Anualidades y programas de amortización de crédito

ANUALIDADES Lic. MARTINEZ SANCHEZ, EDGAR

1. INTRODUCCIÓNUna anualidad se define como una serie de pagos, por lo general iguales, realizados en intervalos de tiempo. A simple vista el término anualidad parece implicar que los pagos se efectúan cada año (anual); sin embargo, esto no es necesariamente así, ya que los pagos pueden ser mensuales, quincenales, etc. Como ejemplos de anualidad tenemos:

• El cobro quincenal del sueldo. • El pago mensual de la renta de la casa. • Los pagos mensuales de la tarjeta de crédito. • El pago mensual por el servicio del cable. . Los abonos mensuales para pagar la computadora comprada al crédito. • El pago de la prima del seguro de vida, etc.

Según Héctor Vidaurri Aguirre6 , “el concepto de anualidad es de gran importancia en matemática financiera, ya que es muy frecuente que las transacciones comerciales impliquen una serie de pagos hechos a intervalos iguales de tiempo, en vez de un pago único realizado al final del plazo”.

El término transcurrido entre dos pagos sucesivos se llama período de pago o período de renta. Este período de pago, tal como se ha mencionado, puede ser anual, semestral, mensual, etc.

Al tiempo que transcurre entre le primer periodo de pago y el final del último periodo de pago se llama plazo de la anualidad.

Existen diversas formas de clasificar las anualidades, entre ellas tenemos:

a) Utilizando el tiempo Entre ellas pueden ser ciertas y contingentes: Una anualidad cierta es aquella en la cual los pagos comienzan y terminan en fechas perfectamente definidas. Por ejemplo, al comprar un equipo de sonido en Saga Falabella, se establecen de antemano las fechas de iniciación y terminación del crédito. Asimismo, una variante de este tipo de anualidades son las anualidades perpetuas o perpetuidades. Estas anualidades se inician en una fecha fija y la duración de los pagos es por tiempo limitado.

6 Profesor del Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO-México).

Una anualidad contingente es aquella en la cual la fecha del primer pago, la fecha del último pago, o ambas dependen de algún suceso que se sabe que ocurrirá, pero no se sabe cuándo. Por ejemplo, el contrato de un seguro de vida en el Pacífico Perú Vida, donde se establece que la suma asegurada se entregue al beneficiario del seguro en 6 o más pagos mensuales iguales. Se sabe que los pagos deben efectuarse al morir el asegurado, pero ¿cuándo ocurrirá esto?. Este tipo de anualidades no se estudiarán en este texto.

b) Utilizando los pagos Dentro de éstas, pueden ser vencidas y anticipadas: Una anualidad vencida, también llamada anualidad ordinaria, es aquella cuyos pagos se realizan al final de cada periodo de pago.

Una anualidad anticipada es aquella cuyos pagos se realizan al principio de cada periodo de pago.

c) Utilizando los intereses Pueden ser simples o generales: Una anualidad simple, es aquella cuyo período de pago coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, realizar depósitos mensuales en una cuenta de ahorros que paga intereses capitalizables cada mes.

Una anualidad general es aquella cuyo período de pago no coincide con el período de capitalización de los intereses. Por ejemplo, cuando se realizan depósitos quincenales en una cuenta de ahorros cuyos intereses se capitalizan cada mes.

d) Utilizando el momento de iniciación de la anualidad Dentro de esta clasificación tenemos, diferidas o inmediatas: Una anualidad diferida es aquella en la cual los pagos se aplazan por un cierto tiempo. Por ejemplo, se compra hoy, a crédito una computadora portátil, la cual se pagará mediante 12 pagos mensuales y el primer pago se llevará a cabo después de 3 meses.

Una anualidad inmediata es aquella en la que no existe aplazamiento alguno de los pagos, es decir, los pagos se realizan en el período inmediato a la firma del contrato o del pagaré.

De esto, tomando una característica de cada una de las diferentes clasificaciones, es posible formar 16 tipos diferentes de anualidades. Por ejemplo:

• Anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas.

• Anualidades contingentes, generales, vencidas y diferidas.

• Anualidades ciertas, simples, anticipadas y diferidas.

• Anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas, etc.

Sin embargo, de estos 16 tipos de anualidades, las más usuales son:

• Las anualidades ciertas, simples, vencidas e inmediatas; conocidas simplemente como anualidades vencidas.

• Las anualidades ciertas, simples, anticipadas e inmediatas; conocidas simplemente como anualidades anticipadas. • Las anualidades ciertas, simples, vencidas y deferidas; conocidas simplemente como anualidades diferidas.

