APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ENVOLVENTE ......Ecología, N.º 17, 2003, pp. 329-343 329...

Ecología, N.º 17, 2003, pp. 329-343

329

APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ENVOLVENTECONVEXA A LA MEJORA DEL SISTEMA

FITOCLIMÁTICO ALLUÉ-ANDRADE

JAVIER MARÍA GARCÍA-LÓPEZ1 Y CARMEN ALLUÉ2

RESUMEN

Se ensaya un método para la mejora de la eficiencia predictiva del modelo fitoclimático de ALLUÉ-ANDRADE (1990) basado en la teoría de la envolvente convexa, como método alternativo a la teo-ría del paralepípedo factorial máximo utilizado hasta ahora en el sistema para la definición deámbitos. El uso de proyecciones factoriales planares de un poliedro convexo en el hiperespacio fi-toclimático factorial permite una mayor aproximación a las fronteras de la nube de puntos quedefinen una estrategia vegetal, adaptando mejor los ámbitos, hasta ahora simplificados a formasparalepipédicas, a la realidad natural. Ello proporciona, entre otras ventajas frente al modelo an-terior, una mayor precisión en la consideración de genuinidades y en la definición de ámbitos, quepasan de ser fijos para cada subtipo fitoclimático a ser variables en función de la posición del pun-to a estudiar en el hiperespacio factorial. Todo ello permite una diagnosis más precisa desde fa-ses muy iniciales de su aplicación (diagnosis monotética). Se aplica este nuevo sistema a la deter-minación del área fitoclimática potencial de Juniperus thurifera en España, demostrándose una me-jora muy apreciable en la definición del sólido en el hiperespacio factorial respecto del método delparalepípedo factorial máximo, ciñéndose este área, ya desde la fase monotética de la diagnosis,de 9.630.100 ha a 3.712.500 ha.

Palabras clave: fitoclimatología, envolvente convexa, Juniperus thurifera.

SUMMARY

The convex hull theory as applied to improve the Allué-Andrade Phytoclimatic System

A method based on the convex hull theory was assayed to improve the predictive efficiency of thephytoclimatic model of ALLUÉ-ANDRADE (1990). This method was proposed as an alternative tothe maximum factorial parallelepiped theory used up till now in the system for defining ambits.Planar factorial projections of a convex polyhedron in a factorial phytoclimatic hyperspace canprovide a better approximation to the borders of the cluster of points that define a plant strategy,through more precise adjustment of ambits (hitherto in simplified parallelepiped forms) to naturalreality. Among other improvements on the previous model, this gives greater precision in theidentification of genuineness and the definition of ambits. In the older model, ambits are fixed for

1 Unidad de Ordenación y Mejora del Medio Natural. Servicio Territorial de Medio Ambiente. Junta de Cas-tilla y León. Juan de Padilla s/n. 09071-Burgos. E-mail: [email protected] Unidad de Ordenación y Mejora del Medio Natural. Servicio Territorial de Medio Ambiente. Junta de Cas-tilla y León. Juan de Padilla s/n. 09071-Burgos. E-mail: [email protected]

Recibido: 06/05/2003.Aceptado: 04/07/2003.

INTRODUCCIÓN

El sistema fitoclimático ALLUÉ-ANDRADE pre-senta su primera versión en 1990, en el ya clá-sico Atlas Fitoclimático de la España Peninsular.Taxonomías (ALLUÉ-ANDRADE 1990). Una ver-sión actualizada del modelo Diagnosis se pre-sentó por el autor en 1995 (ALLUÉ-ANDRADE

1995). El cálculo concreto de la matriz de ido-neidades fitoclimáticos fue desarrollado porALLUÉ CAMACHO (1995 & 1996) tras ensayos re-alizados por CAÑELLAS (1993) y ALLUÉ-ANDRA-DE & MARTÍN BLAS (1994). En 1997 se presentala última versión del sistema fitoclimático, queincluye los modelos Homologación e Idoneidad(ALLUÉ-ANDRADE 1997).

Desde los inicios del sistema es manifiesta suvinculación a la informática como herramien-ta indispensable para realizar los complejoscálculos internos propios del modelo. La pri-mera informatización (GRAU 1990) fue des-arrollada específicamente para el cálculo de lamatriz fitoclimática, y vio la luz junto al AtlasFitoclimático. Posteriormente MANRIQUE (1993)desarrolló un conjunto de módulos en Basicdenominados genéricamente Informatizacio-nes CLIMOAL en los que se ampliaban consi-derablemente las posibilidades de la infor-matización anterior, incluyendo entre otrasprestaciones el cálculo de climodiagramasanuales o compendios (módulo CLIMADI),cálculo de climatogramas y climatorratiogra-mas (módulo CLIMATOS), evolución de sub-tipos anuales (módulo CLITIPOS), evoluciónde factores (módulo EVOLUTIO), espectrosde evolución tipológica (módulo CLIMOES),matrices de función de posición (módulo CLI-

MATRI) y homologaciones fitoclimáticas (mó-dulo CLIHOMO). Parte de este programa fueposteriormente adaptado al entorno Win-dows (WCLIMOAL) por SARMIENTO & MAN-RIQUE (1997). Dos módulos de informatizaciónespecíficos (CLIMESP y ESCESP) fueron de-sarrollados por MARTÍN BLAS & MANRIQUE

(1994). MANRIQUE (1999) adaptó las informa-tizaciones CLIMOAL al estudio fitoclimáticode Turquía (GARCÍA-LÓPEZ 1999) y añadió al-gunas prestaciones adicionales relacionadascon la dinámica temporal fitoclimática, des-arrollando las informatizaciones CLIMOTUR.Finalmente, se han extendido los tres mode-los (Diagnosis, Homologación e Idoneidad) altratamiento masivo en continuum de bases dedatos vinculadas a Sistemas de InformaciónGeográfica mediante el programa FITOCLI-MOAL’2000 en ACCESS (GARCÍA-LÓPEZ et al.,2000 & 2002).

