Anualidades - Matemática financiera (página 2) Enviado por C � ndida Corado

Partes: 1, 2

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

Aplicando (1.2):

(b)    El cálculo del pago regular (R)

Responde a la pregunta: ¿Cuántos pagos (o abonos) se deben hacer para alcanzar un determinado valor futuro o valor presente, según sea el caso?

Cuando conocemos el valor futuro, el pago regular se calcula como:

                                                                                                                  (1.3)

 Ejercicios:

4.3 Una empresa tiene una deuda de $ 1,000,000 a pagar en un única exhibición dentro de 10 meses y desea pagar en 10 pagos mensuales iguales a fin de mes. ¿Cuál es el valor del pago mensual si la tasa de interés mensual es del 1% (12% anual)?

Datos: Valor futuro (S) = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

Aplicando (1.3):

La deuda se paga con 10 documentos iguales mensuales de $ 95,582.08

Cuando conocemos el valor presente del problema la fórmula para encontrar el valor del pago es:

 

(1.4)

Ejercicios:

4.4 Una persona que tiene disponible la cantidad de $ 1,250,000 desea utilizarlos para asegurarse un ingreso fijo mensual durante los próximos tres años. Con tal propósito, deposita esa cantidad en una cuenta bancaria renovable cada 30 días y una tasa de interés mensual del 0.8% (9.6% anual). Suponiendo que se mantuviera constante la tasa de interés, ¿qué cantidad debería retirar todos los meses para que al final de los tres años la cantidad depositada inicialmente se hubiese agotado por completo?

Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

Aplicando (1.4):

Si retira $ 40,099.64 cada fin de mes la cuenta bancaria se agota en 3 años.

El número de periodos en un problema de anualidades

Responde a la pregunta siguiente: ¿Cuánto tiempo se necesita para alcanzar cierto valor futuro o para agotar cierto valor presente mediante pagos regulares conocidos, dada la tasa de interés?

5

Si tenemos el valor futuro la fórmula es:

Ejemplo:

                                                                                                          (1.5)

Un trabajador sabe que en su cuenta de AFORE se le deposita $ 1,000 cada dos meses. Este trabajador se pregunta cuantos años tendrán que pasar para que en su cuenta se haya acumulado la cantidad de $ 800,000 considerando una tasa de interés anual del 18 % (3 % e interés bimestral). La AFORE capitaliza intereses cada dos meses.

Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

Aplicando (1.5):

Se necesitan aproximadamente 109 bimestres, algo más de 18 años. Cuando conocemos el valor presente de la operación, , entonces el número de pagos se calcula de esta manera:

Ejemplo:

 

                                                                                                          (1.6)

1.6 Una persona deposita hoy en una cuenta bancaria la suma de $ 125,000 con una tasa de interés mensual de 0.75% y piensa retirar de la cuenta $ 4,000 al final de cada mes hasta que la cuenta quede en cero. ¿Durante cuántos meses podrá hacer esos retiros?

Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

Aplicando (1.6):

 

El inversionista podrá hacer 35 retiros completos y tendrá un excedente inferior a $ 4,000.

El cálculo de la tasa de interés.

No existe una fórmula que nos permita conocer la tasa de interés en un problema de anualidades, debido a que no es posible su despeje a partir de alguna de las fórmulas generales de  anualidades.

Para n = 2, la tasa de interés es:

 

Para n = 3, tenemos dos soluciones:

 

También se encuentra una solución real bastante extensa para n = 4, pero junto con dos soluciones no reales. Para valores grandes de n, la tasa de interés debe encontrarse por prueba y error. En la actualidad existen calculadoras (y por supuesto programas de computadoras) que lo hacen rápidamente.

Ejemplos:

1.7 Una Administradora de Fondos para el Retiro le dice a un afiliado que si en los próximos cuatro años (48 meses) deposita mensualmente (al final del mes) la cantidad de $800, al término de este plazo tendrá acumulada un monto de $ 55,652.18. ¿Qué tasa de interés mensual está implícita en este cálculo?

