoriamente el modelo de simulación.

Prof. Herbert Hoeger Simulación

I-1

Se podría decir “Simular cuando todo lo demás falla”, pero esto no es excusa para usar simulación inadecuadamente.

Sistema

Experimentarcon el sistema

mismo

Experimentarcon un modelo

del sistema

Modelos

físicos

Modelos

Matemáticos

Soluciónanalítica

Simulación

Figura 1. La simulación en el estudio de sistemas.

Las areas de aplicacion de la simulacion son numerosas y entre ellas estan: • Diseño y analisis de sistemas de produccion. • Analisis de sistemas finacieros o economicos. • Evaluacion de software y hardware. • Evaluacion de sistemas de armamaneto militar o sistemas tacticos. • Determinacion de politicas de inventario. • Manejo de bosques. • Diseño de sistemas de comunicacion y protocolos • Diseño de sistemas de transporte. • Evaluacion de diseños de organizaciones como hospitales, comedores, servicios de correo, etc.

I. ERRORES COMUNES EN SIMULACIÓN

1. Nivel de detalle inapropiado

Un modelo analítico es menos detallado que un modelo de simulación. Análisis requiere de muchos supuestos y simplificaciones. El detalle en un modelo de simulación esta limitado por el tiempo disponible para desarrollarlo.


I-2

Mas detalle ⇒ mas tiempo ⇒ incrementa la posibilidad de errores y es mas difícil detectarlos ⇒ incrementa el tiempo de corrida del modelo ¡Mas detalle no necesariamente es mejor! Mas detalle requiere mas conocimiento de los parámetros de entrada, que si no están disponibles pueden hacer el modelo mas inexacto.

Ejemplo:

Supongamos que en la simulación de un sistema de tiempo compartido (timesharing) debemos simular el tiempo requerido para satisfacer accesos a disco. Una opción es generarlos usando una distribución exponencial. Una alternativa mas detallada seria simular el movimiento de los cabezales y la rotación del disco. En la segunda alternativa se pueden tener mejores resultados solo si conocemos las referencias a sectores y pistas. Sin embargo, si esta información no esta disponible a la hora de la entrada de datos, hay que terminar generándolos exponencialmente y hubiese sido menos costoso irse por la primera alternativa.

Es mejor partir de un modelo sencillo, obtener resultados, estudiar la sensibilidad, e introducir mas detalles en las áreas que impactan mas los resultados.

2. Lenguaje inapropiado

Lenguajes de simulación de propósito especial requieren menos tiempo para implementar el modelo y facilitan actividades como verificación (mediante el uso de opciones de trazado) y de análisis estadístico. Lenguajes de propósito general son mas portables y proveen mejor control sobre la eficiencia y el tiempo de corrida de la simulación.

3. Modelos no verificados

Los modelos de simulación son generalmente programas grandes, que si no se tienen las precauciones respectivas, es posible tener errores de programación que hagan las conclusiones sin sentido.

4. Modelos inválidos

Aun cuando no hayan errores de programación, puede que el modelo no represente al sistema real adecuadamente por supuestos incorrectos en su formulación. Es esencial que el modelo sea validado para asegurar que las conclusiones a las que se pueda llegar sean las mismas que se obtendrían del sistema real. Todo modelo de simulación debe estar bajo sospecha hasta que se pruebe lo contrario por modelos analíticos, mediciones, o intuición.


I-3

5. Tratamiento incorrecto de las condiciones iniciales

Generalmente la parte inicial de una corrida de simulación no es representativa del comportamiento de un sistema en estado estable, por lo tanto debe ser descartada.

6. Simulaciones muy cortas

Por tratar de ahorrar tiempo de análisis y de computación, las corridas de simulación pueden ser muy cortas. Los resultados en estos casos dependen fuertemente de las condiciones iniciales y pueden no representar al sistema real. El tiempo de corrida adecuado depende de la exactitud deseada (intervalos de confianza) y de la varianza de las cantidades observadas.