MATERIAL Y MÉTODOS

Fundamentos

Aunque las bases concretas del Sistema Fito-climático ALLUÉ-ANDRADE pueden consultarseen las fuentes arriba indicadas, se incluyen acontinuación algunas de sus nociones básicasimprescindibles para una correcta interpreta-ción del presente trabajo.

El sistema fitoclimático parte de un espacio fac-torial de n dimensiones, cuyos ejes son los nfactores fitoclimáticos elegidos Fi (i entre 1 y n).En este espacio se establecen m ámbitos Aj, li-mitados por los valores extremos de los n fac-

each phytoclimatic subtype, whereas in the new model they vary according to the position of thetarget point in the factorial hyperspace. The result is enhanced accuracy of diagnosis at very earlystages of application (monothetic diagnosis). The new system was used to determine the potentialphytoclimatic area of Juniperus thurifera in Spain. We found that definition of the solid in thefactorial hyperspace was more precise than with the maximum parallelepiped method, so that thetarget area was restricted to a range of 9,630,100 ha to 3,712,500 ha as early as the monotheticdiagnosis stage.

Key words: phytoclimatology, convex hull, Juniperus thurifera.

330

JAVIER MARÍA GARCÍA-LÓPEZ et al. «La teoría de la envolvente convexa»

tores (figura 1), que se corresponden con cadauno de los m distintos tipos o estrategias devida vegetal (fitologías) posibles en el ámbitode aplicación del modelo.

Los puntos de este espacio factorial climáticoson susceptibles de estructuración respecto decada ámbito mediante la atribución de ciertasmagnitudes geométricas y discriminantes nor-malizadas (escalares) capaces de expresar sumayor o menor adecuación a cada uno de es-tos recintos. Estos escalares evalúan simultá-neamente dos aspectos de esta estructuracióndel espacio factorial:

– La posición (o cercanía a los ámbitos), quese realiza mediante una función de posición.

– La potencialidad caracterizadora de sus va-lores climáticos respecto de todos los ámbi-tos, que se realiza mediante los llamados po-deres caracterizadores.

El escalar no es por tanto una medida de dis-tancia clásica en un espacio de varias dimen-siones, sino una medida dual de proximi-dad/potencialidad, con respecto a todas las es-trategias de vida vegetal, de cada una de lasestaciones y, consiguientemente, entre ellas.

Cualquiera de estos recintos o ámbitos estruc-tura pues a los puntos del espacio factorial endistintas zonas de adecuación a ellos. Así, se de-nominarán Genuinos (G) respecto de un ámbitoa los puntos interiores al recinto, Análogos (A) a

los exteriores pero próximos, y Dispares (D) a losexteriores alejados. Pero la estructuración llegamás allá de la determinación de estas tres gran-des clases de adecuación, pues establece todauna gama gradual de escalares numéricos (pro-ducto de la función de posición y del poder ca-racterizador) que reflejarán la posición relativay su eficiencia fisionómica para cada valor.

El cociente entre el escalar de cualquier situa-ción respecto a un determinado tipo de vidavegetal y el del máximo escalar posible res-pecto a este tipo se denomina escalar normali-zado y no sólo nos dará una noción objetiva deeficiencia de la situación, sino que nos permi-tirá comparar las eficiencias de cualesquieraotras situaciones respecto al tipo. Dado que lanoción de este nuevo escalar es en definitivauna noción porcentual respecto a un óptimo,también tendrá sentido comparar entre sí losescalares de un punto respecto de todos los ti-pos de vida vegetal.

En consecuencia, cualquier escalar de este es-pacio fitoclimático (figura 2), que sustituye altradicional espacio factorial climático, es com-parable con cualquier otro. Además, si consi-deramos que el conjunto de todos los escalaresnormalizados de un punto respecto a los dis-tintos ámbitos fitoclimáticos constituye lascoordenadas fitoclimáticas de ese punto, podre-mos comparar también cualquier conjunto deescalares (coordenadas) de un punto con cual-quier otro conjunto, lo que constituye ya unamuy matizada manera de distinguir situacio-

331

Ecología, N.º 17, 2003

Am

A5

A4A2

A1

F2PF2

P (F1P; F2P;......FnP)

A3F2P

F1

FnP

Fn

Figura 1 - Espacio climático factorial n-dimensional.

Figure 1 - n-dimensional factorial climatic space.

eA1

eAm

eA

P

1

eAm

P

P( )eee Am

p

A

p

A

P,.......,,

21

eA2

P eA2

Figura 2 - Espacio fitoclimático escalar m-dimensional.

Figure 2 - m-dimensional scalar phytoclimatic space.

nes. Las coordenadas fitoclimáticas o conjuntode los escalares normalizados de un punto res-pecto a los distintos ámbitos factoriales esti-man porcentualmente, uno a uno, su distanciafitológica al óptimo fitológico de cada tipo devida y, por otra, al comparar todas estas dis-tancias entre sí, se produce una diagnosis vo-cacional comparativa (politética) y matizadade extremado carácter sintético o lo que es lomismo, una síntesis muy afinada de cualquiersituación vegetal.

Como hemos dicho, la estructuración de pro-ximidad del valor de un factor al intervalo fac-torial correspondiente de un ámbito del espa-cio n-factorial puede realizarse mediante unafunción homogénea que cumple como condi-ciones (figura 3) el anularse en los dos bordesde su intervalo de existencia, tomar valores cer-canos a la unidad en un amplio y relativamentecentrado tramo interior de dicho intervalo ydescender abruptamente en los extremos deltramo central anterior hacia 0 en los extremos.En el modelo actual, esta curva se traza me-diante la función versátil cuya expresión mate-mática precisa puede consultarse en ALLUÉ-ANDRADE (1990).

Por otra parte, la inversa numérica de la can-tidad de correspondencias de un cierto valorcon los distintos tipos fitoclimáticos expresa la

jerarquía de una especie de poder caracteriza-dor. Cuanto mayor sea el número recintos oámbitos factoriales que contengan ese valorfactorial concreto, menor será el poder carac-terizador de dicho valor, al estar compartidopor todos esos tipos. Un valor factorial que úni-camente existe en un recinto de entre todos losposibles caracteriza por tanto totalmente a eserecinto y su poder caracterizador es el máximoposible, es decir 1.

