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“PROGRAMA A CÓDIGO ABIERTO EN VISUAL BASIC CON ENTORNO EXCEL, DE ELEMENTOS FINITOS TIPO TRIÁNGULO,

PARA PROBLEMAS DE ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL” Farfán Eduardo Daniel

Ingeniero Civil Universidad Autónoma Juan Misael Saracho

hijo_lalito_14@hotmail.com

RESUMEN

La aplicación del método de los elementos finitos sólo cobra real importancia cuando es usado en un lenguaje de programación, por lo cual se hace necesario generar una herramienta didáctica para su uso en las materias teóricas de elementos finitos y afines.

Este trabajo de investigación versa en la creación de un programa de análisis estructural a código abierto, en el lenguaje de programación Visual Basic con entorno Excel, mediante el método de los elementos finitos, usando solamente al elemento triangular lineal para determinar las deformaciones y esfuerzos de un medio continuo para un material lineal, homogéneo e isótropo en elasticidad bidimensional, en una condición plana de esfuerzos y de deformaciones.

El aporte científico del presente trabajo de investigación, es la particularidad que tiene el programa en organizar la matriz de rigidez de cada elemento y a la matriz ensamblada como tal, en función a los grados de libertad desconocidos y conocidos.

Se da validez de la confiabilidad y eficiencia que tiene el programa al demostrar la semejanza de los resultados con soluciones analíticas preestablecidas.

ABSTRACT

The application of the finite element method takes real importance only when it is used in a programming language, so it is necessary to generate a teaching tool for use in theoretic subject related finite elements.

This research deals with the creation of a structural analysis program to open source in the programming language Visual Basic with Excel environment by finite element method, using only the lineal triangular element to determine the strains and stresses of a continuous medium for a lineal, homogeneous and isotropic two-dimensional elasticity, in a flat condition of effort and strain material

The scientific contribution of this research is the special feature that has the program organizing the stiffness matrix of each element and the joined matrix as such, according to the known and unknown degrees of freedom.

Validity of the reliability and efficiency that has the program by demonstrating similarity of the results with analytical solutions is given preset.

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PLANTEAMIENTO

La potencia y funcionalidad del método de los elementos finitos lo ha convertido en una herramienta importante para la investigación teórica y experimental en aplicaciones de la mecánica de sólidos. De igual forma, el método participa cada vez más en la ingeniería de diseño y construcción, principalmente en la Ingeniería Estructural.

La intervención del computador como medio para la aplicación del método de los elementos finitos en la simulación de problemas con muchos grados de libertad, exige que el estudiante, además de comprender el método, programe y automatice el procedimiento de cálculo.

La investigación propuesta busca mediante la aplicación del lenguaje de programación Visual Basic, enriquecer la base conceptual de programación y el criterio para el análisis de elementos estructurales mediante el método de los elementos finitos.

Para lograr el cumplimiento de los objetivos de estudio, se acude a la creación de un programa informático o software didáctico a código abierto bajo el método de los elementos finitos tipo triángulo, que expresen el comportamiento más lógico y real de un elemento estructural.

Esta investigación propuesta ayudara a la mayor parte de los proyectistas estructurales y usuarios a ser partícipes activamente del proceso de aprendizaje en el tema, observando, entendiendo y desarrollando progresivamente cada una de las etapas de cálculo en forma analítica y con el software, para la determinación de los esfuerzos y deformaciones en una condición plana de esfuerzos o de deformaciones de manera eficiente y rápida.

OBJETIVOS

Los objetivos desarrollados en el presente trabajo de investigación son:

General.- El objetivo general es:

� Crear un programa de análisis estructural a código abierto en Visual Basic con entorno Excel, de elementos finitos tipo triángulo, para problemas de elasticidad bidimensional.