7. Generadores de números aleatorios inadecuados

Las simulaciones requieren de cantidades aleatorias que son producidas por procedimientos llamados generadores de números aleatorios. Es mejor usar generadores que han sido bien analizados a usar los de uno mismo. Aun buenos generadores presentan problemas.

8. Selección de semillas inadecuadas

Los generadores de números aleatorios son procedimientos que dado un numero aleatorio generan otro. El primer numero aleatorio de la secuencia es llamado la semilla y debe ser proporcionada por el analista. Las semillas para diferentes secuencias deben ser cuidadosamente seleccionadas para mantener independencia entre las secuencias. Los analistas usualmente usan una misma secuencia para diferentes procesos o usan la misma semilla para todas las secuencias. Esto introduce correlación entre los procesos y puede llevar a conclusiones erróneas.

II. OTRAS CAUSAS DEL FRACASO DE LOS ANÁLISIS DE SIMULACIÓN

1. Estimación inadecuada del tiempo para desarrollar el proyecto

Es común subestimar el tiempo y el esfuerzo requerido para desarrollar modelos de simulación. Si la simulación es exitosa y produce información útil, sus usuarios quieren incorporar mas funciones, parámetros y detalles. Por el contrario, si no provee de información útil, usualmente se espera que al añadir elementos la puedan hacer útil. En ambos casos el proyecto se extiende mas allá de las proyecciones iniciales. Para proyectos grandes se deben hacer previsiones para incorporara cambios que son inevitables sobre largos periodos de tiempo.


I-4

2. Metas inalcanzables

La simulación es un proceso largo y complejo y se debe tener claramente definido un conjunto de metas que sean especificas, minuciosas, medibles, y alcanzables. Un ejemplo común de una meta inalcanzable es "modelemos X." Es posible modelar muchas características diferentes de X a muchos niveles de detalle.

3. Mezcla incompleta de habilidades

Un proyecto de simulación requiere por lo menos: a. Liderazgo: Habilidad para motivar, guiar y manejar a los miembros del equipo de simulación. b. Modelaje y estadísticas: Habilidad para identificar las características claves del sistema y modelarlas

al nivel de detalle requerido. c. Programación: Habilidad para escribir código entendible y verificable que implemente el modelo

correctamente. d. Conocimiento del sistema modelado: Habilidad para entender el sistema, explicarlo al equipo de

modelaje, e interpretar los resultados del modelo en términos de su impacto en el diseño del sistema.

4. Nivel inadecuado de participación de los usuarios

Es esencial que el equipo de simulación y los usuarios de la organización estén en constante contacto para intercambiar y discutir ideas. La mayoría de los sistemas evolucionan y cambian con el tiempo y un modelo desarrollado sin la participación de los usuarios raramente resulta exitoso.

5. Documentación inexistente u obsoleta

La mayoría de los modelos de simulación se desarrollan en largos periodos de tiempo y continuamente son modificados a medida que el sistema cambia o es mejor comprendido. Su documentación muchas veces es desatendida y rápidamente se vuelve obsoleta. Es recomendable documentar los programas y usar lenguajes que sean fáciles de leer.

6. Inhabilidad para gerenciar el desarrollo de programas de computación grandes

Hay muchas herramientas de ingeniería de la programación que permiten vigilar los objetivos del diseño, los requerimientos funcionales, las estructuras de datos y los estimados de progreso. También hay un conjunto de principios de diseño, como diseño de arriba abajo y programación estructurada, para desarrollar grandes proyectos en forma ordenada . Sin el uso de estas herramientas y técnicas es imposible desarrollar exitosamente un modelo de simulación grande.


I-5

7. Resultados misteriosos

Resultados misteriosos generalmente son debido a errores de programación, supuestos incorrectos en el modelo, o falta de entendimiento del sistema real. Nunca deben ser obviados.

III. TERMINOLOGÍA

1. Variables de Estado

El estado del sistema esta caracterizado por el valor que tengan las variables de estado en un instante de tiempo dado. El conjunto de variables de estado debe ser suficiente para el propósito de estudio, y puede diferir en el número y tipo de variables si los objetivos de la simulación cambian. Si la simulación es detenida, puede ser continuada después si y solo si los valores de las variables de estado son conocidos.