La adecuación fitoclimática de un determina-do valor de un factor climático respecto del in-tervalo factorial correspondiente de un ámbi-to será tanto mayor cuanto mayor sea el pro-ducto de su poder caracterizador y el valor dela función de posición respecto del intervalofactorial del ámbito.

Dada una estación o punto climático P forma-do por un conjunto de valores concretos de nfactores fitoclimáticos P = [Fip] = [F1p; F2p; ........;Fnp], se pueden calcular las m.n funciones deadecuación fitoclimática de los n valores fac-toriales de ese punto a cada uno de los m ám-bitos de existencia. Este cálculo se hace en lapráctica en una matriz fitoclimática de n filasy de m columnas formada por valores que co-rresponden a expresiones del tipo:

En donde:

Fip: Valor en el punto P del factor Fi (i entre 1y n).

Aj: Ámbito fitoclimático correspondiente alsubtipo j (j entre 1 y m).

AjFi: Ámbito fitoclimático del factor Fi corres-pondiente al subtipo j.

: Escalar de adecuación de Fip al ámbito fi-toclimático Aj.

: Poder caracterizador de Fip.

: Función de posición de Fip respecto delámbito fitoclimático Aj.

FipAj

Fip

eFipAj

eFipAj

Fip FipAjFi Fi

=

332


y

F i

1

Fi min Fi max

);;( minmax FiFiFiy p=

Fi p

Figura 3 - Función de posición del valor del factor Fi de unpunto P (Fip) respecto del ámbito factorial [Fimin; Fimax].

Figure 3 - Positional function of the value of factor Fi for apoint P (Fip) with respect to the factorial ambit [Fimin; Fimax].

Determinando el máximo escalar posible paraun factor y ámbito determinado y dividiendoel escalar anterior por él, obtenemos un escalarnormalizado que como ya se ha dicho permiteque los escalares de distintos ámbitos seancomparables entre sí:

En donde:

: Escalar máximo de adecuación de Fi alámbito fitoclimático Aj.

: Escalar normalizado de adecuación deFip al ámbito fitoclimático Aj.

Los m.n escalares de adecuación (valor facto-rial)-(ámbito) pueden reducirse a m escalaresde adecuación del punto a cada ámbito, me-diante suma de las funciones fitoclimáticas deadecuación de cada factor al intervalo factorialcorrespondiente del ámbito.

En donde:

: Escalar normalizado de adecuación delpunto P al ámbito fitoclimático Aj.

Al conjunto de los m escalares normalizadosde un punto respecto de los m ámbitos se de-nomina coordenadas fitoclimáticas del punto.Como forma de expresión sintética del fito-clima, alternativa a la expresión de la totali-dad de sus coordenadas fitoclimáticas, puedecalcularse una terna fitoclimática que expresade forma reducida los aspectos más impor-tantes del conjunto de las coordenadas ante-riores. Las ternas de diagnosis fitoclimáticaabreviada presentan la forma (G; A1; A2; A3;D1; D2), siendo G el n.º del subtipo fitocli-mático genuino, A1, A2 y A3 los subtipos aná-logos en orden de proximidad (escalar) de-creciente y D1 y D2 los números de los subti-pos fitoclimáticos dispares más cercanos (es-calares mayores).

Planteamiento del problema

El modelo fitoclimático actual simplifica la for-ma real de los recintos factoriales, formadoscada uno de ellos por la nube de puntos-esta-ciones que los caracterizan. Esta simplificaciónconsiste en circunscribirlos a paralepípedosrectos rectangulares de caras paralelas a losplanos factoriales de referencia y tangentes alas aristas extremas de los recintos reales (mé-todo del paralepípedo factorial máximo). Me-diante esta simplificación de la forma primi-genia de los ámbitos reales los intervalos pa-rietales, mucho más regulares, son más fácil-mente calculables.

Como puede verse en la figura 4, asimilar losámbitos fitoclimáticos reales de una estrate-gia vegetal al paralepípedo en que quede ins-crito el ámbito real simplifica los cálculosposteriores propios del modelo Diagnosis,pues entre otras cuestiones, los ámbitos fac-toriales son independientes de la posición delpunto a estudiar.

Sin embargo, esta simplificación produce algu-nos problemas en la precisión de la diagnosis,principalmente al considerar como interiores alrecinto de la fisionomía puntos que, como el P’de la figura 5, en realidad quedan fuera. En de-

enor P

Aj

e n enor norP

Aj

Fpi

AjFi

i n

i

=1

=

= 1

enor Fip

AjFi

emax Fip

AjF

ee

enormax

Fip

AjFi Fip

AjFi

Fip

AjFi=

333


F1

F2

Fi

F1max

F1min

Fimin

Fimax

F2min F2max

A

Figura 4 - Sustitución de la forma real del recinto factorial porel paralepípedo tangente a sus aristas extremas.

Figure 4 - Substitution of the real form of the factorial precinctby the parallelepiped tangent to its outer edges.

finitiva, los ámbitos parapepipédicos calculadosson los máximos ámbitos factoriales posibles de cadasubtipo para el estudio de cualquier punto.

Partiendo de la base de que el ámbito del sub-tipo no es en la realidad un paralepípedo, sino

una figura de forma diversa, se podría inten-tar una aproximación más fiel a su forma realen el hiperespacio factorial mediante el cálcu-lo de alguna frontera envolvente más ceñida asu forma original.

En la figura 6 se muestra un ejemplo real delproblema. Se ha determinado el ámbito deexistencia real de Juniperus thurifera en Españapara los factores A (duración de la aridez en elsentido de Gaussen, en meses) y T (tempera-tura media anual, en ºC), a partir de las parce-las del II Inventario Forestal Nacional con for-mación vegetal dominada por esta especie yprocesado con FITOCLIMOAL’2000 (GARCÍA-LÓPEZ et al., 2002). Como puede comprobarse,dicho ámbito dista bastante de asemejarse a unparalepípedo. Como parece coherente con laautoecología de esta especie, en términos ge-nerales cuanto mayor es la aridez, más alta esla temperatura media que puede soportar e in-versamente.