Datos: R = 800, S48 = 55.652.18, n = 48; i =?

Resolución mediante calculadora financiera: Se introducen los datos (lo cual depende de la calculadora) y luego se pide a la calculadora que encuentre por prueba y error la tasa de interés.

La calculadora financiera TI BAII PLUS, utiliza los símbolos siguientes:

·  PMT, para R á 800

·  PV, para A (valor presente)

·  N, para el número de periodos. á 48

·  FV, para S (valor futuro) á 55652.18

·  I/Y, para la tasa de interés por periodo (la calculadora encuentra que es = 0.0150 = 1.5% mensual)

4.4 Valuación de anualidades adelantadas

Cuando el pago regular se hace al principio del intervalo, las fórmulas son ligeramente diferentes:

El valor futuro de la anualidad adelantada es:

Ejercicios:

(1.7)    

1.8 Hacer el cálculo del ejemplo 4.1, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 320, i = 18 % (1.5% mensual), n = 24 (meses), Sa / n = ¿?

 

El valor presente de una anualidad adelantada se calcula como:

 

                                                                                                          (1.8)

Ejercicios:

1.9. Hacer el cálculo del ejemplo 4.2, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 200, i = 0.02, n = 10

 

El cálculo del pago de la anualidad se resuelve como:

(a)    Cuando conocemos el valor futuro,

 

(1.9)

Ejercicios:

1.10 Hacer el cálculo del ejemplo 4.3, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: Valor futuro = 1,000,000; i = 0.01, n = 10

 

(b)    Cuando conocemos el valor presente:

 

(1.10)

Ejercicios:

1.11 Hacer el cálculo del ejemplo 4.4, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: Valor presente = 1,250,000, número de meses = 36; tasa de interés mensual = 0.8%.

Cuando lo desconocido es el tiempo en un problema de anualidades, también tenemos dos fórmulas:

(a)    Cuando conocemos el valor futuro:

 

(1.11)

Ejercicios:

1.12 Hacer el cálculo del ejemplo 4.5, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 1,000; i = 0.03; S = 800,000

(b)    Cuando conocemos el valor presente:

 

(1.12)

 Ejercicios:

4.13 Hacer el cálculo del ejemplo 4.6, pero suponiendo que los pagos se hacen al principio.

Datos: R = 4,000; i = 0.0075, A = 125,000; n =?

 

El cálculo de la tasa de interés es un problema de anualidades adelantadas. Igual que en el caso anterior, la tasa de interés no puede ser despejada matemáticamente y se debe encontrar por prueba y error. Para resolver con una calculadora financiera, se requiere indicarle a ésta que se trata de anualidades que se pagan al comienzo del intervalo.

1.5 Construcción de una tabla de amortización de deudas

Una tabla de amortización de deudas es una descripción detallada de la evolución de la deuda desde el momento inicial del crédito hasta que es pagado por completo. La descripción incluye el pago regular y su descomposición en intereses y amortización del principal.

Ejercicios:

1.14 Se vende una casa en $ 2,000,000 a pagar la mitad al contado y el resto en cinco abonos anuales vencidos de igual valor. La tasa de interés aplicable es del 8% anual.

Usamos la fórmula de anualidades vencidas para obtener el valor de los cinco pagos que se deben realizar para amortizar el préstamo. La fórmula es:

 

Aplicando los valores del problema:

Cinco pagos anuales de $ 250,456.455 liquidan por completo el crédito.

Construimos la tabla de amortización.

 

Saldo de la deuda inicial: es el valor de la deuda que falta por pagar al inicio del año indicado en la primera columna.

Pago anual: es la cantidad de dinero que se abona al final del año correspondiente para liquidar el crédito. Se calculó con la fórmula indicada.

Intereses: es igual al Saldo de la deuda inicial x tasa de interés

Amortización de Capital: es igual al pago anual menos intereses.

Saldo de la deuda final: es igual al saldo de la deuda inicial - amortización de capital. El saldo de la deuda final de un año es igual al saldo de la deuda inicial del año siguiente.