2. Evento

Un evento es un suceso, un hecho, una ocurrencia que genera un cambio en el estado del sistema. Una llegada, una salida, etc.

3. Modelos de Tiempo Continuo y de Tiempo Discreto

Modelo de Tiempo Continuo

Cuando el estado del sistema esta definido para cada instante de tiempo.

Modelo de Tiempo Discreto

Cuando el estado del sistema esta definido solo para particulares instantes de tiempo.

tiempo

Numero detrabajosen cola

Tiempo Continuo

tiempo

Numero de

(viernes)

estudiantesen clase los

viernes

Tiempo Discreto

Figura 2. Modelos de tiempo continuo y discreto.


I-6

4. Modelos de Estado Continuo y de Estado Discreto

El modelo es de estado continuo o discreto dependiendo de si las variables de estado son continuas o discretas.

Modelo de Estado Discreto → Modelo de Eventos Discretos Modelo de Estado Continuo → Modelo de Eventos Continuos Continuidad de tiempo no implica continuidad de estado y viceversa.

tiempo

Estado Continuo

Nivel deagua

tiempo

Numero detrabajosen cola

Estado Discreto

Figura 3. Modelos de estado continuo y discreto.

5. Modelos Determinísticos y Probabilísticos

Si los resultados de un modelo pueden predecirse con certeza, el modelo es determinístico; un simulador de contratos colectivos. Si repeticiones con la misma entrada pueden producir resultados distintos entonces el modelo es probabilístico; un simulador de colas.

entrada

Deterministico

salida

entrada

Probabilistico

salida

Figura 4. Modelos deterministicos y probabilisticos.


I-7

6. Modelos Estáticos y Dinámicos

Un modelo en el que el tiempo no es una variable es estático. Si el sistema cambia con el tiempo el odelo es dinámico. m

E = m c2 → Modelo Estático (materia en energía)

Numero de trabajos en cola en un computador. → Modelo Dinámico

7. Modelos Lineales y No-Lineales

Si la salida es una función lineal de la entrada, el modelo es lineal, de lo contrario es no-lineal. Ejemplo: f x a bx f x a b x( ) ( )= + = + vs.

Lineal

salida

entrada

No-Lineal

salida

entrada

Figura 5. Modelos lineales y no lineales.

8. Modelos Cerrados y Abiertos

Si la entrada es externa al modelo e independiente de el, el modelo es abierto. Si el modelo es cerrado no hay entrada externa. Puede depender de los objetivos de la simulación, como se enfoque el problema y los supuestos que se hagan. Por ejemplo: podemos simular el trafico en una ciudad como un sistema cerrado si asumimos que el numero de vehículos permanece constante (no hay arribos ni salidas o arribos = salidas), o como un sistema abierto generando arribos y salidas al exterior.

Abierto

Cerrado

Figura 6. Modelos abiertos y cerrados.


I-8

9. Modelo Estables e Inestables

Si el comportamiento del sistema converge a un estado estable (independientemente del tiempo) el modelo es estable. Un modelo cuyo comportamiento cambia constantemente es inestable. Por ejemplo: en un sistema de taquilla simple tenemos: Intervalo entre llegadas > tiempo de servicio → modelo estable Intervalo entre llegadas ≤ tiempo de servicio → modelo inestable.

Estable

salida

entrada

promedio

Inestable

salida

entrada

promedio

Figura 7. Modelos estables e inestables.

Ejemplo

Modelos de sistema de computación generalmente son de tiempo continuo, estado discreto, probabilísticos, dinámicos y no-lineales. Algunos son abiertos y otros cerrados. También pueden ser estables o inestables.

IV. SELECCIÓN DEL LENGUAJE DE SIMULACIÓN

1. Importante

La selección incorrecta del lenguaje de simulación puede extender considerablemente el tiempo de ejecución del proyecto, producir estudios incompletos o hacer fracasar el proyecto.