En este capítulo nos ocuparemos de las primeras dos clases. A continuación, estudiaremos la primera de ellas.

2. ANUALIDADES VENCIDAS U ORDINARIASDe todas las clases o tipos de anualidades antes mencionadas, las anualidades vencidas u ordinarias son las que se utilizan con mayor frecuencia en el mundo financiero. Su característica principal recae en que los pagos se realizan al final de cada periodo de pago.

2.1. Valor futuro s de una anualidad vencida

El monto o valor futuro de una anualidad vencida es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al final de cada periodo de pago.

Para el cálculo del valor futuro de una anualidad vencida, se utiliza el factor de capitalización de la serie (FCS), cuya ecuación es la siguiente:

S=R [ (1+i )n−1i ]

Ejemplo 1

Valor futuro s de una anualidad vencida

Supóngase que se deposita $1.000 al final de cada mes en un banco que paga una TEM de 1,5% capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al finalizar el cuarto mes?

Solución:

Ejemplo 2


El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Para esto planea depositar $200 en una cuenta de ahorros al final de cada mes y durante los próximos 8 años. Si la TNA es del 27.% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?

Solución:

Renta uniforme en función de s Despejando R en la ecuación (1), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto. Esta fórmula es el factor de depósito al fondo de amortización (FDFA):

R=S [ i

(1+i )n−1 ]Ejemplo 3

Renta uniforme en función de s

A cuánto ascenderá el depósito al final de cada mes que un padre de un niño de 10 años tendrá que hacer, para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y poder juntar un monto de $66.364,47., si se considera una TNA del 27 % capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 8 años.

Solución:

Cálculo de n en función de s

Despejando n en la ecuación, se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto.

n=log [1+ S . iR ]log (1+i )

Ejemplo 4


En cuanto tiempo, un padre de familia obtendrá un monto de $66.364,47., si efectúa depósitos mensuales al final de los mismos de $200, a una TNA de 27% capitalizable mensualmente.

Solución:

2.2. VALOR PRESENTE P DE UNA ANUALIDAD VENCIDA

Hasta aquí hemos determinado el valor futuro (S) de una anualidad. A continuación vamos a determinar el valor presente o valor actual (P) de una anualidad vencida; esto es el valor al comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos.

Para el cálculo del valor actual de una anualidad vencida, se utiliza el factor de actualización de la serie (FAS), cuya ecuación es la siguiente:

P=R [ (1+i )n−1i (1+i )n ]

Ejemplo 1

Valor presente P de una anualidad vencida

Supóngase que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos al final de cada mes de $1.000 cada uno, que incluyen intereses a una TEM de 2% con capitalización cada mes. Se desea obtener el valor presente de los pagos.

Solución:

Ejemplo 2


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y estima que necesitará $2.000 cada mes durante los próximos 15 años. Su banco le paga una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes?

Solución:

Renta uniforme en función de P

Despejando R en la ecuación (1), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las Despejando R en la ecuación (4), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual. Esta fórmula es el factor de recuperación del capital (FRC):

R=P [ i (1+i )n(1+i )n−1 ]

Ejemplo 3


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $113.875,99 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual del capital con que podrá contar la señora Norma para los próximos 15 años?

Solución:

Cálculo de n en función de P

Despejando n en la ecuación (4), se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual.

n=−log [1− P. iR ]log (1+ i )

Ejemplo 4


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $113.875,99 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. Asimismo, estima que necesitará $2.000 mensuales para gastos diversos. ¿Por cuántos meses podrá contar la señora Norma con dicha cantidad de dinero?

Solución:

3. ANUALIDADES ANTICIPADASUna anualidad anticipada es aquella en la cual los pagos se llevan a cabo al inicio del período de pago, a diferencia de una anualidad vencida, en que los pagos se llevan a cabo al final. Como ejemplos tenemos: los pagos anuales (primas) de seguro de vida, la renta de una casa u oficina, etc.

La diferencia cuantitativa entre una anualidad vencida y una anualidad anticipada (Ver figura 1) radica en que en la primera, la última renta no percibe intereses pues coincide con el final del cobro; mientras que en la segunda la última renta se abona o cobra al empezar el último período, de tal forma que percibe intereses en este último periodo.

Se puede observar que la anualidad anticipada comienza con un pago y concluye un período después de que se haya cubierto el último pago. De esta manera, el n-ésimo pago gana intereses por un periodo debido a que fue depositado al inicio del último periodo.

3.1. Valor futuro s de una anualidad anticipada

El monto o valor futuro de una anualidad anticipada es el valor acumulado de una serie de pagos iguales efectuados al inicio de cada periodo de pago.