1.6 Reconstrucción de la tabla cuando cambia la tasa de interés

Cuando los créditos son a pagar en plazos muy largos, normalmente la tasa es flotante, es decir, se ajusta según alguna tasa de referencia del mercado.

¿Cómo se reconstruye la tabla cuando cambia la tasa de interés?

Se sigue el siguiente procedimiento:

1) Se determina el saldo de la deuda a partir del cual se aplica la nueva tasa de interés.

2) Se encuentra el valor del nuevo pago anual considerando el nuevo saldo de la deuda, la nueva tasa de interés y los abonos que faltan por pagar.

3) Con el valor del nuevo pago anual se hace la tabla de amortización para los abonos que restan pagar.

Ejercicios:

1.15 Supongamos que en el ejercicio anterior, después del segundo pago se eleva la tasa de interés del 8 % al 10 %.

Viendo la tabla de amortización sabemos que el saldo impago después del segundo pago es de $ 645,450.57 y faltan tres abonos por pagar.

Utilizamos la fórmula anterior y encontramos el valor del nuevo pago:

 

Ahora la tabla de amortización queda como sigue:

Autora:

Cándida Corado

Guatemala

2008

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos64/anualidades/anualidades2.shtml#ixzz45uPSSNpj

órmulas para calcular el monto y valor actual de anualidades simples, ciertas, vencidas e inmediatas:

Donde:R = Renta o pago por periodoM = Monto o valor en el momento de su vencimiento, es el valor de todos los pagos al final de las operaciones.

n = número de anualidades, periodos o pagos.C = valor actual o capital de la anualidad. Valor total de los pagos en el momento presente. i = tasa de interés efectivam = número de capitalización  j = tasa de interés nominal Na = Número de añosSolución de ProblemasMonto

Ejercicio 1. Que cantidad se acumularía en un semestre si se depositaran $ 100,000 al finalizar cada mes en una cuenta de inversiones que rinde 36% anual convertible mensualmente.En un diagrama de tiempo y valor lo anterior nos quedaría de la siguiente manera:

Al ser una tasa anual convertible mensualmente tenemos:36/100/12 = .03 i = .03 n = 6

Como lo que se trata es de conocer lo que se acumula en un lapso de tiempo (en este caso 6 meses y en lo que existe una cantidad constante "anualidad " a abonarse a la operación) por lo tanto estamos hablando de conocer un monto y en consecuencia la fórmula que utilizaremos es:

Luego tenemos que 100 000 [6.468409] = 646 840.98

Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos:

M = C (1 + i )n 

Observando el diagrama de tiempo y valor de la parte superior podemos deducir que los primeros 100, 000 pesos ganan interés por meses, los siguientes por 4,3,2,1 y los últimos no ganan interés sino que solo se suman al monto por lo cual podemos decir :

M = 100 000 ( 1 + .03 )5 = 115 927

M = 100 000 ( 1 + .03 )4 = 112 551

M = 100 000 ( 1 + .03 )3 = 109 273

M = 100 000 ( 1 + .03 )2 = 106 090

M = 100 000 ( 1 + .03 )1 = 103 000-----------546 841+ 100 000 los últimos 100 000 que no ganan interés tenemos 646 841 (esto esta redondeado por los cual es diferente al valor obtenido arriba en 2 centavos).

Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el depósito (100 000) que se hacen al final de cada semestre:

Tiempo Cantidad MontoFinal 1er mes 100 000 100 000Final 2do mes 100 000(1+ .03)1+100 000 203 000Final 3er mes 203 000(1 + .03)1 + 100 000 309090Final 4to mes 309090(1 + .03)1 + 100 000 418 362.7Final 5to mes 418 362.7(1 + .03)1 + 100 000 530 913.58Final 6to mes 530 913.58 (1 + .03)1 + 100 000 646 840.98