2. Lenguaje de Simulación

Lenguajes como SIMULA y SIMSCRIPT ahorran tiempo de desarrollo: tienen facilidades para generar estadísticas, reportes, etc. Permiten al analista concentrarse en aspectos específicos del sistema y no preocuparse por aspectos generales a todas las simulaciones. El código es modular, fácil de leer y proveen buena detección de errores.


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3. Lenguaje de Propósito General

C, Pascal, Fortran. Se usan cuando el analista esta familiarizado con el lenguaje, no hay tiempo de aprender un lenguaje de simulación o no esta disponible. Proveen flexibilidad, eficiencia y portabilidad.

4. Extensiones a Lenguajes de Propósito General

Lenguajes de propósito general extendidos con un conjunto de rutinas comúnmente requeridas en simulación. Ejemplo: GASP para FORTRAN.

5. Paquetes de Simulación

QNET4 y RESQ permiten definir el modelo usando un dialogo. Pueden ahorrar mucho tiempo pero son muy inflexibles. Proveen solo cosas que fueron previstas por los desarrolladores.

Continuos Discretos Mixtos

CSMP DYNAMO

SIMULA GPSS

SIMSCRIPT GASP

GLIDER

V. TIPOS DE SIMULACIÓN

1. Monte Carlo

Simulación estática o sin eje de tiempo. Se usa para modelar fenómenos probabilísticos que no dependen del tiempo o para evaluar expresiones no-probabilísticas con métodos probabilísticos. Esta definición es mas restrictiva que la que dan otros autores para los cuales simulación Monte Carlo es cualquier simulación que use números aleatorios.

Ejemplo 1:

I e dx= −∫2

0

2

x

Para evaluar esta integral (para este ejemplo es mejor usar métodos numéricos y usar Monte Carlo en integrales múltiples con integrandos con comportamiento inusual) podemos generar números aleatorios con distribución uniforme x y para cada numero calcular la siguiente función y:

x ~ Unif(0,2)

función de densidad f(x) = ½ si 0 ≤ x ≤ 2


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y e x= −22

El valor esperado de y es:

E y e f x dx e dx e dx Ix x x( ) ( )= = =− − −∫∫∫ 2 2 12

2 2

0

2

0

2

0

2

=2

Y podemos evaluar la integral generando xi, calculando yi, y promediando de la siguiente forma:

xi ~ Unif(0,2)

y eix= −2

2

I E yn

yi

n

= = ∑( ) 11

Programa y Corridas1

program calcula_integral; var suma,n,x,y: extended; begin

randomize; n := 0; suma := 0; while n < 1000000 do begin

x := 2 * random; y := 2 * exp( -x * x ); suma := suma + y; n := n + 1;

end; writeln('Resultado: ',suma/n:6:4);

end.

n

10.000 100.000

1.000.000

Resultado

0.8855 0.8807 0.8822

Notese que la funcion random genera números uniformes entre 0 y 1.

Ejemplo 2:

Para calcular π podemos basarnos en el hecho de que la relación entre el área del circulo y del

cuadrado que se muestra a continuación es 42.2

1... 22 πππ

==bar . Por lo tanto podemos generar pares de

números aleatorios (x, y) entre -1 y 1 (en realidad es suficiente con generarlos entre 0 y 1 dada la simetría que presenta el problema y por lo tanto los resultados serán los mismos si consideramos solo el primer cuadrante), y calcular la relación entre los números dentro del circulo d ( x2 + y2 = 1) con respecto a los números generados n. Esta relación multiplicada por 4 debe aproximarse más π a

medida que el número de pares generados sea mayor, es decir, π=∞→ n

dn

4lim

1 Todos los códigos en Pascal fueron probados usando Delphi 5


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-1

-1 1

1

Programa y Corridas program calcula_pi; const limit = 10000000; var x, y, dentro, contador: extended; begin randomize; dentro := 0; contador := 0; while (contador < limit) do begin x := random; y := random; if (x*x + y*y) <= 1 then dentro := dentro + 1; contador := contador + 1; end; writeln('PI: ',4.0*dentro/limit:10:8); end.

n

10.000 1.000.000

100.000.000

Resultado

3.15560000 3.14124800 3.14139356

2. Simulación por trazas

Una traza es un registro de eventos ordenados por tiempo de un sistema real. Son muy usadas para analizar diferentes alternativas. Las trazas deben ser independientes del sistema bajo estudio.