Para el cálculo del valor futuro de una anualidad anticipada, se utiliza la ecuación siguiente:

S=R [ (1+i )n+1−(1+ i )i ]

Ejemplo 1

Valor futuro s de una anualidad anticipada

Supóngase que se deposita $1.000 al inicio de cada mes en un banco que paga una TEM de 1,5% capitalizable cada mes. ¿Cuál será el monto al finalizar el cuarto mes?

Solución:

Ejemplo 2


El papá de un niño de 10 años empieza a ahorrar para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria. Para esto planea depositar $200 en una cuenta de ahorros al inicio de cada mes y durante los próximos 8 años. Si la TNA es del 27% capitalizable mensualmente. ¿Cuál será el monto de la cuenta al cabo de 8 años?

Solución:


Despejando R en la ecuación (7.), encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto.

R= S . i

(1+i )n+1−(1+ i )

Ejemplo 3


A cuánto ascenderá el depósito al inicio de cada mes que un padre de un niño de 10 años tendrá que hacer, para que su hijo pueda estudiar una carrera universitaria y poder juntar un monto de $67.857,67., si se considera una TNA del 27% capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 8 años.

Solución:


Despejando n en la ecuación, se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor futuro o monto.

n=log [ S . iR +1+i ]log (1+i )

−1

Ejemplo 4


En cuanto tiempo, un padre de familia obtendrá un monto de $67.857,67, si efectúa depósitos mensuales al inicio de los mismos de $200, a una TNA de 27.% capitalizable mensualmente.

Solución:

3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada

Hasta aquí hemos determinado el valor futuro (S) de una anualidad. A continuación vamos a determinar el valor presente o valor actual (P) de una anualidad anticipada; esto es el valor al comienzo del plazo. El valor presente de una anualidad se define como la suma de los valores presentes de todos los pagos.

Para el cálculo del valor actual de una anualidad anticipada, se utiliza la siguiente ecuación:

P=R [ (1+i )−(1+i )1−n

i ]Ejemplo 1

Valor presente P de una anualidad anticipada

Supóngase que una persona va a liquidar una deuda mediante 4 pagos al inicio de cada mes de $1.000 cada uno, que incluyen intereses a una TEM de 2% con capitalización cada mes. Se desea obtener el valor presente de los pagos.

Solución:

Ejemplo 2


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y estima que necesitará $2.000 al inicio de cada mes durante los próximos 15 años. Su banco le paga una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuánto dinero debe tener depositado para poder retirar la cantidad especificada cada mes?

Solución:


Despejando R en la ecuación, encontramos la fórmula que nos permite calcular el valor de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual.

R= P .i

(1+i )−(1+i )1−n

Ejemplo 3


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse y cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $115.773,93 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. ¿Cuál es el flujo constante o renta mensual del capital con que podrá contar la señora Norma para los próximos 15 años?

Solución:


Despejando n en la ecuación, se encuentra la fórmula que nos permite calcular el número de las rentas uniformes, en función del valor presente o valor actual.

n=1−log [1+i− P. iR ]log (1+i )

Ejemplo 4


La señora Norma Morales está a punto de jubilarse cuenta con unos ahorros en el banco, los cuales ascienden a $115.773,93 que gana una TNA de 20% capitalizable mensualmente. Asimismo, estima que necesitará $2.000 mensuales para gastos diversos. ¿Por cuántos meses podrá contar la señora Norma con dicha cantidad de dinero?

Solución:

PRACTICA DOMICILIARIA N° 2 Lic. MARTINEZ SANCHEZ, EDGAR


1. Una familia desea empezar a ahorrar para realizar un viaje a la ciudad de Acapulco. Para esto se deposita cada fin de mes $200 en una cuenta bancaria que genera intereses a una TNA del 16% capitalizable mensualmente. Se tiene planeado viajar en un año, ¿cuánto se habrá ahorrado al final del año? Rpta. $2.584,06

2. En el momento de cumplir, su hija, su primer cumpleaños un señor depositó $1.500 en una cuenta que abona una TNA de 8%; dicha cantidad la consigna cada cumpleaños. Al cumplir 12 años, aumentó sus consignaciones a $3.000. Calcular la suma que tendrá a disposición de ella a los 18 años. Rpta. $51.736,64

3. Una persona deposita $100 al final de cada mes en una cuenta que abona una TNA de 6%, capitalizable mensualmente. Calcular su saldo en la cuenta, al cabo de 20 años. Rpta. $46.204,09