Específicos.- Entre los objetivos específicos citamos:

� Determinar las deformaciones y esfuerzos de un sólido sometido a fuerzas estáticas en condición plana de esfuerzos o de deformaciones, en los vértices del elemento finito tipo triángulo, considerando que el material es elástico, lineal, homogéneo e isótropo.

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� Motivar, estimular y facilitar el aprendizaje del método de los elementos finitos en el campo de la ingeniería civil, a través del uso de subrutinas preestablecidas.

� Analizar cada procedimiento y desarrollar nuevos procesos de cálculo que le permitan al usuario una transparencia y flexibilidad del programa.

� Generar una herramienta didáctica para su uso en las materias teóricas de elementos finitos y afines, ya que la aplicación del método de los elementos finitos sólo cobra real importancia cuando es usado en un lenguaje de programación.

� Generar una línea de investigación en análisis numérico, empleando una metodología preestablecida, como el lenguaje de programación y el entorno de la entrada y salida de datos.

ESTADO DEL ARTE

Concepto de mecánica del medio continuo: La mecánica del medio continuo o simplemente mecánica del continuo estudia el comportamiento mecánico de los sólidos y los fluidos en una escala macroscópica, ignorando la naturaleza discontinua del material, el cual se considera uniformemente distribuido en la totalidad del cuerpo.

Elemento finito triangular lineal: El elemento triangular lineal es un elemento finito bidimensional de aproximación lineal de 3 nudos, cuya función de aproximación o interpolación está definida por:

(1)

Donde:

→ Coordenadas de cualquier punto interno.

→ Valor correspondiente al punto interno.

→ Constantes a definir del plano que pasa por los valores nodales.

La expresión (1) se conoce como un polinomio lineal completo en dos variables independientes, porque contiene todos los términos posibles de grado menor o igual a uno. Las tres constantes independientes pueden determinarse si se especifican tres valores de , lo cual explica por qué el triángulo de tres nodos es el elemento lineal ‘’natural’’ en dos dimensiones.

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Figura 1. Elemento finito triangular lineal.

La función de aproximación puede ser escrita como:

(2)

Donde:

→ Valores nodales conocidos.

Tabla 2: Funciones de forma.

Donde es el área del elemento triangular lineal, son denominadas funciones de forma y donde las constantes están en función de las coordenadas del triángulo (Figura 1) definidas por:

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Tabla 3: Constantes a,b,c del elemento finito triangular.

En formato matricial la función de aproximación es:

(3)

El operador nabla afectado por la función de aproximación resulta:

Donde se define a la matriz de operadores diferenciales como:

Matriz constitutiva del sólido elástico: El comportamiento mecánico real de los materiales es bastante complejo, sin embargo es posible establecer la relación entre el esfuerzo y la deformación mediante modelos matemáticos denominados modelos constitutivos.

Escribiendo en un formato matricial la relación existente entre los esfuerzos y deformaciones resulta:

(6)

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Donde la matriz está definida por:

Tabla 4: Componentes de la matriz constitutiva de un sólido elástico bidimensional.

Método de los elementos finitos aplicado a la teorí a de la elasticidad: Del planteamiento de los trabajos virtuales aplicable a la mecánica del medio continuo y el análisis estructural, se define a la matriz de rigidez del elemento finito triangular lineal como:

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Donde:

Tabla 5: Componentes de la matriz de rigidez del elemento finito triangular.

Conocida la matriz de rigidez y el vector de fuerzas de cada elemento, se procede a ensamblar las matrices y vectores globales de la forma:

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Donde es la matriz de rigidez y el vector de fuerzas ensamblado, lo que permite encontrar el vector de desplazamientos desconocidos de la expresión:

(11)

Una vez resuelto el sistema de ecuaciones lineales, se determina el desplazamiento nodal de cada elemento , para luego determinar el vector de deformaciones como:

(12)

Siendo:

Donde:

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN

A continuación se analizará dos tipos de ejercicios de aplicación usando el programa desarrollado. En el primer ejercicio se muestra una aplicación de la mecánica de suelos, con la finalidad de obtener la distribución de esfuerzos verticales que se producen debido a la acción de una cimentación continua sobre el suelo, comparando los resultados obtenidos con la teoría de Boussinesq. Posteriormente en el segundo ejercicio se analizara la distribución de esfuerzos horizontales de una viga simplemente apoyada el cual presenta un agujero concéntrico rectangular, y está sometido a una carga uniforme de superficie, más su peso propio.