Ejemplo

Para comparar diferentes esquemas de administración de memoria en un computador, se puede obtener del sistema una traza de paginas referenciadas por programas claves. Esta traza puede ser usada para ajustar los parámetros (tamaño de pagina) de un algoritmo de administración particular o para comparar diferentes algoritmos (FIFO, aleatorio, menos usada recientemente, etc.).

Ventajas

a) Credibilidad: Una traza tiene mas credibilidad que una generación aleatoria. b) Facilidad para validar: Para obtener la traza hay que monitorear al sistema. Durante este

monitoreo se pueden observar otras características del sistema que luego pueden usarse para validar la simulación.

c) Menos aleatoriedad: Una traza es una entrada determinística. Si la simulación se repite, la traza es la misma pero la salida puede diferir por aleatoriedad en otros componentes del modelo. Hay


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menos varianza en las salidas y por lo tanto se requieren menos repeticiones para obtener la confianza estadística deseada.

d) Comparaciones mas justas: Una traza permite comparar diferentes alternativas con la misma entrada.

Desventajas

a) Complejidad y detalle: Puede requerir una simulación mas detallada del sistema. Por ejemplo: en la simulación de un sistema de disco podemos asumir tiempo de acceso exponencial a sectores, o tomar trazas de los sectores accesados e incluir cómputos del tiempo de rotación del disco y movimiento de cabezales ⇒ ¡mas cómputos y detalle!

b) Trazas finitas y representatividad: En pocos minutos se puede obtener una traza detallada larga que puede no ser representativa en todos los momentos.

c) Validación: Las trazas pueden producir diferentes resultados en diferentes alternativas. Deben usarse varias trazas distintas para validar los resultados.

d) Cambios de trazas: Si se desea estudiar un sistema bajo condiciones distintas, no es posible modificar las trazas, y hay que tener trazas características para cada caso.

3. Simulación por Eventos Discretos

Una simulación que usa un modelo de estado discreto del sistema es llamada una simulación por eventos discretos. En este tipo de simulaciones el estado del sistema cambia solo en momentos específicos del tiempo: cuando ocurre un evento. Consideremos un sistema de taquilla simple: Aquí podemos considerar que la variable de estado (la única en este caso) es una variable entera, que podemos llamar cola, que indica cuantos clientes están frente a la taquilla con las siguientes consideraciones:

Taquilla

Clientes en cola

Caso Valor de cola No hay clientes en el sistema 0

El primer cliente es atendido y los otros esperan ≥1

En este tipo de sistema tenemos dos tipos de eventos, llegadas y salidas. Cuando un cliente arriba, la longitud de cola se incrementa (cambia el estado del sistema), y cuando un cliente termina de ser atendido este abandona el sistema y la longitud de cola se decrementa (vuelve a cambia el estado del sistema). Es claro que el estado del sistema no cambia constantemente y solo lo hace al ocurrir un evento: una llegada o una salida.


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El esquema secuencial clásico de los simuladores por eventos discretos se muestra a continuación, en donde por lo general la simulación termina cuando el tiempo del próximo evento a simular es mayor que el tiempo que se estipulo para la simulación. Lista de eventos pendientes

Variables de

estado

Lazo de simulación: Lazo • obtenga próximo evento • tiempo = tiempo del evento • procesa el evento: actualiza variables de

estado y estadísticas y posiblemente genera nuevos eventos

Fin del lazo

El simulador debe garantizar la causalidad, es decir, que todo evento sea simulado después de todos los eventos que él dependa. Para entender mejor esto, suponga una habitación con una puerta que esta cerrada y con una persona dentro. Si se tienen dos eventos: abrir puerta y persona sale, evidentemente no se puede simular la salida de la persona antes de simular la apertura de la puerta: el evento persona sale depende del evento abrir puerta. En un simulador en el que solo se permite que el tiempo avance (nunca retroceda) y en el que los eventos se simulen en estricto orden cronológico (los eventos más próximos en el tiempo primero), la causalidad esta garantizada. Si la causalidad no se garantiza se puede generar un caos y la simulación carecería de sentido alguno.