Así pues, puntos situados en la zona A exter-na al ámbito real, caracterizados por la coexis-tencia de altas temperaturas y baja aridez, se

334


F2

F1

PF 2P

F1PF1Pmin F1P maxF1minF1max

F2max

F2min

F2pmin

P’F2pmax

Figura 5 - Comparación del recinto factorial real y del para-lepípedo que lo enmarca. El Punto P es interno a ambos peroel punto P’ sólo es interno al paralepípedo.

Figure 5 - Comparison of the real factorial precinct and its fra-ming parallelepiped. Point P may be internal, but point P’ isentirely internal to the parallelepiped.

0,00

2,00

4,00

6,00

8,00

10,00

12,00

14,00

16,00

18,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00

A

B

Figura 6 - Àmbito fitoclimático de Juniperus thurifera en España (factores A en abscisas y T en ordenadas). Los puntos correspon-den a parcelas de muestreo del II IFN con presencia de Juniperus thurifera como especie dominante. La línea gruesa es la envol-vente convexa y la línea de puntos es el paralepípedo utilizado hasta ahora en el Sistema Fitoclimático de Allué-Andrade.

Figure 6 - Phytoclimatic ambit of Juniperus thurifera in Spain (factor A on the X axis and factor T on the Y axis). The dots indica-te II IFN sampling plots where Juniperus thurifera is the dominant species. The thick line is the convex hull and the dotted line isthe parallelepiped used up till now in the Allué-Andrade Phytoclimatic System.

corresponderán seguramente con estrategiasmás próximas a formaciones nemorales plani-folias que a sabinares. De igual forma, estacio-nes situadas en la zona B, caracterizadas por lacoexistencia de altas arideces y bajas tempera-turas estarán más cerca de formaciones estépi-cas leñosas no arboladas que de sabinares.

Únicamente puntos situados en el interior dela envolvente estarán previsiblemente, a faltadel estudio del resto de factores y desde el pun-to de vista fitoclimático, cerca de formacionesde sabinar.

RESULTADOS

Utilización de la envolvente convexa

Un conjunto A de puntos de un plano se diceque es convexo si para cualesquiera 2 puntosde ese conjunto el segmento que los une estácontenido en A (figura 7). Se denomina envol-vente convexa al perímetro o frontera del con-junto A. Esta envolvente está formada por elconjunto de rectas soporte que unen entre si lasaristas o vértices de la figura. Un recta sopor-te es aquella que, uniendo 2 puntos, cumple la

condición de dejar al resto de los puntos en unode los 2 semiplanos en que la recta divide alplano. La envolvente convexa es pues el polí-gono de menor perímetro que contiene a unanube de puntos de un plano.

La envolvente convexa quedará pues defini-da por el cálculo de sus vértices en el hipe-respacio factorial. Un subtipo fitoclimático ca-racterizado por una nube de puntos con atri-butos fitológicos concordantes en un planofactorial podría por tanto definirse de formabastante fiel mediante un listado de vérticescon sus coordenadas factoriales. Esto es, en unespacio n-dimensional, la nube de puntos fac-toriales de estaciones con características fisio-nómicas comunes, que hasta ahora se aseme-jaba a un paralepípedo, podría ceñirse apre-ciablemente más a su forma real mediante elcálculo de un poliedro convexo cuyas aristasfuesen puntos extremos de la propia nube depuntos (figura 8).

Existen varios algoritmos para el cálculo de laenvolvente convexa (O’ROURKE 1994; DE BERG

et al. 1997; GOODMAN et al. 1997; SACK et al.2000; GRAHAM 1972). El tiempo de cálculo enordenador difiere apreciablemente entre ellos,pero en cualquier caso a partir de 6 dimen-siones los procesos de cálculo computerizadose hacen hoy por hoy inviables en un PC con-vencional para nube de más de un centenarde puntos.

335


Figura 7 - Envolvente convexa de una nube de puntos en unplano.

Figure 7 - Convex hull of a dot cluster on a plane.

F 2

F i

F 1

Figura 8 - Poliedro convexo en un espacio factorial.

Figure 8 - Convex polyhedron in a factorial space.

Si bien en la formulación actual del modelo elparalepípedo, dada su forma geométrica sen-cilla, de caras paralelas a los ejes factoriales, nonecesita de una definición explícita de su for-ma y la propia tabla de ámbitos factoriales sir-ve para ello, el poliedro convexo requiere deuna definición explícita de su forma, indepen-diente de la tabla de ámbitos y debe realizarsemediante el cálculo de una tabla o listado devértices, con sus correspondientes coordena-das factoriales.

Para un plano factorial F1F2 dado y un polígo-no convexo correspondiente a un atributo fi-tológico determinado, el primer problema quese plantea para la aplicación del modelo es elcálculo de los ámbitos factoriales de ambos fac-tores, esto es, sus valores máximos y mínimos(F1min, F1max, F2min y F2max ) para esta fitología (fi-gura 9).

Si bien en la formulación actual del modelo fi-toclimático los ámbitos factoriales son únicospara cada fitología considerada, en caso dedescribir la fitología mediante un polígonoconvexo en lugar de por un paralepípedo, de-pendiendo del plano de corte con la figura loslímites de los 2 ámbitos podrán ser diferentesy dependerán por tanto de la posición del pun-to a estudiar.