4. A cuánto ascenderá el depósito al final de cada mes que una familia tendrá que efectuar en un banco local para realizar un viaje a Acapulco y poder juntar un monto de $2.584,06, si se considera una TNA del 16% capitalizable mensualmente y si estos depósitos se van hacer durante 1 año. Rpta. $200

5. En cuánto tiempo, una familia obtendrá un monto de $2.584,06, si efectúa depósitos mensuales al final de los mismos de $200, a una TNA de 16% capitalizable mensualmente. Rpta. 12 depósitos mensuales


6. Calcular el valor de contado de una propiedad vendida en las siguientes condiciones: $20.000 de contado; $1.000 por mensualidades vencidas durante 2 años y 6 meses y un último pago de $2.500 un mes después de pagada la última mensualidad. Para el cálculo, utilizar una TNA de 9% con capitalización mensual. Rpta. $48.758,17.

7.. ¿Cuál es el valor de contado de un equipo comprado con el siguiente plan: $14.000 de cuota inicial; $1.600 mensuales durante 2 años 6 meses con un último pago de $2.500, al final del último pago, si se carga una TNA de 12% con capitalización mensual? Rpta. $57.128,78

8. Una mina en explotación, ubicada en el centro del Perú, tiene una producción anual de $8.000.000 y se estima que se agotará en 10 años. Hallar el valor presente de la producción, si el rendimiento del dinero es de una TNA de 8%. Rpta. $53.680.651,19

9. Un distribuidor de automóviles ofreció al señor Jaime Cucho un automóvil Audi del año mediante un pago inicial de $8.000 y 30 pagos mensuales de $2.866,66 cada uno. Si la casa distribuidora aplica una TNA de 30% capitalizable mensualmente, encuentre el valor de contado del automóvil. Rpta. $68.000

10. Un distribuidor de automóviles ofreció al señor Jaime Cucho un automóvil Audi del año al precio de contado de $68.000. Asimismo, existe la posibilidad de financiarlo con un pago inicial de $8.000 y 30 pagos mensuales. Si la casa distribuidora aplica una TNA de 30% capitalizable mensualmente, encuentre el valor de cada cuota. Rpta. $2.866,66


11. ¿Cuál es el monto al cabo de 8 años si al inicio de cada bimestre se depositan $7.50 en una cuenta de ahorros, si la TNA es de 7.,35% capitalizable cada dos meses? Rpta. $49.205,51

12. Susy Gonzáles depositó $210 al principio de cada mes en un fondo que paga una TNA de 16% convertible mensualmente. Después de 2 años ella no hizo más depósitos, pero dejó el dinero en depósito por otros dos años y medio a la misma tasa de interés. ¿A cuánto asciende el fondo al final de ese tiempo? Rpta. $8.886,45

13. ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada bimestre durante 10 años para acumular $100.000, si la TNA es del 7.,44% capitalizable cada bimestre. Rpta. $1.118,83

14. ¿Cuántos depósitos mensuales anticipados de $1.000,80 cada uno deben hacerse, con el fin de tener un monto de $100.000? La TEM es del 2,5%. Rpta. 50 depósitos mensuales

15. ¿Qué cantidad se debe depositar al inicio de cada mes para acumular $150.000 en dos y medio años, si la TEM es del 1,57.% capitalizable cada mes? Rpta. $3.891,93


16. Calcular el valor de Contado de una propiedad vendida a 15 años de plazo, con pagos de $3.000 mensuales por mes anticipado, si la TNA es del 12% convertible mensualmente. Rpta. $252.464,64

17.. ¿Cuál es el valor presente de una renta de $500 depositada a principio de cada mes, durante 15 años en una cuenta de ahorros que gana una TNA de 9%, convertible mensualmente? Rpta. $49.666,42

18. Una persona renta un departamento por $2.150 al mes durante un año. La renta se debe pagar por adelantado cada mes. ¿Cuál es valor actual de las rentas de un año, tomando como base una TNA de 21,5%. Rpta. $23.443,27.

19. Una computadora puede ser adquirida pagando $17.0 de pago inicial y 24 pagos de $17.0 cada uno. ¿Cuál es el precio de contado si el interés cobrado es una TNA de 32% capitalizable mensualmente? ¿Qué cantidad de interés se está pagando? Rpta. $3.155,21; $1.094,79

20. ¿Qué suma debe depositarse a principio de cada año, en un fondo que abona una TNA de 6% para proveer la sustitución de los equipos de una empresa cuyo costo es de $2.000.000 y con una vida útil de 5 años, si el valor de salvamento se estima en el 10% del costo? Rpta. $301.239,17

Anualidades y programas de amortización de crédito

Documents

Transcript of Anualidades y programas de amortización de crédito