Todas las simulaciones de eventos discretos tienen una estructura común e incluyen los siguientes componentes:

a) Manejador de eventos: Mantiene los eventos que esperan por suceder. Es de uno de los componentes de simulación más usados. Es ejecutado antes de la simulación de cada evento y posiblemente durante la simulación de un evento para programar nuevos eventos. Su implementación debe ser cuidadosa ya que tiene un fuerte impacto sobre la eficiencia del simulador.

b) Reloj de simulación y mecanismo de avance de tiempo: Toda simulación tiene una variable global que representa el tiempo simulado. El manejador es el encargado de avanzar este tiempo. Hay dos formas de hacer esto: Método de tiempo unitario: Incrementa el tiempo en pequeños pasos y se chequea si hay eventos

que pueden ocurrir. Generalmente no se usa. Método por eventos: Incrementa el tiempo automáticamente al tiempo de evento más próximo a

ocurrir.


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c) Variables de estado del sistema: Son variables globales que describen el estado del sistema. d) Rutinas de eventos: Cada tipo de evento es simulado por su rutina. Estas rutinas actualizan las

variables de estado y generan nuevos eventos. e) Rutinas de entrada: Son para obtener los parámetros del modelo como tiempo promedio entre

llegadas, tiempo promedio de servicio, etc. Deben ejecutarse al comienzo de la simulación para liberar al usuario ya que generalmente las simulaciones consumen tiempo. Permiten variar los parámetros. Cada conjunto de valores de entrada define una iteración que quizás deba ser repetida varias veces con diferentes semillas. Cada ejecución de la simulación consiste de varias iteraciones, y cada iteración consiste de varias repeticiones.

f) Generador de reportes: Rutinas para producir las salidas al final de la simulación. g) Rutinas de inicialización: Fijan el estado inicial del sistema e inicializan los generadores de

secuencias de números aleatorios. h) Rutinas de trazado: Imprimen resultados intermedios durante la simulación. Sirven para depurar

el simulador. i) Manejo dinámico de memoria: Durante la simulación se crean nuevas entidades y las viejas son

destruidas. Esto requiere una periódica colección de basura. Si esto no lo provee el lenguaje, el programador debe escribir código para manejo dinámico de memoria.

j) Programa principal: Agrupa todas las rutinas.

4. Simulación Continua

Los modelos de simulación continua, donde las variables de estado son continuas, usualmente son descritos mediante ecuaciones diferenciales y algebraicas. Estas variables de estado por lo general cambian en forma continua a medida que la simulación avanza, por ejemplo, el contenido de agua en un embalse cambia continuamente con la afluencia y salida de agua del mismo y no en solo en instantes específicos del tiempo como si estuviéramos agregando o sacando baldados de agua. Muchas simulaciones por eventos discretos incluyen subsistemas continuos y viceversa. Se puede hacer en computadores analógicos o en computadores digitales. Computadores analógicos son maquinas de propósito especial:

a) operan continuamente sobre todas las variables en tiempo real b) son dispositivos paralelos c) incluyen circuiteria para sumatorias, multiplicación, integración, y generación de funciones d) no tienen capacidades de almacenamiento o son muy limitadas e) dan resultados inmediatamente f) no pueden manejar variables muy grandes o muy pequeñas requiriendo cambio de escala g) las variables de entrada son continuas y esto requiere conversión de voltajes analógicos a números

y viceversa.