Para el cálculo del ámbito factorial de los fac-tores F1 y F2 del subtipo cuya envolvente con-vexa se representa en la figura 9 particulariza-do para la diagnosis de los puntos P1 (F1p1;F2p1) interior a la envolvente y P2 (F1p2; F2p2)exterior a la misma, esto es, los valores F1minp1,F2minp1, F1maxp1 y F2maxp1 para el punto P1 y losvalores F1minp2 , F2minp2, F1maxp2 y F2maxp2 para elpunto P2, se deberán hallar los puntos de cor-te de la recta que une cada punto con el cen-troide C (F1c;F2c) del polígono de envolventeconvexa dado por el conjunto de vértices Vi(F1vi;F2vi):

Para ello, es necesario como paso previo el cálcu-lo de las coordenadas del centroide:

Dado el polígono de la figura 10 y conformea la metodología de BOURKE (1988) las coor-denadas del centroide de un polígono conve-xo como el de la figura pueden calcularsecomo:

En donde:

A x y x yi i i i

i

N

=12 ( – )

=

– 1

+1 +1

0

Cy A y y x y x yi i i i i i

i

N

= +1

6 (=

– 1

+1 +1 +1( ) – )0

Cx A x x x y x yi i i i i i

i

N

= +1

6 (=

– 1

+1 +1 +1( ) – )0

336


F2

F1

V9

V1

V2

V3

V4

V5

V6

V7

V8

F2P1

F1P1F1minp1 F1maxp1

C

F2minp1

F2maxp1

P1

P2

F2maxp2

F2minp2

F1minp2 F1maxp2

Figura 9 - Cálculo de los ámbitos factoriales particularizadospara la posición de 2 puntos P1 (interior) y P2 (exterior) en unplano factorial F1F2.

Figure 9 - Calculation of particular factorial ambits for the po-sition of two points, P1 (interior) and P2 (exterior), on a fac-torial plane F1F2.

(x1,y1)

(x0,y0)

(x2,y2)

(x3,y3)

(x4,y4)(x5,y5)

x

y

C (xc,yc)

Figura 10 - Ejemplo de polígono convexo en 2 dimensiones.

Figure 10 - Example of a convex hull in two dimensions.

Los puntos de intersección de recta P-C con laenvolvente convexa del polígono nos dará losvalores de los extremos de los ámbitos de losfactores F1 y F2 particularizados para la posi-ción del punto P: F1minP, F1maxP, F2minP y F2maxP. Apartir de aquí podría calcularse la función deposición del punto P respecto de los ámbitosfactoriales de F1 y F2 conforme a la metodolo-gía actual. Evidentemente, el valor de la fun-ción de posición en el punto C será 1.

La figura 11 muestra la generalización de lasideas hasta aquí expuestas a un espacio facto-rial de 3 dimensiones. Como ya se ha dicho,los procesos de cálculo de la envolvente con-vexa para hiperespacios no es viable en tiem-po con métodos informáticos convencionales.Por ello, a partir de n = 2 dimensiones del es-pacio factorial se renuncia al cálculo de los vér-tices de la envolvente y al cálculo de los pun-tos de corte de la recta P-C con los hiperpla-nos n-1 que formen las caras del hiperpolie-dro convexo.

La solución adoptada es la proyección del hi-perpoliedro convexo sobre planos de parejasfactoriales y reducir por tanto el problema a sutratamiento en 2 dimensiones como ya se haexplicado. En la figura 11 se muestra la meto-dología de cálculo de los ámbitos para un es-pacio factorial de 3 dimensiones.

Si en un espacio factorial de 3 dimensionesF1F2F3 consideramos el poliedro limitado porlos vértices de una envolvente convexa (fi-gura 11), deberemos efectuar proyeccionessobre los 3 planos F1F2, F2F3 y F1F3 del polie-dro para poder aplicar el detalle de cálculode límites factoriales de la figura 9. En la prác-tica, no proyectaremos el poliedro ya forma-do, sino que calcularemos en cada plano laenvolvente (los vértices) de cada nube depuntos proyectada. La proyección directa delos vértices del poliedro hiperespacial no esposible ya que sus proyecciones no tienenporqué ser necesariamente envolventes con-vexas.

Un punto P es interior al poliedro en el hi-perespacio (es decir, será genuino desde el

punto de vista fitoclimático respecto de di-cho ámbito) si y sólo si cada una de sus pro-yecciones factoriales planares es interior acada una de las envolventes convexas pro-yectadas.

Una vez calculados los vértices para cadaplano factorial se aplicará el cálculo expues-to en la figura 9. Al ser la dimensión del es-pacio factorial 3D, el ámbito de cada uno delos factores se calcula de 2 formas distintasdependiendo del plano de proyección (figu-ra 12). Es decir, por ejemplo el ámbito delfactor F1 para el punto P calculado median-te proyección de la nube de puntos sobre elplano F1F2 es [(F1minP)F1F2; (F1maxP)F1F2], mien-tras que el ámbito de ese mismo factor cal-culado mediante proyección de la nube depuntos sobre el plano F1F3 es [(F1minP)F1F3;(F1maxP)F1F3].

La generalización de la metodología expues-ta a dimensiones superiores a 3, y en concre-to a la mejora del modelo fitoclimático actualexige la previa consideración del número defactores a utilizar y el número de subtipos ofitologías. En el estado actual, el sistema fi-toclimático contempla 14 factores y 20 subti-pos (ALLUÉ-ANDRADE 1995). Consideremosun sistema con n factores y m subtipos fito-climáticos.

337


F 2

F 3

F 1

P F2F 3

P F1F 2

P F1F 3

Figura 11 - Proyecciones planes de un ámbito fitoclimático po-liédrico en un espacio factorial tridimensional.

Figure 11 - Planar projections of polyhedral phytoclimaticambit in a three-dimensional factorial space.

Para un espacio factorial de n dimensiones hay

proyecciones factoriales planares

y cada factor aparece en n-1 proyecciones FiFk(con i entre 1 y n y con k entre i+1 y n).

Luego habrá n(n-1) pseudofactores o factoresproyectados (Fip)FiFk para un punto P.

En donde:

(Fip)FiFk: Valor del factor Fi para el punto P enla proyección del plano factorial FiFk formadopor los factores Fi y Fk.

: Escalar de adecuación de (Fip)FiFk al ám-bito fitoclimático Aj.

: Poder caracterizador de Fpi.

: Función de posición de (Fip)FiFk respec-to del ámbito fitoclimático Aj.

