UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGAFACULTAD DE INGENIERA DE MINAS, GEOLOGA Y CIVIL

Escuela de formacin profesional de ingeniera de sistemas

TEMA:APLICACIONICACION DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN LA FSICA, QUMICA Y OTROSINTEGRANTE

AYACUCHO PER2015

INTRODUCCIONLas leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que l incluyen tanto las funciones y sus derivadas y sus integrales.El principal propsito de este trabajo es explicar mediante ejemplos la resolucin de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias al vaciado de tanques que pueden contener lquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y para ello se necesita saber predecir el tiempo que demora en vaciarse todo o alguna parte del contenido, como tambin saber el volumen de liquido que desaloja en un determinado instante entre otras aplicaciones que se muestra en el trabajo , se demuestra cmo conseguir esta informacin con la ayuda de las Ecuaciones Diferenciales de 1er grado.El clculo constituye una de las grandes conquistas intelectuales de la humanidad ya que la ciencia y la tecnologa seran imposibles sin ella.

INDICE

INTRODUCCION21.CRESIMIENTO POBLACIONAL:4 Ejemplo de aplicacin de crecimiento poblacional:42.LEY DE ENFREAMIENTO DE NEWTON5 Ejemplo de ley de enfriamiento de newton63.MESCLADO DE SUSTANCIAS8 Ejemplo de aplicacin:84.VACIADO DE TANQUE10 Anlisis de la ecuacin10 Ejemplo de aplicacin de vaciado de tanque125.CIRCUITO RC13

APICACION DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN1. CRESIMIENTO POBLACIONAL: El modelo matemtico ms simple algo idealizado para el crecimiento poblacional es:

K a es la constante de proporcionalidad entre la poblacin y la razn de crecimiento(o decrecimiento).Si, P()= es una condicin inicial para la ecuacin obtenida:

Entonces la solucin para esta ecuacin seria de la siguiente manera:

Aplicamos la integral a ambos lados. Y para un tiempo P(t)=p

Ln()- Ln()=(t-)kDespejamos solo en funcin de

Ejemplo de aplicacin de crecimiento poblacional:1. Cierta ciudad tena una poblacin de 25,000 habitantes en 1960 y una poblacin 30,000 habitantes en 1970 suponiendo que su poblacin contine creciendo exponencialmente con un ndice constante Qu poblacin esperara los urbanistas que tenga en el ao 2011?

Separando variables:

Aplicando propiedades de logaritmos que dara de esta forma:

Se toma en 1960 de tal modo que:25000=x(0)Sustituyendo se obtiene25000=SustituyendoX=25000De 1970 a 1960 han transcurrido 10 aos y la poblacin ha aumentado 30000X(10)=30000

Al sustituir se obtiene la formula que nos permite calcular el tamao de la poblacin en funcin del tiempo donde Del ao 1960al ao 2010 han transcurrido entonces esa poblacin actualmente tiene:

2. LEY DE ENFREAMIENTO DE NEWTONLa ecuacin de la ley de enfriamiento de newton se define de la siguiente forma. , La razn de cambio de la temperatura T del objeto en el tiempo es proporcional a la diferencia con la temperatura del medio es decir; k>0.

ANALISIS: Si. , entonces podemos decir , el objeto se calienta.Entonces se implica que tambin es mayor que cero.Y tambin despejando se puede obtener , que la temperatura del medio es mayor a la temperatura

Si. , entonces podemos decir , el objeto se calienta.Entonces se implica que tambin es mayor que cero.Y tambin despejando se puede obtener , que la temperatura del medio es mayor a la temperatura

Ejemplo de aplicacin de la ley de enfriamiento de newton

Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea sigue la Ley de Newton. Una pequea barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20C, se deja caer en un recipiente con agua hirviendo. Calcular el tiempo que dicha barra tardar en alcanzar los 90 C, si se sabe que su temperatura aument 2C en un segundo. Cunto tardar la barra en alcanzar los 98 C?

RESOLUCIN. La Ley de Newton expresa que la rapidez con que se enfra un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura ambiente. La ecuacin diferencial que modlica dicho fenmeno es T 0(t ) = K[T (t ) Ta ], cuya solucin general (vase el desarrollo terico) es

La temperatura ambiente en este caso es Ta = 100, mientras que la temperatura inicial es T (0) = 20. Por tanto,

Como la temperatura aument 2C en 1 s encontramos que T (1) = 22. As,

Por tanto, la temperatura en cualquier instante t es

Para calcular el tiempo que tarda la barra en alcanzar 90 C resolvemos la ecuacin T (t ) = 90

Similarmente, para calcular el tiempo que tarda en alcanzar 98 C resolvmosla ecuacin T (t ) = 98:

3. MESCLADO DE SUSTANCIASSea A(t) la cantidad de sustancias que hay en el recipiente en el instante t la razn de cambio de la cantidad de sustancias que hay en recipiente esta dado por razn de entrada razn de salida.Razn de entrada: razn de ingreso del fluido en el recipienteRazn de salida: razn de salida del fluido en le recipienteEjemplo de aplicacin:Un tanque est lleno de 100 litros de agua en los que se ha disuelto 20 kilogramos de sal. Otra mezcla que contiene 1 kilogramo de sal por litro es bombeada al tanque a razn de 7 litros por minuto. La solucin mezclada es bombeada hacia el exterior a razn de 8 litros por minuto. Determinar la funcin que da la cantidad de sal en cada instante. Se vaciar totalmente el tanque?RESOLUCIN.Conforme a la notacin utilizada en el desarrollo terico, el enunciado del problema proporcionalos siguientes datos:

de modo que la solucin general de la ecuacin diferencial es:

Para hallar C tenemos en cuenta que la concentracin inicial es A = 20:

En conclusin, la cantidad de sal presente en el tanque en cada instante es

Para averiguar si el tanque se vaciar totalmente, determinaremos el tiempo en que la concentracin se anula, esto es:

La ecuacin anterior admite dos soluciones:

La solucin negativa carece de sentido en el contexto del problema. Por tanto, la concentracin es cero parat = 100 min, que es cuando se vaciar el tanque.Ntese que aunque ste se vace siempre seguir entrando agua salada, de manera que a partir del instantet = 100 min la concentracin de sal en cada instante ser la de la mezcla entrante, a saber, 1 kg/L.

4. VACIADO DE TANQUEEl vaciado de tanques y recipientes es un proceso en rgimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que depender del nivel de lquido en el mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocar un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energa del sistema de la siguiente forma:

Anlisis de la ecuacin Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el rea de la seccin transversal constante, y a es el rea de un orificio de seccin transversal por el que fluye el agua, el cual est ubicado en la base del tanque.Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del lquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse.

Sea h(t) la altura del liquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a travs del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuacin anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirir al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contraccin que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendr

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.

Segn el Teorema de Torrecilla, la razn con la que el agua sale pro el agujero (variacin dl volumen de liquido en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el rea del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es Sustituyendo en la ecuacin Si A(h) denota el rea de la seccin transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el mtodo del volumen por secciones transversales se obtiene

La constante C depende de la forma del orificio:

Si el orificio es de forma rectangular, la constante C = 0,8.Si el orificio es de forma triangular, la constante 0,65 C 0,75.Si el orificio es de forma circular, la constante C = 0,6.Y en algunos casos viene especificada.

Ejemplo de aplicacin de vaciado de tanque

1) Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, est lleno con agua. Tiene un pequeo orificio en el fondo de 1 pulgada de dimetro, Cundo se vaciara el tanque?

Primero se debe convertir la unidad de rea del orificio a pies, el dimetro de este es de 1 pulgada, por lo tanto su radio es de pulgada; 1 pulgada es igual a 1/12 pies. Dado que el orificio es una circunferencia, su rea es igual a ((radio)2), entonces el rea del orificio de salida es

As mismo, el rea de la seccin transversal, A(h)= (10)2= 100 2El coeficiente de descarga no est dado, por lo tanto se asume que c= 1, la gravedad g= 32pies/ seg2Sustituyendo todos los valores en la ecuacin asociada a los problemas de vaciado de tanque, se obtiene

Esta ecuacin debe resolverse sujeta a la condicin que para t=0, h0=20pies. luego tendramos la ecuacin de la siguiente manera

Esta ecuacin debe resolverse sujeta a la condicin que para t=0, h0=20pies.Luego se integra

Esta ecuacin debe resolverse sujeta a la condicin se integrara hallarPara determinar el tiempo que demora en vaciarse el tanque, se debe sustituir h=0 en la anterior ecuacin As, el tanque logra vaciarse en un tiempo de 64398.75 segundos, es decir, 17horas 53 min 19seg.

5. CIRCUITO RCUn circuito en serie RC con voltaje constante se modela con la ecuacin diferencial entre R

obtenemos la ecuacin: (1)

Por lo cual podemos aplicar la tcnica de variacin de parmetros y determinar que el factor de integracin Aplicando ahora dicho factor a la ecuacin (1), obtenemos: Para determinar la corriente i(t) en el circuito, sencillamente derivamos (3) para obtener:

Con las ecuaciones (3) y (4) podemos ahora realizar los clculos para los problemas de valor inicial (PVI) que sean necesarios.