Ejercicio 2. Cual es el monto de $ 2 000 semestrales depositados durante cuatro años y medio en una cuenta bancaria que rinde 28% capitalizable semestralmente.R = 2 000 n = 4.5/2 = 9 i = 28/100/2 = .14 y utilizando la fórmula para calcular el monto en operaciones que implican anualidades tenemos:

De donde tenemos M = 2000 (16.085348 ) = 32 170.69Lo anterior también se pudo haber resuelto por medio de la fórmula de interés compuesto donde tenemos: M = C (1 + i )n 

Fórmula Monto

M = 2000 (1+.14)8

5 705.17 n es igual a 8 porque los depósitos se hacen al final de cada semestre o sea que hasta que transcurre el primer semestre se realiza el primer deposito.

M = 2000 (1+.14)7 5 004.53M = 2000 (1+.14)6 4 389.94M = 2000 (1+.14)5 3 850.82M = 2000 (1+.14)4 3 377.92M = 2000 (1+.14)3 2 963 .08M = 2000 (1+.14)2 2 599.2M = 2000 (1+.14)1 2 280.00Total 30 170 .69mas los 2000 del último semestre que no ganan interés

32 170.69 cantidad igual a la obtenida con la fórmula del monto en anualidades

 Una manera más de realizar lo anterior seria mediante la fórmula del interés compuesto llevando el interés acumulado en cada semestre más el deposito (2 000) que se hacen al final de cada semestre:

Valor actual

Ejercicio 3. Cual es el valor actual de una renta de $450 pesos depositados al final de cada uno de 7 trimestres si la tasa de interés es del 9% trimestral.Debemos de entender como valor actual la cantidad de dinero que a una tasa del 9% trimestral nos permitiera obtener $450 pesos cada trimestre. O sea que si sumamos los 450 de cada trimestre obtenemos 3150 y lo que estamos buscando es una cantidad menor que mas los intereses nos permita obtener estos 450 por trimestre.C = ?R = 450i = 0.09n = 7

Lo cual nos da 450 (5.03295284) = 2 264.82 que es el valor que estamos buscando o sea la respuesta a este ejercicio.Comprobación: Utilizando la fórmula del interés compuesto para calcular un capital o valor actual tenemos:

Fórmula CapitalC = 450-----(1 + .09)1 412.84C = 450-----(1 + .09)2 378.76C = 450-----(1 + .09)3 347.48C = 450-----(1 + .09)4 318.79C = 450-----(1 + .09)5 292.47C = 450-----(1 + .09)6 268.32C = 450-----(1 + .09)7 246.16

Total

2 264.82 que es la misma cantidad

obtenida por medio de la fórmula de

anualidades

Ejercicio 4. Que es más conveniente para comprar un automóvil:Pagar $ 26,000 de contado o  b) $13,000 de enganche y $ 1300 al final de cada uno de los 12 meses siguientes, si el interés se calcula a razón del 42% convertible mensualmente.Para resolver este problema debemos ver el valor actual del enganche y los 12 abonos mensuales a esa tasa de interés y compararlos contra el pago de contado.

R = 1300n = 12i = 42/100/12 = 0.035

Utilizando la formula del valor actual en anualidades tenemos:

C = 1300 (9.663334) lo cual nos da 12 562.34, si a esto sumamos el enganche 13,000 tenemos 25,562.34 que es menor que el pago de contado y por lo tanto es mas conveniente esta opción. Ejercicio 5. Encuéntrese el importe pagado, en valor actual por un aparato electrónico por el cual se entrego un enganche de $ 1 400 pesos, se hicieron 7 pagos mensuales vencidos por $ 160 y un ultimo pago al final del octavo mes por $ 230, si se considera un interés del 27% anual con capitalización mensual.

Para resolver este problema nos damos cuenta que el enganche es valor actual así que necesitamos conocer el valor actual de cada uno de los siete pagos (iguales 160) y el octavo que es mayor para lo cual haremos uso de la formula que nos permite calcular el valor actual de anualidades y la formula que nos permite conocer el valor actual de un monto (230) a una tasa de interés ( 27% anual convertible mensualmente) en un lapso de tiempo (8).