Determinando el máximo escalar posible paraun factor y ámbito determinado y dividiendo

el escalar anterior por él, obtenemos un escalarnormalizado que permite que los escalares dedistintos ámbitos sean comparables entre sí:

En donde:

: Escalar máximo de adecuación de Fi alámbito fitoclimático Aj.

: Escalar normalizado de adecuación de(Fip)FiFk al ámbito fitoclimático Aj.

Estos m.n.(n-1) escalares de adecuación (valorfactorial proyectado)-(ámbito) pueden redu-cirse a m escalares de adecuación del punto acada ámbito, mediante suma de las funcionesfitoclimáticas de adecuación de cada factor alintervalo factorial correspondiente del ámbito.

En donde:

: Escalar normalizado de adecuación delpunto P al ámbito fitoclimático Aj.

enor P

Aj

e n n enor norP

Aj

(Fpi)

AjFi

i n, k n

i k

FiFk=

1( – 1)

= =

=1, =2

enor(Fip)

AjFi

FiFk

emax Fi

AjFi

ee

enor(Fip)

AjFi (Fip)

AjFi

Fi

AjFiFiFk

FiFk

max

=

(Fip)Aj

FiFk

Fpi

e(Fip)Aj

FiFk

e(Fip)Aj

Fip (Fip)Aj

FiFk FiFk= •

2

n n n=

( – 1)2

338


F 2

F 3

F 1

P F1F 3(F3 m ax P )F 1F3

CF2F 3 P F1F 2

1

CF1F 2

P F2F 3

1

1

2

2

3

3

32

4

4

5

5

56

6

6

4

CF1F 3

(F3 m in P )F 1F3

(F3 m in P )F 2F3(F3 m ax P )F 2F3

(F2 m ax P )F 1F2

(F2 m ax P )F 2F3

(F2 m in P )F 2F3

(F2 m in P )F 1F2

(F1 m in P )F 1F3 (F1 m ax P )F 1F3

Figura 12 - Cálculo de ámbitos factoriales parti-cularizados para el punto P en un espacio facto-rial de 3 dimensiones.

Figure 12 - Calculation of particularized factorialambits for a point P in a three-dimensional facto-rial space.

Informatización del modelo

Hasta ahora, y conforme a FITOCLIMOAL’2000,la última informatización del sistema (GARCÍA-LÓPEZ et al., 2002), un sistema fitoclimáticoafecto al modelo ALLUÉ-ANDRADE está defini-do por:

– Una tabla de ámbitos factoriales por cadasubtipo (los del paralepípedo).

– Una tabla de poderes caracterizadores.– Una tabla de escalares máximos.

Conforme a la mejora introducida por la teo-ría de la envolvente convexa , los ámbitos fac-toriales ya no serán fijos como hasta ahora,sino que dependerán del punto a diagnosti-car y se calcularán por tanto de forma tem-poral para la diagnosis de cada punto. Portanto, el Sistema Fitoclimático seguirá estan-do definido por:

– Una tabla de ámbitos factoriales por cadasubtipo (los del paralepípedo).

– Una tabla de poderes caracterizadores.– Una tabla de escalares máximos.

La hasta ahora denominada tabla de ámbitos fac-toriales, al ser calculada a partir del paralepí-pedo, pasará a denominarse tabla de ámbitos fi-toclimáticos máximos. Esta tabla ya no entrará aformar parte del cálculo de la función de posi-ción, sino únicamente en el cálculo de la tablade poderes caracterizadores y de la tabla de es-calares máximos.

El cálculo mediante función de posición seaplicará a partir de ahora sobre los ámbitosfitoclimáticos variables que se calcularánpara cada punto y que dependerán de la po-sición de este punto en el hiperespacio fac-torial.

Para ello, será necesario que el nuevo sistemafitoclimático mejorado cuente, además de conlas tablas auxiliares anteriores, con 2 nuevastablas:

– Una tabla con la lista de vértices por cadasubtipo y proyección.

– Una tabla con la lista de centroides uno porcada subtipo y proyección.

La tabla de vértices contendrá, para cada una

de las proyecciones factoriales planares,

las coordenadas factoriales de los vértices eneste plano.

La tabla de centroides contendrá, para cadauna de las proyecciones factoriales planares,las coordenadas factoriales de los vértices eneste plano.

Además de las tablas anteriores, que tienen to-das ellas carácter fijo para el sistema fitocli-mático dado, el programa deberá calcular deforma transitoria para el análisis de cada pun-to (y borrarla después del análisis del punto):

– Una tabla de ámbitos factoriales reales porcada factor, subtipo, proyección factorialplanar o lo que es lo mismo, una tabla deámbitos reales por cada factor proyectado ysubtipo.

Es decir, la tabla de ámbitos factoriales realescontendrá 2.n.m.(n-1) datos. Cada uno de ellosserá el valor máximo o mínimo de un factordado para una proyección dada y para un ám-bito dado.

La tabla de ámbitos factoriales máximos sonlos correspondientes al paralepípedo, y portanto se corresponden con la tabla de ámbitosdel Sistema tradicional, al igual que las tablasde poderes caracterizadores y escalares máxi-mos.

Un ejemplo práctico: determinación del áreafitoclimática potencial de Juniperus thuriferaen la Península Ibérica

Como ejemplo de utilización del sistema ALLUÉ-ANDRADE mejorado mediante envolvente con-vexa se ha aplicado esta nueva metodología aun caso concreto, la determinación del área fi-toclimática potencial de Juniperus thurifera enEspaña.

2

n

339


Apartir de la base de datos de parcelas de mues-treo correspondientes al II Inventario ForestalNacional (DGCONA 1986-1995), se seleccionaronlos 1.098 puntos con presencia natural de Juni-perus thurifera como especie principal de la for-mación forestal. La selección de parcelas se hizomediante la utilidad informática BASIFOR (DEL

RÍO et al. 2001) segregando aquellos registros conpresencia natural de la especie en el campo ES-PECIB1, como primera especie dominante de laformación. En la figura 13 puede observarse ladistribución de los 1.098 puntos de muestreoutilizados en este estudio.