Ejercicio N°1: Se tiene un suelo de arena fina (Figura 5.1), cuyas dimensiones para fines de este ejercicio son: 15 m de ancho ,12 m de profundidad y 1 m de largo. Estas dimensiones se adoptaron de modo que se pueda apreciar de manera clara y precisa el bulbo de presiones. La cimentación continua descansa sobre una sección unitaria de 1 m por 1 m, cuya fuerza de superficie aplicada al suelo es de . El

suelo presenta un módulo de elasticidad o módulo de Young y un

coeficiente de Poisson de .

Figura 6: Suelo de arena fina.

Para analizar los esfuerzos verticales del programa con la teoría de Boussinesq, usaremos la ecuación de Terzagui y Carothers, definidas como:

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Donde:

Ángulo formado entre los lados y , en

Ángulo formado con la vertical y el lado , en

Ángulo formado con la vertical y la recta que forma con el lado , en

En la Figura 7 se muestra las variables presentes de la ecuación de Terzagui y Carothers:

Figura 7: Distribución de esfuerzos bajo una carga rectangular de longitud infinita.

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Para el programa se definió dos tipos de malla de elementos finitos, las cuales describiremos a continuación:

Malla No1: En la figura 8 se muestra a la malla de elementos finitos con 403 nudos y 720 elementos, dividida por elementos tipo triángulo:

Figura 8: Malla No 1 de elementos finitos.

Comparando los valores de la ecuación (17) con los del programa respecto de la sección de estudio tenemos:

Tabla 9: Datos obtenidos con el programa (Malla No1) y la teoría de Boussinesq.

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Malla No2: En la figura 10 muestra la malla de elementos finitos con 775 nudos y 1440 elementos, dividida por elementos tipo triángulo:

Figura 10: Malla No 2 de elementos finitos.

Comparando los valores de la ecuación (17) con los del programa respecto respecto de la sección de estudio tenemos:

Tabla 11: Datos obtenidos con el programa (Malla No2) y la teoría de Boussinesq.

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A continuación se presenta la distribución de esfuerzos verticales generadas en las dos mallas:

Figura 12: Distribución de esfuerzos verticales Malla No 1.

Figura 13: Distribución de esfuerzos verticales Malla No 2

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Ejercicio N°2: Una viga simplemente apoyada el cual presenta un agujero concéntrico rectangular de 0,25m x 0.10m Figura 14 se encuentra sometida a una carga de superficie uniformemente distribuida de además de su peso propio.

El elemento es de Hormigón, con peso específico , con módulo de

elasticidad longitudinal y coeficiente de Poisson .

Figura 14: Viga simplemente apoyada con agujero concentrico rectangular.

Malla No1: La malla de elementos finitos está comprendida por 224 nudos y 376 elementos, dividida por elementos tipo triángulo:

La distribución de esfuerzos generados en toda la viga a través del programa en la malla de elementos finitos es:

Figura 15: Distribución de esfuerzos (KN/m2)

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CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Conclusiones.- Las conclusiones al finalizar el trabajo de investigación es:

� El programa desarrollado tiene por finalidad realizar el análisis estructural de cualquier tipo de sólido bidimensional, que goce de las condiciones de un material lineal, homogéneo e isótropo en una condición plana de esfuerzos y de deformaciones.

� Nos permite hacer un análisis en todo el continuo del sólido.