Solución es igual a:

a) El engancheb) El valor actual de la anualidad con renta de 160c) El valor actual del pago finalb) Usando la formula para el calculo de anualidades tenemosi = 27/100/12 = 0.0225n = 12

C = 160 ( 6.410246) = 1025.64c ) Usando la fórmula para calculo de capital o valor actual del interés compuesto tenemos:

C = 192.50Sumando los tres importes tenemos 1400 + 1025.64 +192.50 = $ 2 618.14que corresponde al valor actual pagado por el aparato electrónico. ¿QUE SON LAS ANUALIDADES ANTICIPADAS?Son aquellas en la que los pagos se hacen al principio del periodo 

Como por ejemplo:El pago mensual que se hace cuando se renta una casa, ya que primero se pago y luego se habita el inmueble.

Otro concepto es "Son aquellas en las que se conoce con certeza las fechas de los períodos".

 

 

Leer más: http://www.monografias.com/trabajos98/interes-simple-ejercicios-resueltos/interes-simple-ejercicios-resueltos.shtml#ixzz45uUy4gdZ

1.1. Capitalización simple1.1.1. Concepto

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple.

1.1.2. Descripción de la operación

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo -n- y tipo de interés -i-).

Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial.

1.1.3. Características de la operación

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevos intereses en el futuro y, por tanto

Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, altanto de interés vigente en dicho período.

Gráficamente para una operación de tres períodos:

1.1.4. Desarrollo de la operación

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0x i = C0x (1 + i)

Momento 2: C2 = C0

+ I1 + I2 = C0 + C0x i + C0x i = C0x (1 + 2 i)

Momento 3: C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = C0 + C0x i + C0x i + C0 i = C0x (1 + 3 i)

...

Momento n: Cn = C0 + I1 + I2 + ... + In = C0 + C0x i + ... + C0x i = C0 + C0x nx i

Cn = C0 x (1 + n x i)

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).

EJEMPLO 1

Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

C4 = 2.000 x (1 + 4 x 0,08 ) = 2.640 €

EJEMPLO 2

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual.

En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate.

C3 = C0 + I1 + I2 + I3 = 1.000 + 1.000 x 0,05 + 1.000 x 0,06 + 1.000 x 0,07 = 1.180 €

1.1.5. Cálculo del capital inicial

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 x (1 + n x i)

despejando C0 resulta:

EJEMPLO 3

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?

1.1.6. Cálculo de los intereses totales

Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i1 + C0x i2 + ... + C0x in

C0 x (i1 + i2 + ... + in)

Si i1 = i2 = ... = in = i se cumple:

Intereses totales = I1 + I2 + ... + In = C0x i + C0x i + ... + C0x i

C0 x i x n

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos:

In = Cn - C0

 

EJEMPLO 4

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada período:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0x i + C0x i + C0x i + C0x i = C0 x i x 4 = 300 x 0,07 x 4 = 84 €

También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384

In = 384 - 300 = 84 €

EJEMPLO 5

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 x i x n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €

1.1.7. Cálculo del tipo de interés

Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida.

Cn = C0 x (1 + n x i)

Los pasos a seguir son los siguientes:

Pasar el C0 al primer miembro:

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 en los dos miembros):

Despejar el tipo de interés, dividiendo por n la expresión anterior:

EJEMPLO 6

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 euros.

1.1.8. Cálculo de la duración

Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, partiendo de la fórmula general de la capitalización simple y despejando la variable desconocida.

Punto de partida:

Cn = C0 x (1 + n x i)

Pasar el C0 al primer miembro (dividir por C0 la ecuación anterior):

Cn

--- = 1 + n x i

C0

Pasar el 1 al primer miembro (restar 1 a los dos miembros):

Cn

--- - 1 = n x i

C0

Despejar la duración n, dividiendo por i:

EJEMPLO 7

Un capital de 2.000 euros colocado a interés simple al 4% anual asciende a 2.640 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

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