Los 1.098 puntos con presencia natural de Ju-niperus thurifera como especie principal, iden-tificados por sus coordenadas UTM (transfor-madas en su caso al huso 30) y su altitud fue-ron tratados con el programa informático FI-TOCLIMOAL’2000 (GARCÍA-LÓPEZ et al. 2002)

para la obtención de los datos mensuales bru-tos de temperatura y precipitación conformea los modelos de SÁNCHEZ-PALOMARES et al.(1999). Posteriormente, con el mismo progra-ma fueron hallados los factores fitoclimáticosde ALLUÉ-ANDRADE (1990) a excepción de la os-cilación térmica, que se calculó como TMC-TMF ( GARCÍA-LÓPEZ 1999).

Con esta tabla de factores se construyó un sis-tema fitoclimático específico para Juniperus thu-rifera, formado por un único subtipo fitoclimá-tico correspondiente al ámbito factorial forma-do por los 1.098 puntos de muestreo (tabla 1).

Los ámbitos fitoclimáticos de la tabla 1 se apli-caron al modelo digital de elevaciones GTOPO30del U.S. Geological Survey con una resolución deaproximadamente 1 km de lado, previamentetratado mediante FITOCLIMOAL’2000 para ha-

340


K A P PE T TMF TMC TMMF TMMC HS HP OSC

0,710 3,80 1.635 39 15,7 6,5 25,5 2,6 31,4 5 6 19,90,000 0,00 404 6 5,0 –1,6 12,8 –5,0 18,4 0 3 14,4

Tabla 1 - Ámbitos factoriales máximos de Juniperus thurifera (conforme a paralepípedo) definidos por los 1098 puntos de mues-treo del II IFN con presencia de esta especie principal.

Table 1 - Maximum factorial ambits of Juniperus thurifera (within parallelepipeds) defined by 1098 II IFN sampling points wherethis is the principal species.

Figura 13 - Situación de los 1098 puntosde muestreo (en negro) del II IFN con pre-sencia de Juniperus thurifera como especieprincipal utilizados en este estudio

Figure 13 - Situation of 1098 samplingpoints (in black) in II IFN where Juniperusthurifera is the dominant species, used inthis study.

341


llar el valor de los factores fitoclimáticos paracada uno de sus puntos. Aplicado posterior-mente el módulo de diagnosis de FITOCLIMO-AL’2000 conforme al método del paralepípedomáximo, se obtuvieron 96.301 puntos genuinos,esto es, un área fitoclimática potencial aproxi-mada de 9.630.100 ha. Esta área se incluye en lafigura 14 (área gris).

Aplicando a los 1.098 puntos del IFN el mó-dulo de FITOCLIMOAL’2000 mejorado con-forme a la teoría de la envolvente convexa paraobtener las nuevas tablas de centroides y devértices de la envolventes y la posterior apli-cación del módulo de diagnosis de FITOCLI-MOAL’2000 mejorado para adaptarlo a la teo-ría de la envolvente convexa, se obtuvieron37.125 puntos genuinos del modelo digital deelevaciones GTOPO30, esto es, un área fitocli-mática potencial de 3.712.500 ha, mucho másceñida al área real esbozada por los 1.098 pun-tos de muestreo, como puede comprobarse enla figura 14 (área negra).

CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN

La utilización de la envolvente convexa per-mite una aproximación topológica más fiel a la

nube de puntos definitoria de una cierta fito-logía en un espacio factorial, como alternativaa la delimitación de sus aristas extremas o mé-todo del paralepípedo factorial máximo, en elque se sustenta hasta ahora el sistema fitocli-mático ALLUÉ-ANDRADE.

Entre otras ventajas frente al método anterior,el método de la envolvente convexa permiteminimizar los errores de base en la construc-ción de un sistema fitoclimático, cuya tabla deámbitos podía sufrir cambios de gran relevan-cia ante la consideración de un solo punto deerrónea adscripción fitológica.

La consideración de proyecciones binarias depares factoriales, método alternativo a la con-sideración conjunta de todos ellos en un hipe-respacio factorial de más de una decena de di-mensiones, permite un ahorro considerable detiempo de cálculo, a la par que una simplifica-ción conceptual de materias tales como el cál-culo de la posición de centroides. Este estudiode todas las combinaciones factoriales binariasaumenta la potencia del sistema en la detecciónde efectos sinérgicos, combinatorios o compen-satorios entre valores factoriales, cuestión éstacrucial en la definición de determinadas estra-tegias fitológicas como por ejemplo las estépi-

Figura 14 - Área fitoclimática potencial deJuniperus thurifera determinada por el mé-todo del paralepípedo factorial máximo(en gris) y área fitoclimática potencial de-terminada por el método mejorado basadoen la envolvente convexa (en negro).

Figure 14 - Potential phytoclimatic area ofJuniperus thurifera as determined by themaximum factorial parallelepiped method(in grey) and as determined by the im-proved method based on the convex hulltheory (in black).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ALLUÉ ANDRADE, J.L. 1990. Atlas fitoclimático de España. Taxonomías. Ministerio de Agricultura,Pesca y Alimentación. Instituto Nacional de Investigaciones Agrarias. Madrid, 221 pp.

ALLUÉ-ANDRADE, J.L. 1995. El cambio climático y los montes españoles. Cuadernos de la SociedadEspañola de Ciencias Forestales 2: 35-64.

ALLUÉ-ANDRADE, J.L. 1997. Tres nuevos modelos para la fitoclimatología forestal: Diagnosis, Ido-neidad y Dinámica de fitoclimas. Actas I Congreso Forestal Hispano-Luso. Irati’97. 31-40. Pam-plona.

ALLUÉ-ANDRADE, J.L. & MARTÍN BLAS, M.T. 1994. Indicador de idoneidad de lugar para las masasforestales. Aplicación a Pinus pinea L. Conferencia Universidad de Castilla la Mancha. Inédita.