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Computadoras digitales son maquinas de propósito general: a) operaciones aritméticas y lógicas son efectuadas secuencialemente b) variables de entrada son discreteas c) pueden manejar números muy grandes o muy pequeños d) integración matemática directa no es posible y se hace usando métodos numéricos (ver el ejemplo

siguiente) e) pueden almacenar gran cantidad de datos f) son relativamente lentas.

Ejemplo de integración numérica usando el método del trapecio

I e dx= −∫2

0

2

x

P rograma y Corridas

El siguiente programa calcula el área bajo la curva usando trapecios como los mostrados en la figura 8.

program calcula_integral; var suma,x,x1,x2,fx2,tria,paso: extended; begin paso := 0.1; x1 := 0; x2 := paso; suma := 0; while x2 <= 2 do begin fx2 := exp(-x2 * x2); tria := (exp(-x1 * x1) - fx2)*paso/2; suma := suma + tria + xf2 * paso; x1 := x2; x2 := x2 + paso; end; writeln('Resultado: ',suma:10:8); end.

paso

0.1 0.01

Resultado

0.87985 0.88208

x1 x2

f(x2 )

f( x1 )

Figura 8. Integración numérica.


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Ejemplo de un programa en CSMP y GLIDER

La distancia x , en metros, recorrida entre paradas por un ascensor en una mina esta dada por la siguiente ecuación diferencial:

x t t x x t' ' . ( ) ' ( ) ( ) .= − − = = = ≤ ≤17 2 0 0 0 0 43 donde tiempo en segundos, y

Calcular el valor de x como función del tiempo.

En CSMP, , tiene el siguiente formato Y=INTGRL(IC,X). Y Xdt CI Y Ct

= + =∫ ; ( )00

I

Programa Comentarios

TITLE PROGRAMA EJEMPLO * SIMULA LA DISTANCIA RECORRIDA POR UN ASCENSOR CONSTANT K = -1.7 X2 = K*(TIME-2.0)**3 X1 = INTGRL(0.0,X2) X = INTGRL(0.0,X1) TIMER FINTIM = 4.0,PRDEL = 0.4, DELT = 0.01 PRINT X,X1,X2 END STOP ENDJOB

FINTIME tiempo de simulacion PRDEL intervalo entre impresiones DELT intervalo de integracion

En GLIDER (Gate, Line, Input, Decision, Exit, Resource), se escriben directamente las ecuaciones diferenciales. Como no hay segunda derivada, se usa una variable auxiliar para especificarla.

Programa TITLE Distancia recorrida por un ascensor NETWORK C :: X' := Z; Z' := Y; Y := -1.7*(TIME - 2.0)*(TIME - 2.0)*(TIME - 2.0); IF (TRUNC(TIME*100) MOD 40 = 0) THEN ACT(IMP,0); ENC(A) :: WRITELN(F,' TIEMPO X X1 X2'); WRITELN(F,'---------- ---------- ---------- ----------'); IMP(A) :: WRITELN(F,TIME:10:6,' ',X:10:6,' ',Z:10:6,' ',Y:10:6); FIN(A) :: CLOSE(F); INIT ASSIGN(F,'ELEV.OUT'); REWRITE(F); ACT(ENC,0); ACT(IMP,0); ACT(FIN,4.001); ACT(C,0); Z := 0.0; X := 0.0; Y := 13.6; TSIM := 4.001; DT_C := 0.01; DECL VAR X,Y,Z: CONT; F: TEXT; END.


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Salida: ELEV.OUT

TIEMPO X X1 X2 ---------- ---------- ---------- ---------- 0.000000 0.000000 0.000000 13.600000 0.400000 0.898373 4.047964 6.963200 0.800000 2.956270 5.972140 2.937600 1.200000 5.516312 6.689709 0.870400 1.600000 8.235768 6.856738 0.108800 2.000000 10.982108 6.868169 -0.000000 2.400000 13.728557 6.857826 -0.108800 2.800000 16.449645 6.698413 -0.870400 3.200000 19.016759 6.001516 -2.937600 3.600000 21.093697 4.117596 -6.963200 4.000000 22.032218 0.136000 -13.600000


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Antologia Simulación (Ing. Industrial)

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