� El método de los elementos finitos (M.E.F) es el método más utilizado y exacto en la actualidad para el análisis estructural, cobrando real importancia solamente cuando es escrito en un lenguaje de programación.

� El (M.E.F) nos permite hacer un análisis de todo el continuo del sólido y se pudo evidenciar la versatilidad que tiene el método en una condición plana de esfuerzos o deformaciones aplicable en cualquier tipo de geometría.

� En aquellos lugares donde exista cambio brusco de sección o concentración de esfuerzos, es necesario hacer más finita la malla de elementos finitos.

� Se logró dar validez, de la confiabilidad y eficiencia que tiene el programa al demostrar la semejanza de los resultados con soluciones analíticas preestablecidas.

� Se pone en evidencia que en aquellos lugares en los cuales existe un cambio brusco de sección existe una concentración grande de esfuerzos, como así

� también en la zona de apoyo los esfuerzos disminuyen de forma considerable, aspectos que son de importancia a la hora de diseño.

� Este programa también es aplicable a aquellos sólidos los cuáles presenten una sección variable o hueca, debido a que la matriz de rigidez creada en el programa es la matriz de rigidez del medio continuo, por lo tanto se podrá analizar el sólido sin importar la geometría que presente.

Recomendaciones.- Las recomendaciones de este presente trabajo de investigación son:

� No se puede ingresar datos de momentos puntuales, sino como un par de fuerzas.

� Aproximar la solución del problema elástico, aumentando el número de elementos finitos.

� En el ingreso de datos, las fuerzas de superficie deben ser necesariamente uniformes.

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� El programa solo permite ingresar datos de las componentes de fuerzas que estén contenidas en el plano de estudio y no así aquellas componentes de fuerzas que estén fuera del plano.

� Usar este programa en aplicaciones didácticas, como una herramienta en las materias teóricas de elementos finitos y afines.

COLABORADORES

� Tutor: Ing. MsC. Fabián Cabrera Exeni.

BIBLIOGRAFIA

La bibliografía consultada en el presente trabajo de investigación es el siguiente:

� R. K. LIVESLEY “Elementos finitos introducción para ingenieros”, Editorial Limusa, S.A, México D.F.

� O. C. ZIENKIEWICZ “El método de los elementos finitos”.

� CELIGUETA LIZARZA JUAN TOMÁS “Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural” Tercera edición, Septiembre 2008.

� LINERO S. DORIAN y GARZÓN A. Diego “Elementos de la mecánica del medio continuo para cuerpos sólidos” Volumen 1, Universidad Nacional de Colombia Bogotá 2010.

� ANDREW Pytel y FERDINAND L. Singer “Resistencia de materiales”, Cuarta edición.

� RUSSELL C. HIBBELER “Análisis Estructural“, Tercera edición.

� JUÁREZ BADILLO, RICO RODRÍGUEZ “Mecánica de suelos”, Tomo 2 Teoría y Aplicaciones de la Mecánica de Suelos, LIMUSA Noriega Editores.

� DELGADO VARGAS MANUEL, “Interacción suelo – estructura”, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería. Colombia 1999.

� P. JIMENEZ MONTOYA, A. GARCIA MESEGUER y F. MORAN CABRE “Hormigón Armado”, Tomo I 13.a Edición (Ajustada a la Instrucción EH-91).

� HWEI P. HSU “Análisis Vectorial” Fondo educativo Interamericano, S.A.

� LUIS A. SANTALÓ “Vectores y Tensores Con Sus Aplicaciones”, Editorial Universitaria de Buenos Aires EUDEBA.

� LOUIS LEITHOLD “El cálculo”, Séptima edición.

� HOWARD ANTON “Introducción al álgebra lineal” Segunda edición, Limusa Noriega Editores.

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FOTOGRAFÍA

Nombre y Apellidos: Farfán Eduardo Daniel

Profesión: Ingeniero Civil

País: Bolivia

Edad: 25 años