ALLUÉ CAMACHO, C. 1995. Idoneidad y expectativas de cambio fitoclimáticas en los principales sin-taxa pascícolas de los montes españoles. Tesis Doctoral. Universidad Politécnica de Madrid.Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Montes. Madrid, 423 pp.

ALLUÉ CAMACHO, C. 1996. Un modelo para la caracterización fitoclimática de individuos, comu-nidades y fitologías. El modelo idoneidad y su aplicación a las comunidades pascícolas. Eco-logía 10: 209-230. Madrid.

BOURKE, P. 1988. Geometry. Calculating the area and centroid of a polygon. http://astrono-my.swin.edu.au/ ~pbourke/geometry/polyarea/

CAÑELLAS, I. 1993. Ecología, características y usos de los coscojares (Quercus coccifera L.) en Espa-ña. Tesis Doctoral. Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Montes. Universidad Politécni-ca de Madrid. Inédita. 574 pp.

DE BERG, M., VAN KREVELD, M., OVERMARS, M. & SCHWARTSKOPF, O. 1997. Computational Geometry:Algorithms and Applications. Springer.

DEL RÍO M., RIVAS, J., CONDES, S., MARTÍNEZ-MILLÁN, J., MONTERO, G., CAÑELLAS, I., ORDÓÑEZ, C.,PANDO, V., SAN MARTÍN, R. & BRAVO, F. 2001. BASIFOR: Aplicación Informática para el manejode bases de datos del Segundo Inventario Forestal Nacional - III Congreso Forestal Español,Granada. III. 49-54.

DGCONA. 1986-1995. II Inventario Forestal Nacional - Ministerio de Medio Ambiente.

cas, para las cuales a temperaturas mínimasmenos acusadas tienen que corresponder valo-res más acusados de aridez para producir pa-recido efecto fisionómico. El ejemplo de apli-cación del método de la envolvente convexa auna especie forestal como Juniperus thurifera,cuya autoecología parece notablemente influi-da por este efecto combinatorio de aridez-fríoha dado resultados muy satisfactorios, permi-tiendo eliminar casi 2/3 de las estaciones queerróneamente el sistema consideraba internasal ámbito factorial de esta especie.

El vertiginoso aumento en la velocidad de losprocesadores informáticos permitirá en breveminimizar los efectos del aumento de tiempode cálculo necesario respecto del sistema ante-

rior, que en la actualidad se sitúa en la mayo-ría de los equipos en más de diez veces supe-rior al hasta ahora manejado.

Es previsible que estas mejoras, que se produ-cen ya desde la fase de utilización monotéticadel sistema, esto es, sin la consideración con-junta de más subtipos que el propio de la fito-logía considerada, se multipliquen cuando elestudio fitoclimático se realice de forma poli-tética, esto es, de forma conjunta y matizadacon varios subtipos representativos de otrastantas estrategias de vida vegetal, al estar cons-truidas de forma mucho más precisa que has-ta ahora las tablas de ámbitos factoriales y porañadidura las de poderes caracterizadores y es-calares máximos.

342


GARCÍA-LÓPEZ, J.M. 1999. Fitoclimatología de Turquía. Diagnosis, homologación, dinámica y vo-caciones. Tesis Doctoral. Universidad Politécnica de Madrid. Escuela Técnica Superior de In-genieros de Montes. Madrid, 825 pp.

GARCÍA-LÓPEZ, J.M. & ALLUÉ CAMACHO, C. 2002. FITOCLIMOAL’2000, un programa para la diag-nosis, homologación y estudio de dinámicas e idoneidades fitoclimáticas. Montes 67: 9-18.

GARCÍA-LÓPEZ, J.M.; GONZALO JIMÉNEZ, J. & ALLUÉ CAMACHO, C. 2000. Diagnosis fitoclimática di-gital mediante técnicas de estimación factorial. Aplicación a la provincia de Burgos. SociedadEspañola de Ciencias Forestales. Reunión del Grupo de Fitoclimatología. Soria, 21-22 de sep-tiembre 2000.

GOODMAN, J. & O’ROURKE, J. (eds.). 1997. Handbook of Discrete and Computational Geometry. CRCPress.

GRAHAM, R.L. 1972. An efficient algorithm for determining the convex hull of a finite planar set,Info. Proc. Lett. 1: 132-133.

GRAU CORBI, J.M. 1990. Informatización de los modelos. Computerización. En ALLUÉ-ANDRADE

(1990): Atlas Fitoclimático de España. Taxonomías. Instituto Nacional de Investigaciones Agra-rias. 221 pp. Madrid.

MANRIQUE MENÉNDEZ, E. 1993. Informatizaciones CLIMOAL. Fundación Conde del Valle de Sala-zar. Universidad Politécnica de Madrid.

MANRIQUE MENÉNDEZ, E. 1999. Informatizaciones CLIMOTUR. Inédito.MARTÍN BLAS, M.T. & MANRIQUE MENÉNDEZ, E. 1994. Programas CLIMESP y ESCESP. Inéditos. O’ROURKE, J. 1994. Computational Geometry in C. Cambridge Univ. Press. SACK, J.R. & URRUTIA, J. 2000. Handbook of computational geometry. Elsevier Science Publishers

B.V. North-Holland. SÁNCHEZ PALOMARES, O., SÁNCHEZ SERRANO, F. & CARRETERO CARRERO, M.P. 1999. Modelos y carto-

grafía de estimaciones climáticas termopluviométricas para la España peninsular. Instituto Na-cional de Investigación y Tecnología Agraria y Alimentaria. Madrid. 192 pp.

SARMIENTO, J.M. & MANRIQUE, E. 1997. Aplicación del entorno Windows a los cálculos del SistemaFitoclimático de Allué-Andrade. Actas del I Congreso Foresta.

343


APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ENVOLVENTE ......Ecología, N.º 17, 2003, pp. 329-343 329...

Documents

Transcript of APLICACIÓN DE LA TEORÍA DE LA ENVOLVENTE ......Ecología, N.º 17, 2003, pp. 329-343 329...